边缘分布与独立性

y
y x
综上Байду номын сангаас,
12 2 x (2 x ), 5
x x0 x1 x x
12 2 x 2 x , 0 x 1 , fX x 5 0, , 其它 .
注意取值范围
例 2 设(X,Y)的概率密度是
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .
解 (2)
cy (2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y ) 0 , 其它 暂时固定
3
2
P{X=0, Y=3} 1 2 1 8
X 3 1 1 P{X=1, Y=1} =3/8 0 1 2 2 1 2 3 1 1 P{X=2, Y=1} =3/8 2 2 2 2 3 3 P{X=3, Y=0} 1 2 1 8.
边缘分布
二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?
一、边缘分布函数
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 F x , y , 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FX x , FY y , 依次称为二维随机 变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
R2
dx cy(2 x )dy 0 0 c 1 2 3 2 x x dx 2 0
1
x


0
x 1
x
故
= 5c/24 , c =24/5.
例2 设 (X,Y) 的概率密度是
求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度 . 解
cy (2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y ) 0 , 其它 暂时固定
(2) f X x f x , y dy

当 x 1 或 x 0时 , 当 0 x 1时,
y , , y
y x
都有 f x , y 0, 故 f X x 0 .
fX x
0
x x
0
x
f x , y dy
fY y

f x , y dx
y y x
都有 f x , y 0 , 故 fY y 0 .
当0 y 1 时 , fY y f x , y dx
y 1
当 y 1 或 y 0 时 , 对 x , , y

f X ( x ) f ( x, y )dy x
事实上 , FX x F x , dx f x , y dy
x
x f x , y dy f X x FX
则称 X 和 Y 相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函 数等于两个边缘分布函数的乘积 .
若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义 等价于： 对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
几乎处处成立，则称 X 和 Y 相互独立 . 其中
1 y
0 y y 1
x
f x , y dx
y

1
f x , y dx .

y
1
24 y ( 2 x )dx 5
2
24 3 y y ( 2 y ), 5 2 2
综上 ,
24 3 y y ( 2 y ), 0 y 1 fY ( y ) 5 2 2 0, 其它
Y
1
3
0 18 38 0 38 0 0 18
X
0 1 2 3
Y
1 3 0 18 38 0 38 0
0 18
P X xi
18 3 8 3 8 18
P Y yj


68 28
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
联合分布与边缘分布的关系
X
Y
0 1 2 3

( X,Y )关于Y 的边缘概率密度为
fY ( y ) f ( x , y )dx y

例2 设(X,Y)的概率密度是
cy( 2 x ), 0 x 1,0 y x f ( x, y ) 0 , 其它 求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。 y y x 解 (1) 1 f x , y dxdy
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为
P Y y j P X xi ,Y y j pij p. j
i 1 i 1



j 1,2,
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 . 解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
e y , y 0 fY ( y ) 其它 0,
可见对一切 x, y, 均有：
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
故 X , Y 独立 .
若(X,Y)的概率密度为
2 , 0 x y ,0 y 1 f ( x, y ) 其它 0,
2
注意取值范围
在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联 合密度在某区域上的积分. 当联合密度函数是分 片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 .
下面我们介绍两个常见的二维分布.
设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
1 , ( x , y) G f ( x , y) A 0, 其它
x y
( y μ2 )2
2 2 σ2
可见 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 , 并且不依赖于参数 ρ . 也就是说,对于给定的 μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , 不同的 ρ 对应 不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的. 此例表明 由边缘分布一般不能确定联合分布.
0, 2 0,
2 2 的二维正态分布. 记作（ X,Y）～ N( μ1 , μ2 , σ1 , σ2 , ρ ).
例 3 试求二维正态随机变量的边缘概率密度. 解
fX x
fY y


f x , y dy
( x μ1 )2
2 2 σ1
1 e 2πσ1 1 e 2πσ 2
f f ( x, y ) 是X和Y的联合密度，X ( x), fY ( y)
分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度 . 这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除 去面积为 0 的集合外，处处成立.
若 (X,Y)是离散型 r.v ，则上述独立性的定义等 价于： 对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
问X和Y是否独立？ 解
f X ( x ) 2dy 2(1 x ), fY ( y) 2dx 2 y,
0 x y
1
0<x<1 0<y<1
由于存在面积不为0的区域，
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
故 X 和 Y 不独立 .
例2 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如 果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙 独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀 分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5 分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？
FX x P X x P X x ,Y F x , FY y P Y y P X ,Y y F , y
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为


( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 )2 2ρ 2 σ 1σ 2 σ2
x , y ,
其中 1 , 2 , 1 , 2 , 均为常数 , 且 1
ρ 1. 则称（ X,Y）服从参数为
1, 2 , 1, 2 ,
则称（X,Y）在G上服从均匀分布. 例 向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落 在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比， 而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G 上服从均匀分布.
若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 ( x μ1 )2 1 1 f x, y exp 2 2 2 2 1 ρ σ1 2πσ1σ 2 1 ρ
P( X xi , Y y j ) pij, i, j 1,2,
则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为
P X xi P X xi ,Y y j pij pi .
j 1




i 1, 2 ,
j 1
X xi X xi ,Y y j j 1
P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) P (Y y j )
则称 X 和Y 相互独立.
二、例题
例1 设(X,Y)的概率密度为
xe f ( x, y )
( x y )
,
x 0, y 0 其它
0,