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12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的 叫做归纳推理。
简言之：，归纳推理是 的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。
典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。
动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。
1．什么叫推理？从结构上说,推理一般由哪两部分组成？请分析一下.
2．合情推理的两种主要形式是什么？
3．什么样的推理叫归纳推理？它的思维过程是什么？
4．归纳推理有哪些特点？
5.对任意的正整数n,猜想n 2与2
n 的大小.
通过观察以上两个式子，请你写出一般性的命题，并加以证明.
7.设,),()(,),()(),()(,cos )(*
112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+
则=)(2008x f .
8.将全体正整数排成一个三角形数阵:
按照以上排列的规律,第n 行 (3≥n )从左向右的第3个数为 .
1.已知,6,321==a a 且n n n a a a -=++12,则33a = .
2.从222576543,3432,11=++++=++=中,可得一般规律为 .
3.已知数列{}n a 满足:3
3,311+==+n n n a a a a ,试通过计算5432,,,a a a a 的值,推测出=n a .
依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是 . 5.)(131211)(*N n n
n f ∈++++
= , 经计算27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ,推测当2≥n 时,有 . 6.当5,4,3,2,1=n 时,41)(2
++=n n n f 的值分别是43,47,53,61,71,它们都是素数. 由归纳法你能得到什么猜想?所得的猜想正确吗?。
合情推理与归纳推理的关系合情推理和归纳推理，这俩词听上去可能有点高深，其实说白了就是咱们日常生活中常用的推理方式。
合情推理，顾名思义，就是要结合情理来分析问题。
想想看，咱们遇到麻烦事儿的时候，常常会根据以往的经验来判断，哦，可能是这样的，这种情况一般会这样发展。
这就是合情推理，特别像咱们平常聊天时，感觉到某个人情绪低落，没必要非得问个究竟，心里就知道大概发生了什么。
这种直觉就源自生活中的观察，真的是“见人说人话，见鬼说鬼话”的道理。
再说归纳推理，这个词听起来就像是个文艺范儿的家伙，给人一种复杂的感觉。
其实归纳推理就是把多个个例归结为一个一般性的结论。
比如，假设你在公园里见到五只小狗，每只都热情得不得了，你心里就琢磨着“哦，这个品种的小狗都特别友好！”这就是归纳推理，简单明了。
你从具体的实例出发，慢慢推到一个普遍的结论，像是从点到面，像极了咱们小时候看书，图文并茂的那种，明白了一个就能推导出更多的道理。
合情推理和归纳推理是如影随形的。
就像两位好朋友，一起玩耍，一个负责找乐子，一个负责分析情况。
合情推理在乎的是情感、语境，归纳推理则偏重于逻辑、事实。
咱们生活中每当遇到新情况，都少不了这两种推理的结合。
比如，你去朋友家做客，看到他们家有只猫特别粘人。
你心里不禁琢磨，难道这只猫对我有特别的好感？这就是合情推理。
不过，回头一想，可能是因为他们家平时就养猫，猫对来的人都这样热情，这就是归纳推理了。
而且啊，生活中这两者的关系往往不是那么清晰。
很多时候，你可能是先用合情推理判断，然后再用归纳推理来确认。
比如，看到一位同事在午餐时总是点沙拉，你心想“她一定很注重健康。
”这就合情推理。
但随着时间推移，发现她每天都是这样，你才开始觉得“哦，看来她的饮食习惯就是这样。
”这时你用到了归纳推理，合情和归纳在这里就像是热锅上的蚂蚁，互相作用，密不可分。
咱们说到这里，可能有人会问，这合情推理和归纳推理能在生活中带来什么好处呢？答案当然是非常实用啊！比如在职场上，合情推理可以帮助你了解同事的情绪，促进沟通。
苏教版选修1-2（2-2）新课程教学案合情推理—归纳推理●江苏省睢宁县菁华学校（221200） 卢清莲一、学习要求：1、通过生活中的实例和已学过的数学实例，了解推理、归纳推理的含义；2、能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的应用；3、通过已学知识感受和体会归纳推理的思维方法，进一步培养创新意识.二、互动课堂：（一）自学评价：1、识记：___________________________的思维过程称为推理.解：从一个或几个已知命题得出另一个新的命题.巧记方法：“推出道理”即“推理”.2、识记：根据一类事物的_________具有某种性质，推出这一类事物的_______都具有这种性质的推理叫归纳推理，简称归纳法.解：部分对象，所有对象；巧记方法：由“特殊”到“一般”的推理.3、已知一数列：2，4，8，16，gg g g g g ，则它的通项公式是____________. 解：2()n a n n N =∈.4、已知一数列：3g g g g g g ，则它的通项公式是____________.解：)n a n N =∈.5、归纳推理的一般步骤是：①___________;②___________;③_____________.解：观察、实验；概括、推广；猜想.6、思考：归纳推理的特点是什么？解：简要地说是：①特殊—一般;②猜测的或然性;③创造性.（二）新课引入：意大利数学家斐波那契（L g Fibonacci ）在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对成年兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就长成了成年兔子，如果不发生死亡，那么由一对成年兔子开始，一年后能有多少对成年兔子呢？在学生无法解决的情况下，提出怎样解决这个问题呢？先深入学习本节知识吧！（三）互动探究：1、见本节开头的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？ 解答：共同点：都是由前提与结论两部分组成.不同点：（1）是由特殊到一般的推理；（2）是由特殊到特殊的推理；（3）是由一般到特殊的推理.2、列举几个归纳推理的的例子，并检查当n =6，7，8，9，10，11时本节开头的推理案例中结论的正确性.由此你能得出什么结论？解答：（1）在一次数学测验中，甲、乙同学都考得及格，由此得出其他同学也考得及格；（2）凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，由此我们猜想：凸n 有1(3)2n n -条对角线；等等 其中（1）的结论不正确，（2）正确.当n =6时，211n n -+=41；当n =7时，211n n -+=53；当n =8时，211n n -+=67；当n =9时，211n n -+=83；当n =10时，211n n -+=101；当n =11时，211n n -+=121；121不是质数，从而得出结论：对于小于11的自然数n ，211n n -+的值都是质数.（四）经典范例：例1、已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值.【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下）（1）113(1)1144f a =-=-= 1213824(2)(1)(1)(1)(1)94936f a a f =--=⋅-=⋅== 12312155(3)(1)(1)(1)(2)(1)163168f a a a f =---=⋅-=⋅= 由此猜想，2()2(1)n f n n +=+ 解题回顾：虽然由归纳推理所得的结论未必正确，但它所具有的特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于数学发现，科学家的发明是十分有用的.（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性的命题（猜想）；是解决上述问题的根据.例2、解答新课引入问题：解：从具体问题出发，经过观察、分析再进行归纳.本题提出的问题就需要我们去观察和分析，我们依次给出各个月的成年兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，g g g ，这就是斐波那契数列，此数列中，11a =，你能归纳出，当3n ≥时，n a 的递推关系吗？从第3项开始，逐项观察分析每项与其前面几项的关系易得，从第3项起，它的每一项等于它前面两项之和，即*12(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈.（五）追踪训练：1、设1111122334(1)n s n n =++++⨯⨯⨯+g g g ，写出1s =_____,2s =_____,3s =_____,4s =_____,归纳推理出n s =______________. 解：12；23；34；45；1n n +. 2、已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则33a =（A ）A. 3B. -3C. 6D. -6解：3213a a a =-=，4323a a a =-=-，5436a a a =-=-，6543a a a =-=-，7653a a a =-=，8766a a a =-=，故{}n a 是以6项为一个周期的数列，所以333a a =.3、观察：1(1201)12⨯-⨯=，1(2312)22⨯-⨯=，1(3423)32⨯-⨯=，1(4534)42⨯-⨯=，g g g g g g .你能做出什么猜想？ 解： []1(1)(2)(1)12n n n n n ++-+=+. 三、拓展延伸：通过计算215，225，235，245，g g g ，你能很快算出21995吗？分析：2152251001(11)25==⨯⨯++；2256251002(21)25==⨯⨯++；24520251004(41)25==⨯⨯++；由此，归纳出21995100199(1991)25=⨯⨯++.解题回顾：首先考察得出个位上的数字为5的自然数的平方数的末两们是25，只需要探索其百们以上的数的规律，并归纳，猜想出结论.四、总结回顾：1.归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理.通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.2.归纳推理的一般步骤：1)通过观察个别情况发现某些相同的性质.2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.五、课外练习与检测1、下面的几个推理是归纳推理的是（C ）①教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；②由直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和是180o ，归纳出所有三角形的内角和都是180o ；③由圆的性质得出球的有关性质.A. ①②③B. ②③C. ①②D. ①③2、平面上有(3)k k ≥条直线，其中1k -条直线互相平行，剩下一条与它们不平行，则这k 条直线将平面分成区域的个数为（C ）.A. kB. k +2C. 2kD. 2k +23、设2222121234(1)n n s n -=-+-++-gg g ，通过计算1s ，2s ，3s ，4s ，g g g 可以猜测n s 等于（D ） A. (1)2n n + B. (1)2n n +- C. (1)(1)2n n n +- D.1(1)(1)2n n n -+- 4、设等差数列{}n a 的公差是d ，那么21a a d =+；3212a a d a d =+=+；4313a a d a d =+=+；g g g g g g由此猜想等差数列的通项公式是n a =________.解：观察d 的系数与序号的关系可得： 1(1)n a a n d =+-.5、设0()sin f x x =，/10()()f x f x =，/21()()f x f x =，g g g ，/1()()n n f x f x +=.n N ∈，则2005()f x =__________________________.解：//10()()sin cos f x f x x x ===；//21()()cos sin f x f x x x ===-；//32()()(sin )cos f x f x x x ==-=-；//43()()(cos )sin f x f x x x==-=；//541()()sin cos ()f x f x x x f x ====；62()()f x f x =，g g g ，44()()n f x f x +=，故可知()n f x 是以4为周期的函数.所在20051()()cos f x f x x ==.6、设2()41f n n n =++，*n N ∈，计算(1)f ，(2)f ，(3)f ，(4)f ，g g g ，(10)f 的值，同时作出归纳推理，并验证猜想是否正确.解：2(1)114143f =++=，2(2)224147f =++=，2(3)334153f =++=，2(4)444161f =++=，2(5)554171f =++=，2(6)664183f =++=，2(7)774197f =++=，2(8)8841113f =++=，2(9)9941131f =++=，2(10)101041151f =++=.因为43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数.所以归纳为：当n 取任何非负整数时，2()41f n n n =++都是质数.因为2(40)4040414141f =++=⨯，所以(40)f 是合数.因此上面的归纳是错误的.。
《合情推理─归纳推理》的评课朱辉华师：我们知道，“推理”活动对于人们认知客观世界和改造客观世界而言，具有非常重要的意义。
所以我们有必要对“推理”的数学意义进行较深入的学习和加强。
虽然，以古希腊为代表的西方数学在“推理”方面具有明显的特点与优势，但中国古代也产生了大量的、擅长“推理”的“专家”。
现在请大家观看一段视频，并且在观看的同时思考一个问题：即里面所涉及的主要人物是怎样对面临的问题进行推理的？下面的视频是三国演义中有关“草船借箭”的视频，主要演示当晚江中两军对峙的若干场景以及曹操面对“敌军忽至”的应对策略，时间为1分20秒。
师：视频中显示的主人公是谁呀？生：曹操！师：那“草船借箭”真正的主人公是谁？生：诸葛亮！师：俗话说的好：三个臭皮匠，顶个诸葛亮，下面我们来分析一下他怎么敢在周瑜面前夸下海口，保证能借到“箭”呢？有什么理由？生：因为曹操性格是多疑的，他怀疑有埋伏，……老师和学生一起进一步分析，得到：⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭(1)今夜恰有大雾(2)曹操生性多疑草船借箭必将成功(3)弓弩利于远战(4)北军不擅水战 师：由上可见，诸葛亮显然是一个善于利用推理的“专家”。
象这种利用几个已知的判断来确定一个新的判断，这就是我们前面所讲的“推理”。
教师下面介绍了“推理”的概念。
并利用如下的“思考1”让学生学习了“推理”与“合情推理”的分类，引出了本节课的主题───归纳推理。
思考1：试根据以下前提进行猜想。
①由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电②由三角形内角和为180°，凸四边形内角和为360°，凸五边形内角和为540°。
③地球上有生命，火星具有一些与地球类似的特征。
④因为所有人都会死，而苏格拉底是人。
师：我们通过“思考1”的前面两个小题与屏幕上的两种推理（注：这里略去）能不能总结出“归纳推理”的某些特征。
生：很好！我们可以借此得到归纳推理的概念。
即由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。
这里面哪些是关键词？生：部分对象，全部对象，个别事实，一般结论。
师：很不错！事实上归纳推理即为由部分到整体，由个别到一般的推理。
这种推理在生活及学习中极为常见。
大家能不能分组讨论一下，得到一些例子？学生积极参与了讨论，也得到了一些生活以及学科上的例子，如市场的菜涨价问题、用样本去估计总体以及化学中酸与碱反应问题等等。
师：实际上，在近代有得多著名科学猜想。
如费马大、小定理、费马素数猜想、黎曼猜想、四色定理以及角俗猜想等等都与归纳推理有着千丝万缕的关系。
我们不妨看一下下面的“哥德巴赫猜想”。
对于等式：3＋7＝10,3＋17＝20,13＋17＝30，…，哥德巴赫经过观察没有得到有用的结果，后经过“局部整容”，即改变数学结构的呈现方式：10＝3＋7,20＝3＋17,30＝13＋17，…，他发现这些偶数能拆成两个奇质数之和。
通过更多特例的检验，从6开始，没有出现反例，于是他就大胆猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和，即可以表示成122n p p =+*(,n N n ∈≥3)，这个猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”。
是“明珠”，大家都想要，我国数学家王元、陈景润等都在此问题上作出了杰出的成绩，其中后者更最接近“明 珠”的结论，即122n p p =+。
在学生对此猜想进行若干尝试之后，教师结合相应软件对猜想进行了实例展析。
师：我们从“哥德巴赫猜想”的产生与尝试解决的历程，可以学到什么？生：首先应大胆猜想；其次是在必要时应改变数学结构的呈现形式。
生：还有，在学习过程中应抓住机遇并反复尝试，才能对事物的内部规律有所发现。
师：很漂亮！另外，哥德巴赫猜想是否正确？（学生表示未加以完全证明之前，不能说其是正确的）那就说明通过归纳推理得到的结论是……生：可能是正确的，也可能是不正确的！师：哥德巴赫猜想、四色定理、牛顿发现万有引力以及门捷列夫发现元素周期律等等充分说明应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论！用一个成语表示，就是“一叶知秋”，即通过一些具体的、有限的事例能够推知一般的规律。
下面的同学发会心的微笑。
师：下面请同学们运用刚才所学的知识解决如下题组一的有关问题。
①对于数列1,3,5,7,,L 由此你猜想出第n 个数是_________________。
②观察图，可以发现一般性结论：_________________。
21342+==，213593++==，21357164+++==，213579255++++==③对任意的正整数n ，猜想12n -与2(1)n +的大小关系。
学生对于前面两个小题的解决不成问题，而有相当多的同学对于最后一个问题却产生了错误，即认为：对于*n N ∈，总有122(1)n n -<+。
针对这种情况，教师先与同学们一起进行验证，结果同学们终于发现上面的结论存在着问题。
教师随之利用几何画板软件对这两种函数的图像进行了比较，得到了正确的结论。
师：我们也可以在数学史上找到一些利用归纳推理而导致错误的例子，如著名的费马素数猜想。
于是，教师向同学们介绍了费马素数猜想的起源与解决过程以及希尔伯特的“23个问题”等猜想对数学发展的重大促进作用。
并与同学们一起总结了归纳推理的基本过程与若干特点。
师：虽然归纳推理具有从特殊到一般以及创造性的特点，但由于其还具有或然性的特点，所以著名的数学教育家波利亚先生说过：“合情推理是冒险的，有争议的和暂时的”。
那么现在有一个重大的问题：既然归纳推理有这样的“先天不足”，那么我们还有必要经常使用它来分析问题，甚至于解决问题吗？生：我认为有必要，因为虽然它有缺点，但也具有鲜明的特点，即具有创造性，我们能够运用它发现出一些对我们有用的、隐藏于内部的规律！这时候，另有同学插嘴说：“人都有缺点，何况是一种数学推理方法呢！我人；较要忍受它的缺点，发扬它的优点！”同学们发出一阵欢笑。
师：由于归纳推理的结果是带有或然性的，我们可以用一句著名的广告语，即…… 生：（异口同声）一切皆有可能！然后教师让同学们独立思考、分析题组二（这里略去），强调数列通项公式的猜想应注意各项之间的共同特征以及项与序号n 之间的关系；再师生结合几何画板软件讨论、分析了有关吴文俊教授与“机器证明”的有关史实。
师：以前我们大多数同学都接触过“河内塔游戏”，现在请大家阅读之后，思考一下怎样通过归纳推理来分析这一问题。
（“河内塔”问题在此略去，详见人教版选修1－229P 页）同学们比较熟练地分别解决了1至3个金属片的移动次数问题。
师：我们不但应进行数值上的归纳，而且也应该进行数学方法上的归纳。
那现在我们分别考虑一下2个金属片移动与1个金属片移动、3个金属片移动与2个金属片移动之间存在着何种联系？结合游戏软件让同学们动手操作，在解决了4个金属片移动的问题后，通过教师的引导，同学们归纳出：移动n 个金属片的任务，可以转化成移动两次(1)n -个金属片和移动一次第n 个金属片的任务，即121n n a a -=+，并且归纳得出21n n a =-。
师：这个结论是我们猜想的结果，是不是正确的？能不能通过上面的分析过程加以证明呢？生：可以通过递推公式11121nn a a a -=⎧⎨=+⎩加以证明。
教师与同学们不约而同地鼓起掌来，然后大家对这个游戏的操作与推理过程进行了数学思想方法层面上的总结，强调了转化与归纳思想在数学中的应用。
最后，师生对这节课内容进行了相应地梳理，教师布置作业也正好下课了。
对这节新授课教学的若干分析1．本案例从教学设计上看，案例构思合乎新课程理念，颇具匠心新课标指出：“教材中素材的选取，首先要有助于反映相应数学内容的本质，有助于学生对数学的认识和理解，激发他们学习数学的兴趣，充分考虑学生的心理特征和认识水平”。
正是基于这种理念，并考虑到数学推理在日常生活、军事政治等方面的广泛应用，本节课采用了同学们耳熟能详的《三国演义》中“草船借箭”视频，并且精心选取、合成了能反映人物心理变化与战场实景的片断。
这种素材不仅紧扣本节课的主题，引出了“推理”的数学概念，而且极大的调动了学生的注意力与积极性，取得了良好的效果。
其次，由于“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理”，所以在本节课的授课过程中，教师“因地制宜”地、非常贴切地利用“局部整容”、“一叶知秋”以及“一切皆有可能”等比喻来展示所对应的数学的特征或其形式的变化特点。
这种设计使得原本让人感觉生涩、抽象的数学变得较为浅显易懂，并且在形式上呈现出幽默风趣、言简意赅的物色，使“数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”，这从现场学生的反应情况以及笔者课后的调查情况中得到了充分映证。
另外，“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中”。
显而易见，本节课不仅在具体内容上把哥德巴赫猜想、费马素数猜想以及“河内塔游戏”等数学文化蕴含其中，而且还涉及到四色定理、机器证明以及著名的“23个数学问题”等数学文化。
通过这些内容的学习和“洗礼”，使学生了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；养成求知、求实、大胆猜想以及勇于探索的情感和态度。
最后，新课标指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。
……使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程”。
在本节课的授课过程中，不仅在归纳推理举例时让学生们积极参与，而且在解决问题遇到困难时，两次让学生自身通过几何画板软件演示从而突破难点。
而在“河内塔游戏“的解决过程中充分调动学生的积极性，利用游戏软件让师生、生生互动，不但在金属片的移动次数的数值上进行规律上的归纳，而且还在教师n 个金属片的移动过程的关系。
从而达到数的协助下，归纳出n个金属片的移动过程与1学思想方法认识上的飞跃，使学生实现了主动建构数学知识之目的。
2．本案例从整体上来看，还存在着几点尚待探讨的困惑首先，从本节课的整体效果以及听课师生的课后反应来看，大都持肯定态度。
但是笔者发现此节课有超过一半时间以上的授课、讨论等内容与数学无关或者说只是存在表面形式上的关系，由于“推理”这一部分内容与生活或者其它学科存在着密切的关系，所以师生讨论的范围并不囿于数学学科的范畴，这也无可置疑，但在另一方面也产生无法预料的副作用，即数学味不浓，有“去数学化”之嫌。
例如一学生举出化学中酸与碱反应这一方面的例子，导致教师的反应明显迟钝，只好采取淡化的方法，阻断了学生再向物理、生物等学科方面联想的念头。
笔者显然对授课教师做出这种选择持肯定态度。
