29不等式的性质(学生版)

【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题03等式与不等式的性质比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较b a >0>-b a )0(1>>b a b a ，或)0(1<<b a b a ，b a =0=-b a )0(1≠=b baba <0=-b a )0(1><b a b a ，或)0(1<>b a ba ，2.不等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性ab b a a b b a >⇔<<⇔>；传递性c a c b b a c a c b b a <⇒<<>⇒>>，；，可加性cb c a b a >>+⇔>可乘性ac c b a bc ac c b a ⇒<>>⇒>>00，；，同向可加性db c a d c c a +>+⇒>>，同向同正可乘性bdac d c b a >⇒>>>>00，可乘方性nn b a N n b a >⇒∈>>*0，【方法技巧与总结】1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.【题型归纳目录】题型一：不等式性质的应用题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围题型四：不等式的综合问题【典例例题】题型一：不等式性质的应用例1．（2022·北京海淀·二模）已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（）A ．110x y +>B ．330x y +>C ．lg()0x y +>D ．sin()0x y +>例2．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（）A ．a c b c+<+B ．11a b<C ．ac bc >D ．b a c->例3．（2022·山西·模拟预测（文））若0αβ<<，则下列结论中正确的是（）A ．22αβ<B ．2βααβ+>C ．1122αβ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin sin αβ<（多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（）A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b>D ．1ab b>+（多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（）A ．1ab ≤B ．2a b +≥C ．1a b ->D ．3a b -<（多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a ，b ，c 满足c <a <b ，且ac <0，那么下列各式中一定成立的是（）A ．ac （a -c ）>0B ．c （b -a ）<0C ．22cb ab <D ．ab ac>（多选题）例7．（2022·福建三明·模拟预测）设a b c <<，且0a b c ++=，则（）A ．2ab b <B ．ac bc <C ．11a c<D ．1c ac b-<-【方法技巧与总结】1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．2．充分利用基本初等函数性质进行判断．3．小题可以用特殊值法做快速判断．题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式例8．（2022·全国·高三专题练习（文））设2312m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1312n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2315p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．m p n<<B ．p m n<<C ．n m p<<D ．p n m<<例9．（2022·全国·高三专题练习）若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．例10．（2022·全国·高一）（1）试比较()()15x x ++与()23x +的大小；（2）已知a b >，11a b<，求证：0ab >．例11．（2022·湖南·高一课时练习）比较()()213a a +-与()()62745a a -++的大小．例12．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1))21与)21；(2)()()2211xx ++与()()2211xx x x ++-+．【方法技巧与总结】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若0,0a b >>，则1b b a a >⇔>；1b b a a <⇔<；1bb a a =⇔=；若0,0a b <<，则1b b a a >⇔<；1b b a a <⇔>；1bb a a=⇔=.题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围例13．（2022·浙江·模拟预测）若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞例14．（2022·全国·高三专题练习）已知12a ≤≤，14b -≤≤，则2a b -的取值范围是（）A ．724a b -≤-≤B ．629a b -≤-≤C ．629a b ≤-≤D ．228a b -≤-≤例15．（2022·全国·高三专题练习）若,x y 满足44x y ππ-<<<，则x y -的取值范围是（）A ．(,0)2π-B ．(,22ππ-C ．(,0)4π-D ．(,44ππ-例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a <－2，3<b <4，则2a b的取值范围为（）A ．(1，3)B ．4934⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．2334⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭例17．（2022·江西·二模（文））已知122x y ≤-≤，1231x y -≤+≤，则6x ＋5y 的取值范围为______．例18．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________.例19．（2022·全国·高三专题练习）已知有理数a ，b ，c ，满足a b c >>，且0a b c ++=，那么ca的取值范围是_________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()34f x x ax b =++，当[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则a b +=____________．例21．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ，ln b ≥a ，则ba的取值范围是___.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 均为正实数，且111,,232425ab bc ca a b b c c a +++，那么111a b c++的大值为__________．【方法技巧与总结】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.题型四：不等式的综合问题例23．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e 1b aa b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（）①1122b a --<②11b aa b -<-③e e b a b a -<-④5ln5a b +<+A ．1B ．2C ．3D ．4例24．（2022·江西·临川一中高三期中（文））若实数a ，b 满足65a a b <，则下列选项中一定成立的有（）A ．a b<B ．33a b <C ．e 1a b ->D ．ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭例25．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若m ，n ∈+N ，则下列选项中正确的是（）A ．()()1log 1log 2m m m m ++<+B ．(n m m n mn ⋅≥C ．()()22sin1sin 31n n n n n ππ⋅<+⋅>+D ．1121111n n n n n n n n +++++<++（多选题）例26．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知0,0a b >>，直线2y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则下列不等式一定成立的是（）A ．19ab ≤B ．219ab+≥C D ≤（多选题）例27．（2022·辽宁辽阳·二模）已知0a >，0b >，且24a b +=，则（）A ．124a b->B ．22log log 1a b +≤C ≥D ．412528a b +≥（多选题）例28．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（）A ．1ab ≤B ．2a b +≥C ．1a b ->D ．3a b -<例29．（2022·全国·高三专题练习）若x ，y R ∈，设2223M x xy y x y =-+-+，则M 的最小值为__．例30.（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．【过关测试】一、单选题1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为(0)b a b >>，他往返甲乙两地的平均速度为v ，则（）A ．2a bv +=B ．v =C 2a b v +<<D ．b v <<2．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知0a b <<，则（）A ．110->a bB ．sin sin 0a b ->C ．0a b -<D ．ln()ln()0a b -+->3．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若a b <，则下列结论正确的是（）A ．330a b ->B ．22a b <C ．()ln 0a b ->D ．a b<4．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b<B ．a b +>C ．22lg lg a b >D ．33a b >5．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a b >B ．11b b a a +<+C ．22ac bc >D ．332a b -+>6．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知0a >，0b >，22a b m +=，则以下正确的是()A ．若1m =，则1a b +B ．若1m =，则331a b +C ．若2m =，则2a b +>D ．若2m =，则332a b + 7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（）①a b <②11a b ab+<+③2a b ab+<④b aa ab b +<+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（）A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤二、多选题9．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（）A ．1ab a b +>+B ．()2log 1a b +>C ．11a b ab+<+D ．11a b a b+>+10．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列结论正确的是（）A ．2ab b >B ．ac bc<C ．11a c>D ．1a cb c->-11．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足1,01a b c >><<，则下列不等式一定成立的有（）A ．()()c c a c b c -<-B ．log (1)log (1)a b c c +<+C ．log log 2a c c a +≥D ．22224a cbc c >>12．（2022·河北保定·一模）已知a 、b 分别是方程20x x +=，30x x +=的两个实数根，则下列选项中正确的是（）.A ．10b a -<<<B ．10a b -<<<C ．33a b b a ⋅<⋅D ．22b aa b ⋅<⋅三、填空题13．（2022·四川泸州·三模（文））已知x ，R y ∈，满足224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +<；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．14．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数x 、y 满足223x y -≤+≤，220x y -≤-≤，则34x y -的取值范围为______．15．（2022·全国·高三专题练习）如果a >b ，给出下列不等式：①11a b <；②a 3>b 3>2ac 2>2bc 2；⑤ab>1；⑥a 2＋b 2＋1>ab ＋a ＋b .其中一定成立的不等式的序号是________．16．（2022·全国·高三专题练习）设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y≤≤，则3x y 的最小值是______.四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知1a >，1b >，2222,1111a b b a M N a b a b =+=+----．（1）试比较M 与N 的大小，并证明；（2）分别求M ，N 的最小值．18．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b 均为正实数.试比较33+a b 与22a b ab +的大小；（2）已知a ≠1且a ∈R ，试比较11a-与1a +的大小.19．（2022·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①0ab >；②c da b>；③bc ad >，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明.20．（2022·全国·高三专题练习）已知1＜a ＜4，2＜b ＜8，试求a －b 与ab的取值范围.21．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知,,,a b c d R∈(1)证明：()()22222()a b c d ac bd --- ；(2)已知,x y R ∈，2241x y -=，求2|y +的最小值，以及取得最小值时的x ，y 的值．22．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数2()2()f x ax bx c c b a =++>>，其图像过点(1,0)，且与直线y a =-有交点.（1）求证：01ba≤<；（2）若直线y a =-与函数|()|y f x =的图像从左到右依次交于A ，B ，C ，D 四点，若线段,,AB BC CD 能构成钝角三角形，求ba的取值范围.。

高考数学复习讲义 不等式【要点提炼】考点一 不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0<b ⇒1a <1b. (3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二 基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值． 【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b 2a <log 2(a ＋b) B.b 2a <log 2(a ＋b)<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b)<b 2aD ．log 2(a ＋b)<a ＋1b <b 2a 5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b<ab<0B ．ab<a ＋b<0C ．a ＋b<0<abD ．ab<0<a ＋b6．已知x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f(a)＋f(b)]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝rB ．p<qC ．p ＝rD ．p>q10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。

不等式的性质★考试大纲解读★考点知识梳理（I ）不等式的性质1. 对称性：a b b a >⇔<；2. 传递性：a b >，b c >a c ⇒>；3. 加法法则：（1）a b a c b c >⇔+>+；（2）a b >，c d >a c b d ⇒+>+；4. 乘法法则：（1）a b >，0c >ac bc ⇒>；（2）a b >，0c <ac bc ⇒< （3）0a b >>，0c d >>ac bd ⇒>； 5. 倒数法则：a b >，0ab >11a b⇒<； 6. 乘方法则：0a b >>n n a b ⇒>（n N *∈且1n >）；7. 开方法则：0a b >>>n N *∈且1n >）.注意：⑴同向可加性及同向同正可乘性可以推广到两个以上的不等式；⑵不等式性质的单向性或双向性，也就是说每条性质是否具有可逆性.只有a b b a >⇒<，a b a c >⇒+> b c +是可以逆推的，而其余几条性质不可逆推，在应用性质时要准确把握条件是结论的充分条件还是必要条件.★题型分类精讲题型一 实数大小的比较作差比较两数（式）大小的依据是：0a b a b >⇔->；0a b ab <⇔-<；a b =⇔ 0a b -=.作商比较两数（式）大小的依据是：a 、0b > ，1a a b b >⇒>；a 、0b < ，1a a b b>⇒<.【例1】比较下列各组中两个数或代数式的大小：（1 （2）()()4422a b a b ++与()233a b+【例2】设0a >，0b >且a b ≠，试比较a b a b 与b a a b 的大小.【例3】（1）已知a ，b ，m ，n 均为正数，且1a m b n <<，比较am bn 与a mb n++的大小. （2）已知0a >，0b >且a b ≠，比较a ba b 与()2a b ab +的大小.【例4】已知0a b +>，则22a b b a +与11a b+的大小关系是__________________. 在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件.1. 作差法证明不等式：【例5】已知a 、b R +∈ ，n N +∈，m N +∈，且1m n ≤≤.求证：n n n m m m n m a b a b a b --+≥+.1. 作商法证明不等式：【例6】已知a ，b ，c 为互不相等的正数，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>.2. 用不等式性质证明不等式【例7】若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d>--.在使用不等式的性质时，一定要高清它们成立的前提条件. 例如：①在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的.如a b ≤，b c <a c ⇒<.②在乘法法则中，要特别注意“乘数c ”的符号，例如当0c ≠时，有22a b ac bc >⇒>；若无0c ≠这个条件，则22a b ac bc >⇒>就是错误结论.③“0a b >>()0,1nna b n N n ⇒>>∈>”成立的条件是“n 为大于1的自然数，0a b >>”，假如去掉“n 为大于1的自然数”这个条件，取1n =-，3a =，2b =，那么就会出现“1132-->，即1132>”的错误结论；假如去掉“0b >”这个条件，取3a =，4b =-，2n =，那么就会出现“()2234>- ” 的错误结论.注意：⑴使用不等式性质判断一些不等式是否成立是高考考查的重点内容，在正确使用不等式性质的同时，还要注意不等式与指数、对数函数性质的综合应用；⑵此类题目常用的解法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是利用赋值法排除错误答案. 【例8】适当增加不等式条件使下列命题成立. （1）若a b >，则ac bc ≤； （2）若22ac bc >，则22a b >； （3）若a b >，则()()lg 1lg 1a b +>+； （4）若a b >，c d >，则a b d c>.【例9】设11a b >>>-，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 11a b < B. 11a b> C. 221a b > D. 2a b >【例10】设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y ≤≤，则34x y的最大值是_________.处理此类问题严格根据不等式的基本性质和运算法则，是解答此类题目的关键. 【例10】设()2f x ax bx =+，且()112f ≤-≤，()214f ≤≤，则()2f -的取值范围为____________________.错解：（很多学生容易犯这种错误）若由1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩ ，得332302a b ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，得()324212f a b ≤-=-≤，错因在于多次运用同向不等式相加这一性质（单向性），不是等价变形，导致()2f -取值范围扩大，而正确的取值范围应为它的子集.另外，题中a ，b 不是相互独立的，而是相互制约的，故不可分割开来.先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的一条途径.（此外，本题可利用线性规划求解）解法一：设()()()211f mf nf -=-+ （m 、n 为待定系数）则， ()()42a b m a b n a b -=-++ 即， ()()42a b m n a n m b -=++-于是，得 42m n n m +=⎧⎨-=-⎩ ，解得31m n =⎧⎨=⎩∴ ()()()2311f f f -=-+又 ()112f≤-≤，()214f ≤≤ ∴ ()()531110f f ≤-+≤，故 ()5210f ≤-≤解法二：此题也可以这样处理：由()()11f a b f a b -=-⎧⎪⎨=+⎪⎩ ，得()()()()11121112a f f b f f ⎧=-+⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=--⎡⎤⎣⎦⎪⎩ ∴ ()()()242311f a b f f -=-=-+ 又 ()112f≤-≤，()214f ≤≤ ∴ ()()531110f f ≤-+≤ ， ∴ ()5210f ≤-≤【例10】已知13a b -<+<且24a b <-<，求23a b +的取值范围.分析：将23a b +用a b +和a b -表示出来，再利用不等式的性质求解23a b +的取值范围.警示：此类题常见的错误解法是由a b +，a b -的范围得出a 、b 的范围，又进一步得ma nb ±的范围，容易扩大范围，本题还可以利用线性规划的方法求解.同 步 习 题（一）一、基本训练 1.下列结论对否：(1),,n n a b c d ac bd n N >=⇒>∈（ ）()222a b a b c c >⇒>（ ） ()1130a b ab a b><⇒<且 （ ）()40,0a b c d ac bd <<<<⇒> （ ）()N n b a b a n n ∈〉⇒〉,5 （ ）()b a b b a 〈〈-⇒〈6 （ ） 2. 11a b a b>⇔<成立的充要条件为 3. 已知A n (n,a n )为函数y=12+x 上的点,B n (n,b n )为函数y=x 上的点,其中n ∈N *,设c n =a n -b n ,则c n 与c 1+n 的大小关系为___________二、能力提高4. 比较下面各小题中a 与b 的大小：(1)a =m 3－m 2n －3mn 2 与 b =2m 2n －6mn 2＋n 3 (2)a =3x 2－x ＋1与b =2x 2＋x －1 (3)10231=-=b a 与 .5. a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较m =t a log 21与n =21log +t a 的大小.6. 6. 设()2f x px qx =+，且()214f ≤-≤，()416f ≤≤，求()2f -的取值范围.同 步 习 题（二）一、基础练习1、下列命题中正确的是…………………………………………………… ( ) (A )22,a b a b >>若则 (B ) 22,a b a b >>若则 (C ) 22,a b a b >>若则(D ) 22,a b a b >>若则2、设110a b<< ，则 ……………………………………………………… （ ）(A ) 22a b > (B ) a b +> (C ) 2ab b < (D ) 22a b a b +>+ 3、若,0a b c a b c >>++=,则有…………………………………………… ( ) (A ) ac ab 〉 (B ) bc ac 〉 (C ) bc ab 〉 (D )以上皆错 4、若,0ac bd a b >>>, …………………………………………………………( ) (A ) 0c d >> (B ) c d > (C ) c d < (D )c 、d 大小不确定 5、以下命题：⑴a >b ⇒|a |>b ；⑵a >b ⇒a 2>b 2 ；⑶|a |>b ⇒ a >b ；⑷a >|b | ⇒ a >b 正确的个数有………………………………………………………………（ ） (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D )4个6、如果二次函数)(x f y =的图象过原点，并且1≤)1(-f ≤2,3≤)1(f ≤4,则)2(-f 的取值范围__________________.7、已知2,2>>b a ，试比较ab b a 与+的大小______________. 8、比较下列各数的大小： (1))11(log ),1(log an a m a a +=+=，则m _______ n 。

第34课 不等式的基本性质【考点指津】1．不等式的概念用不等号（>、<或≠）联结而成的式子叫做不等式．2．两个实数大小的比较设a 、b ∈R ，则a>b 0>-⇔b a ，0<-⇔<b a b a ，这是比较两个实数大小和运用比较法的根据．3．不等式的性质性质1 a b b a <⇔> （对称性）性质2 a>b ，c a c b >⇒> （传递性）性质3 a>b ，c b c a +⇒+性质4 a>b ，bc ac c >⇒>0，a>b ，bc ac c <⇒<0以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质．性质5 a>b ，d b c a d c +>+⇒> （加法法则）性质6 a>b>0，bd ac d c >⇒>>0 （乘法法则）性质7 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （乘方法则）性质8 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （开方法则）不等式性质在证明不等式和解不等式中有广泛的应用，它也是高考的热点，通常是以客观题形式考查某些性质，有时在证不等式或解不等式过程中间接考查不等式性质． 在复习中，对不等式性质的条件与结论，要彻底弄清，特别是对不等式两边平方、开方或同乘上某个数（或式子）时，要注意所得不等式与原不等式是否同向，否则在解题时往往因忽略了某些条件而造成错误． 从知识的联系上看，不等式的性质与函数的单调性是相互联系的，因此比较一些实数大小的问题，从不等式性质与函数性质结合的角度去认识是必要的．【知识在线】1．下列命题中，正确的命题是（ ）①若a>b ，c>b ，则a>c ； ②a>b ，则0lg >ba ； ③若a>b ，c>d ，则ac>bd ； ④若a>b>0，则b a 11<；⑤若db c a >，则ad>bc ； ⑥若a>b ，c>d ，则a-d>b-c ． A ． ①② B ． ④⑥ C ． ③⑥ D ． ③④⑤2．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．a 3>b 3，ab>0ba 11>⇒ B ． m>n>0，a>0a a n m >⇒ C ．b ac b c a >⇒> D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 3．下列命题中正确的是（ ）A ．若|a|>b ，则a 2>b 2B ． 若a>b>c ，则(a-b)c>(b-a)cC ． 若a>b ，c>d ，则a-b>c-dD ． 若a>b>0，c>d>0，即c bd a > 4．下列命题中，正确的命题是（ ）A ． 若ac>bc ，则a>bB ． 若a 2>b 2，则a>bC ． 若ba 11>，则a<b D ． 若b a <，则a<b 5．设命题甲：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x 命题乙：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<<3210y x ，那么（ ）A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【讲练平台】例1（2000年全国卷） 若a>b>1，P=b a lg lg ⋅，)lg (lg 21b a Q +=，)2lg(b a R +=，则（ ）．A ． R<P<QB ． p<Q<RC ． Q<P<RD ． P<Q<R分析一 借助对数函数单调性用基本不等式求解．解法一 ∵ a>b>1，∴ lga>lgb>0． ∴2lg lg lg lg b a b a +<⋅，即P<Q ．又∵2b a ab +<， ∴ 2lg lg b a ab +<． ∴ )2lg()lg (lg 21b a b a +<+，即Q<R ． ∴ P<Q<R ，故选B ．分析二 用特殊值法解解法二 取a=10000，b=100，则lga=4，lgb=2．∴ P=22，Q=3，R=lg5050．显然P<Q ，R=lg5050>lg1000=3=Q ．∴可排除A 、C 、D ． 故选B ．点评 不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式出现． 此类题目要求考生有较好、较全面的基础知识，一般难度不大．例2 若函数f(x)，g(x)的定义域和值域为R ，则f(x)>g(x)（x ∈R ）成立的充要条件是（ ）．A ． 有1个x ∈R ，使得f(x)>g(x)B ． 有无穷多个x ∈R ，使得f(x)>g(x)C ． 对R 中任意的x ，都有f(x)>g(x)+1D ． R 中不存在x ，使得f(x)≤g(x)分析 4个命题的关系在证明问题过程中经常使用． 原命题：若A 成立，则B 成立，逆命题：若B 成立，则A 成立；否命题：若A 成立则B 成立；逆否命题：若B 成立，则A 成立． 其中A ⇒B 与A B ⇒互为充要条件．由于对任意x ∈R ，f(x)>g(x)成立的逆否命题为：在R 中不存在x ，使f(x)≤g(x)成立． 答 选D ．点评 本题也可通过构造特殊函数，采用排除法解决． 值得强调的是：不等式的性质的考查方向将更加注重基础性、全面性． 题型灵活多变．例3 已知1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3，求3a-2b 的取值范围．分析 本题应视a+b 与a-b 为两个整体．解 设a+b=u ，a-b=v ，则2v u a +=，2v u b -=． ∴v u b a 252123+=-． 由已知1≤u ≤5，-1≤v ≤3，易得-2≤3a-2b ≤10．点评 本题常见的错误解法是：由已知，得0≤a ≤4，-1≤b ≤3．进一步，得0≤3a ≤12，-6≤-2b ≤2．从而，得-6≤3a-2b ≤14．由解题过程知，u 与v 各自独立地在区间[1，5]与[-1，3]内取值，从而知v u 2521+可取[-2，10]内的一切值．在错误解法中，得到的0≤a ≤4，-1≤b ≤3已不表明a 与b 可各自独立地在区间[0，4]与[-1，3]内取值了． 如a=4，b=3，a+b=7已不满足1≤a+b ≤5． 得到的区间[0，4]与[-1，3]应这样理解：对于任意给定的p ∈[1，5]与q ∈[-1，3]，存在a ∈[0，4]，b ∈[-1，3]，使得a+b=p ，a-b=q ．不等式的性质与等式的性质不一样，一般不具有可逆性． 掌握不等式性质时要谨防与等式性质做简单类比而致错．【知能集成】1．对不等式性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一性质的条件和结论、注意条件的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系；不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面． 单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础． 因为解不等式要求的是同解变形．2．高考试题中，对不等式性质的考查主要是：(1) 根据给定的条件，利用不等式的性质、判断不等式或与之有关的结论是否成立．(2) 利用不等式的性质与实数的性质、函数性质的结合，进行数值大小的比较．(3) 判断不等式中条件与结论之间的关系，是充分条件或必要条件或充分必要条件．3．要注意不等式性质成立的条件，例如：在应用“a>b ，ab>0b a 11<⇒”这一性质时． 有些同学要么是弱化了条件得a>b b a b 1<⇒． 要么是强化了条件而得ba b a 110<⇒>>． 【训练反馈】1．（2001年上海春招卷）若a 、b 是实数，则a>b>0是a 2>b 2的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分条件也非必要条件2．若a>b ，c>d ，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）A ． a-d>b-cB ． a+d>b+cC ． a-c>b-cD ． a-c<a-d3．已知a 、b 、c ∈R ，则下面推理中正确的是（ ）A ． a>b ⇒am 2>bm 2B ．b ac b c a >⇒> C ． a 3>b 3，ab>0b a 11<⇒ D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 4．（1999年上海卷）若a<b<0，则下列结论中正确的是（ ）A ．不等式b a 11>和||1||1b a >均不能成立 B ．不等式a b a 11>-和||1||1b a >均不能成立 C ．不等式a b a 11>-和22)1()1(ab b a +>+均不能成立 D ．不等式||1||1b a >和22)1()1(a b b a +>+均不能成立 5．当0<a<b<1时，下列不等式中正确的是（ ）A ． b b a a )1()1(1->-B ． (1+a)a >(1+b)bC ． a b a a )1()1(->-D ． b a b a )1()1(->-6．（2001年北京春招卷）若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是（ ）A ． 18B ． 6C ． 32D ． 4327．a 、b 为不等的正数，k ∈N*，则(ab k +a k b)-(a k+1+b k+1)的符号为（ ）A ． 恒正B ． 恒负C ． 与a 、b 大小有关D ． 与k 是奇数或偶数有关8．不等式2>+xy y x 成立的充要条件是（ ） A ． x>y B ． x ≠y C ． x ≠y 或xy>0 D ． x ≠y 且xy>09．（2000年北京春招卷）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图，则（ ）A ． )0,(-∞∈bB ． )1,0(∈bC ． )2,1(∈bD ． ),2(+∞∈b10．已知1≤a+b ≤4，-1≤a-b ≤2，则4a-2b 的取值范围为________．11．已知三个不等式：①ab>0，②bd a c ，③bc>ad ． 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题，请用序号写出它们． 即_______． （把所有正确的命题都填上）12．已知f(x)=ax 2-c ，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的最大值与最小值．。

第1讲 等式性质与不等式性质知识点01 等式的性质等式的基本性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .【微点拨】利用等式的相关性质来处理与相等关系有关的问题，比如说：等式的变形（化简）、解方程与方程组等.【即学即练1】方程2312360x x --+= 的解为 .知识点02 不等关系及不等式【微点拨】用数学式子表达不等关系时，一定要在读懂题的要求下用准确的不等关系表达变量间的关系，特别要注意的是等号的包含与不包含.【即学即练2】一般认为，民用住宅窗户面积a 与地板面积b 的比应不小于10%，即1110a b≤<，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m ，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示__________【即学即练3】为了庆祝我们伟大祖国70周年华诞，某市世纪公园推出优惠活动.票价降低到每人5元；且一次购票满30张，每张再少收1元.某班有27人去世纪公园游玩，当班长王小华准备好了零钱到售票处买票时，爱动脑筋的李敏喊住了王小华，提议买30张票.但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？那么，李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费？谈谈你们的看法.知识点03 不等式的相关性质不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a>b ，ab>0⇒1a <1b . ②a<0<b ⇒1a <1b . ③a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d .④0<a<x<b 或a<x<b<0⇒1b <1x <1a . (2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m>0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m>0)． 3.不等式的基本性质【微点拨】运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.【即学即练4】对于实数a ，b ，c ，下列命题中的真命题是A. 若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B. a ＞b ＞0，则C. a ＜b ＜0，则D. a ＞b ，,则a ＞0，b ＜0【即学即练5】下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因.甲：因为-6<a <8，-4<b <2，所以-2<a -b <6.乙：因为2<b <3，所以13<1b <12， 又因为-6<a <8，所以-2<a b <4. 丙：因为2<a -b <4，所以-4<b -a <-2.又因为-2<a +b <2，所以0<a <3，-3<b <0，所以-3<a +b <3.考法01不等关系的表示：【典例1】a 克糖水中含有b 克塘(0)a b >>，若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： ．【典例2】【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．比较大小：两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b>0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b<0⇔a <b (a ，b ∈R )；一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ a b >1⇔a > b a b ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b>0)． 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法： 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．【典例3】1）已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M>NC ．M ＝ND ．不确定2）设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( )A ．A≤B B ．A≥BC ．A<BD ．A>B3）若0a b >>， 0c d <<，则一定有（ ） A. a b d c > B. a b c d < C. a b c d > D. a b d c< 4）若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________．5）已知a b c >>且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是（ ）A. 222a b c >>B. a b c b >C. ac bc >D. ab ac >考法03不等式的性质的运用：【典例4】已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0.其中正确的命题是________．考法04。

1.了解不等式的意义，理解不等式解集的含义，会在数轴上表示解集；2.理解不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式重点：不等式的定义、列不等式和不等式的性质；难点：不等式的解、解集的表示方法以及不等式性质的运用.第12讲不等式定义及其性质不等式的定义1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式.例如：2-<-+>-+++>≠≤≥等都是不等式．52,314,10,10,0,35a x a x a a2.常见的不等号有5种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”．注意：不等式32≥成立．=成立，所以不等式33≥成立；而不等式33≥也成立，因为333.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”.例1.下列式子＜y+5； 1＞2； 3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2中，不等式有（）个． A．2 B．3 C．4 D．1练习1.下列数学表达式中，①﹣8＜0；②4a+3b＞0；③a=3；④a+2＞b+3，不等式有（） A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个练习2.在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个利用不等式的定义，表示不等关系的式子叫不等式.列不等式1.根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系.2.步骤：①正确列出代数式；②正确使用不等号3．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．（1）和、差、积、商、幂、倍、分等运算．（2）“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．如：某人至少有10元钱，是说这个人的钱数多于或等于10元．（3）正数、负数、非负数、非正数等概念．如：a是非正数，应写成：a≤0．例1.用不等式表示：（1）x的23与5的差小于1；（2）8与y的2倍的和是正数；（3）x与5的和不小于0；（4）x的14小于等于2；（5）x的4倍大于x的3倍与7的差；（6）x与8的差的23不超过0.练习1.用适当的符号表示下列关系：（1）x的与x的2倍的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的身体不比小刚轻．练习2.用适当的不等式表示下列关系：（1）a是非负数；（2）x 与2差不足15 ； （3）x+3与y ﹣5的和是负数.一般根据所描述的语句，列出不等关系.注意非正数、非负数、不大于、不小于等符号表示.例2.用“＜”或“＞”填空：⑴4______－6； (2)－3______0； (3)－5______－1； (4)6＋2______5＋2； (5)6＋(－2)______5＋(－2)； (6)6×(－2)______5×(－2)．练习1.下列不等式中，正确的是( )． A.4385-<-B.5172< C.(－6.4)2＜(－6.4)3D.－｜－27｜＜－（－3）3练习2.用“＜”或“＞”填空：⑴－2.5______－5.2； (2);125______114--(3)｜－3｜______－(－2.3)； (4)a 2＋1______0； (5)0______｜x ｜＋4； (6)a ＋2______a ．给出已知数，可直接判断它们的大小关系；含字母的可带特殊值法进行比较.例3.金坛市2月份某天的最高气温是15°C ，最低气温是﹣2°C ，则该天气温t （°C ）的变化范围是 ．练习1.在数轴上有A ，B 两点，其中点A 所对应的数是a ，点B 所对应的数是1．已知A ，B 两点的距离小于3，请你利用数轴． （1）写出a 所满足的不等式；（2）数﹣3，0，4所对应的点到点B 的距离小于3吗？练习2.若a 是有理数，比较2a 和3a 的大小．利用不等关系解决实际问题，另注意分类讨论的思想.例4.如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )．A. B. C. D.ab ＜1练习1.｜a ｜＋a 的值一定是( )． A.大于零 B.小于零 C.不大于零 D.不小于零练习2. a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )． A.若a ＞b ，则a 2＞b 2B.若a 2＞b 2，则a ＞bC.若a ≠b ，则｜a ｜≠｜b ｜D.若｜a ｜≠｜b ｜，则a ≠b给出字母的不等关系，在这个基础上去判断其他的不等式的关系：可采用设数法、分类讨论法等.不等式的解、解集及解集的表示方法1.相关概念：①不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；②不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合，简称解集；1>b a 1<b a ba 11<③解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式； 2.不等式的解和解集的区别与联系：区别：不等式的解是一些具体数值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示.联系：不等式的每一个解都在它的解集的范围内. 3.用数轴表示不等式的解集： ①x ≥-2表示为： ②x ≤-2表示为：③x ﹤2表示为：④x ＞2表示为：特别提示：用数轴表示不等式的解集要注意两点：①定界点：一般在数轴上只标出原点和界点即可，定边界点时要注意点是实心还是空心，若边界点含于集合为实心点，不含于解集为空心点；②定方向：“小于向左，大于向右”.例1.下列说法不正确的是（ ）A ．不等式﹣x ≤1的解集是x ≥1B ．不等式﹣x ＞﹣2的解集是x ＜4C ．不等式2（x ﹣1）≤3的解集是x ≤2.5D ．不等式1≤x 的解集是x ≥1练习1.下列说法中错误的是（ ）A.不等式的解集是；B.是不等式的一个解C.不等式的正整数解有无数多个D.不等式正数解有无限个练习2.下列不等式的解集不正确的是（ ）A ．不等式2x ＞4的解集是x ＞2B ．不等式x ﹣3＜5的解集是x ＜8C ．不等式x ﹣2≥1的解集是x ≥3D ．不等式＜3的解集是x ＞﹣3根据不等式的解和解集的概念去判断或选择是不是不等式的解或解集例2.当x=3时，下列不等式成立的是（ ）A ．x+2＜6B ．x ﹣1＜2C ．2x ﹣1＜OD ．2﹣x ＞028x -<4x >-40-28x <-6x <6x<练习1.在、、、、、、中，能使不等式成立的有（ ）A.个B.个C.个D.个练习2.下列不等式＞50的解的个数有（ ）①x=80；②x=75；③x=78；④x=10． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的意义是解本题的关键例3. 在数轴上表示x ＜﹣3的解集，下图中表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．练习1.如图在数轴上表示的是下列哪个不等式（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ≥﹣2D ．x ≤﹣2 练习2.把下列不等式的解集表示在数轴上 (1)x ≥﹣5 (2) x ＜6在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键．不等式的性质1.基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么a c b c ±<±2.基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a bc c>) 如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a b c c<) 12-1-2-03-1232-32x +<43213.基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或a b c c>) 补充：不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．例1. 填空：⑴ 如果，则，是根据 ； ⑵ 如果，则，是根据 ；⑶ 如果，则，是根据 ； ⑷ 如果，则，是根据 ； ⑸ 如果，则，是根据 ．练习1.利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴ 若，则_______； ⑵ 若，则______； ⑶ 若，则______； ⑷ 若，，则______；⑸ 若，，，则_______．练习2.若，用“”或“”填空 ⑴； ⑵⑶； ⑷利用不等式的三个基本性质，去判断新的不等式之间的关系.a b >b a <b a <a b >a b >b c >a c >a b >2a a b >+a b >33a b >a b >a b -<-1a >2a a >1a <-2a a >-a b <2a 2b a b >4a -4b -362x ->x 4-a b >0c >ac bc 0x <0y >0z <()x y z -0a b <><2_____2a b ++2_____2a b --11______33a b ____a b --例2.如果ax ＞b 的解集为则a ______0．练习1.如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D.练习2.根据，则下面哪个不等式不一定成立( )A. B ． C. D.利用不等式的性质，解决未知数系数是含参数的不等式.例3.设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）．A ．■、●、▲B ．▲、■、●C ．■、▲、●D ．●、▲、■练习1.设a 、b 、c 表示三种不同物体的质量,用天枰称两次,情况如图所示,则这三个物体的质量从小到大排序正确的是( ).A ．c ＜b ＜aB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c,abx >x (1)1a x a +>+1x <a 0a >0a <1a >-1a <-a b >22a c b c +>+22a c b c ->-22ac bc >2211a bc c >++练习2.若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（）．A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞b+c作差法比较大小应用有理数(式子)的减法运算可以比较两个有理数(式子)的大小,这就是“作差法”,即要比较两个有理数(式子)A与B的大小，可先求出A与B的差A-B，再通过其结果进行判断.如果A-B＞0，则A＞B；如果A-B=0, 则A=B；如果A-B＜0，则A＜B.例1.用等号或不等号填空：（1）比较4m与m2+4的大小当m=3时，4m m2+4当m=2时，4m m2+4当m=﹣3时，4m m2+4（2）无论取什么值，4m与m2+4总有这样的大小关系吗？试说明理由．练习1.比较2x2+4x+2与2x2+4x-6的大小关系，并说明理由练习2.比较2x+3与﹣3x﹣7的大小关系利用作差法，不能直接判断出关系时，采用分类讨论.例2.试判断a2﹣3a+7与﹣3a+2的大小．练习1.通过计算比较下列各组数中两个数的大小：1221；2332；3443；4554；5665；…由以上结果可以猜想n n+1与（n+1）n的大小关系是．根据以上猜想，你能判断20032004与20042003的大小吗？练习2.比较与的大小．利用作差法，比较较复杂的两个式子的大小，结果与0做比较，再判断原式的大小关系即可.本讲内容主要讲解了不等式的定义、不等式的解与解集，会用数轴表示不等式的解集,以及不等式的三个性质，要学会利用不等式的性质去判断不等关系，以及进行不等变换；学会用数轴标数法比较大小、以及会用作差法比较两个代数式的大小等.。