一种化简二次曲面方程的新方法(论文)

二次曲面方程的化简与分类1.摘要对于给定的二次曲面方程,以前的方法是通过特征方程可求出它所对应的主方向.由于二次曲面的每个特征根至少对应一个主方向,也就是说二次曲面至少有一个主径面,而二次曲面的主径面又是二次曲面的对称面,因而选取主径面作为新坐标面,或者选取主方向为坐标轴方向,就成为二次曲面方程的化简方法，但本文应用“向量化”和“滤射变化”化简二次曲面方程.“向量化”在空间中的一个直角坐标系下，二次曲面方程F x,y,z=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44阐明了存在着一个由方程中各系数表出的(自由)向量b,利用自由b不仅可以使得一般二次曲面方程的化简过程“向量化”,并且能够给出在化简过程中出现有关点的位置和数量的内在几何意义.“滤射变换”化简二次曲面方程，首先对二次曲面方程F x,y,z配方变形,利用直线与二次曲面相交时参数m的几何意义,以及滤射变换的性质,得到了二次曲面方程分类与化简的一种运算简单方便的方法.根据上述方法,本文通过对二次曲面方程进行化简,化简成五类方程和17种标准形式.2.二次曲面方程的问题分析2.1二次曲面方程的化简依据二次曲面的方程化简与二次曲线一样，而对于二次曲线的化简与作图，崔萍给出了比较详细的化简过程，将一个点对某个坐标系的坐标变换为该点对另外一种坐标系下的坐标，通过一系列的转轴与移轴，用坐标变换法来化简二次曲线.因此，二次曲面方程的化简关键在于能否适当的选取坐标系，在一些二次曲面中，其对称面即坐标面，对称轴即坐标轴，坐标原点即曲面中心（或为曲面顶点）.此即表明，使所选坐标系满足以上条件时，二次曲面的方程即为规范形式，分析可得，通过转轴和移轴可完成上述任务.对于中心型和非中心型二次曲面，进行不同程度的转轴和移轴，先后消去一次项和交叉项，方程即可转化为规范形式.平面上的二次方程：a11x2+a22y2+2a12xy+2a13x+2a23y+a33=02.2二次曲线方程的化简与作图首先把一个点进行行坐标平移变换：x=x′+x0y=y′+y0其中，( x ,y)表示平面内点A的旧坐标，x′,y′表示点A的新坐标,x0,y0表示原坐标系下的原点的新坐标.坐标旋转变换：x=x′cosα+y′sinαy=x′cosα+y′sinα其中α为坐标轴的旋转角.于是有，在坐标平移变换下，二次曲线方程二次项系数不变，一次项系数变为2F1x0,y0和2F2(x0,y0)，常数项变为F x0,y0.而在坐标旋转变换下，二次曲面的二次项和一次项系数分别只是原系数和旋转角度的因变量，与其他量无关，常数项保持不变.二次曲线方程的化简分为两大类：第一类：中心二次曲线方程，把新坐标系的原点移到二次曲线的中心，则得到F1x0,y0和F2(x0,y0).消去二次曲线中的一次项，常数项化为F(x0,y0).再通过旋转即可转化二次曲线方程为更简单的方程.第二类：无心二次曲面方程，转轴过后再平移，利用平面直角坐标变换.2.3常用的二次曲面方程的化简方法对于二次曲面方程的化简，常见的化简方法有通过特征方程求主径面，空间坐标变换（转轴和移轴），应用不变量等方法化简二次曲面方程，笔者所用化简方法与常见化简方法之间既存在着差异也有相似，为了方便读者更易读懂本文所用方法与常见方法之间的异同，在此列出常见特征方程法以作比较.以三个主方向建立的笛卡尔坐标系为新坐标系作坐标轴的旋转，曲面方程a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+ 2a34z+a44=0以二次曲面的非奇主方向为新轴方向，以共轭于这个方向的主径面作为新坐标平面x′=0建立坐标系，则曲面方程化为：a11′x′2+a22′y′2+a33′z′2+2a12′x′y′+2a13′x′z′+2a23′y′z′+2a14′x′+2a24′y′+2a34′z′+a44′=0以x′作为主方向，得到与之共轭的主径面方程：a11′x′+a12′y′+a13′z′+a14′=0主径面方程式表x′=0当且仅当a11′≠0,a12′=a13′=a14′=0.当a23′=0,则a11′x′2+a22′y′2+a33′z′2+2a24′y′+2a34′z′+a44′=0当a23′≠0，则在y′o′z′平面内，将y轴与z轴旋转一角度θ，使cot2θ=a22′−a33′2a23′即通过直角坐标变换：x′=x′′y′=y′′cosθ−z′′sinθz′=y′′cosθ+z′′sinθ使yz项系数化为0，从而得到：a11′′x′′2+a22′′y′′2+a33′′z′′2+2a14′′x′′+2a24′′y′′+2a34′′z′′+a44′′=0即可化为：a11′x′2+a22′y′2+a33′z′2+2a14′x′+2a24′y′+2a34′z′+a44′=0 (1)一般情况下，将所得方程分为以下三种情况讨论：1.当a11′∙a22′∙a33′≠0(1)式通过配方和平移得到：a11′x′2+a22′y′2+a33′z′2+a44′=0(2) 在a44′≠0时当a11′，a22′，a33′同号但与，a44′′异号，（2）式表示椭球面；当a11′，a22′，a33′与a44′′同号，（2）式表示虚椭球面；当a44′′与a11′，a22′，a33′中的一个同号，（2）式表示单叶双曲面；当a44′′与a11′，a22′，a33′中的两个同号，（2）式表示双叶双曲面；在a44′′=0时：当a11′，a22′，a33′不同号，（2）式表示二次锥面；当a11′，a22′，a33′同号，（2）式表示一个点；2.a11′，a22′，a33′不妨设只有a33′=0，a34′≠0时：(1)式通过配方和平移得到：a11′x′′2+a22′y′′2+2a34′z′′=0(3) 若a11′，a22′同号，（3）式表示椭球抛物面；若a11′，a22′异号，（3）式表示双曲抛物面；在a34′=0时：(1)式通过配方和平移得到：a11′x′′2+a22′y′′2+a44′′=0（4）若a11′，a22′同号，但与a44′′异号，（4）式表示椭圆柱面；若a11′，a22′与a44′′同号,（4）式表示虚椭圆柱面；若a11′，a22′异号，a44′′≠0，（4）式表示双曲柱面；若a11′，a22′异号，a44′′=0，（4）式表示相交平面；若a11′，a22′同号，a44′′=0，（4）式表示一对虚相交平面；3.a11′，a22′，a33′中不妨假设只有a11′≠0(1)式通过配方和平移得到a11′x′′2+2a24′y′′2+2a34′z′′2+a44′′=0再通过作绕x′轴坐标变换，化为：a11′x′′′+2 a24′2+a34′2y′′′=0(5) (5)表示抛物柱面；当a24′=a34′=0时，可得：a11′x′′2+a44′′=0(6) 若a11′与a44′′异号，（6）式表示一对平行面；若a11′与a44′′同号，（6）式表示一对虚平行面；若a11′=a44′′=0，（6）式表示一对重合平面.2.4二次曲面方程化简的新方法从代数上看，进一步的化简是显然的了，即根据λi的值的情况进行“配方”. 按照“配方”记新坐标变数为X,Y,Z而一次项系数暂可写为0,B2,B3.(λ1≠0)这样(1)化为新坐标下的方程：λ1X2+λ2Y2+λ3Z2+2B2Y+2B3Z+A44=0注意上式中一次项系数所成的组0,B2,B3表示关于向量标架0;e1,e2,e3下的向量,特记为b，它关于oxyz下的表示为：b=B2e2+B3e3它特记将oxyz旋转到特征方向上去且按上述约定进行配方之后的a4.以下即将看到,这时的坐标系与使新坐标下的方程化为标准形状的坐标系已无多大差别,不妨就称之为标准坐标系.再来确定x0,y0,z0.x0a1=y0a2+z0a3+a4=b (7)a11x0+a12y0+a13z0+a14=b1a21x0+a22y0+a23z0+a24=b2a31x0+a32y0+a33z0+a34=b3若已知b,从方程组(7)的解集便可知应将坐标系oxyz平移到什么样的位置上，称（7）为二次曲面的定位方程组.特别的，当b=0时，上述方程组可写为:a11x+a12y+a13z+a14=0a21x+a22y+a23z+a24=0a31x+a32y+a33z+a34=0它就是通常的所谓中心方程.定理3：设 (x,y,z)是定位方程组(7)的任一个解,则量J= b+a4∙x,y,z+a44的值与坐标系无关.系1：当b=0时，量J=a4∙x,y,z+a44在所有中心处取同一个常值，得到X2+λ2Y2+λ3Z2+J=0.系2：当b≠0时，方程b+a4∙x,y,z+a44=0与定位方程组联立的解集与坐标系无关.这时必有零根出现,I3=0,分别两种情况讨论如下:(i)若I2≠0,(1)成为λ1X2+λ2Y2+2B3Z+A44=0特别地,将它移到平面(7)与(1)的交点O′处，我们有X2p +Yq=2Z.(ii)I2=0,(1)成为λ1X2+2B2Y+A44(x0,y0,z0)=0同（i）一样，特别地,将它移到平面(7)与(1)的交点O′处，则上述方程中的常数项就消失了，我们有X2=2p Y.方法一：向量化设在空间中的一个直角笛卡尔坐标系（一下均简称坐标系）oxy z下给定一个二次方程为a11x2+2a12xy+a22y2+2a13xz+2a23yz+a33z2+2a41x+ 2a42y+2a43z+a44=0存在着一个由二次方程中诸系数表出的（自由）向量b,利用它，可以使得一般二次方程化简程序“向量化”.在坐标变换下方程中诸系数的变化律a=a i1,a i2,a i3,i=1,2,3,4.a为半向量，易知在坐标系下作平移:x=x′+x0 ,y=x′+x0 ,x′+x0诸半向量变化律为:a1′=a1 ,a4′=a4+x0a1+y0a2+z0a3此外有a44′=a(x0 ,y0 ,z0),其中，我们用a(x ,y ,z)简记原二次方程左边部分.为写出在坐标系的旋转下方程中诸系数的的变化律，我们采用矩阵运算符号.二次方程成为x ,y ,z a ij xyz+2x ,y ,za41a42a43+a44=0 (8)据此易知，若将坐标旋转公式写为:x ,y ,z=x′ ,y′ ,z′T其中T记相应的直角方阵，则有a ij′=T∙ a ij∙T′ (T′记T的转置) (9)又有a41 ,a42 ,a43=a′41 ,a′42 ,a′43T (10) 这里已知直角方阵的性质T的转置等于T的逆,最后对坐标系的旋转：a44′=a44由(9)(10)二式看出，在坐标系旋转下,a4如向量一样变化，而a1，a2,a3则不然，如果分别用e1，e2,e3简记T的第一，二，三个列矢，那么据(8)式可写出a i ,( i=1,2,3)的诸分量之变化式如下：a i1=a1 ,e1e11+a2 ,e1e12+a3 ,e1e13a i2 =a1 ,e1e21+a2 ,e1e22+a3 ,e1e23a i3 =a1 ,e1e31+a2 ,e1e32+a3 ,e1e33为了以下应用，我们将(8)式变形如下，用x ,y ,z,左乘(8)的两边,应用坐标旋转公式得：x ,y ,z a ij′=x ,y ,z a ij∙T′.又用T右乘上式两式得:x ,y ,z a ij=x ,y ,z′ a′ij∙T′和坐标旋转公式比较知，在坐标系的旋转下，三数组a11x ,a12y ,a13z ,a21x ,a22y ,a23z ,a31x ,a32y ,a33z如同一个向量的坐标数组一样变化.为了化简原二次方程，首要问题是去寻找这样的旋转，使得在新的坐标ox′y′z′下有:a ij=0 ,(i≠j)显然，这就是要寻求e1=e i1 ,e i2 ,e i3 ,i=1,2,3使上式成立.记e i1 ,e i2 ,e i3=x i ,y i ,z i据(8)得:a11x i+a12y i+a13z i=a ii x ia21x i+a22y i+a23z i=a ii y ia31x i+a32y i+a33z i=a ii z i如果略去下标i并令λ=a ii则知这些向量满足同一个方程组:a11x+a12y+a13z=a iiλxa21x+a22y+a23z=a iiλya31x+a32y+a33z=a iiλz或者(a11−λ)x+a12y+a13z=0a21x+(a22−λ)y+a23z=0a31x+a32y+(a33−λ)z=0上述方程组有解的充要条件为方程的系数矩阵行列式为零，即：a11−λa12a13a21a22−λa23=0a31a32a33−λ和方程组的特征方程的解，使下式成立：λ3+i1λ2+i2λ−i3=0其中λ为特征根.定理1:必存在坐标系的旋转使二次方程的二次部化为对角形(这即是主轴变换的存在性).系1：当a ij=a ji时,特征方程的根全是实数.系2：若λ0为m重根，则特征方程有m个独立解.系3：若λ1≠λ2,则相应的特征方向必正交.结论：在任一坐标系下，主方向平面由a1 ,a2 ,a3张成：记为πa1 ,a2 ,a3. 定理2：在任一坐标系下纯形式表出的b=a4−π(a1 ,a2 ,a3)a4代表同一个向量.设已经求出λi和相应的e i (i=1 ,2 ,3)那么施行旋转便可将方程组写成为：λ1x2+λ2y2+λ3z2+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0从代数上看，进一步的化简是显然的了，即根据λi的值的情况进行“配方”.按“配方”记新坐标变数为X,Y,Z,一次项系数暂可写为0,B2,B3.(λ1≠0)这样上述方程可化为：λ1X2+λ2Y2+λ3Z2+2B2Y+2B3Z+A44=0注意该式中一次项系数所成的组0,B2,B3表示关于向量标架0;e1,e2,e3下的向量,特记为b，它关于oxyz下的表示为：b=B2e2+B3e3它特记将oxyz旋转到特征方向上去且按上述约定进行配方之后的a4.以下即将看到,这时的坐标系与使新坐标系下的方程化为标准形状的坐标系已无多大差别,不妨就称之为标准坐标系.x0a1=y0a2+z0a3+a4=b若已知b,此方程组的解集便可知应将坐标系oxyz平移到什么样的位置上，称其为二次曲面的定位方程组：a11x0+a12y0+a13z0+a14=b1a21x0+a22y0+a23z0+a24=b2a31x0+a32y0+a33z0+a34=b3特别的，当b=0时，定位方程组写为:a21x+a22y+a23z+a24=0a31x+a32y+a33z+a34=0它就是通常的所谓中心方程.定理3：设 (x,y,z)是定位方程组的任一个解,则量J= b+a4∙x,y,z+a44的值与坐标系无关.系1：当b=0时，量J=a4∙x,y,z+a44在所有中心处取同一个常值，得到X2+λ2Y2+λ3Z2+J=0.系2：当b≠0时，方程 b+a4∙x,y,z+a44=0与定位方程组联立的解集与坐标系无关.这时必有零根出现,I3=0,分别两种情况讨论如下: (i)若I2≠0,原二次方程成为λ1X2+λ2Y2+2B3Z+A44=0特别地,将它移到平面定位方程组与二次方程的交点O′处，我们有X2p +Yq=2Z.(ii)I2=0,原二次方程成为λ1X2+2B2Y+A44(x0,y0,z0)=0同（i）一样，特别地,将它移到平面定位方程组与二次方程的交点O′处，则上述方程中的常数项就消失了，我们有X2=2p Y.方法二：滤射变换在空间直角坐标系下，由三元二次方程F x,y,z=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44所表示的曲面，叫做二次曲面.对于二次曲面方程的分类与化简，再次给出一种方法，通过对三元二次方程F x,y,z=0配方变形，利用直线与二次曲面方程相交时参数t的几何意义，以及滤射变换的性质，得到了二次曲面方程化简的一种简单，比较为大多数读者接受的方法.性质一：在空间直角坐标系下，二次曲面方程经过线性滤射变换:y=a2x2+b2y2+c2z2+d2z=a3x3+b3y3+c3z3+d3其中一次项对应系数行列式的值不为零.图形为同类型的二次曲面，并且原二次曲面的中心在滤射变换下仍对应于新二次曲面的中心.性质二：在空间直角坐标系下，若直线方程x=x0+rXy=y0+rYz=z0+rZ与二次曲面F x,y,z相交，则交点所对应的参数r满足φX,Y,Z r2+2F1x0,y0,z0∙X+F2x0,y0,z0Y+F3x0,y0,z0∙Z∙r+F x0,y0,z0=0其中φX,Y,Z=a11X2+a22Y2+a33Z2+2a12XY+2a13XZ+2a23YZF1x0,y0,z0=a11x0+a12y0+a13z0+a14F2x0,y0,z0=a12x0+a22y0+a23z0+a24F3x0,y0,z0=a13x0+a23y0+a33z0+a34对于向量β=X,Y,Z,在此设定该向量为单位向量，r表示r所对应的交点与直线上的定点φx0,y0,z0之间的距离；当φx0,y0,z0为两个交点的中点时，交点所对应的参数r2=−F x0,y0,z0φX,Y,Z性质三：以三个主方向建立的笛卡尔坐标系为新坐标系作坐标轴的旋转，曲面方程F x,y,z=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44以二次曲面的非奇主方向为新轴方向，以共轭于这个方向的主径面作为新坐标平面.该三元二次方程所表示曲面的主径面为:XF1x,y,z+YF2x,y,z+ZF3(x,y,z)=0其中F1x,y,z=a11x+a12y+a13z+a14F2x,y,z=a21x+a22y+a23z+a24F3(x,y,z)=a31x+a32y+a33z+a34X,Y,Z是特征方程组(a11−τ)X+a12Y+a13Z=0a21X+a22−τY+a23Z=0a31X+a32Y+(a33−τ)Z=0的解，而τ是特征行列式a11−τa12a13a21a22−τa23a13a23a33−τ=0的解.由性质可知，三元方程F x,y,z通过配方得F x,y,z=a11(x+b1y+c1z+d1)2+a22y+c2z+d22+a33z+d32+k1=0.根据性质一，二次曲面的中心为方程组x+b1y+c1z+d1=0y+c2z+d2=0z+d3=0的解.由性质三，可以求出对称面的方程，设对称面的法向量ρ=(A,B,C)次曲面的中心为O x0,y0,z0,由此可得新坐标系的一条轴x′的方程为x=x0+AXy=y0+BYz=z0+CZ而新二次曲面的三条轴可以利用新坐标轴与原二次曲面的交点和O之间的距离来确定.由性质二可知，轴x′与二次曲面的交点所对应的参数r2=−F x0,y0,z0φ A，B，C若r2>0，对应的半长轴为：x′=r A2+B2+C2;若r2<0，对应的半轴长为a′=−r2A2+B2+C2,且当标准方程中右边是1或0，所对应的项是负项，因此可得如下化简方法：第一：利用配方法得:F x,y,z=a11x+b1y+c1z+d12+a22y+c2z+d22+a33z+d32+k2=0.第二，解方程组x+b1y+c1z+d1=0y+c2z+d2=0z+d3=0，求出二次曲面的中心O（x0,y0,z0)第三，由性质三求出二次曲面方程的三个对称面y′o′z′,z′o′x′,x′o′y′.第四，过中心O（x0,y0,z0)且垂直与三个对称面的直线为新坐标轴a′,b′,c′.由性质二可知，半长轴a′,b′,c′与二次曲面的交点所对应的参数分别为r i2=−F x0,y0,z0φA，B，C，(i=1,2,3)第五：若r i2>0,当标准方程的右边是1或0，所对应的项是正项.若r i2<0当标准方程的右边是1或0，所对应的项是负项.由此可得到二次曲面的标准方程.例：化简二次曲面方程x2+y2+5z2−6xy−2xz+2yz−6x+6y−6z+10=0.解：通过配方法可变形为：（x−3y−z−3)2−8(y+14z+14)2+29z−12+1=0由前面可知，该二次曲面方程是双叶双曲面.解方程组：x−3y−z−3=0y+14z+14=0z−1=0可知二次曲面的中心是O(1,-1,1).解特征方程1−zτ−3−1−31−τ1−115−τ=0得τ=6,3，-2.将三个值分别代入方程组1−τX−3Y−Z=0−3X+1−τY+Z=0X+Y+5−τZ=0解得三个对称面的方程为:x−2y−2z=0,x−y+z−3=0,x+y=0即新坐标方程的方向向量分别为:μ1=1,−1,2，μ2=1,−1,1，μ3=(1,1,0）而r12=−F1,−1,1φ1,−1,2=−19<0r22=−F 1，−1,1φ 1，−1,1=−136<0r32=−F 1，−1,1φ 1，−1,0=1>0即双叶双曲面的三个半长轴分别为:a′= −r12∙A12+B12+C12=1 6b′= −r22∙A22+B22+C22=1 3c′= −r32∙A32+B32+C32=1 2故二次曲面的标准方程为x ′21 6+y′213−z′212=−13.二次曲面方程的分类据以前的方法，二次曲面方程可以化简成十七种标准式F x,y,z=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44[1]x 2a2+y2b2+z2c2=1(椭球面)[2]x 2a2+y2b2+z2c2=−1（虚椭球面）[3]x 2a2+y2b2−z2c2=0（点或称虚母线二次锥面）[4]x 2a2+y2b2−z2c2=1（单叶双曲面）[5]x 2a2+y2b2−z2c2=−1（双叶双曲面）[6]x 2a2+y2b2−z2c2=0(二次锥面)[7]x 2a2+y2b2=2z(椭圆抛物面)[8]x 2a2+y2b2=2z(双曲抛物面)[9]x 2a2+y2b2=1(椭圆柱面)[10]x 2a2+y2b2=−1(虚椭圆柱面)[11]x 2a2+y2b2=0(交于一条实直线的一对共轭虚平面)[12]x 2a2−y2b2=1(双曲柱面)[13]x 2a2−y2b2=0(一对相交平面)[14]x2=2py(抛物柱面)[15]x2=a2(一对平行平面)[16]x2=−a2(一对平行的共轭虚平面)[17]x2=0(一对重合平面)4.评价“向量化”化简二次曲面方程，在空间中的一个直角坐标系下,二次曲面方程a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0上文中阐明了存在着一个由二次曲面方程中各系数表出的(自由)向量b,利用自由向量b不仅可以使得一般二次曲面方程的化简过程“向量化”,并且能够给出在化简过程中出现有关点的位置和数量的内在几何意义.“滤射变换”化简二次曲面方程，首先对二次曲面方程F x,y,z=0配方变形,利用直线与二次曲面相交时参数m的几何意义,以及滤射变换的性质,得到了二次曲面方程分类与化简的一种运算简单方便的方法.对于二次曲面的分类与化简,空间解析几何中,一般是首先确定二次曲面的对称面,使对称面为新坐标系的坐标面,然后通过坐标系的平移、旋转,把二次曲面方程分类并化简为标准方程，或者通过不变量进行分类、化简.这些方法要么运算复杂,要么无法确定图形的具体位置,然而本文的方法操作简单，化简过程易懂，是一种比较好的化简方法.5.创新—高维二次曲面下文将给出一个化简二次曲面方程的简便方法,使得化简二次曲面有了一个的创新的方法.a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0均可化简成:X′A X+αX+a44=0其中A=a11a12a13 a12a22a23 a13a23a33 X=xyzα=a14,a24,a34化简二次曲面方程的步骤如下:1、求出A的所有特征根β1,β2,β3,(非零),并求出非零特征根单位特征向量αi=(αi1,αi2,αi3)尤其,若秩(A)=0,则A仅有的非零特征根β1,单位特征向量可直接取为β1=a11+a22+a33,并且A的属于βi的单位特征向量可直接取为αi=（a11r ,a22r,a33r,）,r=a112+a122+a1322.若β1β2β3≠0，令α14=α1βi.αi′3.对每个非零特征根βi，算出a44-(β1α142+β2α242+β3α342)=ω4，将二次曲面方程化为:βi,(αi1x+αi2y+αi3z)2+ω4=02a142a24 2a34 a44-βiαi2α112α122α13α14=ω1ω2ω3ω4①若ω12+ω22+ω32≠0，则原二次曲面方程可化为：βi,(αi1x+αi2y+αi3z)2+ω4=0②ω12+ω22+ω32=0则原二次曲面方程可化为：βi(α11x+α12y+α13z+α14)2+ω4=0例1：化简二次曲面方程x2+y2+2xy+3x+y=0解:A=1111，则A的秩为1，β1=2，α1=22α13=α1β1,α1′=2a132a23a33β1α132α112α12α13=31−22222222=1−1−1故原方程化为：222+222=0标准方程为x′2=-2y′，其中x′=2（x+y+1），y′=2(x−y−1)显然这种化简二次曲面方程的方法对高维二次超曲面也适用.6.二次曲面方程的推广在前面二次曲面方程的探讨中，一直是在实数域上进行的.如果把实数域扩充为复数域或椭球面，则二次曲面方程的化简与分类将更为复杂，值得读者探讨.7.参考文献[1]空间解析几何引论.吴大任等编.人民教育出版社.[2]吕林根.解析几何学习辅导书[M].北京:高等教育出版社,2006.[3]席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法[J].许昌师专学报,2001.[4]马世祥.二次曲线的三种分类方法分析[J].天水师范学院学报,2003.[5]方丽菁.无心二次曲线位置的确定[J].广西民族学院学报,2003,9(3).[6]车明刚,王海涛.关于非退化二次曲线定义的等价[J].绥化学院学报,2006.[7]裘旭浩.两条二次曲线不变量的一个应用[J].宁波大学学报,2006.[8]张泽相.解析几何讲义[M].上海:上海教育出版社,1984.[9]朱德祥.新编解析几何学[M].北京:人民教育出版社,1962.。

一般二次曲面方程的化简与分类研究[摘 要]本文通过对一般二次曲面方程进行化简与分类,化简成五类方程和17种标准形式.最后介绍了一般二次曲面方程分类与化简的应用.[关键词]二次曲面;分类;化简;应用１ 引言对于给定的二次曲面方程,通过特征方程可求出它所对应的主方向.由于二次曲面的每个特征根至少对应一个主方向,也就是说二次曲面至少有一个主径面,而二次曲面的主径面又是二次曲面的对称面,因而选取主径面作为新坐标面,或者选取主方向作为坐标轴方向,就成为化简二次曲面方程的主要方法.2 预备知识定义 2.1[3]果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向,那么这个径面就叫做二次曲面的主径面.显然主径面就是二次曲面的对称面.定义 2.2[4]二次曲面主径面的共轭方向（即垂直于主径面的方向）,或者二次曲面的奇向,叫做二次曲面的主方向.引理 2.1[5]二次曲面平行于非渐近方向的一族平行弦中点的轨迹是一个平面.其方程为1234(,,)(,,)(,,)(,,)0X Y Z x X Y Z y X Y Z z X Y Z φφφφ+++=. (1)注1：二次曲面沿非渐近方程::X Y Z 的所有平行弦中点所在的平面叫做平面共轭于非渐进方向::X Y Z 的径面,而平行弦叫做这个径面的共轭弦.注2：如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向,那么这个径面就叫做二次曲面的主径面.实际上,主径面垂直于所平分的一组弦,是二次曲面的对称平面. 引理2.2 二次曲面的特征方程为1112131322231323330a a a a a a a a a λλλ--=- 即321230I I I λλλ-+-+=.其中λ是二次曲面的特征根.引理2.3 一般二次曲面的主方向方程组()()()1112131222231323330,0,0.a X a Y a Z a X a Y a Z a X a Y a Z λλλ-++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ 其中::X Y Z 是二次曲面(2)的非渐近方向.引理2.4 空间直角坐标变换设在空间给定了两个由标架{};;;o i j k 与{}'''';;;o i j k 决定的右手直角坐标系,前面一个叫做旧坐标系,后面的一个叫做新坐标系.它们之间的位置关系完全可由新坐标系的原点'o 在旧坐标系内的坐标,以及新坐标系的坐标矢量在旧坐标系内的分量所决定.2.4.1移轴设'o 在旧坐标系下的坐标为{}000,,x y z ,p 为空间任意一点,它在{};;;o i j k 与{}'''';;;o i j k 下的坐标分别是{},,x y z 与{}''',,x y z .其中移轴表换公式为'0'0'0x x x y y y z z z ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩, 移轴公式为'0'0'x x x y y y z z z ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩.转轴经过转轴变换后,新旧坐标轴间的交角如下表所示其中转轴变换公式为：'''123'''123'''123cos cos cos ,cos cos cos ,cos cos cos .x x y z y x y z z x y z αααβββγγγ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩, 其中转轴逆变换公式为：'111'222'333cos cos cos ,cos cos cos ,cos cos cos .x x y z y x y z z x y z αβγαβγαβγ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩ 3 二次曲面方程的化简定理 以三个主方向所建立的右手直角坐标系为新坐标系而作坐标轴的旋转，那么曲面方程222112233121323142434442222220a x a y a z a xy a xz a yz a x a y a z a +++++++++=.(2)在新坐标系中具有如下形式：''2''2''2'''''''112233142434442220a x a y a z a x a y a z a ++++++=. (3)证明 因为二次曲面至少有一个非奇主方向，以这个主方向作为新轴方向，以共轭于这个方向的主径面作为新坐标平面'0x =，建立直角坐标系''''o x y z -，设在这个新坐标系下，曲面的方程为''2''2''2'''''''''''''''112233121323142434442222220a x a y a z a x y a x z a y z a x a y a z a +++++++++=.在新坐标系下,曲面以'x 轴方向作为主方向1:0:0,代入式（1）,得与之共轭的主径面方程为'''''''111213140a x a y a z a +++=.那么这个方程表示坐标平面'0x =的充要条件是''''111213140,0a a a a ≠===.所以曲面在新坐标系下的方程为''2''2''2'''''''''11223323243444112220(0)a x a y a z a y z a y a z a a ++++++=≠.如果'230a =,那么有''2''2''2''''''11223324344411220(0)a x a y a z a y a z a a +++++=≠.如果'230a ≠,可在'''y o z 平面内,将y 轴与z 轴旋转一角度θ（保持x 轴不动）,并且适合''2233'23cot 22a a a θ-=,即经直角坐标变换'''''''''''''cos sin sin cos x x y y z z y z θθθθ⎧=⎪=-⎨⎪=+⎩, 就可使yz 项系数也等于零,从而得到''''2''''2''''2''''''''''''''112233142434442220a x a y a z a x a y a z a ++++++=.由定理可知,经过适当的坐标变换,二次曲面（2）总可以化为''2''2''2''''''''11223314243444112220(0)a x a y a z a x a y a z a a ++++++=≠.4 二次曲面方程的分类下面对(3)中系数的所有可能情形加以讨论.4.1 若'22a 和'33a 都不为零,作移轴变换'''''''24'22''''34'33x xa y y a a z z a ⎧⎪=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩,则方程(3)可化为(I ) ''''2''''2''''2''112233440a x a y a z a +++= 4.2 若'22a 和'33a 中有一个为零,不妨假设'330a =,'220a ≠,则方程（3）化为 ''2''2''''''1122243444220a x a y a y a z a ++++=. (4) ① 若'340a ≠,作移轴变换'''''''24'22'''2'''224424''22342x x a y y a a a a z z a a ⎧⎪=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪-⎪=-⎪⎩, 则方程(4)化为(II ) '''2'''2''''11223420a x a y a z ++=② 若'340a =,作移轴变换'''''''24'22,x x a y y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩, 方程(4)化为(III ) '''2'''211220a x a y c ++=若'24a 和'34a 都为零,则方程（3）化为''2'''''11243444220a x a y a z a +++= (5)③ 若'24a 和'34a 不全部为零,因平面'''''243444220a y a z a ++=.与坐标平面'0x =垂直,则利用坐标变换''''''''''x x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩使这个平面作为新坐标平面'0y =,此时方程（5）化为(IV ) '''2'''112420a x a y +=.④ ''24340a a ==,则方程（5）化为 (V ) '''2'11440a x a +=.综合以上的讨论,二次曲面方程（1）经过直角坐标变换总可以化为以下五种形式之一：(I ) 2220Ax By Cz D +++= （0ABC ≠）;(II ) 2220Ax By Pz ++= （0ABP ≠）; (III ) 220Ax By E ++= （0AB ≠）; (IV ) 220Ax QY += （0AQ ≠）; (V ) 20Ax R += （0A ≠）;这同中心分类是一致的.下面对二次曲面(1)的五种形式中的每一个就系数可能出现的情况作进一步的讨论,以便得出二次曲面的详细分类.5 二次曲面标准形式分类5.1 在方程(I )中, 若0D ≠,把方程(I )的两端除以D 并令222111,,,A B C D a D b D c=±=±=±其中正负号的选取使,,a b c 都是实数. ① 若,,A B C 同号,但与D 异号,则方程(I )化为2222220x y z a b c++=. (6)它表示椭球面.②,,,A B C D 都同号，则得22222x y z a b+=±. (7)它表示虚椭球面.③ 若,,A B C 中有两个同号,且D 与另一个同号,则得22222x y z a b-=±. (8)它表示单叶双曲面.④ 中有两个同号,且D 与这两个同号,则得22221x y a b+=. (9)它表示双叶双曲面.5.2 在方程(I )中,若0D =,在方程(I )中,令222111,,A B C a b c =±=±=±. ① 若,,A B C 中有两个同号,则方程(I )化为2222220x y z a b c+-=. (10) 它表示二次锥面.② 若,,A B C 同号,则得2222220x y z a b c++=. (11)它表示虚二次锥面由此可知,中心型二次曲面有且仅有六种. 5.3 在方程(II )中,令2211,A B P a P b=±=±. ① 若,A B 同号,则得22222x y z a b+=±. (12)它表示椭圆抛物面.② 若,A B 异号,则得22222x y z a b-=±. (13)它表示双曲抛物面.5.4 在方程(III )中,若0E ≠,令2211,A B E a E b=±=±. ① 若,A B 同号,且与E 异号,则得22221x y a b+=. (14) 它表示椭圆柱面.② 若,A B 同号,且与E 同号,则得22221x y a b+=-. (15) 它表示虚椭圆柱面.③ 若,A B 异号,则得22221x y a b-=±. (16)它表示双曲柱面.5.5 在方程(III )中,若0E =① 若,A B 异号,则得22220x y a b-=. (17) 它表示一对相交平面. ② 若,A B 同号,则得22220x y a b+=. (18) 它表示一对虚相交平面或z 轴.5.6 方程(IV )可以化为22x py =. (19) 它表示抛物柱面.5.7 在方程(V ) (ⅴ)中,若0R ≠① 若,A R 异号,则得220x a -=. (20) 它表示一对平行平面.② 若,A R 同号,则得220x a +=. (21) 它表示一对虚平行平面.5.8 在方程(V )中,若0R =,则得20x =. (22) 它表示一对重合平面.由上可知,非中心型二次曲面有且仅有11种.综上所述,一般二次曲面(2)经过坐标变换,总可以简化成十七种标准方程中的一种.6 二次曲面方程的化简与应用例1 化简二次曲面方程2225622666100x y z xy xz yz x y z ++--+-+-+=.解 二次曲面的矩阵为13133113115333310---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭, 1237,0,36I I I ===-,所以曲面的特征方程为327360λλ-+-=,即 (6)(3)(2)0λλλ--+=, 因此二次曲面的三特征根为6,3,2λ=-.(1) 与特征根6λ=对应的主方向::X Y Z 由方程组530,350,0X Y Z X Y Z X Y Z ---=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=⎩决定,所以对应于特征根6λ=主方向为::X Y Z =311553::511335----------=8:8:161:1:2-=-, 与它共轭的主径面为20x y z -++=.(2) 与特征根3λ=对应的主方向::X Y Z 由方程组230,320,20X Y Z X Y Z X Y Z ---=⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩决定,所以对应于特征根3λ=的主方向为::X Y Z =311223::211332----------=5:5:(5)1:(1):1--=-, 与它共轭的主径面为30x y z -+-=.(3) 与特征根2λ=-对应的主方向为::X Y Z 由方程组330,330,70.X Y Z X Y Z X Y Z --=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩决定,所以主方向为::X Y Z =311333::177111----=20:20:01:1:0=, 与它共轭的主径面为0x y +=.取这三主径面为新坐标平面作坐标变换,得变换公式为：'''x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解出,,x y z 得''''''''1,1,1,x x y z y x y z z x y ⎧=+++⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=++⎪⎩代入原方程得曲面得简化方程为'2'2'263210x y z +-+=.曲面的标准方程为'2'2'21111632x y z +-=-. 这是一个双叶双曲面.例2 化简二次曲面方程22222342246230x y z xy xz yz x y z +++++-+-+=.解 因为1237,10,0I I I ===,所以曲面的特征方程为327100λλλ-+-=,特征根为 5,2,0λ=.非零特征根5λ=所对应的主方向由方程组320,230,20X Y Z X Y Z X Y Z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩决定,所以与5λ=所对应的主方向为::1:1:1X Y Z =,与这主方向共轭的主径面为0x y z ++=.非零特征根2λ=所对应的主方向由方程组20,20,0Y Z X Z X Y Z +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩决定,所以与2λ=所对应的主方向为::1:1:(2)X Y Z =-,与这主方向共轭的主径面为22430x y z +-+=.取上面的两个主径面分别作为新坐标系''''o x y z -的'''y o z 和'''x o z 坐标面,再任意取与这两主径面都垂直的平面,比如 0x y -+=,为'''x o y 坐标面,作坐标变换,得变换公式为'''x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解出,,x y z 得''''''''1,241,41,332x y z y x y z z x y ⎧=--⎪⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=-+⎪⎪⎩代入原方程得'2'2'95204x y +++=, 所以'2'2'52040x y z +++=. 再作移轴''''''''',,40x x y y z z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩得曲面的简化方程为''2''2''520x y ++=.这是一个椭圆抛物面.7 小结二次曲面方程的化简二次曲线一样,它的关键是适当选取坐标系,如果所取的坐标系深红x ）是曲面的对称面,那么新方程里只含有这个对应坐标（例如x）的有一坐标面（例如0平平方项,曲面的方程就比较简单了,二次曲面的主径面就是它的对称面,因而选取主径面作为新坐标面,或者选取主方向为坐标轴的方向,就成为化简二次曲面方程的主要方法了.参考文献[1] 吕林根等.解析几何（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 吴大任等.解析几何引论（第二版）[M].北京:高等教育出版社,1989.[3] 朱鼎勋.空间解析几何[M].上海:上海科学技术出版社,1986.[4] 李厚源.空间解析几何[M].山东:山东科学技术出版社,1983.[5] 南开大学编写组.空间解析几何引论[M]. 北京:高等教育出版社,1989.[6] 郑文晶.解析几何[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2008.6.[7] 崔冠之.唐宗李等编,空间解析几何.北京：中央民族学院出版社.1989.11[8] 华东师范大学数学系几何教研室,解析几何习题集, 华东师范大学出版社,1982.[9] (前苏联)A.B.波格列诺夫、姚志亭译,人民教育出版社,1982.[10] 陈绍菱、傅若男,空间解析几何习题试析,北京师范大学出版社,1984.Classification and Simpification of Generalquadric surface equationLei Song(Grade 06, Class 5, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Shaanxi University of Technology, Hanzhong, 723000, Shaanxi)Tutor: Sangang GuoAbstract:This article through carries on the simplification and the classification to the generalquadric equation, simplifies five class equations and 17 standard forms. Finally introduced the generaltwo tunesKey words:Quadratic surface; Classification; Simplification; Using。

本科毕业论文题目：二次曲线的方程化简、作图及分类学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2007级5班姓名：曹振佐指导教师：李秀兰职称：教授完成日期： 2011 年 5 月 18 日二次曲线的方程化简、作图及分类摘要:本文给出二次曲线的几种化简方法,其中对合同变换法化简中心二次曲线作了一点探讨.从二次曲线的由不变量所表示的简化方程出发给出了二次曲线作图的一种新方法,从而弥补了通过计算不变量只知简化方程而无法在原坐标系下画出二次曲线图形的缺陷. 特别地我们利用了二次曲线的主直径为新坐标系作坐标变换来化简一般二次曲线的方程,从而使二次曲线的几何理论和代数理论自然地联系在一起,使得一般二次曲线的方程化简、作图以及根据二次曲线标准方程的度量分类也就比较简捷地一起完成了.关键词:坐标变换;不变量;主直径;主方向;合同交换目录1 引言 (4)2预备知识 (4)3 二次曲线的方程的化简 (5)3.1用坐标变换化简二次曲线 (5)3.1.1 化简缺少xy项的二次曲线 (5)3.1.1.1 利用坐标轴平移化简缺少xy项的二次曲线 (5)3.1.1.2 利用配方通过移轴化简缺少xy项的二次曲线 (6)3.1.2 利用转轴化简含有xy项的二次曲线 (6)3.1.3 一般二次曲线方程的化简 (7)3.1.3.1 中心曲线的化简 (7)3.1.3.2 非中心二次曲线的化简 (8)3.2通过主直径,主方向化简二次曲线 (8)3.2.1 中心曲线的化简 (9)3.2.2 无心曲线的化简 (9)3.2.3 线心曲线的化简 (10)3.3用不变量、半不变量化简二次曲线 (11)3.3.1 中心曲线的化简 (11)3.3.2 无心曲线的化简 (11)3.3.3 线心曲线的化简 (12)3.4正交变换化简二次曲线 (12)3.5合同变换法化简有心二次曲线 (13)4 二次曲线的方程的作图 (15)4.1中心二次曲线的作图方法 (15)4.2无心二次曲线的作图方法 (16)4.3线心二次曲线的作图方法 (18)5 二次曲线的方程分类 (18)5.1二次曲线的分类 (18)参考文献 (19)1 引言我们展开一般二次曲线的几何理论的研究,讨论一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径与主直径等重要概念与性质,也导出了二次曲线按不同角度的分类和作图.平面上的二次曲线的理论与空间的二次曲线的理论有着十分相识的地方.而平面的情况毕竟要比空间的情况简单得多,因此我们先对一般二次曲线的理论有了比较深入的了解后,再进一步学习空间的一般二次曲线的而理论将不会感到费力而它只是一种自然的推广.有二次曲线方程的系数构成的不变量321I I I ，，以及1K 完全可以画出二次曲线的形状大小,因此研究二次曲线的不变量也就成为解析几何的一个十分重要的中心问题.在这样的意义下,不变量也就最深刻地反映方程与曲线的关系,它也把我们对数形结合的问题提高到一个新的认识.2 预备知识在平面直角坐标系xy O -上,由二元一次方程022233231322212211=+++++a y a x a y a a x a )1(所表示的曲线,叫做二次曲线.我们讨论二次曲线的几何性质以及二次曲线方程的化简,最后对二次曲线进行分类和作图.为了方便起见,我们引进下面一些记号:33231322212211222),(a y a x a y a xy a x a y x F +++++≡ ,1312111),(a y a x a y x F ++≡ , 2322122),(a y a x a y x F ++≡ , 3323133),(a y a x a y x F ++≡ , 222122112),(y a xy a x a y x ++≡Φ , 这样我们容易验证,下面的恒等式成立),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++≡ ,)1(式也就可以写成),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++≡ . 我们把),(y x F 的系数所排成的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313232212131211a a a a a a a a a A叫做二次曲线）（1的矩阵.），（y x Φ的系数所排成的矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22121211*a a a aA 叫做），（y x Φ的矩阵.显然二次曲线)1(的矩阵A 的第一、第二与第三行（或列）的元素分别是),(),,(),,(321y x F y x F y x F 的系数.下面我们引用加个符号22111a a +=I ,221212112a a a a =I ,3323132322121312113a a a a a a a a a =I ,33232322331313111a a a a a a a a+=K .这里的1I 是矩阵*A 的主对角元素的和,2I 是矩阵*A 的行列式,3I 是矩阵A 的行列式.3 二次曲线的方程的化简 3.1 用坐标变换化简二次曲线 3.1.1 化简缺少xy 项的二次曲线3.1.1.1 利用坐标轴平移化简缺少xy 项的二次曲线方法 将坐标原点移至二次曲线的中心,在新方程中可以消去一次项.中心),(00y x 的坐标00,y x 由中心方程组⎩⎨⎧=++=++,0,0232212131211a y a x a a y a x a )2( 给出. 这样将变换公式 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,,0'0'y y y x x x 代入原方程,即可化简原二次曲线. 例1 化简二次曲线方程01162422=+--+y x y x .解 二次曲线的系数矩阵 101048181A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 因为 0440012≠==I ,所以 此曲线是中心二次曲线.由中心方程组)2(得⎩⎨⎧=-=-，084,01y x解 2,100==y x .可得 变换公式 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=，2,1''y y x x 代入原方程, 整理得 016422=-'+'y x .(椭圆) 3.1.1.2 利用配方通过移轴化简缺少xy 项的二次曲线例2 化简二次曲线方程010*********=++-+y x y x .解 将方程的左端配方,得: 036)2(9)5(422=-++-y x .令 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,2,5''y y x x可得 变换公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,2,5''y y x x 于是方程化为0369422=-'+'y x .(椭圆) 3.1.2 利用转轴化简含有xy 项的二次曲线方法 转轴化简二次曲线方程,只要是旋转适当的角度,就可使方程中的乘积项消去,而由公式12221122cot a a a -=α )3( 给出. 然后将变换公式 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,cos sin ,sin cos ''''ααααy x y y x x 代入原方程. 例3 化简二次曲线方程080609241622=+++-y x y xy x .解 这里242,9,16122211-===a a a .由)3(得 247249162cot -=--=α,257)247(12472cos 2-=-+-=α, 542257122cos 1sin =+=-=αα, 532257122cos 1cos =-=+=αα, 所以 转轴公式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-=-=),34(51cos sin ),43(51sin cos ''''''''y x y x y y x y x x αααα代入原方程,整理得'2'4x y -=.(抛物线) 3.1.3 一般二次曲线方程的化简 3.1.3.1 中心曲线的化简方法 一般采用先移轴后转轴较为简便. 例4 化简二次曲线方程021*******=+-++-y x y xy x .解 因为 0541232312≠-=--=I 即此曲线为中心曲线. 先移轴,由中心方程组得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-,0523,0523y x y x解得 ⎩⎨⎧=-=.2,200y x故移轴公式为 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,2,2''y y x x 代入原方程,整理得0132'''2'=++-y y x x . )4(对方程)4(进行转轴 1,1,23,133'22'12'11'==-==a a a a .031122cot 12'22'11'=-=-=a a a α , 即 4πα=. 故转轴公式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=),(22),(22''''''''''y x y y x x 代入方程)4( 整理得最简方程为 0125212''2''=++-y x .(双曲线) 3.1.3.2 非中心二次曲线的化简方法 一般采用先转轴后移轴进行化简 例5 化简二次曲线方程0168222=+++-y y xy x .解 因为 01111112=-=--=I , 所以此曲线是非中心曲线.先进行转轴 02112cot =-=α , 即 4πα=. 故转轴公式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=),(22),(22''''y x y y x x 代入原方程,得 01624242''2'=++-y x y . )5( 对)5(进行移轴( 实质配方),得:)23(22)2('2'-=+x y .令 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,23,2''''''x x y y 则变换公式为 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,23,2''''''x x y y 则原方程化简为 ''2''22x y =.(抛物线) 3.2 通过主直径,主方向化简二次曲线方法 一坐标轴与二次曲线主方向平行,则化简后二次曲线方程中不含xy 项.3.2.1 中心曲线的化简方法 取它唯一一对相互垂直的主直径为坐标轴建立坐标系,即原点是曲线的中心.例6 化简二次曲线方程0122422=++++-y x y xy x .解 因为 2111=+=I , 0312212≠-=--=I ,所以 此曲线是中心曲线.其特征方程为0322=--λλ,因此两特征根为11-=λ, 32=λ.由11-=λ, 32=λ分别对应的两个主方向为1:1:11=Y X ,1:1:22-=Y X . 由两主方向决定的主直径分别为02=-+y x 和0=-y x 取二主直径为新坐标系轴, 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+=,2,22''y x y y x x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=,1)(22,1)(22''''y x y y x x 代入原方程,化简得 132'2'=-y x .(双曲线)3.2.2 无心曲线的化简方法 取它的唯一的一个主直径为x 轴,过顶点垂直于主直径的直线为y 轴建立坐标系(顶点为坐标原点)例7 化简二次曲线方程0168222=+-+-x y xy x .解 这里0,4,1,1,12313221211=-==-==a a a a a .因为231322121211a a a a a a ≠= ,所以 此曲线是无心曲线. 因为 0,221==I I .其特征方程为022=-λλ,因此两特征根为0,221==λλ.对应于21=λ的非渐近主方向为1:1:11-=Y X .取主直径为 02=--y x 为新坐标系'x 轴,主直径与曲线的交点即顶点为)21,25(过顶点且以非渐近主方向11:Y X 为方向的直线方程为)25(21--=-x y 即03=-+y x .则变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-+=,22,23''y x y y x x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=,21)(22,25)(22''''y x y y x x 代入原方程,整理得 '2'22x y =.(抛物线) 3.2.3 线心曲线的化简方法 取它的中心直线为x 轴,任取垂直它的直线为y 轴,建立坐标系. 例8 化简二次曲线方程0322222=--++-y x y xy x .解 因为,231322121211a a a a a a ==所以此曲线是线心曲线. 唯一的主直径为 01=+-y x .取主直径为新系的'x 轴,取任一垂直它的直线如0=+y x 为'y 轴,这时变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=+=,21,2''y x y y x x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=--=,21)(22,21)(22''''y x y y x x 代入原方程,得22'±=y .(两条平行直线) 3.3 用不变量、半不变量化简二次曲线 3.3.1 中心曲线的化简方法 用不变量、半不变量化简中心曲线,它的最简形式为0232'22'1=++I I y x λλ 例9 化简二次曲线方程0121252522=--++y x y xy x .解 ,288,24,10321-===I I I 特征方程为024102=+-λλ.因此两特征根为.4,621==λλ可知最简形式为 024288462'2=-++y x‘. 即 1322'2'=+y x .(椭圆)3.3.2 无心曲线的化简方法 用不变量,半不变量化简无心曲线,它的最简形式为02'132'1=-±x I I y I . 例10 化简二次曲线方程048222=+-++x y xy x .解 因为 01644011411,01111,2321≠-=--====I I I . 它的最简形式为 0216222'=--±‘x y . 即 022'2'=±x y .(抛物线) 3.3.3 线心曲线的化简方法 用不变量、半不变量化简线心曲线,它的最简形式为:0112'1=+I K y I 例11 化简二次曲线方程0322222=-++++y x y xy x .解 这里,231322121211a a a a a a == 即此曲线是线心曲线. 831113111,211-=-+-==K I . 所以 它的最简形式为:02822'=-+y . 即 2'±=y .(两条平行的直线) 3.4 正交变换化简二次曲线方法 任意实二次型AX X x x ax x x f T i j i ijn ==∑∑==n1n1j 21),,( ,都可以用正交变换QY X =化为平方和2222211n n y y y f λλλ+++= . 这里),2,1(n i i =λ是A 的全部特征根.例12 化简二次曲线方程024241222=+-++y x y xy x .解 上式中所有二次项构成实二次型2212),(y xy x y x f ++=.它的系数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1661A .特征矩阵)5)(7(1661)(+-=----=A -E =λλλλλλf . 即 A 的特征根为 5,721-==λλ.当5,721-==λλ时,A 的特征向量分别为)1,1(),1,1(21-==αα单位化得)21,21(),21,21(21-==ββ.以21,ββ为列向量,作正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21212121Q , 正交变换为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=,2121,2121''''y x y y x x代入原方程,得 0857'2''=+-y y x .配方得 0516)45(572''=+--y x . 令⎪⎩⎪⎨⎧-==,45,''''''y y x x 则坐标交换为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=,5222121,5222121''''''''y x y y x x 得标准方程为516572''2''-=-y x .(双曲线)3.5 合同变换法化简有心二次曲线方法 对矩阵A 作合同变换,即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡333231232221131211321.........000000c c c c c c c c c d d d E A . 所作变换为⎪⎩⎪⎨⎧++=++=,,23'22'2113'12'11c y c x c y c y c x c x 这样)1(式就化简成0),(32'22'1=++≡d y d x d y x F例13 化简二次曲线方程021*******=+-++-y x y xy x .解 系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=215551235231A . 因为451232312-=--=I ,所以 此曲线为中心曲线.10510031001555552500004242341555200152104225521333121001015222010012010010001001001001A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥. 这样经变换⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,2,223'''y y y x x 使原方程化为 01452'2'=+-y x .(双曲线) 检验 把变换⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,2,223'''y y y x x 代入原方程,并整理得01452'2'=+-y x . 经检验,此方法对中心曲线是成立的. 4 二次曲线的方程的作图 4.1 中心二次曲线的作图方法对中心二次曲线0),(:=y x F C 利用不变量可将其简化方程表为0232'22'1=++I I y x λλ. )6( 其中21,λλ是曲线C 的两特征根,且'',y x 轴分别沿1λ和2λ对应的主方向.因此x '轴关于原坐标系中x 轴的倾角α满足2212112111tan a a a a X Y -=-==λλα. 可见要从中心二次曲线C 的简化方程)6(作出其图形,只需以过C 的中心),(00'y x O 且与原坐标系中x 轴的倾角为α直线作为'x 轴,建立直角坐标系'''y x O -,然后在该坐标系下作出)6(所表示的曲线即可.例14 求二次曲线042226565:22=-+-+-y x y xy x C 的简化方程,并作出其图形.解 因为 不变量128,16,10321-===I I I . 所以解特征方程 016102=+-λλ. 即得曲线C 的两特征根,8,221==λλ且由823-=I I .得曲线的简化方程为 08822'2'=-+y x .即 142'2'=+y x (椭圆)另外通过解中心方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--,0253,02335y x y x 可得曲线的中心 )241,243('O . 过'O 作与x 轴的倾角41arctan πα==的直线 22--y x ,并以此作为'x 轴建立直角坐标系'''y x O -,且在该坐标系下作出方程142'2'=+y x (椭圆)所表示的曲线,如图1所示.4.2 对无心二次曲线0),(:C =y x F ,由于2211,a a 同号,不妨设它们均非负.利用不变量可将其简化方程为012'1312'=-±x I I I y 其中±号可任选, 这里不妨取-号, 即简化方程为 012'1312'=--x I I I y )7( 不难验证新坐标系的'x 轴是该二次曲线的对称轴(主直径),原点O '是曲线的顶点(主直径与曲线的交点).对任意点P ,若设其在旧、新坐标系的坐标为),(y x 和),(''y x ,则数),(y x F 与012'1312'=-±x I I I y 至多差一个正数倍,所以若主直径上某一点)0,(x P （或),0(y P ）的坐标使0)0,(<x F （或0),0(<y F ）则向量P O '便指向'x 轴的正向（因'x 轴正向上的点)0,(x P 使'1312'12x I I I y -±为负), 否则,便指向'x 轴的负向.可见要从简化方程)7(画出无心二次曲线0),(:C =y x F 的图形,只需先求出曲线的主直径和顶点),(00'y x O ,并选取主直径上一点)0,(x P （或),0(y P ）若0)0,(<x F （或0),0(<y F ）,则以O '作为原点,以向量P O '的正向作为'x 轴正向建立直角坐标系'''y x O -;若0)0,(>x F （或0),0(>y F ）则以O '作为原点,以向量O P '的正向作为'x 轴正向建立直角坐标系'''y x O -,并在该坐标系下作出方程)7(所表示的曲线即可.例15 求二次曲线0256102:22=+--+-y x y xy x C 的简化方程,并作出其图形. 解 对所给二次曲线0),(:=y x F C 由于231322121211a a a a a a ≠=. 所以 曲线是无心的.因为 曲线的不变量6402321-===I I I ，，,所以曲线的简化方程为 024'2'=-x y . )8(又曲线的主直径为01=--y x ,顶点为)1,2('O .取主直径上一点)0,1(P ,由于0)0,1(>F ,所以只需以'O 作为原点,以向量O P '的正向作为'x 轴正向建立直角坐标系'''y x O -并在该坐标系下作出方程)8(所表示的曲线即可,如图2所示.4.3 线心二次曲线的作图方法对线心二次曲线0),(:C =y x F 利用不变量可将其简化方程表为02112'=+I K y . （9）不难验证新坐标系的'x 轴是该二次曲线的对称轴（主直径）,所以若曲线的不变量01=K ,则要作出曲线的图形,只需作出主直径即可;若01<K ,只需作出与主直径0131211=++a y a x a 平行的二直线012211211131211=+-±++a a I K a y a x a 即可.例16 求二次曲线03222:22=--++-y x y xy x C 的简化方程,并作出其图形. 解 对所给二次曲线0),(:=y x F C 由于231322121211a a a a a a ==. 所以曲线是线心的.因为二次曲线的不变量802321-===I I I ，，,又曲线的主直径为01=+-y x ,所以只需在原坐标系下作出直线021=±+-y x ,即为要作的曲线的图形,如图3所示.5 5.1 二次曲线的分类通过适当地选取坐标系,二次曲线的方程总可以写成下面九中标准方程的一种形式:[1]12222=+by a x (椭圆)；[2]12222-=+by a x (虚椭圆)；[3]12222=-by a x (双曲线)；[4]02222=+b y a x (点或称两相交于实点的共轭虚直线)；[5]02222=-by a x (两相交直线)；[6]px y 22=(抛物线)； [7]22a y =(两条平行直线)； [8]22a y -=(两平行共轭虚直线)； [9]02=y (两重合直线)；参考文献:[1]吕林根,许子道.解析几何[M].第4版.北京:高等教育出版社,2006.[2]甘浪舟.利用不变量化简二次曲线方程的作图问题[J].安庆师范学院学报,2004,10(2):45-47.[3]吕林根.解析几何学习指导书[M]北京:高等教育出版社,2006.[4]廖民勋.二次曲线方程的化简及作图[J].广西师院学报(自然科学版),1997,14(2):76-81. [5]傅朝金.中心二次曲线化简的一种新方法及推广[J].湖北师范学院学报(自然科学版),2001,21(2):72-74.[6]苏婷.二次曲线方程化简[J].陕西师范大学继续教育学报,2006(23):247-249. [7]林梦雷.二次曲线方程的化简[J].漳州师范学院学报,1999,12(1):22-26.[8]席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法[J].许昌师专学报,2001,20(20):6 -13. [9]Wen K T.Ways for the simplification of the Binary Curve Equation[J].Journal of Bijie Teachers College,1995,(2):66-71.[10] Qu J,Xi F Y.The simplification of the Binary Curve Equation by ParameterFunctions[J].High School Mathematics Teaching,1994,24-25.Second Curve Equation ReductionMapping And ClassificationAbstract:In this paper, we give the conic simplified methods, including several for contract transformation method for simplified center a bit conic are discussed . From the conic by not variable simplified equation said conic mapping is given a new method . Offsetting the knows only through calculating invariant simplified equation and can't in the original coordinate draw the second curve graphics defects. Specifically we use the quadratic curves for the new coordinate the Lord made diameter of coordinate transformation to the simplified general quadric curve equation. Thus the geometry of the conic theory and algebra theory naturally relates in together, generally makes the second curve equation according to the simplified, mapping and the metric standard equationconic classification also is briefly finish together.Key Words: Coordinate transformation; invarient; Lord diameter; Main directions; Contract exchange本科毕业论文题目：逼近法的相关研究学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2007级5班姓名：晁燕萍指导教师：许芝卉职称：副教授完成日期： 2011 年 5 月 20 日逼近法的相关研究摘要：逼近法是在各个学科中应用极广泛的分析论证方法,本文就逼近法中最重要的几种方法加以论述,即二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法,主要结合实例,介绍其分析论证的思想与方法.逼近法的应用和用法是非常广泛而多样的,最简明直观的是二分逼近法,它和实数连续性的配合运用,是分析论证微积分学中许多重要定理和基础问题的有力工具.逐次逼近法在各学科中也有广泛应用,本文就泛函分析中不动点的有关知识加以说明,此外,介绍了逐步逼近法在微分方程及其初等数论中的重要应用.关键词：逼近; 二分逼近; 逐次逼近; 逐步逼近目录1引言 (1)2二分逼近法 (1)1.2二分逼近法的典型证明方式 (1)2.2二分逼近法在数学分析中的应用 (2)3逐次逼近法以及在泛函分析中的应用 (3)4逐步逼近法 (5)1.4逐步逼近法在微分方程中的应用 (5)2.4一次同余式组的逐步逼近解法 (9)1.2.4用剩余定理求解的方法 (9)2.2.4逐步逼近法 (10)3.2.4两种解法计算量的比较 (12)参考文献 (13)1 引言逼近法是数学分析中贯穿全局的基本方法,它遵循着这样一个简朴实用的原则,以简御繁,以“已知”去研讨“未知”.作为一个分析论证方法,它是这个原则的具体化、数量化.譬如,任一个无理数,都可用有理数去无限逼近它,使误差可以到任意小.又如,数列{}n a 以A 为极限,其意即为用n a a a ,,,21 去逐步逼近常数A.再如,从几何上看定积分,曲边梯形的面积是通过一系列阶梯形逼近计算而得到的.可见,数学的研讨分析中普遍地渗透着逼近法的思想.不只如此,在泛函分析、微分方程和初等数论中也有非常广泛的应用, .以下主要就二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法在不同学科中的应用加以论述.2 二分逼近法1.2 二分逼近法的典型证明方式二分逼近法在定理或问题分析论证中的思想是：欲找一个具有某一性质p 的实数,则可以从一个具有相应性质*P 的闭区间出发,逐次二等分,得到一个始终保持*P 的闭区间列,以这些闭区间的两个端点值分别形成左右两个夹逼数列,将具有性质p 的实数“夹逼”出来,而实数的连续性则确保了此数的存在,使这种逼近不至于“逼”空.现将二分逼近法典型证明方式说明于下1）确定一个闭区间使其具有某一性质*P .(*P 由性质p 决定)2）逐次二等分得到闭区间列[]{}m m B A ,,则所有的闭区间都具有性质*P ,且1221B B B A A A m m ≤≤≤≤≤≤≤≤(亦可写成：[][][][] ⊃⊃⊃⊃⊃m m B A B A B A B A ,,,,332211) 从而得到左右夹逼数列{}m A 与{}m B 满足：()021l i m l i m =-=-∞→∞→m m m m m m m A B A B 3）由实数的连续性得到实数k ,属于所有的闭区间,使k 满足：()i 具有性质p .这是由于k 属于所有的闭区间,被{}m A 与{}m B 左右夹逼,不妨形象的表示为：m m B k A ←→ ∞→m因而, k 的任意小的邻域内()εε+-k k ,都包含[]m m B A ,（m 足够大）,于是()εε+-k k ,具有*P ,故k 具有性质p .()ii k 是唯一的.事实上,若k 不唯一,设k k '≠,且满足m m B k A ←→,m m B k A ←'→,则对任何m , m m A k B k >'<,,得到m m A B k k -≤'-,而()0lim =-∞→m m m A B ,故k k '=,即k 唯一.2.2 二分逼近法在数学分析中的应用例1 设在[]b a ,上连续的单调递增函数()x f 满足:b b f a a f <>)(,)(,则存在),(b a c ∈,使()c c f =.证明 令11,B b A a ==,将[]11,B A 二等分,分点为211B A +, 若221111B A B A f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则命题结论成立. 若221111B A B A f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则取[]22111,,2B A B B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+, 若221111B A B A f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则取[]22111,2,B A B A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+. 逐次二等分区间,一般的对于区间[]m m B A ,,若22m m m m B A B A f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则命题结论成立; 否则,若22m m m m B A B A f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则取[]11,,2++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+m m m m m B A B B A , 若22m m m m B A B A f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则取[]11,2,++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+m m m m m B A B A A . 从而得到两个夹逼数列{}m A 与{}m B 满足：()i1221B B B A A A m m ≤≤≤≤≤≤≤≤且 ()0l i m=-∞→m m m A B()ii ()()m m m m B B f A A f <>,于是可知存在实数c ,使()∞→←→m B c A m m ,由于()x f 单增,所以()()()m m B f c f A f ≤≤,即:()()()m m m m B B f c f A f A <≤≤< 令()c c f m =∞→,上述证明中,所求的数c 具有的性质p :()c c f =,而构造的闭区间[]{}m m B A ,具有性 质*P ,则确定为()()m m m m B B f A A f <>,,从而得到夹逼数列{},m A {}m B 将c “逼出”.在不同问题的论证中性质p 与相应的*P 是具体的,在不同的情况下,必须紧扣实 际加以明确,这是正确应用二分逼近法成功论证的关键.二分逼近法是微积分学中许多基本定理证明的重要工具,是逼近法的最简明的形式之一,然而,逼近法的应用却更为广泛,在泛函分析,微分方程等数学分支中也都是一种有效的论证方法.下面通过介绍另一种逼近法来进一步体会这种方法的思想.3 逐次逼近法以及在泛函分析中的应用逐次逼近法,是从一个粗糙的近似解出发,使用某个固定公式逐次加工,使之逐步精确化以得到满足精度要求的近似解.例2 在完备度量空间中,压缩映射必有唯一不动点.证明 设()d X X ,=是完备的度量空间,T ：X →X 是压缩映射, 即对于任意X y x ∈,,不等式()()y x d Ty Tx d ,,θ≤成立,其中θ是满足不等式10<≤θ的常数.先证映射T 有不动点.构造X 中的序列{}n x .任取X x ∈0,并令()010201201,,,x T Tx x x T Tx T Tx x Tx x n n n =======- () 2,1=n , 我们证明{}n x 是X 中的基本点列,事实上,()()()()00101021,,,,Tx x d x x d Tx Tx d x x d θθ=≤=()()()()0022112132,,,,Tx x d x x d Tx Tx d x x d θθ≤≤=……… 一般地,可以证明()()001,,Tx x d x x d n n n θ≤+ () ,3,2,1=n于是,对自然数n 与k n +,由广义三角不等式得()()()()n n k n k n k n k n n k n x x d x x d x x d x x d ,,,,1211+-+-+-++++++≤()()0021,Tx x d n k n k n θθθ+++≤-+-+()00,1Tx x d kn n θθθ--=+ ()00,1Tx x d nθθ-≤对任何给定的0>ε,只有n 充分大,则()εθθ<-01,1x x d n因而{}n x 是柯西序列.又因X 是完备的,柯西序列{}n x 是收敛的, 即存在X x ∈,使x x n n =∞→lim ,再由于T 是压缩映射,必为连续映射, 于是.在n n Tx x =+1中,令∞→n ,得到x x T =即x 是不动点.再证唯一性.若x 不唯一,设不动点x x ≠',则x x T '=', 于是存在10<≤θ使()()()x x d x T x T d x x d '='=',,,θ则必有()0,='x x d ,故x x '=,则T 有唯一的不动点.上述证明中,为找出不动点,我们利用压缩映射在完备空间中构造了一个柯西序列去逼近极限点,并证明极限点即为不动点,从而完成了将不动点“逼出”的过程.4 逐步逼近法逐步逼近法也是逼近法中较为重要的一种论证方法,在各学科中都有广泛的应用.诸如在论证常微分方程解的存在唯一性定理、二项分布的一种新的计算方法、以及在初等数论中关于一次同余式组的解法都起到非常重要的作用.此外,逐步逼近法在破解技术难题------袁隆平科技创新方面起到了举足轻重的作用.1.4 逐步逼近法在微分方程中的应用在微分方程研究中,对于一阶或高阶的,显或隐的方程组的等各类方程,能求得精确解得并不多,因而方程的近似解又十分重要的实际意义的,而解的存在和唯一则是求近似解的前提和理论基础,且论证方法还提供了如何求近似解的途径.我们不妨以一阶微分方程解的存在唯一性定理的证明再次体会逼近法的思想.由于定理证明过程较长,我们以突出逼近法思想为重点来简叙其过程. 1） 现在先简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想. 首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程()dx y x f y y xx ⎰+=0,0的连续解,再证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个连续函数()x 0ϕ代入上面积分方程右端的y ,就得到函数()()()dx x x f y x xx ⎰+=0001,ϕϕ显然()x 1ϕ也是连续函数,如果()x 1ϕ=()x 0ϕ,那么()x 0ϕ就是积分方程的解,否则,我们又把()x 1ϕ代入积分方程右端的y ,得到()()()dx x x f y x xx ⎰+=0102,ϕϕ如果()x 2ϕ=()x 1ϕ,那么()x 1ϕ就是积分方程的解,否则,我们继续这个步骤,一般地,作函数()()()dx x x f y x xx n n ⎰-+=010,ϕϕ ()1这样就得到连续函数序列()()() ,,,,10x x x n ϕϕϕ如果()()x x n n ϕϕ=+1,那么()x n ϕ就是积分方程的解.如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数()x ϕ,即()()x x n n ϕϕ=∞→lim存在,因而对()1式取极限时,就得到()()()dx x x f y x xx n n n n ⎰-∞→∞→+=010,lim lim ϕϕ()()dx x x f y xx n n ⎰-∞→+=010,lim ϕ()()dx x x f y xx ⎰+=0,0ϕ,即()()()dx x x f y x xx⎰+=0,0ϕϕ,这就是说,()x ϕ是积分方程的解.这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法.2）一阶微分方程解的存在唯一性定理：设()b a f ,在R 上连续且满足利普希茨条件,则方程()y x f dxdy,= ()1 存在唯一解()x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件()00y x =ϕ ()2这里()()y a f M Mba h Ry x ,max ,,min ,∈=⎪⎭⎫⎝⎛=证明 在区间h x x ≤-0上构造一个连续的函数序列(){}x n ϕ 以()x 0ϕ代入方程()1得 ()()x x f dxdy0,ϕ= ()3 则()()()dx x x f y x xx ⎰+=0001,ϕϕ是()3的且满足条件()2的解 再以()x 1ϕ代入方程()1得()()x x f dxdy1,ϕ= ()4则()()()dx x x f y x xx ⎰+=0102,ϕϕ是()4的且满足条件()2的解 一般地,继续这一步骤得到()()()dx x x f y x xx n n ⎰-+=010,ϕϕ是方程()()x x f dxdyn 1,-=ϕ 的且满足条件()2的解,从而得到函数序列(){}x n ϕ,可以证明该序列存在极限函数()x ϕ,从而有：()()()dx x x f y x xx ⎰+=0,0ϕϕ是()1的且满足条件()2的解.虽然我们对定理证明只给给予一个简单的叙述,但还是可以体会出逼近法思想在证明中所发挥的关键作用,然而逼近法的作用不仅仅是证明,它还提供了求近似解的途径.以下通过几个实例来体会逼近法在近似计算中的应用.例3 用皮卡逼近法求微分方程1=dxdy过点()1,1的解. 解 这里()1,1,1,00===y x y x f()()()⎰⎰+=+=-xx x n n d d f y x 11011,0ςςςϕςϕ ()1(),10=x ϕ代入()1 可得()x x =1ϕ()()x x 01ϕϕ≠,把()x 1ϕ代入()1可得 ()x x =2ϕ,故()()x x 12ϕϕ=,由逐步逼近法 ()x x =1ϕ是微分方程1=dxdy,过点()1,1的解. 例4 用皮卡逼近法求微分方程y dxdy=过点()1,0的解 解 这里()1,0,,00===y x y y x f()()()()⎰⎰--+=+=xn x x n n d d f y x 01101,0ςςϕςςϕςϕ ()1(),10=x ϕ代入()1 可得()x d x x+=+=⎰1101ςϕ()1!21)1(1202++=++=⎰x x d x xςςϕ()1!21!31)1!21(123203+++=+++=⎰x x x d x x ςςςϕ……由数学归纳法可得：()().1!11!11!11+++-+=-x x n x n x n n n ϕ显然()()x x n n ϕϕ≠+1 () ,3,2,1=n∑∞=0!n n n x 的n 项部分和函数为()x nϕ,可得幂级数∑∞=0!n n n x 的和函数是xe 在()+∞∞-,上 ()xn n e x =∴∞→ϕlim ()+∞<<∞-x由逐步逼近法有x e y = 是微分方程y dxdy=,过点()1,0的解. 例5 对于无法用初等积分法求通解的黎卡提方程22y x dxdy+=,我们可用逼近法求出满足初始条件()000=ϕ的近似解.解 ()00=x ϕ()()()33202021x dx x dx x x x xx==+=⎰⎰ϕϕ()()633)9()(730622122x x dx x x dx x x x xx+=+=+=⎰⎰ϕϕ ()()dxx x x x dx x x x xx⎰⎰+++=+=01410622223)396918929()(ϕϕ5953520792633151173x x x x +++=随着求解次数的增加,近似解()x n ϕ与真正解将越来越接近,因此在允许误差范围内可求出令人满意的解.上面我们结合不同数学分支中的实例,来体会逼近法的思想,尽管构造逼近序列的元素与方法各不相同,但其指导思想却是共同的,那就是用“已知的”、“简”的序列去逼近“未知的”“繁”的,从而达到我们的认识目的.正确领会逼近的思想,提高以逼近思想为指导的分析论证能力,将有助于我们深化对数学知识的认识,也将有助于我们提高数学分析运用能力和解决问题的能力.2.4 一次同余式组的逐步逼近解法用剩余定理求解一次同余式组是一种传统的方法,其缺点是兼容性差,计算量大.笔者将工程实践中的逐步逼近法引入传统的代数理论中,从而使一次同余式组的求解过程的兼容性大大增强,即一次同余式组增加几个条件时只需增加少量计算,而不必像对待一个新问题那样从头算起.设k m m m ,,,21 为两两互质的正整数,k b b b ,,,21 为整数.即求一次同余式组 1b x ≡ ()1mod m2b x ≡ ()2m o d m ()1k b x ≡ ()k mm o d的通解.它的最小正整数解,定义为一次同余式组()1的解.1.2.4 用剩余定理求解的方法令()k j m M M m M j j ki j ,2,1,1===∏=由于k m m m ,,,21 两两互质,故j M 与j m 也互质,故存在2个正整数j n 和()k j N j ,,2,1 =,满足1=+j j j j N M n m ()2 故j j j j j j j n m b b N M b -=从而有()∑∑∑+=-==+-+=kj i iiij j j jj i iiik i iiiNM b n m b bN M b N M b 1111于是j ki iiib NM b ≡∑=1()j m m o d对于任意整数l 有∏∑==+=ki i ki i i i m l N M b x 11()3此为式()1的通解.若∑==ki i i i N M b x 1()M m o d 为通解中的最小正整数解则为式()1的解,若同余式组()1增加了第1+k 个式子,则上述计算过程都需要重复计算,计算量较大.2.2.4 逐步逼近法)1 逐步逼近解法的构思设想一次同余式组i b x ≡ )(m o d i mk i ,,2,1 = 为k 个条件,称i b x ≡ ()i m m o d 为第i 个条件. 显然,对于任意整数1l ,111m l b x += ()4 满足第1个条件1b x ≡ )(m o d 1m逐步逼近法的构思是,选择适当的整数1l ,使式()4在满足第1个条件的同时满足第2个条件.如果存在一个整数1l 使式()4同时满足第1,第2个条件,则进一步假设211111m m l m l b x ++= ()5 对于任意整数2l ,显然式()5同时满足第1,第2个条件,只要适当选择整数2l ,使之再满足第3个条件,……,如此一步一步逼近,直至选择适当121,,,-k l l l ,使∏-=-++++=111212111k i i k m l m m l m l b x ()6满足所有k 个条件,则通解为∏∏=-=-+++++=ki ik i i k m l m l m m l m l b x 1111212111式中l 为任意整数.是()6如果为最小整数解,则为解.)2 逐步逼近解法的理论证明。

2015届本科毕业论文（设计）论文题目：二次曲线方程的化简与分类学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-1班学生姓名：努尔麦麦提.艾则孜指导教师：候传燕老师答辩日期：2015年5月6日新疆师范大学教务处目录摘要 ..............................................................................................................................1 1前言 ...........................................................................................................................3 2二次曲线方程的化简与分类 .. (4)2.1方程的化简 (4)2 .1.1 中心曲线方程的化简.... . (4)2 .1.2 无心曲线方程的化简 (4)2 .1.3 线心曲线方程的化简 (5)2.2 二次曲线的分类 (6)2 .2 .1 二次曲线方程的不变量 (7)2 .2 .2用不变量确定二次曲线的标准方程 (10)2 .2 .3用配方法化简二次曲线方程 (11)3总结......................................................................................................................... 16 4参考文献. (17)致谢 (18)二次曲线方程的化简与分类摘要：本文基本研究了二次方程化简和分类的多种方法：坐标变换法；不变量法；配方法等.并在此基础归纳总结出两种新的简便的方法，即不变量法和配方法详细介绍了二次曲线化简具体方法与步骤.关键词：二次曲线；标准方程；不变量；参数法；配方法；The two curve equation simplification and classificationAbstract：This paper studies the method of two kinds of equation simplification and classification: the method of coordinate transformation; invariant method; factorization method. And on the basis of summarizing two new simple method, namely the method and parameter method, described in detail the specific methods and steps two times curve simplification.Key words：Two standard cur ve; equation; invariant method;parametermethod;1前言二次曲线方程的化简与分类既是大学空间解析几何研究的重要内容之一，又是对中学二次曲线内容的教学有极大的作用。

应用不变量简化二次曲面的方程一f删No,:9|西北轻工业学院Dec.1995 JOURNALOFNORTHWESTINSTITUTEOFLIGHTR4DUSTRYV o1.13 应用不变量简化二次曲面的方程张慧(敦学教研室)摘要末文研究了R’空间(欧氏空间)二次曲面在坐标变换下的不变量.应用不变量简化了R空间二次.盐面的一般方程.谈法简单,出结果快,容易掌握. 关键词:三连堕鱼;丕童量;垩皇兰;堑堑翌参;特征根中圈法分类号:O182.11前言应用不变量来简化二次曲面的方程在三维空间已经有了—套完整的理论.而四维以上空间都是抽象空间,那套理论是否还适用就有待于进一步研究.本文利用线性代数理论研究了R’空间二次曲面在坐标变换下的不变量,并利用这些不变量将二次曲面的—般方程化成标准形.2二次曲面在坐{岳}变换下的不变量与半不变量这里的坐标变换指的是广义的平移+旋转.在R空间,二次曲面的—般方程是:口】】}+】12+2a1ts+2d】1.+2aI】+船l+嚣2a+2az?+2a22+口ai+2a”￡.+2as+口.{+.+a=0(1)其中a,,J=l,2,3.4,5是实数.引进一些记号:0l,z2,z3,’)三a】li+2a11z:-t-2aII￡3-t-2a1】.+2a15z】+≈￡l+2d22z5+2a:..+2a25z2+as3i+2a”3.+2a3s+a|.z}2a4’+口昨10I’2,¨?)三1l+口】:+1s+14+d】5收稿日期,1g95—08一l.第d期张慧;应用不变量简化二伏曲面的方程?93? F20l,02,3,’)三dll+.22+.嚣I+.24+d25F3l,2,I,’)兰Ⅱl+.22+.”I+a34:r4+d惦F’l,2,03,4)三nll+.2z+a34Z$+d”4+d.5F50I’2,.a,￡4)兰n1l+a25xz+a~zs+a45x+.B50l,￡2,3,￡’)兰dll}+ll2+l!Z3+ll~+anzi+2s3+22￡’+d3a￡;+34+d_id1ldl2dI3d】2d22d2315d∞n”d1’d”d34:A=dlldl2d15dl’dm5dI2d22d2ad24d25al3d豁口”d3_d35_d2’ad”d45【.’..”【...a.a55f表示Ial的所有m阶主子式之和,m一1,2,3,4即f1=dl】+.匏+.33+a4413z++K5=dlldI2dI3dl1d12d1.dI2d黯d荔口l2d拦dd2ad3IdI4d2d●’d1lⅡl2dt5 d12ad15da$5d22d嚣d25 d2sd33d35 d25d35dfi$ d1ld”dI5d1zd跎拈013%dnld35++++4d筠d55d拄d笛d2’dl1dIIdI4dndaI“dl3d3ada4d2’da_ d”dI_dsd”dIl13”l5 dI3d3,ddI5da5d晒d2zd2●d25 d2’d”d拍d25d45a55 +++d22d鹞a24 d23d黯a”d”d|’a”dz6d35a’5 dIldI’dlEa拍a3Id3sd25d35d45d$fidI_dd3’a44dI5d15d|5d55d35d5d55口嚣口口+口口L’口口+ n”¨¨口口口口un罅”口口口口吐”口口口a ll2Z口口口口11+如口口口口+v’r口口;穹口口+Ⅱ●口口dll卜;■】5d口口==,?94?西北轻工业学院第l3卷先证明在移轴下,+口1]4l24H口l6口4224244z54l4424口”口4l54口45 口+口ll 口】3 4lt4l5 口】3 口”4”43’口】’4s’4”4”口15 435 4’4陆rz,f3,f?,不变,而K,K,K—般是要改变的】=Yl-+-口2+b3-+-cY?+d其中a,b,c,d为实常数将F(-’I2)写成矩阵形式0l,z,s,?)一0】:3.1)A故F(l+4,+6,3+c,y4+)(】+口2+63+cy.+d1)=(ly03’0)+(ly:3’0)Y1s1l+Y2+6Y3+.y?+d1+bcd1)+(4cd1)口1]4】2口13口¨】(口,b,c,) 4】2a22口232,6,c,d)4】s器33s’F3(4,b,c,d)aH4z4¨Ⅱ44F’(4,b,c,d)F】23.(目,b,c,d)l2aY?1lz3?ljSJl(2)(3)(4)其中F一F.0,bd)m一1,2,3,4可见通过移轴(2),二次曲面的方程二次项系数不变,丽f,f,f,,只与二次项系数有0口6C1第4期张慧:应用不变量简化=歇曲面的方程?95?关,所以移轴后有,一,m=l,2,3,4口11Ⅱ】2Ⅱ222ⅡL323Ⅱt’Ⅱz’tF2口】3口”口25口2’Ⅱ33Ⅱ3IⅡ”Ⅱ44F3F.61L口十口】十Ⅱ1sc++ⅡI6Ⅱt2a十口226+23c+Ⅱ+嚣Ⅱt十z36+33C十3十35口1+a24b+3’c十口.+’5(口,b,c,d)ⅡI3口】4口15口23Ⅱ2●口2.5口53Ⅱ”Ⅱ35Ⅱ”Ⅱ4’口46aIF5(口,b,c,d)即移轴后Js也不变.通过移轴还知二次曲面方程一次项的系数一般要改变,而,,.都与一次项系数有关,所以K,K,K—般是要改变的.由(4)知,只要适当选取a扣,c,,方可消去方程(4)中的一次项.事实上,令只要该方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等,(这里不讨论两秩不相等的情况),方程组有解,可选其中一组作为(,6).此时方程化为dt1{+2aI2l2+2aI蚶】3十2aI’II十口啦f;+哪r23十z’+口33;+砖.十j+z2,3,)=(j231)口口j23‘lO口一():)=(叩.)一因为p-L’P与’相似,根据定理:相似矩阵有相同的特征多项式从而有相同的特征根,知P』4.P与’有相同的特征多项式和特征根.l一l=一,j十,z一,3+,I加一PAP;=一』十,一,十,辑1aI1:l1i2一i2l3一I3,t.一I|,5一{口』4口l—l0llAli口l—l口～llll口l={』4}:可见,在转轴下,|,,,』3,一,,s都不变.不g两个四次多项式对应系数应相等.计算这些系数便可得=,:z,一,这表明在转轴下,,都不变第4期张慧应用不变量简化二狄曲面的方程?97?我们称,,,,,,j,』为上述变换下的不变量,称K,Kz,K,为上述变换下的半不变量.3二次曲面的分类二次曲面(1)通过坐标变换可以化为下面三种类型(I)1i+口{+口;+口?i+口,55=001口≠0) (I)口l{+口l+口-…22a?=001口5≠0) (Ⅲ)其它,(由于篇幅限制,不予讨论) 4应用不变量简i~-T-次曲面的方程(1)对于(I),因为,=口lld22口弛d44=口11a口a口?≠0所以原方程,.≠0.由此可得:当二次曲面(1)的14≠0时,方程可化为(1).此时,,1=,=口1+口+口+口44』2=,一1口,J-口3+口口?+口1口+口1d+口4,3=,一口l口+口口3d’+口】口3口44+口la?二次曲面(1)的特征方程是:一I1+I2好一f+ll=0将(7),(8),(9)代E方程解得一口ll=口,=口,=‘因为』5=,=口1口44U=,=,所以口55=15/l于是(,)可写成:,.…+i+;十{+=0‘‘其中,,,丑为二次曲面(1)的四个特征根.(2)对于(I),因为,.=,5口100000口00000口000000口,.50000=一口5d1口一艘,33≠0(7)(8)(9)0≠11,”●叫和4,13411?98?西北轻工业学院第l3卷所以原的.=0,,,≠0,,≠0.由此可得,当二次曲面(1)的,.一0,,.≠0,,s≠0时,方程可化为(Ⅱ).此时,J一,=d+d+d,2=,:d】d+d0+d1d13:,:口】d2d二次曲面(1)的特征方程是:一0l+2+d)+(d1”+d2d3+d1d3)一d】d2Ⅱ3=0一d】,:d,A=a,丑=0因为,5一,:一dld=--13as所以n一土于是(I)可写成:1+2十3+2z’一1—0化成标准形式.解二次曲面的矩阵与(r,z,rs,z)的矩阵分别是: 0ll—l1l0一ll11——1011——111011lll1—3≠O01l—l—l11—1一ll0l10+II+II+II+I:I一一sr,V0—0l1.十卜010+0ll=第d期张慧:应用不变量简化二次曲面的方程?9g? 0一l11l0+—045.}=315}【1』1【0j卜【_l口t9O—ll0ll400O5=l0336O005—2l3O360一一,V?1O0?西北轻工业学院第l3卷参考文献1江苏师范学院数学系编.解析几何.北京:高等教育出版社,19952北京大学数学力学系代数小组编.高等代数.北京:人民教育出版社,19783高立芳.东北电力学院,1993,2 APPLICATIONOFFIXEDQUANTITIESTOTRANSFORM QUADRATICSURFACEEQUATIONSINT0 STANDARDEQUATIONSABs1’RACJInthispaper.thefixedquantitesofquadiaticsurfaceinfour—dimensionalspace asllldie0underthecoordinatetrantformationApplicationoffixedquantitiestotr ans—frIT1.lJadraticsHrfaceequationsintostandardequations-Theexpressiongive nissimpleaadacceptable.Keywords:quadralicsurface;fixedquantity{orthogonaltransfor--mation;cha ract.,tiemljltinomia1.,characteristlevalue。

二次曲线方程的化简及应用作 者：。

0 引言二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是《解析几何》课程教学的一个难点.文献[1]给出的化简方法（坐标变换法和不变量法）各有优缺点，具有一定的局限性.为此，文献[2-4]利用参数法将坐标变换和主直径有机地结合起来，给出方程化简第一种较简便的方法；文献[5]和文献[6]从坐标变换下二次曲线方程系数变化规律入手，给出了第二种新的化简方法；文献[7]借助多项式可约性及因式分解给出第三种化简方法；文献[8]和文献[9]分别利用矩阵理论及六元非线性方程给出了另外两种化简方法.但文献给出的化简方法均未涉及到方法之间的内在联系.本文归纳总结了二次曲线方程的一般化简方法，进一步探讨了坐标变换法和不变量法的内在联系，在文献[2]的基础上通过进一步论证，又得到了三个新的定理，并借助实例，探究了这种方法在问题过程中的具体应用. 1 预备知识 1.1 定义[]1定义1 在平面上,由二次方程()22111222132333,2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= （*）所表示的曲线,叫做二次曲线[]1.定义2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线[]1.定义 3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换[]1.定义4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,它的函数值不变,就称这个函数是该曲线的一个正交不变量,简称不变量.定义5 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径. 1.2 直角坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律 1.2.1 移轴对二次曲线方程系数的影响规律[]1二次曲线方程（*）在移轴公式'0'0x x x y y y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩下,其中(,)x y 表示平面内一点P 的旧坐标,(,)x y ''表示P 点的新坐标, (,)x y ''表示新坐标系的原点在旧坐标系下的坐标,二次曲线方程系数分别为:'''111112122222'1311012013100'2312022023200'3300,,(,)(,)(,)a a a a a a a a x a y a F x y a a x a y a F x y a F x y ====++==++==由此可知系数变化规律为： 1）二次项系数不变；2）一次项系数变为),(22001'13y x F a =,),(22002'23y x F a =；3) 常数项变为),(00'33y x F a =. 根据上述规律，通过计算可以得到：'1'22'1122111I a a a a I =+=+=，'22'12'22'112122211221212112I a a a a a a a a a a I =-=-==,33323132322121312113I a a a a a a a a a I '==.1.2.2 转轴对二次曲线方程系数的影响规律[]1二次曲线方程(*)在转轴公式''''cos sin sin cos x x y y x y αααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩下,其中, α为坐标轴的旋转角. 二次曲线方程系数分别为：33'332313'232313'1322212211'22121122'1222212211'11cos sin sin cos cos 2sin sin 2cos 2sin )(21sin 2sin cos a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-=+=+-=+-=++=αααααααααααα由此可知系数变化规律为：1）二次项系数的变化仅与原方程的二次项系数和转角有关；2）一次项系数的变化仅与原方程的一次项系数和转角有关，特别是，当原方程无一次项时，转轴后也无一次项；二次曲线方程的化简及应用3）常数项不变.根据上述规律，通过计算可以得到：'1'22'1122111I a a a a I =+=+=，'22'12'22'1121222112I a a a a a a I =-=-=2 二次曲线方程的化简方法 2.1 参数法若(,)0F x y =（0222212211≠++a a a ）为中心二次曲线，其中心为),(000y x P 则过),(000y x P 的任一直线的参数方程为()00cos 0sin x x t y y t ααπα=+⎧≤<⎨=+⎩ 将上式代入(,)0F x y =得：2()(,)0o o t F x y λα+=其中22111222()cos 2cos sin sin a a a λααααα=++引理[]21 设(,)0F x y =)0(222212211≠++a a a 为中心二次曲线若()λα定号：当0),()(<o o y x F αλ时，二次曲线为实椭圆，方程可化简为1)()(min2'max 2'22=+t yt x 当()0,)(00>y x F αλ时，二次曲线为虚椭圆；当()00,0F x y =时，二次曲线为点椭圆.若)(αλ变号：当0),()(<o o y x F αλ时，二次曲线为双曲线，方程可化简为'2'222min max1()()x y t t -=当0),(=o o y x F 时，二次曲线为两相交直线. 例1 化简二次曲线方程01656522=-++y xy x .解 由于01635522>=-⨯=I ,故二次曲线为椭圆型中心曲线.解⎩⎨⎧=+=+0530350000y x y x 得 ⎩⎨⎧==0000y x 即二次曲线的中心为坐标原点. 设过中心的任一直线的参数方程为cos (0)sin x t y t ααπα=⎧≤<⎨=⎩，其中t 为参数．将参数方程代入二次曲线的原方程得222(5cos 6cos sin 5sin )160t αααα++-=令22()5cos 6cos sin 5sin 53sin 2λαααααα=++=+ 当22πα=，即max ()84παλα==时，，当232πα=，即min 3()24παλα==时，， 故2816)(8216)(min 22max 22=--===--==t b t a ，， 即原方程化简为1282'2'=+y x .2.2 不变量法[]5引理[]12 如果0,032≠≠I I , 则二次曲线（*）为中心曲线，那么它的方程总可以化简为'2'231220I x y I λλ++= (012>a ) 其中，1λ,2λ为二次曲线特征方程的两个根.如果0,032≠=I I , 则二次曲线（*）为无心曲线，那么它的方程总可以化简为210I y '±= 如果0,032==I I ,则二次曲线（*）为线心曲线，那么它的方程总可以化简为'21110K I y I += 其中，33232322331313111a a a a a a a a K +=例2 (1) 化简22442210x xy y x y -++--=. 解 由题意可得123121125,0,241124111I I I --====--=---- 所以二次曲线为无心曲线,由不变量法知可化简为'2'50y ±=.即'2'y x =或'2'y x =.二次曲线方程的化简及应用(2)021*******=+-++-y x y xy x解 由题意可得 45215551235231,45123231,2321-=----=-=--==I I I 所以二次曲线为中心二次曲线， 而主方向特征方程为0212=+-I I λλ,即04522=--λλ, 所以252121=-=λλ 故由不变量法可知二次曲线可化简为 02522=+'+'-y x(3) 0124422=+-++-y x y xy x解 由题意可得 012112112124,01224,5321=----==--==I I I 所以二次曲线为线心二次曲线, 又415121211111433232322331313111=--+=+=a a a a a a a a K所以由不变量法可化简为 04352=+'y用不变量法化简二次曲线，可直接由公式得到化简方程,计算比较简单，但无法确定二次曲线在坐标系中的确切位置,故还不能直接由此做出图形,仍需要进一步的确定计算.2.3 坐标变换法[]72.3.1 利用系数的影响规律化简方程[]1当02≠I 时，二次曲线()*为中心二次曲线，其中心00(,)x y 满足⎩⎨⎧++=++=230220122130120111),(),(a y a x a y x F a y a x a y x F o o o o 根据移轴对二次曲线方程系数的影响规律，若取00(,)x y 为坐标原点，则二次曲线方程可化简为：02'332'22''122'11=+++a y a y x a x a其中),(,00'332211'22'11y x F a a a a a =+=+由此可知中心二次曲线的化简一般是先移轴后转轴.当02=I 时，即（*）为非中心二次曲线,如果012≠a 时，取转角α满足12221122cot a a a -=α， 使得0)sin (cos cos sin )(22121122'12=-+-=ααααa a a a 从而消去方程中的交叉项，由此可知非中心二次曲线的化简一般是先转轴后移轴. 例3 化简024222=--++-y x y xy x ,并作出几何草图.解 因0434111212112≠=-=--=I ,故曲线为中心二次曲线.解11021202x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩ 得000,2x y ==, 取(0,2)为坐标原点,作移轴''2x xy y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 根据移轴对系数的影响规律，可将方程化简为 '2'''260x x y y -+-=再作转轴消去''y x 交叉项,令022cot 122211=-=a a a α， 取,4πα=得cos αα==二次曲线方程的化简及应用作转轴 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''+''=''-''=)(21)(21''y x y y x x经转轴后曲线的方程化为：0623212''2''=-+y x 图形如下图1对于坐标变换法,一般需先求旋转角,算出转轴公式,再代入二次曲线的方程,算出新方程的系数,然后再移轴,确定图形位置,虽然方法简单,但计算量大,且灵活性较强，不易掌握.2.3.2主直径法[]1对于中心二次曲线,我们取它的一对既共轭又互相垂直的主直径作为坐标轴，则方程可化为''2''2'1122330a x a y a ++=.对于无心二次曲线,取它的唯一主直径为'x 轴,而过顶点(即主直径与曲线的交点)且与非渐近主方向为方向的直线(即过顶点垂直与主直径的直线)为'y 轴建立坐标系.则方程可化为''2''221320a y a x +=.对于线心二次曲线,我们取它的中心直线(即曲线的唯一直径也是主直径)为'x 轴,任意垂直它的直线为'y 轴建立坐标系.则方程可化为''2'22330a y a +=.例 4 化简2222220x xy y x y -++--=,并做出草图. 解 因为123111112,0,111011112I I I --====--=---所以曲线为线心曲线.故有唯一的直径即中心线，其方程为10x y -+=取它为新坐标系的'x 轴，再取任意垂直于此中心线的直线0x y +=为新坐标系的'y 轴，作坐标变换，这时的变换公式为''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解,x y 得''''122212x x y y y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入已知方程，经过整理得'2230y -=.即'y =或'y =.二次曲线方程的化简及应用显然用坐标变换法化简二次曲线的方程，计算量大，但能做出几何图形. 下面将探究坐标变换法和不变量法的内在联系,给出了三个新定理及证明,使二次曲线的化简计算量小,同时还能快速做出图形. 2.4 主要结果的证明及应用 2.4.1主要的定理及证明定理1 []12 二次曲线（*）为非圆时，在坐标变换''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 下方程总可以化简为:'2'231220I x y I λλ++= 其中),(o o y x 为中心坐标，)2,0(2cot 21122211πα∈-=a a a arc 且1212()0a λλ->, 12,λλ是特征方程2120I I λλ-+=的特征根.二次曲线(*)为圆时,在坐标变换⎪⎩⎪⎨⎧+=+=0''y y y x x x 下方程总可以化简为 0232'222'11=++I I y a x a 其中),(o o y x 为中心坐标.证明 将坐标变换公式y x ,代入二次曲线方程(*)得到'''(,)0F x y =， 经整理，系数变为:),(cos ),(sin ),(sin ),(cos )(cos 2sin sin 2cos 2sin )(21sin 2sin cos '3321'232,1'1322212211'22121122'1222212211'11o o o o o o o o o o y x F a y x F y x F a y x F y x F a a a a a a a a a a a a a =+-=+=+-=+-=++=αααααααααααα 因为),(o o y x 为二次曲线的中心,所以12(,)0,(,)0o o o o F x y F x y =='1312(,)cos (,)sin 0o o o o a F x y F x y αα=+=0cos ),(sin 2'23=+=ααo o y x F a .由于转角)2,0(2cot 21122211πα∈-=a a a arc ,且此时有αα2sin )(2cos 2221112a a a -= )]cos 2sin sin ()sin 2sin cos [(2)(2222122112221221112122211ααααααa a a a a a a a a a +--++='-' ()]2sin 22cos [212221112ααa a a a +-=()αα2sin 42cos 2212221112a a a a +-=()02sin ]4[21222211>+-=αa a a即方程最终可化为:0'332''222''11=++a y a x a又2'22'1112211'22'11,I a a I a a a a ==+=+，根据根与系数的关系得'22'11a a 与是特征方程2120I I λλ-+=的两根，且1212()0a λλ->.令2'221'11,λλ==a a 则12,λλ分别是二次曲线的特征根.由于),(o o y x 是中心坐标,且22312131102232213120,I a a a a y I a a a a x -=='3301023(,)(,)(,)(,)o o o o o o o o a F x y x F x y y F x y F x y ==++13023033a x a y a =++121311131112132333222312231222232a a a a a a a a a a a a a a a I I I -+==因此非圆的中心二次曲线方程在坐标变换''''0cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩下总可以化简为'2'231220I x y I λλ++=. 当二次曲线为圆时,同理可证曲线方程总可以化简为0232'222'11=++I I y a x a . 定理1证毕.定理2[]7 无心二次曲线(,)0F x y =()012≠a 在坐标变换二次曲线方程的化简及应用''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 下方程总可以化简为'2'10I y -= 其中),(00y x 为二次曲线的顶点，1112tan a a α=-,且cos α与12a 同号.证明 将y x ,代入二次曲线方程（*）中， 曲线方程可化简为:''2'''''2'''''1112221323332220a x a x y a y a x a y a +++++=因为1112tan a a α=-且cos α与12a 同号，可得cos αα==将1112tan a a α=-代入''1122,a a 得 ()1112222222212211'11tan 2tan cos sin cos sin 2cos a a a a a a a ++=++=ααααααα2cos 1112111221211222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=a a a a a a a α()'222211122222111222sin sin 2cos cos tan 2tan a a a a a a a αααααα=-+=-+2212111111122222111212122a a a a a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅--⋅-+ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1122a a =+)12()()1cos 2(cos sin )(2cos 2sin )(212122112121221221112212211111112212112212112212=-+++⋅+-⋅-=-+-=+-='a a a a a a a aa a a a a a a a a a a ααααα'13100200(,)cos (,)sin a F x y F x y αα=+212211112302212212211121312011)()(a a a a y a x a a a a a y a x a o o +⋅++-+⋅++=22112132223131222311212211231113122a a aa a a a a a a a a a a a ++--=+-=== 由于()00,x y 是顶点，故1110012200(,)(,)0a F x y a F x y +=,所以'23100200122001110012(,)sin (,)cos cos [(,)(,)]a F x y F x y a F x y a F x y a ααα=-+=+ 0=0'33=a因此无心曲线方程在坐标变换''0''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩下总可以化简为'2'10I y -= 定理2证毕.定理3[]7 线心二次曲线(,)0F x y =在坐标变换''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 下方程总可以化简为:'21110K I y I += 其中13230011221122,a a x y a a a a =-=-++，1112tan aa α=-且cos α与12a 同号.二次曲线方程的化简及应用证明 将y x ,代入二次曲线方程(*) 曲线方程可化简为0222'33''23''132''22'''122''11=+++++a y a x a y a y x a x a由于转角为1112tan a a α=-.由定理2的证明过程可知 ''1122112210,a a a a I ==+=由于13230011221122,a a x y a a a a =-=-++代入可得),(132211231222111311130120111=++-++-=++=a a a a a a a a a a y a x a y x F o o,232211232222111312230220122=++-++-=++=a a a a a a a a a a y a x a y x F o o ）（所以0'23'13==a a .'333001302303322132333112211221113222313332333112211(,)a F x y a x a y a a a a a a a a a a a a a a a a a a K I ==++--=+++++=+=因而线心曲线方程在坐标变换''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩下总可以化简为 '21110K I y I += 2.4.2主要结果的应用举例例5 求曲线012656522=-+-+-y x y xy x 的简化方程并做出草图.解 因为01653351021≠=--==I I ，,即二次曲线为中心二次曲线.由⎩⎨⎧=++=--01530335000y x y x 得中心坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==17717600y x 由1222112cot 21a a a arc -=α知，取4πα=，则 21cos ,21sin ==αα又481131533353-=----=I , 故3164823-=-=I I . 又因为.0312<-=a 即由定理1知21λλ<而21,λλ又是特征方程016102=+-λλ的两根，所以8221==λλ，.所以曲线方程在坐标变换()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=1772117621''''y x y y x x 下可化简以为03822'2'=-+y x图形如下二次曲线方程的化简及应用图3例6 求二次曲线01610222=+--+-y x y xy x 简化方程并做出草图. 解 123115112,0,11364,11531I I I ---====--=----即曲线为无心曲线.由定理4知1211tan a a -=α且cos a 与12a 同号，故 21sin ,21cos -=-=αα由()()()00002200000015130210610x y x y x x y y x y ⎧-⋅--+⋅-+-=⎪⎨-+--+=⎪⎩得顶点坐标为001212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 因为0112<-=a ，由定理2知''1122a a <即''112211220,2a a a a ==+=所以曲线的方程在坐标变换''''1212x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩下可以化简为.03222'2'=±x y即'2'y =或'2'.y =-图形如下图4例7 化简2244210x xy y x y -++-+=并做出草图.解 由于012112112124,01224,5321=----==--==I I I ,故为线心二次曲线. 由定理3知 0011,,510x y =-= 又由2tan 1211=-=a a α且cos α与12a 同号知 52sin ,51cos -=-=αα433121211111433232322331313111=--+=+=a a a a a a a a K所以曲线的方程在坐标变换''''15110x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩下总可以化简为'23504y +=图形如下图5结束语二次曲线方程的化简是大学空间几何研究的重点内容之一,且对二次曲线内容的教学有非常重要的指导作用.本文就二次曲线方程的化简与作图,介绍了五种方法,分别是二次曲线方程的化简及应用参数法、不变量法、坐标变换法、主直径法、与上述四种方法相比较稍微简单的一种新方法.本文通过归纳以上前四种方法之间的联系,即从应用不变量法来化简方程与应用移轴、转轴来作图,给出一种相对于前四种方法更为简洁的方法,得出三个新定理的证明及具体应用.本文通过借鉴国内二次曲线方程化简与作图的方法,寻找它们之间的联系,找到一种即易于化简又易于作图的方法,从而告诉我们,思维要善于发散,对于同一道题,要应用不同的方法进行解答,再从所有的解法中找出一种最简便的方法,同时这对深入研究中学数学数学二次曲线也提供了相应的指导.本文针对所查文献资料给出的四种方法进行归纳,并结合这四种方法给出一种既易于二次曲线方程的化简又易于作图的简便方法.这种新方法是否就是最简单的方法还有待于进一步考证.二次曲线是中学平面解析几何的重点内容之一,是高考的一个热点,也是教师的教和学生的学的一大难点.如何更好地把大学空间解析几何里的研究二次曲线的相关内容与高中二次曲线的内容有机地结合起来,更好地指导中学二次曲线的教学,为学生的学习提供相应的帮助是一个值得进一步去研究的方法.今后可在不同的几何观点下去研究二次曲线的相关问题,而用高观点去指导中学有关内容的教学.参考文献[1] 吕林根,许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社,1987.[2] 张卯.化简二次曲线方程的一种简捷方法[J].周口师专学报,1996,13(4):11-16.[3] 翟娟,席芳渊.参数法化简二次曲线方程[J].中学数学教学,1994,(4):24-25.[4] 苏婷.二次曲线方程化简[J].陕西师范大学继续教育学报,2006,23:247-249.[5] 文开庭.二次曲线的一种化简方法[J].毕节师专学报,1995,(2):66-71.[6] 林梦雷.二次曲线方程的化简[J].漳州师范学院学报,1999,12(1):22-26.[7] 席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法[J].许昌师专学报,2001,20(2):6-13.[8] 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用坐标变换简化二次曲面方程
二次曲面是一类常见的曲面，它们的方程式复杂，使用起来不太方便。

但是，如果使用坐标变换，可以有效地简化二次曲面方程。

坐标变换是指将原来的坐标系转换成新的坐标系，以便更好地表示和分析某一几何形状。

比如，对于二次曲面，可以通过坐标变换，将原来的复杂方程转换成一个简单的椭圆方程。

在坐标变换的实际应用中，可以使用仿射变换、旋转变换、投影变换等方法，以简化二次曲面方程。

仿射变换可以将原来的曲面变换成一个椭圆，旋转变换可以将原来的曲面变换成一个圆，投影变换可以将原来的曲面变换成一个抛物线。

坐标变换是一种有效的方法，可以有效地简化二次曲面方程。

它不仅可以提高曲面方程的可解性，而且可以让曲面方程的解决更加简单，更加容易理解。