第三讲 简单复合函数的导数及定积分

复合函数的导数解析与归纳复合函数是高等数学中的重要概念，它描述了多个函数相互嵌套的关系。

在求解复合函数的导数时，我们需要运用链式法则，结合对各个函数的导数进行求解。

本文将从导数的定义出发，通过数学推导和实例分析，深入探讨复合函数的导数求解方法，并对其进行归纳总结。

1. 导数的定义回顾导数是函数在某一点处的变化率，用数学符号表示为f'(x)或df(x)/dx。

对于函数y = f(x)，当自变量x在某一点x0处有可微的增量Δx时，函数值的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)与自变量增量Δx之比的极限，即f'(x0) = lim(Δy/Δx)，就是函数f(x)在x0处的导数。

2. 复合函数与链式法则复合函数是由多个函数嵌套得到的函数，形如f(g(x))。

在求解复合函数的导数时，我们需要运用链式法则，它是求解复合函数导数的基本工具。

假设函数f(x)和g(x)都是可导函数，则复合函数h(x) = f(g(x))也是可导的。

根据链式法则，复合函数的导数可以表示为：h'(x) = f'(g(x)) *g'(x)。

3. 复合函数的导数解析与归纳通过具体的例子，我们来解析复合函数的导数求解过程。

例1：设y = (3x^2 + 2x - 1)^4，求y'。

解：将y看做外层函数，内部函数为3x^2 + 2x - 1，根据链式法则，我们有：y' = dy/du * du/dx= 4(3x^2 + 2x - 1)^3 * (6x + 2)= 24x(3x^2 + 2x - 1)^3 + 8(3x^2 + 2x - 1)^3例2：设y = sin(2x^3 + 5)，求y'。

解：将y看做外层函数，内部函数为2x^3 + 5，根据链式法则，我们有：y' = dy/du * du/dx= cos(2x^3 + 5) * 6x^2= 6x^2cos(2x^3 + 5)通过以上的例子，我们可以总结出复合函数导数的求解步骤：1) 将函数表示为复合函数形式；2) 将复合函数看做外层函数和内部函数的组合；3) 根据链式法则，求解内部函数和外层函数的导数；4) 将求得的导数相乘，得到最终的复合函数导数。

第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算、定积分[考纲要求]1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．5．了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．6．了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义．突破点一导数的运算[基本知识]1．导数的概念称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li mΔx→0ΔyΔx＝li mΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li mΔx→0ΔyΔx＝li mΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.称函数f′(x)＝li mΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝ln x f ′(x )＝1x 基本初等函数 导函数 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a3.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f xg x ′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x2．已知f (x )＝13－8x ＋2x 2，f ′(x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x ， ∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4，解得x 0＝3. 答案：33．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22， 得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：1[典例感悟]1．已知函数f (x )＝xe x ，则其导函数f ′(x )＝( )A.1＋xe xB.1－x e xC ．1＋xD ．1－x解析：选B 函数f (x )＝xe x ，则其导函数f ′(x )＝e x －x e x e 2x ＝1－x ex ，故选B.2．(2019·枣庄三中质检)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．1C ．－1D ．e解析：选C 由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，所以选C.3．函数f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2，则其导函数f ′(x )＝________.解析：∵f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ，∴f ′(x )＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x[方法技巧]导数运算的常见形式及其求解方法1．设f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2019·长沙长郡中学一模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析： 选C f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′，所以f ′(0)＝a 1a 2a 3…a 8＝(a 1a 8)4＝(2×4)4＝212.故选C.突破点二 导数的几何意义[基本知识]函数f (x )在点x 0处 的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (2)求曲线过点P 的切线时P 点一定是切点．( ) 答案：(1)√ (2)× 二、填空题1．已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R)，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________.解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：42．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________． 解析：∵y ′＝1x ln 2，∴切线的斜率k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，∴所求三角形的面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝12log 2e.答案：12log 2e3．设函数f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________．解析：由已知得g ′(1)＝－9，g (1)＝－8， 又f ′(x )＝12g ′⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ， ∴f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－12，f (2)＝g (1)＋4＝－4，∴所求切线方程为y ＋4＝－12(x －2)，即x ＋2y ＋6＝0.答案：x ＋2y ＋6＝0[全析考法]考法一 求切线方程“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. [方法技巧]求切线方程问题的2种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．考法二求切点坐标[例2](2019·柳州一模)已知函数f(x)＝e2x－1，直线l过点(0，－e)且与曲线y＝f(x)相切，则切点的横坐标为()A．1B．－1C．2 D．e－1[解析]设切点为(x0，e2x0－1)，∵f′(x)＝2e2x－1，∴2e2x0－1＝e2x0－1＋ex0，化简得2x0－1＝e2－2x0.令y＝2x－1－e2－2x，则y′＝2＋2e2－2x>0.∵x＝1时，y＝0，∴x0＝1.故选A.[答案] A[方法技巧]求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考法三 求参数值或范围[例3] (1)已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1，1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3(2)(2019·乐山调研)已知曲线f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫3，72 B ．(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，72 D ．(0,3)[解析] (1)由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上， 所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2， 故f ′(x )＝ax ＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3. (2)由题得f ′(x )＝2e 2x －2e x ＋a ，则方程2e 2x －2e x ＋a ＝3有两个不同的正解， 令t ＝e x (t >0)，且g (t )＝2t 2－2t ＋a －3，则由图像可知，有g(0)>0且Δ>0，即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得3<a<72.故选A.[答案](1)D(2)A[方法技巧]利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒](1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．[集训冲关]1.[考法一](2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y ＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x解析：选D∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.2.[考法二]曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)解析：选C f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.3.[考法三]设曲线f(x)＝－e x－x(e为自然对数的底数)上任意一点的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[3，＋∞)C.⎣⎡⎦⎤－23，13D.⎣⎡⎦⎤－13，23 解析：选D f ′(x )＝－e x －1，∵e x ＋1>1，∴1e x ＋1∈(0,1)．又g ′(x )＝3a －2sin x ， ∵－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使曲线f (x )上任意一点的切线l 1，总存在曲线g (x )上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.故选D.4.[考法三](2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________.解析：∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ，∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－3突破点三 定积分的计算及应用[基本知识]1．定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f(x)d x.2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f(x)d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)d x 叫做被积式．3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf(x)d x ＝k ⎠⎛ab f(x)d x(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝⎠⎛a b f 1(x)d x±⎠⎛ab f 2(x)d x ；(3)⎠⎛ab f(x)d x ＝⎠⎛ac f(x)dx ＋⎠⎛cb f(x)dx (其中a<c<b)．4．微积分基本定理如果f(x)是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)，那么⎠⎛ab f(x)d x ＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常常把F(b)－F(a)记为F(x)b a，即⎠⎛ab f(x)dx ＝F(x)b a＝F(b)－F(a)．5．定积分与曲边梯形面积的关系6.做变速运动的物体在时间[a ，b]上所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t .具体步骤为：（1）找出速度函数v ＝v (t )，作出图形． （2）观察v ＝v (t )的图形是否满足v (t )≥0.（3）若v (t )≥0，则相应的时间段[a ，b ]上的路程为s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；若v (t )<0，则相应的时间段[a ，b]上的路程为s ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛ab v (t )d t ＝－⎠⎛ab v (t )d t .[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积，其值为正．( )(2)一物体在变力F (x )作用下，沿与F (x )相同方向从x ＝a 移到x ＝b 时力F (x )所做的功是⎠⎛ab F (x )d x .( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．⎠⎜⎛0π2 (－2sin x )dx ＝________.解析：由定积分的概念及微积分基本定理，得⎠⎜⎛0π2(－2sin x )d x ＝2co s x ⎪⎪⎪π20＝－2.答案：－22.⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝________. 解析：⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x dx ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x |e 1＝e 22＋1－12＝e 2＋12.答案：e 2＋123．定积分⎠⎛0416－x 2d x ＝________.解析：令y ＝16－x 2，则x 2＋y 2＝16(y ≥0)，所以点(x ，y)的轨迹为半圆，⎠⎛0416－x 2dx 表示以原点为圆心、4为半径的圆面积的14，所以⎠⎛0416－x 2dx ＝14×π×42＝4π.答案：4π4．(2019·运城中学月考)曲线f(x)＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，54π与x 轴围成的图形的面积为________．解析：对于f(x)＝sin x ，当x ∈[0，π]时，f(x)≥0，当x ∈⎝⎛⎦⎤π，54π时，f(x)<0， 则所求面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＋⎠⎛π5π4(－sin x )d x ＝－cos x |π0＋cos x ⎪⎪⎪5π4π＝2＋⎝⎛⎭⎫－22＋1＝3－22. 答案：3－225．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m.解析：s ＝∫21(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21 ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 答案：132[全析考法]考法一利用微积分基本定理求定积分[例1] (1)(2019·广德中学期中)⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1(2)(2019·河南师大附中月考)若⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝( )A ．0 B.π4－12 C.π4－14D.π2－1 (3)(2019·宜春中学一模)计算⎠⎛-43|x ＋2|d x ＝________.[解析] (1)⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e ＋1)－(1＋0)＝e.故选B.(2) ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π2⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝π4－12.故选B. (3) ⎠⎛-43|x ＋2|d x ＝－⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛-23 (x ＋2)d x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x |－2－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x |3－2＝292. [答案] (1)B (2)B (3)292[方法技巧]利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数． 考法二利用定积分的几何意义求定积分[例2](2019·银川一中月考)若⎠⎛m－2－x2－2x d x＝π2，则m等于()A．－1 B．0C．1 D．2[解析]由定积分的几何意义可知，原题即为求函数y＝－x2－2x与x轴在区间[－2，m]上围成图形面积的大小，而函数y＝－x2－2x的图象是以(－1,0)为圆心，以1为半径在x轴上方的半圆，它的面积为12×π×12＝π2，即为题目所求面积，而m为函数y＝－x2－2x与x轴的另一个交点的横坐标，由图形(图略)可得m＝0.[答案] B[方法技巧]利用定积分几何意义求定积分的策略当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形形状规则，面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分．考法三利用定积分求平面图形的面积[例3] (2019·襄阳四中期中)由曲线y ＝1－1－x 2，y ＝－x 2＋2x 所围成图形的面积为________．[解析] 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－1－x 2，y ＝－x 2＋2x 得交点为(0,0)，(1,1)，如图，∴S ＝⎠⎛01(－x 2＋2x )d x －⎠⎛01(1－1－x 2)d x ，⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2|10＝23. ⎠⎛01(1－1－x 2)d x ＝x |10－⎠⎛011－x 2d x＝1－⎠⎛011－x 2d x ，而⎠⎛011－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内的部分的面积，∴⎠⎛011－x 2d x ＝π4，∴S ＝23－1＋π4＝π4－13.[答案]π4－13[方法技巧]利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．考法四 定积分在物理中的应用[例4] (2019·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2[解析] 由v (t )＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4( t ＝－83舍去 )，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝[ 7t －32t 2＋25ln(1＋t ) ]| 40＝4＋25ln 5.[答案] C [方法技巧]定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝∫ba v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝∫ba F (x )d x .[集训冲关]1.[考法一]⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝( )A ．56B ．28 C.563D ．14解析：选C ⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋14x 4－30x |42＝13×(43－23)＋14×(44－24)－30×(4－2)＝563.故选C. 2.[考法三]由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14D.15解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝13.故选A.3.[考法二]⎠⎛02(4－x 2＋x )d x 的值等于________．解析：⎠⎛02(4－x 2＋x )d x ＝⎠⎛024－x 2d x ＋⎠⎛02x d x ，其中⎠⎛024－x 2d x 表示半径为2的圆的面积的14，⎠⎛024－x 2d x ＝14π×22＝π，⎠⎛02x d x ＝12x 2|20＝2，因此原式等于π＋2. 答案：π＋24.[考法四]一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5x 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝5×2＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)． 答案：36[课时跟踪检测][A 级 保分题——准做快做达标]1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．(2019·南阳期末)若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则⎠⎛03f(x)d x ＝( )A ．16B ．54C ．－24D ．－18解析：选D 由已知得f ′(x)＝2x ＋2f ′(2)，令x ＝2，得f ′(2)＝4＋2f ′(2)，解得f ′(2)＝－4，所以f(x)＝x 2－8x ＋3，所以⎠⎛03f(x)dx ＝⎠⎛03(x 2－8x ＋3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2＋3x |30＝－18.故选D .3．(2019·珠海期末)曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：选B 由题意知点(1,3)在曲线y ＝x 3－2x ＋4上．∵y ＝x 3－2x ＋4，∴y ′＝3x 2－2，根据导数的几何意义，可知曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45°.故选B .4．(2019·青岛模拟)已知f 1(x)＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x)是f n (x)的导函数，即f 2(x)＝f 1′(x)，f 3(x)＝f 2′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N *，则f 2 018(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选C ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 018＝4×504＋2，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x ＋cos x ，故选C.5．(2019·山东省实验中学一模)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：选Df ′(x )＝3x 2＋2ax ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，f (x 0)＝x 3＋ax 20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝1，f (x 0)＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，x 0＝－1，f (x 0)＝1，故选D.6．(2019·湖北黄石二中一模)若直线y ＝kx ＋2是函数f (x )＝x 3－x 2－3x －1图象的一条切线，则k ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 直线y ＝kx ＋2过(0,2)，f ′(x )＝3x 2－2x －3，设切点为(x 0，y 0)，故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2x 0－3)(x －x 0)，将(0,2)代入切线方程并结合y 0＝x 30－x 20－3x 0－1，解得x 0＝－1，y 0＝0，代入y ＝kx ＋2，解得k ＝2.7．(2019·银川一中月考)设函数f (x )＝3sin θ3x 3＋cos θ2x 2＋4x －1，θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π6，则导数f ′(－1)的取值范围是( )A ．[3,4＋3]B ．[3,6]C ．[4－3，6]D ．[4－3，4＋3]解析：选B 求导得f ′(x )＝3x 2sin θ＋x cos θ＋4，将x ＝－1代入导函数，得 f ′(－1)＝3sin θ－cos θ＋4＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋4，由θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π6，可得θ－π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，∴2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋4∈[3,6]．故选B. 8．(2019·巴蜀中学模拟)已知曲线y ＝2xx －1在点P (2,4)处的切线与直线l 平行且距离为25，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．2x ＋y ＋2＝0或2x ＋y －18＝0C ．2x －y －18＝0D ．2x －y ＋2＝0或2x －y －18＝0解析：选B y ′＝2(x －1)－2x (x －1)2＝－2(x －1)2，y ′|x ＝2＝－2(2－1)2＝－2，因此k l ＝－2，设直线l 方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，由题意得|2×2＋4－b |5＝25，解得b ＝18或b ＝－2，所以直线l 的方程为2x ＋y －18＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选B.9．(2019·成都双流区模拟)过曲线y ＝x 2－2x ＋3上一点P 作曲线的切线，若切点P 的横坐标的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，32，则切线的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2 B.⎣⎡⎦⎤0，π4 C ．[0，π)D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析：选B 因为y ′＝2x －2,1≤x ≤32，所以0≤2x －2≤1.设切线的倾斜角为α，则0≤tan α≤1.因为0≤α≤π，所以0≤α≤π4，故选B.10．(2019·广东七校联考)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是( )解析：选A 法一：由题意，得f ′(x )＝cos x ＋x (－sin x )＝cos x －x sin x ，f ′(－x )＝f ′(x )，所以f ′(x )为偶函数．又f ′(0)＝1，所以排除C 、D ；令g (x )＝f ′(x )＝cos x －x sin x ，则g ′(x )＝－x cos x －2sin x ，易知g ′(0)＝0，且当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，g ′(x )<0，f ′(x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎦⎤－π2，0时，g ′(x )>0，f ′(x )单调递增，所以f ′(x )在x ＝0处取得极大值，排除选项B.故选A.法二：由题意，得f ′(x )＝cos x ＋x (－sin x )＝cos x －x sin x ，又f ′(0)＝1，所以排除C ，D ；当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，y ＝cos x 单调递减，对于y ＝x sin x ，y ′＝x cos x ＋sin x >0，则y ＝ x sin x 单调递增，则f ′(x )＝cos x －x sin x 在⎝⎛⎦⎤0，π2上单调递减．故选A. 11．(2019·天津耀华中学一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x <0，cos x ，0≤x ≤π2，则f (x )与x 轴围成封闭图形的面积为________．解析：S ＝⎠⎛-10(x ＋1)d x ＋⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝12＋1＝32.答案：3212．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为______________． 解析：因为y ′＝2x ，y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2. 答案：y ＝2x －213．(2019·石家庄二中月考)已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x 2.若直线l 与曲线f (x )，g (x )都相切，则直线l 的斜率为________．解析：因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，设曲线f (x )与l 切于点⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，则切线斜率k ＝－1x 21，故切线方程为y －1x 1＝－1x 21(x －x 1)，即y ＝－1x 21x ＋2x 1.与g (x )＝x 2联立，得x 2＋1x 21x －2x 1＝0.因为直线l 与曲线g (x )相切，所以⎝⎛⎭⎫1x 212－4⎝⎛⎭⎫－2x 1＝0，解得x 1＝－12，故斜率k ＝－1x 21＝－4.答案：－414．(2019·淄博六中期末)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为________．解析：设曲线上过点P (x 0，y 0)的切线平行于直线2x －y ＋3＝0，即斜率是2，则 y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，所以y 0＝0，即点P (1,0)．又点P 到直线2x －y ＋3＝0的距离为|2－0＋3|22＋(－1)2＝5，所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5. 答案： 515．(2019·孝感高中期中)已知函数f (x )＝x 3－x . (1)求曲线y ＝f (x )在点M (1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数b 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－1，∴f ′(1)＝2.故切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)设切点为(x 0，x 30－x 0)，则切线方程为y －(x 30－x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 又切线过点(1，b )，所以(3x 20－1)(1－x 0)＋x 30－x 0＝b ， 即2x 30－3x 20＋b ＋1＝0.由题意，上述关于x 0的方程有三个不同的实数解． 记g (x )＝2x 3－3x 2＋b ＋1，则g (x )有三个不同的零点，而g ′(x )＝6x (x －1)，令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝1，则结合图像可知g (0)g (1)<0即可，可得b ∈(－1,0)．16．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)是定值，理由如下：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.[B 级 难度题——适情自主选做]1.(2019·山西八校联考)如图，矩形OABC 中曲线的方程分别是y ＝sin x ，y ＝cos x ．A ( π2，0 )，C (0,1)，在矩形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.4(3－1)πB.4(2－1)πC ．4(3－1)πD ．4(2－1)π解析：选B 由题可知图中阴影部分的面积S ＝2⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋ cosx ) ⎪⎪⎪⎪π4＝2(2－1)，易知矩形OABC 的面积为π2，所以在矩形OABC 内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为4(2－1)π，故选B.2．(2019·蚌埠质检)已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫a －1e x ，曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( )A ．(－e 2，＋∞)B ．(－e 2,0) C.⎝⎛⎭⎫－1e 2，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 解析：选D ∵曲线y ＝f (x )上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，∴f ′(x )＝a ＋(x －1)e －x ＝0有两个不同的解，即a ＝(1－x )e －x 有两个不同的解．设y ＝(1－x )e －x ，则y ′＝(x －2)e －x ，∴当x <2时，y ′<0，当x >2时，y ′>0，则y ＝(1－x )e －x 在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴x ＝2时，函数y 取得极小值－e －2.又∵当x >2时总有y ＝(1－x )e －x <0且f (0)＝1>0，∴可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1e 2，0.故选D. 3．(2019·山东名校调研)已知曲线y ＝e x＋a与y ＝x 2恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围是( )A ．[2ln 2－2，＋∞)B ．(2ln 2，＋∞)C ．(－∞，2ln 2－2]D ．(－∞，2ln 2－2)解析：选D 由题意可设直线y ＝kx ＋b (k >0)为它们的公切线，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝x2可得x 2－kx －b ＝0，由Δ＝0，得k 2＋4b ＝0 ①.由y ＝e x ＋a 求导可得y ＝e x ＋a ，令e x ＋a ＝k ，可得x ＝ln k －a ，∴切点坐标为(ln k －a ，k ln k －ak ＋b )，代入y ＝e x ＋a 可得k ＝k ln k －ak ＋b ②.联立①②可得k 2＋4k ＋4ak －4k ln k ＝0，化简得4＋4a ＝4ln k －k .令g (k )＝4ln k －k ，则g ′(k )＝4k －1，令g ′(k )＝0，得k ＝4，令g ′(k )>0，得0<k <4，令g ′(k )<0，得k >4.∴g (k )在(0,4)内单调递增，在(4，＋∞)内单调递减，∴g (k )max ＝g (4)＝4ln 4－4，且k →0时，g (k )→－∞，k→＋∞时，g(k)→－∞.∵有两条公切线，∴方程4＋4a＝4ln k－k有两解，∴4＋4a<4ln 4－4，∴a<2ln 2－2.故选D.。

简单复合函数的求导法则复合函数的求导是微积分中的重要概念之一，常用于解决实际问题中的导数计算。

在本文中，将介绍简单复合函数和复合函数的求导法则，以及一些例题的解答。

简单复合函数指的是由一个基本函数和一个简单函数复合而成的函数。

例如，如果有一个函数y=f(u)和另一个函数u=g(x)，那么可以通过将这两个函数进行复合得到一个新的函数y=f(g(x))。

我们可以使用链式法则来计算这个复合函数的导数。

链式法则是求导中最基本的方法之一，它可以帮助我们计算复合函数的导数。

链式法则的表达式为：(dy/dx) = (dy/du)*(du/dx) 或者 f'(g(x))=f'(u)*g'(x)其中，dy/dx表示函数y关于x的导数，dy/du表示函数y关于u的导数，du/dx表示函数u关于x的导数。

举个例子，如果y=sin(3x)和u=3x，那么我们可以将它们复合为y=sin(u)，然后利用链式法则求导。

首先通过求导公式得到dy/du=cos(u)，然后通过将du/dx代入得到dy/dx=cos(u)*3、因此，我们得出了函数y=sin(3x)的导数为dy/dx=3*cos(3x)。

复合函数指的是由两个以上的函数复合而成的函数。

与简单复合函数不同，复合函数的求导需要使用多次链式法则来计算。

下面是一些常见的复合函数求导法则：1.和法则如果一个函数可以表示为两个函数之和的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之和。

即，如果y=f(x)+g(x)，那么dy/dx=f'(x)+g'(x)。

比如，对于函数y=x^2+3x，我们可以将其分解为f(x)=x^2和g(x)=3x两个函数的和。

然后分别求导得到f'(x)=2x和g'(x)=3、最后，将两个导数相加得到dy/dx=2x+32.差法则如果一个函数可以表示为两个函数之差的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之差。