反比例函数的性质

【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 反比例函数的定义．2. 反比例函数的图象和性质．二. 知识要点： 1. 反比例函数（1）一般地，形如y ＝kx （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数．其表达式也可以写成y ＝kx －1，有时利用变形式子xy ＝k ．（2）确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数y ＝kx 中，只有一个待定系数，因此只需一对对应值或图象上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定解析式． 2. “反比例关系”与“反比例函数”的异同 如果xy ＝k （k 是常数，k ≠0），那么x 与y 这两个量成反比例关系，这里x 、y 既可代表单独的一个字母，也可代表多项式或单项式，成反比例的关系式，不一定是反比例函数，如y －3＝k z ＋2中，y －3与z ＋2成反比例，但y 与z 不是反比例函数；又如y ＝2x 2中，y 与x 2成反比例，但y ，x 不是反比例函数，但反比例函数y ＝kx （k ≠0）中的两个变量必成反比例关系．3. 反比例函数的性质和图象（1）反比例函数的图象的形状是双曲线，它不是连续的整体图形，而是断开的两个独立的分支，它无限接近两坐标轴但永远也不能到达坐标轴．（2）反比例函数的图象的位置与增减性，当k ＞0时，反比例函数的图象的两个分支位于一、三象限．在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 的增大而增大．（3 4. 反比例函数y ＝kx （k ≠0）中的比例系数k 的几何意义过双曲线y ＝kx上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，所得的矩形PMON 的面积为S＝PM ·PN ＝︱y ︱·︱x ︱＝︱xy ︱，∵y ＝kx ，∴xy ＝k ，∴S ＝︱k ︱．即①过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形的面积为︱k ︱．②过双曲线上任意一点作x 轴（y 轴）的垂线，由该点、垂足和原点所构成的三角形的面积都是12︱k ︱．三. 重点难点：本节的重点是反比例函数的图象和性质，难点是在学习过程中要全面理解其性质及图象的特征，结合图象来理解，采用数形结合的思想方法．【典型例题】例1. 判断下列函数式，y 与x 是反比例函数关系的有哪些？①y ＝2x ＋1；②y ＝πx ；③y ＝a x ；④y ＝4x 2＋x －x 2；⑤xy ＝3；⑥y ＝13x ；⑦x （y ＋1）＝3；⑧2x ·3y ＝7．分析：按照反比例函数关系式的特征判断．①中，y 与x ＋1成反比例，不是y 与x 成反比例．③中没有说明a 的条件．⑦化简后为y ＝3x－1不符合反比例函数的形式，所以①③⑦不是反比例函数．对于②中，π为常数．④中化简得y ＝4x ．⑤可变形为y ＝3x．⑥可变形为y ＝13x ．⑧可变形为y ＝76x ．都符合反比例函数的一般形式，所以②④⑤⑥⑧是反比例函数． 解：②④⑤⑥⑧是反比例函数． 评析：（1）判断两种量是否成反比例关系时，通常写出这两种量的关系式．然后化简，再对照反比例函数式的特征进行解答．（2）反比例函数式y ＝kx （k 为常数，k ≠0）还可以写成y ＝kx －1或xy ＝k （k 为常数，k ≠0）．例2. 已知y 是x 的反比例函数，且当x ＝3时，y 的值是－5．（1）求y 与x 的关系式．（2）求当x ＝－5时，y 的值．分析：y 是x 的反比例函数，即x 与y 满足y ＝kx 这个关系式，且当x ＝3时，y 的值是－5，将这两个数值代入即可求出k 的值．解：（1）设y ＝k x （k ≠0），把x ＝3，y ＝－5代入得，－5＝k3．解之得，k ＝－15，所以，解析式为y ＝－15x．（2）把x ＝－5代入，得y ＝－15－5＝3．所以，当x ＝－5时，y 的值是3．评析：待定系数法求反比例函数解析式的步骤是：（1）设出函数解析式的一般形式为y ＝kx（k ≠0）．（2）把对应的x 与y 的值代入，得到一个关于k 的方程．（3）解方程，求出待定系数k 的值．（4）代入解析式即可得到要求的解析式．例3. （1）已知反比例函数y ＝（a －2）52-a x ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则该函数关系式是__________．（2）已知反比例函数y ＝1－3mx 的图象上有两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是__________．分析：（1）因为反比例函数y ＝（a －2）52-a x ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0a 2－5＝－1 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a 2＝4 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＝±2 ．所以a ＝－2，当a ＝－2时，函数关系式为y ＝－4x．（2）反比例函数的图象有两种情况：当1－3m ＞0时，如图（1）所示，此时y 1＜y 2；当1－3m ＜0时，如图（2）所示，此时y 1＞y 2；故可得1－3m ＞0，即m ＜13．(1)(2)解：（1）y ＝－4x （2）m ＜13评析：（1）对于y ＝kx （k 为常数，k ≠0）来说，当k ＞0时，反比例函数的图象的两个分支位于一、三象限．在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 的增大而增大．所以在此题中，应该有a －2＜0．（2）反比例函数y ＝kx ，当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，但并不是说反比例函数的整个图象是从左往右上升的，因此一定注意，“在每个象限内”这个条件．例4. （1）（2008年上海）若反比例函数y ＝k x （k <0）的函数图像过点P （2，m ）、Q （1，n ），则m 与n 的大小关系是：m __________n （选择填“>”、“＝”、“<”）．（2）函数y ＝－ax ＋a 与y ＝－ax（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）分析：（1）由k ＜0知函数图象在二、四象限，且y 随x 的增大而增大，又图象过点P （2，m ）、Q （1，n ），2＞1，则m ＞n ．（2）由函数图象判断－a 的正负，看是否一致，可以发现函数y ＝－ax ＋a 中，当x ＝1时，y ＝0，即直线过定点（1，0），所以可排除B 和D ．在A 中，根据直线的图象可知－a ＜0，根据双曲线的图象可知－a ＜0，它们是一致的．在C中，根据直线的图象可知－a ＞0，根据双曲线的图象可知－a ＜0，它们是不一致的，应排除．解：（1）＞（2）A例5. 点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PA 交双曲线y ＝1x 于点A ，连接OA ．（1）如图（1）所示，当点P 在x 轴的正方向上运动时，R t △AOP 的面积大小是否变化？若不变，请求出R t △AOP 的面积；若改变，试说明理由．（2）如图（2）所示，在x 轴上的点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线DB 交双曲线y ＝1x 于点B ，连接BO 交AP 于C ，设△AOP 的面积为S 1，梯形BCPD 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是S 1__________S 2．（选填“＞”“＜”或“＝”）解：（1）设A 点坐标为（x ，y ），则x ＞0，y ＞0．S △AOP ＝12·OP ·AP ＝12·x ·y ＝12×1＝12．所以当点P 在x 轴的正方向移动时，R t △AOP 的面积不发生变化．（2）由（1）的结果可知S △AOP ＝S △BOD ，而梯形BCPD 的面积小于S △BOD ，所以有S △AOP ＞S 梯形BCPD ，即S 1＞S 2．评析：从双曲线y ＝kx （k ≠0）上任一点向x 轴作垂线．则该点垂足及坐标原点构成的三角形面积都相等，其值为12︱k ︱．【方法总结】1. 反比例函数的图象是双曲线，双曲线所在的象限由比例系数k 来决定，当k ＞0时，双曲线在第一、三象限；当k ＜0时，双曲线在第二、四象限．2. 若两个变量的积是一个不为零的常数，则这两个变量成反比例．3. 求函数关系式时，一般用待定系数法．4. 在记忆反比例函数图象的性质时，要与正比例函数的性质相对照，不要混淆．5. 在反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象上任取一点向x 轴作垂线，则由垂足、原点及该点构成的三角形的面积不变，其值为12︱k ︱．【模拟试题】（答题时间：45分钟）一. 选择题1. 下列函数表达式中，是反比例函数的是（ ）A ．y ＝x －1B ．y ＝1x －1C ．y ＝x2D ．xy ＝－22. 一个长方形的面积为10，则这个长方形的长与宽之间的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．反比例函数关系C ．一次函数关系D ．不能确定3. 下列函数中，图象经过点（1，－1）的反比例函数解析式是（ ）A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x4. 已知（3，－1）是曲线y ＝kx（k ≠0）上一点，则下列各点中不在该图像上的点是（ ）A ．（13，－9）B ．（3，1）C ．（－1，3）D ．（6，－12）5. 如果两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2）在反比例函数y ＝1x 的图象上，那么（ ）A ．y 2＜y 1＜0B ．y 1＜y 2＜0C ．y 2＞y 1＞0D ．y 1＞y 2＞0*6. 若r 为圆柱底面的半径，h 为圆柱的高．当圆柱的侧面积一定时，则h 与r 之间的函数关系的图象大致是（ ）BC D7. 已知反比例函数y ＝2x，下列结论中，不正确的是（ ）A. 图象必经过点（1，2）B. y 随x 的增大而减小C. 图象在第一、三象限内D. 若x ＞1，则y ＜28. 反比例函数y ＝kx （k ＞0）的部分图象如图所示，A 、B 是图象上两点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，若△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，则S 1和S 2的大小关系为（ ）A. S 1＞S 2B. S 1＝S 2C. S 1＜S 2D. 无法确定二. 填空题1. 反比例函数y ＝kx 的图像经过点（2，－1），则k 的值为__________．2. 反比例函数y ＝15x 中，k ＝__________．3. 如果y ＝1x2n －5是反比例函数，则n ＝__________．4. 反比例函数y ＝kx的图象经过点（2，3），则这个反比例函数的解析式为_______________．5. 已知反比例函数y ＝kx 的图象分布在第二、四象限，则一次函数y ＝kx ＋b 中，y 随x 的增大而________（填“增大”、“减小”、“不变”）．*6. 如图，双曲线y ＝kx 与直线y ＝mx 相交于A 、B 两点，B 点坐标为（－2，－3），则A点坐标为__________．**7. 双曲线y ＝8x与直线y ＝2x 的交点坐标为__________．三. 解答题1. 指出下列式子哪些是反比例函数解析式？并指出x 的取值．（1）y ＝x 5 （2）y ＝－23x （3）y ＝13x 2 （4）y ＝3x2. 已知反比例函数y ＝ kx 的图象与一次函数y ＝3x ＋m 的图象相交于点（1，5）．求这两个函数的解析式；3.x 和y 的一些值：（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）根据求出的函数关系式完成上表．*4. 已知点P （2，2）在反比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象上，（1）当x ＝－3时，求y 的值；（2）当1＜x ＜3时，求y 的取值范围．**5. 如图所示，R t △ABO 的顶点A 是双曲线y ＝kx与直线y ＝－x ＋（k ＋1）在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，且S △ABO ＝32．求这两个函数的表达式；【试题答案】一. 选择题1. D2. B3. B4. B5. D6. B7. B8. B二. 填空题1. －22. 153. 34. y ＝6x 5. 减小 6. （2，3） 7. （2，4）和（－2，－4）三. 解答题1. （2）和（4）是反比例函数，其取值范围都是x ≠0．2. y ＝5x，y ＝3x ＋23. （1）y ＝20x（2）如下表所示：4. （1）－43（2）43＜y ＜45. y ＝－3x ，y ＝－x －2。

反比例函数的图像与性质一、反比例函数的概念：形如(0)ky k x=≠的函数，叫做反比例函数.其中x 是自变量,y 是函数 ,k 叫做比例系数. 【注】1、自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数,y 的取值范围也是不等于0的一切实数.2、在反比例函数ky x=(k≠0)的左边是函数y ,右边是分母为自变量x 的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x 的一次单项式,如1y x =,312y x =等都是反比例函数,但21y x =+就不是关于x 的反比例函数. 3、反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y =kx -1或xy =k 的形式.4、反比例函数中,两个变量成反比例关系. 二、反比例函数的图形与性质与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．，b ）在双曲线的一支上，则(),a b --在双曲线的即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k |.所以已知反比例函数可求矩形面积，反之，已知矩形面积可求反比例函数.【规律方法小结】正比例函数与反比例函数的区别与联系.【练】1、下列函数中，哪些是反比例函数？（1）31y x =-；（2）22y x =；（3）1y x =；（4）23x y =；（5）3y x =； （6）23y x =-；（7）12y x -=；（8）41y x =+；2、已知函数()231m m y m x +-=-中，y 是x 的反比例函数，求当3x =时，y 的值.反比例函数的图像与性质专项练习解答题1. 若变量y 与x 成正比例变量x 与z 成反比例，则 ( )A.y 与z 成反比例函数关系B.y 与z 成正比例函数关系C.y 与z 2成正比例函数关系D.y 与z 2成反比例函数关系2. 点P （1，3）在反比例函数ky x=(k≠0)的图象上，则k 的值是） A.13 B.3 C. 13- D.-3 3. 在反比例函数1ky x-=的图象的每一条曲线上，y x 都随的增大而增大，则k 的值可以是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．24. 如图，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积为S ，则（ ）A. S=2B. S=4C. 2<S<4D. S>45. 在函数22a y x--=（a 为常数）的图象上有三点()()()112233,,,,,x y x y x y ，且1230x x x ＜＜＜，则123,,y y y 的大小关系是 。

反比例函数性质
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。

而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。

反比例函数性质
1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.
2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大.
k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.反比例函数图像会无限接近于坐标轴但不相交（坐标轴是反比例函数图像的渐近线）
4.∣k∣越大，抛物线开口越大；∣k∣越小，抛物线开口越小。

反比例函数
5. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2 ,且等于|k|.
6.反比例函数的图象是双曲线，有两支，既是轴对称图形，对称轴是y=x或y=-x，又是中心对称图形，对称中心是坐标原点.
7.反比例函数图像中，|k|的值越大，图像越远离坐标轴.。

反比例函数图像与性质知识点总结一、反比例函数公式口诀反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线，x、y的顺序可交换。

二、反比例函数图象当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交。

图象画法1）在平面直角坐标系中标出点（一般标5个点，称为5点作图法）。

2）用平滑的曲线连接点。

当K>0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而减小。

当K<0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而增大。

当两个数相等时那么曲线呈弯月型。

k的意义及应用过反比例函数y=k/x（k≠0）图象上任意一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积为|k|。

过反比例函数图象一点，作任一坐标轴的垂线，并连接原点，围成的三角形的面积为|k|/2。

研究函数问题要透视函数的.本质特征。

反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积为|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。

这个常数是k的绝对值。

在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

三、反比例函数性质单调性当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。

k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

相交性因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例。

形如y=k/x（k为常数，k≠0，x≠0）的函数就叫做反比例函数。

公式：xy=k ，y=k1/x ，y=k/x反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。

画出Y=12/X的函数图像根据函数图像研究函数的性质
1．反比例函数 的图象经过点（－1， 2），那么这个反比例函数的解析式为 ，图象在第 象限，它的图象关于 成中心对称． 2．反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点A （1，m ），则m ＝ ，反比例函数的解析式为 ，这两个图象的另一个交点坐标是 ． (0)k y k x =≠(0)k y k x =≠2y x
=。

反比例函数的图像与性质教案教案标题：反比例函数的图像与性质教学目标：1. 理解反比例函数的定义及其特点；2. 掌握绘制反比例函数图像的方法；3. 理解反比例函数图像的性质。

教学准备：1. 教师：准备反比例函数的定义、性质和图像的讲解材料；2. 学生：准备笔、纸和计算器。

教学过程：导入（5分钟）：1. 引入反比例函数的概念，与学生一起回顾比例函数的定义及其性质；2. 提问：你们对反比例函数有什么了解？它与比例函数有何不同？讲解（15分钟）：1. 讲解反比例函数的定义：y = k/x，其中k为常数且不等于0；2. 解释反比例函数的性质：当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；3. 通过实例演示如何计算反比例函数的值，并讨论k的正负对函数图像的影响；4. 讲解反比例函数图像的特点：曲线经过第一象限的原点，且与坐标轴无交点。

练习（15分钟）：1. 学生在纸上绘制反比例函数y = 3/x的图像，并标出至少5个点；2. 学生计算并填写表格：x取1、2、3、4、5时，对应的y值；3. 学生观察表格数据，并总结反比例函数图像的特点。

拓展（10分钟）：1. 引导学生思考：如果反比例函数的定义中的k为负数，图像会有什么变化？2. 学生尝试绘制反比例函数y = -2/x的图像，并与之前的图像进行比较；3. 学生讨论负数k对反比例函数图像的影响，并总结出结论。

归纳（5分钟）：1. 教师与学生一起总结反比例函数的图像与性质；2. 学生回答以下问题：反比例函数图像经过哪个象限的原点？与坐标轴是否有交点？作业：1. 学生完成课堂练习的剩余部分，并绘制反比例函数y = -4/x的图像；2. 学生回答书面问题：反比例函数图像的性质与比例函数图像的性质有何不同？评估：1. 教师检查学生在课堂练习中的图像绘制情况；2. 教师评估学生对反比例函数图像与性质的理解程度。

教学延伸：1. 学生可以进一步探索反比例函数的应用，如在实际问题中的应用；2. 学生可以尝试绘制更多不同参数的反比例函数图像，比较它们之间的差异。

反比例函数的图象和性质（No.4）一、知识要点 1、反比例函数（1）定义：一般地，形如xky =（k 为常数，k≠0）的函数. 说明：①自变量x 在分母上，指数为1；②比例系数k ≠0；③自变量x 的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是y ≠0；④反比例函数的其他形式：k xy =，1-⋅=x k y . （2）图象：反比例函数的图象是双曲线，也称为双曲线x ky =（k≠0）. （3）性质2、待定系数法求反比例函数的解析式——只需图象上一个点的坐标即可求出k 值.3、反比例函数的图象的对称性 （1）中心对称：对称中心是原点；（2）轴对称：对称轴是直线y=x 和直线y=－x.二、基础演练1、如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） A.反比例函数 B.正比例函数 C.一次函数 D.反比例或正比例函数2、若反比例函数y=(2m －1)22-m x 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ）A.－1或1B.小于21的任意实数 C.－1 D.1 3、反比例函数xky =(k ＞0)的部分图象如图所示，A 、B 是图象上两点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，若△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，则S 1和S 2的大小关系为___________．第3题图 第5题图 第6题图4、若函数||1m xm y -=为反比例函数，则m=___________． 5、如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y=xk k 122++的图象上．若点A 的坐标为（－2，－2），则k的值为（） A ．1 B ．－3 C ．4 D ．1或－36、如图是三个反比例函数的图象的分支，其中k 1，k 2，k 3的大小关系是_____________________．7、已知y=y 1＋y 2，而y 1与x ＋1成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x=1时，y=2；x=0时，y=2，求y 与x 的函数关系式．8、如图所示，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y ＝xm的图象交于M 、N 两点． （1）根据图中条件求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）当x 为何值时一次函数的值大于反比例函数的值．二、能力提升9、下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ）A ．B ．C ．D ． 10、（1）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是_____________．（2）直线y=kx （k ＜0）与双曲线y=x2-交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值为______． 11、如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行．点P （3a ，a ）是反比例函数y=xk（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为_____________．第11题图 第12题图 第13题图12、如图，点A 、B 是函数y=x 与y=x1的图象的两个交点，作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ，则四边形ACBD 的面积为_________． 13、如图，已知反比例函数)0(>=k xky 的图象经过直角△OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为12，则k 的值为_______________．14、如图，□AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线)0(>=k xky 经过A 、E 两点，若□AOBC 的面积为12，则k=_______．第14题图 第15题图 第16题图 第17题图15、如图，在函数)0(8>=x xy 的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S 1=________，S n =______________．（用含n 的代数式表示） 16、如图，双曲线x k y =经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足32=AB AO ，与BC 交于点D ，S △BOD =21，求k= ．17、如图，已知点A 在反比例函数)0(<=x xky 上，作Rt △ABC ，点D 为斜边AC 的中点，连DB 并延长交y 轴于点E ，若△BCE 的面积为8，则k=_______．18、如图，直线2-=kx y (k ＞0)与双曲线xky =在第一象限内的交点为R ，与x 轴的交点为P ，与y 轴的交点为Q ；作RM ⊥x 轴于点M ，若△OPQ 与△PRM 的面积是4：1，求k 的值．。

第17讲 反比例函数的图象与性质考点·方法·破译1．反比例函数的定义：形如k y x=（或1y kx -=，k ≠0）,y 叫做x 的反比例函数. 2．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，关于y ＝x 或y ＝－x 轴对称，关于原点O 成中心对称，当k ＞0时，图象的两支分别在第一、三象限，当k ＜0时，图象的两支分别在第二、四象限，3．反比例函数的性质：当k ＞0时，在每个象限内，y 随x 增大而减小；当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 增大而增大.经典·考题·赏析【例１】（西宁）已知函数ky x=-中，x ＞0时，y 随x 增大而增大，则y ＝kx －k 的大致图象为（ ）k ＞0，而一 次A 01．已知反比例函数a y x=（a ≠0）的图象，在每一象限内，y 的值随着x 值增大而减小，则一次函数y ＝－ax ＋a 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 02．（龙岩）函数y ＝x ＋m 与my x=（m ≠0）在同一象限内的图象可以是（ 03（2，y 1随着x 其中正确结论的序号是 . 【例2】如图，A 、B 分别是反比例函数10y x =，6y x=图象上的点，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OB 、OA ，OA 交BD于E 点，△BOE 的面积为S 1，四边形ACDE 的面积为S 2，则S 2－S 1＝ .ABCDABC D【解法指导】在反比例函数kyx=中，k的几何意义为：中122121106()()22222ODE OBEk kS S S S S S∆∆-=+-+=-=-=【变式题组】01．（宁波）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数kyx=过点A，则k的值是（）A．2 B．－2 C．4 D．－402．（兰州）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线3yx=（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小03．（牡丹江）如图，点A、B是双曲线3yx=上的点，分经过A、B两点向x轴、y轴作垂线，若S阴影＝1，则S1＋S2＝.04．（河池）如图，A、B是函数2yx=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y 轴，△ABC的面积记为S，则（）A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞405．（泰安）如图，双曲线kyx=（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）A．1yx=B．2yx=C．3yx=D．6yx=【例3】（成都）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数myx=的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图⑵求△AOB 的面积.【解法指导】利用割补法求图形面积.解：⑴∵点A （－2，1）在反比例函数my x=的图象上， ∴m ＝(－2)×1＝－2，∴反比例函数的表达式为2y x=-.∵点 B （1，n ）也在反比例函数2y x=-图象上，∴n ＝－2，即B （1，－2）把点A （－2，1）点B （1，－2）代入一次函数y ＝kx ＋b 中，得212k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得11k b =-⎧⎨=-⎩ ∴一次函数的表达式为y ＝－x －1． ⑵在y ＝－x －1中，当y ＝0时，得x ＝－1，∴直线y ＝－x －1与x 轴的交点为C （－1，0），∵线段OC 将△AOB 分成△AOC 和△BOC ，∴1113111212222AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=+=.【变式题组】01．（徐州）如图，已知A (n ,－2),B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．⑴求反比例函数和一次函数的关系式； ⑵求△AOC 的面积； ⑶求不等式kx ＋b mx-＜0的解集（直接写出答案）02．已知反比例函数112k y x=的图象与一次函数22y k x b =+的图象交于A 、B 点，A (1，n )，B (12-，－2). ⑴求两函数的解析式；⑵在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，说明理由. ⑶求AOB △S ；⑷若y 1＞y 2，求x 的取值范围.03．如图，A 是反比例函数1ky x=（x ＞0）上一点，AB ⊥x 轴，C 是OB 的中点，一次函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点A 、C 两点，并交y 轴为D （0，－2），AOD S ∆＝4. ⑴求两函数的解析式；⑵在y 轴右侧，若y 1＞y 2时，求x 的取值范围.04．如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线ky x=与直线y ＝－x －(k ＋1)在第二象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，32ABO S ∆=. ⑴求这两个函数的解析式； ⑵求A 、C 两点的坐标；⑶若P 是y 轴上一动点，5PAC S ∆=，求点P 的坐标.【例4】（咸宁）两个反比例函数k y x =和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点.其中一定正确的是 （把你认为正确的序号都填上）【解法指导】∵A 、B 两点在1y x=的图象上，根 据反比例函数ky x=中k 的几何意义可知12ODB OAC S S ∆∆==，因而①正确；∵1ODB OAC PDOC PAOB S S S S k ∆∆=--=-矩形四边形，当k 不变时，若P 变动，而四边形PAOB 的面积不变．因1x =而是②正确；若设P （t ,k t ），则A （t ,1t），B （,t k k t ），∴PA ＝11k k t t t --=，PB ＝t t k -.若PA ＝PB ，则有1(1)k t k t k--=.∵k ≠1,∴2t k =,∵t ＞0,t =,∴当P时，有PA ＝PB ，并不是PA 与PB 始终相等，因而③不正确；当A 为PC 的中点时，OAC OPA OBD S S S ∆∆∆==，OPC ODP S S ∆∆=，∴ODB OPB S S ∆∆=，∴DB ＝PB ，因而④正确；故填①，②．④.【变式题组】01．（武汉）如图，已知双曲线ky x=（k ＞0）经过矩形OABC 的边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k ＝ . 02．如图，矩形ABCD 对角线BD 中点E 与A 都在反比例函数ky x=的图象上，且3ABCD S =矩形，则k ＝ .03．如图，P 为x 轴正半轴上一点，过点P 作x 轴的垂线，交函数1y x =（x ＞0）的图象于点A ，交函数4y x=（x ＞0）的图象于点B ，过点B 作x 轴的平行线，交1y x=（x ＞0）于点C ，连接AC ，当点P 的坐标为（t ，0）时，△ABC 的面积是否随t 的变化而变化？ 04．函数2y x =（x ＞0）与8y x=（x ＞0）的图象如图所示，直线x ＝ t （t ＞0）分别与两个函数图象交于A 、C 两点，经过A 、C 分别作x 轴的平行线，交两个函数图象于B 、D两点，探索线段AB 与CD 的比值是否与t 有关，请说明理由.第1题图第3题图05．如图，梯形AOBC的顶点A、C有反比例函数的图象上，OA∥BC，上底OA在直线y＝x上，下底BC交x轴于E（2，0），求四边形AOEC的面积.演练巩固·反馈提高01．（恩施自治州）如图，一次函数y1＝x－1与反比例函数22yx=的图象点A（2，1）、B （－1，－2），则使y1＞y2的x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＞2或－1＜x＜0C．－1＜x＜2 D．x＞2或x＜－102．（常州）若反比例函数1kyx-=的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可以是（）A．－1 B．3 C．0 D．－303．（荆州）如图，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线，Rt△ABC中直角边AC＝4，BC＝3，将BC边在直线l上滑动，使A、B在函数kyx=的图象上，那么k的值是（）A．3 B．6 C．12 D．15 404．（丽水）点P在反比例函数1yx=（x＞0）的图象上，且横坐标为2，若将点P先向右第4题图平移两个单位，再向上平移一个单位后所得点为P /，则在第一象限内，经过点P /的反比例函数图象的解析式是（ ） A ． 5y x =-（x ＞0） B ． 5y x =（x ＞0） C ． 6y x =-（x ＞0） D ． 6y x=（x ＞0）05．（铁岭）如图所示，反比例函数y 1与正比例函数y 2的图象的一个交点坐标是A （2，1），若y 2＞y 1＞0，则x 的取值范围在数轴上表示为（ ）06．（泰安）函数1y x x=+图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（ ） A ．该函数的图象是中心对称图形 B ．当x ＞0时，该函数在x ＝1时取得上值2C ．在每个象限内，y 随x 的增大而减小D ． y 的值不可能为1 07．（芜湖）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 向上平移一个单位长度得到直线l , 直线l与反比例函数ky x=的图象的一个交点为A （a ,2）则k 的值等于 . 08．（广安）如图，在反比例函数4y x=-（x ＞0）的图象上有三点P 1、P 2、P 3，它们的横坐标依次为1，2，3，分别过这3个点作x 轴、y 轴的垂线，设斩中阴影部分的面积依次为S 1、S 2、S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝ .09．（十堰）已知函数y ＝－x ＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ，与双曲线ky x=交于点A 、D ，若AB ＋CD ＝BC ，则k 的值为 . 10．（遵义）如图，在平面直角坐标系中，函数ky x=（x ＞0，常数k ＞0）的图象经过点A （1，2），B （m ,n ）,(m ＞1),过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ，若△ABC 的面积为2，则点B 的坐标为 .11．如图，点P 的坐标为（2，32），过点P 作x 轴的平行线交y 01 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 A B CD y x A (2,1) 0 1 2 1 Y 1 Y 2第5题图B l C1 O yx A 第3题图y x 0 1 －2 －1 第6题图2 y x0 1 2 3 第8题图P 1 P 2 P 3轴于点A，交双曲线kyx=（x＞0）于点N，作PM⊥AN，交双曲线于kyx=（x＞0）于点M．连接AM，已知PN＝4，⑴求k的值；⑵求△APM的面积.12．如图，反比例函数kyx=的图象与直线y＝x＋m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标3，D、C 为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴，⑴直接写出k、m的值；⑵求梯形ABCD的面积.13．如图，已知双曲线kyx=（x＞0）经过Rt△OAB斜边的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为3，求k的值.14．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴的正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长交y轴负半轴于E，双曲线kyx=（x＞0）的图象经过点A，若BECS∆＝8，求k的值.15．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC所在直线的解析式为42033y x=-+，AC＝3，若AB的D在双曲线ayx=（x＞0）上，将三角形向左平移，当点B 落在双曲线上时，求三角形平移的距离.16．（荆州）如图，D 为反比例函数ky x=（k ＜0）图象上一点，过D 作DC ⊥y 轴于C ，DE ⊥x 轴于E ，一次函数y x m =-+与323y x =-+的图象都经过点C ，与x 轴分别交于A 、B 两点，若梯形DCAE 有面积为4，求k 的值.17．（四川广安）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于点A （－1，2）、点B （－4，n ）⑴求一次函数和反比例函数的解析式； ⑵求△AOB 的面积.培优升级·奥赛检测01．如图，直线l 与反比例函数m y x =与ny x=（m ＞n ＞0）的图象分别交于点A 、B ，且直线l ∥x 轴，连接PA 、PB ，小芳与小丽同学针对△PAB 面积的讨论，有以下两种意见：小芳：点P 在x 轴上移动时，△PAB 的面积总保持不变； 小丽：当直线l 上下平移时，△PAB 的面积总保持不变； 那么，你认为她们的说法中（ ）A ．只有小芳正确B ．只有小丽正确C ．两人都正确D ．两人都不正确02．（南昌市八年级竞赛题）在函数21a y x+=-（a 为常数）的图象上有三点：（－1，y 1）,(21,4y -),( 31,2y )则函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 03．（济南）如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y ＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线kyx=（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1＜k＜2 B．1≤k≤3 C．1≤k≤4 D．1≤k＜404．（第十八届“希望杯”初二）直线l交反比例函数3yx=的图象于点A，交x轴于点B，点A、B与坐标原点O构等边三角形，则直线l的函数解析式为05．（成都）如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数kyx=（k＞0，x＜0）的图象上，若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S，则当S＝m（m为常数，且0＜m＜4）时，点R的坐标是.（用含m的代数式表示）06．如图，已知直线12y x=与双曲线kyx=（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，若双曲线kyx=（k＞0）上一点B的纵坐标为8，求△AOB的面积.07．（北京）如图，A、B两点在函数myx=（x＞0）的图象上，⑴求m的值及直线AB的解析式；⑵如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数.08．（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数myx=在第一象限的图象交于点C（1，6）点D（3，n）.过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于点F，⑴求m、n的值；⑵求直线AB的函数解析式；⑶求证：△AEC≌△DFB．09．如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上的任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设在矩形OEPF 中和正方形OABC不重合的部分面积为S.⑴求点B的坐标和k的值；⑵当92S=时，求点P的坐标；⑶写出S关于m的函数关系式.。

正比例函数：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。

正比例函数属于一次函数，是一次函数的特殊形式，即一次函数 y=kx+b 中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。

正比例函数的关系式表示为：y=kx（k代表斜率）设该正比例函数的解析式为 y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。

另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。

反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k 为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

反比例函数性质1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大.k>0时，函数为减函数；k<0时，函数为增函数。

定义域为x<0或x>0；值域为R。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S25. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点..抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

反比例函数图像与性质教案教案标题：反比例函数图像与性质教案教案目标：1. 了解反比例函数的定义及其性质。

2. 掌握绘制反比例函数图像的方法。

3. 理解反比例函数图像与性质之间的关系。

4. 能够应用反比例函数解决实际问题。

教学步骤：引入活动：1. 利用实际生活中的例子介绍反比例函数的概念，如速度与时间、工人数量与完成任务所需时间等。

2. 引导学生思考反比例函数的特点，如一个变量的增大导致另一个变量的减小，两个变量的乘积始终保持不变等。

知识讲解：3. 介绍反比例函数的定义：当两个变量x和y满足xy=k（k为常数）时，称y为x的反比例函数。

4. 解释反比例函数的性质：a. 当x趋近于0时，y趋近于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋近于0。

b. 反比例函数的图像通常是一个双曲线，以原点为对称中心。

c. 反比例函数的图像在第一、第三象限上。

d. 反比例函数的图像是渐近线y=0和x=0。

图像绘制：5. 指导学生绘制反比例函数的图像：a. 给定一个常数k，列出一组x和y的值，计算xy=k。

b. 绘制坐标系，并标出坐标轴和原点。

c. 根据计算得到的x和y的值，绘制点，并将它们连成一条曲线。

图像性质探究：6. 引导学生观察反比例函数图像的性质：a. 观察当x趋近于0时，y的变化情况。

b. 观察当x趋近于无穷大时，y的变化情况。

c. 观察反比例函数图像与x轴和y轴的关系。

d. 讨论反比例函数图像的对称性和渐近线。

应用实例：7. 提供一些实际问题，要求学生应用反比例函数解决问题，如速度与时间、工人数量与完成任务所需时间等。

总结和拓展：8. 总结反比例函数的定义和性质。

9. 引导学生思考反比例函数的应用领域，如经济学、物理学等。

10. 鼓励学生进一步探究反比例函数与其他数学概念的关系，如直线函数、二次函数等。

教学评估：11. 给学生几道练习题，检验他们对反比例函数图像与性质的理解和应用能力。

12. 针对学生的答题情况进行评估和反馈，及时纠正错误并加强巩固。