初中反比例函数的性质知识点

反比例函数是什么？反比例函数相关知识1：反比例函数是什么？反比例函数的定义域和值域因为x在分母上，所以x≠0，即自变量X的取值范围为非零实数。

而且常数k≠0，因此y≠0，即因变量y的`取值范围为非零实数。

反比例函数的图像及其性质形状：反比例函数的图象是两条双曲线，每一条曲线都无限向X轴Y轴延伸但不与坐标轴相交。

增减性：当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。

对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。

2：反比例函数知识点1、反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)(即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0，x≠0)若y=k/nx此时比例系数为：k/n2、函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。

解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)3、反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola)，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。

4、反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用?过反比例函数y=k/x(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值_y的.绝对值=(x_y)的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。

反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM?PN=|y|?|x|=|xy|=|k|。

专题21反比例函数的图象与性质（3个知识点5种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数图象的画法（重点）知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）知识点3.反比例函数表达式中比例系数k 的几何意义（难点）【方法二】实例探索法题型1.反比例函数的图象与性质的应用题型2.反比例函数与图形面积问题题型3.利用反比例函数图象的对称性解题题型4.创新题题型5.反比例函数与几何图形的综合【方法三】仿真实战法考法1.反比例函数的比例系数k 的几何意义考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小【方法四】成果评定法【学习目标】1.能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双曲线。

2.理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问题。

3.理解反比例函数)0(≠=k xky 中的比例系数k 的几何意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面积问题。

【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数图象的画法（重点）（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当0k >时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k <时，两支曲线分别位于第二、四象限内．知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.注意：（1）若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(k 为常数，0k ≠)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2.反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；注意：（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号.（2）反比例的图像关于原点的对称【例2】（2022秋•南华县期末）反比例函数与一次函数y ＝kx +1在同一坐标系的图象可能是（）A ．B ．C．D．【变式】（2022秋•大渡口区校级期末）在同一坐标系中，函数和y＝kx﹣2的图象大致是（）A．B．C．D．【例3】（2023•瑞安市开学）对于反比例函数，当﹣1＜y≤2，且y≠0时，自变量x的取值范围是（）A．x≥1或x＜﹣2B．x≥1或x≤﹣2C．0＜x≤1或x＜﹣2D．﹣2＜x＜0或x≥1【变式】（2023•西湖区校级开学）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，其中y2＜0＜y1＜y3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x3＜x1C．x1＜x3＜x2D．x2＜x1＜x3知识点3.反比例函数表达式中比例系数k的几何意义（难点）通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为12k，与两条坐标轴围成矩形面积为k，注意加绝对值时，有正负两个答案．【例4】（2023•和平区校级三模）如图，点A在双曲线上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB ＝2，则k 的值为（）A ．2B ．4C ．﹣2D ．﹣4【变式】如图，矩形ABCD 的边CD 在x 轴上，顶点A 在双曲线1y x =上，顶点B 在双曲线3y x=上，求矩形ABCD 的面积．A B CDE Oxy【方法二】实例探索法题型1.反比例函数的图象与性质的应用1．（2023•株洲）下列哪个点在反比例函数的图象上？（）A ．P 1（1，﹣4）B ．P 2（4，﹣1）C ．P 3（2，4）D ．2.（2023•西湖区校级开学）若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），都在反比例函数（k 为常数，k＞0）的图象上，其中y 2＜0＜y 1＜y 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（）A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 3＜x 1C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 2＜x 1＜x 33.（2023春•东阳市期末）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．（1）求此反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当y ≤4，且y ≠0时自变量x 的取值范围．4.（1）平面直角坐标系中，点A (725)m m --，在第二象限，且m 为整数，求过点A 的反比例函数解析式；（2）若反比例函数3k y x -=的图像位于第二、四象限内，正比例函数2(1)3y k x =-过一、三象限，求整数k 的值．5.已知反比例函数(0)k y k x =≠，当自变量x 的取值范围为84x ≤≤--时，相应的函数取值范围是12y ≤≤--1，求这个反比例函数解析式．题型2.反比例函数与图形面积问题6.（1）若P是反比例函数3kyx=图像上的一点，PQ⊥y轴，垂足为点Q，若2POQs∆=，求k的值；（2）已知反比例函数kyx=的图像上有一点A，过A点向x轴，y轴分别做垂线，垂足分别为点B C，，且四边形ABOC的面积为15，求这个反比例函数解析式．7.（2022秋•朝阳期末）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数的解析式和n的值；（2）根据图象直接写出不等式k1x+b的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．题型3.利用反比例函数图象的对称性解题8．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（）A．﹣3B．﹣C．D．39．（2023•广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D 两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（）A．4B．3C．2D．1(1)若点A（1，1），分别求线段(2)对于任意的点A（a，b），试探究线段14．（2022秋·安徽滁州·九年级统考期中）如图，已知1A，2A，3A，…，n A…是x轴上的点，且15．（2021秋·河北石家庄每个台阶凸出的角的顶点记作（1）若L 过点1T ，则k =（2）若曲线L 使得1T T ～16．（2022秋·全国·九年级期末）如图，已知反比例函数题型5.反比例函数与几何图形的综合17.过原点作直线交双曲线(0)ky k x=>于点A 、C ，过A 、C 两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD ，如图所示．（1）已知矩形ABCD 的面积等于8，求双曲线的解析式；（2）若已知矩形ABCD 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；如果不能，说明理由．y ABCDOx18.正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F 在函数(0)ky k x=>的图像上，已知正方形OAPB 的面积是16．（1）求k 的值和直线OP 的函数解析式；（2）求正方形ADEF 的边长．yABPFOxED19.如图，已知正方形OABC 的面积是9，点O 为坐原点，A 在x 轴上，C 在y 轴上，B 在函数(00)ky k x x=>>，的图像上，点P （m ，n ）在(00)ky k x x=>>，的图像上异于B 的任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积是S ．（1）求点B 的坐标；（2）当92S =时，求点P 的坐标；（3）写出S 关于m 的函数解析式．A BC PE FyOx【方法三】仿真实战法考法1.反比例函数的比例系数k 的几何意义1．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y ＝和y ＝的图象的四个分支上，则实数n 的值为（）A ．﹣3B．﹣C．D ．32．（2023•湘西州）如图，点A 在函数y＝（x ＞0）的图象上，点B 在函数y＝（x ＞0）的图象上，且AB ∥x 轴，BC ⊥x 轴于点C ，则四边形ABCO 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．4考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小3．（2023•镇江）点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．4．（2022•广东）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（）A．y1B．y2C．y3D．y45．（2021•广安）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【方法四】成果评定法一、单选题A．1 43．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在x轴于B、D两点，连结A ．4B ．65．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，过双曲线上任意一点交x 轴、y 轴于点M 、N ，所得矩形A ．4B ．4-6．（2021秋·河北石家庄·九年级校联考期中）关于反比例函数A ．函数图像分别位于第一、三象限C ．函数图像过()(23A mB n -，、，A．4 10．（2023·江苏宿迁图像上，点E在yA．1B 二、填空题11．（2022秋·湖南永州13．（2022秋·黑龙江大庆的大小关系是14．（2023·安徽滁州15．（2023秋·重庆沙坪坝比例函数()0ky k x=≠上两点，平行线，两直线交于点16．（2023秋·福建泉州·九年级校考专题练习）如图，已知直线(00)a y x a x =>>，和b y x =象于点D ，过点C 作CE ∥17．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）如图，点112232021OA A A A A A ==== 图象分别交于点123,,,B B B 18．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，点所示，分别过点A ，C 作x 轴与构成的阴影部分面积为2，则矩形三、解答题19．（2023秋·陕西榆林·九年级校考期末）已知反比例函数(1)函数的图象在第二、四象限？(1)求k的值；(2)请用无刻度的直尺和圆规作出(3)设（2）中的角平分线与⊥．证：DE OA(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点()121,7552,,,,2A y B y C x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②当函数值2y =时，求自变量x 的值；(1)求点A 的坐标；(2)求反比例函数的解析式：(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；(2)动点P在第一象限内，且满足12PBO ODE S S∆∆=。

初二反比例函数知识点归纳总结反比例函数是数学中的重要概念之一。

在初二阶段，学习反比例函数是提高数学水平的重要一步。

本文将对初二反比例函数的知识进行归纳总结，旨在帮助同学们更好地理解和应用反比例函数。

一、定义与性质1. 反比例函数的定义：反比例函数是一种函数关系，其特点是当自变量的值增大时，函数值减小，反之亦然。

反比例函数可以表示为：y = k / x，其中k为常数。

2. 反比例函数的图像特点：- 反比例函数的图像一般在原点附近形成一个超越x轴的双曲线；- 曲线上的点与y轴相交时，x轴不取0，即该函数无定义域为0；- 随着x的增大，曲线逐渐靠近x轴但永远不会与x轴相交；- 反比例函数不存在水平渐近线，但存在垂直渐近线。

二、图像与特殊情况1. 特殊情况一：k为正数当k为正数时，反比例函数的图像在第一象限和第三象限，且随着x的增大，函数值趋近于0。

2. 特殊情况二：k为负数当k为负数时，反比例函数的图像在第二象限和第四象限，且随着x的增大，函数值趋近于0，但y值始终为负数。

3. 特殊情况三：k为0当k为0时，反比例函数无定义，即不存在反比例关系。

三、直接变比例函数和间接变比例函数1. 直接变比例函数：直接变比例函数是指当x增大时，y也增大；当x减小时，y也减小的函数。

直接变比例函数的公式一般为y = kx。

- k > 0时，函数图像为一条通过原点的直线；- k < 0时，函数图像与x轴平行且位于x轴下方。

2. 间接变比例函数：间接变比例函数是指当x增大时，y减小；当x减小时，y增大的函数。

间接变比例函数的公式一般为y = k / x。

四、解反比例函数问题的方法1. 已知一点求函数关系的过程：当已知反比例函数图像上的一点时，可以利用该点的坐标，代入反比例函数的公式求解常数k。

进而确定反比例函数的具体形式。

2. 已知函数关系求特定点的过程：当已知一个反比例函数的表达式时，可以通过代入特定的x值，求解对应的y值，得到该函数的多个点。

反比例函数知识点梳理
1. 反比例函数的定义
反比例函数是指当自变量 x 不为零时，函数值 y 的变化遵循比例关系，其中比例常数 k 不等于 0，即 y = k/x。

通常我们把它写成y = k/x+b，其中 b 为常数。

2. 反比例函数的图像
反比例函数的图像在 x 轴上有一个垂线渐近线，而在 y 轴上具有一个水平渐近线。

当 x 接近 0 时，y 显著变化，而当 x 变得很大时，y 变得很小。

例如，如果 k = 1，则函数 y = 1/x+b 的图像看起来如下：
3. 反比例函数的性质
反比例函数的图像不会穿过垂线渐近线和水平渐近线。

当自变量 x 非常大或非常小时，反比例函数的值渐近于 0。

反比例函数也不具有最大值或最小值。

4. 反比例函数的应用
反比例函数有很多实际应用，如工业、商业、科学等领域。

例如，在数学中，它可用于表征第一定律的 Ohm 定律，即电流与电压成反比例关系。

5. 反比例函数的问题解决
解决反比例函数问题的关键在于找到比例常数 k 和常数 b。

这可以通过已知的点对、图像或其他信息来确定。

以上是反比例函数的知识点梳理，希望对您有所帮助。

反比例是数学中一种重要的函数关系，主要出现在初中数学的学习内容中。

以下是反比例函数的相关知识点总结：1. 定义：两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么我们就称这两种量成反比例关系。

表达式为：y = k/x (k ≠0)，其中，k 是常数，x 是自变量，y 是因变量。

2. 图像特征：反比例函数的图像是一条双曲线，分布在第一、三象限或第二、四象限，具体分布取决于k的正负。

函数图像关于原点成中心对称。

3. 性质：在每个象限内，从左到右，y随x的增大而减小；反之，y随x 的减小而增大。

图像永远不会与坐标轴相交。

如果点（x1, y1）在反比例函数图像上，那么点(-x1, -y1)、(y1, x1)也在该图像上。

4. 应用：反比例关系广泛存在于现实生活中的各种问题，如物理学中的功率与时间的关系，化学中的反应速率与反应物浓度的关系，经济学中的价格与需求量的关系等。

5. 解题方法：遇到求反比例函数解析式的问题，通常可以通过找出满足函数关系的两个对应值，代入公式求解k值。

对于图像和性质的分析，可以根据上述性质进行判断和解答。

反比例函数在数学中的意义主要体现在它描述了一种特殊的变量关系，这种关系是两个变量之间乘积恒定的规律。

具体来说：1. 定义与形式：如果两个变量x和y之间的关系可以表示为y = k/x（其中k是不为零的常数），那么我们称y是x的反比例函数。

这里的k是比例系数，决定了曲线的形状和位置。

2. 关系特征：反比例函数反映的是两个变量成反向变化的关系，即一个变量增大时，另一个变量会按相同的比例减小，以保持它们乘积的不变性。

3. 几何意义：反比例函数在坐标平面上的图像是一条双曲线，分布在第一、三象限或第二、四象限，取决于系数k的正负。

双曲线具有对称性，并且永远不会与坐标轴相交。

4. 实际应用：反比例函数关系广泛存在于现实生活中的多个领域，如物理学中的力矩和力臂的关系、电流强度与电阻的关系（欧姆定律）、经济学中的价格和需求量的关系等。

八年级反比例函数知识点反比例函数是初中数学中比较难理解的重点之一，也是必修内容。

下面我们将为大家详细介绍八年级反比例函数的相关知识点。

一、什么是反比例函数反比例函数是指形式为y=k/x的函数，其中k为常数，x≠0，y≠0 。

反比例函数的图像是一个“开口朝下”的双曲线。

二、反比例函数的性质1.值域反比例函数的值域是由x取值的范围决定的，当x趋近于正无穷时，y趋近于0，当x趋近于0时，y趋近于正无穷。

2.特殊函数值当x=1/k时，y=k/(1/k)=k²，即x=1/k时，反比例函数的函数值为k²。

3.增减性反比例函数在定义域上是单调递减函数。

4.对称性反比例函数的图像在y轴上具有对称性。

5.渐近线反比例函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴。

当x趋近于0或正无穷时，y趋近于0，此时y轴成为反比例函数的一个渐近线；当y趋近于0或正无穷时，x趋近于0，此时x轴成为反比例函数的一个渐近线。

三、反比例函数的图像及基本形状反比例函数的图像是一条双曲线，其基本形状为“开口朝下”的形式。

四、如何求反比例函数的解析式当已知反比例函数的函数图像时，我们可以通过图像上的两个点来求解析式。

对于y=k/x来说，只需给出两组x和y的值即可确定k的取值。

如已知函数图像经过点(1,3)和(2,1.5)，则可列出方程组：3=k/11.5=k/2通过方程组求解k的值，即可得到反比例函数的解析式为y=k/x，其中k=4.5。

另外，还有一种方法，即设已知反比例函数的解析式为y=k/x，将待求的常数k表示成y和x的函数，即k=xy，代入原方程中，可得yx=k或xy=k，这样就求出了反比例函数的解析式。

综上所述，反比例函数是初中数学中重点难点之一，希望同学们能够认真掌握，熟练应用。

初中数学反比例函数知识点总结对初三学生来说，中考中的数学考试是拉分项目。

学好数学，第一要抱着浓厚的爱好去学习数学，积极展开思维的翅膀，主动地参与教育全进程。

下面是作者给大家带来的初中数学反比例函数知识点总结，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!初中数学知识点：反比例函数的定义一样地，函数(k是常数，k≠0)叫做反比例函数，自变量x的取值范畴是x≠0的一切实数，函数值的取值范畴也是一切非零实数。

注：(1)由于分母不能为零，所以反比例函数函数的自变量x不能为零，同样y 也不能为零;(2)由，所以反比例函数可以写成的情势，自变量x的次数为-1; (3)在反比例函数中，两个变量成反比例关系，即，因此判定两个变量是否成反比例关系，应看是否能写成反比例函数的情势，即两个变量的积是不是一个常数。

自变量的取值范畴：①在一样的情形下,自变量x的取值范畴可以是不等于0的任意实数;②函数y的取值范畴也是任意非零实数。

反比例函数性质：①反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x 的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式;②反比例函数表达式中，常数(也叫比例系数)k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分;③反比例函数(k是常数，k≠0)的自变量x的取值范畴是不等式0的任意实数，函数值y的取值范畴也是非零实数。

初中数学函数之反比例函数的运用举例【例1】反比例函数的图象上有一点P(m, n)其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式.分析：要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k 的方程.解：∵ m, n是关于t的方程t2-3t+k=0的两根∴ m+n=3，mn=k,又 PO=根号13，∴ m2+n2=13，∴(m+n)2-2mn=13，∴ 9-2k=13.∴ k=-2当 k=-2时，△=9+8 0，∴ k=-2符合条件，【例2】直线与位于第二象限的双曲线相交于A、A1两点，过其中一点A 向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：(1)直线与双曲线的解析式;(2)点A、A1的坐标.分析：矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段，设A点坐标为(m,n)，则AB=|n|, AC=|m|，根据矩形的面积公式知|m·n|=6.初中数学函数之反比例函数图象反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

反比例函数知识点汇总1.定义与图像特征：反比例函数的定义为y=k/x，在此函数中，x不等于0，k为常数。

反比例函数的图像特点是：经过第一、二象限两点，以y轴和x轴为渐进线，图像在x轴的正半轴和y轴的正半轴上都不会出现，图像呈现出一种双曲线的形状。

2.反比例函数的基本性质：(a)定义域：x≠0，即x不能为0。

(b)值域：排除0，即y不能为0。

当x趋近于0时，y趋近于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋近于0。

(c)对称中心：该函数关于原点(0,0)对称。

(d)渐进线：图像与x轴和y轴都有渐进线，即当x趋近于无穷大时，y趋近于0；当y趋近于无穷大时，x趋近于0。

(e)单调性：反比例函数在定义域内是单调递减的。

(f)异号性：当x与y异号时，k为负数；当x与y同号时，k为正数。

(g)零点：当x与y相等时，即x=y≠0。

3.确定反比例函数的常数k：y1=k/x1和y2=k/x2通过消去k，可以得到：y1*y2=k因此，可以通过已知点的y值的乘积来确定k的值。

4.反比例函数的应用：(a)正比例与反比例的混合问题：当一个问题与正比例和反比例函数有关时，可以通过组合两种函数来解决问题。

例如，当一个物体的质量与加速度成反比例关系，而力与加速度成正比例关系时，可以通过设置两个函数来解决问题。

(b)流速与管道宽度：根据波的传播速度，流速与管道宽度成反比例关系。

当管道宽度较小时，流速较大；当管道宽度较大时，流速较小。

(c)投资与收益率：投资的利润与投资金额成反比例关系。

当投资金额较小时，相对的利润率较大；当投资金额较大时，相对的利润率较小。

(d)电阻与电流：电阻与电流成反比例关系，即当电阻较大时，电流较小；当电阻较小时，电流较大。

总结起来，反比例函数是一种特殊的函数关系，其图像呈现出一种双曲线的形状。

反比例函数具有一些基本性质，如定义域、值域、对称中心和渐进线等。

确定反比例函数的常数k可以通过已知点进行求解。

反比例函数在实际生活中有很多应用，特别是与强度、速度和功率等相关的问题。

反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

其中，x 是自变量，y 是因变量。

因为 x 在分母上，所以自变量 x 的取值范围是x≠0。

例如，y ＝ 3/x，y ＝－5/x 等都是反比例函数。

二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）2、 xy ＝ k（k 为常数，k≠0）3、 y ＝ kx^（－1)（k 为常数，k≠0）这三种形式在本质上是相同的，只是形式上有所不同，我们可以根据具体的题目条件灵活选择使用。

三、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。

当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

需要注意的是，反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交，因为自变量x≠0，函数值y≠0。

四、反比例函数图象的性质1、对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。

对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x。

对称中心是坐标原点（0，0）。

2、增减性在每个象限内，当 k＞0 时，y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，y 随 x 的增大而增大。

3、渐近线双曲线无限接近于 x 轴和 y 轴，但永远不会与它们相交。

五、反比例函数中 k 的几何意义1、过反比例函数 y ＝ k/x（k≠0）图象上任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，垂足为 M、N，则矩形 PMON 的面积 S ＝ PM·PN ＝｜y|·｜x| ＝｜xy| ＝｜k|。

2、三角形面积若连接 PO，则三角形 POM 的面积 S ＝ 1/2 ｜k| 。

六、反比例函数与一次函数的综合应用1、求交点坐标联立反比例函数和一次函数的解析式，组成方程组，解方程组即可得到交点坐标。

初三反比例知识点总结数学一、反比例的性质和规律1. 反比例函数的定义反比例函数是指一个变量的变化导致另一个变量的变化与之成反比的函数。

通常表示为y=k/x，其中k是常数。

2. 反比例函数的图像特点反比例函数的图像呈现出一种特殊的曲线，即双曲线。

当x无限增大时，y趋于0；当x无限接近于0时，y趋于无穷大。

3. 反比例函数的性质（1）当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。

（2）当x1>x2时，y1<y2；当x1<x2时，y1>y2。

4. 反比例函数与直线的关系反比例函数的图像在第一象限内有一条反比例函数的零点在原点的直线。

其斜率为常数k，而且直线关于原点对称。

二、反比例函数的应用1. 反比例函数在实际中的应用反比例函数在实际生活中有很多应用，比如说人均时间和工作效率、工程材料的数量和造价、飞机的飞行时间和速度、光合作用的速率和光照强度等。

这些都可以用反比例函数来表示并解决实际问题。

2. 反比例函数的解决问题在解决实际问题中，可以使用反比例函数来理解和分析问题，比如说通过反比例函数计算出两个变量之间的关系，由此得出一个变量的值；或者通过反比例函数的特性分析出两个变量之间的变化规律。

三、反比例函数的解析式与图像的绘制1. 反比例函数的解析式反比例函数的一般形式为y=k/x，其中k是比例系数。

在实际问题中，可以根据已知条件求出k，然后写出反比例函数的解析式。

2. 反比例函数的图像绘制绘制反比例函数的图像时，可以取三个以上的点，并将这些点连成光滑的曲线。

反比例函数的图像总是呈现出一种双曲线的形状，且与x轴和y轴都有渐近线。

四、反比例函数的解决问题1. 反比例函数的基本解法（1）一元一次反比例函数问题的解法：可以通过列方程，代入已知条件，解出未知量的值。

（2）一元二次反比例函数问题的解法：可以通过列方程，利用二次函数的解法来求得未知量的值。

2. 反比例函数问题的实例分析通过反比例函数的性质、规律，可以应用到各种实际问题中，比如有关时间、速度、数量、工作效率等各种问题。

1反比例函数的图象与性质一、课堂目标1、理解反比例函数的概念。2、会用待定系数法求反比例函数的解析式。3、会画反比例函数的图象，掌握反比例函数的基本性质。

二、知识讲解

1. 反比例函数的概念如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量变成反比例。解析式形如（为常数且）的函数，叫做反比例函数，其中是自变量，是函数．该函数的定义域是不等于0的一切实数．叫做比例系数.

2. 反比例函数（包含待定系数法）待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设反比例函数的解析式为()；②把已知的一对，的值代入解析式，得到一个关于待定系数的方程；③解这个方程求出待定系数；④将所求得的待定系数的值代回所设的函数解析式．【拓展】反比例函数的解析式()也可以变形为()的形式，因此可以通过快速的计算出的值．

由函数图象的意义可知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，反之，函数图象上的点的坐标满足函数关系式．

练习1已知与成反比例，当时，；那么当时， ．

【答案】2

【解析】【标注】设，∵当时，，，∴函数解析式为，时， ．【知识点】根据条件求反比例函数解析式（或k的值）例题1

【解析】【标注】已知与成反比例，并且当时，．求与的函数关系式．【答案】．∵与成反比例，∴，把，代入得，解得．∴与的函数关系式为．

【知识点】待定系数法求反比例函数解析式

3. 反比例函数的图象及性质反比例函数的性质反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线．3

反比例函数 ()的符号

图象图象特征双曲线的两个分支分别位于第一、三象限双曲线的两个分支分别位于第二、四象限

函数变化规律在每一个象限内，随的增大而减小在每一个象限内，随的增大而增大

【注意】①叙述反比例函数的变化规律时，一定要加上“在每一个象限内”．②由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．

反比例函数的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形．① 反比例函数是轴对称图形，双曲线的图象关于直线和成轴对称．

新人教版初中数学——反比例函数知识点归纳及典型题解析一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数kyx=（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx-=的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）中x，y的取值范围反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．表达式kyx=（k是常数，k≠0）k k>0 k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x 的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+； （3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-． 五、反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．六、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1．典例1 下列函数中，y与x之间是反比例函数关系的是A．xy2B．3x+2y=0C．y=kxD．y=21x【答案】A【解析】A、xy=2属于反比例函数，故此选项正确；B、3x+2y=0是一次函数，故此选项错误；C、y=kx（k≠0），不属于反比例函数，故此选项错误；D 、y =21x +，是y 与x +1成反比例，故此选项错误． 故选A ．1．下列函数：①2x y =；②2y x =；③12y x=-；④12y x -=中，是反比例函数的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个考向二 反比例函数的图象和性质当k >0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例2 在同一平面直角坐标系中，函数y =﹣x +k 与y =kx（k 为常数，且k ≠0）的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵函数y =﹣x +k 与y =kx（k 为常数，且k ≠0），∴当k >0时，y =﹣x +k 经过第一、二、四象限，y =k x 经过第一、三象限，故选项D 错误，当k <0时，y =﹣x +k 经过第二、三、四象限，y =kx经过第二、四象限，故选项C 正确，选项A 、B 错误，故选C ． 典例3 反比例函数3y x=-的图象在 A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限D ．第二、四象限【答案】D【解析】因为30k =-<，故图象在第二、四象限，故选D ． 典例4 已知点A （1，m ），B （2，n ）在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，则 A ．0m n << B ．0n m << C ．0m n >>D ．0n m >>【答案】A【解析】∵反比例函数(0)k y k x =<，它的图象经过A （1，m ），B （2，n ）两点，∴m =k <0，n =2k<0，∴0m n <<，故选A ．2．对于函数4y x=，下列说法错误的是 A ．这个函数的图象位于第一、第三象限B ．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C ．当x >0时，y 随x 的增大而增大D ．当x <0时，y 随x 的增大而减小3．下列函数中，当x <0时，y 随x 的增大而减小的是 A ．y =x B ．y =2x –1 C ．y =3x D ．y =–1x4．如图是三个反比例函数y =1k x ，y =2kx ，y =3k x在x 轴上方的图象，由此观察得到k 1，k 2，k 3的大小关系为A ．k 1>k 2>k 3B ．k 3>k 2>k 1C ．k 2>k 3>k 1D ．k 3>k 1>k 2考向三 反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式ky x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入k y x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．典例5 若反比例函数的图象经过点()32，-，则该反比例函数的表达式为 A ．6y x = B ．6y x =-C ．3y x=D ．3y x=-【答案】B【解析】设反比例函数为：ky x=．∵反比例函数的图象经过点（3，-2），∴k =3×（-2）=-6．故反比例函数为：6y x=-，故选B ． 典例6 如图，某反比例函数的图象过点M （-2，1），则此反比例函数表达式为A．y=2xB．y=-2xC．y=12xD．y=-12x【答案】B【解析】设反比例函数表达式为y=kx，把M（2-，1）代入y=kx得，k=（-2）×1=-2，∴2yx=-，故选B．典例7 如图，C1是反比例函数y=kx在第一象限内的图象，且过点A（2，1），C2与C1关于x轴对称，那么图象C2对应的函数的表达式为__________（x>0）．【答案】y=–2 x【解析】∵C2与C1关于x轴对称，∴点A关于x轴的对称点A′在C2上，∵点A（2，1），∴A′坐标（2，–1），∴C2对应的函数的表达式为y=–2x，故答案为y=–2x．5．已知反比例函数y=-6x，下列各点中，在其图象上的有A．（-2，-3）B．（2，3）C．（2，-3）D．（1，6）6．点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，则x轴的距离为3，若点A在第二象限内，则这个函数的解析式为A．y=12xB．y=-12xC．y=112xD．y=-112x7．在平面直角坐标系中，点P（2，a）在反比例函数y=2x的图象上，把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，则经过点Q的反比例函数的表达式为__________．考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数kyx中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例8 如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣2，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为__________．163【解析】如图，过点D作DE⊥x轴于点E，∵点B 的坐标为（﹣2，0），∴AB =﹣2k ，∴OC =﹣2k ， 由旋转性质知OD =OC =﹣2k，∠COD =60°，∴∠DOE =30°， ∴DE =12OD =﹣14k ，OE =OD ·cos30°=32×（﹣2k ）=﹣34k ， 即D （﹣34k ，﹣14k ），∵反比例函数y =kx（k ≠0）的图象经过D 点， ∴k =（﹣34k ）（﹣14k ）=316k 2，解得：k =0（舍）或k =﹣1633，故答案为：﹣1633． 典例9 如图，已知双曲线ky x经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若 △OBC 的面积为9，则k =__________．【答案】6【解析】如图，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．∴△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为9．设点D的横坐标为x，纵坐标就为kx，∵D为OB的中点．∴EA=x，AB=2kx，∴四边形DEAB的面积可表示为：12（kx+2kx）x=9；k=6．故答案为：6．【名师点睛】过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，结合函数图象所在的象限可以确定k的值，反过来，根据k的值，可以确定此矩形的面积．在解决反比例函数与几何图形综合题时，常常需要考虑是否能用到k的几何意义，以简化运算．8．如图，A、B两点在双曲线4yx=的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知1S=阴影，则12S S+=A．8 B．6 C．5 D．49．如图，点A，B是反比例函数y=kx（x>0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD=3，S△BCD=3，则S△AOC为A．2 B．3 C．4 D．610．如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=kx（x>0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是A．一直不变B．先增大后减小C．先减小后增大D．先增大后不变考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例10 在同一平面直角坐标系中，函数1yx=-与函数y=x的图象交点个数是A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】∵y=x的图象是过原点经过一、三象限，1yx=-的图象在第二、四象限内，但不过原点，∴两个函数图象不可能相交，故选A．典例11 已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=kx在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1<y2时，x的取值范围是A．x<-1或0<x<3 B．-1<x<0或x>3 C．-1<x<0 D．x>3【答案】B【解析】根据图象知，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=kx的交点是（-1，3），（3，-1），∴当y1<y2时，-1<x<0或x>3，故选B．【名师点睛】本题主要考查函数图象的交点，把不等式转化为函数图象的高低是解题的关键，注意数形结合思想的应用．典例12 如图，已知直线y=–13x+10与双曲线y=kx（x>0）交于A、B两点，连接OA，若OA⊥AB，则k的值为A．910B．2710C 910D2710【答案】B【解析】如图，过A 作AE ⊥OD 于E ，∵直线解析式为y =–13x +10，∴C （0，10），D （310，0）， ∴OC =10，OD =310，∴Rt △COD 中，CD =22 O C OD +=10， ∵OA ⊥AB ，∴12CO ×DO =12CD ×AO ， ∴AO =3，∴AD =22OD OA -=9， ∵12OD ×AE =12AO ×AD ，∴AE =91010， ∴Rt △AOE 中，OE =22AO AE -=229103()10-=31010，∴A （31010，91010）， ∴代入双曲线y =k x ，可得k =31010×91010=2710，故选B ．11．已知反比例函数y =kx（k ≠0），当x >0时，y 随x 的增大而增大，那么一次函数y =kx -k 的图象经过 A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限12．如图，已知A （–4，n ），B （2，–4）是一次函数y =kx +b 和反比例函数y =mx的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积．考向六反比例函数的应用用反比例函数解决实际问题的步骤（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；（5）解：用函数解析式去解决实际问题．典例13 某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数y=kx对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（40≤x≤？）．根据图象解答下列问题：（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是__________；（2）求反比例函数y =__________的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x 的值．【解析】（1）当0≤x ≤40时，设y 与x 之间的函数关系式为y =ax +b ， （10，35）和（30，65）在y =ax +b 的图象上， 把（10，35）和（30，65）代入y =ax +b ，得10353065a b a b +=+=⎧⎨⎩，得 1.520a b ==⎧⎨⎩， ∴y =1.5x +20，当x =0时，y =1.5×0+20=20， 故答案为：20；（2）将x =40代入y =1.5x +20，得y =80，∴点E （40，80）， ∵点E 在反比例函数y =kx的图象上， ∴80=40k，得k =3200， 即反比例函数y =3200x ，当y =20时，20=3200x，得x =160，即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x 的值是160．13．如图为某种材料温度y （℃）随时间x （min ）变化的函数图象．已知该材料初始温度为15℃，温度上升阶段y 与时间x 成一次函数关系，且在第5分钟温度达到最大值60℃后开始下降；温度下降阶段，温度y 与时间x 成反比例关系．（1）分别求该材料温度上升和下降阶段，y 与x 间的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度高于30℃时，可以进行产品加工，问可加工多长时间？1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 A ．x (y –1)=1B ．15y x =- 1C 3y x=． 21D y x=．2．已知反比例函数y =8k x-的图象位于第一、三象限，则k 的取值范围是 A ．k >8 B ．k ≥8 C ．k ≤8D ．k <83．如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1=1k x（x >0）及y 2=2k x （x >0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则k 1-k 2的值为A ．2B ．3C ．4D ．-44．若点A （–5，y 1），B （–3，y 2），C （2，y 3）在反比例函数3y x=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 A ．y 1<y 3<y 2 B ．y 2<y 1<y 3 C ．y 3<y 2<y 1D ．y 1<y 2<y 35．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c ≠0）的图象相交于A （-3，-2），B （2，3）两点，则不等式y 1>y 2的解集是A ．-3<x <2B ．x <-3或x >2C ．-3<x <0或x >2D ．0<x <26．一次函数y =ax +b 与反比例函数a by x-=，其中ab <0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是 A ． B ．C．D．7．反比例函数y=ax(a>0，a为常数)和y=2x在第一象限内的图象如图所示，点M在y=ax的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=2x的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=2x的图象于点B．当点M在y=ax的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B 是MD的中点．其中正确结论的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数y=6x的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连接DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是A．-25B．-121C．-15D．-1249．已知(),3A m、()2,B n-在同一个反比例函数图像上，则mn=__________．10．如图，直线分别与反比例函数2yx=-和3yx=的图象交于点A和点B，与y轴交于点P，且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴交于点D，则四边形ABCD的面积是__________．11．如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=kx（x<0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为__________．12．如图，点A，B在反比例函数kyx=（k>0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是__________．13．如图，已知反比例函数kyx=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，-k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．14．如图，已知A （-4，n ），B （2，-4）是一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数my x=的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； （3）求方程0x xk b m+-<的解集（请直接写出答案）．15．一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x （分钟）的变化规律如图所示（其中AB 、BC 为线段，CD 为双曲线的一部分）． （1）分别求出线段AB 和双曲线CD 的函数关系式；（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？1．已知点A （1，–3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y=kx的图象上，则实数k的值为A．3 B．1 3C．–3 D．–1 32．若点（–1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=kx（k<0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是A．y1>y2>y3B．y3>y2>y1 C．y1>y3>y2D．y2>y3>y13．在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x+k与y=kx（k为常数，且k≠0）的图象大致是A．B．C．D．4．如图，函数y=1(0)1(0)xxxx⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩的图象所在坐标系的原点是A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q5．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数y =1x上，顶点B 在反比例函数y =5x上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是A ．32B ．52C ．4D ．66．在平面直角坐标系xOy 中，点A （a ，b ）（a >0，b >0）在双曲线y =1k x上，点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y =2k x，则k 1+k 2的值为__________． 7．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 坐标为（–4，0），点D 的坐标为（–1，4），反比例函数y =k x（x >0）的图象恰好经过点C ，则k 的值为__________．8．如图，菱形ABCD 顶点A 在函数y =3x （x >0）的图象上，函数y =kx（k >3，x >0）的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点，若AB =2，∠BAD =30°，则k =__________．9．已知y 是x 的反比例函数，并且当x =2时，y =6． （1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x =4时，求y 的值．10．如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）． （1）根据图象，直接写出满足k 1x +b >2k x的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP ∶S △BOP =1∶2，求点P 的坐标．1．【答案】C【解析】①不是正比例函数，②③④是反比例函数，故选C ． 2．【答案】C【解析】根据反比例函数的图象与性质，可由题意知k =4>0，其图象在一三象限，且在每个象限内y 随x 增大而减小，它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故选C ． 3．【答案】C【解析】A 、为一次函数，k 的值大于0，y 随x 的增大而增大，不符合题意； B 、为一次函数，k 的值大于0，y 随x 的增大而增大，不符合题意； C 、为反比例函数，k 的值大于0，x <0时，y 随x 的增大而减小，符合题意；变式拓展D、为反比例函数，k的值小于0，x<0时，y随x的增大而增大，不符合题意；故选C．4．【答案】B【解析】由图知，y y y k1<0，k2>0，k3>0，又当x=1时，有k2<k3，∴k3>k2>k1，故选B．5．【答案】C【解析】∵反比例函数y=-6x中，k=-6，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为-6的点在函数图象上，四个选项中只有C选项符合，故选C．6．【答案】B【解析】设A点坐标为（x，y）．∵A点到x轴的距离为3，∴|y|=3，y=±3．∵A点到原点的距离为5，∴x2＋y2=52，解得x=±4，∵点A在第二象限，∴x=-4，y=3，∴点A的坐标为（-4，3），设反比例函数的解析式为y=kx，∴k=-4×3=-12，∴反比例函数的解析式为y=12x，故选B．7．【答案】y=15 x【解析】∵点P（2，a）在反比例函数y=2x的图象上，∴代入得：a=22=1，即P点的坐标为（2，1），∵把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，∴Q的坐标是（5，3），设经过点Q的反比例函数的解析式是y=cx，把Q点的坐标代入得：c=15，即y=15x，故答案为：y=15x．8．【答案】B【解析】∵点A、B是双曲线y=4x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4-1×2=6，故选B．9．【答案】D【解析】在Rt △BCD 中， ∵12×CD ×BD =3，∴12×CD ×3=3，∴CD =2， ∵C （2，0），∴OC =2，∴OD =4，∴B （4，3）， ∵点B 是反比例函数y =kx（x >0）图象上的点，∴k =12， ∵AC ⊥x 轴，∴S △AOC =2k=6，故选D ． 10．【答案】A【解析】如图，作CD ⊥AB 交AB 于点D ，则S △ACD =2k，∵AC =BC ，∴AD =BD ，∴S △ACD =S △BCD ， ∴S △ABC =2S △ACD =2×2k =k ，∴△ABC 的面积不变，故选A ．11．【答案】B【解析】∵当x >0时，y 随x 的增大而增大，∴反比例函数ky x=（k ≠0）的图象在二、四象限，∴k <0，∴一次函数y =kx -k 的图象经过第一、二、四象限，故选B ． 12．【解析】（1）∵B （2，–4）在y =mx图象上， ∴m =–8．∴反比例函数的解析式为y =–8x． ∵点A （–4，n ）在y =–8x图象上， ∴n =2，∴A （–4，2）．∵一次函数y =kx +b 图象经过A （–4，2），B （2，–4），∴4224k b k b -+=+=-⎧⎨⎩，解得12k b =-=-⎧⎨⎩．∴一次函数的解析式为y =–x –2；（2）如图，令一次函数y =–x –2的图象与y 轴交于C 点，当x=0时，y=–2，∴点C（0，–2）．∴OC=2，∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×2×4+12×2×2=6．13．【解析】（1）当0≤x<5时，为一次函数，设一次函数表达式为y=kx+b，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以15560bk b=+=⎧⎨⎩，解得：159bk==⎧⎨⎩，所以y=9x+15，当x≥15时，为反比例函数，设函数关系式为：y=mx，由于图象过点（5，60），所以m=300．则y=300x；（2）当0≤x<5时，y=9x+15=30，得x=53，因为y随x的增大而增大，所以x>53，当x≥5时，y=300x=30，得x=10，因为y随x的增大而减小，所以x<10，10–53=253．答：可加工253min．1．【答案】C考点冲关【解析】由反比例函数的定义知，13y x=是y 关于x 的反比例函数，其余的不是y 关于x 的反比例函数.故选C ． 2．【答案】A【解析】∵反比例函数y =8k x-的图象位于第一、三象限，∴k –8>0，解得k >8，故选A ． 3．【答案】C【解析】根据反比例函数k 的几何意义可知：△AOP 的面积为12k ，△BOP 的面积为22k， ∴△AOB 的面积为12k −22k ， ∴12k −22k =2，∴k 1–k 2=4，故选C ． 4．【答案】B【解析】∵点（–5，y 1）、（–3，y 2）、（2，y 3）都在反比例函数y =3x上， ∴y 1=–35，y 2=–1，y 3=32． ∵–35<–1<32，∴y 2<y 1<y 3，故选B ．5．【答案】C【解析】∵一次函数y 1=kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c ≠0）的图象相交于A （-3，-2），B （2，3）两点， ∴不等式y 1>y 2的解集是-3<x <0或x >2， 故选C ． 6．【答案】C【解析】A ．由一次函数图象过一、三象限，得a >0，交y 轴负半轴，则b <0，满足ab <0， ∴a −b >0，∴反比例函数y =a bx-的图象过一、三象限，所以此选项不正确； B ．由一次函数图象过二、四象限，得a <0，交y 轴正半轴，则b >0，满足ab <0， ∴a −b <0，∴反比例函数y =a bx-的图象过二、四象限，所以此选项不正确； C ．由一次函数图象过一、三象限，得a >0，交y 轴负半轴，则b <0，满足ab <0， ∴a −b >0，∴反比例函数y =a bx-的图象过一、三象限，所以此选项正确； D ．由一次函数图象过二、四象限，得a <0，交y 轴负半轴，则b <0，满足ab >0，与已知相矛盾，所以此选项不正确，故选C ． 7．【答案】D【解析】根据反比例函数的图象与系数k 的意义，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1y 1=x 2y 2=2可知S △ODB =S △OCA =1，故①正确；同样可知四边形OCMD 的面积为a ，因此四边形OAMB 的面积为a –2，故不会发生变化，故②正确；当点A 是MC 的中点时，y 2=2y 1，代入x 1y 2=a 中，得2x 1y 1=a ，a =4，由题得1242x x =，整理得x 1=2x 2，因此B 为MD 的中点，故③正确，故选D ． 8．【答案】B【解析】∵矩形OABC ，∴CB ∥x 轴，AB ∥y 轴，∵点B 坐标为（6，4），∴D 的横坐标为6，E 的纵坐标为4，∵D ，E 在反比例函数y =6x 的图象上，∴D （6，1），E （32，4），∴BE =6-32=92，BD =4-1=3，∴ED =22BE BD +=3213，连接BB ′，交ED 于F ，过B ′作B ′G ⊥BC 于G ，∵B ，B ′关于ED 对称，∴BF =B ′F ，BB ′⊥ED ，∴BF •ED =BE •BD ，即3213BF =3×92，∴BF =913，∴BB ′=1813，设EG =x ，则BG =92-x ，∵BB ′2-BG 2=B ′G 2=EB ′2-GE 2，∴（1813）2-（92-x ）2=（92）2-x 2，∴x =4526，∴EG =4526，∴CG =4213，∴B ′G =5413，∴B ′（4213，-213），∴k =-121，故选B ．9．【答案】23-【解析】设反比例函数解析式为()0ky k x=≠，将(),3A m 、()2,B n -分别代入，得 3k m =，2k n =-，∴2332k m k n ==--， 故答案为：23-． 10．【答案】5【解析】如图，过点A 作AF y ⊥轴，垂足于点F ；过点B 作BE y ⊥轴，垂足为点E ．∵点P 是AB 中点，∴PA PB =．易得△APF ≌△BPE ， ∴APFBPESS=,∴ABCDACOFEODBSSS=+23=-+5=，故答案为5．11．【答案】-4【解析】∵正方形ABCD 的边长为2，∴AB =AD =2，设B （2k ，2），∵E 是CD 边中点，∴E （2k-2，1），∴2k-2=k ，解得k =-4，故答案为：-4． 12．【答案】372【解析】如图，过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，E 是AB 的中点， ∴S △ABC =2S △BCE ，S △ABD =2S △ADE ，∴S △ABC =2S △ABD ，且△ABC 和△ABD 的高均为BF ， ∴AC =2BD ，∴OD =2O C ． ∵CD =k ， ∴点A 的坐标为（3k ，3），点B 的坐标为（–23k ，–32）， ∴AC =3，BD =32， ∴AB =2AC =6，AF =AC +BD =92， ∴CD =k2==13．【解析】（1）∵已知反比例函数ky x=经过点A （1，-k +4）， ∴41kk -+=，即-k +4=k ， ∴k =2，∴A （1，2）．∵一次函数y =x +b 的图象经过点A （1，2）， ∴2=1+b ，∴b =1，∴反比例函数的表达式为2y x=， 一次函数的表达式为y =x +1．（2）由12y x y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消去y ，得x 2+x -2=0， 即（x +2）（x -1）=0， ∴x =-2或x =1． ∴y =-1或y =2． ∴21x y ⎧=-⎨=-⎩或12x y ⎧=⎨=⎩．∵点B 在第三象限， ∴点B 的坐标为（-2，-1），由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x 的取值范围是x <-2或0<x <1．14．【解析】（1）∵B （2，-4）在y =mx上， ∴m =-8．∴反比例函数的解析式为y =-8x． ∵点A （-4，n ）在y =-8x上， ∴n =2． ∴A （-4，2）．∵y =kx +b 经过A （-4，2），B （2，-4），∴4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解之得12k b =-⎧⎨=-⎩．∴一次函数的解析式为y =-x -2． （2）∵C 是直线AB 与x 轴的交点， ∴当y =0时，x =-2． ∴点C （-2，0）．∴OC =2． ∴S △AOB =S △ACO +S △BCO =12×2×2+12×2×4=6． （3）不等式0mkx b x+-<的解集为：-4<x <0或x >2． 15．【解析】（1）设线段AB 所在的直线的解析式为y 1=k 1x +30，把B （10，50）代入得，k 1=2， ∴AB 解析式为：y 1=2x +30（0≤x ≤10）． 设C 、D 所在双曲线的解析式为22k y x=， 把C （44，50）代入得，k 2=2200， ∴曲线CD 的解析式为：y 2=2200x（x ≥44）； （2）将y =40代入y 1=2x +30得：2x +30=40，解得：x =5，将y=40代入y2=2200x得：x=55．55-5=50．所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟．1．【答案】A【解析】点A（1，–3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A'（1，3）代入y=kx得k=1×3=3．故选A．2．【答案】C【解析】∵k<0，∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，∴当x=–1时，y1>0，∵2<3，∴y2<y3<y1，故选C．3．【答案】C【解析】∵函数y=﹣x+k与y=kx（k为常数，且k≠0），∴当k>0时，y=﹣x+k经过第一、二、四象限，y=kx经过第一、三象限，故选项D错误，当k<0时，y=﹣x+k经过第二、三、四象限，y=kx经过第二、四象限，故选项C正确，选项A、B错误，故选C．4．【答案】A【解析】由已知可知函数y=1(0)1(0)xxxx⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩关于y轴对称，所以点M是原点，故选A．5．【答案】C【解析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，OA=BC，∴BE⊥y轴，∴OE=BD，∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），直通中考。