高中数学必修4北师大版 平面向量的坐标 课件(46张)

探究三 向量共线的坐标运算 [典例 3] 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它 们是同向还是反向？
[解析] ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当 ka＋b 与 a－3b 平行时，存在唯一实数 λ，使 ka＋b＝λ(a－3b)． 即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以k2－ k＋3＝ 2＝1－0λ，4λ， 解得 k＝λ＝－13. 当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行， 这时 ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)， 因为 λ＝－13<0，所以 ka＋b 与 a－3b 反向．
A．－5
B.52
C．7
D．－12
解析：a＋b＝(－1,2)＋(λ，1)＝(λ－1,3)，由 a＋b 与 a 平行，可得－1×3－2×(λ－1)
＝0，解得 λ＝－12.
答案：D
3．若向量 a＝(x＋3，x2－3x－4)与A→B相等，其中 A(1,2)，B(3,2)，则 x＝________.
解析：∵A(1,2)，B(3,2)， ∴A→B＝(2,0)． 又∵a＝A→B，即(x＋3，x2－3x－4)＝(2,0)， ∴xx＋ 2－33＝x－2，4＝0， 解得 x＝－1. 答案：－1
实数与向量积的坐标分别等于实 数与向量的相应坐标的 乘积
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B 一个向量的坐标等于其终点的相
有向线段的坐标表示 ＝O→B－O→A＝(x2，y2) －
应坐标减去始点的相应坐标
(x1，y1) ＝ (x2－x1，y2－y1)
3.向量平行的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．

（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去始点的坐标.
例题
已知a=(2,1)，b=(-3,4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.
解： a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5)， a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3)， 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).
例题
如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求
出它们的坐标.
解： a=2i+3j=(2,3), b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3).
例题
在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向和长度
如图所示，分别求它们的坐标.
解：设a (a1, a2 )，b (b1, b2 )，c (c1, c2 )，则
向量的线性运算性质可知，存在实数1、2，使得 OM 1e1，ON 2e2.由于OC OM ON， 所以a 1e1 2e2，
也就是说任一向量a都可以表示成1e1 2e2的形式.
平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么 对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数 1、2，使得a=1e1+2e2.
把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底.
关于基底的几点说明：
1.e1, e2均为非零向量，且不共线，它们是这一平面内所有向量的一组基底；
2.基底不唯一，当基底给定时，分解形式唯一，1，2，是被
a,e1, e2唯一确定的数量；
3.由定理可将任一向量a在给出基底e1 , e2的条件下进行分解；同一平面内 任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合；

(2)a xi y j xi y j (x, y)
结论1：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 结论2：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘本来向量的相应坐标.
例2：已知 a (2,1), b (3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐标.
D3
O
x
4.1～4.2
谢谢大家
北师大版 高中数学
（二）平面向量的坐标运算：
(1)已知 a (x1, y1),b (x2 , y2 ),求 a b, a b的坐标.
(2)已知a (x, y)和实数,求a 的坐标.
(1)a b x1i y1 j x2i y2 j x1 x2 i y1 y2 j
(x1 x2 , y1 y2 ) 同理得 a b (x1 x2, y1 y2)
(x2 x1, y2 y1)
y
B(x2 ,y2)
O
x
结论3:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线 段终点的坐标减去起点的坐标。
例4、1已知A(2,3), B (3,5),求BA的坐标.
解：BA 2,3 3,5 5,2.
2已知AB (1, 2), A(2,1),求B的坐标.
解：设Bx,y,
5
b
4
b 2i 3 j
3
2
(2, 3)
1j
-4 -3 -2
-1 O -1
i1
2
34
x
-2
注:对向量坐标表示的理解: (1)任一平面向量都有唯一的坐标与之对应。 (2)起点在坐标原点的向量的坐标为其终点 的坐标。
(3)相等的向量有相等的坐标. 若a b，a (x1, y1),b (x2, y2), 则(x1, y1) (x2, y2),即x1 x2, y1 y2.

1
2
3
【做一做3-2】 已知向量a=(1,1),b=(2,x).若a+b与4b-2a平行,则 实数x的值是( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 解析:a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2). ∵(a+b)∥(4b-2a),∴3(4x-2)-(1+x)· 6=0. ∴x=2. 答案:D
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
向量的坐标表示
【例1】 已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在 x轴上,点C在第一象限,点D为AC的中点。
分别求向量������������, ������������ , ������������ , ������������的坐标. 分析:表示出各点的坐标→用终点的相应坐标减去始点的相应坐 标→相应向量的坐标 解:
如图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60°,2sin 60°),即 C(1, 3),
题型一
题型二
题型三
题型四
1 3 则������ , , 2 2 故������������ = (2,0), ������������ = (1, 3), ������������ = (1 − 2, 3 − 0) = (−1, 3), 1 3 3 3 ������������ = -2, -0 = - , . 2 2 2 2
反思1.向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标,只 有当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标. 2.求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图 形,利用三角函数的定义和性质进行计算.
题型一
题型二