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树和二叉树

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第7章-树和二叉树第2讲-二叉树的概念

第7章-树和二叉树第2讲-二叉树的概念

（root），其余结点可分为m （m≥0）个互不相交的有限子集 T1、T2、…、Tm，而每个子集本身又是一棵树，称为根结点 root的子树。 树中所有结点构成一种层次关系！
第一层
树的特 点？
第二层 第三层 第四层
复习：二、树的基本术语
1.结点A、D的度？树的度？ 2;3;3; 2.根结点？分支结点？叶子结点？ A;BCDE;GHIJF;
在二叉链中，空指针的个数？
b A
B∧
C
∧D
∧E∧
∧F∧
∧G∧
n个结点 2n个指针域 分支数为n-1 非空指针域有n-1个 空指针域个数 = 2n-(n-1) = n+1
n=7 空指针域个数=8
39/10
40/10
二叉树
当n=3，结果为ห้องสมุดไป่ตู้。
第n个Catalan数
41/23
有n个结点并且高度为n的不同形态的二叉树个数是多少？ 该二叉树：有n层，每层一个结点，该结点可以
43/23
结点个数为n，树形可以唯一确定 叶子结点个数为n0，树形不能唯一确定 n为奇数时，n1=0； n为偶数时，n1=1。 n0=n2+1 高度h= log2(n+1)，是n个结点高度最小的二叉树
44/23
含有60个叶子结点的二叉树的最小高度是多少？
在该二叉树中，n0=60，n2=n0-1=59，n=n0+n1+n2=119+n1。 当n1=0且为完全二叉树时高度最小。 此时高度h=log2(n+1)= log2120=7。
作为双亲结点的左孩子，也可以作为右孩子 这样的二叉树的个数=1×2×…×2=2n-1。
例如，当n=3时有22=4个这样的二叉树。
说明树与二叉树的主要区别

说明树与二叉树的主要区别

说明树与二叉树的主要区别摘要：一、引言二、树与二叉树的定义及基本概念1.树的定义及特点2.二叉树的定义及特点三、树与二叉树的主要区别1.节点数量的限定2.节点连接方式的差异3.遍历方式的差异四、实例分析1.满二叉树与满树的对比2.完全二叉树与完全树的对比五、总结与展望正文：一、引言在计算机科学中，树和二叉树是广泛应用于数据结构和组织的重要概念。

尽管它们在某些方面具有相似之处，但它们之间仍存在显著差异。

本文将详细介绍树与二叉树的主要区别，以帮助读者更好地理解这两种数据结构。

二、树与二叉树的定义及基本概念1.树的定义及特点树（Tree）是一种非线性的数据结构，它由若干个节点组成，这些节点通过边连接在一起。

树中最顶层的节点称为根节点，最底层的节点称为叶节点，中间层节点称为内部节点。

树具有以下特点：（1）只有一个根节点。

（2）每个节点最多有若干个子节点，最少有一个子节点（除了根节点）。

（3）节点之间的连接顺序呈层次结构。

2.二叉树的定义及特点二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树结构，其中每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。

根据这个定义，二叉树可以进一步细分为满二叉树、完全二叉树和不完全二叉树等。

二叉树具有以下特点：（1）每个节点最多有两个子节点。

（2）节点之间的连接呈二叉树结构。

三、树与二叉树的主要区别1.节点数量的限定树中每个节点可以有任意数量的子节点，而二叉树中每个节点最多有两个子节点。

这是树与二叉树最明显的区别。

2.节点连接方式的差异树中节点之间的连接顺序呈层次结构，呈放射状分布。

而二叉树中节点之间的连接呈二叉树结构，呈线性分布。

3.遍历方式的差异树的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历等。

二叉树的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历等。

不过，二叉树的遍历方式通常与树的遍历方式有所不同。

四、实例分析1.满二叉树与满树的对比满二叉树是一种特殊的二叉树，其每个节点都有两个子节点，且所有叶子节点都在同一层。

树与二叉树h

树与二叉树h

TElemType data ; int Lchild,Rchild; } SBNode; typedef struct｛
SBNode nodes[MAXSIZE]; } SBTree;
举例
结点 左子
右子
1
26 34
1
2
6
2
3
4
3
0
4
4
0
0
4
4
0
0
特点:
6
0
0
找子方便,找父 结点不便.
三、二叉链表存储结构
第一层 第二层
( A ( B ( E (K,L),F),C(G),D( H (M),I,J )))
第四层 第三层
二、基本术语
结点：包括一个数据元素及若干个指向其它子树 的分支；例如，A，B，C，D等。
叶结点：无后件结点为叶结点；如K，L，M。 根结点：无前件的结点为根；例如，A结点。
子结点：某结点后件为该结点的子结点；例如，
方法描述： 从根结点a开始访问， 接着访问左子结点b， 最后访问右子结点c。
即：
根
A 访问根结点 B 先序遍历左子树 C 先序遍历右子树
a
左子 右子
bc
二、中序法（InOrder）
方法描述：
从左子结点b开始访问，
接着访问根结点a，
最后访问右子结点c。
即：
根
A 中序遍历左子树 B 访问根结点 C 中序遍历右子树
计算机学院
自动化学院
各种社会组织机构；
在计算机领域中，用树表示源
程序的语法结构；
2101 2102
2103
在OS中，文件系统、目录等组
织结构也是用树来表示的。
第6章树和二叉树

第6章树和二叉树

2.孩子表示法 孩子表示法 在结点中设置指向每个孩子的指针域， 在结点中设置指向每个孩子的指针域，利用指针 指向该结点的所有孩子结点。 指向该结点的所有孩子结点。 大多采用按树的度设置结点的指针域的个数。 大多采用按树的度设置结点的指针域的个数。
9
6.1.4 树的存储结构
3.孩子兄弟表示法 孩子兄弟表示法 在结点中设置两个指针域， 在结点中设置两个指针域，一个指针域指向该结 点的第一个孩子，另一个指针域指向其右兄弟。 点的第一个孩子，另一个指针域指向其右兄弟。
2
6.1.1树的定义 树的定义
结点的度：结点所拥有子树的个数称为结点的度。 结点的度：结点所拥有子树的个数称为结点的度。 子树 称为结点的度 树的度：树中所有结点的度的最大值称为树的度。 最大值称为树的度 树的度：树中所有结点的度的最大值称为树的度。 叶结点：度为零的结点称为叶结点。也称终端结点 终端结点或 叶结点：度为零的结点称为叶结点。也称终端结点或叶 子 分支结点：度不为零的结点称为分支结点。也称非终端 分支结点：度不为零的结点称为分支结点。也称非终端 结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。 结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。 孩子结点和双亲结点： 孩子结点和双亲结点：树中一个结点的子树的根结点称 为孩子结点。该结点就称为孩子结点的双亲结点。 为孩子结点。该结点就称为孩子结点的双亲结点。 兄弟结点：具有同一双亲的孩子结点互为兄弟结点。 兄弟结点：具有同一双亲的孩子结点互为兄弟结点。 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点， 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点，称 为结点的祖先。 为结点的祖先。
17
6.2.2 二叉树的性质
性质4 具有n（ 性质 具有 （n>0）个结点的完全二叉树的深度 ）个结点的完全二叉树的深度h= log 2 n + 1 证明： 证明： 根据完全二叉树的定义可知深度为h-1层及以上的结点构成 根据完全二叉树的定义可知深度为 层及以上的结点构成 满二叉树，因此由性质2得深度为 得深度为h的完全二叉树满足 满二叉树，因此由性质 得深度为 的完全二叉树满足 n>2h-1-1和n≤2h-1 和 整理后得到 2h-1≤n<2h 不等式两边取对数， 不等式两边取对数，得 h-1≤log2n<h 由于h为正整数 为正整数， 由于 为正整数，因此 h= log 2 n + 1
树与二叉树的关系

树与二叉树的关系

右的次序顺序编号，即把树看作为有序树。
将一棵树转换为二叉树的方法： ⑴ 树中所有相邻兄弟之间加一条连线。 ⑵ 对树中的每个结点，只保留其与第一个 孩子结点之间的连线，删去其与其它孩子结 点之间的连线。 ⑶ 以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针 旋转一定的角度，使之结构层次分明。
树转换为二叉树示意图
A
A
B
E
CF G
DH
I
A
B
E
CF G
DH
I
J
J
A
BC D EG FH I J
用递归的方法描述其转换
若B是一棵二叉树，T是B的根结点，L是B的 左子树，R为B的右子树，设B对应的森林F（B） 中含有的n棵树为T1,T2, …,Tn，则有： （1）B为空，则：F（B）为空的森林（n＝0）。
（2）B非空，则：
树
森林
二叉树
先根遍历 先序遍历 先序遍历
后根遍历 中序遍历 中序遍历
3、森林的后序遍历*
若森林非空，则遍历方法为：
（1）后序遍历森林中第一棵树的根结点的子 树森林。 （2）后序遍历除去第一棵树之后剩余的树构 成的森林。 （3）访问第一棵树的根结点。
6.5 哈夫曼树及其应用
6.5.1 哈夫曼树
哈夫曼树最典型、最广泛的应用是在 编码技术上，利用哈夫曼树，可以得到 平均长度最短的编码。这在通讯领域是 极其有价值的。
权值 双亲序号 左孩子序号 右孩子序号
静态三叉链表结构定义
#define N 20 #define M 2*N-1 typedef struct { int weight ;
int parent，Lchild，Rchild ; }HTNode, HuffmanTree[M+1];
树和二叉树知识考点整理

树和二叉树知识考点整理

树和二叉树知识考点整理●树的基本概念●树的定义●n个结点的有限集●n=0代表空树●满足条件●只有一个根的结点●其余结点是互不相交的有限集，每个集合本身是一棵树，是根的子树●树是一种递归的数据结构●树的根结点没有前驱，其余结点只有一个前驱●树中所有结点可以有零个或多个后驱●基本术语●双亲、兄弟、孩子、祖先●度：孩子个数●分支结点：度大于0●叶子结点：度为0●深度：从下往上；●高度：从上往下；●有序树：从左到右是有次序的●路径和路径长度：路径是从上往下的●森林：m棵互不相交的树的集合。

●树的基本性质●结点数=所有结点度数之和+1●度为m的树中第i层上至多有m的i-1次分个结点●高度为h的m叉树至多有（m^h-1）/（m-1）个结点●具有n个结点的m叉树的最小高度为「logm（n（m-1）+1）]●二叉树的概念●定义●一种树形结构，特点是每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点）并且二叉树的子树有左右之分，次序不可颠倒●二叉树与度为2的有序树区别●度为2的可以有三个结点，二叉树可以是空树●度为2的有序树的孩子左右之分是根据另一个孩子而言的；二叉树无论有没有，都要确定左右●特殊的二叉树●满二叉树●树中每一层都含有最多的结点●完全二叉树●高度为h，有n个结点的二叉树，当且仅当，每个结点都与高度为h的满二叉树中的编号一一对应●二叉排序树●用途：可用于元素的排序、搜索●左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字；左子树和右子树又是一棵二叉排序树●二叉树的性质●非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点树加1，即n0=n2+1●非空二叉树上第k层至多有2^（k-1）个结点●高度为h的二叉树至多有2^h-1个结点●具有n个结点的完全二叉树的高度为log2（n+1）取顶或者log2n取底+1●二叉树的存储结构●顺序存储结构●只适合存储完全二叉树，数组从0开始●链式存储结构●顺序存储的空间利用率太低●至少三个指针域：数据域、左指针域、右指针域●增加了指向父结点后，变为三叉链表的存储结构●在含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域●二叉树的遍历和线索二叉树●二叉树的遍历●先序遍历●根左右●应用：求树的深度●中序遍历●左根右●后序遍历●左右根●应用：求根到某结点的路径、求两个结点的最近公共祖先等●三个遍历时间复杂度都是O(n)●递归算法和非递归算法的转换●层次遍历●需要借助队列●步骤●二叉树根结点入队，然后出队，访问出队结点，若有左子树，左子树根结点入队●遍历右子树，有右子树，右子树根结点入队。

数据结构树和二叉树知识点总结

数据结构树和二叉树知识点总结

数据结构树和二叉树知识点总结
1.树的概念：树是一种非线性的数据结构，由节点和边构成，每个节点只能有一个父节点，但可以有多个子节点。

2. 二叉树的概念：二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多只有两个子节点，一个是左子节点，一个是右子节点。

3. 二叉树的遍历：二叉树的遍历分为前序遍历、中序遍历和后序遍历三种方式。

前序遍历是先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树；中序遍历是先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树；后序遍历是先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点。

4. 二叉搜索树：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它满足左子树中所有节点的值均小于根节点的值，右子树中所有节点的值均大于根节点的值。

因此，二叉搜索树的中序遍历是一个有序序列。

5. 平衡二叉树：平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左子树和右子树的高度差不超过1。

平衡二叉树的插入和删除操作可以保证树的平衡性，从而提高树的查询效率。

6. 堆：堆是一种特殊的树结构，它分为最大堆和最小堆两种。

最大堆的每个节点的值都大于等于其子节点的值，最小堆的每个节点的值都小于等于其子节点的值。

堆常用于排序和优先队列。

7. Trie树：Trie树是一种特殊的树结构，它用于字符串的匹配和检索。

Trie树的每个节点代表一个字符串的前缀，从根节点到叶子节点的路径组成一个完整的字符串。

以上是数据结构树和二叉树的一些基本知识点总结，对于深入学
习数据结构和算法有很大的帮助。

自考软件基础(数据结构--树与二叉树)

自考软件基础(数据结构--树与二叉树)

A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
第 5 /209页
第二节 二叉树
一、定义
南昌大学
二叉树是一种重要的树形结构，它的特点是：二叉树可以为空（节点个
数为0），任何一个节点的度都小于或等于2，并且，子树有左、右之分，
其次序不能任意颠倒。 二叉树有5种基本形态，如图10-2所示。
第 6 /209页
第二节 二叉树
南昌大学
struct node
{ datatype data； struct node *Lchild,*rchild：
}；
第 15 /209页
第二节 二叉树
南昌大学
例10-5 写出图10-8a所示二叉树的链式存储结构。其链式结构如图10-8b 所示。可以看出：具有n个节点的二叉树链式存储共有2n个链，其中只 有n-1个用来存放该节点的左、右孩子，其余的n +1个指针域为空。
解：第一步：由后序遍历结果确定整个二叉树根为A，由中序结果确定
A的左、右子树。 后序遍历结果： 中序遍历结果：
第 24 /209页
第三节 二叉树的遍历
第二步：确定A的左子树。 1)后序遍历结果：
南昌大学
中序遍历结果：
2）确定B的右子树： ①后序遍历结果：
第 25 /209页
第三节 二叉树的遍历
②中序遍历结果：
南昌大学
第 9 /209页
第二节 二叉树
下面介绍两种特殊的二叉树。
南昌大学
(1) 满二叉树指深度为k，且有2k-1个节点的二叉树。或者说除叶子节点外，
其它节点的度都为2的二叉树。
(2) 完全二叉树一个满二叉树的最下层从右向左连续缺少n (n>=0)个节点 的二叉树。 图10-3为满二叉树和完全二叉树示例。
第六章-树和二叉树

第六章-树和二叉树


之
树 和 二 叉 树 13
1 2 3 A B C
4 5 6 7 0 D E F
8 0
9 10 0 G
¾ 二叉树顺序存储的算法描述
数 据 结 构
¾ 初始化二叉树
之
树 和 二 叉 树 14
#define Max_Size 100 typedef int TElemType; typedef TElemType SqBT[Max_Size+1]; void InitBT(SqBT bt){//设置空树 int i; for(i=1;i<=Max_Size;i++) bt[i]=0; }
数 据 结 构
之
树 和 二 叉 树 19
¾ 后序遍历顺序二叉树算法 void PostBT(SqBT bt,int i){ if(i>Max_Size||!bt[i]) return; PostBT(bt,2*i); PostBT(bt,2*i+1); printf("%3d ",bt[i]); }
数 据 结 构
之
树 和 二 叉 树 4
5. 孩子结点、双亲结点、兄弟结点、堂兄弟 结点、祖先结点、子孙结点…… 6. 结点的层次从根开始，根为第一层，根的 孩子为第二层；若某结点在第L层，则其 子树的根就在第L+1层。 7. 树的深度或高度：树中结点的最大层次。 8. 有序树：如果将树中结点的各子树看成是 从左至右有次序的；反之，则是无序树。 9. 森林：是m棵互不相交的树的集合。
数 据 结 构
之
树 和 二 叉 树 25
¾ 打印一维数组 void printSq(SqBT bt){ int i; printf("\nSeqArray:"); for(i=1;i<=Max_Size;i++) printf("%3d ",bt[i]); }
第5章 树和二叉树

第5章 树和二叉树

A
B A
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
T1
T2
M
2015年10月20日
T3
树的其它表示方式
A D K L F C G E B H M J I
A
A B E K L F C G
B C D
嵌套集合
E
D H M
F
G
H
I
J
I J
K
L
M
凹入表示
(A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))
广义表
2015年10月20日
北京林业大学信息学院
2015年10月20日
二叉树的链式存储
PARENT
lchild
data
rchild
DATA
lchild
data
parent rchild
LCHILD
RCHILD
北京林业大学信息学院
2015年10月20日
二叉链表
A A ^ B D lchild data rchild
B
C
E
G
F
二叉树的五种不同形态
2015年10月20日
练习
具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？普通树呢？ 5种/2种
2015年10月20日
二叉树的抽象数据类型定义
ADT BinaryTree{ 数据对象D: D是具有相同特性的数据元素的集合。 数据关系R: 若D=Φ，则R= Φ ； 若D≠Φ，则R= {H}；存在二元关系： ① root 唯一 //关于根的说明 ② Dj∩Dk= Φ //关于子树不相交的说明 ③ …… //关于数据元素的说明 ④ …… //关于左子树和右子树的说明 //至少有20个 基本操作 P： }ADT BinaryTree
常见基本数据结构——树，二叉树，二叉查找树，AVL树

常见基本数据结构——树，二叉树，二叉查找树，AVL树

常见基本数据结构——树，⼆叉树，⼆叉查找树，AVL树常见数据结构——树处理⼤量的数据时，链表的线性时间太慢了，不宜使⽤。

在树的数据结构中，其⼤部分的运⾏时间平均为O(logN)。

并且通过对树结构的修改，我们能够保证它的最坏情形下上述的时间界。

树的定义有很多种⽅式。

定义树的⾃然的⽅式是递归的⽅式。

⼀棵树是⼀些节点的集合，这个集合可以是空集，若⾮空集，则⼀棵树是由根节点r以及0个或多个⾮空⼦树T1,T2,T3,......,Tk组成，这些⼦树中每⼀棵的根都有来⾃根r的⼀条有向的边所连接。

从递归的定义中，我们发现⼀棵树是N个节点和N-1条边组成的，每⼀个节点都有⼀条边连接⽗节点，但是根节点除外。

具有相同⽗亲的节点为兄弟，类似的⽅法可以定义祖⽗和孙⼦的关系。

从节点n1到nk的路径定义为节点n1，n2，...，nk的⼀个序列，并且ni是ni+1的⽗亲。

这个路径的长是路径上的边数，即k-1。

每个节点到⾃⼰有⼀条长为0的路径。

⼀棵树从根到叶⼦节点恰好存在⼀条路径。

对于任意的节点ni，ni的深度为从根到ni的唯⼀路径长。

ni的⾼是从ni到⼀⽚叶⼦的最长路径的长。

因此，所有的树叶的⾼度都是0，⼀棵树的⾼等于它的根节点的⾼。

⼀棵树的深度总是等于它最深叶⼦的深度；该深度等于这棵树的⾼度。

树的实现实现树的⼀种⽅法可以是在每⼀个节点除数据外还要有⼀些指针，使得该节点的每⼀个⼉⼦都有⼀个指针指向它。

但是由于每个节点的⼉⼦树可以变化很⼤⽽且事先不知道，故在各个节点建⽴⼦节点的链接是不可⾏的，这样将会浪费⼤量的空间。

实际的做法很简单：将每个节点的所有⼉⼦都放在树节点的链表中。

下⾯是典型的声明：typedef struct TreeNode *PtrToNodestruct TreeNode{ ElementType Element; PtrToNode FirstChild; PtrToNode NextSibling}下⾯是⼉⼦兄弟表⽰法的图⽰：树的遍历及应⽤⼀个常见的使⽤是操作系统中的⽬录结构。

数据结构 第六章 树和二叉树


F
G
H
M
I
J
结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先
5
树的基本操作
树的应用很广，应用不同基本操作也不同。下面列举了树的一些基本操作： 1）InitTree(&T); 2）DestroyTree(&T); 3）CreateTree(&T, definition); 4）ClearTree(&T); 5）TreeEmpty(T); 6）TreeDepth(T); 7） Root(T); 8） Value(T, &cur_e); 9） Assign(T, cur_e, value); 10）Paret(T, cur_e); 11）LeftChild(T, cur_e); 12）RightSibling(T, cur_e); 13）InsertChild(&T, &p, i, c); 14）DeleteChild(&T,&p, i); 15）TraverseTree(T, Visit( ));
1
2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1
3
5 7
证明：设二叉树中度为1的结点个数为n1 根据二叉树的定义可知，该二叉树的结点数n=n0+n1+n2
又因为在二叉树中，度为0的结点没有孩子，度为1的结点有1 个孩子，度为2的结点有2个结孩子，故该二叉树的孩子结点 数为 n0*0+n1*1+n2*2(分支数） 而一棵二叉树中，除根结点外所有都为孩子结点，故该二叉 树的结点数应为孩子结点数加1即：n=n0*0+n1*1+n2*2+1
文件夹1
文件夹n

第六章 树与二叉树

44
森林的遍历
(4) 广度优先遍历(层次序 遍历) ：
数据结构
若森林F为空，返回； 否则 依次遍历各棵树的根 结点； 依次遍历各棵树根结 点的所有子女； 依次遍历这些子女结 森林的二叉树表示 点的子女结点。
45
二叉树的计数 由二叉树的前序序列和中序序列可唯 一地确定一棵二叉树。例, 前序序列 { ABHFDECKG } 和中序序列 { HBDFAEKCG }, 构造二叉树过程如 下：
三个结点构成的不同的二叉树
8
用二 叉 树 表达实际问题
例2 双人比赛的所有可能的结局
开始
甲
开局连赢两局 或五局三胜
乙
甲
甲 甲 乙
乙
乙 甲 乙 甲 甲 乙
甲
乙 甲
乙
乙
甲
乙甲
乙
甲
乙 甲 乙
二叉树的性质
数据结构
性质1 若二叉树的层次从1开始, 则在二叉树的 第 i 层最多有 2i －1个结点。(i 1) [证明用数学归纳法] 性质2 高度为k的二叉树最多有 2k-1个结点。 (k 0) [证明用求等比级数前k项和的公式]
前序遍历二叉树算法的框架是 若二叉树为空，则空操作； 否则 – 访问根结点 (V)； – 前序遍历左子树 (L)； – 前序遍历右子树 (R)。
遍历结果 -+a*b-cd/ef
27
数据结构
后序遍历 (Postorder Traversal)
后序遍历二叉树算法的框架是 若二叉树为空，则空操作； 否则 – 后序遍历左子树 (L)； – 后序遍历右子树 (R)； – 访问根结点 (V)。
数据结构
36
左子女-右兄弟表示法 第一种解决方案

树、二叉树、查找算法总结

树、⼆叉树、查找算法总结树的定义形式化定义树：T={D，R }。

D是包含n个结点的有限集合（n≥0）。

当n=0时为空树，否则关系R满⾜以下条件:l 有且仅有⼀个结点d0∈D，它对于关系R来说没有前驱结点，结点d0称作树的根结点。

l 除根结点外，每个结点有且仅有⼀个前驱结点。

l D中每个结点可以有零个或多个后继结点。

递归定义树是由n（n≥0）个结点组成的有限集合（记为T）。

其中：l 如果n=0，它是⼀棵空树，这是树的特例；l 如果n>0，这n个结点中存在⼀个唯⼀结点作为树的根结点（root），其余结点可分为m （m≥0）个互不相交的有限⼦集T1、T2、…、Tm，⽽每个⼦集本⾝⼜是⼀棵树，称为根结点root的⼦树。

ð 树中所有结点构成⼀种层次关系！树的基本术语度结点的度：⼀个结点的⼦树的个数树的度：各节点的度的最⼤值。

通常将度为m的树成为m次树或m叉树结点分⽀结点：度不为0的结点（也称⾮终端结点）度为1的结点成为单分⽀结点，度为2的结点称为双分⽀结点叶结点：度为0的结点路径与路径长度路径：两个结点di和dj的结点序列（di，di1，di2，…，dj）。

其中<dx，dy>是分⽀。

路径长度：等于路径所通过的结点数⽬减1（即路径上的分⽀数⽬）结点的层次和树⾼度层次：根结点层次为1，它的孩⼦结点层次为2。

以此类推。

树的⾼度（深度）：结点中的最⼤层次；有序树和⽆序树有序树：若树中各结点的⼦树是按照⼀定的次序从左向右安排的，且相对次序是不能随意变换的⽆序树：和上⾯相反森林只要把树的根结点删去就成了森林。

反之，只要给n棵独⽴的树加上⼀个结点，并把这n棵树作为该结点的⼦树，则森林就变成了⼀颗树。

树的性质性质1：树中的结点数等于所有结点的度数之和加1。

证明：树的每个分⽀记为⼀个度，度数和=分⽀和，⽽再给根节点加个分⽀性质2：度为m的树中第i层上⾄多有mi-1个结点（i≥1）。

性质3 ⾼度为h的m次树⾄多有个结点。

树和二叉树的定义

通过不同的遍历算法，可以访问和查找二叉树中的节点，如前序遍历、中序遍历和后序 遍历。
树的结构与特点
1
有根树
树的结构由根节点和子节点组成，根节点是整个树的起点。
2
无环图
树是一种无环的图，这意味着树中不存在回路或循环路径。
3
分级结构
Байду номын сангаас
树的层次结构使得数据可以按照分级关系进行组织和访问。
二叉树的结构与特点
查找和排序
二叉树的结构使得在其中进行查找和排序操 作更加高效，而树适用于组织和管理分级数 据。
树和二叉树的应用领域
1 数据库管理
树和二叉树广泛应用于数据库管理系统中，用于索引和组织数据。
2 编译器设计
编译器中常用的语法树和抽象语法树是树的变种，用于解析和分析程序代码。
3 网络路由
在网络路由算法中，树和二叉树被用于在网络中选择最佳的路径。
树和二叉树的定义
树和二叉树是在计算机科学中常见的数据结构。它们是由节点组成的有层次 结构，用于存储和组织数据。
树的定义
树的层次结构
树是一种非线性数据结 构，由根节点和多个子 节点组成。每个子节点 都可以再次拥有自己的 子树。
节点和边
树的节点表示数据元素， 而边代表节点之间的关 系。每个节点可以有多 个子节点，但只能有一 个父节点。
完全二叉树
二叉搜索树
完全二叉树是一种特殊的二 叉树结构，除了最后一层外， 其他层的节点都是满的。
二叉搜索树是一种有序的二 叉树，左子节点的值小于父 节点，右子节点的值大于父 节点。
平衡二叉树
平衡二叉树是一种高度平衡 的二叉树，保持左右子树的 高度差在一个可接受的范围 内。
树与二叉树的关系

软件技术--树与二叉树

（2）若*p结点只有左子树PL或者只有右子树PR， 此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子 树即可。显然，作此修改也不会破坏二叉排序树 的特性。
（3 ） 若*p结点的左子树和右子树均不为空。
五、哈夫曼树的应用
1、什么是哈夫曼树
假设有n个权值{w1，w2，…，wn}，试构造一棵有n 个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权wi，则其中带 权路径长度WPL最小的二叉树称作最优二叉树或哈夫 曼树。
2、 树的基本术语
结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。 叶子结点：度为0的结点称为叶子（Leaf）或终端结点。 非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结 点之外，分支结点也称为内部结点。
树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。 树中结点之间的关系：在描述结点之间的关系时，通常用家族关 系来形象的称呼结点之间的联系。结点的子树的根称为该结点的孩 子（Child），相应的，该结点称为孩子的双亲（Parents）或父结点。 同一个双亲的孩子之间称为兄弟（Sibling）。 结点的层次（Level）：一棵树从根开始定义起，根为第一层，根的 孩子为第二层，…，依此类推。若某结点在第i层，则其子树的根就 在第i＋1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
(4) 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n＋1。
3、几种特殊的二叉树
• 满二叉树：深度为K，且存在2K-1个结点的二叉树。 • 完全二叉树：至多只有最下面两层上的结点度数可以小于
2，并且最下层结点都集中在该层最左边的位置。 • 平衡二叉树：或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：
每次插入一个结点的递归算法
struct node {anytype data; struct node *lchild; struct node *rchild; } *root; void insnode(t,d) struct node *t; anytype d;
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算 称为S的R等价类。
法
实例四：N皇后问题
N皇后问题要求在一个NN格的棋盘上放置N个皇后，
使其互不攻击。按规则，互不攻击的约束条件为：任意两
个皇后不能处于同一行、同一列或同一对角线上，现要求
给出满足约束条件的所有棋盘布局。
3
第 6 章 树和二叉树
6.2 树的概念
定义：
数
数据对象 D：
据
D是具有相同特性的数据元素的集合。
构
与 ③树的度: 树中所有结点的度的最大值
算
法 ④叶子结点: 度为零的结点
⑤分支结点: 度大于零的结点
⑥(从根到结点的)路径：
由从根到该结点所经分支和结点构成。
12
第 6 章 树和二叉树
A
6.2 树的概念
B
C
D
E
F GH I J
基本术语
K
L
M
数 ⑦孩子结点：一个结点的直接后继
据结构与算数据结构
⑧双亲结点: 一个结点的直接前驱 ⑨兄弟结点: 同一双亲结点的孩子结点之间互称~。
法
（3）{ 先序遍历右子树。
先序Vi遍si历t(r结o果ot：->dAatBa)D; G C E F PreOrder(root ->LChild);
PreOrder(root ->RChild);
} 30
}
第 6 章 树和二叉树
A
6.4 二叉树的遍历
B
C
中（根）序遍历的递归定义：
数
D
EF
G
据
结
vo若id二叉InO树r为de空r(B树iT，re则e空ro操ot作) ；否则，
D
E
G
F}BiT∧NoDde, *Bi∧TreEe;∧ ∧ F ∧
∧ G∧
含有n个结点的二叉链表中有2n个指针域，n+1个空26域。
第 6 章 树和二叉树
6.3 二叉树
存储结构：② 链式存储结构：三叉链表
数
据
结点结构: parent lchild data rchild
结
root
构
与
算
A
∧A
法
B
C
Visit(root ->data);
} 32
}
第 6 章 树和二叉树 6.4 二叉树的遍历
练习
A
数
B
C
据
结
D
E
FG
构
与 算
H
JK
法
I
先序：ABDEHICFJGK
法
⑩堂兄弟、祖先结点、子孙结点
结点的层次: 假设根结点的层次为1，依次累加。
树的深度：树中叶子结点所在的最大层次 森林：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合
13
第 6 章 树和二叉树
6.2 树的概念
基本操作
①InitTree(Tree);
数 据
②DestoryTree(Tree);
结
③CreatTree(Tree);
构 与 算
{ （1）中序遍历左子树； （2）if (访ro问ot根!=结NU点L；L)
法
（3）{ 中序遍历右子树。
中序In遍O历rd结e果r(：rooDt G->LBCAhilEd);C F Visit(root ->data);
InOrder(root ->RChild);
} 31
}
第 6 章 树和二叉树
第 6 章 树和二叉树
6.1 应用实例
6.2 树的概念
数
6.3 二叉树
据
结
6.4 二叉树的遍历
构
与
6.5 线索二叉树
算
法
6.6 树和森林
6.7 哈夫曼树及其应用
6.8 实例分析与实现
6.9 算法总结
1
第 6 章 树和二叉树 6.1 应用实例
实例一：数据压缩问题
数
在信息传输、数据压缩问题中，我们总是希望找到一
得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。
存在如何遍历即按什么样的搜索路径遍历的问题
28
第 6 章 树和二叉树
6.4 二叉树的遍历
“二叉树”由三个基本单元组成：根结点、左
子树和右子树。若能依次遍历这三部分，就遍历了
数 据
整个二叉树。
结
设用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、
构 遍历右子树，对“二叉树”而言，可以有6 ？种搜索路径
算 法
Ⅱ. 假设i=k时成立，即第k层上至多有2k-1个结点；
Ⅲ. 那么第k+1层上最多有2k-1×2个，即2k个 。
结论成立，证毕。
18
第 6 章 树和二叉树
6.3 二叉树
重要性质：
数
②深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结点(k≥1)。
据 结
证明：
构
与
基于上一条性质，深度为 k 的二叉树上的结点数至多为
构
④TreeEmpty(Tree);
与 算
⑤Root(Tree);
法
⑥Parent(Tree,x);
⑦FirstChild(Tree,x);
⑧NextSibling(Tree,x);
⑨InsertChild(Tree,p,Child);
⑩DeleteChild(Tree,p,i); 14
第 6 章 树和二叉树
a
法 中编号为 1 至 n 的结点一一对应。
关系：
b
c
满二叉树必为完全二叉树， d
e
f
g
而完全二叉树不一定是
满二叉树。
hi j
21
完全二叉树
第 6 章 树和二叉树
6.3 二叉树
重要性质：
数
④具有 n 个结点的完全二叉树的深度为
据 结
log2n +1 。
构
与
证明：设完全二叉树的深度为 k
算
则根据第二条性质得 2k-1 -1 < n ≤ 2k -1
与
算 最后一个元素(无后继)。
法 其它数据元素
(一个前驱、一个后继)
树型结构
根结点(无前驱)
多个叶子结点 (无后继) 其它数据元素 (一个前驱、多个后继)
11
第 6 章 树和二叉树
A
6.2 树的概念
B
C
D
E
F GH I J
基本术语
K
L
M
数 据
①结点：数据元素+若干指向子树的分支
结 ②结点的度: 分支的个数
表达式、中缀表达式、后缀表达式，并可以实现表达式的
求值运算。 2
第 6 章 树和二叉树 6.1 应用实例
实例三：等价类划分问题
等价关系是现实世界中广泛存在的一种关系，许多应
数 用问题可归结为按给定的等价关系将集合划分为等价类的
据 结 构 与
问题。问题可描述为：若R是集合S上的一个等价关系，则 由R可得到集合S的唯一划分，即可以按R将S划分为若干个 不相交的子集S1，S2，…，这些子集的并集等于S，子集Si
与 算
全二叉树中任意一个编号为 i 的结点：
法 (1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，
否则，编号为 i/2 的结点为其双亲结点；
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子，
否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点，
否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
形态： 5种
数
据
结
构
与 算 法
空二叉树
只有根结点 的二叉树
只有左子树 的二叉树
只有右子树 的二叉树
左、右子树均 非空的二叉树
16
第 6 章 树和二叉树
6.3 二叉树
基本操作：
①Initiate(bt);
数 据
②Destory (bt);
结
③Creat (bt);
构
④Empty(bt);
与 算
⑤Root(bt);
算
法
20+21+ +2k-1 = 2k-1
19
第 6 章 树和二叉树
6.3 二叉树
重要性质：
数
③ 对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点、
据 结 构
n2 个度为 2 的结点，则必存在关系式： n0 = n2+1。
与 算
证明：设二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2
法
又二叉树上分支总数 b = n1+2n2
23
第 6 章 树和二叉树
6.3 二叉树
存储结构：
数 据
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
① 顺序存储结构
结 构
② 链式存储结构
与
算
法
24
第 6 章 树和二叉树
6.3 二叉树
存储结构：① 顺序存储结构 一维数组bt[n]
数
是用一组连续的存储单元来存放二叉树的数据元素 。
据
结
A
A
构 与
B
C
B
算
法
D
E
F
G
C
H I J KL
D
ABCDE F GHI J KL A B
A
6.3 二叉树的遍历与线索化
B
C
后（根）序遍历的递归定义：
数
D
EF
G
据
结
vo若id二叉Po树st为Or空de树r(，Bi则Tr空ee操ro作o；t) 否则，