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利息理论

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利息理论

利息理论

理论基础：定义：利息，从其形态上看，是货币所有者因为发出货币资金而从借款者手中获得的报酬；从另一方面看，它是借贷者使用货币资金必须支付的代价。

利息实质上是利润的一部分，是利润的特殊转化形式。

解释：1.因存款、放款而得到的本金以外的钱（区别于‘本金’）。

2.利息（interest）抽象点说就是指货币资金在向实体经济部门注入并回流时所带来的增值额。

利息讲得不那么抽象点来说一般就是指借款人(债务人)因使用借入货币或资本而支付给贷款人(债权人)的报酬。

又称子金，母金(本金)的对称。

利息的计算公式为：利息=本金×利率×存款期限（也就是时间）。

概念的界定：利息(Interest)是资金所有者由于借出资金而取得的报酬，它来自生产者使用该笔资金发挥营运职能而形成的利润的一部分。

是指货币资金在向实体经济部门注入并回流时所带来的增值额，其计算公式是：利息=本金×利率×时间x100%马克思政治经济学观点：马克思主义认为利息实质是利润的一部分，是剩余价值的转化形式。

货币本身并不能创造货币，不会自行增值，只有当职能资本家用货币购买到生产资料和劳动力，才能在生产过程中通过雇佣工人的劳动，创造出剩余价值。

而货币资本家凭借对资本的所有权，与职能资本家共同瓜分剩余价值。

因此，资本所有权与资本使用权的分离是利息产生的内在前提。

而由于再生产过程的特点，导致资金盈余和资金短缺者的共同存在，是利息产生的外在条件。

当货币被资本家占有，用来充当剥削雇佣工人的剩余价值的手段时，它就成为资本。

货币执行资本的职能，获得一种追加的使用价值，即生产平均利润的能力。

所有资本家追求剩余价值的利益驱使，利润又转化为平均利润。

平均利润分割成利息和企业主收入，分别归不同的资本家所占有。

因此，利息在本质上与利润一样，是剩余价值的转化形式，反映了借贷资本家和职能资本家共同剥削工人的关系。

西方经济学观点：实质利息理论是实际节制的报酬和实际资质利息理论在利息研究领域一直居于主导地位。

利息理论总复习

利息理论总复习

每年的实际利率为i0。
1 + i0 = (1 + i )
k
则年金的现值和终值分别为： 则年金的现值和终值分别为：
& a& n i 和 &&n i s
0
0
3、永续年金
1）期末付
lim a kn sk
n→∞
1 − v kn 1 1 = lim ⋅ = （i为每次的利率） n→∞ i sk is k
2）期初付
i ( m ) = m(e m − 1)
δ
1、期末付年金的现值与终值
( ( anm ) (∞) = anm ) = i
1− v i ( m)
n
=
1 − e − nδ m(e m − 1)
δ
。
( ( s nm ) ( ∞ ) = s n m ) i
(1 + i ) n − 1 = i (m)
2 、期初付年金的现值与终值
第一章
利息的基础知识
1、积累函数
a ( t )=
或：
a n − a n −1 an
=
i 1+ i
d = i ⋅v i=
d 1−d
贴现率与折现因子
公式一 公式二
d = 1− v
及：
vt = v = (1 − d )
t
t
及：
v = 1− d
at = (1 − d )
同理： 同理：
&&n m = &&n (1 + i ) = &&m + n − &&m s s s s
m
.
年金的当前值
0 1 1 ------m 1 1 n 1
利息理论第一章-1

利息理论第一章-1

n n 1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题

例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
24
1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。

4

故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；
利息理论知识点

利息理论知识点

利息理论知识点利息理论是金融学中非常重要的一部分，它涉及到我们日常生活中经济活动的方方面面。

在这篇文章中，我们将逐步深入探讨一些关键的利息理论知识点。

第一步：什么是利息？利息是指在借贷交易中，贷款人向借款人提供资金时产生的费用。

它代表了借款人使用贷款资金的成本，也是贷款人的回报。

第二步：利息的计算方法在实际生活中，利息的计算方法有很多种。

其中最常见的是简单利息和复利息。

简单利息是指在固定的时间段内，基于贷款的原始本金计算利息。

它的计算公式为：利息 = 本金 × 利率 × 时间。

复利息是指在每个时间段结束时，利息会被加到本金上，下一个时间段的利息将基于更新后的本金计算。

它的计算公式为：利息 = 本金 × （1 + 利率）^ 时间 - 本金。

第三步：利率和影响利率的因素利率是计算利息的重要参数，它代表了借款的成本或者投资的回报。

利率的水平由多种因素决定，包括但不限于以下几点：1.经济政策：宏观经济政策的调整可以直接影响利率水平。

例如，央行通过调整基准利率来控制货币供应量和利率水平。

2.市场需求和供应：市场上的借贷需求和供应也会对利率产生影响。

当借款需求大于供应时，利率通常会上升，反之亦然。

3.风险因素：借款人的信用状况和贷款的风险水平也会影响利率。

风险越高，借款人通常会面临更高的利息成本。

第四步：利息的作用和影响利息在经济活动中扮演着至关重要的角色，它对个人、企业和整个经济体都有重要的影响。

1.个人：对于个人来说，利息是负担债务的成本，也是储蓄和投资的回报。

了解利息理论可以帮助个人做出更明智的借贷和投资决策。

2.企业：对于企业来说，利息是融资成本的一部分。

通过掌握利息理论，企业可以更好地评估贷款和债务的风险和回报，从而制定更有效的财务战略。

3.经济体：利息的水平和变动也会对整个经济体产生影响。

低利率可以刺激经济增长和投资活动，但也可能导致通货膨胀。

高利率则可能减缓经济增长，但有助于控制通货膨胀。

利息理论第一章 1 优质课件

利息理论第一章 1 优质课件

注意：积累和贴现是相反的过程。
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i
第1章利息理论

第1章利息理论


2.1.6 利息问题求解
一个简单的利息问题通常包括以下四个基本量： 1.原始投资的本金 2.投资时期的长度 3.利率 4.本金在投资期末的积累值 如果已知其中的任何三个，就可以建立一个 价值等式，由此等式确定第四个量。
利息问题求解举例
例1： 某人借款50000元，每半年结算一次利息， 年名义利率为6%，两年后他还了30000元，又过3 年后还了20000元，求7年后的欠款额为多少。
●
积累函数a (t)有时也称作 t 期积累因子;
称 a-1(t)为折现函数或 t 期折现因子。特别地， 把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。
●
在复利方式下，当年利率不变时 通常记
1 a (t ) (1 i)t
1
1 v a (1) 1 i
1
a (t )
现值
1
1 本金
a (t )
常数利率时
A(t ) A(0)(1 பைடு நூலகம் it )
• 复利：利上生利的计息方式
A(n) A(0)(1 i1)(1 i2)(1 in)
常数利率时
A(t ) A(0)(1 i)t
a(t ) (1 i)t 此时累积函数为
例1. 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余 额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元， 问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？
价值等式
f (i) ＝2000×(1＋i)5＋3000×(1＋i)2 －6000
可利用中点插值法求解
补充作业：
1、设 m 1，请把 的次序排列。
i, i
( m)
, d, d
( m)
, 按从大到小
第二章 利息理论基本概念

第二章 利息理论基本概念

5%复贴现率计息 10000(1－5%)2 9025 期初投资9025元，两年后获得10000元 两年共获得利息： 975
利息的度量三——利息转换频率不同
• 实质利率 i ：以一年为一个利息转换期，该利率 记为实质利 • 名义利率 i(m) ：在一年里有m个利息转换期，假如 每一期的利率为j，有 i ( m ) mj 。 • 利息力 ：假如连续计息，那么在任意时刻t的 瞬间利率叫作利息力。
2 3
利息度量二——利率和贴现率
• 期末计息——利率
– 第N期实质利率
I (n) in A(n 1)
• 期初计息——贴现率
– 第N期实质贴现率
I (n) dn A(n)
单利场合利率与贴现率的关系
I ( n) dn A(n) a(n) a(n 1) a ( n) i 1 in
复利场合利率与贴现率的关系
I (n) a(n) a(n 1) dn A(n) a ( n) i (1 i ) n 1 (1 i ) n i 1 i
复利场合利率与贴现率的关系
初始值 利息 积累值
1
v
i d
v 1 d （ 1 i）
1
1 i
1
例2
（2） 3000(1 i ) 4 6000(1 i ) 2 15000
(1 i ) 2 1 6 (舍去负根) 由(1 i ) 1 6
2
i 20.4% （i 2.204舍去)
例7：求时间
• 假定 i
(12)
分别为12%、6%、2%
• 计算在这三种不同的利率场合复利计息， 本金翻倍分别需要几年？
例7答案
i (12) 2%时， (1 0.17%)
利息理论

利息理论


99.49
15
设rn为n期的短期利率，fn为n期的远期利率， 对于以上债券，有
96.15 = 100 1 + r1
92.19
=
100 (1+ y2
)2
99.45 = 8.5 + 8.5 + 108.5 1 + r1 (1 + y2 )2 (1 + y3 )3
16
由此可以得到各期“零息票债券”的到期收益率 y1= …… y2= …… y3= …… ……
z 预期假说解释了利率期限结构随着时间 不同而变化的原因。
¾ (1) 收益率曲线向上倾斜时，短期利率预期在 未来呈上升趋势。
¾ (2) 收益率曲线向下倾斜时，短期利率预期在 未来呈下降趋势。
¾ (3) 当收益率曲线呈水平状态时，短期利率预 期在未来保持不变。
26
二、市场分割假说
z 市场分割假说 (Segmented Markets Hypothesis)
(2) 投资者对不同期限的债券具有不同的偏好。如 果某个投资者对某种期限的债券具有特殊偏好， 那么，该投资者可能更愿意停留在该债券的市场 上，表明他对这种债券具有偏好停留
(Preferred Habitat)。
(3) 投资者的决策依据是债券的预期收益率，而不 是他偏好的某种债券的期限。
31
三、流动性偏好假说的前提假定
z 流动性偏好假说的基本命题是：长期债券的利 率水平等于在整个期限内预计出现的所有短期 利率的平均数，再加上由债券供给与需求决定 的期限溢价 (Term premium)。
30
5
三、流动性偏好假说的前提假定
(1) 期限不同的债券之间是互相替代的，一种债券 的预期收益率确实会影响其他不同期限债券的利 率水平。
第1章利息理论

第1章利息理论



i ( m ) m 1 [1 ] m
[1
i
(m)
m
]m
2.名义贴现率：现率为
(m)
表示每
d ( m ) 计息的名义贴现率，设与之等价的实际 贴现率 m
1 m
个度量期以实际
d ，则有：
( m)
d m 1 d (1 ) m
a ( s) 0 s ds 0 a(s) ds ln a(t )
t t
'
0 s ds a(t ) e
或
t
a(t ) (1 i) 时， t ln( 1 i)
t
e 1 i

例：如果 t 0.01t , 0 t 2，确定投资1000元 在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。
例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的 还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第 2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。
20万元
0 1 2
…
19
20
x
解得
x
x
x
xa20 200000
0.05 x 200000 16048.52 20 1 1.05
例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投 资3000元，投资20年的现值及积累值。如果 投资在每年年初进行，那么投资20年的现值 及积累值又分别是多少？
n 2 n
sn i
2. 期初付n期年金的现值和终值
1
0
1
1
1
2
…
…
1
n-1 n
1 vn 1 vn n 1 v v 2 v n1 a 1 v d n n 1 v (1 i) 1 n n n an (1 i) s (1 i) d d
利息理论

利息理论

2 3
例1-2：单利、复利计息投资差异
• 假设年实际利率等于5%，初始时刻本金为100 元，投资期限为5年，分别用单利和复利来计 算这笔投资在各个年末的积累值、各年的利 息和实际利率。
i
单利
初始 1 2 3 4 5
At
复利 单利
100.00 100.00 0.00 105.00 105.00 5.00 110.00 110.25 5.00 115.00 115.76 5.00 120.00 121.55 5.00 125.00 127.63 5.00
• • •
贴现：
应该将来支付的金额提前到现在支付的经济行为叫贴现。
贴现额：
贴现时应扣除一部分金额，这个扣除额称为贴现额。
贴现与利息的区别与联系：
分析视点不同，利息是本金基础上的增加额，贴现是累积额基础上的减 少额。 但是，在同时段内，贴现额与利息额的数值是相等的。 同时段的贴现额 = 同时段的利息额
贴现率表示单位货币在单位时间内的贴现额。 称为折现因子，且 v 1 d
贴现率与利息率之间的关系
1 i d 1 1 i 1 i d i 1 d
i
1
1 i d
(1 i ) 1 i d 1 i 1 i 1 (1 d ) d i 1 d 1 dm 的递减函数
2 0.05975 4 6 8 10
m 12
0.06125
0.0595
0.061
0.05925
0.06075
0.059
0.0605
0.05875
0.06025
0.0585
2
4
6
8
10
m
12
i (m)
• 如果 1 年内贴现 1 次，贴现率用 d 表示，
利息理论 第1章 利息的基础知识

利息理论 第1章 利息的基础知识


ln a ( t )
t
a(t) e0sds
。
当 s 为常数时：
a(t) et
各年的利息力分别为：
1 ,2


时
n
积累函数值
n
a(n) e0tdt
e 0 11d t 12 2d tnn1nd t
e12 n
n
k e k 1
A1 A0 A0

a1 1
第二年：
i2

A2 A1 A1

a2 a1 a1
第 n年：
in

An An1 A n 1

a n a n1 a n1
例一
设：at =ct2+d (c、d为常数），
a 5=126 , A0=100
求：A i at ct2d

10、 、 10
第n年的利率为
。 inaa (n (n )1)1en 1
现值函数值为：
n
k vn e k1
(1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 in ) 1
例：设某项投资基金的利息力为，
k51 20 k,0k1,2,3
其中k为投资年度。求某投资者在开始投资多 少资金于该基金时，使得投资在5年末的终值 为50，000元。
an
(1i)n
1i
或：
d iv
i

d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一
d1v
及：
公式二
vt vt (1d)t
及：
v1d
at (1d)t
例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10% 求：1）90年1月1日的现值为多少？

《利息理论概述及其应用3300字》

利息理论概述及其应用1 利息理论总结1.1 新凯恩斯主义的信贷配给理论新凯恩斯主义认为，信贷配给的大量存在是金融市场的突出特征，而利率的“逆向选择效应”和“风险承担刺激效应”的存在是产生信贷配给的根本原因。

信贷配给理论要求重新认识利率机制和信贷配给机制，该理论认为，在金融市场上，利率并不能迅速调整以使市场出清，与利率机制相比，信贷配给机制更为重要些。

关于利率的决定，新凯恩斯主义认为，投资者面临的利率变动并不能简单的由资金或货币的供求来解释，“借主偿付的实际利率的主要决定因素是投资的风险项目和安全项目的概率”，即他们之间的相对风险及其变化。

关于货币政策，新凯恩斯主义认为，即使利率在“流动性陷阱”中不变，货币政策仍可通过对信贷量的影响作用于经济。

政府干预能提高信贷市场资金配置效率，降低市场风险，稳定金融。

并指出政府干预信贷的必要条件是借款人的还款概率不可观察且借款人之间的还款概率存在差异。

还款概率差异越大，政府干预市场的效果越明显。

1.2 利率结构理论预期理论是最早用来解释长短期利率关系的，该理论认为，金融市场上实际存在的利率取决于贷款的期限结构。

任何长期证券的利率都同短期证券的预期利率有关，长期利率是该期间内预期短期利率的几何加权平均数，因此，预期理论对期限不同的利率存在差异的解释是因为人们对短期利率有着不同的预期。

市场分割理论认为，债券市场可以分割为不同期限的互不相关的市场，这些市场的利率由各自的供求所决定，彼此之间并无影响。

因此，不能简单地把长期利率看成是预期的短期利率的函数，长期利率的高低应该决定于长期债券市场各自资金的供求状况。

流动性偏好利率结构理论将预期理论和市场分割理论进行了综合，认为普遍避免风险的现象和对未来利率变动的预期都会影响利率结构。

由于经济活动存在风险，对未来短期利率是不能完全预期的，因此长期债券比短期债券的利率风险要大。

投资者为了减少风险，偏好于流动性较强的短期债券，而对于流动性相对较差的长期债券，投资者则要求给予风险补偿。

利息理论总结

第一章利息的基本计算一、利息基本函数(一)累积函数本金：初始投资的资本金额累积值：过一定时期后收到的总金额利息：累积值与本金之间的金额差值积累函数a(t)表示0时刻的本金1经过t年的连续累积得到的积累值，也称作累积因子。

总量函数A(t)表示本金为k的透支在时刻t>=0是的积累值。

A(t)=k∗a(t)累积函数a(t)的倒数a-1(t)为t期折现因子或折现函数，把一期折现因子a-1(t)简称为折现因子，记为v(二)单利和复利将从投资之日算起的第n个时期内所获得的利息金额记为I，有I n=A(n)−A(n−1),n≥1利率等于一定的货币量在一段时间（计息期）内的变化量（利息）与期初货币量的比值利息计算公式：利率=利息/期初本金*100%1.单利如果其在t时的积累值为a(t)=1+it 其中i为某常数。

那么，我们就说该项投资以单利i计息，并将这种计息方式称为单利(计息方式)。

2. 复利如果其在t 时的积累值为a (t )=(1+i )t那么，我们就说该项投资以复利i 计息，这种计息方式称为复利。

3. 单利计算与复利计算的区别1) 若单利率=复利率，当0<t<1，时单利>复利，而当t>1时，单利<复利2) 两者短期差距不大，长期两者有显著差距3) 复利几乎用于所有金融业务，单利只用于短期计算或复利的不足期近似计算 (三) 贴现函数 如果在期初投资(1+i )-1则期末是恰好累积到1，把v=(1+i )-1称为是贴现因子，即期初本金=期末累积值*贴现因子 一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值称为实贴现率 贴现率d 的计算公式：d n =A (n )−A(n −1)A(n)=I n A(n)=a (n )−a(n −1)a(n)1. 单贴现贴现函数为a −1(t )=1+dt,0≤t ≤1d ,其中d 为单贴现率2. 复贴现3.贴现函数为a−1(t)=（1+d）t,0≤t,其中d为复贴现率●如果对给定的投资金额，在同样长的期间类，它们产生同样的积累值，则称两个“率”是“等价”等。

货币金融学·第十三章利息理论

货币金融学·第十三章利息理论引言利息是货币金融学中一个重要的概念，涉及到资金的借贷和投资等方面。

在第十三章中，我们将对利息理论进行详细的探讨。

本文将从利息的定义、影响利息的因素以及利息理论的发展等方面进行介绍，以帮助读者更好地理解和掌握利息理论。

利息的定义利息是指在借贷资金的过程中，贷方向借方收取的一定的费用。

在现代货币经济中，利息是货币资金的价格，反映了资金的使用价值。

利息的支付方式通常有两种，即正回现和负回现。

正回现是指在借贷期限结束时一次性支付全部利息和本金，负回现则是在借贷期限内按一定时间间隔支付利息，到期一次性支付全部本金。

影响利息的因素利息的形成和决定受到多种因素的影响，下面将介绍一些主要的因素：1. 供求关系资金的供求关系是影响利息的关键因素之一。

当资金供应相对紧缺，需求相对旺盛时，利率往往会上升；反之，当资金供应相对充裕，需求相对不旺时，利率会下降。

2. 通货膨胀率通货膨胀率也对利息产生影响。

通常情况下，通货膨胀率越高，利率越高。

这是因为通货膨胀会导致货币贬值，借款人在还款时所偿还的债务相对减少，因此，贷款人要求较高的利息来弥补货币贬值所带来的损失。

3. 政府政策政府的货币政策也是影响利率的重要因素。

通过调整货币供应量和利率，政府可以影响市场上资金的供求关系，从而对利率产生调控作用。

4. 风险风险水平也会对利息产生影响。

一般来说，风险越高，利息也会越高，以作为对风险的补偿。

借款人的信用状况、还款能力以及所进行的投资项目等都会对风险水平产生影响。

利息理论的发展随着时间的推移和学术研究的不断深入，人们对于利息的理解和认识也在不断演化。

以下是一些利息理论的发展概述：1. 时期结构理论时期结构理论强调了长期利率和短期利率之间的关系。

根据时期结构理论，长期利率通常会高于短期利率，这是因为长期借款涉及到更多的风险，借款人要求更高的利率来对冲风险。

2. 流动性偏好理论流动性偏好理论认为，人们通常更倾向于持有流动性较高的资产，而非流动性较高的资产。

利息理论

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未知时间问题
计算方法
利用计算器 利用复利表 利用Taylor展式 利用 展式 非整数期部分采用单利近似替代
72律：利率为i时，使得积累值是本金的 律 利率为 时 2倍所需的时间大致是 倍所需的时间大致是72/i。 倍所需的时间大致是 。
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预定在第1、 、 、 年末分别付 例1.2.4 预定在第 、3、5、8年末分别付 款200元、400元、300元、600元，假设 元 元 元 元 实际年利率为5%，试确定一个付款 实际年利率为 ，试确定一个付款1500 元的时刻，使这次付款与上面4次付款等 元的时刻，使这次付款与上面 次付款等 价。
6
二 实际利率
某一度量期的实际利率是指该度量期内 得到的利息金额与此度量期开始时投资 的本金金额之比，通常用字母i来表示 来表示。 的本金金额之比，通常用字母 来表示。 对于实际利率保持不变的情形， 对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)； ； 对于实际利率变动的情形， 对于实际利率变动的情形，则in=In/A(n1)； ；
(m)
/ m)
m
1 − d = (1 − d ( m ) / m) m： 名义贴现率与名义利率之间的关系： 名义贴现率与名义利率之间的关系
i (m) d (m) i (m) d (m) − = ⋅ m m m m
15
例1.1.9 （1）求与实际利率 等价的每年 ）求与实际利率8%等价的每年 计息2次的年名义利率 以及每年计息4次的 次的年名义利率， 计息 次的年名义利率，以及每年计息 次的 年名义贴现率；（ ；（2）已知每年计息12次的 年名义贴现率；（ ）已知每年计息 次的 年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。 年名义贴现率为 ，求等价的实际利率。 例1.1.10 求1万元按每年计息 次的年名义利 万元按每年计息4次的年名义利 万元按每年计息 投资三年的积累值。 率6%投资三年的积累值。 投资三年的积累值 以每年计息2次的年名义贴现率为 例1.1.11 以每年计息 次的年名义贴现率为 10%，在6年后支付 万元，求其值。 年后支付5万元 ， 年后支付 万元，求其值。

利息理论第一章.ppt

7
注意：积累和折现的区别
积累和折现是两个相反的过程，积累值 和过去支付的款项有关，现值和未来得 到的款项有关。
a(t)是0时刻的1单位本金在t时刻的积累 值；a1(t) 是t时刻的1单位本金在0时刻的 现值。
8
8、利息金额 把从投资日起第n个时期所得的利息金额记为 In ，则
In A(n) A(n 1) In 表示在一个时间区间上所产生的，在最后 时刻支付利息的量，A(n) 表示在一特定时刻的积累量。
2
例如：1000元以年实际利率5%存款1年， 可得利息50元。
3、利息的定义 总结来说，利息是一定时期内，资金拥有 人将资金的使用权转让给借款人后得到的 报酬。
注意：理论上利息和资金可以不均为货币 形式，但几乎所有的实际应用中，资金和 利息均是用货币来表示的，故本书中的所 有的资金和利息均为货币形式。
假设每期以单利 i 计息，则在投资期间，每一度量
期产生的利息均为常数i ；令 in (n 1)为第n个度
量期内的实际利率，则
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1 in) [1 i(n 1 i(n 1)
1)]
i
i
对整数n 1
1 i(n 1)
in关于n递减，且当n取值较大时，实际利率in将变得较小。 故常数的单利意味着递减的实际利率。
6
6、t期折现因子
▪（1）定义： 称积累函数a(t)的倒数 a1(t) 为t期折 现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子 a1(1)
简称为折现因子，并记为 v 。
▪ （2）意义： 第t期折现因子a1(t) 是为了使在t 期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
7、现值或折现值
我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投 资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。在 t期末支付k的现值为k a1(t)
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Example (4.2) A loan of $3000 is to be repaid with quarterly installment at the end of each quarter for five years. If the rate of interest charged on the loan is 10% convertible semiannually, find the amount of each quarterly payment.
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§4.2 Differing payment and interest conversion period
Annuities for which the payment period and the interest conversion period differ and the payments are level.
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an ak
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§4.3 Annuities payable less frequently than interest is convertible
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§4.3 Annuities payable less frequently than interest is convertible
annuity-immediate annuity-due other considerations
Annuity-due
1 1 1 ... R R] [R R ... R R] [R R ... ... 0 k 2k 1 ··· ··· [R R ... R R] ... n-k n
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§4.3 Annuities payable less frequently than interest is convertible
present value: 1 + v k + v 2k + ... + v n−k = accumulated value: sn an (1 + i)n = ak ak
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§4.2 Differing payment and interest conversion period
Approach 2 develop algebraic expressions Attention Please: the algebraic developments are different between: the annuities payable less frequently than interest is convertible (Section 4.3) the annuities payable more frequently than interest is convertible (Section 4.4)
At a given force of interest δ: (1 + i) = e δ , v = e −δ , ∴ e −δnk = v nk , e δnk = (1 + i)nk Then present value = e −kδ + e −2kδ + ... + e −nkδ
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1 sk
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§4.3 Annuities payable less frequently than interest is convertible
Alternate argument:
1 1 [R R ... R R] [R R ... R R] ... ... 0 k 2k ··· ··· 1 [R R ... R R] ... n-k n 1
Annuity-immediate
1 ... ... 0 k ... ... 2k 1 ··· ··· n-k 1 ... ... n 1
k: the number of interest conversion periods in one period n: the term of the annuity measured in interest conversion periods
Other considerations present value of a perpetuity-immediate v +v
k 2k
vk 1 a∞ + ... = = = 1 − vk isk sk 1 a∞ = iak ak
present value of a perpetuity-due 1 + v k + v 2k + ... =
Alternate argument:
1 1 [R R ... R R] [R R ... R R] ... ... 0 k 2k ··· ··· 1 [R R ... R R] ... n-k n 1
Rsk = 1 =⇒ R =
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§4.3 Annuities payable less frequently than interest is convertible
Return to Example 4.6
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§4.2 Differing payment and interest conversion period
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§4.3 Annuities payable less frequently than interest is convertible
n
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§4.3 Annuities payable less frequently than interest is convertible
Alternate argument:
1 1 [R R ... R R] [R R ... R R] ... ... 0 k 2k ··· ··· 1 [R R ... R R] ... n-k n 1
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§4.2 Differing payment and interest conversion period
Approach 1 Step 1: find the rate of interest, convertible at the same frequency as payments are made Step 2: using the techniques discussed in Chapter 3.
Rsk = 1 =⇒ R = Ran =⇒ an s
k
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§4.3 Annuities payable less frequently than interest is convertible
Example (4.3) At what annual effective rate of interest will payments of $100 at the end of every quarter accumulate to $2500 at the end of five years?
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§4.3 Annuities payable less frequently than interest is convertible