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二次曲面方程的标准化及其图形实质

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九节二次曲面-PPT课件

九节二次曲面-PPT课件

单叶双曲面图形
z
o x
y
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面
o x
y
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z轴相合.
与平面 y y y b )的交线为双曲线. 1( 1
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y a c 轴上. y y 1
2 2 实轴与 x 轴平行, ( 1 ) y b , 1
虚轴与 z 轴平行.
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c k ) 2 (c k ) 2 c c z k | k |c 当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
虚轴与 x 轴平行.
2 2 ( 2 ) y b , 实轴与 z 轴平行, 1
,b ,0 ) 的直线. ( 3 ) y b , 截痕为一对相交于点 (0 1
x z 0 , a c y b ( 4 ) y b , 1
x z 0 . a c y b
( x 0 ) （3）用坐标面 yoz ，x=k 与曲面相截
均可得抛物线. 同理当 p 时可类似讨论. 0 ,q 0
椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p 0 , q 0
p 0 , q 0
q 特殊地：当 p 时，方程变为
x y z 2p 2p
旋转而成的）
第九节 二次曲面 一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面. 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
二次曲面方程

二次曲面方程

二次曲面方程一、引言二次曲面方程是数学中非常重要的一类曲面方程。

它们具有丰富的几何性质和广泛的应用领域，如物理学、工程学和计算机科学等。

本文将从二次曲面的定义和性质、几何图形以及实际应用三个方面，生动全面地介绍二次曲面方程。

二、定义和性质二次曲面是由二次方程表示的曲面。

一般地，二次曲面方程可以写成Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0的形式。

其中A、B、C不全为零，D、E、F、G、H、I、J是常数。

这种方程描述了空间中的一个曲面，其形状和性质与方程的系数有关。

对于二次曲面方程，有一系列重要的性质。

首先，二次曲面在三维空间中通常表示一个曲面，形状可以是椭圆、双曲线或抛物面。

其次，二次曲面可能有中心或焦点等特殊点，这些点对于曲面的性质和几何特征具有重要意义。

最后，通过调整方程的系数，可以改变二次曲面的形状和方向，从而产生不同的几何图形。

三、几何图形根据二次曲面方程的不同形式，我们可以了解到不同的几何图形。

首先是椭球面，当A、B、C都为正数时，方程描述了一个椭球体。

椭球体在三维空间中呈现出类似于地球的形状，可以用来表示行星、人工卫星等球状物体。

其次是双曲面，当A、B、C中有一个为负数时，方程描述了一个双曲体。

双曲体的形状类似于双曲线，可以用来表示一些物理现象，如电场分布和透镜等。

最后是抛物面，当A或B为零，且C不为零时，方程描述了一个抛物体。

抛物体可以用来描述抛物运动，也可以用于建模天文、航空等领域的问题。

四、实际应用二次曲面方程在现实生活中有广泛的应用。

首先，它们在物理学中发挥着重要作用。

例如，抛物面方程可以用来描述物体的运动轨迹，从而对物体的运动进行预测和分析。

其次，二次曲面方程在工程学中也有重要应用。

通过使用椭球面方程，工程师可以设计出符合实际需求的复杂三维结构，如建筑物、车辆和飞机等。

此外，二次曲面方程还在计算机科学领域得到了广泛应用。

§8.5 二次曲面的标准型

§8.5 二次曲面的标准型

解1 设过L1的平面束方程为3 x y 5 (2 x z 3) 0，
5 9) 代入方程 即为(3 2 ) x y z 5 3 . 将点P ( 3，， 1 整理得 18 9 0，解之得 = .故过L1的平面方程为 2 4 x 2 y z 13 0
P
L1
y 4x 7 可得直线L2与平面的交点 又由方程组 z 5 x 10 4 x 2 y z 13 0
P ( 37， 155， 175)
则经过P， P 的直线即为所求， 其方程为
x3 y5 z9 17 80 92
1 F ( x2 ， y2 ) 0.

1 因此点 M ( x2 ， y2 )的轨迹C 的方程为 F ( x， y ) 0.
b 例如把圆 x y a 沿 y 轴方向伸缩 倍， 就 a 2 2 x y 变为椭圆 2 2 1. a b b 把空间图形沿 y 轴方向伸缩 倍，圆锥面 a x2 y2 2 z 2 a x2 y2 就变为椭圆锥面 2 2 z 2 . a b
x2 y2 z2 2 2 1. 2 a b c
(4)双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
x2 z2 把Oxz面上的双曲线 2 2 1绕 x 轴旋转， 得 a c x 2 y 2 +z 2 旋转双叶双曲面 2 1， 把此旋转曲面沿 y 2 a c b 轴方向伸缩 倍，即得双叶双曲面 c x2 y2 z2 2 2 1. 2 a b c
假如C为曲线F ( x， y ) 0， 点M ( x1 ， y1 ) C ， 点M 变为 1 点 M ( x 2 ， y2 )， 其中 x2 x1 ， y2 y1 ， 即x1 x2 ， y1 y2 ，
空间解析几何二次曲面

空间解析几何二次曲面


二次曲面的性质
封闭性
01
二次曲面是封闭的，即它包围着一个确定的区域。
连续性
02
二次曲面在三维空间中是连续的，没有断裂或突起。
可微性
03
二次曲面在三维空间中是可微的，这意味着它的表面是平滑的。
02
二次曲面方程
二次曲面方程的建立
定义
二次曲面是三维空间中通过两个二次方程定义的 几何体。
形式
二次曲面的一般方程为 (Ax^2 + By^2 + Cz^2 + 2Fxy + 2Gxz + 2Hyz = D)。
优化方法
常用的优化方法包括数学规划、遗传算法、 模拟退火等，通过这些方法可以找到最优的 设计方案，提高产品的性能和降低成本。
感谢您的观看
THANKS
特点
二次曲面具有独特的形状和性质，其 形状由二次函数的系数决定。
二次曲面的分类
1 2
椭球面
当 $f$ 为正时，二次曲面呈现为椭球形状，其长 轴和短轴分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴平行或垂直。
抛物面
当 $f$ 为一次函数时，二次曲面呈现为抛物线形 状，其开口方向与 $z$ 轴平行。
3
双曲面
当 $f$ 为负时，二次曲面呈现为双曲形状，其形 状取决于 $x$ 轴和 $y$ 轴的方向。
工程设计
二次曲面在工程设计中用于描述各种形状的表面，如球面、抛物 面等。
物理模拟
在物理模拟中，二次曲面用于描述粒子在力场中的运动轨迹和分 布。
数据分析
在数据分析中，二次曲面用于拟合数据，以揭示数据之间的内在 关系和规律。
03
二次曲面在三维空间中的 表示
二次曲面在三维空间中的投影
二次曲面【高等数学PPT课件】

二次曲面【高等数学PPT课件】


（一）椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1(
x
a,
y
b,
z
c)
椭球面与三个坐标面的交线：

x
2

a
2

y2 b2

1,
z 0
z

x2 a2
y
0
z2 c2

1,
z

y2 b2

z2 c2

1.
x 0
z

o
o
y
y
y
x
x
x
（二）双曲面
第八节 二 次 曲 面
二次曲面的定义：
a11 x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a23 yz
2a13 xz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌．
z
z
z
o
y
o
x oy x
y x
z x2 y2 y x2 z2
x y2 z2
(2)
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2
z（ p 与 q 同号）
pq
z
o x
z o x
y
z x>0x<0
o y
y x
x2 y2 z
pq
y>0
y<0
x2 y2 z
二次曲面的方程与图形ppt课件

二次曲面的方程与图形ppt课件


x2 a2
z
所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.
.
7
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
a x2 2by2 2cz2 21(a,b,c为正 ) 数 x O
y
平面 zz1上的截椭痕 圆.为
平面 y y1上的截痕情况:
1) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
cz22
1yb122
y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
(p,q同号) x2 y 2 z 2 p 2q
双曲抛物面
x2 y2 z 2p 2q
• 双曲面: 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
.
12
平面 yy1上的截双痕 曲线为 平面 xx1上的截双痕 曲线为 x
Oy
平面 zz1(z1c)上的截 椭圆痕为
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
.
10
z
4. 椭圆锥面
z
ax22by22z2 (a,b为正) 数
在平z面 t上的截痕 椭圆为
x2 (at)2
.
3
x2 a2
by22
cz22
1
(a,b,c为正数)
(3) 截痕: 与 zz1(z1c)的交线为椭圆： ac22(c2x2z12)bc22(c2y 2z12)1
z
z z1
同样 yy1(y1b)及 xx1（ x1a） 的截痕
二次曲面3.4

二次曲面3.4

2 2
顶点在yoz面上，开口向下.
双曲抛物面
x a
2 2
（马鞍面）

y b
2 2
z
z
截痕法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
y
0
椭圆抛物面与双曲抛物面都没有对称中心， 又称它们为无心二次曲面.
作业：P59 2、3、4、7 思考题：
o
y
椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面都有唯一 的对称中心，因此又称它们为中心二次曲面.
3、抛物面 抛物面分为椭圆抛物面和双曲抛物面. （1）椭圆抛物面
方程 z
x a
2 2

y b
2 2
所表示的曲面称为椭圆抛物面
椭圆抛物面关于xoz面和yoz面对称，从而关 于z 轴对称；z ≥0时，图形在xoy面的上方. （注： z x 2 y 2 也是椭圆抛物面，图形在
§3.4 二次曲面
一、基本内容
二次曲面的定义：三元二次方程
ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的平面截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考 察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了 解曲面的全貌．
2 2
当 z 1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
椭圆抛物面
x p
2 2

y q
2 2
2z
z
截痕法
用z = a截曲面 用y = b截曲面
曲面及其方程、二次曲面-PPT

曲面及其方程、二次曲面-PPT

8
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
二次曲面的标准方程

二次曲面的标准方程

二次曲面的标准方程二次曲面是三维空间中的一种重要几何图形，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。

在本文中，我们将讨论二次曲面的标准方程及其性质，希望能够为读者提供清晰的概念和理解。

首先，我们来看二次曲面的标准方程是如何定义的。

对于一个二次曲面，它的标准方程通常可以表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为常数，且A、B、C不全为零。

这个方程描述了一个二次曲面在三维空间中的形状和位置。

通过对这个方程进行适当的变换和配方，我们可以得到不同类型的二次曲面，如椭球面、双曲面、抛物面等。

接下来，我们将讨论一些常见的二次曲面及其标准方程。

首先是椭球面，它的标准方程为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) + (z^2/c^2) = 1。

其中a、b、c分别为椭球面在x、y、z轴上的半轴长度。

椭球面是一个闭合曲面，它在三个方向上的形状都是椭圆，是一种常见的几何图形。

另一个常见的二次曲面是双曲面，它的标准方程为：(x^2/a^2) (y^2/b^2) (z^2/c^2) = 1。

双曲面有两个分离的部分，分别在x轴和y轴上开口，是一种非常特殊的曲面。

除此之外，还有抛物面、圆锥面等不同类型的二次曲面，它们都有着独特的形态和性质。

在研究二次曲面的标准方程时，我们还需要了解一些重要的性质。

例如，二次曲面的中心、焦点、直径、离心率等参数都可以通过标准方程来求解。

这些参数不仅可以帮助我们理解二次曲面的形状，还可以在实际问题中起到重要的作用。

总结起来，二次曲面的标准方程是描述二次曲面形状和位置的重要工具，通过标准方程我们可以了解二次曲面的类型、性质和参数。

在数学、物理、工程等领域，对二次曲面的研究有着广泛的应用，希望本文能够为读者提供一些帮助和启发。

通过对二次曲面的标准方程及其性质的讨论，我们可以更好地理解和应用这一重要的数学概念。

二次曲面的方程和图形

二次曲面的方程和图形


( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
z
z
O yy xx
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
得到)
内容小结 二次曲面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号)
2p 2q
Oy
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
O
x
y
椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
z
双曲抛物面
y2 b2
x2 a2
z
所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 a2
y2 b2
1,
z 0
y2 b2
z2 c2
1,
x 0
x2 a2
z2 c2
1
y 0
x2 a2
y2 b2
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
( a,b,c 为正数)
x
O
y
平面 z z1 上的截痕为椭圆.
8-8二次曲面

8-8二次曲面

a2 b2 c2 含两个直母线系 直纹面在建筑学上有广泛的应用 例如，冷却塔、电视塔等 建筑都有用这种结构的．
2. 双叶双曲面
z
(1) 定义
方程
x2 a2

y2 b2

z c
2 2

1
所确定的曲面称为双叶双曲面．
(2) 图形分析
oy
曲面与 yoz 面的交线是双曲线
x
z2

c
2

y2 b2
1
2. 双曲抛物面
（马鞍面）
(1) 定义
x2 a2

y2 b2

z
z
(2) 图形分析
截痕法
x
用z = a截曲面
0
用y = 0截曲面
y
用x = b截曲面
2. 双曲抛物面
（马鞍面）
(1) 定义
x2 a2

y2 b2

z
z
(2) 图形分析
截痕法
x
用z = a截曲面
0
用y = 0截曲面
y
用x = b截曲面

z2 c2
1
所确定的曲面称为单叶双曲面．
o
y
(2) 图形分析 曲面与 xoy 面的交线是椭圆

x2 a2

y2 b2
x 1
z 0 曲面与 yoz 面的交线是双曲线
y2

b2

z2 c2

1
x 0
与平面 z z1的交线是椭圆
x2

a
2

y2 b2

1

z12 c2
z z1

线性代数之二次曲面PPT课件


的方向为z 轴的正向.取t 为参数,
t 0时, 点M位于A(a,0,0)处. 经过
时间t, 动点运动到Mt(x,y,z).
设M '为 M t在xoy面上的投影
M'(x, y,0)， AOM't
于是xyaacsoins((tt))
.
A
O。 M t
M'
x
y
27
xacos(t) 该曲线参数方程为:yasin(t)
8.4 空间中的曲面与曲线
曲面(曲线)方程: 1. 曲面(曲线)上的任一点的坐标都满足该
方程. 2. 坐标满足方程的点都在该曲面(曲线)上.
.
1
这一节我们主要研究： 1. 球面 2. 柱面 3. 旋转曲面
一 、 空 间 曲 线 的 一 般 方 程 4.空 间 曲 线 二 、 空 间 曲 线 的 参 数 方 程
zvt
称 此 曲 线 为 螺 旋 线
.
28
三、空间曲线在坐标面上的投影
投 影 曲 线设 C 是 一 条 空 间 曲 线 , 是 一 个 平 面 , 以 C 为 准 线 ,作 母 线 垂 直 与 的 柱 面 ,称 该 柱 面 与 平 面 的 交 线 为 C 在 平 面 上 的 投 影 曲 线 ,简 称 投 影 .
解：z不动，用 x2y2替代zky中的y得
z
zk x2 y2
即
x2 y2
z2 k2
0
o
圆锥面：直线L绕另一条与L相交的直
y
半 顶 角 ： 两 线直 旋线 转的 夹 一角 周 所（ 得0 的 旋转 面） x 2
.
16
.
17
例 求 双 曲 线 a x2 2b z2 2 1绕 x轴 旋 转 一 周 所 得 曲 面 的 方 程 y0

二次曲线方程的标准形式与性质

二次曲线方程的标准形式与性质二次曲线是解析几何中的一个重要概念，常常用于描述曲线的形状和特征。

在二次曲线的研究中，标准形式是一种简化与统一方程的表示方法。

本文将深入探讨二次曲线方程的标准形式与性质，帮助读者更好地理解和应用二次曲线的相关概念。

一、二次曲线的标准形式二次曲线的标准形式是指将二次曲线方程转化为特定形式的表示方法，通常为一般二次曲线方程的标准形式如下：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中，A、B、C、D、E和F为常数。

这个方程可以表示各种类型的二次曲线，如椭圆、抛物线和双曲线等。

二、椭圆的标准形式椭圆是一种常见的二次曲线，其标准形式可以表示为：(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半径，且都大于0。

从这个方程可以看出，椭圆是椭圆心为(h, k)、长轴为2a、短轴为2b的所有点的集合。

三、抛物线的标准形式抛物线是另一种常见的二次曲线，其标准形式可以表示为：y^2 = 4px其中p为常数，决定了抛物线的形状。

抛物线的焦点在x轴上的坐标为(p, 0)，开口方向与x轴正方向相同。

抛物线的定点为坐标原点(0,0)。

四、双曲线的标准形式双曲线也是一种常见的二次曲线，其标准形式可以表示为：(x - h)^2/a^2 - (y - k)^2/b^2 = 1其中，(h, k)为双曲线的中心坐标，a和b分别为双曲线在x轴和y 轴上的半轴长度，且都大于0。

双曲线有两条渐近线，分别在x轴和y 轴的两侧延伸。

五、二次曲线的性质除了不同类型二次曲线的标准形式，二次曲线还有一些共同的性质和特征。

以下是几个重要的性质：1. 关于对称轴对称：对于椭圆和双曲线，其对称轴是通过中心的一条直线；而对于抛物线，其对称轴是垂直于x轴的一条直线。

2. 焦点和直径：对于椭圆和双曲线，其焦点是在曲线上并在主轴上均匀分布的点；对于抛物线，焦点是在抛物线的焦点上方或下方的一个点。

二次曲面的标准方程

二次曲面的标准方程一、引言二次曲面是解析几何中的重要概念之一，广泛应用于物理学、工程学等学科中。

本文将探讨二次曲面的标准方程及其基本性质。

二、二次曲面的定义二次曲面是由二次函数所描述的曲面。

在三维空间中，一般可以表示为一个二次方程，即Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0三、二次曲面的分类二次曲面可以分为三类：椭圆面、抛物面和双曲面。

它们的标准方程分别为：1. 椭圆面椭圆面是一个封闭的曲面，其标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1其中，a、b、c分别为椭圆长轴、长半轴和短半轴的长度。

2. 抛物面抛物面是一个开口朝上或朝下的曲面，其标准方程为z = Ax^2 + By^2其中，A和B为常数，决定了抛物面的形状和方向。

3. 双曲面双曲面有两个分支，其标准方程可以分为两种形式：（1）椭圆双曲面：(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 1其中，a、b、c为常数，决定了椭圆双曲面的形状。

（2）双曲抛物面：z = (x/a)^2 + (y/b)^2其中，a和b为常数，决定了双曲抛物面的形状。

四、二次曲面的性质二次曲面具有多种有趣的性质，以下列举其中几个典型的性质：1. 对称性二次曲面通常具有一定的对称性，可以分为关于x轴、y轴、z轴、原点等不同的对称性。

2. 交点与切线二次曲面与坐标轴的交点，即截距，可以通过将某一坐标设为0求解得到。

而在交点处，二次曲面的切线与坐标轴平行。

3. 焦点与准线对于椭圆面和双曲面，其焦点和准线是重要的概念。

焦点是指到其上任意一点距离差的长度之和为常数，准线则是过焦点的直线。

4. 焦点和直径对于椭圆面，焦点和直径是有着紧密联系的。

直径是通过椭圆中心并且两端都在椭圆上的线段，它的中垂线过焦点。

五、应用示例二次曲面的标准方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，下面以一个简单的实例来说明：一个椭圆形的太阳能反射镜可以通过椭圆面的标准方程来描述。

第讲二次曲面-精品


在一般情况下，如果曲面S与方程
F(x,y,z)0 有下面的关系：
（1）
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）；
（2）不在曲面S上的点的坐标都不，而曲面S就叫做方程（1）
的图形．
象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间
解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而
第8讲---二次曲面
一、曲面的方程 二、常见的曲面的方程: 三、一般二次曲面
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
学习目标
1．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲 面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面 上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及 其图形. 2．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其 图形.
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
上面我们看到,不含z的方程x2+y2=R2在空间直 角坐标系中表示圆柱面,它的母线平行于z轴,它的准线 是xOy面上的圆x2+y2=R2．
一般地,只含x、y,而缺z的方程F(x,y)=0,在空 间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,其准线 是xOy面上的曲线C:F(x,y)=0.
给定 yoz 面上曲线 C: f(y,z)0
若点 M 1 (0 ,y 1 ,z1 ) C ,则有 f(y1,z1)0
z C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M(x,y,z),则有 zz1 , x2y2y 1
故旋转曲面方程为
M(x,y,z)
M1(0,y1,z1)
o
y
x
f( x2y2,z)0
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例如,方程y2=2x表示母线平行于z轴的柱 面,它的准线是xOy面上的抛物线y2=2x ，该柱面叫做抛物柱面(如图所示）。

二次曲面

7.9 二次曲面与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.关于一般的三元方程0),,(=z y x F 所表示的曲面的形状，已难以用描点法得到，本节采用称之为截痕法的方式来研究二次曲面，即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合从而了解曲面的全貌.作为例子研究椭球面的方程1222222=++cz b y a x并化出其图形.(1) 对称性: 方程的图形关于各个坐标面及原点对称(2) 在坐标轴上的截距: 方程的图形在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别是c b a ±±±,,（c b a ,,分别称为椭球面的半轴）.并且由1,1,1222222≤≤≤cz b y a x 得方程的图形位于平面c z b y a x ±=±=±=.,为界的长方体内.(3) 在坐标面上的截痕: 方程的图形在xoy 面、yoz 面、xoz 面上的截痕分别为椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+012222z b y a x ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222x c z b y ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222y c z ax (4) 平行截痕，研究与xoy 面平行的平面h z =（c h <）与方程图形的截痕，截痕曲线为 ⎪⎩⎪⎨⎧==++h z cz b y a x 1222222 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-hz c h b y c h a x 1)1()1(22222222这是一个在平面h z =上以221c h a -和221ch b -为半轴的椭圆.当h 由0逐渐增大时,两个半轴逐渐减少，当c h =时,截痕缩为一点.同样,分别讨论与yoz 面及xoz 面平行的平面与方程图形的截痕,它们也是椭圆.综合以上讨论可知，方程的图形如图7.40示,今后称这个曲面为椭球面. 当c b a ==时,椭球面变为球面.当b a =时椭球方程为122222=++cz a y x 它是椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+012222x c z b y 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222y c z ax 绕z 轴旋转而成的旋转椭球面，它在平行于xoy 面的平面上的截痕都是圆（图7.40）除椭球面外，常见的二次曲面有以下几种.下面我们列出它们的标准方程与图. 1 椭圆抛物面（图7.41）pz by a x22222=+ )0,0,0(≠>>p b a2 单叶双曲面（图7.42）1222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a3双叶双曲面（图7.43）1222222-=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a4双曲抛物面（图7.44）pz by a x 22222=- )0,0,0(≠>>p b a5锥面（图7.45）0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a图7.40 图7.41图7。

10.4.2 二次曲面

a , b, c 为半轴长的椭球面． 为半轴长的椭球面．
2. 单叶双曲面
x2 y2 z2 1 (a > 0, b > 0, c > 0) 2 + 2 − 2 = a b c
( 2)
a = b 时，
x2 + y2 z2 方程为 − 2 =1 2 a c
旋转单叶双曲面
(1) 用坐标面去截取图形
x2 y2 2 + 2 =1 a b z = 0
y2 z2 2 − 2 =1 b c x = 0
x
−b b
y
(2) 用平行于坐标面的平面去截取图形
x 2 z 2 h2 2 + 2 = 2 −1 a c b y = h
(| h |> b )
y2 z2 h2 2 − 2 = 1+ 2 b c a x = h
称为椭球面的顶点． 称为椭球面的顶点． (5) 有界性
所围成的长方体内． 所围成的长方体内．
( x − x 0 ) 2 ( y − y0 ) 2 ( z − z 0 ) 2 ( 6) + + =1 2 2 2 a b c
y
椭球面在六个平面 x = ± a，y = ± b，z = ± c
x
为对称中心， 是以点 ( x0 , y0 , z0 ) 为对称中心，
方程为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 a = b = c 时，
(1)
面 球
x2 y2 z2 a = b 时， 方程为 2 + 2 + 2 = 1 旋 椭 面 转 球 a a c
(1) 用坐标面去截取图形
x2 y2 2 + 2 =1 a b z = 0 x2 z2 2 + 2 =1 a c y = 0 y2 z2 2 + 2 =1 b c x = 0
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(b1′ , b2 ′ )=( B Tη 1,
2 2 ( BTη BTη 2) +( 3))
( 5)
根据定理 1 与定理 2 , 我们有以下结论 。 定理 3 : 空间中任意二次曲面方程经过 一次旋转变 换 和一次平移变换总可以化为标准方程 。 定理 4 : 已知曲面 ∑ 的方程 F (x , y , z )=0 先通过 一 次旋转变换 σ: X = PX 1 p 11 p 12 p 13 x x1 , X 1 = y1 z1 , 这里矩阵 P = p 21 p 22 p 23 , X = y
cos θ -sin θ =Λ
而 B PQ =B T ( η Q 1 η 2 η 3)
第 3 期 贡韶红 : 二次曲面方程的标准化及其图形实 质 的列向量 。 示什么曲面 ? 0 解: 这里矩阵 A = 1 1 1
· 51 ·
0 1 , 解特征方程 λ E -A
1 1 0 =0 , 得 λ 1 =2 , λ 2 =λ 3 =-1 同前 , 可求得矩 阵 A 对应 于 λ 1 =2 , λ 2 =λ 3 = -1 的 单位正交特征向量 1 1 1 T 1 1 , , , - ,0 ,η 2= 3 3 3 2 2 1 1 2 T , , η 3 =η 1 ×η 2= 6 6 6 1 1 1 3 2 6 η 1= 构造矩阵 P = 1 3 1 3 x 作旋转变换 y z 形
2 λ ′ x 1 +b 2 ″ y1 1 x 2 +b 1
其中 b′ = PE 0 下 , 曲面方程也变换为标准形 +c = 0 , 这里(b 1 ′ , b 2′ )=( B η 1,
T T 2 T 2
( B η B η 2) +( 3) ) 证明 : 显然这里 X = PX 1 是旋转变换 。 记矩阵 P = (η 1, η 2,η 3) , 1 0 则 P A P =P
贡韶红
( 无锡市电大江阴分校 , 江苏 江阴 214400)
摘 要 : 任意二次曲面方程在一次旋 转变换 和一次 平移变换 下总能 化为标 准形 , 依此方 法易见 图 形实质 。 关键词 : 二次曲面 ; 旋转变换 ; 准标准形 ; 标准形 中图分类号 : O182 . 2 文献标识码 : A 文章编 号 : 1008 -4207( 2003) 03 -0049 -04 简单 的 二次 曲 面标 准 式 方程 所 示图 形 的 类型 及 形 状 , 由书本知识我们即可判 断 , 但 对于一 些复杂 的二次 曲 面方程的具体图形则很难辨 认 。 常见的 用不变 量化简 二 次曲面 , 不易写出坐标变换 。 文献[ 4] 中 正交变 换再平 移 有时还需再加旋转的方法 , 过程稍 烦 , 也 不能建 立起右 手 直角坐标系间的对应关系 。 本文 从二次 曲面的 两个单 位 正交主方向出 发 , 给 出对 二次 曲面 方程 进行 标准 化的 新 方法 , 证明任意二 次 曲面 方程 在一 次旋 转变 换和 一次 平 移变换下 总能 变换 为标 准形 。 此外 , 一 般文 献仅 关注 图 形的具体形状 , 即曲面方程 的标准 形求解 , 而忽 略了实 际 图形的具体位置 , 这些正是 本文关 注的 , 由于我 们这里 采 用的标准化过程非常简洁 , 可用公 式表述 , 同时 建立起 空 间右手直角坐 标系 及方 程间 的对 应 关系 , 图 形实 质显 而 易见 。 x1 X 1 = y1 , 则 X =PX 1 是旋转变换 , 且在此变换下原 方 z1 程( 1) 化为准标准形
0 sin θ
0 cosθ λ 0 1 0 0 0 0 sinθ 0 0
Q = 0 cosθ -sin θ ,
AP =Λ, 这里 Λ= 0 0 1 0 cos θ
于是 Q P APQ = Q Λ Q= 0 λ 1 0 0
T
T T
T
0 0 0 0 0 0
1 0 0
0 sin θ
0 0 cos θ
-sin θ cos θ
T
一 、主要原理与方法
定义 : 通过平 移变 换即 可化 为标 准方 程的 二次 曲 面 方程称为准标准形方程 。 鉴于恒等变换 是特 殊的 平移 变换 , 所 以准 标准 方 程 中包括标准方程 。 空间二次曲面方程的一般形式为 a 11 x + a 22 y +a 33 z + a 12 xy + a 13 xz + a 23 yz + b 1 x +b 2 y +b 3 z + c =0 a 11 a 12 a 13 a 13 a 23 a 33 则方程( 1) 可表示为矩阵形式 b1 x z 记 A = a 12 a 22 a 23 , B = b 2 , X = y b3 ( 1)
· 50 ·
T T XT 1 P APX 1 +B PX 1 +c =0 ,
江苏广播电视大学学报 2003 年 1
T T T
0
0
即 X T 1
Λ X 1 +B PX 1 +c =0
T
= (B η 1 B η 2 B η 3) 0 cosθ -sin θ 0 sin θ cosθ T T = (B Tη cos θ B η + sin θ B η B Tη 1 2 3 -sinθ 2+ cosθ B Tη 3) = (B Tη 1
第 14 卷 第 3 期 江苏广播电视大学学报 V ol . 14 N o . 3 2003 年 6 月 JU RN A L O F JIAN GS U RAD IO & TE LEV ISIO N UN IV ERS ITY Jun . 2003
二次曲面方程的标准化及其图形实质
T
T
T
T
T
0 λ 2
0 0
0 0 λ 3 X = PX 1 为正 交变换 , 同时 由 η 3 =η 1 ×η 2 可得 P = (η ·η 1 ×η 2) 3 =1 , 于是线性变换 X =PX 1 为旋转变换 。 在此变换下方程( 1) 化为
收稿日期 : 2003 -05 -13 作者简介 : 贡韶红( 1968 ) , 女 , 江苏江阴人 , 无锡市电大江阴分校讲师 , 理学硕士 。
( 3)
当λ 3) 为 曲面 方程 ( 1)的准 标准 形 方 1λ 2λ 3 ≠0 时 , ( 程 , 表示一中心二次曲面 。 当λ 3) 实际为 1λ 2 ≠0 , 而 λ 3 =0 时 , 方程(
2 2 λ ′ x 1 +b 2 ′ y 1 +b 3 ′ z1 1 x 1 +λ 2 y 1 +b 1 T T T
在旋转变 换 X = PX 1 = PQX 1 下 , 方 程 ( 1)变 换 为
T T T XT 1 Q P AP QX 1 + B PQX 1 +c =0 2 即 λ ′ x 1 +b 2 ″ y 1 +c =0 , 这里 1 x 2 +b 1
+c =0
T 这里( b 1′ , b 2′ , b 3′ )= B P =(B η 1, B η 2, B η 3), 也 达 到
2 2 2 λ x 1 +b 2 ′ y 1 +b 3 ′ z 1 +c =0 1 x 1 +λ 2 y 1 +λ 3 z 1 + b1′
X AX +B X + c =0
T
T
( 2)
因 A 为对称 矩阵 , 可求 得矩阵 A 的特 征值 λ 不 1 、λ 2 、λ 3( 妨设 λ ,取λ 1 ≥ λ 2 ≥ λ 3 ) 1 、λ 2 对应 单位正 交特征 向 量η 1 、η 2, 令 η 3 =η 1 ×η 2, 则 η 3 为 λ 3 对应 的单位特征 向 量。 以下定理及证明沿用如上记号 。 定理 1 : 设二次曲面方程( 1) 的二次 系数矩 阵 A 的 特 征值为以下情形之一 : ( a) λ 1λ 2 ≠0 ; ( b) λ 1 ≠0 , λ 2 =λ 3 =0 , 且 B η 3 =0 。 x 作变换 X = PX 1 , 这里 P =( η 1, η 2, η 3), X = y z ,
2 2 (B Tη (B Tη ) 2) + 3) 0
也就是说 , 通 过以 上 旋转 变 换 方程 ( 1) 可 消 去 二次 交 叉 项 , 从而变换为
2 2 2 λ x 1 + b2′ y 1 +b 3 ′ z 1 +c =0 1 x 1 +λ 2 y 1 +λ 3 z 1 + b1′ T T 这里(b1′ , b2 ′ , b 3′ )= B TP = (B Tη 1, B η 2, B η 3)。
综上 , 无论是情形( a ) 还是情形( b) , 二次曲面方程( 1) 总可以在旋转变换 X =PX 1 下变换为准标准 形 。 定理 2 : 设二次曲面方程( 1) 的二次 系数矩 阵 A 的 特
T 征值 λ 1 ≠0 , λ 2 =λ 3 =0 , 且 B η 3 ≠0 , 作变 继而经过一次平移变换 τ :X =X′ + E 0 , 其中 x′ a X′ = y′ , E 0 = b
中 1 0 0 ( 4) cosθ
2
变换为 标准形 G(x′ , y′ , z′ ) =0 ,
P= ( η 1, η 2,η 3) 0 cosθ -sinθ 0 sin θ B Tη 2 (B η B η 2) +( 3) T B η 3
准标准形 , 表示一非中心但中心轴对称的二次 曲面 。
T 当λ 3) 实际为 1 ≠0 , λ 2 =λ 3 =0 , 且 B η 3 =0 时 , 方程( 2 λ ′ x 1 +b 2 ′ y 1 +c =0 1 x 1 +b 1 T 这里(b1′ , b2 ′ )=B TP =( B Tη , 也达到准标准形 。 1,B η 2)