高中数学专题讲义-不等式性质的应用 比较大小

3.1.2 比较大小1. 实数的运算性质与大小顺序之间的关系。

设、为任意两个实数，如果是整数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么，反过来也成立，即注：①上面的“”表示“等价于”，即可以互相推出；②上面的“”左边的式子反应了实数的运算性质，右边的式子反应的是数的大小，而这结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系。

③这一关系是不等式的理论基础，是比较两个实数大小的依据，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据。

2. 实数比较大小的方法。

(1)作差比较：“作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论. 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法.常用的结论有等.(2) 作商比较：“作商法”的一般步骤是：①作商；②变形；③判断商值与1的大小关系；④得出结论.用“作商法”比较两个实数大小的关键是判断商值与1的大小关系，常采用约分、分解等变形方法。

注：利用作商法比较两个实数的大小时，作为比较大小的两个数必须同号切不为零；关键是正确变形和判断商的值与1的大小。

在数（式）的结构中含有幂、根式或绝对值时，常采用作商法。

3. 不等式的性质及证明。

性质1：（对称性）；证：∵ ∴由正数的相反数是负数性质2：（传递性），证：∵， ∴，∵两个正数的和仍是正数 ∴即 ∴由对称性、性质2可以表示为：如果且那么性质3：（加法单调性），证：∵ ∴从而可得移项法则：推论①：（相加法则） a b b a -b a >b a -b a =b a -b a <⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-.0;0;0b a b a b a b a b a b a ⇔⇔2200x x ≥-≤≥≤，，|x|0，-|x|0b a >⇔a b <b a >0>-b a 0)(<--b a 0<-a b a b <b a >c b >⇒c a >b a >c b >0>-b a 0>-c b +-)(b a 0)(>-c b 0>-c a c a >b c <a b <a c <b a >R c ∈⇔c b c a +>+0)()(>-=+-+b a c b c a c b c a +>+b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(d b c a d c b a +>+⇒>>,证： 推论②：（相减法则）如果且，那么 证：∵ ∴ 或证：上式>0 ……… 性质4：（乘法单调性），；，证： ∵ ∴根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：时即：时即：推论①：（相乘法则）且 证： 推论②：（乘方法则）推论③：（相除法则）且，那么证：∵ ∴ 性质5：（开方法则）如果，那么证：（反证法）假设则：若这都与矛盾 ∴d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>b a >d c <d b c a ->-d c <d c ->-d b c a d c b a ->-⇒⎩⎨⎧->->)()()()(d c b a d b c a ---=---d c ba <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a b a >0>c ⇒bc ac >b a >0<c ⇒bc ac <c b a bc ac )(-=-b a >0>-b a 0>c 0)(>-c b a bc ac >0<c 0)(<-c b a bc ac <0>>b a 0>>d c ⇒bd ac >bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,0>>b a ⇒n n b a >)1(>∈n N n 且0>>b a d c <<0d b c a >0>>c d ⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a >0>>b a n n b a >)1(>∈n N n 且n n b a ≤ba b a b a b a n n n n =⇒=<⇒<b a >n n b a >例1：有三个条件：（1）ac 2>bc 2；(2)＞；(3)a 2>b 2，其中能分别成为a>b 的充分条件的个数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】（1）由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故ac 2>bc 2是a >b 的充分条件，（2）c <0时，a <b ，（3）a <0时，a <b ，故（2）、（3）不是a >b 的充分必要条件，故答案选B 。

【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题03等式与不等式的性质比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较b a >0>-b a )0(1>>b a b a ，或)0(1<<b a b a ，b a =0=-b a )0(1≠=b baba <0=-b a )0(1><b a b a ，或)0(1<>b a ba ，2.不等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性ab b a a b b a >⇔<<⇔>；传递性c a c b b a c a c b b a <⇒<<>⇒>>，；，可加性cb c a b a >>+⇔>可乘性ac c b a bc ac c b a ⇒<>>⇒>>00，；，同向可加性db c a d c c a +>+⇒>>，同向同正可乘性bdac d c b a >⇒>>>>00，可乘方性nn b a N n b a >⇒∈>>*0，【方法技巧与总结】1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.【题型归纳目录】题型一：不等式性质的应用题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围题型四：不等式的综合问题【典例例题】题型一：不等式性质的应用例1．（2022·北京海淀·二模）已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（）A ．110x y +>B ．330x y +>C ．lg()0x y +>D ．sin()0x y +>例2．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（）A ．a c b c+<+B ．11a b<C ．ac bc >D ．b a c->例3．（2022·山西·模拟预测（文））若0αβ<<，则下列结论中正确的是（）A ．22αβ<B ．2βααβ+>C ．1122αβ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin sin αβ<（多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（）A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b>D ．1ab b>+（多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（）A ．1ab ≤B ．2a b +≥C ．1a b ->D ．3a b -<（多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a ，b ，c 满足c <a <b ，且ac <0，那么下列各式中一定成立的是（）A ．ac （a -c ）>0B ．c （b -a ）<0C ．22cb ab <D ．ab ac>（多选题）例7．（2022·福建三明·模拟预测）设a b c <<，且0a b c ++=，则（）A ．2ab b <B ．ac bc <C ．11a c<D ．1c ac b-<-【方法技巧与总结】1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．2．充分利用基本初等函数性质进行判断．3．小题可以用特殊值法做快速判断．题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式例8．（2022·全国·高三专题练习（文））设2312m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1312n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2315p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．m p n<<B ．p m n<<C ．n m p<<D ．p n m<<例9．（2022·全国·高三专题练习）若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．例10．（2022·全国·高一）（1）试比较()()15x x ++与()23x +的大小；（2）已知a b >，11a b<，求证：0ab >．例11．（2022·湖南·高一课时练习）比较()()213a a +-与()()62745a a -++的大小．例12．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1))21与)21；(2)()()2211xx ++与()()2211xx x x ++-+．【方法技巧与总结】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若0,0a b >>，则1b b a a >⇔>；1b b a a <⇔<；1bb a a =⇔=；若0,0a b <<，则1b b a a >⇔<；1b b a a <⇔>；1bb a a=⇔=.题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围例13．（2022·浙江·模拟预测）若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞例14．（2022·全国·高三专题练习）已知12a ≤≤，14b -≤≤，则2a b -的取值范围是（）A ．724a b -≤-≤B ．629a b -≤-≤C ．629a b ≤-≤D ．228a b -≤-≤例15．（2022·全国·高三专题练习）若,x y 满足44x y ππ-<<<，则x y -的取值范围是（）A ．(,0)2π-B ．(,22ππ-C ．(,0)4π-D ．(,44ππ-例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a <－2，3<b <4，则2a b的取值范围为（）A ．(1，3)B ．4934⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．2334⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭例17．（2022·江西·二模（文））已知122x y ≤-≤，1231x y -≤+≤，则6x ＋5y 的取值范围为______．例18．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________.例19．（2022·全国·高三专题练习）已知有理数a ，b ，c ，满足a b c >>，且0a b c ++=，那么ca的取值范围是_________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()34f x x ax b =++，当[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则a b +=____________．例21．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ，ln b ≥a ，则ba的取值范围是___.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 均为正实数，且111,,232425ab bc ca a b b c c a +++，那么111a b c++的大值为__________．【方法技巧与总结】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.题型四：不等式的综合问题例23．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e 1b aa b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（）①1122b a --<②11b aa b -<-③e e b a b a -<-④5ln5a b +<+A ．1B ．2C ．3D ．4例24．（2022·江西·临川一中高三期中（文））若实数a ，b 满足65a a b <，则下列选项中一定成立的有（）A ．a b<B ．33a b <C ．e 1a b ->D ．ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭例25．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若m ，n ∈+N ，则下列选项中正确的是（）A ．()()1log 1log 2m m m m ++<+B ．(n m m n mn ⋅≥C ．()()22sin1sin 31n n n n n ππ⋅<+⋅>+D ．1121111n n n n n n n n +++++<++（多选题）例26．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知0,0a b >>，直线2y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则下列不等式一定成立的是（）A ．19ab ≤B ．219ab+≥C D ≤（多选题）例27．（2022·辽宁辽阳·二模）已知0a >，0b >，且24a b +=，则（）A ．124a b->B ．22log log 1a b +≤C ≥D ．412528a b +≥（多选题）例28．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（）A ．1ab ≤B ．2a b +≥C ．1a b ->D ．3a b -<例29．（2022·全国·高三专题练习）若x ，y R ∈，设2223M x xy y x y =-+-+，则M 的最小值为__．例30.（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．【过关测试】一、单选题1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为(0)b a b >>，他往返甲乙两地的平均速度为v ，则（）A ．2a bv +=B ．v =C 2a b v +<<D ．b v <<2．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知0a b <<，则（）A ．110->a bB ．sin sin 0a b ->C ．0a b -<D ．ln()ln()0a b -+->3．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若a b <，则下列结论正确的是（）A ．330a b ->B ．22a b <C ．()ln 0a b ->D ．a b<4．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b<B ．a b +>C ．22lg lg a b >D ．33a b >5．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a b >B ．11b b a a +<+C ．22ac bc >D ．332a b -+>6．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知0a >，0b >，22a b m +=，则以下正确的是()A ．若1m =，则1a b +B ．若1m =，则331a b +C ．若2m =，则2a b +>D ．若2m =，则332a b + 7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（）①a b <②11a b ab+<+③2a b ab+<④b aa ab b +<+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（）A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤二、多选题9．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（）A ．1ab a b +>+B ．()2log 1a b +>C ．11a b ab+<+D ．11a b a b+>+10．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列结论正确的是（）A ．2ab b >B ．ac bc<C ．11a c>D ．1a cb c->-11．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足1,01a b c >><<，则下列不等式一定成立的有（）A ．()()c c a c b c -<-B ．log (1)log (1)a b c c +<+C ．log log 2a c c a +≥D ．22224a cbc c >>12．（2022·河北保定·一模）已知a 、b 分别是方程20x x +=，30x x +=的两个实数根，则下列选项中正确的是（）.A ．10b a -<<<B ．10a b -<<<C ．33a b b a ⋅<⋅D ．22b aa b ⋅<⋅三、填空题13．（2022·四川泸州·三模（文））已知x ，R y ∈，满足224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +<；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．14．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数x 、y 满足223x y -≤+≤，220x y -≤-≤，则34x y -的取值范围为______．15．（2022·全国·高三专题练习）如果a >b ，给出下列不等式：①11a b <；②a 3>b 3>2ac 2>2bc 2；⑤ab>1；⑥a 2＋b 2＋1>ab ＋a ＋b .其中一定成立的不等式的序号是________．16．（2022·全国·高三专题练习）设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y≤≤，则3x y 的最小值是______.四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知1a >，1b >，2222,1111a b b a M N a b a b =+=+----．（1）试比较M 与N 的大小，并证明；（2）分别求M ，N 的最小值．18．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b 均为正实数.试比较33+a b 与22a b ab +的大小；（2）已知a ≠1且a ∈R ，试比较11a-与1a +的大小.19．（2022·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①0ab >；②c da b>；③bc ad >，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明.20．（2022·全国·高三专题练习）已知1＜a ＜4，2＜b ＜8，试求a －b 与ab的取值范围.21．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知,,,a b c d R∈(1)证明：()()22222()a b c d ac bd --- ；(2)已知,x y R ∈，2241x y -=，求2|y +的最小值，以及取得最小值时的x ，y 的值．22．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数2()2()f x ax bx c c b a =++>>，其图像过点(1,0)，且与直线y a =-有交点.（1）求证：01ba≤<；（2）若直线y a =-与函数|()|y f x =的图像从左到右依次交于A ，B ，C ，D 四点，若线段,,AB BC CD 能构成钝角三角形，求ba的取值范围.。

不等式比较大小1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法푏2푎2典例 1：若a＜0 ，b＜0 ，则p =+q＝a b푎푏与的大小关系为（）A．p＜q B．p q C．p＞q D．p q푏2푎2푏2―푎2푎2―푏21解：=+―a =+푎―p﹣q ﹣b =（b2﹣a2）⋅(푎푏푎푏1푏)=(푏2―푎2)(푏―푎)푎푏=(푏―푎)2(푎+푏)，푎푏Q a＜0，b＜0，a b＜0，ab＞0，若，则，此时，a＝b p﹣q＝0 p＝q若，则，此时，a b p﹣q＜0 p＜q综上，p q故选：B1/ 2方法二：利用函数的单调性―1―1―2266典例 2：三个数(5，(5，(5)5)5)5的大小顺序是（）―1―2―1―2―1―1―1―1―2―1―1―2 662662626626 A．(5)5)5＜(5)5)5)5)5)5)5)5)5)5) 5＜(5B．(5＜(5＜(5C．(5＜(5＜(5D．(5＜(5＜(5―1―266解：由指数函数的单调性可知，(5)5，5)5＞(―1―126由幂函数的单调性可知，(5)5，5)5＞(―1―1―2266则(5＞(5)5)5)5＞(5，―2―1―1662故(5＜(5＜(5，5)5)5)故选：B ．2/ 2。

高中数学高考总复习----不等式与不等关系知识梳理及考点梳理【考纲要求】1.了解不等关系、不等式（组）的实际背景；2.理解并掌握不等式的性质，理解不等关系；3.能用不等式的基本性质解决某些数学问题.【知识网络】、【考点梳理】要点一、符号法则与比较大小1.实数的符号任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。

2.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：；③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.3、比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③。

对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。

不等式与不等关系不等式的性质基本性质的应用实际背景要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

要点二、不等式的基本性质１．不等式的基本性质（1）（2）（3）（4）２．不等式的运算性质（１）加法法则：（２）减法法则：（３）乘法法则：（４）除法法则：（５）乘方法则：（６）开方法则：要点诠释：不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。

基本不等式可以在解题时直接应用。

要点三、比较大小的方法1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。

2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。

3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.4、利用函数的单调性比较大小：若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.【典型例题】类型一：比较代数式（值）的大小例1．已知：,比较和的大小.【解析】∵，，∴∴.【总结升华】作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论，其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.举一反三：【高清课堂：不等式与不等关系394833典型例题一】【变式1】若，则下列不等式中，不能成立的是()A. B. C. D.【解析】取特殊值，代入验证即可【答案】B【变式2】已知,试比较和的大小.【解析】∵，又∵即∴当时，；当时，.【变式3】且，比较与的大小.【解析】作差：(1)当，即时，，此时.(2)当，即(3)当，,此时，其中时取等号.(4)当即时，，此时例2．已知：、,且,比较的大小.【解析】∵、，∴，作商：（*）(1)若a>b>0,则，a-b>0,,此时成立；(2)若b>a>0,则,a-b<0，,此时成立。

认识不等式和大小关系不等式是数学中一种重要的关系符号表示方式，用于描述数值大小之间的关系。

在解决实际问题中，对不等式的认识和运用至关重要。

本文将介绍不等式的定义、性质以及它们与大小关系的应用。

一、不等式的定义和性质不等式是用不等号（<，>，≤，≥）表示的数值大小关系，分为严格不等式和非严格不等式。

严格不等式中不等号两侧的值不能相等，例如x > y；非严格不等式中不等号两侧的值可以相等，例如x ≥ y。

不等式具有以下性质：1. 反身性：对于任意实数x，有x = x。

2. 对称性：如果x > y，则y < x；如果x ≥ y，则y ≤ x。

3. 传递性：如果x > y，y > z，则x > z；如果x ≥ y，y ≥ z，则x ≥ z。

4. 加法性：如果x > y，则x + z > y + z；如果x ≥ y，则x + z ≥ y + z，其中z为任意实数。

二、大小关系的判断在不等式中，常常需要通过比较关系来判断数值的大小。

以下是常见的判断方法：1. 单个变量的不等式：对于单个变量的不等式，可以通过计算来判断其大小关系。

例如，对于不等式2x - 5 > 0，可以将不等式转化为等式2x - 5 = 0，求得x = 2.5，然后判断2x - 5在x = 2.5两侧的取值情况，从而确定不等式的解集为x > 2.5。

2. 两个变量的不等式：对于含有两个变量的不等式，通常需要先将其化简为一元不等式或者求解解集。

可以通过互换变量的位置，并通过图像、计算等方法来判断大小关系。

例如，对于不等式x^2 - y^2 > 0，可以将其化简为(x + y)(x - y) > 0，然后通过绘制函数图像或者列举取值表来判断不等式的解集为x + y > 0且x - y > 0。

3. 绝对值不等式：绝对值不等式是一种常见的不等式类型，含有绝对值符号。

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第4讲比较大小专项突破高考定位比较大小题型每年必考，而且以多种形式出现，可以囊括高中各部分知识，综合性极强，该题型很好的考察了学生的综合素养。

考点解析（1）特殊值法（2）单调性法（3)基本不等式法（4）放缩法（5）图像法（6）作差法（7）作商法（8）构造法（9）反证法题型解析类型一、特殊值法例1-1．已知111,,,a b aM a N a P ba b<<===，则,,M N P的大小关系正确的为（）A．N M P<<B．P M N<<C．M P N<<D．P N M<<【答案】B【分析】根据指数函数与幂函数的单调性即可求解.【详解】 解：111a b <<，01b a ∴<<<，∴指数函数x y a =在R 上单调递减，b a a a ∴>，即N M >，又幂函数a y x =在()0,∞+上单调递增，a a ab ∴>，即M P >，N M P ∴>>，故选：B.例1-2．设02x π<<，记l n s i n a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】A【分析】根据02x π<<，得到()sin 0,1b x =∈，再利用对数函数和指数函数的性质判断.【详解】因为02x π<<，所以()sin 0,1b x =∈，lnsin 0a x =<，sin 1x c e =>，所以a b c <<，故选：A例1-3．已知()()2221,2,2,2,2x x x x a b c ∈===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【分析】根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，利用特值法即可求得结果.【详解】因为()2222x x b ==，函数2x y =是单调增函数，所以比较a ，b ，c 的大小，只需比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小即可.用特殊值法，取 1.5x =，容易知3222.25,23,22xx x ===， 再对其均平方得()()()2222232.25 5.0625,29,228x x x =====， 显然()()()22232229228 2.25 5.0625x x x =>==>==， 所以222x x x >>，所以b c a >>【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较指数式的大小关系，属基础题.本题解题的关键在于将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，再通过特殊值法即可得答案.例1-4．设0x y >>，1x y +=，若1y a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1log xy b xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1log y c x =，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】C【分析】利用0x y >>，1x y +=可知01y x <<<，结合不等式性质知11x >，01xy <<，1111xy y x >>>，再利用指数函数、对数函数的性质直接求解．【详解】0x y >>，1x y +=，01y x ∴<<< 利用不等式性质可知11x >，01xy <<，1111xy y x>>>， ∴011()()1y a x x =>=，1()log 10xy b xy ==-<，111log 1log log 1y y yc x y =>>=-， ∴实数a ，b ，c 的大小关系为b c a <<．【点睛】方法点睛：本题考查指数对数的大小判断，判断方法：解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1，考查学生的转化能力，属于基础题.类型二、单调性法例2-1．设233344443,,332a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】C【分析】 根据指数函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 与幂函数34y x =的单调性判断,,a b c 的大小关系. 【详解】 因为函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 在R 上是增函数，所以23344433<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <，又因为函数34y x =在(0,)+∞上是增函数，所以33444332⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b c <，故a b c <<.练．已知 4.10.90.1445,,554a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则这三个数的大小关系为（ ） A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】B【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.【详解】0.90.94554b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增﹐则1b c >>， 又 4.1044155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故b c a >>.故选：B.练．设3log πa =，32log 2b =，1ln e 4c =，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B根据指数函数、对数函数的性质判断可得；【详解】 解：因为1ln ln10e <=，所以1ln 0e 0441<<=，即01c <<，又2333332log 2log 2log 4log log 31π==>>=，即1b a >>，所以b a c >>；故选：B类型三、简单同构法（同底、同指、同真、同分母、同分子等）例3-1．已知43a =，3log 4b =，0.13c -=，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】A【分析】 首先根据题意得到4333log 3log 4>，从而得到a b >，又根据3log 41b =>，100.313c -<==，从而得到b c >，即可得到答案.【详解】因为4334log 33a ==， 344333=3=81464⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 所以4333log 3log 4>，即a b >.又因为33log 4log 31b =>=，100.313c -<==，即b c >，所以a b c >>.故选：A练．已知2516log 3,log 9,0.3a a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a【答案】D【分析】利用对数运算、指数运算化简,b c ，结合对数函数的性质比较三者的大小关系.【详解】22444log 3log 3log 41b ==<=，所以01a b <<<， 5555325log log log 5253log 32231010100.30.3110333a c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====>=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以cb a >>.故选：D例3-2．已知ln 22a =，ln 33b =，ln 55c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】D【分析】运用比差法分别比较,a b 与,a c ，进而可得结果.【详解】 因为ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a b ---=-==<，所以a b <； 又ln 2ln 55ln 22ln 5ln 32ln 250251010a c ---=-==>，所以a c >， 所以c ab <<.故选：D.练．已知12019ln20202020a =+，12020ln 20212021b =+，12021ln 20222022c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A【分析】根据三个数的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，最后根据单调性进行比较大小即可.【详解】构造函数()ln 1f x x x =+-，()111x f x x x -'=-=，当01x <<时，()0f x '>， ()f x 单调递增，所以111202*********f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b c >>. 故选：A练．已知ln 22a =，1b e =，ln 33c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】C【分析】结合导数求()ln x f x x =的单调性，可判断,b a b c >>，令a c -，结合对数的运算性质可判断出c a >，从而可选出正确答案.【详解】解：设()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=，当0x e <<时，()0f x '>； 当x e >时，()0f x '<，则()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，则当x e =时，()max ln 1e f x e e ==，即,b a b c >>；ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a c ---=-==<，则c a >，所以bc a >>， 故选：C ．【点睛】思路点睛：比较几个数的大小关系时，常用的思路是：1、求出函数的单调性，结合增减性进行判断；2、利用作差法，判断两数与零的关系；3、利用作商法，判断两数与1的关系.练．已知7log 22a =，7log 33b =，7log 66c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】B【分析】先把a 、b 、c 化为“同构”形式，利用函数的单调性判断大小.【详解】∵log log m a a m b b =， ∴777log lo 6g 23g 2826lo a ===， 777log 3lo 6g 2g 3936lo b ===7log 66c = 因为7log y x =为增函数，所以777log 6log 8log 9<<，所以b a c >>.故选：B【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．已知e a =，33log e b =，5ln 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】D【分析】 设()ln x f x x =，e x ≥，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小； 【详解】 解：设()ln x f x x=，e x ≥，则()2ln 10(ln )x f x x -'=≥恒成立，∴函数()f x 在[e )+∞，上单调递增，又(e)a f =，333log e (3)ln 3b f ===，5(5)ln 5c f ==，∵e 35<<，()()()e 35f f f ∴<<，∴a b c <<，例3-3．已知0a b c d <<<<，若c a a c =，则d b 与b d 的大小关系为（ ）A ．d b b d <B ．db b d =C ．d b b d >D ．不确定 【答案】C【分析】由c a a c =得ln ln a c a c =，构造新函数ln x y x =，利用导数讨论ln x y x =的单调性，从而判断出ln ln ln b c d b c d >>，即可 得到d b b d >.【详解】因为c a a c =，所以ln ln c a a c =，即ln ln a c a c =， 设ln x y x =，则21ln x y x -'=，令21ln x y x-'==0，得x e =， 当(0,)x e ∈时，0y '>，ln x y x=单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln x y x=单调递减； 因为ln ln a c a c =，0a b c d <<<<，所以a e c <<， 所以ln ln ln b c d b c d >>，即d b b d >.故选：C.指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】A【分析】首先利用指数函数和幂函数的单调性得到b c <和a b >，再构造函数，利用导数得到函数的单调性得到a c <，即可得到答案.【详解】因为3x y =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <.因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()x f x x =， 21ln ()x f x x -'=，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数，(,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.则()(3)f f π<，即ln ln 33ππ<，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <.所以b a c <<.故选：A【点睛】本题主要考查指数和幂的比较大小，利用导数得到函数的单调性来比较大小为解决本题的关键，属于中档题.练．已知5ln 4a π=，4ln 5b π=，45ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】C【分析】 令ln ()()x f x x e x =≥，利用导数研究函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】 解：令ln ()()x f x x e x =≥，21ln ()x f x x -'=， 可得函数()f x 在(),e +∞上单调递减，ln 4ln 5,5ln 44ln 5,45a b ππππ∴>∴>∴>，同理可得：44ln ln 4,4ln ln 4,4,5ln 5ln 4,4c a ππππππππ>∴>∴>∴>∴>，∴b a c <<.故选：C.本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.类型四、中间量d=，则a，b，c，d的大小关系是（）例4-1．若0.8b=，0.30.2a=，0.20.81.1c=，lg0.2A．c b a d>>>>>>B．c a b dC．b c a d>>>>>>D．a c b d【答案】A【分析】由指数函数、幂函数以及对数函数的单调性比较大小即可.【详解】由指数函数的单调性知：0.20.8>=1.1 1.11>，0.300.20.2由幂函数的单调性知：0.20.2>，0.80.2所以0.20.20.8c b a>>=>>=>，10.80.20.20d=<=又由对数函数的单调性可知：lg0.2lg10综上有：c b a d>>>.例4-2．已知1253a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】D【分析】 由11225335-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 4>，333log 3log 7log 9<<判断.【详解】 因为112253135a -⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 42b =>=， 3331log 3log 7log 92c =<=<=，所以b c a >>故选：D练．已知a =b =2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据指数运算与对数的性质，求得2a >，2b <，12c <<，再结合22log log 3b c ==，利用对数函数的单调性，即可求解.【详解】根据指数运算与对数运算的性质，可得122a =>=，2b =，2log 3(1,2)c =∈，设22log log 3b c ===，因为函数2log y x =为增函数，由于8523>，所以b c >，所以a b c >>.故选：C.练．已知0.352,ln 2,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合指数函数和对数函数的性质进行判断即可.【详解】由551log 2log log 522a a a =⇒==<，由112b >>，0.312c =>，所以c b a >>，故选：B类型五、放缩法例5-1．若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2x b =，ln 2x c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】D【分析】先利用ln y x =的单调性求出a 值范围；再利用2x y =的单调性比较b 和c 的大小而得解.【详解】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22x x -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x <<，即1122c b <<<<， 综上得：b c a >>故选：D练．设02x π<<，记lnsin a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】A【分析】 根据02x π<<，得到()sin 0,1b x =∈，再利用对数函数和指数函数的性质判断.【详解】 因为02x π<<，所以()sin 0,1b x =∈，lnsin 0a x =<，sin 1x c e =>， 所以a b c <<，故选：A练．已知sin3a =，3log sin 3b =，sin33c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数以及三角函数值即可得出选项.【详解】 因为32ππ<<，所以()sin30,1a =∈，33log sin3log 10b =<=，sin30331c =>=，所以c a b >>.故选：C练．已知0.32=a ， 1.12.3b =，3log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】C【分析】根据指数函数，对数函数的单调性来判断数值大小.【详解】由对数及指数的单调性知：0.30.522 1.414a =<=， 1.12.3 2.3b =>，332log 6log 1.5c >=>，所以a ，b ，c 的大小关系为a c b <<.故选：C.类型六、比较法例6-1作差法．设2l og 3a =，32log 2b =，32log 2c =-，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A【分析】 先通过变形3339log 9log 2log 2c =-=，而332log 2log 4b ==，故可判断,b c 大小，再作差利用基本不等式有23log 3log 2220a c -=+->=即可得解.【详解】 由33333392log 2log 9log 2log log 42log 22c b =-=-=>==，23log 3log 222220a c -=+->>-=，所以a c >，所以a c b >>，故选：A.【点睛】本题考查了对数函数的比较大小，对数函数的比较大小是高考中重点考查对象，考查了利用中间量以及作差法比较大小，考查了变形转化以及对数的运算能力，比较大小有以下几种方法：（1）利用函数单调性比较大小；（2）中间量法比较大小；（3）作差法、作商法比较大小.例6-2作商法．已知0.75a =，52log 2=b ，21log 32=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】A【分析】根据对数的运算法则及性质比较,b c 与a 的大小，利用作商法比较,b c 的大小.【详解】 由30.754a ==, 因为3444(5)1254256=<=，故3454<， 所以3455log 5log 4a b =<=， 因为3444(2)89=<=，故342< 所以3422log 2log a c =<=因为58165>，故85165>，因为5832<，故8532<， 所以8555558225222log 24log 2log 16log 511log 3log 3log 3log 22b c ===>=， 所以b c >，故a c b <<，故选：A【点睛】关键点点睛：根据对数的运算性质将a 写成对数345log 5，342log 2，利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得,b c 的大小，属于较难题目.练．已知1ln 23a =，24log 25b =，25log 26c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】D【分析】 先由题，易知1ln 231a =<，而2425log 251,?log 261b c =>=>，再将b ，c 作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.【详解】因为1ln 02<，故1ln 231a =< 2425log 251,?log 261b c =>=> 2225252525252524log 26log 26log 241log 26log 24()[log (251)(251)]1log 2524c b +==⋅<=+⋅-< 所以c b < ，即b c a >>故选D【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.类型七、图像法例7-1．若()122211log ,0,222a b c a b b c -⎛⎫⎛⎫==>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【分析】 分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，由图象交点坐标，即可判断得出,,a b c 的大小关系.【详解】 分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，如图所示，由图象，可得c b a <<.故选：B.练．若44log x x -=，144log y y =，44log 0zz -+=，则实数x ，y ，z的大小关系为（）A ．x y z <<B ．z y x <<C ．z x y <<D ．y z x <<【答案】D【分析】利用指数与对数函数的单调性，确定各方程根的范围，进而比较它们的大小.【详解】对于44log x x -=，由()4x f x -=与4()log g x x =有交点，()f x 过一、二象限，()g x 过一、四象限，∴()f x 与()g x 的交点必在第一象限且()f x 单调递减、()g x 单调递增，而1(1)(1)04f g =>=，11(2)(2)162f g =<=，可得()1,2x ∈， 对于144log y y =，由()4y m y =与14()log n y y =有交点，()m y 过一、二象限，()n y 过一、四象限，∴()m y 与()n y 的交点必在第一象限且()m y 单调递增、()n y 单调递减，而(0)1m =，0lim ()y n y +→→+∞，111()2()222m n =>=，可得10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 对于44log 0z z -+=，显然有12z =， ∴x ，y ，z 的大小关系为y z x <<，故选：D.例7-2．已知,,(0,)a b c ∈+∞，且ln 1a a =-，ln 1b b =，e 1c c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】C【分析】由题意可得ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1y x =在(0,)+∞上的图像，然后根据函数图像可求得答案【详解】ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1y x =在(0,)+∞上的图像，如图所示.由图像可知01c <<，1a =，1b >，所以c a b <<.故选：C.练．正实数a ，b ，c 满足22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】A【分析】将22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，转化为函数13x y =+，122xy =+，4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解.【详解】4log 4c c +=4log 4c c ⇒=-， 即c 为函数4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，33b b +=134b b ⇒+=-，即b 为函数13x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标，22a a -+=1242a a ⇒+=-， 即a 为函数122x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中画出图象，如图所示：由图象可知：b a c <<.故选：A.练．已知5630x y ==，log x z y =，则x ，y ，z 的大小关系为（ ）A ．x y z <<B ．z y x <<C ．y x z <<D ．z x y <<【答案】B【分析】首先对5630x y ==取对数，可比较x ，y 的大小关系，利用对数的运算判断,x y 与1的大小关系，即可利用单调性判断z 的范围，进而可得出x ，y ，z 的大小关系.【详解】对5630x y ==两边同时取常用对数可得lg5lg6lg30x y ==, 所以lg30lg5x =，lg30lg 6y =， 因为lg y x =在()0,∞+单调递增，所以0lg5lg6<<， 所以lg30lg30lg5lg 6>，即x y >， 又因为5lg30lg5lg 61log 61lg5lg5x +===+>， 6lg30lg5lg 61log 51lg 6lg 6y +===+>， 所以0log log 1x x z y x <=<=，所以z y x <<.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是取对数判断x ，y 的大小关系，判断x 与1的关系利用单调性得出z 的范围.类型八、方程中隐含条件例8-1．已知正数x ，y ，z 满足ln z x y ye zx ==，则x ，y ，z 的大小关系为（）A ．x y z >>B ．y x z >>C ．x z y >>D ．以上均不对【答案】A【分析】将z 看成常数，然后根据题意表示出,x y ，再作差比较出大小即可【详解】解：由ln z x y ye zx ==，得ln x y zx =，则ln z y =，得z y e =，所以z z e e zx ⋅=，所以2ze x z =，令()(0)z f z e z z =->，则()10z f z e -'=>，所以函数()f z 在(0,)+∞上单调递增，所以0()(0)01f z f e >=-=，所以z e z >，即y z >所以22()0z z z z z z e e ze e e z x y e z z z---=-==>， 所以x y >，综上x y z >>，故选：A练．设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2a c e b b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【分析】通过构造函数()(0)x f x xe x =>，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得c b e =，得,b c 的大小关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小.【详解】设()(0)x f x xe x =>，0x >时，()()10x f x x e '=+>恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x e ⎫∈⎪⎝⎭，2<，所以1,12c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ln ln ln b c b b b e ce =⋅=，故ln b c =，即c b e =∈，而ln 2122a =<，所以a cb <<． 故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()(0)x f x xe x =>，并且根据指对互化ln ln ln b b b b e =⋅，这样根据单调性可得ln b c =.练．设x ，y ，z 为正实数，且235log log log 1x y z ==>，则2x ，3y ，5z 的大小关系是（ ） A ．532zy x <<B ．235x y z << C ．325yxz <<D ．235x y z == 【答案】B【分析】,,x y z 为正实数，且235log log log 1x y z k ===>，可得：22,33,55k k k x y z =>=>=>,然后变形，构造函数，利用幂函数的单调性即可得出．【详解】,,x y z 为正实数，且235log log log 1x y z k ===>，可得22,33,55k k k x y z =>=>=>． ∴11121,31,51235k k k xy z ---=>=>=>，令()1k f x x -=，又()f x 在()0+∞，上单调递增， ∴()()()532f f f >>，即532zy x >>， 故选：B ．关键点睛：本题的关键是指数式与对数式的互化、构造幂函数并运用其的单调性． 例8-2．已知a 、b 、c 均为不等于1的正实数，且ln ln a c b =，ln ln c b a =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【分析】分析可知，ln a 、ln b 、ln c 同号，分a 、b 、()0,1c ∈和a 、b 、()1,c ∈+∞两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】ln ln a c b =，ln ln c b a =，且a 、b 、c 均为不等于1的正实数，则ln a 与ln b 同号，ln c 与ln a 同号，从而ln a 、ln b 、ln c 同号.①若a 、b 、()0,1c ∈，则ln a 、ln b 、ln c 均为负数，ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>；②若a 、b 、()1,c ∈+∞，则ln a 、ln b 、ln c 均为正数，ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>.综上所述，c a b >>.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.练．已知大于1的三个实数,,a b c 满足2(lg )2lg lg lg lg 0a a b b c -+=，则,,a b c 的大小关系不可能是（ ）A ．a b c ==B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】D【分析】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点，根据判别式可得b c ≥，就b c =和b c >分类讨论后可得,,a b c 的大小关系.【详解】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点且该函数图象的对称轴为lg x b =， 故24lg 4lg lg 0b b c ∆=-≥，因为1,1b c >>，故lg 0,lg 0b c >>，所以lg lg b c ≥即b c ≥.又()()()()22lg lg lg lg lg lg lg ,lg lg lg lg lg lg lg f b b c b b c b f c c b c c c b =-=-=-=-，若b c =，则()()lg lg 0f b f c ==，故lg lg lg a b c ==即b c =.若b c >，则()()lg 0,lg 0f b f c <<，所以lg lg a c <或者lg lg b a <，即a c b <<或a b c >>.故选：D.【点睛】本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题.例8-3．已知22,32a b a b +=+=，则lg b a 与lg a b 的大小关系是（ ）A ．lg lg b a a b <B ．lg lg b a a b =C ．lg lg b a a b >D ．不确定【答案】C【分析】令()()2,3x x f x x g x x =+=+，结合题意可知01b a <<<，进而有b b a a b b >>，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令()()2,3x x f x x g x x =+=+，则当0x >时，()()g x f x >，当0x <时，()()g x f x <；由22,32a b a b +=+=，得()()2,2f a g b ==考虑到()()2f a g b ==得01b a <<<，b b a a b b ∴>>由b a a b >，得()()lg lg b a a b >，即lg lg b a a b >故选：C练．设实数a ，b 满足51118a b a +=，7915a b b +=，则a ，b 的大小关系为（ ）A ．a b <B ．a b =C ．a b >D ．无法比较【答案】A【分析】从选项A 或C 出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.【详解】假设a b ≥，则1111a b ≥，77a b ≥，由51118a b a +=得51151118()()11818a a a a a +≥⇒+≥， 因函数511()()()1818x x f x =+在R 上单调递减，又51116(1)1181818f =+=<，则()1(1)f a f ≥>，所以1a <；由7915a b a +=得797915()()11515b b b b b +≤⇒+≤， 因函数79()()()1515x x g x =+在R 上单调递减，又7916(1)1151515g =+=>，则()1(1)g b g ≤<，所以1b >； 即有1a b <<与假设a b ≥矛盾，所以a b <，故选：A【点睛】思路点睛：应用反证法解决问题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．巩固训练（精选以一敌百）1．（多选）（2021·全国·高三期中）已知a ，b 为正数，且1a b -=，则（ ）A ．221a b +<B ．331a b ->C ．222log log 2-<a bD ．211b b a+> 【答案】BD【详解】由于1a b -=，取1,2b a ==，代入四个选项对于A ：221a b +<，左边2251a b +=>故A 错误；对于C ，222log log 2a b -=，故C 错误2．（多选）（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知实数,,x y z 满足ln 1y z x z e ⋅=⋅=.则下列关系式中可能成立的是（ ）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>【答案】ABC 设1ln y x e k z ===，0k >，则k x e =，ln y k =，1z k =，画出函数图象，如图所示：当1k x =时，z x y >>；当2k x =时，x z y >>；当3k x =时，x y z >>；故选：ABC。

不等式的比较掌握大小关系的判断在数学学科中，不等式是常常会遇到的一个重要概念。

我们经常需要进行大小关系的判断，以解决各种实际问题或推导数学结论。

掌握不等式的比较，能够在解决数学问题时提供有效的参考和引导。

本文将介绍如何准确地判断不等式的大小关系。

一、基本概念不等式是数学中的一种关系，在形式上使用不等号进行表示。

通常我们会见到比较运算符“<”，“>”，“≤”，“≥”等。

这些符号的含义如下：1. 小于号“<”：表示左边的数小于右边的数，例如 a < b 表示 a 相对于 b 而言较小。

2. 大于号“>”：表示左边的数大于右边的数，例如 c > d 表示 c 相对于 d 而言较大。

3. 小于等于号“≤”：表示左边的数小于或等于右边的数，例如x ≤ y 表示 x 相对于 y 而言小于或等于。

4. 大于等于号“≥”：表示左边的数大于或等于右边的数，例如z ≥ w 表示 z 相对于 w 而言大于或等于。

二、比较不等式大小的方法判断不等式的大小关系主要有两种方法：一是通过运算的性质和规则，二是通过图形表示。

1. 运算的性质和规则：借助运算性质和规则，我们可以对不等式进行等价变形，从而方便地进行大小关系的判断。

以下是一些常见的运算性质：a) 加减法性质：对于任意实数 a、b、c，如果 a < b，则 a+c < b+c，a-c < b-c；b) 乘除法性质：对于任意实数 a、b、c（c 不为 0），如果 a < b，则 ac < bc，a/c < b/c；c) 等价变形性质：对于任意实数 a、b、c，如果 a < b，则 a+c <b+c，a-c < b-c，ac < bc（当 a、b、c 都大于 0 或都小于 0 时），a/c <b/c（当 a/c 和 b/c 定义有意义时）。

基于这些性质，我们可以通过不等式的等价变形，将其转化为更简单的形式以便进行大小比较。

高一数学不等式知识点讲解不等式是数学中比较大小关系的一种表示方式，它在实际问题解决中起着重要的作用。

高一数学学习的一部分内容就是学习不等式的相关知识。

本文将对高一数学中常见的不等式知识点进行讲解。

一、基本符号和性质在学习不等式之前，我们需要先了解一些基本符号和性质。

1.1 基本符号在不等式中，我们通常会用到以下几个基本符号：- 大于号（>）：表示大于的关系，如a > b表示a大于b；- 小于号（<）：表示小于的关系，如a < b表示a小于b；- 大于等于号（≥）：表示大于等于的关系，如a ≥ b表示a大于等于b；- 小于等于号（≤）：表示小于等于的关系，如a ≤ b表示a小于等于b。

1.2 传递性和对称性不等式具有传递性和对称性两个基本性质：- 传递性：若a > b，b > c，则有a > c。

即若a大于b，b大于c，则a大于c。

- 对称性：若a > b，则有b < a。

即若a大于b，则b小于a。

二、一元一次不等式一元一次不等式是高中数学中最简单的一类不等式。

其形式通常为ax + b > 0或ax + b < 0，其中a和b为实数，且a ≠ 0。

2.1 解一元一次不等式解一元一次不等式的基本思路是找出使不等式成立的x的取值范围。

对于不等式ax + b > 0，可以按如下步骤进行解答：- 将不等式转化为等式，即ax + b = 0；- 求得方程的解x = -b/a；- 判断x的取值范围，当a > 0时，解为x > -b/a；当a < 0时，解为x < -b/a。

类似地，对于不等式ax + b < 0，可以按照以上步骤解答。

2.2 不等式的加减运算性质在解决一元一次不等式时，我们需要运用加减运算性质。

对于不等式ax + b > c，可以将不等式两边同时减去c，得到ax + b - c > 0。

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质【课程标准】1.会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.2.会利用不等式性质比较大小【知识要点归纳】1．作差法比较两个实数大小基本事实：a>b⇔，a＝b⇔，a<b⇔.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．2．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.3．不等式的性质(1)对称性：如果a>b，那么；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么.即a>b，b>c⇒。

(3)加法法则：如果a>b，那么.(4)乘法法则：如果a >b ，c >0，那么 ；如果a >b ，c <0，那么 .(5)同向相加法则：如果a >b ，c >d ，那么 .(6)异向相减法则：如果,a b c d >>,那么 _____________.(7)同向正不等式相乘法则：如果a >b >0，c >d >0，那么 .(8)乘方法则：如果a >b >0，那么 (n ∈N ，n ≥2)．(9)开方法则：如果a >b >0，那么 (n ∈N ，n ≥2)[反证法]．(10)取倒法则：如果a >b >0，那么____________【经典例题】例1．如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为________．例2 已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc .[跟踪训练]1 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y，比较m 和n 的大小．[跟踪训练] 2已知a ，b 均为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．例3 0,0,0,,,,a b b m a n a b m n b a a m b n++>>>>++则的由大到小的顺序为__________ 例4 下列命题为真命题的是（ ）222222.0,.,11.0,.0A a b ac bc B a b a b C a b a ab b D a b a b >>>>><<<<<<>若则 若则若则 若，则例5（多选）330,0,11.a b d c A ac bc ac bc a b d c>><<>>>若则下列不等式成立的是（ ）B. C.< D.例4 已知1<a <4,2<b <8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．[变式] 在本例条件下，求a b 的取值范围．[跟踪训练] 3 已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的范围．（整体待定系数法）例5 13,42,αβαβ<<-<<-若则的取值范围是________.【当堂检测】一．选择题（共4小题）1．设231M x x =-+，21N x x =+-，则( )A ．M N >B ．M N <C ．M N =D ．M 与N 的大小关系与x 有关2．若a b >，c d >，则下列不等关系中不一定成立的是( )A ．a b c d ->-B ．a c b d +>+C ．a c b c ->-D ．a c a d -<-3．已知a =4b =，c =a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>4．若a ，b ，c R ∈且a b >，则下列不等式中一定成立的是() A ．ac bc > B ．2()0a b c -> C ．11a b < D ．22a b -<-二．填空题（共2小题）5．已知122s t -<+<，34s t <-<，则5s t +的取值范围 （用区间表示）． 6．a 克糖水中含有b 克塘(0)a b >>，若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： ．三．解答题（共1小题）7．（1）已知a ，b 均为正实数．试比较33a b +与22a b ab +的大小；1 1a -与1a+的大小．（2）已知1a≠且a R∈，试比较当堂检测答案一．选择题（共4小题）1．设231M x x =-+，21N x x =+-，则( )A ．M N >B ．M N <C ．M N =D ．M 与N 的大小关系与x 有关【分析】作差，配方，即可比较大小．【解答】解：2231(1)M N x x x x -=-+-+-2222x x =-+2132()022x =-+>， 故M N >．故选：A ．【点评】本题主要考查利用作差法比较大小，属于基础题．2．若a b >，c d >，则下列不等关系中不一定成立的是( )A ．a b c d ->-B ．a c b d +>+C ．a c b c ->-D ．a c a d -<-【分析】根据a b >，c d >即可判断选项B ，C ，D 都成立，而选项A 显然不一定成立，从而得出正确的选项．【解答】解：a b >，c d >，a cb d ∴+>+，ac b c ->-，cd -<-，a c a d -<-，a b c d ->-不一定成立．故选：A ．【点评】本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．3．已知a =4b =，c =a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【分析】可得出222816,8a b c =+==+，然后可比较2a ，2b 和2c 的大小关系，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：222816,8a b c =+==+8>，222b c a ∴>>，b c a ∴>>．故选：D ．【点评】本题考查了平方后比较大小的方法，考查了计算能力，属于基础题．4．若a ，b ，c R ∈且a b >，则下列不等式中一定成立的是( )A ．ac bc >B ．2()0a b c ->C ．11a b <D ．22a b -<-【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误．【解答】解：a ，b ，c R ∈且a b >，∴取0c =，可排除A ，B ；取1a =，1b =-可排除C ．由不等式的性质知当a b >时，22a b -<-，故D 正确．故选：D ．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．二．填空题（共2小题）5．已知122s t -<+<，34s t <-<，则5s t +的取值范围 (1,8) （用区间表示）．【分析】设5(2)()s t m s t n s t +=++-，根据条件求出m 和n 的值，再求出5s t +的范围．【解答】解：设5(2)()s t m s t n s t +=++-，则5(2)()s t m n s m n t +=++-，则251m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩， 则52(2)()s t s t s t +=++-，122s t -<+<，22(2)4s t ∴-<+<，又34s t <-<，12(2)()8s t s t ∴<++-<，即158s t <+<，5s t ∴+ 的取值范围是(1,8)．故答案为：(1,8)．【点评】本题考查了不等式的基本性质和不等关系与不等式，考查了整体思想，方程思想和转化思想，属基础题．6．a 克糖水中含有b 克塘(0)a b >>，若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： (0)x b b a b a x a+>>>+ ． 【分析】利用糖水的浓度可得(0)x b b a b a x a +>>>+即可． 【解答】解：由a 克糖水中含有b 克塘(0)a b >>可得糖水的浓度为100%b a⨯； 在糖水中加入x 克糖，可得糖水的浓度为100%x b a x +⨯+．糖水变甜了，于是可得100%100%x bba x a +⨯>⨯+； 化为(0)xb ba b a x a +>>>+． 故答案为(0)x bba b a x a +>>>+．【点评】本题考查了溶液的浓度，属于基础题．三．解答题（共1小题）7．（1）已知a ，b 均为正实数．试比较33a b +与22a b ab +的大小；（2）已知1a ≠且a R ∈，试比较11a -与1a +的大小．【分析】（1）利用“作差法”，可得2()()0a b a b -+，（2）利用“作差法”，通过对a 分类讨论即可得出．【解答】解：（1）a ，b 均为正实数，332222222()()()()()()0a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b ∴+--=---=--=-+， 即3322a b a b ab +>+，（2）21(1)11aa a a -+=--．①当0a =时，201a a =-，∴111a a =+-．②当1a <且0a ≠时，201a a >-，∴111a a >+-．③当1a >时，201a a <-，∴111a a <+-．综上所述，当0a =时，111a a =+-；当1a <且0a ≠时，111a a >+-；当1a>时，111aa<+-．【点评】本题考查了“作差法”比较两个数的大小、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．11。

利用基本不等式比较大小的方法基本不等式是数学中常用的一个不等式，它可以帮助我们比较大小关系。

在本文中，我们将通过几个实际问题来说明如何利用基本不等式进行比较大小。

一、问题1：比较两个正数的平方和与它们的和的平方的大小关系。

假设有两个正数a和b，我们需要比较a^2 + b^2和(a + b)^2的大小。

根据基本不等式，我们知道(a + b)^2 ≥ a^2 + b^2，即两个正数的和的平方大于等于它们的平方和。

所以，a^2 + b^2 < (a + b)^2。

二、问题2：比较两个正数的乘积与它们的和的关系。

假设有两个正数a和b，我们需要比较ab和(a + b)的大小。

根据基本不等式，我们知道ab ≤ (a + b)^2 / 4，即两个正数的乘积小于等于它们的和的平方的四分之一。

所以，ab < (a + b) / 4。

三、问题3：比较两个正数的倒数之和与它们的和的倒数的大小关系。

假设有两个正数a和b，我们需要比较1/a + 1/b和1/(a + b)的大小。

根据基本不等式，我们知道1/a + 1/b ≥ 2/√(ab)，即两个正数的倒数之和大于等于它们的乘积的倒数的两倍的平方根。

所以，1/a + 1/b ≥ 2/√(ab)。

四、问题4：比较两个正数的平均数与它们的几何平均数的大小关系。

假设有两个正数a和b，我们需要比较(a + b)/2和√(ab)的大小。

根据基本不等式，我们知道(a + b)/2 ≥ √(ab)，即两个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。

所以，(a + b)/2 ≥ √(ab)。

通过以上四个实际问题的分析，我们可以看到基本不等式在比较大小时的应用。

无论是比较平方和、乘积、倒数之和还是平均数和几何平均数，我们都可以利用基本不等式得出结论。

基本不等式提供了一种简洁而有效的方法来解决这些问题。

总结起来，利用基本不等式比较大小的方法可以帮助我们快速、准确地得出结论。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的不等式进行比较。

不等式1：不等关系和不等式考点：不等式的定义、性质基本知识：1．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b ＜1⇔a＜b .2．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞n b (n ∈N ，n ≥2)．基本方法：1.作差法：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．2.待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．3.常用性质(1)倒数性质：①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ；②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b ；③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞b d ；④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a .(2)若a ＞b ＞0，m ＞0，则①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －ma －m (b －m ＞0)；②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －mb －m (b －m ＞0)．例1.已知a ，b ，c ∈R ，则“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例2.给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞|b |⇒a 2＞b 2；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2.其中正确的命题是( )．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④考点：不等式性质的运用基本方法：1. 同向可加性与同向可乘性可推广到两个或两个以上的不等式．2.同向可加的应用：由a ＜f(x ，y)＜b ，c ＜g(x ，y)＜d ，求F(x ，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x ，y)＝mf(x ，y)＋ng(x ，y)，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F(x ，y)的取值范围．例1.若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围为 ( ) .例2.已知－1<2x －1<1，则2x －1的取值范围是____________．例3.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．例4.若α，β满足⎩⎨⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围． 考点：做差、做商、特殊值比较大小基本方法：1.对于整式可采用作差法；对于幂可采用作商法比较；当不能直接下结论时，采用分类讨论．2.题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小．3. (1)作差比较法的依据是“a －b >0⇔a >b ”，步骤为：①作差；②变形；③定号；④下结论；常采用配方，因式分解，有理化等方法变形；(2)作商法的依据是“a b>1，b >0⇒a >b ”，步骤为：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．(3)特例法，对于选择、填空题可用特例法选出正确答案．例1.【做差法】(2011·陕西)设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )．A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b 2＜b例2.若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，则|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系是( )A ．|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|B ．|log a (1－x )|＜|log a (1＋x )|C ．不确定，由a 的值决定D ．不确定，由x 的值决定。

版块一．不等式的性质1．用不等号()<>≠，，≤，≥，表示不等关系的式子叫做不等式．2．对于任意两个实数a 和b ，在,,a b a b a b =><三种关系中，有且仅有一种关系成立． 3．两个实数的大小比较：对于任意两个实数,a b ，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．作差比较法：0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=．其中符号⇔表示它的左边与右边能够互相推出．4．不等式的性质： 性质1：（对称性）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 性质2：（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >． 性质3：如果a b >，则a c b c +>+． 推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2：如果,a b c d >>，则a c b d +>+．我们把a b >和c d >（或a b <和c d <）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式．推论2说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向． 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． 性质4：如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <．实数大小的作商比较法：当0b ≠时，若1a b >，且0b >，则a b >；若1ab>，且0b <，则a b <．推论1：如果0,0a b c d >>>>，则ac bd >．推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．推论2：如果0a b >>，则(,1)n n a b n n +>∈>N ． 推论3：如果0a b >>,1)n n +>∈>N<教师备案>1． 对于任意两个实数,a b ，有0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=，这几个等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序．由此知：比较两个实数的大小，可以归结为判断它们的差的符号．这是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式和解不等式的主要依据．知识内容比较大小在学习了不等式的性质后，比较两个实数的大小还可以用作商法，与1比较，但这时要注意分母的正负情况．2．比较两个代数式的大小关系，实际上是比较它们的值的大小，又归结为判断它们的差的符号，要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法．它有两个基本步骤：先作差，再变形判断正负号，难点是后者．这里的代数式的字母是有范围的，省略不写时就表示取值范围是实数集，它的主要变形方法有两种，一是因式分解法，二是配方法，变形时要尽量避免讨论，让依据尽量简便．3．可以介绍异向不等式，并提醒学生注意什么样的不等式可以相加相减．对于不等式的性质与推论，可以根据学生的情况适当进行推导（比如性质４的推论３可以用反证法证明），让学生知道这些定理的来龙去脉，在不等式的证明中减少想当然，对数学证明的严格化有一定的认识．版块二．均值不等式1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数），那么2a b+，当且仅当a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．2．对于任意两个实数,a b ，2a b+叫做,a b,a b 的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点： ⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2．均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．⑴对于任意正实数,a b ，作线段AB a b =+，使,AD a DB b ==； ⑵以AB 为直径作半圆O ，并过D 点作CD AB ⊥于D ， 且交半圆于点C ；⑶连结,,AC BC OC ，则2a bOC +=， ∵,AC BC CD AB ⊥⊥∴CD 当a b ≠时，在Rt COD ∆中，CODB A有2a bOC CD +=> 当且仅当a b =时，,O D两点重合，有2a bOC CD +=== 3．已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正实数），22112a b a b +⎝⎭+≥2a b +称为算术平均数，211a b+称为调和平均数．证明：()2221024a b a b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥∴222a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ ∵a b +∈R 、，2a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．221024a b +-=⎝⎭≥ ∴22a b +⎝⎭≥，当且仅当“a b =”时等号成立．∵22104-=⎝⎭≥ ∴2⎝⎭，当且仅当“a b =”时等号成立． 2211ab a ba b==++=0=211a b +，当且仅当“a b =”时等号成立．了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．板块三．解不等式1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解．2． 解不等式⑴解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；⑵分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； ⑶高次不等式主要利用“序轴标根法”解．【例1】 若0a b <<，1a b +=，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．b【考点】不等式性质的应用 【难度】1星 【题型】选择【关键字】2010年，北京丰台1模 【解析】不妨设12,33a b ==，则2259a b +=，429ab =，69b =；于是排除选项A 、B 、C ．【答案】D ；【例2】 将232，1223⎛⎫⎪⎝⎭，122按从大到小的顺序排列应该是 ．【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】填空【关键字】2010年，北京东城1模【解析】12123222213⎛⎫>>> ⎪⎝⎭【答案】12123222213⎛⎫>>> ⎪⎝⎭【例3】 若52x =，23x =,x y 满足（ ）A ．x y >B ．x y ≥C ．x y <D ．x y =典例分析【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2010年，北京宣武2模【解析】容易有x y ==22+x y <．【答案】C ；【例4】 若110a b<<，则下列不等式中， ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④2b aa b+> 正确的不等式有____ ．（写出所有正确不等式的序号）【考点】不等式性质的应用 【难度】星 【题型】填空【关键字】2010年，崇文2模 【解析】由题意有0a b >>，③不对；0a b ab +<<，故①正确；||||a a b b =-<-=，②不对；2b a a b +≥，但b a a b a b=⇒=，故等号不成立，④正确． 【答案】①，④；【例5】 已知,a b ∈R ，那么“||a b >”是“22a b >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【考点】不等式性质的应用 【难度】1星 【题型】选择【关键字】2010年，崇文2模【解析】22||||||a b a b a b >⇒>⇒>，反过来不成立． 【答案】A ；【例6】 若0b a <<，则下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b> B ．a b > C ．2b aa b +> D ．a b ab +>【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2010年，西城2模【解析】取2,1b a =-=-，容易排除选项A 、B 、D ，故选C ． 【答案】C ；【例7】 比较下列代数式的大小：⑴ 23x x +与2x -； ⑵ 61x +与42x x +；【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴ ∵2223(2)22(1)10x x x x x x +--=++=++>，∴232x x x +>-；⑵ 642(1)()x x x +-+6421x x x =--+422(1)(1)x x x =---24(1)(1)x x =--222(1)(1)(1)x x x =--+222(1)(1)x x =-+，∴ 当1x =±时，6421x x x +=+；当1x ≠±时，6421x x x +>+ ∴6421x x x ++≥【答案】⑴ 232x x x +>-；⑵6421x x x ++≥【例8】 比较下列代数式的大小：⑴ 43x x y -与34xy y -；⑵（其中0xy >，且x y >） ⑶ x y x y 与y x x y （其中0,0,x y x y >>≠）．【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴ 433433222()()()()()x x y xy y x x y y x y x y x xy y ---=---=-++2223()[()]024y x y x y =-++≥，故有4334x x y xy y --≥．⑵ x y >，0xy >>，∴330-<，∴33<，<． ⑶ 0x y >>时，1,0x x y y >->，∴()1x y xy->， 当0y x >>时，01,0x x y y <<-<，∴()1x y xy ->，∴()1x yx y->，即1x y y x x y x y >，又0y x x y >，∴x y y x x y x y >．【例9】 a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将b a 、a b 、bc a c ++与ad b d++按从小到大的顺序进行排列．【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】∵a b 、c 、d 均为正实数，且a b >，∴01b a <<，1a b >，01b c a c +<<+，1a db d +>+ ()0()a d a b a d b d b b b d +--=<++，()0()b b c c b a a a c a a c +--=<++， ∴,a d a b b c b d b a a c ++<<++，从而有b b c a d a a a c b d b ++<<<++． 【答案】b b c a d aa a cb d b++<<<++．【例10】 比较大小：log a ab、log a b 与log b a （其中21a b a >>>）【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】21a b a >>>，∴log 1a b >、0log 1b a <<、0log 1log 1b b b a a <=-<、log 1log 0a a ab b=-<， 再比较log b a 和log bba， 2log log log log 10b b b b b b a a a -=<=，故log log b b ba a <，∴log log log log a b b a a ba b b a <<<．【答案】log log log log a b b a a ba b b a<<<【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c da b -<-，则下列各式恒成立的是（ ） A ．bc ad < B ．bc ad > C ．a b c d > D ．a bc d<【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B ；【例12】 当a b c >>时，下列不等式恒成立的是（ ）A ．ab ac >B ．a c b c >C ．ab bc >D ．()0a b c b -->【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】D ；【例13】 已知三个不等式：0ab >，0bc ad ->，0c da b->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】不等式性质的应用 【难度】3星【题型】选择 【关键字】无【解析】00c d bc ad a b ab-->⇔>，所以下列三个命题都成立： ①000ab c d bc ad a b >⎧⇒->⎨->⎩ ②000ab bc ad c d a b >⎧⎪⇒->⎨->⎪⎩③000bc ad ab c d a b->⎧⎪⇒>⎨->⎪⎩．【答案】D ；【例14】 ⑴已知：11,a b a b>>，求证：0,0a b ><． ⑵若0a b >>，0c d >>，求证：d ca b<．【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴利用不等式的性质，得：00111100a b a b ab a b a b b a ab >⇒->⎫⎪⇒<-⎬>⇒-<⇒<⎪⎭00,0.ab a b a b <⎫⇒><⎬>⎭⑵∵0a b >>，∴0ab >，故10ab>， 又0a b >>，∴110a b ab b ab a =>=>，又0c d >>，∴c db a >．【例15】 设a ∈R ，则1a >是11a<的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】A ；【例16】 如果00a b <>，，那么，下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b< B C ．22a b < D ．||||a b > 【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无【解析】显然00a b <>，，但无法判断a b -，与||||a b ，的大小． 【答案】A ；【例17】 设,a b ∈R ，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，新课标广东高考【解析】利用赋值法：令1,0a b ==排除A ，B ，C ． 【答案】D ；【例18】 若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b < B ．2ab b < C ．2b aa b+> D ．||||||a b a b +>+【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】110a b <<0b a ⇒<<，从而A ，B 正确；又10b <，有01ab<<，故C 正确 ；因为a b ，同号，有a b a b +=+，故D 错误．【答案】D【例19】 若0a b <<，则下列结论中正确的命题是（ ）A ．11a b >和11||||a b >均不能成立 B ．11a b a >-和11||||a b >均不能成立 C ．不等式11a b a >-和2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均不能成立D ．不等式11||||a b >和2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均不能成立 【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】∵0b <，∴0b ->，∴a b a ->，又∵0a b -<，0a <，∴11a b a<-． 故11a b a>-不成立． ∵0a b <<，∴a b >，∴11||||a b <，故11||||a b >不成立．由此可知B 正确． 又∵0a b <<，110b a <<，∴110a b b a +<+<，∴11a b b a +>+，故2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，且11a b >成立．其它都不正确．【答案】B ；【例20】 若111a b<<，则下列结论中不正确的是（ ） A ．log log a b b a > B ．|log log |2a b b a +> C ．2(log )1b a <D ．|log ||log ||log log |a b a b b a b a +>+【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2004年，湖北高考【解析】由题意知1b a <<，于是log log 1a a b a >=，而log log 1a b b a ⋅=，故0log 1b a <<，容易得到答案．本题也可以用特殊值法．【答案】D ；【例21】 设a b ∈R ，，且()10b a b ++<，()10b a b +-<，则（ ）A ．1a >B ．1a <-C ．11a -<<D ．1a >【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，西城1模【解析】由题意知0b ≠，当0b >时，有10a b ++<，10a b +-<，故11a b <--<-；当0b <时，有10a b ++>，10a b +->，故11a b >-+>．故1a >或1a <-．【答案】D ；【例22】 判断下列各命题的真假，并说明理由．⑴若22ac bc >，则.a b > ⑵若a b >，则11.a b< ⑶若,a b c d >>，则.a c b d ->- ⑷若,a b m +>∈N ，则.m m a b > 【考点】不等式性质的应用 【难度】1星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴2220ac bc c >⇒≠⇒22210a b c ac bc ⎫>⎪⇒>⎬⎪>⎭，是真命题．⑵可用赋值法：3,2a b ==-，有11a b>，是假命题． 也可这样说明：11b aa b ab--=，∵a b >，只能确定0b a -<， 但ab 的符号无法确定，从而11a b -的符号确定不了，所以11a b <无法得到，实际上有：11,0;a b ab a b >>⇒<11,0.a b ab a b><⇒>⑶取特殊值：5,1,2, 3.a b c d ====-有a c b d -<-，此命题是假命题． ⑷此命题是假命题，定理4成立的条件为必须是正数，且1m >． 否则有反例：3,4,2a b m ==-=，则有.m m a b <是假命题．【例23】 已知102a -<<，试将下列各数按大小顺序排列：21A a =+，21B a =-，11C a=+，11D a=-． 【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】由于102a -<<，可知20a >，110a >+>，11a ->，所以A 与C 均大于1，而B 与D 均大于0且小于1．∵2322213241(1)11111a a a a a a a a A C a a a a a⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥++++⎣⎦-=+-===++++ 由于102a -<<，所以10a +>且213024a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭∴0A C -<即1A C <<∵2322215241(1)11111a a a a a a a a B D a a a a a⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥----⎣⎦-=--===---- 由于102a -<<，10a ->，11122a -<-<-，211142a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∴215024a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，故0B D ->即1B D >>．综上所述，所求的大小顺序是D B A C <<<．【答案】D B A C <<<；【例24】 实数a b cd 、、、满足条件：①,a b c d <<；②()()0a c b c -->；③()()0a d b d --<，则有（ ）A ．a c d b <<<B ．c a b d <<<C ．a c b d <<<D ．c a d b <<<【考点】不等式性质的应用 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无【解析】比较实数的大小可以结合数轴考虑：由()()0a d b d --<知：d 在a b 、的之间，有a d b <<，由()()0a c b c -->知：c 在a b 、的同侧，又c d <，故c 只能 在a b 、的左侧， 由此得出c a d b <<<，∴此题选D ．【答案】D ；【例25】 （2005·江西）已知实数a 、b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列五个关系式①0b a << ②0a b << ③0a b << ④0b a << ⑤a b = 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2005年，江西高考 【解析】答案：B ．③④不成立1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化为23a b--=，两边同时取对数lg 2lg3a b -=- 当a 、b 不为零时，lg3lg 2a b =，∵lg31lg 2>，∴1ab >．当0a b ==时，1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立．综上所述，不可能成立的关系式有③④，故选B ．也可根据指数函数图象直接得到①②⑤成立，则③④不成立．【答案】B ；【例26】 设()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =，其中0x >且1x ≠．试比较()f x 与()g x 的大小．【考点】不等式性质的应用 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】3()()log 4x f x g x x -=．①当314x =，即43x =时，3log 04x x =，∴()()f x g x =．②当01x <<时，有330144x <<<，∴3log 04x x >，∴()()f x g x >③当413x <<时，3log 04x x <，∴()()f x g x <④当43x >时，有314x >，3log 04x x >，∴()()f x g x >．．综上，当x ∈4(0,1),3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，()()f x g x >；当41,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()f x g x <；当43x =时，有()()f x g x =【例27】 若2log 3a =，3log 2b =，13log 2c =，21log 3d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．d b c a <<<C ．d c b a <<<D ．c d a b <<<【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2007年，浙江省瓯海中学新课标必修5 测试卷 【解析】由已知有d a =-，c b =-，且lg31lg 2a =>，01b <<，∴0a b >>，∴a b -<-， 即0d c <<，∴a b c d >>>【答案】C ；【例28】 若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b aa b+>中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】1100b a a b <<⇔<<，∴0a b ab +<<，||||a b <，2b a a b +>=（∵0b a <<，故等号取不到）．即①④正确，②③错误，故选B ．本题亦可用特值法，如取1a =-，2b =-验证得．【答案】B ；【例29】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数，P Q =那么（ ） A ．P Q ≥ B ．P Q ≤C ．P Q <D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】22()2b d m Q m anmnn⎛⎫=++=++++==⎪⎝⎭≥， 故0Q P >≥．【答案】B ；【例30】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b aa b<【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2007年，上海【解析】方法1：特值验证．取2a =-，1b =-，可排除A 、B ；再取1a =，2b =，可排除D ，故选C ．方法2：∵2222110a b ab a b a b --=< ∴2211ab a b<，故选C ．【答案】C ；【例31】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥C ．1||2a b a b-+-≥ D 【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2006年，江苏高考【解析】运用排除法，C 选项12a b a b-+-≥，当0a b -<时不成立， 运用公式一定要注意公式成立的条件．【答案】C ；【例32】 “0a b >，且a b ≠”是“222a b ab +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】A ；【例33】 0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）A ．12ab ≤B ．12ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，浙江高考 【解析】略 【答案】C ；【例34】 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，全国高考【解析】法一：∵1OM =，故原点到直线1x ya b+=的距离不大于11，从而22111a b+≥． 法二：由题意知cos sin 1a bαα+=，即cos sin )b a ab αααϕ+==+，1，得到222222111a b a b a b +=+≥． 法三： 2222cos sin 11111cos sin 22a b a b αααα⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤⇒22111a b +≥．【答案】D ；【例35】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【考点】不等式性质的应用 【难度】1星 【题型】选择 【关键字】无【解析】由已知有102b a >>>，且222a b ab +>，排除C ，D 作差比较A ，B ．由22212()4114222a b ab ab a b +---+-==又22a b ab +⎛⎫< ⎪⎝⎭，即14ab <，∴140ab ->，∴2212a b +>【答案】B ；【例36】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】法一：设a d b c +=+k =，则222()()a d b c k +=+=则2222a d k ad +=-，2222b c k bc +=-， 由a d b c -<-可得：22()()a d b c -<-即2242k ad k bc -<-，解得：ad bc > 法二：224()()ad a d a d =+-- 224()()bc b c b c =+--由22()()a d b c +=+，且a d b c -<- 则44ad bc >，因此选择答案C【答案】C ；【例37】 已知a b c >>2a c-的大小关系是 ． 【考点】不等式性质的应用 【难度】1星 【题型】填空 【关键字】无【解析】∵0a b ->，0b c ->，22a b b c a c-+--=2a c-【例38】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ）A ．0T >B ．0T =C ．0T <D ．以上都可能【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】yz xz xyT xyz++=20()x y z =++222222x y z xy yz xy =+++++，∵0xyz >，∴x 、y 、z 全不为0∴2220x y z ++>∴2220xy yz xz ++<，∴0xy yz xz ++<，∴0T <．【答案】C ；【例39】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是（ ）A ．12a b +> B ．12b a +>C ．1lg 2a b b +>D ．1lg 2b a a +<【考点】不等式性质的应用【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】12a +>()01xy b b =<<为减函数，∴12a b +<A 错，12b +()1xy a a =>为增函数，∴12b a +>B 对，∵01b <<，lg 0b <，又12a +>∴1lg 2a b b +<，∴C 错，1a >，lg 0a >，又12b +>1lg 2b a a +，∴D 错．【答案】B ；【例40】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12【考点】不等式性质的应用 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，江西高考【解析】作差比较选项A 与选项B ，有21122121211()()(1)0a b a b a a b b a b +-+=+->，∴11221212a b a b a a b b +>+， 比较选项A 与选项C ，有1122122111()()(21)(21)a b ab a b ab b a +-+=--，由2112a a >>，2112b b >>， 有11221221a b a b a b a b +>+， 因此比较选项A 与选项D ，有111122(21)(21)1022b a a b a b --+-=>，∴112212a b a b +>故选答案A另，本题可采用特殊值法比较，也可根据排序不等式的结论比较大小【答案】A ；。

利用不等式的性质比较大小不等式是中学数学的重要内容，它渗透到了中学数学课本的各个章节，是解决其它数学问题的一种有利工具，是高考命题的重点和热点.而不等式的基本性质又是不等式这一章的基础，是解不等式与证明不等式及应用的理论根据，运用不等式的性质要切实注意不等式的性质的前提条件，防止条件的强化或弱化.下面就利用不等式的性质比较数(式)大小的方法与技巧举例说明.一、比较已知两式的大小例1判断a 2＋b 2与ab ＋a ＋b －1的大小.解析一：(将差化成几个平方和)(a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a －b)2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0， ∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.解析二：(将差看作a 的二次三项式，再配成平方和)(a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)＝a 2－(b ＋1)a ＋b 2－b ＋1＝(a －b ＋12)2＋34b 2－32b ＋34＝(a －b ＋12)2＋34(b －1)2≥0， ∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.解析三：(将差看作a 的二次三项式，利用根的判别式证)对于a 的二次三项式a 2－(b ＋1)a ＋b 2－b ＋1，△＝(b ＋1)2－4(b 2－b ＋1)＝－3(b －1)2≤0，又∵二次项系数为1，故此二次三项式恒大于(或等于)零，即a 2－(b ＋1)a ＋b 2－b ＋1≥0，∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.评注：比较a 与b 的大小，常常归结为判断它们的差a －b 的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要).比较a 与b 大小的步骤是①作差；②变形(分解因式、配方、通分或分子分母有理化等，如前两种解法变形用的配方，第三种解法变形用的二次函数的判别式)；③判断符号.二、已知条件等式比较两数的大小例2设实数x 、y 、z 满足y ＋z ＝6－4x ＋3x 2，z －y ＝4－4x ＋x 2，试确定x 、y 、z 的大小关系.解析一：∵z －y ＝4－4x ＋x 2＝(x －2)2≥0，∴z ≥y ，又由⎩⎨⎧ y ＋z ＝6－4x ＋3x 2z －y ＝4－4x ＋x 2，得⎩⎨⎧ y ＝1＋x 2z ＝5－4x ＋2x2， ∴y －x ＝1＋x 2－x ＝(x －12)2＋34＞0，∴y ＞x ，故z ≥y ＞x. 解析二：∵z －y ＝4－4x ＋x 2＝(x －2)2≥0，∴z ≥y ，又∵y －x ＝12[(y ＋z)－(z －y)]－x ＝12[(6－4x ＋3x 2)－(4－4x ＋x 2)]－x＝1＋x 2－x ＝(x －12)2＋34＞0， ∴y ＞x ，综上可知z ≥y ＞x.评注：此类题型的难度相对较大，其基本的思路是：灵活变换已知的等式，用等式中所涉及的一个字母表示另外的字母，可使作差后式子中只含有一个字母，或者对已知的条件等式进行转化，使之出现要比较的两数(式)的差.三、已知条件不等式比较两数的大小例3已知a ，b ，c ∈R 且a ＋b ＋c ≥0，试比较a 3＋b 3＋c 3与3abc 的大小.解析：∵a 3＋b 3＋c 3－3abc ＝(a ＋b)3－3ab(a ＋b)＋c 3－3abc ＝(a ＋b)3＋c 3－3ab(a ＋b ＋c)＝(a ＋b ＋c)[(a ＋b)2－(a ＋b)·c ＋c 2]－3ab(a ＋b ＋c)＝(a ＋b ＋c)(a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca)＝12(a ＋b ＋c)[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]≥0， 在a ＋b ＋c ＝0或a ＝b ＝c 时才能取“＝”，∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc.评注：解答已知条件不等式比较两数的大小问题时对条件不等式的利用主要有两个方向：一是对作差后的式子通过分解因式或配方等手段变形后的式子中含有条件不等式的部分因式(如本题解法)；二是首先对条件不等式进行变形化简，导出相关的结论，再应用于作差变形后的式子中.。

高中数学基本不等式知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：abba②传递性:ab,bcac③可加性:aba+cb+c④可积性:ab,c0acbc⑤加法法则:ab,cda+cb+d⑥乘法法则：ab0,cd0acbd⑦乘方法则：ab0,anbn(nN)⑧开方法则：ab02.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、bR,那么a2+b22ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、bR+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论(1)如果积某y是定值P，那么当某=y时，和某+y有最小值2;(2)如果和某+y是定值S，那么当某=y时，和某y有最大值S2/4。

3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。

当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。

综合法的放缩经常用到均值不等式。

4.不等式的解法(1)不等式的有关概念同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。

同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。

提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项(2)不等式a某b的解法①当a0时不等式的解集是{某|某b/a}; ②当a0时不等式的解集是{某|某(3)一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系(4)绝对值不等式|某|0)的解集是{某|-aa(a0)的解集是{某|某-a或某a｝，几何表示为：oo-a0a小结：解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想，分类讨论)转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：(1)定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;(2)公式法：|f(某)|af(某)a或f(某)-a;|f(某)|a-a(3)平方法：|f(某)|a(a0)f2(某)a2;|f(某)|a(a0)f2(某)a2;(4)几何意义(5)分式不等式的解法(6)一元高次不等式的解法数轴标根法把不等式化为f(某)0(或0)的形式(首项系数化为正)，然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。

不等式一：不等式关系与性质(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变． 如果a b >，那么c b c a ±>±.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果,0a b c >>，那么bc ac >（或cb c a >）. （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果b a >,0<c ,那么bc ac <（或cb c a <） 由上面三条可以衍生出如下的性质：（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d >><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）注意：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或n n a b >；4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。

2.1等式性质与高一数学复习知识不等关系性质与不等式性质(第1课时)习知识讲解课件等关系与比较大小1．网上发布了“明天气温是今天气温的(1)一位南方的网友做出的第一反应是(2)一位北方的网友做出的第一反应是(3)另一位北方的网友做出的第一反应是请从数学上解释为什么不同地方的网友会答：设今天的气温为x ℃，则明天的较，有2x －x ＝x ，则x >0，升温，x ＝0，不变，x <0，降温，所以不同气温的2倍”的信息，各地有不同的反应： 应是“明天升温了”； 应是“明天降温了”；反应是“明天的气温没有变化”． 网友会有不同的反应．明天的气温为2x ℃，将两天的气温进行比以不同地方的网友会有不同的反应．2．用作差法比较两个实数的大小时答：一般地，对差式分解因式或配方小时，对差式应如何变形？配方．题型一题型一 用不等式例1 某同学拿50元钱买纪念邮票，张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面表示为( )A.x ≥2，x ∈N ，y ≥2，x ∈N ，0.8×5x ＋2×4y ≤50 C ．0.8×5x ＋2×4y ≤50A 等式(组)表示不等关系 ，票面8角的每套5张，票面2元的每套4买票面8角的x 套与票面2元的y 套用不等式B.x ≥2，y ≥2，0.8×5x ＋2×4y ≤50 D ．以上都不对思考题1 如图，在一个面积为是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示A ．a >4bC. a >4b ，（a ＋4）（b ＋4）＝200200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周则表示上面叙述的不等关系正确的是( )CB ．(a ＋4)(b ＋4)＝200D. a >4b ，4ab ＝200题型二题型二 例2 (1)比较x 2＋3与3x 的大小，其中(2)已知x >3，比较x 3＋3与3x 2＋x 的大小(3)已知x ，y ∈R ，求证：x 2＋2y 2≥比较大小其中x ∈R . 的大小． 2xy ＋2y －1.探究2 (1)作差法比较a 与b 的大小，是指差的符号，至于差的值究竟是多少，(2)确定差的符号往往有两种方法(①将差式化成几个非负数或非正数的和②将差式化成几个因式乘积的形式(3)作差法比较大小的步骤： 作差→变形→定号→下结论．，归结为判断它们的差a －b 的符号(注意，在这里无关紧要)．类型)：数的和的形式(如(1)题)． (如(2)题)．思考题2(1)关于x的不等式ax－式(bx＋a)(x－3)>0的解集是()A．{x|x<－1或x>3}CC．{x|1<x<3}(2)已知a>b，求证：a3－b3>ab(a－b>0的解集是{x|x>－1}，则关于x的不等B．{x|－1<x<3}D．{x|x<1或x>3}b)．题型三题型三 重要不例3 已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 2 【证明证明】】 ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2∴(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(c －a )2∴(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，即2(a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca )≥0.∴a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )≥0.∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． 重要不等式的应用＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，≥0.探究3 (1)重要不等式：∀a ，b ∈号．(2)仔细观察，如果不等式具有重要不等来证明，注意等号成立的条件．R ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等要不等式的结构，就可以采用重要不等式题型四题型四 例4 某单位组织职工去某地参观学习买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型数，比较两车队的收费哪家更优惠．应用问题观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队．”乙车队说：“你们属团体票，按原价车型都是一样的，试根据此单位去的人探究4 (1)“最优方案”问题，首先要后把这个未知量用其他的已知量表示出来(2)这是一道与不等式有关的实际应用问整．首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然出来，通过比较即可得出结论．应用问题，解答时要有设有答，步骤完课 后 巩 固1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件A ．a ＝±1C ．a ＝－1解析解析 当a ＝1时等号成立．的条件是( )B ．a ＝1 B D ．a ＝03．(1)若x 为实数，则x 2－1与2x －5的大(2)若a ，b ∈R ，则a 2＋b2与2|ab |的大小 解析解析 (1)(x 2－1)－(2x －5)＝x 2－1∴2－－x 1>2x 5.(2)方法一：a 2＋b 2－2|ab |＝|a |2＋|b |2∴a 2＋b 2≥2|ab |.方法二：由a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |知a 2＋b 2≥2|ab |. 的大小关系是________________． 的大小关系是________________． x x 2－1>2x －5a 2＋b 2≥2|ab |－2x ＋5＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3≥3>0，－2|a |·|b |＝(|a |－|b |)2≥0，·|b |＝2|ab |，自 助 餐探究探究 比较含参数的两个数(式)大小的这种思想贯穿于数学的始终，应在平时的教 大小的问题，往往要用到分类讨论的思想，时的教学中有意识地加以培养．。

考点04 基本不等式1、直接法求最值注意点①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型.积，和和平方和三者之间的不等式关系：，②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式≤2a ＋b，求最值时要求"一正、二定、三相等".③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． 2、配凑法将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．(3)形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。

即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

3、常数代换法（1）若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.模型1 已知正数满足，求的最小值。

模型2 已知正数满足求的最小值。

（2）常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：①根据已知条件或其变形确定定值(常数)；②把确定的定值(常数)变形为1；③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；④利用基本不等式求解最值．（3）有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类问题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系.4、消元法消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围5、换元法当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.6、求参数的值或取值范围的方法观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．7、求不等式恒成立问题常用分离参数法的方法若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.8、利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．考点一利用基本不等式比较大小1．【多选】（2022·江苏南通·高一期末）下列不等式正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【解析】对于A选项，当时，，则，当且仅当时，等号成立，A选项正确；对于B选项，，则，，当且仅当时，即，显然不成立，等号不成立，所以，，B选项正确；对于C选项，取，可得，C选项错误；对于D选项，，，当且仅当时，等号成立，D选项正确.故选：ABD.2．（2022·广东深圳·高一期末）下列不等式恒成立的是（）A． B．C．D．【解析】对于A：若、时，故A错误；对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误；对于C：若、时，，故C错误；对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确；故选：D3．【多选】（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一期末）设，，给出下列不等式恒成立的是（）A． B．C．D．【解析】由可得，故A正确；由可得，故B错误；由，当且仅当时取等号，故C正确；由，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选：ACD.4．【多选】（2022·河北唐山·高一期末）已知两个不为零的实数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【解析】当时，得，A错；当时，，B错；，，当且仅当时，等号成立．C正确；是实数，则，，所以，当且仅当时等号成立，D正确．故选：CD．。