【例1】 若0a b <<，1a b +=，则在下列四个选项中，较大的是（ ）
A ．1
2
B ．22a b +
C ．2ab
D ．b
【例2】 将23
2，12
23??
???
，1
22按从大到小的顺序排列应该是 ．
【例3】 若52x =-，23x =-，则,x y 满足（ ）
A ．x y >
B ．x y ≥
C ．x y <
D ．x y =
【例4】 若
11
0a b
<<，则下列不等式中， ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④
2b a
a b
+> 正确的不等式有____ ．（写出所有正确不等式的序号）
典例分析
比较大小
【例5】已知,a b∈R，那么“||
a b
>”是“22
a b
>”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【例6】若0
b a
<<，则下列不等式中正确的是（）
A．11
a b
>B．a b
>C．2
b a
a b
+>D．a b ab
+>
【例7】比较下列代数式的大小：
⑴23
x x
+与2
x-；
⑵61
x+与42
x x
+；
【例8】比较下列代数式的大小：
⑴43
x x y
-与34
xy y
-；
⑵（其中0
xy>，且x y
>）
⑶x y
x y与y x
x y（其中0,0,
x y x y
>>≠）．
【例9】 a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将
b a 、a b 、b
c a c ++与a
d b d
++按从小到大的顺序进行排列．
【例10】 比较大小：log a a
b
、log a b 与log b a （其中21a b a >>>）
【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c d
a b -
<-，
则下列各式恒成立的是（ ） A ．bc ad <
B ．bc ad >
C ．a b c d >
D ．a b c d
<
【例12】 当a b c >>时，下列不等式恒成立的是（ ）
A ．ab ac >
B ．a c b c >
C ．ab bc >
D ．()0a b c b -->
【例13】 已知三个不等式：0ab >，0bc ad ->，
0c d
a b
->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【例14】 ⑴已知：11
,
a b a b
>>，求证：0,0a b ><． ⑵若0a b >>，0c d >>，求证：d c
a b
<．
【例15】 设a ∈R ，则1a >是
1
1a
<的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【例16】 如果00a b <>，，那么，下列不等式中正确的是（ ）
A ．
11
a b
< B a b - C ．22a b < D ．||||a b >
【例17】 设,a b ∈R ，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．0b a ->
B ．330a b +<
C ．220a b -<
D ．0b a +>
【例18】 若
11
0a b
<<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b < B ．2ab b < C ．2b a
a b
+> D ．||||||a b a b +>+
【例19】 若0a b <<，则下列结论中正确的命题是（ ）
A ．11
a b
>和11||||a b >
均不能成立 B ．
11
a b a >-和
11||||
a b >均不能成立 C ．不等式11a b a >-和2
2
11a b b a ?
???+>+ ? ?????均不能成立
D ．不等式11||||a b >
和2
2
11a b b a ?
???+>+ ? ??
???均不能成立
【例20】 若11
1a b
<
<，则下列结论中不正确的是（ ） A ．log log a b b a > B ．|log log |2a b b a +> C ．2(log )1b a <
D ．|log ||log ||log log |a b a b b a b a +>+
【例21】 设a b ∈R ，，且()10b a b ++<，()10b a b +-<，则（ ）
A ．1a >
B ．1a <-
C ．11a -<<
D ．1a >
【例22】 判断下列各命题的真假，并说明理由．
⑴若22ac bc >，则.a b > ⑵若a b >，则
11
.a b
< ⑶若,a b c d >>，则.a c b d ->- ⑷若,a b m +>∈N ，则.m m a b >
【例23】 已知102a -<<，试将下列各数按大小顺序排列：21A a =+，21B a =-，1
1C a
=
+，1
1D a
=
-．
【例24】 实数a b c d 、、、满足条件：①,a b c d <<；②
()()0a c b c -->；
③()()0a d b d --<，则有（ ）
A ．a c d b <<<
B ．c a b d <<<
C ．a c b d <<<
D ．c a d b <<<
【例25】 已知实数a 、b 满足等式1123a
b
????
= ? ?????
，下列五个关系式
①0b a << ②0a b << ③0a b << ④0b a << ⑤a b = 其中不可能成立的关系式有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【例26】 设()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =，其中0x >且1x ≠．试比较()f x 与()g x 的大
小．
【例27】 若2log 3a =，3log 2b =，13
log 2c =，21
log 3d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）
A ．a b c d <<<
B ．d b c a <<<
C ．d c b a <<<
D ．c d a b <<<
【例28】 若
110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b a
a b
+>中，正确的不等式有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【例29】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数，P Q 那么（ ） A ．P Q ≥ B ．P Q ≤
C ．P Q <
D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关
【例30】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）
A ．22a b <
B ．22ab a b <
C ．2211ab a b <
D ．b a
a b
<
【例31】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．
的是（ ） A ．||||||a b a c b c --+-≤ B ．2211
a a a a
++
≥
C ．1
||2a b a b
-+
-≥ D
【例32】 “0a b >，且a b ≠”是“22
2
a b ab +<
”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【例33】 0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）
A ．12ab ≤
B ．1
2ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤
【例34】 若直线
1x y
a b
+=通过点(cos sin )M αα，
，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥
C ．22111a b +≤
D ．2211
1a b
+≥
【例35】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）
A ．1
2
B ．22a b +
C ．2ab
D ．a
【例36】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）
A ．ad bc =
B ．ad bc <
C ．ad bc >
D ．ad 与bc 大小不定
【例37】 已知a b c >>2
a c
-的大小关系是 ．
【例38】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111
T x y z
=
++，则（ ）
A ．0T >
B ．0T =
C ．0T <
D ．以上都可能
【例39】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是（ ）
A ．12
a b +> B ．12
b a +>
C ．1lg 2a b b +>
D ．1lg 2b a a +<
【例40】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是
（ ）
A ．1122a b a b +
B ．1212a a b b +
C ．1221a b a b +
D ．
1
2
高考数学中比较大小的策略 云南省会泽县茚旺高级中学 杨顺武 在每年的高考数学卷中,“比较大小”是一类热点问题.考生们经 常找不到解答问题的方法，乱猜导致丢分.为帮助考生避免无谓失分，本文对这类问题的解题策略进行深入探讨，以提高考生的成绩： 策略一：直接法 就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论。运用此种方法解 题需要扎实的数学基础。 例1.若2 2 221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===???则123S S S 的大小关系为（ ） A ．123S S S << B ．213S S S << C ．231S S S << D ．321S S S << 解：本题考查微积分基本定理2 2321111733 S x dx x ===? 2 22111ln ln 21S dx x x ===?。 所以213S S S <<，选B. 策略二：估算法 就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小， 从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法。 例2.已知ln x π=，5log 2y =，1 2z e -=，则 A.x y z << B.z x y << C.z y x << D.y z x << 解：1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，e e z 121 ==-，1121< (完整word版)七年级下册不等式及其基本性质讲义 亲爱的读者： 本文内容由我和我的同事精心收集整理后编辑发布到文库，发布之前我们对文中内容进行详细的校对，但难免会有错误的地方，如果有错误的地方请您评论区留言，我们予以纠正，如果本文档对您有帮助，请您下载收藏以便随时调用。下面是本文详细内容。 最后最您生活愉快 ~O(∩_∩)O ~ 环球雅思教育学科教师讲义 年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课□复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念： 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥ 2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。 而2，+4，4.5不是不等式2x+1＜5的解。 例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。 （1）由2a＞5，得a＞（2）由a-7＞，得a＞7 （3）由- a＞0，得a＜0 （4）由3a＞2a-1,得a＞-1。 例5.设a＞b；用"＞"或"＜"号填空： （1）（2） a-5 b-5 （3）- a - b （4）6a 6b （5）-（6）-a -b 参考答案：（1）＞（2）＞（3）＜（4）＞（5）＜（6）＜ 例5.试比较下列两个代数式值的大小： （1）5a+2与4a+2 （2）x3+3x2-7与x3+2x2-7 提示：我们知道，若a-b＞0,则a＞b；若a-b=0,则a=b；若a-b＜0,则a＜b,所以要比较a与b的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零。 参考答案：（1）(5a+2)-(4a+2)=5a+2-4a-2=a ∵a可取正数，负数或零，∴5a+2和4a+2间的大小关系有三种可能： ①当a＞0时，5a+2＞4a+2 ②当a=0时，5a+2=4a+2 ③当a＜0时，5a+2＜4a+2。 （2）（x3+3x2-7）-(x3+2x2-7)=x3+3x2-2x2+7=x2∵x2≥0(对任意x) ∴x3+3x2-7≥x3+2x2-7 不等式的性质和证明 一、基础知识 1．性质 对称性a＞b?b＜a 传递性a＞b，b＞c T a＞c 加法单调性a＞b T a+c＞b+c 乘法单调性a＞b，c＞0 T ac＞bc；a＞b，c＜0 T ac＜bc开方法则a＞b＞0 T移项法则a+b ＞c T a＞c－b 同向不等式相加a＞b，c＞d T a+c＞b+d 同向不等式相乘a＞b＞0，c ＞d＞0 T ac＞bd 乘方法则a＞b＞0 T a n＞b n倒数法则a＞b，ab＞0 T 2．证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法 证明技巧：逆代，判别式，放缩，拆项，单调性 3．主要公式及解题思路 公式：a2+b2≥2ab（a，b∈R） a3+b3+c3≥3abc（a，b，c∈R+） 思路：① ② ③ ④正数x，y且x+y=1，求证：≥ 二、例题解析 1．（1）a，b∈R+且a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．B． C．D． （2）若0＜x＜1，0＜y＜1且x≠y，则x2+y2，x+y，2xy，中最大的一个是（） A．x2+y2B．x+y C．2xy D． （3）若a，b为非零实数，则在①a2+b2≥2ab ②≤ ③≥ ④≥2中恒成立的个数为（） A．4B．3C．2D．1 （4）下列函数中，y的最小值是4的是（） A．B．C．y= D．y=lgx+4log x10 （5）若a2+b2+c2=1，则下列不等式成立的是（） A. a2+b2+c2＞1 B.ab+bc+ca≥ C.|abc|≤ D a3+b3+c3≥ 2．（1）已知x，y∈R+且2x+y=1，则的最小值为 （2）已知x，y∈R 且x2+y2=1，则3x+4y的最大值为 （3）在等比数列{a n}和等差数列{b n}中，a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，试比较大小：a5b5 （4）已知a＞0，b＞0，a + b=1，则的最小值为 （5）已知：x+2y=1，则的最小值为 （6）已知：x＞0，y＞0且x+2y=4，则lg x + lg y的最大值为 （7）若x＞0，则，若x＜0，则 （8）建造一个容积为8 m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁造价分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元。 （9）某工厂生产机器的产量，第二年比第一年增长的百分率为a，第三年比第二年增长的百分率为b，第四年比第三年增长的百分率为c，设年平均增长的百分率为P，且a+b+c 为定值，则P的最大值为 3．求证：a2+b2≥ab+a+b－1 4．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：≥ 5．已知：a，b，c∈R+且a+b+c=1，求证： 高中数学比较大小综合测试题比较大小同步练习 1、设，则下列各不等式一定成立的是（） A、B、 C、D、 2．若，则下列不等式成立的是（） A．B． C．D． 3、下列命题：①；②；③；④（），其中真命题是（） A、①②③ B、①③④ C、②③④ D、①③ 4．给出下列四个命题： （1）若，则． （2）若，则． （3）若，则． （4）若，则． 问：哪两个命题是正确的？对不正确的命题，添加什么条件后变成正确命题． 5、（1）若，试比较与的大小； （2）设，且，试比较与的大小。 6．已知，，求证：． 7．已知，，求证：． 8．如果，，，求证：． 9．已知三个不等式：（1），（2），（3）．以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，写出两个能成立的不等式命题． 10．已知，，证明：． 11、已知，设，比较M、N、P的大小。 12．求证：． 13．设，求下列式子的取值范围：（1）；（2）； （3）；（4）． 14．设，分别求出（1）；（2）；（3）的取值范围．15．已知，求的取值范围． 教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后， 【例1】 若0a b <<，1a b +=，则在下列四个选项中，较大的是（ ） A ．1 2 B ．22a b + C ．2ab D ．b 【例2】 将23 2，12 23?? ??? ，1 22按从大到小的顺序排列应该是 ． 【例3】 若2x = ，2x =,x y 满足（ ） A ．x y > B ．x y ≥ C ．x y < D ．x y = 【例4】 若 11 0a b <<，则下列不等式中， ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④ 2b a a b +> 正确的不等式有____ ．（写出所有正确不等式的序号） 典例分析 比较大小 【例5】 已知,a b ∈R ，那么“||a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 【例6】 若0b a <<，则下列不等式中正确的是（ ） A ．11a b > B ．a b > C ．2b a a b +> D ．a b ab +> 【例7】 比较下列代数式的大小： ⑴ 23x x +与2x -； ⑵ 61x +与42x x +； 【例8】 比较下列代数式的大小： ⑴ 43x x y -与34xy y -； ⑵0xy >，且x y >） ⑶ x y x y 与y x x y （其中0,0,x y x y >>≠）． 【例9】 a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将 b a 、a b 、b c a c ++与a d b d ++按从小到大的顺序进行排列． 【例10】 比较大小：log a a b 、log a b 与log b a （其中21a b a >>>） 【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c d a b - <-， 则下列各式恒成立的是（ ） A ．bc ad < B ．bc ad > C ．a b c d > D ．a b c d < 【例12】 当a b c >>时，下列不等式恒成立的是（ ） A ．ab ac > B ．a c b c > C ．ab bc > D ．()0a b c b --> 【例13】 已知三个不等式：0ab >，0bc ad ->， 0c d a b ->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课□复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念： 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。 注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。 提示：注意一个数的"和"，"差"，"倍"，"分"的表示法以及"大于"，"不小于"，"不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0，负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数"可表示为"＜0"，"非负数"可表示为"≥0"。 参考答案： （1）a ＞0 (2)y-2≥0 (3)a+6＞7 (4) ≥3 (5)8+3x ≤1 注意：列不等式时应注意两点： ①"是正数"表示为＞0"，"是负数"表示为＜0"；"非正数"表示为"≥0"。 ②"不大于"用"≤"表示，"不小于"用"≥"表示。 2．不等式的基本性质 （1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，那a+c>b+c （或a –c>b –c ） （2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ， c b c a >。 （3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么ac 要点重温之不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?a n >b n ； 当a<0,b<0时，a>b ?a 2b 2?|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由 x 1<2推得的应该是：x>21或x<0，而由x 1>2推得的应该是： 0 不等式的基本性质知识点 1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b ⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。 ⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，禾U用不等式的性质，判断不等式能否成立。 ⑵利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 ⑶利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 第五篇 不等式 专题30 十拿九稳----比较大小 【热点聚焦与扩展】 高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧. （一）常用技巧和方法 1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞ （1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等 2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了 3、比较大小的两个理念： （1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1 113 4 2 3,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同 ()()() 111111436342 12 12 12 33 ,44 ,55 ===，从而只需比较底数的大小即可 （2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式： （1）n m m n a a ??= ??? 2.1等式性质与不等式性质 (一) 1.数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数 大. 2.实数的运算性质与大小顺序之间的关系(教材中方框内的三个等价关系). 3.差值比较法比较两个实数的大小. (二) 1.掌握差值比较法. 2.会用差值比较法比较两个实数的大小. (三) 1.培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 2.培养学生数形结合的数学思想和灵活应变的解题能力. 3.培养学生分类讨论的数学思想和思考问题严谨周密的习惯. ●教学重点 理解在两个实数a、b之间具有以下性质：a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a －b＜0.这是不等式这一章内容的理论基础，是不等式性质证明、证明不等式和解不等式的主要依据. ●教学难点 比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号(注意是指差的符号，至于值是多少，在这里无关紧要).差值比较法是比较实数大小的 基本方法，通常的步骤是：作差→变形→判断差值的符号. ●教学方法 ●教具准备 投影片两张. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 在客观世界中，不等关系具有普遍性、绝对性，是表述和研究数量取值范围的重要工具.研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式.实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系. Ⅱ. (一)打出投影片§6.1.1 A ［师］数轴的三要素是什么? ［生］原点、正方向、单位长度. ［师］把下列各数在数轴上表示出来，并从小到大排列： 213-,5-,0,-4,2 3 ［生］ ∴213-＜-4＜0＜2 3＜｜－５｜. ［师生共析］在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. (二)请同学们预习课本，(教师打出投影片§6.1.1 A ，§６.1.1 B)，在解决了投影片 §６.1.1 A 问题基础上解决下列问题： ［师］若a ＞b ，则a －b 0；若a ＝b ，则a －b 0；若a ＜b ，则a －b 0. ［生］若a ＞b ，则a －b ＞0；若a ＝b ，则a －b ＝0；若a ＜b ，则a －b ＜0，反之亦然. ［师］“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价吗? ［生］显然，“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价. ［师生共析］ 此等价关系提供了比较实数大小的方法：即要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了. (三) ［例1］比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小. ［师］比较两个实数a 与b 的大小，可归纳为判断它们的差a －b 的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要).由此，把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题. 本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4） ＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８） ＝－７＜0 ∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4） ［例2］已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小. ［师］同例1方法类似，学生在理解基础上作答. 本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1） ＝（x 4＋2x 2＋1）－（x 4＋x 2＋1） ＝x 4＋2x 2＋1－x 4－x 2－1 ＝x 2 高中数学知识要点重温（11）不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?an>bn ； 当a<0,b<0时，a>b ?a2 第七章 不等式 知识网络 . 第1讲 不等关系与不等式 ★ 知 识 梳理 ★ 1.比较原理： 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a （3）可加性:a b >?. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>?>- 推论：同向不等式可加. ,a b c d >>? a c b d +>+ （4）可乘性:bc ac c b a >?>>0,，,0a b c >>>>?ac bd > 推论2：可乘方(正):0a b >>? n n a b >` (,2)n N n * ∈≥ (5) 可开方(正):0a b >>? >(,2)n N n *∈≥ 第4讲 基本不等式 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式: ,a b R ∈,则222a b ab +≥; 0,0a b >>, 则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值: 当ab 为定值时,22 ,a b a b ++有最小值; 当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展：若0,0a b >>时 ,2 112a b a b +≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 例1 . 已知0,0x y >>且满足 281x y +=,求x y +的最小值. 【解题思路】利用281x y +=，构造均值不等式 解析：∵2828()1()()28y x x y x y x y x y x y +=+?=+?+=+++,0,0x y >>,∴280,0y x x y >> 1018x y +≥+=,当且仅当28y x x y =时等号成立,即224y x =,∴2y x =,又281x y +=, ∴6,12x y == ∴当6,12x y ==时,x y +有最小值18. 【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正 第41炼 指对数比较大小 在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧 一、一些技巧和方法 1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞ （1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等 2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了 3、比较大小的两个理念： （1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1113 4 2 3,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同 ()()() 111111436342 12 12 12 33 ,44 ,55 ===，从而只需比较底数的大小即可 （2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知 2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式： （1）n m m n a a ??= ??? （2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N -= （3）()log log 0,1,0n a a N n N a a N =>≠> （4）换底公式：log log log c a c b b a = 进而有两个推论：1log log a b b a = （令c b =） log log m n a a n N N m = 不等式的性质及解法 知识要点： 不等式与等式有许多不同，主要包括： 1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号， 即a b ac bc c ac bc c ac bc c >?>>>=<?->?< 这个性质等式中也存在，即a b b a =?=， 对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：a b ab a b R +≥∈2(,) 这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许多变式。 （2） 传递性 a b b c a c >>?>, 这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。 （3） 移项法则 a b a c b c >?+>+ 如：x x +>?>-321,相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。 3、运算性质： （1）加法运算：a b c d a c b d >>?+>+, （2）减法运算：统一成加法运算 a b c d a b d c a d b c >>?>->-?->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>?>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算 a b c d a b d c a d b c >>>>?>>>>?>>0001100,, （由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c >>?>>011 0） （5）乘方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) （6）开方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) 1.了解不等式的意义，理解不等式解集的含义，会在数轴上表示解集； 2.理解不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式. 重点：不等式的定义、列不等式和不等式的性质； 难点：不等式的解、解集的表示方法以及不等式性质的运用. 第12讲不等式定义及其性质 不等式的定义 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式. 例如：2 ≤≥等都是不等式．-<-+>-+++>≠ 52,314,10,10,0,35 a x a x a a 2.常见的不等号有5种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 注意：不等式32 ≥成立． =成立，所以不等式33≥成立；而不等式33 ≥也成立，因为33 3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”. 例1.下列式子＜y+5； 1＞2； 3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2中，不等式有（）个． A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【解析】＜y+5；1＞2；3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2都是不等式. 练习1.下列数学表达式中，①﹣8＜0；②4a+3b＞0；③a=3；④a+2＞b+3，不等式有（） A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】①②④都是表示不等关系，③表示相等关系. 练习2.在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】﹣3＜0，x≥2，x≠3，x+1＞y都是表示不等关系的式子. 利用不等式的定义，表示不等关系的式子叫不等式. 列不等式 1.根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系. 2.步骤：①正确列出代数式；②正确使用不等号 课 题：2.1-不等式的基本性质(2课时) 教学目标： 1. 掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。 2. 掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。 3. 提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。 教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。 教学难点：不等式的性质的运用 教学过程： 第1课时： 问题情境：现有A 、B 、C 、D 四个长方体容器，A 、B 容器的底面积为a 2，高分别为a 、b ， C 、 D 容器的底面积为b 2，高分别为a 、b ，其中a ≠b 。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？ 分析：依题意可知：A 、B 、C 、D 四个容器的容积分别为a 3、a 2b 、ab 2、b 3，甲有6种取 法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。 研究比较大小的依据： 我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。 在右图中，点A 表示实数a ，点B 表示实数b ， 点A 在点B 右边，那么a ＞b 。 而a －b 表示a 减去b 所得的差，由于a ＞b ，则差是一个正数，即a －b ＞0。 命题：“若a ＞b ，则a －b ＞0”成立；逆命题“若a －b ＞0，则a ＞b ”也正确。 类似地：若a ＜b ，则a －b ＜0；若a ＝b ，则a －b ＝0。逆命题也都正确。 结论：(1)“a ＞b ”?“a －b ＞0” (2)“a ＝b ”?“a －b ＝0” (3)“a ＜b ”?“a －b ＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。 正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数； (4) 负数乘负数是正数。 研究不等式的性质： 性质1：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c (不等式的传递性) 证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0 ∵b ＞c ∴b －c ＞0 ∴(a －b)＋(b －c)＝a －c ＞0 (正负数运算性质) 则a ＞c 反思：证明要求步步有据。 x 微专题41 指对数比较大小 在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧 一、一些技巧和方法 1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞ （1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等 2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了 3、比较大小的两个理念： （1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1113 4 2 3,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同 ()()() 111111436342 12 12 12 33 ,44 ,55 ===，从而只需比较底数的大小即可 （2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知 2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式： （1）n m m n a a ??= ??? （2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N -= （3）()log log 0,1,0n a a N n N a a N =>≠> （4）换底公式：log log log c a c b b a = 进而有两个推论：1log log a b b a = （令c b =） log log m n a a n N N m = 不等式性质运用及不等式的解法 典型例题： 例1.已知x ≠0，比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小。 例 2.已知a>b ，比较a 3与b 3的大小。 例3.设x ≥1, 比较x 3与x 2-x+1的大小。 例6.已知a ＞b ，c ＜d ，求证：a-c ＞b-d. 例7.如果a>b, e>f ，c>0，求证：f-ac 例9.设2＜x ＜5，4＜y ＜10，求x+y 的范围. 例10.已知-1≤a+b ≤1，1≤a-b ≤3，求3a-b 的取值范围. 5.如果30 12.已知x ＞0，则2-3x-x 4的最大值是 . 14.设0＜x ＜2，求函数f （x ）=）（x x 383-的最大值，并求相应的x 值. 练习： 1.已知0 （高一数学） 函数大小比较试题 一，选择题 1.函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（ D ） A ．)()(21x f x f < B ．)()(21x f x f > C ．)()(21x f x f = D ．无法确定 2．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则（ A ） A ．)2()2()3(f f f << B ．)2()3()2(f f f << C ．)2()2()3(f f f << D ．)3()2()2(f f f << 3．已知)(x f 在R 上是减函数，若0≤+b a ，则下列正确的是（ D ） A ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+ B ． )()()()(b f a f b f a f -+-≤+ C ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+ D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+ 4.设113321 24a log ,b log ,c log ,2 3 3 ===则c b a ,,的大小关系是( B ) (A) c b a << (B) a b c << (C) c a b << (D) a c b << 二，填空题 5．把(23)－13，(35)12，(25)12，(76)0按从小到大的顺序排列__(25)12<___(35)12____(76)0____(23 )－1 3_______． 6.已知0七年级下册不等式及其基本性质讲义
不等式的性质和证明
高中数学比较大小综合测试题
学而思高中数学1-不等式比较大小
七年级下册不等式及其基本性质讲义
高中数学知识点总结不等式的性质与证明
不等式的基本性质知识点
高考数学复习专题 比大小 全套练习题及答案解析
2.1 等式性质与不等式性质
高中数学知识要点重温(11)不等式的性质与证明知识点分析
不等式性质和基本不等式
高考数学复习专题 指对数比较大小
高中数学知识点：不等式的性质及解法
人教版初一下数学-不等式的定义及性质 ]讲义(教师版)
不等式的基本性质
高中数学讲义 指对数比较大小
不等式性质运用及不等式的解法
高一数学大小比较试题
相关主题
文本预览