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子环,环的同态ppt3-5.

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3.5子环、环同态

3.5子环、环同态

事实上, xs ys ( xs ) ( ys ) ( xs ys )( 是S 到S的同构映射)
xs ys ( xs ) ( ys ) ( xs ys )( R中 的定义) ( xs ys )( xs ys S ) xs ys
（平凡子环）
例2：一个环R的可以同每一个元交换的元作成 一个子环,叫做环R的中心.
Байду номын сангаас
§3.5 子环、环的同态
二、环的同态及其若干性质
定理1：设R是一个环, R是一个不空集合, R有两个代数运算,一个叫做加法,一个 叫做乘法.若存在一个R到R的满射,使得 R与R对于一对加法以及一对乘法来说都 同态,则R也是一个环.
则规定的法则是 A 的加法和乘法, 且 对于一对加法 和一对乘法来说都是同构映射.
§3.5 子环、环的同态
(1)构造R S ( R S ); 证明： (2)作一个R 到 R 的一一映射;
(3)在R中定义两个代数运算,使得 R R ; (4)证明S是R 的子环.
R
S
§3.5 子环、环的同态
(1)作R S (R S ) {as , bs , cs , } {a, b, c, }.
§3.5 子环、环的同态
(2)规定 ：
RR
xs xs ( xs ), xs S , x x, x R S ,
则 是R到R的一一映射.
R
S
§3.5 子环、环的同态
§3.5 子环、环的同态
定义：设R和R 是两个环,则称R和R同态 （同构）,若满足
(1)存在满射(一一映射) : R R (2)保持运算(保持加法和乘法运算） ( x y ) ( x ) ( y )(x, y R );

子环,环的同态ppt3-5.

子环,环的同态ppt3-5.
(1) ( a b) ( a) ( b) (2) ( a b) ( a) ( b)
如果 既是单映射又是满映射,则称 为同构，记作 : R R ,并称 R与R 同构.
2013-8-14 17:12
定理1 若 R 与 R 是各有两个代数运算的系统， 且 : R ~ R ，则当 R 是环时，R 也是环. 定理2 若 R 与 R 是环，且 : R ~ R ，则 (2) ( a) ( a) (1) (0R ) 0R n n (3) (a ) ( (a)) (4)当 R 是交换环时，R 也是交换环； (5)当 R 是有单位元环时，R 也是有 单位元环时，且 1R (1R ).
2013-8-14 17:12
1.一个环的非空子集S作成一个子环的充要 条件：
a, b S , a b S , ab S
2.一个除环的非空子集S作成一个子除环的 充要条件： （1）S包含一个不等于0的元
2a, b S ,
a bS
1
a, b S , b 0 ab S
a b c ab d 若a b c 若 ab d
2013-8-14 17:12
例4 设环
R {(a, b) | a, b Z },
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
2013-8-14 17:12
问：同态环有无零因子传递吗？ 例1 R 为整数环，R 是模n的剩余类环
: a a
2013-8做成环. : (a, b) a, (a, b Z ) R 的零元是 (0, 0) ，而

近世代数3.5：子环、环的同态

近世代数3.5：子环、环的同态

具有同样多代数运算的代数系统间的同态 结合律、 可以保持相应的结合律 交换律和分配律。 可以保持相应的结合律、交换律和分配律。 定理1（ ）：假定 定理 （ §1.8,P22）：假定，对于代数运算 ）：假定， 来说， 同态，那么， 和 来说， A 和 A 同态，那么， 适合结合律， 也适合结合律； （i）若 适合结合律， ） 也适合结合律； 适合交换律， 也适合交换律。 （ii）若 适合交换律， ） 也适合交换律。 定理2（ 都是集合A的代 定理 （ §1.8,P22）：假定， ⊕ , 都是集合 的代 ）：假定，
近 世 代 数
(Abstract Algebra)
授课教师 ： 陈 益 智 工作单位 ：惠州学院数学系
§3.5：子环、环的同态 ：子环、
近世代数 代数系统 带有运算的集合） （带有运算的集合） 群 环 域
研究方法： 研究方法：
（从内部入手） 1、 研究其子系统、商系统 从内部入手） 、 研究其子系统、 子系统：子群、子环、 子系统：子群、子环、子域 商系统：商群、商环、 商系统：商群、商环、商域 2、 研究其同态和同构 （从外部入手） 、 从外部入手）
数运算， 的代数运算， 同态， 数运算，⊕ , 都是集合 A 的代数运算， A 和 A 同态，那 么， 适合第一分配律， 也适合第一分配律； （i）若⊕ , 适合第一分配律，⊕ , 也适合第一分配律； ） 也适合第二分配律。 （ii）若 , 适合第二分配律，⊕ , 也适合第二分配律。 ） ⊕ 适合第二分配律，
§3.5：子环、环的同态 ：子环、
教学目的： 教学目的：
（1）掌握子环（子除环，子整环，子域） ）掌握子环（子除环，子整环，子域） 的定义及其等价条件； 的定义及其等价条件； （2）掌握环的同态及其若干性质； ）掌握环的同态及其若干性质； （3）理解并能使用“挖补定理 ）理解并能使用“ ”; （4）掌握类比的数学思想. ）

近世代数课件-3-3_环的同态与同构

近世代数课件-3-3_环的同态与同构

2020/4/27
18:19
一、环同态与同构的定义
注：
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
二、同态的性质
近世代数
第三章 环
环是具有两种代数运算的代数系，它也是 近世代数的一个重要分支。
本章介绍环的一些初步理论。
2020/4/27
§3.3 环的同态与同构
对环进行比较，采用的主要工具是环同态和环同构，从 而可揭示出两个貌似不同的环之间的某些共同性质，这是 在环的研究中具有重要意义的基本观念和基本方法，同时 也是实践性很强的一种基本要求。
本节教学目的与要求： 了解环同态和同构的代数现象；了解环同态和同构的
代数传递性质和一些不能传递的代数性质；熟悉一些常用 的彼此同态和同构的实例。
领会代数性质的传递是重点，掌握其中的定理证明方 法是难点。
2020/4/27
§3.3 环的同态与同构
一.环同态与同构的定义 二.环同态的性质 三.同态象和同态核的定义
2020/4/27
三、同态像与同态核
2020/4/27
三、同态像与同态核
2020/4/27
作业：P83第1,4题
2020/4/27
2020/4/27
说明如下：
二、同态的性质
2020/4/27
二、同态的性质
注
2020/4/27
二、同态的性质
2020/4/27
三、同态像与同态核
2020/4/27
三、同态像与同态核

环同态基本定理

环同态基本定理

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二、环同态的一些简单性质
定理3.5.1 设 为环 R 到环R '的同态, 则 (1)(0R ) 0R' .（ 0R为 R中零元，0R为' R '中零元） (2) (na) n(a) ，n Z,a R . (3) (an ) ((a))n ，n N.
由定义可知, 环同态就是环之间保持运算的映射.
又如果同态映射 是单映射, 则称 为单同态
(monomorphism); 如果 是满映射, 则称 为满同态
(epimorphism), 此时, 称环 R 与 R '同态, 记作：
: R ~ R' ; 如果 既是单同态, 又是满同态, 则称 为
|S (s) (s) s s x 所以 |S 为满同态. 而
24
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Ker |S {s S |(s) 0}
{s S | s I} S I.
从而S I是S的理想, 且由环同态基本定理知, 有如
下的环同构
S /(S I ) (S I ) / I
因此, (e)是单位元, 由单位元的惟一性得(e) e' .
(2) 令r ' (e) , 则r ' 0 , 从而 r 'e' r ' (e) (ee) (e)(e) r '(e)
因为 R '无零因子, 所以消去律成立. 在上式两边消去r '
得(e) e'.
满同态, 则有环同构
%: R / Ker R'
证 (1) 记K Ker , 则为K 环R 的理想. 对任意

通用图表圆环形循环关系图PPT图表(完整版)

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环的定义与性质


定理8：R中非零元如果与n互素，则为可逆元；否则为零因子。 证明：数论中互素的充要条件 （m,n）=1 等价于am+bn=1。
思考题：R 中所有可逆元是否构成一个群？其阶是多少？ （群论的应用中我们讲过）
更一般的，一个含幺环的全体可逆元对乘法构成群，成为环的乘群。
Euler 定理：n 是正整数，（a,n）=1, 则 a φ(n）=1
（4）证明思路：
用归纳法证明a1,a2,...,an 有
n
n
( ai )b j ai2,...,bm 有
于是
m
m
ai (b j ) aib j
j 1
j 1
n
m
n
m
nm
( ai )(b j ) ai (b j ) aib j
i1
j 1
i1 j1
i1 j1
数论中可以用既约剩余系的概念证明，这里我们可以用群的概念证明。
第四节 除环
定义 一个环Ｒ叫做一个除环，若 １、Ｒ至少包含一个不等于零的元； ２、Ｒ有一个单位元； ３、Ｒ每一个非零的元都有逆元。
除环的性质
1、除环没有零因子 2、除环的特征只能为零或者素数。
一个交换除环叫做一个域。（我们将在下一章详细讨论）
3. 环与子环的单位元
设 S 是 R 的一个子环，当 R 有单位元时，S 不一定有；当 S 有单位元 时，R 不一定有；即使两者都有单位元，此两单位元也不一定相同。
1、考虑 R为整数环<Z,+,·> ，S 为偶数环<2Z,+,·> 。 2、考虑 R为偶数环<2Z,+,·>， S为零环。 3、考虑实数环 R，S为零环，两个环的单位元不同。

同构及同态和环

不难验证f是G到Z上的同构映射。因此，GZ。
定义6.5.3 设G是一个群，若σ是G到G上的同构映 射，则称σ为自同构映射。
自同构映射的最简单的例子就是恒等映射，称为恒 等自同构映射。在恒等自同构映射下，群中每个 元素都保持不变。下面再举几个自同构映射的例 子。
第9页，本讲稿共48页
例6.5.6 设（Z，+）是整数加法群， 令σ：n-n，nZ，
证明：因为N是正规子群，故Nb=bN，今设A=aN， B=bN，AB=aNbN=abNN=abN，所以AB是一个陪集。
第14页，本讲稿共48页
定理6.5.3 按照陪集的乘法,N的所有陪集作成一个群.
命σ：a→aN，则σ是G到 上G的一个同态映射,其核为N.
证明： 由σ引(a理)σ1，(bG)中=a乘Nb法N=封ab闭N ，映射σ使
第13页，本讲稿共48页
以上所述说明了:若σ是G到G′上的同态映射,则其 核N为一正规子群。反过来，我们要问： 设N是G的一个正规子群,是否有一个群G′以及一 个G到G′上的同态映射σ,使N为σ的核？
回答是肯定的,下面造出如此之G′和σ。
引理1 设N是G的正规子群。若A，B是N的陪集，则 AB也是N的陪集。
是的。
证：因 -1(H’)表示H’在G中全体原象集，故 在下再看象集必是H’。 (6)若H是G正规子群，则H’=(H)是G’正规子 群。 证：对任g’G’ 往证g’H’g’-1H’ 因为必有gG 使(g)=g’而 g’H’g’-1=(g)(H)(g)-1=(gHg1)=(H)=H’ 所以，H’正规子群。
则σ是R+到R上的1-1映射,且对a,bR+， σ（a·b）=log（a·b）=log a+log b
=σ（a）+σ（b）。 故σ是R+到R上的同构映射。 Log x是以e为底的x的对数,若取σ(x)=log2x，或

环同态基本定理

环同态基本定理环同态基本定理（Fundamental Theorem of Homomorphisms on Rings）是代数学中的重要定理之一。

它描述了环同态的基本性质和结构，为进一步研究环同态提供了重要的理论基础。

我们需要明确环同态的概念。

一个环同态是指将一个环映射到另一个环的映射，且保持环运算和单位元。

换句话说，如果有两个环R 和S，一个映射f：R→S是一个环同态，当且仅当它满足以下条件：1. 对于R中的任意元素a和b，有f(a+b)=f(a)+f(b)；2. 对于R中的任意元素a和b，有f(a*b)=f(a)*f(b)；3. 对于R中的单位元素1，有f(1)=1。

基本定理的第一部分是关于环同态的核和像的性质。

核是指同态映射f中被映射到零元的元素的集合，即ker(f)={a∈R | f(a)=0}；像是指同态映射f中所有元素的集合，即im(f)={f(a) | a∈R}。

基本定理告诉我们，对于任意环同态f：R→S，其核和像具有以下性质：1. ker(f)是R的一个理想；2. im(f)是S的一个子环；3. f是一个单射（即f(a)=f(b)蕴含a=b）当且仅当ker(f)={0}；4. f是一个满射（即对于任意s∈S，存在r∈R使得f(r)=s）当且仅当im(f)=S。

基本定理的第二部分是关于环同态的陪集和同构的性质。

陪集是指对于环R的一个理想I，R中所有和I关于加法封闭的元素a的集合，记作a+I={a+x | x∈I}。

陪集的性质是：对于任意a、b∈R，a+I=b+I当且仅当a-b∈I。

同构是指一个双射的环同态，即既是满射又是单射。

基本定理告诉我们，对于任意环同态f：R→S，它满足以下性质：1. 对于R的任意理想I，f(I)是S的一个理想；2. 对于R的任意理想I，f的陪集a+I与f(a)+f(I)同构，即存在一个双射g：a+I→f(a)+f(I)，满足g(a+x)=f(a)+f(x)；3. 对于R的任意理想I，f是一个单射当且仅当f(I)={0}；4. 对于R的任意理想I，f是一个满射当且仅当f(I)=S。

§6.7 环 同 态(离散数学)


为整数环I， （ ） 例. 设R为整数环 ，N=（m）=mI，则 为整数环 ， a≡b（mod N） iff a=b+n, n∈N （ ） ∈ iff a=b+mk iff m∣a-b ∣ iff a≡b（mod m）。 （ ） I的关于 的陪集即是模 的剩余类。 的关于N的陪集即是模 的剩余类。 的关于 的陪集即是模m的剩余类
主理想
定义. 是有壹的交换环， ∈ ， 定义 设R是有壹的交换环，a∈R，则 aR 是有壹的交换环 称为由a生成的主理想，记为（ ）。 称为由 生成的主理想，记为（a）。 生成的主理想 显然，（ ） 显然，（0）={0}， （1）=R。 ，（ ， ） 。 结论5. 的主理想（ ） 中包含a的理想 结论 环R的主理想（a）是R中包含 的理想 的主理想 中包含 中最小（在集合包含关系下）的理想。 中最小（在集合包含关系下）的理想。 证明： 中包含a的任一理想 证明：设N是R中包含 的任一理想，往证 是 中包含 的任一理想， ∈(a)， ∈ ， （a） N。任取 ∈( ，即x∈aR，则存在 ） 。任取x∈( r∈R，使得 ∈ ，使得x=ar。由a∈N， r∈R，N是理想 。 ∈ ， ∈ ， 是理想 ，（a） 知，ar∈N，即x∈N。所以，（ ） N。 ∈ ， ∈ 。所以，（ 。
理想的例
为整数环， 是 的子环 且是I的 的子环， 例. 设I为整数环，mI是I的子环，且是 的 为整数环 理想。因为： 理想。因为： mI非空； 非空； 非空 若a∈mI，b∈mI，则a-b∈mI; ∈ ， ∈ ， ∈ 若a∈mI，x∈I， 则aх∈mI，хa∈mI。 ∈ ， ∈， ∈ ， ∈ 。
6.7.3 环同态与同构
定义. 是一个环, 是有加、 定义 设R是一个环 S是有加、乘两种运算的系统，称 是一个环 是有加 乘两种运算的系统， 中的同态映射， R到S中的映射 是环R到S中的同态映射，如果 到 中的映射 中的映射σ是 到 中的同态映射 σ(a+b)=σ(a)+σ(b)，σ(ab)=σ(a)σ(b)。 ， 。 R到R’上有一个同态映射 则称R与R’同态 记为R～R′。 上有一个同态映射,则称 同态,记为 若R到R’上有一个同态映射,则称R与R’同态,记为R～R′。 定义. 是环R到 上的一对一的同态映射 上的一对一的同态映射， 定义 若σ是环 到R’上的一对一的同态映射，则 上的同构映射或同构对应。 称σ是R到R’上的同构映射或同构对应。 到 上的同构映射或同构对应 若R到R′上有一个同构映射，则称 与R′同构，记为 到 ′上有一个同构映射，则称R与 ′同构， R R′。 ′
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R~ Z
( a, 0)(0, b) (0, 0)
，故 R 有零因子, Z 无. 注：同态环有无零因子不具传递性； 同态环性质不完全传递； 但是同构环性质完全相同.
2018/11/11 13:27
例4 设环
R {(a, b) | a, b Z },
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
又令 S {( a, 0) | a Z }
SZ
Z
((a, 0) a) ( R S)
R Z {(a, b) | 0 b Z }, Z R
RR
2018/11/11 13:27
例2.一个环R的可以同每一个元交换的元作 成一个子环，这个子环叫做R的中心。
2018/11/11
13:27
一、环同态的定义与性质 定义1 设 R和R 是两个环, 是集合 R到R 的映射.如果对任意的 a, b R ,有 ，则称 为环 R到R 的一个同态. 如果 为满映射,则称 为满同态, 记作 : R ~ R ,并称 R与R 同态.
a, b S , a b S , ab S
2.一个除环的非空子集S作成一个子除环的 充要条件： （1）S包含一个不等于0的元
2a, b S ,
a bS
1
a, b S , b 0 ab S
2018/11/11 13:27
例1.R本身是环R 的子环，{0}也是环R的 子环。
2018/11/11 13:27
问：同态环有无零因子传递吗？ 例1 R 为8/11/11
13:27
例2
做成环. : (a, b) a, (a, b Z ) R 的零元是 (0, 0) ，而
R {(a, b) | a, b Z }, (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
(1) ( a b) ( a) ( b) (2) ( a b) ( a) ( b)
如果 既是单映射又是满映射,则称 为同构，记作 : R R ,并称 R与R 同构.
2018/11/11 13:27
定理1 若 R 与 R 是各有两个代数运算的系统， 且 : R ~ R ，则当 R 是环时，R 也是环. 定理2 若 R 与 R 是环，且 : R ~ R ，则 (2) ( a) ( a) (1) (0R ) 0R n n (3) (a ) ( (a)) (4)当 R 是交换环时，R 也是交换环； (5)当 R 是有单位元环时，R 也是有 单位元环时，且 1R (1R ).
定义 1.一个环R的一个子集S叫做R的一个子环， 假如S本身对于R 的代数运算来说作成一个 环。 2. 一个除环R的一个子集S叫做R的一个子除 环，假如S本身对于R 的代数运算来说作成 一个除环 同样，可以规定子整环，子域的概念。
2018/11/11 13:27
1.一个环的非空子集S作成一个子环的充要 条件：