概率论(复旦三版)习题五答案
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概率论与数理统计(复旦第三版)
习题五 答案
1.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X .估计P {10 【解】设(1,2,3,4)i X i =表示第i 次掷的点数,则4 1i i X X ==∑ 22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666 i i E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 从而 2 2291735()()[()].6212i i i D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 又1234,,,X X X X 独立同分布. 从而 44117()()()414,2 i i i i E X E X E X =====⨯=∑∑ 44113535()()()4.123 i i i i D X D X D X =====⨯ =∑∑ 所以 2 35/3{1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥-≈ 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率 达到在76%与84%之间的概率不小于90%,问这批产品至少要 生产多少件? 【解】设至少要生产n 件产品才能满足要求, 令1, ,0,i i X i ⎧=⎨⎩第个产品合格第个产品不合格. 1,2,,i n =, 则 12,,,n X X X 相互独立且服从相同的(0—1)分布,{}10.8i p P X === 现要求n ,使得 10.760.840.9.n i i X P n =⎧⎫⎪⎪⎪⎪≤ ≤≥⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭ ∑ 根据独立同分布的中心极限定理得 0.8n i X n P ⎧⎫-⎪⎪≤≤⎪⎪⎩⎭ ∑ 0.9,=Φ-Φ≥ 整理得 0.95,10⎛Φ≥ ⎝⎭ 查表 1.64,≥ n ≥268.96, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部,每部机床开动的概率为0.7,假定各 机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能15个单位. 问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不 足而影响生产. 【解】设需要供应车间至少15m ⨯个单位的电能,这么多电能最多能 同时供给m 部车床工作,我们的问题是求m 。 把观察一部机床是否在工作看成一次试验,在200次试验中, 用X 表示正在工作的机床数目,则~(200,0.7)X B , ()2000.7140, ()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==⨯==-=⨯⨯= 根据题意,结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 0.95{}P X m P =≤=≤=Φ 查表知 1.64,= ,m =151. 所以供应电能151×15=2265(单位). 4. 一加法器同时收到20个噪声电压k V (1,2,,20k =),设它们是相 互独立的随机变量,且都在区间(0,10)上服从均匀分布.记 20 1k k V V ==∑,求P {V >105}的近似值. 【解】易知: ()5,()100/12(1,2, ,20)k k E V D V k ===。由独立同分布 的中心极限定理知,随机变量 20205 ~(0,1).k V Z N -⨯==∑近似的 于是 105205{105}10P V P ⎧⎫⎪⎪-⨯⎪>=>⎬⎪⎪⎭ 1000.3871(0.387)0.348,10V P ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=>≈-Φ=⎨⎬⎪⎪⎭ 即有 P {V >105}≈0.348 5. 有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m.现从这批 木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根短于3m 的概率 是多少? 【解】设100根中有X 根短于3m ,则X ~B (100,0.2).由棣莫弗 — 拉普拉斯定理得 {30}1{30}111(2.5)0.0062P X P X P ⎧⎫≥=-<=-<≈-Φ=-Φ= 6. 某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的 治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人,如果 其中多于75人治愈,就接受这一断言,否则就拒绝这一断言. (1) 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8,问 接受这一 断言的概率是多少? (2) 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7,问 接受这一 断言的概率是多少? 【解】设1,, 1,2,,1000,.i i X i ⎧==⎨⎩第人治愈其他 ,则12100 ,,,X X X 相互独立 且服从相同的(01)-分布,因此 1001 ~(100,)i i X X B p ==∑ (1)当0.8p =时, ~(100,0.8)X B ,由 棣莫弗—拉普拉斯定理得 100 1{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑ 1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ= (2) 当0.7p =时, ~(100,0.7)X B ,由棣莫弗—拉普拉斯定理得 100 1{75}1{75}1111(1.09)0.1379.i i P X P X P =>=-≤=-≤≈-Φ=-Φ=-Φ=∑