上海市2018-2019学年高二下学期阶段性检测数学试题
- 格式：doc
- 大小：1.25 MB
- 文档页数：22
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………上海市2018-2019学年高二下学期阶段性检测数学试题题号 一 二 三 总分 得分评卷人 得分一、选择题 本大题共4道小题。
1.以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4答案及解析：1.A 【分析】由斜二测画法规则直接判断①正确；举出反例即可说明命题②、③、④错误； 【详解】对于①，由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形；故①正确； 对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误；对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误；答案第2页，总22页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个角的平面角相等或互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误； ∴只有命题①正确． 故选A ．【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题． 2.设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ） A. 直线l 不平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点D. 直线l 与直线m 不垂直答案及解析：2.C 【分析】由已知中直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，可得直线l 与直线m 异面或平行，进而得到答案． 【详解】∵直线l 与平面α平行，由线面平行的定义可知：直线l 与平面α无公共点， 又直线m 在平面α上， ∴直线l 与直线m 没有公共点， 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查了直线与平面平行的定义，属于基础题． 3.已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（ ） A. 0B.79C. 0或79D. 以上都不对答案及解析：3.B○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【分析】当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案． 【详解】①当较长的两条棱是四面体相对的棱时， 如图，取CD 中点E ，则∵等腰△BCD 中，中线BE ⊥CD ，等腰△ACD 中，中线AE ⊥CD ， AE 、BE 是平面ABE 内的相交直线∴CD ⊥平面ABE ，结合AB ⊆平面ABE ，可得AB ⊥CD 此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°＝0， 检验：此时△ABE 中，AE ＝BE 7=，不满足AE +BE ＞AB ， 故此种情况舍去；②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图设所成的角为θ，根据余弦定理得cosθ99472339+-==⨯⨯综上所述，得所求余弦值为79故选B.答案第4页，总22页【点睛】本题考查了在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值，着重考查了余弦定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角等知识，属于基础题． 4.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B ⋂=∅，则a ，b 之间的关系是（ ） A. 1a b +>B. 1a b +<C. 221a b +<D. 221a b +>答案及解析：4.C 【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可． 【详解】设z ＝x +yi ，则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0 化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点， 集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=0的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=0没有交点， d 1=，即a 2+b 2＜1故选：C ．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题． 一、填空题 本大题共12道小题。
5.已知i 为虚数单位，若复数()()12ai i ++是纯虚数，则实数a =______.答案及解析：5.2 【分析】利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．【详解】∵复数（1+ai）（2+i）＝2﹣a+（1+2a）i是纯虚数，∴20120aa-=⎧⎨+≠⎩，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键，本题属于基础题．6..“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数2()(21)2(,,0)fx ax b x a a b Ra=++--∈≠在[3,4]至少有一个零点，则22a b+的最小值为______.答案及解析：6.1100【分析】把等式看成关于a，b的直线方程：（x2﹣1）a+2xb+x﹣2＝0，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大≥a2+b222221()51(24)2xx xx-≥=+-++-；从而解得．【详解】把等式看成关于a，b的直线方程：（x2﹣1）a+2xb+x﹣2＝0，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，≥所以a2+b222221()51(24)2xx xx-≥=+-++-，∵x﹣252x+-在[3，4]是减函数，∴252+≤x﹣252x+≤-1+5；即92≤x﹣252x+≤-6；答案第6页，总22页故2115100(24)2x x ≥-++-；当x ＝3，a 225=-，b 350=-时取等号，故a 2+b 2的最小值为1100．故答案为：1100．【点睛】本题考查了函数的零点的应用，把等式看成关于a ，b 的直线方程（x 2﹣1）a +2xb +x ﹣2＝0是难点，属于较难题． 7.以椭圆2212x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______.答案及解析：7.221x y -= 【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点和顶点坐标，得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双曲线的方程．【详解】椭圆2212x y +=的焦点为F （±1，0）， 顶点为（0）；则双曲线的顶点为（±1，0），焦点为（，0）， ∴a ＝1，c∴b ==1， ∴双曲线的方程为221x y -=， 故答案为：221x y -=．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题． 8.某圆锥体的侧面图是圆心角为23π的扇形，当侧面积是27π时，则该圆锥体的体积是______. 答案及解析：8. 【分析】由圆锥体侧面展开图的半径是圆锥的母线长，展开图的弧长是底面圆的周长，可以求出圆锥的母线和底面圆半径，从而得出高和体积．【详解】设圆锥的侧面展开图扇形的半径为l ，则侧面展开图扇形的面积S 1223π=⨯ l 2＝27π；∴l ＝9．又设圆锥的底面圆半径为r ，则2πr ＝23πl ， ∴r 13=l ＝3； ∴圆锥的高h ===； ∴该圆锥体的体积是：V 圆锥13=•πr 2•h 13=•π•9•=． 故答案为：．【点睛】本题考查圆锥的体积公式，考查了空间想象能力，计算能力，关键是弄清楚侧面展开图与圆锥体的关系,属于基础题． 9.关于x 的方程1x +=m 的取值范围是______.答案及解析：9.m 1≥-． 【分析】由题意可得，函数y ＝x +1的图象和函数y =的图象有一个交点，对函数y m 分类，分别画出y =m 的取值范围．【详解】∵关于x 的方程x+1=有一个实数解， 故直线y ＝x +1的图象和函数y =在同一坐标系中分别画出函数y ＝x +1的图象和函数y =的图象．由于函数y =当m=0时，y x ===和直线y ＝x +1的图象如图：答案第8页，总22页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………满足有一个交点； 当m>0时，y 2m x =+n y 2﹣x 2＝m(y>0)此双曲线y 2﹣x 2＝m 的渐近线方程为y ＝±x ，其中y=x 与直线y ＝x +1平行， 双曲线y 2﹣x 2＝m 的顶点坐标为（0，m ）， 如图：只要m>0，均满足函数y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+的图象有一个交点，当m<0时，y 2m x =+n x 2﹣y 2＝﹣m(y>0)，此双曲线x 2﹣y 2＝﹣m 的渐近线方程为y ＝±x ，其中y=x 与直线y ＝x +1平行， 而双曲线x 2﹣y 2＝﹣m 的顶点坐标为（m -0），如图：○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………1m -≤时，满足函数y ＝x +1的图象和函数y 2m x +即当1m 0-≤<时符合题意； 综上： m 1≥-， 故答案为：m 1≥-．【点睛】本题考查的知识点直线和双曲线的位置关系的应用，将问题转化为直线y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+10.若虛数1z 、2z 是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，且212z z =，则pq =______.答案及解析：10.1 【分析】设z 1＝a +bi ，则z 2＝a ﹣bi ，（a ，b ∈R ），根据两个复数相等的充要条件求出z 1，z 2，再由根与系数的关系求得p ，q 的值．【详解】由题意可知z 1与z 2为共轭复数，设z 1＝a +bi ，则z 2＝a ﹣bi ，（a ，b ∈R 且b 0≠），又212z z =，则222abi a b -+=a ﹣bi ，∴（2a +b ）+（a +2b ）i ＝1﹣i ，∴22122ab 3a ab a b b ⎧=-⎪⎧-=⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩．∴z 1＝12-3，z 2＝132-i ，（或z 2＝12-3，z 1＝132--i ）由根与系数关系，得p ＝﹣答案第10页，总22页（z 1+z 2）＝1，q ＝z 1•z 2＝1， ∴pq ＝1． 故答案为：1.【点睛】本题考查实系数一元二次方程在复数集的根的问题，考查了两个复数相等的充要条件，属于基础题． 11.已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R =______.答案及解析：11. 【分析】根据题意，得出AB ＝BC ＝CA ＝R ，利用其周长得到正三角形ABC 的外接圆半径r ，故可以得到高，设D 是BC 的中点，在△OBC 中，又可以得到角以及边与R 的关系，在Rt △ABD 中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R ．【详解】∵球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ， ∴∠ABC ＝∠BCA ＝∠CAB 3π=，∴AB ＝BC ＝CA ＝R ，设球心为O ，因为正三角形ABC 的外径r ＝2，故高AD 32=r ＝3，D 是BC 的中点． 在△OBC 中，BO ＝CO ＝R ，∠BOC 3π=，所以BC ＝BO ＝R ，BD 12=BC 12=R ．在Rt △ABD 中，AB ＝BC ＝R ，所以由AB 2＝BD 2+AD 2，得R 214=R 2+9，所以R ＝故答案为：【点睛】本题考查了球的基本概念及性质应用，考查了空间想象能力，是基础题． 12.椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为______.答案及解析：12.6【分析】消参求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【详解】将5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩变形为cos 5sin 4xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，平方相加消去参数θ可得：2212516x y +=， 所以，c ==3，所以，焦距为2c ＝6．故答案为6．【点睛】本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键． 13.已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的体积相等，则它们的表面积之比:S S =圆柱球______.（用数值作答）答案及解析： 13.76【分析】由已知中圆柱M 与球O 的体积相等，可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系，进而求出圆柱和球的表面积后，即可得到S 圆柱：S 球的值．【详解】∵设圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径均为R ，M 的高为h 则球的表面积S 球＝4πR 2 又∵圆柱M 与球O 的体积相等 即2343R h R ππ= 解得h ＝43R ， 4πR 2＝2πR 2+2πR •h 则S 圆柱＝2πR 2+2πR •h=2143R π，S 球24R π=，答案第12页，总22页∴S 圆柱：S 球147436==：， 故答案为：76. 【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，其中根据已知求出圆柱的高，是解答本题的关键． 14.已知实数x 、y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为______.答案及解析：14.5试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,1),(2,1),(1,0)A B C -，直线2z x y =-过点C 时取最大值1. 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 15.已知双曲线221x y -=，A 1、A 2是它的两个顶点，点P 是双曲线上的点，且直线P A 1的斜率是12，则直线P A 2的斜率为______.答案及解析：15.2 【分析】设P （x 0，y 0），则22001x y -=，202011y x =-，由A 1（﹣1，0），A 2（1，0），知k 1k 2200020001111y y y x x x =⋅==+--，由此能求出直线P A 2的斜率．【详解】设P （x 0，y 0），则22001x y -=，○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∴202011y x =-， ∵A 1（﹣1，0），A 2（1，0），设直线P A 1的斜率为k 1，直线P A 2的斜率为k 2，∴k 1k 2200020001111y y y x x x =⋅==+--， ∵k 112=， ∴k 22=． 故答案为：2．【点睛】本题考查两直线的斜率之积的求法，考查曲线上点的坐标与曲线方程的关系，考查了分析问题的能力，属于基础题． 16.棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别在线段AB 1、BC 1上运动（不包括线段端点），且AM BN =.以下结论：①1AA MN ⊥；②若点M 、N 分别为线段AB 1、BC 1的中点，则由线MN 与AB 1确定的平面在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上的截面为等边三角形；③四面体MBCN 的体积的最大值为124；④直线D 1M 与直线A 1N 的夹角为定值.其中正确的结论为______.（填序号）答案及解析：16.① ② ③ 【分析】①作NE ⊥BC ，MF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，可得四边形MNEF 是矩形，可得MN ∥FE ，利用AA 1⊥面AC ，可得结论成立；②截面为△AB 1C ，为等边三角形，故正确． ③设=BN 1λB C ，则MBCN V ＝13BCN S V n d M ﹣BCN =11λ1λ624-≤（），故③成立；答案第14页，总22页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………④设=BN 1λB C ，当λ接近于0时，直线1M D 与直线1N A 的夹角接近于3π，当λ接近于1时，夹角接近于2π，故④不正确； 【详解】①作NE ⊥BC ，MF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，∵AM ＝BN ，∴NE ＝MF ，∴四边形MNEF 是矩形，∴MN ∥FE ，∵AA 1⊥面AC ，EF ⊂面AC ，∴AA 1⊥EF ，∴AA 1⊥MN ，故①正确；②点M 、N 分别为线段AB 1、BC 1的中点，则由线MN 与AB 1确定的平面在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 上的截面为△AB 1C ，为等边三角形，故②正确．③设=BN 1λB C ，则M BCN V -＝13BCN S V n d M ﹣BCN ，又AM=BN=11λB λA C B =, ∴BCN S V =1λ2，d M ﹣BCN =()1λAB 1λ-=-，∴MBCN V ＝13BCN S V n d M ﹣BCN =11λ1λ624-≤（），当且仅当1λ2=时取得最大值，故③成立；④设=BN 1λB C ，当λ接近于0时，直线1M D 与直线1N A 的夹角近似于直线1A D 和直线1B A 的夹角，接近于3π，当λ接近于1时，直线1M D 与直线1N A 的夹角近似于直线11D B 和直线11A C 的夹角，接近于2π，故④不正确； 综上可知，正确的结论为①②③ 故答案为：①②③【点睛】本题考查线面平行、垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 评卷人 得分二、解答题 本大题共5道小题。
