合情推理──归纳推理

12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的 叫做归纳推理。

简言之：，归纳推理是 的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。

2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。

典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。

动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。

1．什么叫推理？从结构上说,推理一般由哪两部分组成？请分析一下.
2．合情推理的两种主要形式是什么？
3．什么样的推理叫归纳推理？它的思维过程是什么？
4．归纳推理有哪些特点？
5.对任意的正整数n,猜想n 2与2
n 的大小.
通过观察以上两个式子，请你写出一般性的命题，并加以证明.
7.设,),()(,),()(),()(,cos )(*
112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+
则=)(2008x f .
8.将全体正整数排成一个三角形数阵:
按照以上排列的规律,第n 行 (3≥n )从左向右的第3个数为 .
1.已知,6,321==a a 且n n n a a a -=++12,则33a = .
2.从222576543,3432,11=++++=++=中,可得一般规律为 .
3.已知数列{}n a 满足:3
3,311+==+n n n a a a a ,试通过计算5432,,,a a a a 的值,推测出=n a .
依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是 . 5.)(131211)(*N n n
n f ∈++++
= , 经计算27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ,推测当2≥n 时,有 . 6.当5,4,3,2,1=n 时,41)(2
++=n n n f 的值分别是43,47,53,61,71,它们都是素数. 由归纳法你能得到什么猜想?所得的猜想正确吗?。

合情推理与归纳推理的关系合情推理和归纳推理，这俩词听上去可能有点高深，其实说白了就是咱们日常生活中常用的推理方式。

合情推理，顾名思义，就是要结合情理来分析问题。

想想看，咱们遇到麻烦事儿的时候，常常会根据以往的经验来判断，哦，可能是这样的，这种情况一般会这样发展。

这就是合情推理，特别像咱们平常聊天时，感觉到某个人情绪低落，没必要非得问个究竟，心里就知道大概发生了什么。

这种直觉就源自生活中的观察，真的是“见人说人话，见鬼说鬼话”的道理。

再说归纳推理，这个词听起来就像是个文艺范儿的家伙，给人一种复杂的感觉。

其实归纳推理就是把多个个例归结为一个一般性的结论。

比如，假设你在公园里见到五只小狗，每只都热情得不得了，你心里就琢磨着“哦，这个品种的小狗都特别友好！”这就是归纳推理，简单明了。

你从具体的实例出发，慢慢推到一个普遍的结论，像是从点到面，像极了咱们小时候看书，图文并茂的那种，明白了一个就能推导出更多的道理。

合情推理和归纳推理是如影随形的。

就像两位好朋友，一起玩耍，一个负责找乐子，一个负责分析情况。

合情推理在乎的是情感、语境，归纳推理则偏重于逻辑、事实。

咱们生活中每当遇到新情况，都少不了这两种推理的结合。

比如，你去朋友家做客，看到他们家有只猫特别粘人。

你心里不禁琢磨，难道这只猫对我有特别的好感？这就是合情推理。

不过，回头一想，可能是因为他们家平时就养猫，猫对来的人都这样热情，这就是归纳推理了。

而且啊，生活中这两者的关系往往不是那么清晰。

很多时候，你可能是先用合情推理判断，然后再用归纳推理来确认。

比如，看到一位同事在午餐时总是点沙拉，你心想“她一定很注重健康。

”这就合情推理。

但随着时间推移，发现她每天都是这样，你才开始觉得“哦，看来她的饮食习惯就是这样。

”这时你用到了归纳推理，合情和归纳在这里就像是热锅上的蚂蚁，互相作用，密不可分。

咱们说到这里，可能有人会问，这合情推理和归纳推理能在生活中带来什么好处呢？答案当然是非常实用啊！比如在职场上，合情推理可以帮助你了解同事的情绪，促进沟通。

苏教版选修1-2（2-2）新课程教学案合情推理—归纳推理●江苏省睢宁县菁华学校（221200） 卢清莲一、学习要求：1、通过生活中的实例和已学过的数学实例，了解推理、归纳推理的含义；2、能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的应用；3、通过已学知识感受和体会归纳推理的思维方法，进一步培养创新意识.二、互动课堂：（一）自学评价：1、识记：___________________________的思维过程称为推理.解：从一个或几个已知命题得出另一个新的命题.巧记方法：“推出道理”即“推理”.2、识记：根据一类事物的_________具有某种性质，推出这一类事物的_______都具有这种性质的推理叫归纳推理，简称归纳法.解：部分对象，所有对象；巧记方法：由“特殊”到“一般”的推理.3、已知一数列：2，4，8，16，gg g g g g ，则它的通项公式是____________. 解：2()n a n n N =∈.4、已知一数列：3g g g g g g ，则它的通项公式是____________.解：)n a n N =∈.5、归纳推理的一般步骤是：①___________;②___________;③_____________.解：观察、实验；概括、推广；猜想.6、思考：归纳推理的特点是什么？解：简要地说是：①特殊—一般;②猜测的或然性;③创造性.（二）新课引入：意大利数学家斐波那契（L g Fibonacci ）在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对成年兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就长成了成年兔子，如果不发生死亡，那么由一对成年兔子开始，一年后能有多少对成年兔子呢？在学生无法解决的情况下，提出怎样解决这个问题呢？先深入学习本节知识吧！（三）互动探究：1、见本节开头的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？ 解答：共同点：都是由前提与结论两部分组成.不同点：（1）是由特殊到一般的推理；（2）是由特殊到特殊的推理；（3）是由一般到特殊的推理.2、列举几个归纳推理的的例子，并检查当n =6，7，8，9，10，11时本节开头的推理案例中结论的正确性.由此你能得出什么结论？解答：（1）在一次数学测验中，甲、乙同学都考得及格，由此得出其他同学也考得及格；（2）凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，由此我们猜想：凸n 有1(3)2n n -条对角线；等等 其中（1）的结论不正确，（2）正确.当n =6时，211n n -+=41；当n =7时，211n n -+=53；当n =8时，211n n -+=67；当n =9时，211n n -+=83；当n =10时，211n n -+=101；当n =11时，211n n -+=121；121不是质数，从而得出结论：对于小于11的自然数n ，211n n -+的值都是质数.（四）经典范例：例1、已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值.【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下）（1）113(1)1144f a =-=-= 1213824(2)(1)(1)(1)(1)94936f a a f =--=⋅-=⋅== 12312155(3)(1)(1)(1)(2)(1)163168f a a a f =---=⋅-=⋅= 由此猜想，2()2(1)n f n n +=+ 解题回顾：虽然由归纳推理所得的结论未必正确，但它所具有的特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于数学发现，科学家的发明是十分有用的.（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性的命题（猜想）；是解决上述问题的根据.例2、解答新课引入问题：解：从具体问题出发，经过观察、分析再进行归纳.本题提出的问题就需要我们去观察和分析，我们依次给出各个月的成年兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，g g g ，这就是斐波那契数列，此数列中，11a =，你能归纳出，当3n ≥时，n a 的递推关系吗？从第3项开始，逐项观察分析每项与其前面几项的关系易得，从第3项起，它的每一项等于它前面两项之和，即*12(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈.（五）追踪训练：1、设1111122334(1)n s n n =++++⨯⨯⨯+g g g ，写出1s =_____,2s =_____,3s =_____,4s =_____,归纳推理出n s =______________. 解：12；23；34；45；1n n +. 2、已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则33a =（A ）A. 3B. -3C. 6D. -6解：3213a a a =-=，4323a a a =-=-，5436a a a =-=-，6543a a a =-=-，7653a a a =-=，8766a a a =-=，故{}n a 是以6项为一个周期的数列，所以333a a =.3、观察：1(1201)12⨯-⨯=，1(2312)22⨯-⨯=，1(3423)32⨯-⨯=，1(4534)42⨯-⨯=，g g g g g g .你能做出什么猜想？ 解： []1(1)(2)(1)12n n n n n ++-+=+. 三、拓展延伸：通过计算215，225，235，245，g g g ，你能很快算出21995吗？分析：2152251001(11)25==⨯⨯++；2256251002(21)25==⨯⨯++；24520251004(41)25==⨯⨯++；由此，归纳出21995100199(1991)25=⨯⨯++.解题回顾：首先考察得出个位上的数字为5的自然数的平方数的末两们是25，只需要探索其百们以上的数的规律，并归纳，猜想出结论.四、总结回顾：1.归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理.通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.2.归纳推理的一般步骤：1)通过观察个别情况发现某些相同的性质.2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.五、课外练习与检测1、下面的几个推理是归纳推理的是（C ）①教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；②由直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和是180o ，归纳出所有三角形的内角和都是180o ；③由圆的性质得出球的有关性质.A. ①②③B. ②③C. ①②D. ①③2、平面上有(3)k k ≥条直线，其中1k -条直线互相平行，剩下一条与它们不平行，则这k 条直线将平面分成区域的个数为（C ）.A. kB. k +2C. 2kD. 2k +23、设2222121234(1)n n s n -=-+-++-gg g ，通过计算1s ，2s ，3s ，4s ，g g g 可以猜测n s 等于（D ） A. (1)2n n + B. (1)2n n +- C. (1)(1)2n n n +- D.1(1)(1)2n n n -+- 4、设等差数列{}n a 的公差是d ，那么21a a d =+；3212a a d a d =+=+；4313a a d a d =+=+；g g g g g g由此猜想等差数列的通项公式是n a =________.解：观察d 的系数与序号的关系可得： 1(1)n a a n d =+-.5、设0()sin f x x =，/10()()f x f x =，/21()()f x f x =，g g g ，/1()()n n f x f x +=.n N ∈，则2005()f x =__________________________.解：//10()()sin cos f x f x x x ===；//21()()cos sin f x f x x x ===-；//32()()(sin )cos f x f x x x ==-=-；//43()()(cos )sin f x f x x x==-=；//541()()sin cos ()f x f x x x f x ====；62()()f x f x =，g g g ，44()()n f x f x +=，故可知()n f x 是以4为周期的函数.所在20051()()cos f x f x x ==.6、设2()41f n n n =++，*n N ∈，计算(1)f ，(2)f ，(3)f ，(4)f ，g g g ，(10)f 的值，同时作出归纳推理，并验证猜想是否正确.解：2(1)114143f =++=，2(2)224147f =++=，2(3)334153f =++=，2(4)444161f =++=，2(5)554171f =++=，2(6)664183f =++=，2(7)774197f =++=，2(8)8841113f =++=，2(9)9941131f =++=，2(10)101041151f =++=.因为43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数.所以归纳为：当n 取任何非负整数时，2()41f n n n =++都是质数.因为2(40)4040414141f =++=⨯，所以(40)f 是合数.因此上面的归纳是错误的.。

推理与证明第一节合情推理与演绎推理1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由局部到整体、由特殊到一般推理。

归纳推理一般步骤：•通过观察个别情况发现某些一样性质•从一样性质中推出一个明确表述一般命题〔猜测〕•证明2、类比推理由两个〔两类〕对象之间在某些方面相似或一样，推演出他们在其他方面也相似或一样；或其中一类对象某些特征，推出另一类对象也具有这些特征推理称为类比推理〔简称类比〕．类比推理是由特殊到特殊推理．类比推理一般步骤：•找出两类对象之间可以确切表述相似特征；•用一类对象特征去推测另一类对象特征，从而得出一个猜测；•检验猜测。

3、演绎推理从一般性原理出发，推出某个特殊情况下结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊推理；“三段论〞是演绎推理一般模式，包括•大前提---一般原理；•小前提---所研究特殊情况；•结论-----据一般原理，对特殊情况做出判断．题型一 用归纳推理发现规律例1： 通过观察以下等式，猜测出一个一般性结论，并证明结论真假。

解析：猜测：23)60(sin sin )60(sin 02202=+++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =23)cos (sin 2322=+αα=右边 注；注意观察四个式子共同特征或规律〔1〕构造一致性,〔2〕观察角“共性〞〔1〕先猜后证是一种常见题型〔2〕归纳推理一些常见形式：一是“具有共同特征型〞，二是“递推型〞，三是“循环型〞〔周期性〕题型二 用类比推理猜测新命题例2：正三角形内切圆半径是高13，把这个结论推广到空间正四面体，类似结论是______.解析：原问题解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=⇒⨯==，类比问题解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=⇒⨯==即正四面体内切球半径是高41 注：〔1〕不仅要注意形式类比，还要注意方法类比〔2〕类比推理常见情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间类比等〔3〕在平面与空间类比中，三角形对应三棱锥〔即四面体〕，长度对应面积；面积对应体积； 点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。

《合情推理——归纳推理》教学设计发表时间：2011-07-01T11:35:36.680Z 来源：《学园》2011年5月第9期供稿作者：刘红霞[导读] 设计意图：我想借助学生所举的例子进行变题，学生完成归纳，让学生感知：特殊→一般。

刘红霞江苏省靖江高级中学合情推理——归纳推理是数学选修2－2（苏教版）第二章第一节的内容，笔者设计的教学过程共分为以下四个环节：一创设情境，提出问题情境1：从一个盒子里摸出来的第一只是白粉笔，第二只是白粉笔，甚至第三只、第四只、第五只都是白粉笔的时候。

我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋里的东西全部都是白粉笔？” 情境2：再来看几组类似的例子例1：蛇是用肺呼吸的、鳄鱼是用肺呼吸的、海龟是用肺呼吸的、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物，从而我们猜想：爬行动物都是用肺呼吸的。

例2：三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°，凸五边形的内角和是540°，从而我们猜想：所有的凸几边形的内角和是（n－2）×180°。

例4：金属能导电，铜是金属，从而我们猜想铜能导电。

问题1：你认为什么是推理？问题2：观察例1、例2、例4这三个推理在结构上有什么共同点？设计意图：首先我利用可操作性，再现课本中，华罗庚的实验，再利用这样几个学生熟悉的例子，在教学过程中让学生经历数学化、自己构建数学推理和归纳推理的概念，并体会归纳推理的特点：部分到整体、特殊到一般、感性到理性，即体现归纳推理的思维过程。

二小组讨论，合作交流四人一组，小组讨论。

设计意图：这部分主要是先让学生自己举生活中和学科的例子，初步体会归纳推理的基本流程。

三具体应用，解决问题我设计了四部分，基础练习→提高练习→巩固练习→思维拓展，由浅入深，螺旋上升。

1．基础练习设计意图：我想借助学生所举的例子进行变题，学生完成归纳，让学生感知：特殊→一般。

2．提高练习我想让学生在有趣的活动中学习推理，进而总结归纳推理的步骤，所以我设计了这样两个游戏题。

高考作文写作指导：合情推理——类比归纳论证（附：范文及点评）议论文运用逻辑思维来思考、判断、推理，逻辑推理包括演绎推理与合情推理。

（一）演绎推理所谓“演绎推理”就是从一般性、普遍性的结论出发，经过严密的逻辑论证，得到一个特殊的个体性结论，也就是说，演绎推理是从一般到特殊的推理。

《师说》（唐朝韩愈）中的一段话，连用了两个演绎推理（两个三段论）人非生而知之者，孰能无惑？惑而不从师，其为惑也，终不解矣。

生乎吾前，其闻道也固先乎吾，吾从而师之；生乎吾后，其闻道也亦先乎吾，吾从而师之。

吾师道也，夫庸知其年之先后生于吾乎？是故无贵无贱，无长无少，道之所存，师之所存也。

第一个三段论：大前提：人人有惑（“人非生而知之者，孰能无惑”）小前提：有惑要从师学习（“惑而不从师，其为惑也，终不解矣”）。

结论：我们要从师学习以解惑（“道之所存，师之所存也”）。

第二个三段论：大前提：我们要从师学习以解惑（第一个三段论的结论）小前提：无论是年龄比我们大的还是比我们小的，他们都有可能懂得一些我们还不懂又值得我学习的道理（“生乎吾前，其闻道也固先乎吾”“生乎吾后，其闻道也亦先乎吾”“吾师道也”）。

结论：我们既要向年龄比我们大的人学习道理，也要向年龄比我们小的人学习道理（“……吾从而师之……吾从而师之”“夫庸知其年之先后生于吾乎”）如：下面是历史学家顾颉刚《怀疑与学问》一文的片段，它的论证结构运用的也是“三段论”演绎推理。

“学者先要会疑。

”——程颐“在可疑而不疑者，不曾学；学则须疑”——张载学问的基础是事实和根据。

事实和根据的来源有两种：一种是自己亲眼看见的，一种是听别人传说的。

譬如在国难危急的时候，各地一定有许多口头的消息，说得如何凶险，那便是别人的传说不一定可靠；要知道实际的情形，只有靠自己亲自去视察。

做学问也是一样，最要紧最可靠的材料是自己亲见的事实根据；但这种证据有时候不能亲自看到，便只能靠别人的传说了。

我们对于传说的话，不论信不信，都应当经过一番思考，不应当随随便便就信了。