不等式的性质与应用：第3讲基本不等式

第3讲 基本不等式一、知识梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．[点拨] 应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就会出错．2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24．(简记：和定积最大)[点拨] 在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(3)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 二、教材衍化1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析：选C ．xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C ． 2．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10，所以S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等号．答案：25 m 2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0； (2)忽视定值存在； (3)忽视等号成立的条件． 1．若x <0，则x ＋1x ( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2 解析：选D ．因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2.2．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：53．设0<x <1，则函数y ＝2x (1－x )的最大值为________．解析：y ＝2x (1－x )≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝12.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．答案：12考点一 利用基本不等式求最值(基础型) 复习指导| 探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．核心素养：逻辑推理 角度一 通过配凑法求最值(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ， 即x ＝23时，取等号．(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2（5－4x ）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【答案】 (1)23(2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二 通过常数代换法求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 【解析】 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a · ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案：4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为：已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b 4a ⎝⎛⎭⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案：114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．223B ．23C ．33D ．233【解析】 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x .由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223. 【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝(ab )32，则ab 的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．4解析：选C ．(ab )32＝a ＋b ≥2ab ＝2(ab )12，所以ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故ab 的最小值为2，故选C ．2．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为( ) A ．53B ．103C ．32D ．3解析：选D ．由题意得x >0，y >0，4x x ＋3y ＋3y x ＝4xx ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y·x ＋3yx －1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．3．已知x >0，y >0，且x ＋16y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________． 解析：已知x >0，y >0，且x ＋16y ＝xy .即16x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫16x ＋1y ＝16＋1＋16y x ＋x y ≥17＋2 16y x ·xy＝25，当且仅当x ＝4y ＝20时等号成立，所以x ＋y 的最小值为25. 答案：25考点二 利用基本不等式解决实际问题(应用型) 复习指导| 利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题抽象出数学模型，列出函数关系，然后利用基本不等式求最值．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400，600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； (2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值； (3)还原为实际问题，写出答案．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低．解：设泳池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x ＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．[基础题组练]1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，则1xy 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A ．因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy≥1.2．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[－2，0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D ．因为1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ，(当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立)所以2x ＋y ≤12，所以2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.3．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析：选C ．因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.4．(多选)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b >1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2≥2ab解析：选CD ．因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号．所以选项C 正确，又a ，b ∈R ，所以(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab 一定成立．5．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C ．因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x3y＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y的最小值为4.故选C ．6．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x >0，所以y >0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．所以x ＋y 的最小值为2 2.答案：2 27．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1)，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．(2020·湖南岳阳期末改编)若a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，则ab 的最大值为________，1a ＋2b的最小值为________． 解析：因为a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，所以a ＋2b ＝4，所以ab ＝12a ·2b ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝2，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立，所以ab 的最大值为2，因为1a ＋2b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b 4＝14(5＋2b a ＋2a b )≥14⎝⎛⎭⎫5＋2·2b a ·2a b ＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以1a ＋2b 的最小值为94.答案：2 949．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．设a >0，若关于x 的不等式x ＋a x －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A ．16B ．9C ．4D ．2解析：选C ．在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2 （x －1）×a （x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号)．由题意知2a ＋1≥5，所以a ≥4.2．(2020·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A ．3B ．5C ．7D ．9解析：选C ．因为x >0，y >0.且1x ＋1＋1y ＝12，所以x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2(1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y )≥2(2＋2y x ＋1·x ＋1y )＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，所以x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7，故选C ．3．已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，①则x 2＋y 2的最小值为________；②若1x ＋4y≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：因为x ＋y ＝1，所以xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14，所以x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ≥1－14×2＝12，所以x 2＋y 2的最小值为12. 若a ≤1x ＋4y 恒成立，则a 小于等于⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值，因为1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y≥5＋2y x ×4x y ＝9，所以1x ＋4y的最小值为9，所以a ≤9，故实数a 的取值范围是(－∞，9]． 答案：12(－∞，9] 4．(2020·洛阳市统考)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析：因为1x ＋2y ＝1，所以2x ＋y ＝xy ，所以xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ，因为3x ＋2y ＝(3x ＋2y )·(1x＋2y )＝7＋6x y ＋2y x，且x >0，y >0，所以3x ＋2y ≥7＋43，所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3. 答案：7＋4 35．已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y .(1)求1x ＋1y的最小值； (2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解：(1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋（y ＋1）22≤4， 因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.6．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入为多少万元时，厂家获取利润最大？解：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1(m ≥0)， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x(元)，所以2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x－8－16x －m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2020年的促销费用投入为3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．。

第三节 基本不等式及其应用考试要求1．了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．[知识排查·微点淘金]知识点1 基本不等式 不等式 成立的条件 等号成立的条件两个不等式的关系 重要不等式a 2＋b 2≥2ab a ，b ∈Ra ＝b在不等式a 2＋b 2≥2ab 中，若a ＞0，b ＞0，分别以a ，b 代替a ，b 可得a ＋b ≥2ab ，即ab ≤a ＋b2基本不等式ab ≤a ＋b2a ＞0，b ＞0a ＝b设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点2 利用基本不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 的和是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24(简记：和定积最大)．[微思考]1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示：不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示：不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x＋1x无最小值． 常用结论1．基本不等式的两种常用变形形式(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(2)a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 2．几个重要的结论(1)a 2＋b 22 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(ab ＞0)． (3)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． (4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．(×)(2)(a ＋b )2≥4ab .(√)(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．(×)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.(×) 2．(链接教材必修5 P 99例1(2))设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析：选C 因为x >0，y >0，所以x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．(链接教材必修5 P 100A 组T 2)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m 2.解析：设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，所以y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（10－x ）22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 答案：254．(忽视变量的范围)函数f (x )＝2x ＋3x ＋1(x <0)的最大值为 ．解析：∵x <0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋3（－x ）＋1≤－26＋1.当且仅当－2x ＝3－x且x <0，即x ＝－62时等号成立．答案：1－2 65．(忽视基本不等式等号成立的条件)当x ≥2时，x ＋4x ＋2的最小值为 ．解析：设x ＋2＝t ，则x ＋4x ＋2＝t ＋4t －2.又由x ≥2得t ≥4，而函数y ＝t ＋4t －2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t ＝4时，t ＋4t －2即x ＋4x ＋2取得最小值，最小值为4＋44－2＝3.答案：3一、综合探究点——利用基本不等式求最值(多向思维)[典例剖析]思维点1 通过配凑法求最值[例1] (1)若0<x <12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为( )A ．1B ．12C ．14D ．18解析：∵0<x <12，∴y ＝x 1－4x 2＝x 2（1－4x 2）＝124x 2（1－4x 2）≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当4x 2＝1－4x 2， 即x ＝24时取等号， 则y ＝x1－4x 2的最大值为14.答案：C(2)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4解析：f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2＋1－1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立．故f (x )有最小值4. 答案：A(3)已知x >54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最小值为 ．解析：∵x >54，∴4x －5>0，∴f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≥21＋3＝5.当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号．答案：5通过配凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．思维点2 常数代换法求最值[例2] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为 ．解析：因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝2＋2＝4.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．答案：4常数代换法求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 思维点3 消元法求最值[例3] [一题多解]已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为 ． 解析：解法一(换元消元法)：由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0.令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 解法二(代入消元法)：由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y （1＋y ）1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6.当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1时取等号．即x ＋3y 的最小值为6. 答案：6消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．[学会用活]1．(2021·泉州检测)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A ．13B ．12C ．34D ．23解析：选B 因为0<x <1，所以x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（1－x ）22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．2．若直线2mx －ny －2＝0(m >0，n >0)过点(1，－2)，则1m ＋2n 的最小值为( )A ．2B ．6C ．12D ．3＋2 2解析：选D 因为直线2mx －ny －2＝0(m >0，n >0)过点(1，－2)，所以2m ＋2n －2＝0，即m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n (m ＋n )＝3＋n m ＋2m n ≥3＋22，当且仅当“n m ＝2m n ，即n ＝2m ”时取等号，所以1m ＋2n的最小值为3＋22，故选D ．3．若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．223B ．23C ．33D ．233解析：选A 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x.由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎨⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号． 故x ＋2y 的最小值为223.二、应用探究点——基本不等式的实际应用(思维拓展)[典例剖析][例4] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (单位：元)．解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m ．又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ·10，即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x ＞0)．因为x ＋4x ≥2 x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”)，所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．答案：160 [拓展变式]1．[变条件]若本例中容器底面长不小于2.5 m ，则该容器的最低总造价是 元． 解析：由例题的解答可知：总造价S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80(x ≥2.5)，因为S ′＝20⎝⎛⎭⎫1－4x 2＝20·x 2－4x2＞0，所以S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80在[2，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝2.5 m 时，S min ＝20×⎝⎛⎭⎫2.5＋42.5＋80＝162(元)． 答案：1622．[变条件]若本例中容器底面长不大于1.5 m ，则该容器的最低总造价是 元(精确到十分位)．解析：由例题的解答可知：总造价S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80(0＜x ≤1.5)， 因为S ′＝20⎝⎛⎭⎫1－4x 2＝20·x 2－4x2＜0，所以S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80在(0，2]上单调递减，所以当x ＝1.5时，S min ＝20×⎝⎛⎭⎫1.5＋41.5＋80≈163.3(元)．答案：163.3有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[学会用活]4.如图，在半径为30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A ，B 在直径上，点C ，D 在圆周上．怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积． 解：如图，连接OC ．设BC ＝x ，矩形ABCD 的面积为S . 则AB ＝2900－x 2，其中0<x <30. 所以S ＝2x900－x 2＝2x 2（900－x 2）≤x 2＋(900－x 2)＝900.当且仅当x 2＝900－x 2，即x ＝152时，S 取最大值900 cm 2.所以，取BC 为15 2 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900 cm 2.三、综合探究点——基本不等式的创新交汇问题(思维创新)[典例剖析][例5] (1)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x (a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b 的最小值为( )A ．3＋223B ．3＋2 2C ．3D ．2 2解析：由f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x (a >0，b >0)，得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4.由题意得f ′(1)＝12＋2a ＋b －4＝0， 则2a ＋b ＝3，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·2a ＋b 3＝13⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝13⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝3， 当且仅当2b a ＝2ab ，即a ＝b ＝1时，等号成立．故2a ＋1b 的最小值为3. 答案：C(2)在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，P 为线段AB 上的一点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则1x ＋1y 的最小值为( )A ．76B ．712C ．712＋33D ．76＋33解析：∵CA ＝3，CB ＝4，即|CA →|＝3，|CB →|＝4， ∴CP →＝x CA →|CA →|＋y CB →|CB →|＝x 3CA →＋y 4CB →，∵P 为线段AB 上的一点，即P ，A ，B 三点共线， ∴x 3＋y4＝1(x >0，y >0)， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·⎝⎛⎭⎫x 3＋y 4＝712＋x 3y ＋y 4x ≥712＋2112＝712＋33，当且仅当x 3y ＝y4x时，等号成立，∴1x ＋1y 的最小值为712＋33，故选C ． 答案：C1．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后合理变形利用基本不等式求最值．2．求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围．[学会用活]5．(2021·河南名校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 6，3a 5，a 7成等差数列，若{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，则1m ＋4n的最小值为( )A ．4B ．9C ．23D ．32解析：选D 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0， 由a 6，3a 5，a 7成等差数列，可得6a 5＝a 6＋a 7， 即6a 1q 4＝a 1q 5＋a 1q 6， 解得q ＝2(q ＝－3舍去)，由{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，可得16a 21＝a m a n ＝a 21·2m ＋n －2， 化简可得m ＋n ＝6，m ，n ∈N *， 则1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎫5＋2 n m ·4m n ＝32. 当且仅当n ＝2m ＝4时，上式取得等号．限时规范训练基础夯实练1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：选B f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥4，当且仅当x ＝±2时取等号，所以f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为4.故选B ．2．(2021·钦州期末测试)已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是( ) A ．15 B ．12 C ．5D ．3解析：选C 因为a 2＋b 2＝15－ab ≥2ab ，所以3ab ≤15，即ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝±5时等号成立．所以ab 的最大值为5.3．(2021·烟台期中测试)已知x ，y ∈R 且x －2y －4＝0，则2x ＋14y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．256解析：选B ∵x －2y －4＝0，∴x －2y ＝4， ∴2x ＋14y ≥22x －2y ＝8.当且仅当x ＝2，y ＝－1时等号成立， ∴2x ＋14y 的最小值为8.4．(2021·山东师大附中月考)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．100B ．81C ．36D ．9解析：选C 已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，所以1x ＋9y≥21x ·9y，即1≥29xy，故xy ≥36，当且仅当⎩⎨⎧1x ＝9y，1x ＋9y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝18时等号成立，所以xy 的最小值为36.故选C ．5．对于使f (x )≤M 成立的所有常数M ，我们把M 的最小值称为f (x )的上确界．若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－92B ．92C ．14D ．－4解析：选A ∵a ＋b ＝1，∴－12a －2b ＝－a ＋b 2a －2a ＋2b b ＝－52－⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ，∵a >0，b >0，∴b 2a ＋2ab≥2，当且仅当b ＝2a 时取等号，∴－12a －2b ≤－52－2＝－92，∴－12a －2b 的上确界为－92.故选A ．6．已知a >0，b >0，且ab ＋2a ＋b ＝4，则a ＋b 的最小值是 ． 解析：∵ab ＋2a ＋b ＝4，a >0，b >0， ∴b ＝4－2a a ＋1＝6a ＋1－2，∴a ＋b ＝a ＋6a ＋1－2＝a ＋1＋6a ＋1－3≥26－3，当且仅当a ＝6－1时取得最小值， ∴a ＋b 的最小值是26－3. 答案：26－37．(2021·江西五市九校联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b 3a ＋3b 的最小值为 ．解析：因为a ＋b ＝1，所以b 3a ＋3b ＝b 3a ＋3（a ＋b ）b ＝b 3a ＋3a b＋3，因为a >0，b >0，所以b 3a ＋3ab ＋3≥2b 3a ·3a b ＋3＝5，当且仅当b 3a ＝3a b ，即a ＝14，b ＝34时等号成立，即b 3a ＋3b的最小值为5.答案：58．设x ，y 为正数，若x ＋y 2＝1，则1x ＋2y 的最小值是 ，此时x ＝ ．解析：因为x ＋y 2＝1，x >0，y >0，所以1x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝2＋y 2x ＋2xy≥2＋2y 2x ·2xy＝4，当且仅当y 2x ＝2x y ，即x ＝12，y ＝1时等号成立，所以1x ＋2y 的最小值为4，此时x ＝12.答案：4 129．已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y的最小值；(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解：(1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )． 又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋（y ＋1）22≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5. 10．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值． 解：(1)由22＝1a ＋1b ≥21ab 得ab ≥12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，所以a 2＋b 2的最小值是1. (2)由(a －b )2≥4(ab )3得a 2＋b 2－2ab ≥4a 3b 3，不等式两边同除以a 2b 2，得1b 2＋1a 2－2ab ≥4ab ，即⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab ≤2，又ab ＋1ab≥2. 所以ab ＋1ab＝2，所以ab ＝1.综合提升练11．(2021·湖北十一校联考)设a >0，b >0，则“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为a >0，b >0，所以4≥1a ＋1b ≥21a ·1b，当且仅当a ＝b 时取等号， 则2≥1ab，所以ab ≥14；若ab ≥14，取a ＝14，b ＝1，则1a ＋1b ＝4＋1＝5>4，即1a ＋1b ≤4不成立．所以“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的充分不必要条件，故选A ．12．(2021·江西重点中学联考)已知直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则ab 的最大值是( )A ．14B ．12C ．22D ．1解析：选A 圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，半径r ＝1，由直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，得|－1|a 2＋4b2＝1，则a 2＋4b 2＝1，又由1＝a 2＋4b 2≥4ab ，可得ab ≤14，当且仅当a ＝2b 时等号成立，故ab 的最大值是14.13．(2021·安徽合肥二模)《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形的长为a ＋b ，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论．如图3，设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形的对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推断正确的是( )①由图1和图2面积相等可得d ＝aba ＋b； ②由AE ≥AF 可得 a 2＋b 22≥a ＋b2； ③由AD ≥AE 可得a 2＋b 22≥21a ＋1b； ④由AD ≥AF 可得a 2＋b 2≥2ab . A ．①②③④ B ．①②④ C ．②③④D ．①③解析：选A 由题图1和题图2面积相等得ab ＝(a ＋b )d ，可得d ＝aba ＋b，①正确；由题意知题图3的面积为12ab ＝12a 2＋b 2·AF ，则AF ＝ab a 2＋b2，AD ＝12BC ＝12a 2＋b 2，设题图3中正方形的边长为x ，由三角形相似，得a －x x ＝x b －x ，解得x ＝aba ＋b ，则AE ＝2aba ＋b，可以化简判断②③④都正确，故选A ． 14．已知a >b >0，则a 2＋1b （a －b ）的最小值为 ．解析：由a >b >0，得a －b >0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24.∴a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4， 当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号． ∴a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.答案：415．(2021·湖南岳阳模拟改编)若a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，则ab 的最大值为 ，1a ＋2b的最小值为 ． 解析：∵a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，∴a ＋2b ＝4， ∴ab ＝12a ·2b ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝2， 当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立， ∴ab 的最大值为2.∵1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b 4＝14⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥14·⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝94， 当且仅当a ＝b ＝43时等号成立，∴1a ＋2b 的最小值为94. 答案：2 9416．(2021·吉林六校联考)已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)因为x ＞0，y ＞0，所以3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1. 所以3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0. 所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0. 所以xy ≥1.所以xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以xy 的最小值为1.(2)因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22.所以3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0. 所以[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0.所以x ＋y ≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号． 所以x ＋y 的最小值为2.创新应用练17.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m ，中间两道隔墙建造单价为248元/m ，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：设隔墙的长度为x m ，总造价的函数为y 元，则隔墙造价为2x ·248＝496x ， 池底造价为200×80＝16 000， 四周围墙造价为⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ·400＝800·⎝⎛⎭⎫x ＋200x .因此，总造价为y ＝496x ＋800⎝⎛⎭⎫x ＋200x ＋16 000(0<x <50)＝1296x ＋160 000x ＋ 16 000≥21296x ·160 000x＋16 000＝28 800＋16 000＝44 800.当1296x ＝160 000x ，即x ＝1009时，等号成立．这时，污水池的长为18 m.故当污水池的长为18 m ，宽为1009 m 时，总造价最低，最低为44 800元．。