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沪科版九年级上册数学相似三角形相似三角形要点提示1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形. 2、相似三角形的判定方法1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则___________.2. 两个角对应相等的两个三角形__________.3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似.4. 三边对应成比例的两个三角形___________.性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等4321判定：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+两边对应成比例、直角三角形、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例，且、两角对应相等4321（1）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形.全等三角形是相似三角形的特例.（2）相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似.②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似. ③三边对应成比例，两三角形相似.EA DCBCBA④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似（3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等.②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例.③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.典例分析1.△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A′B′C′的最长边为15.求△ A′B′C′最短边的长.2.如图，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )3.如图，D 是△ABC 的边AB 上的点，请你添加一个条件，使△ACD 与△ABC 相似．你添加 的条件是_________4.在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为（ ）BCAD第3题A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.5基础强化1.如图，DE ∥BC ，在下列比例式中，不能成立的是（ ）A.DB AD ＝EC AE B.BC DE ＝EC AE C.AD AB ＝AE AC D.EC DB ＝ACAB2.下列判断中，正确的是（ ）A.各有一个角是67°的两个等腰三角形相似B.邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似C.各有一个角是45°的两个等腰三角形相似D.邻边之比都为2︰3的两个等腰三角形相似3.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则图中的相似三角形共有（ ）A.1对B.2对C.3对D.4对4.已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对5.如图，□ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交DC 于点G ，则下列结论中错误的是（ ）A.△ABE ∽△DGEB.△CGB ∽△DGEC.△BCF ∽△EAFD.△ACD ∽△GCF6.如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC=6，则DE=__________；△ADE 与△ABC 的面积之比为：__________.7.如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是__________ A. 9：16B. 3：2C. 3：4D. 3：78.若两个相似多边形面积比为9:4，则它们的周长比是 9.如图，已知DE ∥BC ，AD = 1，DB = DE =2， 则 BC =ABCD10.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，FC = 5.4cm ，CE = 2.7 cm ，BE = 3.2 cm ，求DC 的长；能力提高1.如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为（ ）A.1B.23 C.2 D.252.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ︰BD ＝9︰4，则 AC ︰BC 的值为（ ）A.9︰4B.9︰2C.3︰4D.3︰2ABC DEF3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于______．4.如图，在矩形ABCD中，E是BC中点，且DE⊥AC，则CD︰AD＝__________．5.一块直角三角形形状的铁皮材料，两直角边长分别为30 cm、40 cm，现要把它加工成一个面积最大的正方形，两种加工方法如图①、②，请你用学过的知识说明哪种加工方法符合要求？真题演练1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB 、AC 于D 、E 两点，若AD ∶AB ＝1∶3，则△ADE 与△ABC 的面积比为________.2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，AF 平分∠DAE ，EF ⊥AE ，则CF 等于( )A. B.1 C. D.23.如图，△ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，连接DE ，线段BE 、CD 相交于点2332O.若OD＝2，则OC＝________.4.如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC 的长.。
相似三角形的判定（两角对应相等）
一、教学目标
１、知识目标
（１）探索判定两个三角形相似的条件，经历操作、归纳从而获得数学结论的过程。
（２）掌握“如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似”，并应用其解决相关问题。
２、能力目标
（1）通过观察、归纳、测量、推理等手段，让学生充分体验得出结论的过程，感受发现的乐趣。
让学生在观察中学会分析，在操作中学会感知，培养学生的合情推理能力、有条理的表达能力。
３、情感目标
（１）培养学生的合作交流意识，培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现的科学精神。
（２）通过同学间的交流与合作，培养大家的合作精神。
二、教学重点、难点：
教学重点：探究并应用两角相等两个三角形相似的判定方法。
教学难点：在图形变化过程中应用相似判定方法。
教
大部分
实践探索，分析归纳
习
充分调动学
⑵所有的直角三角形都相似
AB=AE
对相似的三角形。
智慧型指导作
【教学设计说明】。
22.2 相像三角形的判断第 5 课时判断两个直角三角形相像教课目的【知识与能力】认识直角三角形相像定理的证明方法并会应用。
【过程与方法】1. 类比证明两个直角三角形全等的方法, 持续浸透和培育学生对类比思想的认识和理解.2.经过认识定理的证明方法培育和提升学生利用已学知识证明新命题的能力。
【感情态度价值观】经过学习培育学生类比的意识 , 认识由特别到一般的唯物辩证法的看法。
教课重难点【教课要点】直角三角形相像定理的应用。
【教课难点】认识直角三角形相像判断定理的证题方法与思路。
课前准备课件、教具等。
教课过程一、情境导入1．到当前为止我们总合学过几种判断两个三角形相像的方法？答： (1)两角对应相等的两个三角形相像； (2)两边对应成比率且夹角相等的两个三角形相像； (3)三边对应成比率的两个三角形相像．2．判断两个直角三角形相像有几种方法？答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比率．还有没有其余的方法证明直角三角形相像？二、合作研究研究点一：判断两个直角三角形相像【种类一】判断两个直角三角形相像的特别方法例 1 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ABC＝ 90°，AB＝ 4，AC＝ 5.在 Rt△A′B′C′中，∠ A′C′B′＝90°， A′C′＝ 6， A′B′＝10.求证：△ ABC∽△ B′C′A′.分析：先求两直角三角形的斜边AC 和 A′B′的比，再求两直角边BC 和 A′C′的比．证明：在Rt△ ABC中， BC＝AC2－AB 2＝52－ 42＝ 3，∴BC ＝3＝1.∵ AC ＝ 5 ＝ 1，A′C′ 6 2 A′B′ 10 2∴BC＝AC.又∵∠ ABC＝∠ A′C′B′＝90°，∴ Rt△ ABC∽ Rt△B′C′A′. A′C′ A′B′【种类二】网格图中的直角三角形相像例 2如图，以下四个三角形中，与△ABC 相像的是()分析：依据网格的特色，利用勾股定理求出△ABC 各边的长度，求出三边的比，而后2222AC＝22＋ 22＝ 2 2，∴ AB∶ AC∶ BC＝2∶2 2∶10＝1∶ 2∶5，∴△ ABC 是直角三角形．∵选项 A 、D 中的三角形不是直角三角形，∴清除A、 D 选项；∵ AB∶ BC＝ 1∶ 2，B 选项中的三角形的两直角边的边长比为1∶ 2，C 选项中的三角形的两直角边的边长比为3∶2，∴选项 B 正确．方法总结：以网格图考察的题目，要应用勾股定理分别求出各图形的三角形的三边之比，这是解题的要点．研究点二：直角三角形相像的计算例 3 如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， BC＝ 16cm，AC＝ 12cm，点 P 从 B 出发沿 BC以 2cm/s 的速度向 C 挪动，点 Q 从 C 出发，以 1cm/s 的速度向 A 挪动，若 P、Q 分别从 B、C 同时出发，设运动时间为ts，当 t 为什么值时，△C PQ 与△ CBA 相像？分析：分 CP 和 CB 是对应边， CP 和 CA 是对应边两种状况，利用相像三角形对应边成比率列式计算即可得解．解：当 CP 和 CB 是对应边时，△CPQ ∽△ CBA，因此CP＝CQ，即16－2t＝t，解得 t CB CA1612＝4.8；当 CP 和 CA 是对应边时，△CPQ∽△ CAB，因此CP＝CQ，即16－2t＝t，解得 t＝CA CB1216646411.综上所述，当t＝ 4.8 或11时，△ CPQ 与△ CBA 相像．方法总结：此题考察了相像三角形的判断，主要利用了相像三角形对应边成比率，难点在于分状况议论．三、板书设计1．怎样判断两个直角三角形相像呢？一个锐角对应相等或两边对应成比率的两个直角三角形相像．2．直角三角形相像的判断定理的简单应用．教课反省因为直角三角形是特别的三角形，因此它具备一般三角形所没有的特别性质．经过本节课的学习，要求理解已经学过的判断相像三角形的三种方法均能够用来判断两个直角三角形相像，同时经过研究得出“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形相像”这一重要而又特别的判断方法，并能娴熟地利用这些方法判断两个直角三角形相像．在研究的过程中，注意浸透由一般到特别的数学思想方法．为了实现教课目的，本节课改变了教材的情境设置，择取了一个更便于学生理解、更能激发学生兴趣的实例，使学生能在生活中找到数学原型，在思虑取找到解决问题的方法．教课中鼓舞学生勇敢猜想，勇敢反驳，教师一直是一位指引者、组织者，学生的踊跃性获得充足发挥，获得了很好的教育成效．。
判定三角形相似的方法判定三角形相似的方法有五种：一、由定义判定：三个角对应相等，三边对应成比例的两三角形相似. 二、三角形相似的基本判定方法1、判定定理：平行于三角形的一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.推理形式：如图1所示，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC. 2、涉及的基本图形（如图1所示）.说明：⑴在运用基本方法判定两个三角形相似时，只需DE ∥BC 这一条件就能确定△ADE ∽△ABC ，不必再用定义进行判定；⑵上面的图形是判定方法所涉及的几种基本类型，在应用时要善于从图中抽象出这些基本模型.例1:(06南通)如图2，DE 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，且DE ∥BC ．若DE ＝2㎝，BC ＝3㎝，EC ＝32㎝，则AC ＝________㎝．解析:由DE ∥BC 可知△ADE ∽△ABC,由相似三角形的对应边的比相等,有,BCDEAC AE =从而,BC DEAC EC AC =-把DE ＝2㎝，BC ＝3㎝，EC ＝32㎝代入得,3232=-AC AC 求AC=2, 故添2.三、由三边的比判定三角形相似1、判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.简单地说三边对应成比例的两个三角形相似.2、推理形式：如图3所示，在△ABC 和△C B A '''中，如果A C CAC B BC B A AB '=''='',那么△ABC ∽△C B A '''.类比拓展：由三边的比判定三角形相似的方法与判定三角形全等的“SSS ”方法类似，只是把三边对应相等，改为三组对应边成比例即可.“A ”型“A ”型 “X ”型 图1' 图3例2：(05山东菏泽)如图4,小正方形的边长均为1,则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为( )解析:由于正方形边长均为1,在△ABC 中,AC=2,BC=2,AB=10;图A 中三角形三边长为1,,22,5而与△ABC 三边的比分别为,521022,25,21=显然它们不相等;图B 中三角形三边长为1,,5,2与△ABC 的三边的比分别为,22105,22,2221==故对应边的比相等;同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B.四、由两边和夹角判定三角形相似1、判定方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形形似.简单说成,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.2、推理形式：如图3，在△ABC 和△C B A '''中，如果,,A A A C CAB A AB '∠=∠'=''那么△ABC ∽△C B A '''.例3：（06云南双柏）如图5，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. ⑴填空：∠ABC=_____,BC=_____;⑵判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.解析：⑴利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC=00013545180=-,由勾股定理得BC=222222=+;⑵△DEF 中，∠DEF=0135,分别计算△ABC 的边AB 、BC 和△DEF 的边DE 、EF ，AB=2，BC=22；EF=2，DE=2.∵,2222,222====EF BC DE AB ∴ EFBC DE AB =且∠ABC=∠DEF=0135,∴△ABC ∽△DEF. 技巧点拨：本题是网格中的形似问题，首先要用正方形的性质和勾股定理求出相等的角和边长.再利用两组对边的比相等，夹角相等的两个三角形相似来判断，本题的另一种方法就是利用三边的比对应相等的两个三角形相似来判断，本题的易错点是不少同学认为：因为,,2222,122DE BCEF AB DE BC EF AB ≠====，故这两个三角形不相似.网格中的数学问题是图5A 图4 C D近几年中考的热点题型，预计这类问题在今后的中考中有所加强. 五、由两角判定三角形相似1、判定方法：如果一个三角形的两个角与另一三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说：两角对应相等，两个三角形相似。
22.2.2 利用角的关系判定两三角形相似教学目标【知识与技能】掌握“两角对应相等,两个三角形相似”的判定方法;能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.【过程与方法】经历两个三角形相似的探索过程,进一步发展学生的探究、交流能力.【情感、态度与价值观】培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.重点难点【重点】三角形相似的判定方法:1.两角分别相等的两个三角形相似.【难点】三角形相似的判定方法1的运用.教学过程一、创设情境,引入新课师:根据相似三角形的定义,三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.那么,两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢?能否类比两个三角形全等的条件寻找判定两个三角形相似的条件呢?今天这节课我们就一起来探索三角形相似的条件.二、探究新知师:观察两副三角尺,其中同样角度(30°与60°,或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同,但它们看起来是相似的.问题1：一般地,如果两个三角形有两组角对应相等,它们一定相似吗? 师生活动:教师出示有两组角对应相等的两个三角形图片,提出问题.学生细心观察,交流讨论.教师引导学生发现:两个三角尺的大小可能不同,但它们的形状相同.学生从实物的比较中容易直观地得到:如果两个三角形有两组角对应相等,它们很可能相似.作△ABC 与△A 1B 1C 1,使得∠A=∠A 1,∠B=∠B 1,这时它们的第三个角满足∠C=∠C 1吗?分别度量这两个三角形的边长,计算111111,,C A AC C B BC B A AB ,你有什么发现? 把你的结果与邻座的同学比较,你们的结论一样吗?△ABC 与△A 1B 1C 1相似吗?师生活动:教师引导学生度量并计算.学生独立操作并判断.师生通过试验得出:这两个三角形的第三个角满足∠C=∠C 1,边满足111111C A AC C B BC B A AB ==. 因此,如果两个三角形有两组角对应相等,那么这两个三角形相似.问题2：分别改变这两个三角形边的大小,而不改变它们的角的大小,再试一试,是否有同样的结论?师生活动:教师应用“几何画板”等计算机软件做动态探究进行演示验证,引导学生观察在动态变化中存在的不变因素.学生利用刻度尺、量角器等作图工具做静态探究,学生思考得出结论. 改变这两个三角形边的大小,而不改变它们的角的大小,这两个三角形仍然相似.由此可得:三角形相似的判定方法1:两角分别相等的两个三角形相似.(定理的证明由学生独立完成)三、例题讲解【例】 已知:如图,矩形ABCD 中,E 为BC 上一点,DF ⊥AE 于F,若AB=4,AD=5,AE=6,求DF 的长.分析:要求的是线段DF 的长,观察图形,我们发现AB 、AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中,因此只要证明这两个三角形相似,再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例,从而求得DF 的长.由于这两个三角形都是直角三角形,故有一对直角相等,再找出另一对角对应相等,即可用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似.解:∵DF ⊥AE 于F,∴在矩形ABCD 中,∠B=∠D.又∵∠BAE+∠DAF=90°,∠FDA+∠DAF=90°,∴∠BAE=∠FDA,∴△ABE ∽△DFA,∴ADAE DF AB =, ∴DF=310654=⨯=∙AE AD AB . 四、巩固练习1.如图,若∠BEF=∠CDF,则 ∽ , ∽ .【答案】△FEB △FDC △ABD △ACE第1题图第2题图2.如图,已知A(3,0),B(0,6),且∠ACO=∠BAO,则点C 的坐标为 ,AC= .【答案】(0,)第3题图3.如图,若∠ACD=∠B,则△ ∽△ ,对应边的比例式为 ,∠ADC= .【答案】ACD ABC == ∠ACB4.下列各组图形一定相似的是( )A.有一个角相等的等腰三角形B.有一个角相等的直角三角形C.有一个角是100°的等腰三角形D.有一个角是对顶角的两个三角形【答案】C 点拨:等腰三角形角相等时,要注意该角所在的位置.五、课堂小结本节课学习了:三角形相似的判定方法1:两角分别相等的两个三角形相似.教学反思本节课主要是探究相似三角形的判定方法1,本课教学力求使探究途径多元化,把学生利用刻度尺、量角器等作图工具做静态探究与应用“几何画板”等计算机软件做动态探究有机结合起来,让学生充分感受探究的全面性,丰富探究的内涵.另外小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率,而且培养了学生的合作能力.。
22.2.3 利用边角关系判定两三角形相似教学目标【知识与技能】理解并掌握相似三角形的判定方法2.【过程与方法】培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力,感受两个三角形全等的两种判定方法SAS与三角形相似定理的区别与联系,体验事物间特殊与一般的关系.【情感、态度与价值观】让学生经历从试验探究到归纳证明的过程,发展学生合理的推理能力.重点难点【重点】两个三角形相似的判定方法2及其应用.【难点】探究两个三角形相似的判定方法2的过程.教学过程一、问题引入1.两个三角形全等有哪些判定方法?(SSS,SAS,ASA,AAS定理.)2.我们学习过哪些判定三角形相似的方法?(三角形相似的定理 两角分别相等的两个三角形相似)二、新课教授探究：利用刻度尺和量角器画△ABC 和△A'B'C',使∠A=∠A',B A AB ''和C A AC ''都等于给定的值k,量出它们的第三组对应边BC 和B'C'的长,它们的比等于k 吗?另外两组对应角∠B 与∠B'、∠C 与∠C'是否相等?改变∠A 或k 值的大小,再试一试,是否具有同样的结论?师生活动:教师提出问题,引导学生在稿纸上按要求画图.学生动手画图、测量,独立研究.学生通过小组交流得出结论,教师进行补充.三角形相似的判定方法2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三、例题讲解【例1】 在△ABC 和△A'B'C'中, AB=5,AC=3,∠A=45°,A'B'=10,A'C'=6,∠A'=45°;判断这两个三角形是否相似.解:∵B A AB ''=C A AC ''=21,∠A=∠A'=45°, ∴△ABC ∽△A'B'C'.【例2】 如图,BC 与DE 相交于点O.问(1)当∠B 满足什么条件时,△ABC ∽△ADE?(2)当AC∶AE满足什么条件时,△ABC∽△ADE?分析:从图中可以看出,在△ABC与△ADE中,∠A=∠A,根据三角形相似的判定定理,只要∠B=∠D或AC∶AE=AB∶AD,都有△ABC∽△ADE.解:(1)∵∠A=∠A,∴当∠B=∠D时,△ABC∽△ADE.(2)∵∠A=∠A,∴当AC∶AE=AB∶AD时,△ABC∽△ADE.四、巩固练习1.根据下列条件,判断△ABC和△A'B'C'是否相似,并说明理由.∠A=40°,AB=8cm,AC=15cm,∠A'=40°,A'B'=16cm,A'C'=30cm;【答案】相似,两组对应边的比相等,且夹角相等..2.图中的两个三角形是否相似?【答案】相似;五、课堂小结师:通过本节课的学习,同学们有什么体会与收获?可以与大家分享一下吗?学生发言:说说自己的体会与收获,教师根据学生的发言予以点评. 教学反思本节课主要是探究相似三角形的判定方法2,由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定方法1,而本节课内容在探究方法上与上节课又具有一定的相似性,因此本课教学设计注意方法上的“新旧联系”,以帮助学生形成认知上的正迁移.此外,由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易被学生忽视,所以教学中教师要强调以加深学生的印象.。
