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两个三角形的相似三角形
求相似三角形的方法如下：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相似；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。
方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应相等的三角形相似，俗话来讲先找到这两个三角形的对应边，间接找出三角形三组对应角有俩组相等则相似；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。
两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。
夹角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；
方法四:三边对应成比例，俗话来讲:如上均先找到对应边对应角，将其一一对应。
三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
方法五:只适用于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相似，俗话来讲俗话来讲:某种意义上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另外一个直角边也对应成比例。
《怎样判定三角形相似》知识清单在数学的几何世界中，三角形相似是一个重要的概念。
判定三角形相似可以帮助我们解决许多与三角形相关的问题，下面就来详细介绍一下判定三角形相似的方法。
一、定义法如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是三角形相似最基本的定义，但在实际应用中，直接通过定义来判定相似往往比较复杂。
二、平行线分线段成比例定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
这个定理可以为后续的相似判定提供基础。
三、相似三角形的判定定理1、两角分别相等的两个三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
比如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，如果∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，那么三角形 ABC 相似于三角形 DEF。
这是因为三角形的内角和为 180 度，已知两个角相等，那么第三个角也必然相等。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似若两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，如果\（＼frac{AB}｛DE} ＝＼frac{AC}｛DF}＼），且∠A ＝∠D，那么三角形 ABC 相似于三角形 DEF。
这里需要注意的是，必须是夹角相等，而不是任意两个角。
3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，如果\（＼frac{AB}｛DE} ＝＼frac{BC}｛EF} ＝＼frac{AC}｛DF}＼），那么三角形 ABC 相似于三角形 DEF。
四、直角三角形相似的判定1、斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似在直角三角形中，如果斜边和一条直角边的比等于另一个直角三角形的斜边和一条直角边的比，那么这两个直角三角形相似。
2、两个直角三角形的两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似例如，在直角三角形 ABC 和直角三角形 DEF 中，如果\（＼frac{AB}｛DE} ＝＼frac{AC}｛DF}＼），那么这两个直角三角形相似。
4.4探索三角形相似的条件第1课时利用两角判定三角形相似1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；2.掌握相似三角形的判定定理1；（重点）3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）一、情景导入如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？二、合作探究探究点一：两角分别相等的两个三角形相似在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝80°，∠B＝70°，∠C′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由.解：△ABC∽△A′B′C′.理由：由三角形的内角和是180°，得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°，所以∠A＝∠A′，∠C＝∠C′.故△ABC∽△A′B′C′（两角分别相等的两个三角形相似）.方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件.探究点二：相似三角形的判定定理1的应用已知：如图，△ABC的高AD、BE 相交于点F，求证：AFBF＝EFDF.解析：要证明AFBF＝EFFD，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论.证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEF＝∠BDF＝90°.又∵∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴AFBF＝EFDF.方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三角形的对应边成比例得到相关比例式.如图所示，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长.解：方法一：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，所以△ADE∽△ABC，所以ADAB＝DEBC，即44＋8＝5BC，所以BC＝15cm.又因为DF∥AC，所以四边形DFCE是平行四边形，所以FC＝DE＝5cm，所以BF＝BC－FC＝15－5＝10（cm）.方法二：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B .又因为DF ∥AC ，所以∠A ＝∠BDF ， 所以△ADE ∽△DBF ，所以AD DB ＝DE BF ，即48＝5BF，所以BF ＝10cm.方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.三、板书设计（1）相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形；（2）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力.。
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
证明两角分别相等的两个三角形相似
假如有两个三角形A、B，两个三角形的两个内角都相等，则两个三角形相似。
这是一种较容易理解的判断，因为两个三角形中的两个内角相等，说明这两个三角形的内角具有某种程度的一致性，并且它们具有某种程度的方向性，可以用比例系数来比较它们的边长。
比例系数是指两个三角形各边长的比例，用来表示两三角形之间的尺寸关系。
如果比例系数相同，说明两个三角形具有相同的尺寸，证明两个三角形相似。
实际上，如果两个三角形的两个内角相等，还有另外一种方法可以证明两个三角形相似。
证法如下：选择由两三角形的一个共边组成的直角三角形，其余一边向外延长，使得其余一边与两个三角形的角度相同，那么由两个三角形的一边与延长的边构成的三角形，该三角形的两个角和两个三角形相交的角相等，则证明这三角形是等边三角形，由此可以推断出两个三角形是等比例，也就是说两个三角形相似。
综上所述，有两个三角形，两个三角形的两个内角分别相等，则两个三角形相似。
有定理可以用比例系数来比较两个三角形的尺寸，证明它们相似。
另外，可以用由两三角形的一共边构成的等腰三角形，证明两三角形是等比例，也就是说两个三角形相似。
相似三角形的判定
学习目标
1、经历两个三角形相似的探索过程，发展自己的探索、交流能力。
2、掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法。
3、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
学习重点：
两个三角形相似的判定定理3及其应用。
学习难点：
探索两个三角形相似判定定理3的过程。
学习过程：
一、自学指导
（一）、复习巩固
1、已学过判断三角形相似的方法：
（1）定义；
（2）预备定理；
（3）判定定理1 ;
（4）判定定理2 。
2、已知：△ABC的三边分别为6㎝、7.5㎝、9㎝，△DEF的一边为4㎝，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（）
A、2㎝，3㎝
B、4㎝，5㎝
C、5㎝，6㎝
D、6㎝，7㎝
3、在△ABC和△DEF中，若AB
DE
=
BC
EF
，再添加一个条件，则△ABC
∽△DEF。
(二)、自主学习
预习课本46页探究4
1、想一想：在△ABC和△A′B′C′中，其中∠A=∠A′,∠B=∠B′,△ABC 和△A′B′C′全等吗？。
△ABC和△A′B′C′相似吗？。
证明：
归纳：
定理：那么这两个三角形 。
二、合作探究
1、在三角形ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC=∠
，AC=3,求CD 的长。
C
A
2、如图，弦AB 和CD 相交于圆O 内一点
P ，求证PA ∙PB=PC ∙PD
D
A
归纳：在相似三角形中，经常利用 求线段长。
三、自我检测
1、 ABC ∆中，∠A=75°，∠B=35°,DEF ∆中，0
75=∠D ,当
∠F= 时△ABC ∽△DEF 。
2、 在△ABC 中，点D 在AB=5,AC=4,AD=x,AE=y.则
3、 如图，D 是△ABC 的边若∠2= ，则△ABC
4、（2008武汉）如图，点D 、求证：△ABC ∽△FDE.
四、作业设计
1、完成课本48页练习1、2.
2、（2009山西）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB 的垂直平分线交BC 的延长线于点E,则CE 的长为 。
3、已知⊙O 中，两弦AB 与CD 相交于点P,若AP:PB=2:3,CP=2㎝,DP=12㎝,则弦
AB的长为㎝。
