当前位置：文档之家 › 联合分布与边缘分布的关系

联合分布与边缘分布的关系

  • 格式：ppt
  • 大小：607.50 KB
  • 文档页数：32

下载文档原格式

  / 32

合集下载

联合分布与边缘分布

联合分布与边缘分布

变量 ( X ,Y )具有概率密度函数
z
f
(
x,
y)
1 A
,
(x, y)G
1 A
0, 其它
O
则称 ( X ,Y )在G上服从均匀分布.
x
z f ( x, y) y
G
边缘分布密度
fX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y)
f ( x, y)dx,
若对任意的 x, y, 有 f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
则称 X ,Y 相互独立.
y
y2
( x2 , y2 )
P{ x1 x x2 , y1 y y2 }
y1
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 )
O x1
x2 x
F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ).
图 2.
联合分布函数的性质：
(1) 0 F ( x, y) 1, 且 F (, y) 0, F ( x,) 0,
(3) 设 D 是 xOy 平面上的区域，点 ( X ,Y ) 落入 D 内
的概率为 P{( x, y) D} f ( x, y)dxdy D
(4) 若 f ( x, y) 在点( x, y) 连续，则有
2
F ( x, xy
y
)
f ( x, y).
注：
设 G 是平面上的有界区域，其面积为 A.若二维随机
pij 满足下列性质：
(1) pij 0,1, j 1,2, ; (2)
pij 1.
ij
由 X 和 Y 的联合概率分布，
得边缘分布:
pi P{ X xi } pij ,i 1,2, j

联合分布与边缘分布的关系

联合分布与边缘分布的关系
联合分布与边缘分布的关系
目录
• 联合分布与边缘分布的定义 • 联合分布与边缘分布的应用场景 • 联合分布与边缘分布的实例分析 • 总结与展望
01
联合分布与边缘分布的定义
联合分布的定义
1
联合分布描述了随机变量之间的共同概率分布， 表示多个随机变量同时发生的概率。
2
联合分布函数通常用大写字母表示，例如F(x,y)， 表示随机变量X和Y的联合分布函数。
感谢您的观看
THANKS
的影响。
联合分布与边缘分布的关系
• 联合分布和边缘分布在描述随机变量之间的关系时具有互补性。联合分布描述 了多个随机变量的共同概率特性，而边缘分布描述了单个随机变量的概率特性。
• 当一个随机变量是其他随机变量的函数时，该随机变量的边缘分布可以通过对 联合分布进行积分得到。例如，如果X和Y是两个随机变量，且Y=g(X)，那么X 的边缘分布可以通过对X和Y的联合分布积分得到。
联合分布和边缘分布在二维正态分布中具有以下关系：联合分布的概率 密度函数是边缘分布概率密度函数的乘积，即f(x, y)=f(x)f(y)。
多维正态分布的联合分布与边缘分布
01
多维正态分布的联合分布表示多个随机变量的概率分布情况，其概率密度函数 由均值向量和协方差矩阵决定。
02
对于多维正态分布，其边缘分布是低维正态分布。对于每个随机变量，其边缘 分布的概率密度函数由该变量的均值和标准差决定，与其他变量的取值无关。
联合分布与边缘分布在金融领域的应用
风险评估
联合分布和边缘分布在金融领域 中用于评估投资组合的风险，例 如计算投资组合的预期收益和风 险。
资产定价
联合分布和边缘分布在资产定价 中用于确定资产的合理价格，例 如通 结构中用于分析市场交易行为和 市场价格形成机制。

随机向量的联合分布函数

随机向量的联合分布函数
若X1,X2独立, X1 ～ N(μ1,σ12), X2 ～ N(μ2,σ22), 则 X1+X2 ～ N(μ1+μ2,σ12+σ22)
相互独立的二项分布、泊松分布、正态分布具有可加性 以上三个结论均可推广到三项及有限项
若Xi~N(μi,σi2), (i=1,2 ···,n), X1,X2, ···, Xn相互独立,实数
(1) 离散型随机变量X1 ,X2 , ···,Xn相互独立等价于联合概率
分布等于边缘概率分布的乘积.
(2) 连续型随机变量X1 ,X2 , ···, Xn相互独立等价于联合概率 密度函数等于边缘概率密度函数的乘积.
可统一为联合概率分布等于边缘概率分布的乘积.
六、随机变量序列独立性的概念
若n个随机变量X1 , X2, ···,Xn相互独立,则它们中的任意 m(1<m≤n)个随机变量也相互独立.
设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y). (1) 求Z的分布函数
F(z) P(Z z) P(g(X ,Y ) z)
f (x, y)dxdy
g( x,y)z
(2) 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).
例2 设随机向量(X,Y)服从区域
定义 二元实函数F( x , y )=P{ X ≤ x , Y ≤ y} (x,y)∈R2 称为二维随机向量(X,Y)的联合分布函数. (1)(X,Y)为离散型随机向量，且联合概率分布为
P( X xi ,Y y j ) pij
则相应的联合分布函数 F( x, y) pij xi x y j y
(2)(X,Y)为连续型随机向量，且联合概率密度为 f ( x, y)
xy

维随机变量的联合分布与边缘分布

维随机变量的联合分布与边缘分布
边缘分布的求解方法
针对连续型和离散型随机变量，分别提出了边缘分布的求解方法，包 括积分法、求和法等，并通过实例验证了方法的有效性。
联合分布与边缘分布在统计推断中的应用
将联合分布与边缘分布的理论应用于统计推断中，如参数估计、假设 检验等问题，提高了统计推断的准确性和效率。
对未来研究的展望
• 高维随机变量的联合分布与边缘分布：随着数据维度的增加，高维随机变量的 联合分布与边缘分布研究将成为未来的重要方向，需要探索新的理论和方法来 解决高维数据的挑战。
PART 07
总结与展望
REPORTING
WENKU DESIGN
研究成果总结
联合分布与边缘分布的理论体系
本文构建了多维随机变量联合分布与边缘分布的理论框架，明确了两 者之间的关系和转化方法。
联合分布的性质
深入探讨了联合分布的性质，如联合分布的对称性、可加性、连续性 等，为实际应用提供了理论支持。
维随机变量的联合分 布与边缘分布
https://
REPORTING
• 引言 • 二维随机变量及其联合分布 • 边缘分布及其性质 • 条件分布及其性质 • 二维随机变量的独立性 • 二维随机变量函数的分布 • 总结与展望
目录
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
二维随机变量函数的分布求法
01
分布函数法
首先求出(X,Y)的联合分布函数F(x,y)，然后通过Z=g(X,Y)的关系式求出
Z的分布函数G(z)。
02
概率密度函数法
若(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)ห้องสมุดไป่ตู้则可以通过Z=g(X,Y)的关系式求
出Z的概率密度函数h(z)。

联合分布与边缘分布的关系

联合分布与边缘分布的关系
y j ≤ y i =1
∞
∞
由联合概率密度求连续型r.v.的边缘分布函数 由联合概率密度求连续型 的边缘分布函数
F ( x ) = F ( x , +∞ ) = x dx +∞ f ( x , y )dy ∫−∞ ∫−∞ X y +∞ FY ( y ) = F ( +∞ , y ) = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx −∞ −∞
+∞ −∞
y
+∞
fY ( y) = ∫
f ( x, y)d x.
例5 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 ≤ y ≤ x , f ( x, y) = 0, 其他 . 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
解
fX ( x) =
∫− ∞
+∞
f ( x, y)d y
−∞ x ∞ −∞
f ( x , y ) d y ]d x ,
记
f X ( x) = ∫
∞
−∞
f ( x, y ) d y,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度 . 同理可得Y 同理可得 的边缘概率密度
FY ( y ) = F ( ∞ , y ) =
∫−∞ ∫−∞ f ( x , y ) d x d y ,
j =1
+∞
+∞
P {Y = y j } = P { U ( X = xi ), Y = y j }
i =1
+∞
j =1
= ∑ P { X = xi , Y = y j } = ∑ pij ∆ p• j , j = 1, 2, ...

二维离散型随机变量及其分布律

二维离散型随机变量及其分布律

例2Байду номын сангаас10 看书
例 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任
取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球
上标有的数字， 求( X , Y ) 的联合分布列.
解 ( X , Y ) 的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2).
Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3) × (2/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3) ×(1/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}= (2/3) ×(1/2)＝1/3，
Ｙ Ｘ １
２
１
２
０
1/3
1/3
1/3
2.边缘分布律
1). 通过联合分布律,求各个分量的分布律.
定义2.5 ( X ,Y ) 关于分量X的边缘分布律 pi· =P{Xxi}= pij (i1,2, ); j1 ( X ,Y ) 关于分量Y的边缘分布律 p· j=P{Yyj}= pij (j1,2, ). i1
2.补例1
练习题
边缘分布律是分布律.
由联合分布 律得到边缘 分布律
相同的边缘 分布律,不同 的联合分布 律
表2.7-2.8
联合分布律<=|=边缘分布律
补例
二 条件分布律 1.定义
P{Xxi |Yyj}P(xi,yj)/P{Yyj} pij ,j1,2,3,...
p·j 2.条件分布律是分布律(满足分布律的特征)
3.由例2.10求条件分布律
补例
三.随机变量的独立性 1.定义 随机变量的独立性
P {Xxi,Yyj}P (Xxi)P {Yyj} i,j1,2,3,...

《概率论与数理统计》复习题及答案

《概率论与数理统计》复习题及答案《概率论与数理统计》复习题一、填空题1.未知p(ab)?p(a)，则a与b的关系就是单一制。

2．未知a,b互相矛盾，则a与b的关系就是互相矛盾。

3.a,b为随机事件，则p(ab)?0.3。

p(a)?0.4，p(b)?0.3，p(a?b)?0.6，4.已知p(a)?0.4，p(b)?0.4，p(a?b)?0.5，则p(a?b)?0.7。

25.a,b为随机事件，p(a)?0.3，p(b)?0.4，p(ab)?0.5，则p(ba)?____。

36．已知p(ba)?0.3，p(a?b)?0.2，则p(a)?2/7。

7．将一枚硬币重复投掷3次，则正、反面都至少发生一次的概率为0.75。

8.设立某教研室共计教师11人，其中男教师7人，贝内旺拉拜教研室中要自由选择3名叫优秀教师，则3名优秀教师中至少存有1名女教师的概率为___26____。

339.设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出1___。

611110.3人单一制截获一密码，他们能够单独所译的概率为,,，则此密码被所译的5343概率为______。

5后不送回，则第2次取出的就是次品的概率为___11．每次试验成功的概率为p，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3235cp(1?p)7次顺利的概率为______。

12.已知3次独立重复试验中事件a至少成功一次的概率为1事件a顺利的概率p?______。

319，则一次试验中27c35813．随机变量x能取?1,0,1，取这些值的概率为,c,c，则常数c?__。

24815k14．随机变量x原产律为p(x?k)?,k?1,2,3,4,5，则p(x?3x?5)?_0.4_。

15x??2,?0?x?15.f(x)??0.4?2?x?0,是x的分布函数，则x分布律为__??pi?1x?0?0??__。

0.40.6??2?0,x?0??16．随机变量x的分布函数为f(x)??sinx,0?x??，则2?1,x2?p(x??3)?__3__。

二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨

二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨摘要本文首先理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。

掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。

在文献研究的基础上，运用随机事元和随机事元集合，建立了二维随机变量分布和边缘分布的形式化可拓模型。

利用可拓变换和传导变换，结合形式化的可拓推理知识，对二维随机变量在可拓变换下的传导分布模型进行了研究。

将随机事元、随机事元集合、可拓变换、可拓推理知识等引入到二维随机变量分布的研究中，使分析更加形式化，逻辑性更强。

运用随机事元和随机事元集合建立了二维随机变量分布的可拓模型。

本文对这种特例作了深入研究，分析了具有这种性质的二维密度f(x，y)的结构特点与本质，有助于我们更好地了解正态分布的特殊性质。

关键词：二维随机变量；边缘分布；联合分布AbstractIn this paper，we first understand the concept and properties of the joint distribution of two-dimensional random variables and their two basic expressions: joint probability distribution of discrete two-dimensional random variables and joint probability density of continuous two-dimensional random variables. The method of finding the edge distribution of the joint distribution of two known random variables is mastered. On the basis of literature research， a formal extension model of two-dimensional random variable distribution and edge distribution is established by using random event element and random element set. By using extension transformation and conduction transformation combined with formalized knowledge of extension reasoning，the conduction and distribution models of two-dimensional random variables under extension transformation are studied. The random event element，random event set，extension transformation and extension reasoning knowledge are introduced into the study of two-dimensional random variable distribution，making the analysis more formalized and logical. The extension model of the distribution of two dimensional random variables is established by using the random event element and the set of random element. This special case is studied in depth. The structure and nature of the two-dimensional density f (x，y) with this property is analyzed，which helps us to better understand the special properties of normal distribution.Key words:two-dimensional random variables; edge distribution; joint distribution目录摘要 (I)Abstract (II)1 随机变量独立性及其判定 (1)1.1 随机变量独立性定义 (1)1.1.1随机变量及随机变量独立性的定义 (1)1.1.2随机变量独立性的两个简单定理 (2)1.2 离散型随机变量独立性的判定 (4)1.2.1离散型随机变量判别法一 (4)1.2.2离散型随机变量判别法二 (8)1.3 连续型随机变量独立性的判定 (12)1.3.1连续型随机变量判别法一 (12)1.3.2连续型随机变量判别法二 (13)2 边缘分布与联合分布关系探讨 (16)2.1 二维随机变量的分布函数 (16)2.2 二维离散型随机变量 (17)2.3 二维连续型随机变量 (18)2.4 随机变量的独立性 (18)2.5条件分布 (19)2.6 二维随机变量函数的分布 (20)结论 (21)致谢 (21)参考文献 (22)0 引言概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，而随机现象是相对于决定性现象而言的。

《概率论与数理统计》复习题答案

上海第二工业大学《概率论与数理统计》复习题一、填空题1. 已知()()P A B P A =，则A B 与的关系是 独立 。

2．已知,A B 互相对立，则A B 与的关系是 互相对立 。

3.B A ,为随机事件，4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，()0.6P A B =，则()P AB = 0.3 。

4. 已知()0.4P A =，()0.4P B =，5.0)(=B A P ，则()P A B ⋃= 0.7 。

5.B A ,为随机事件，3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，()0.5P A B =，则()P B A =__23__。

6．将一枚硬币重复抛掷3次，则正、反面都至少出现一次的概率为 0.75 。

7. 设某教研室共有教师11人，其中男教师7人，现该教研室中要任选3名为优秀教师，则3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为___2633____。

8. 设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不放回，则第2次抽出的是次品的概率为___61___。

9. 3人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为41,31,51，则此密码被译出的概率为___35___。

10．随机变量X 能取1,0,1-，取这些值的概率为35,,248c c c ，则常数c =_815_。

11．随机变量X 分布律为5,4,3,2,1,15)(===k kk X P ，则(35)P X X ><=_0.4_。

12.02,()0.420,10x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩是X 的分布函数，则X 分布律为__200.40.6i X p -⎛⎫⎪⎝⎭__。

13．随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ，则()3P X π<=__。

14. 随机变量)1,04.1(~N X ，975.0)3(=≤X P ，=-≤)92.0(X P __0.025 。

联合分布和边缘分布的关系

联合分布和边缘分布的关系
联合分布和边缘分布是概率统计学中两个重要的概念，它们之间有密
切的关系。

联合分布指的是两个或多个随机变量同时取某些值的概率分布。

例如，假设有两个随机变量X和Y,联合分布P（x,y）指的是当X取值为x，Y取
值为y时的概率。

边缘分布是指在联合分布中取某个随机变量的分布。

例如，给定联合
分布P（x,y），对于变量X，我们可以将Y积分掉得到X的边缘分布
P(x)=∫P(x,y)dy。

联合分布和边缘分布的关系可以用以下公式表示：
P(x,y)=P(x)P(y|x)。

其中，P(x)表示X的边缘分布，P(y|x)表示在给定X的条件下，Y的
条件概率分布。

从上述公式可以看出，联合分布可以通过边缘分布和条件分布得到，
边缘分布可以通过联合分布积分得到。

这说明了联合分布和边缘分布之间
的密切关系。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.2 边缘分布
联合分布函数与边缘分布函数的关系
FX ( x) F ( x, ) ; FY ( y) F (, y).
由联合分布律求边缘分布函数
FX ( x ) F ( x , )
xi x j 1
p , F ( y ) F (, y ) p .
t2 2
dt dt dx dx
1
dt
2 Y ~ N ( 2 , 2 )
1 1
2
dx
fY ( y )
1 2 2

( y 2 )2
2 2 2
dx 1 1 2 dt
【结论】二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态 分布, 并且都不依赖于参数. 即
现在如果限制 Y 取值为1.5m , 在这个 限制下求 X 的分布 .
一、离散型随机变量的条件分布
定义 设 ( X , Y ) 是二维离散型随机变量, 对于固定
的 j , 若 P{Y y j } pij 0, 则称
i 1
P { X xi Y y j }
P { X xi , Y y j } P{Y y j }
试求二维正态随机变量 的边缘概率密度.
f ( x, y )
1 2 1 2 1
2
e
( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 2 2 2 1 2 2(1 ) 1 2 1

P{Y y j X xi }
为在X xi条件下随机变量 Y 的条件分布律.
【说明】 ① 条件分布的本质是条件概率, 离散型r.v.X在{Y=yj}发 生的条件下的条件分布律, 就是在{Y=yj}发生条件下将 X每一个可能取值及取值的条件概率列出. ②条件分布律满足分布律的充要条件:
2
2

1 2 1 2 1

2
( y 2 )2
2 2 2
e
e

t 2
令
( x 1 )
t

1

( y 2 ) 2
fY ( y )
1 2 2
f ( x , y ) dx
2 2 2
2
1 2

( y 2 )2
e

e


e
( X ,Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 , )
2 2
2 2 X ~ N ( 1 , 1 ), Y ~ N ( 2 , 2 )
【说明】 对于确定的1, 2, 1, 2, 当不同时, 对应了 不同的二维正态分布. 在下一章将指出, 对于二维正态 分布而言, 参数正好刻画了X和Y之间关系的密切程度.
或
P{Y y j } P{ X xi Y y j }, P{Y y j } 0
i , j 1,2,
类似全概率公式(求边缘分布律)
P{ X xi } pij P{ X xi , Y y j }
j 1 j 1
P{ X xi Y y j } P{Y y j }, P{Y y j } 0, i 1, 2,
用 P{ X x Y y }直接定义, 因为P{Y y} 0, 我们 只能讨论Y取值在y附近的条件下，X的条件分布. 定义 给定y, 对于任意固定的 0, P{ y Y y } 0. 若对于任意实数x, 极限
P{ X x , y Y y } lim P{ X x y Y y } lim 0 0 P{ y Y y }
pi1
p• j
p•1

yj
pi•
p1 j
p11
p1•

pij

pi
•


p•
j

1


三、连续型随机变量的边缘概率密度
定义 对于连续型随机变量( X ,Y ), 设它的概率 密度为 f ( x , y ), 由于
FX ( x ) F ( x , ) [
思考 边缘分布均为正态分布的随机变量, 其联合分布 一定是二维正态分布吗?
【结论】 联合分布
边缘分布
在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？
3.3 条件分布 问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人分别 , 用 X 和 Y 记此人的体重和身高则X 和 Y 都是随 , 机变量, 他们都有自己的分布 .
例2 一射手进行射击, 每次击中目标的概率为p(0<p<1), 射击到击中目标两次为止. 设以X 表示首次击中目标所进 行的射击次数, 以Y 表示总共进行的射击次数. 试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律.
二、连续型随机变量的条件分布
【引言】在条件分布中,作为条件的随机变量的取值
是确定的数.但是当Y 是连续型r.v.时, 条件分布不能
j 1


P{Y y j } P{ ( X xi ), Y y j }
i 1

j 1
P{ X xi , Y y j } pij p j , j 1, 2, ...
i 1 i 1


联合分布律及边缘分布律
Y y1
X
x1
xi
y y x●
●
(1,1)
当 0 x 1 时,
f X ( x)

x x

f ( x, y) d y
O
y x
2
2 6d y
x
6( x x 2 ).
当 x 0 或 x 1时,
因而得
f X ( x)


f ( x , y )x 1, f X ( x) 其他. 0,
f ( x , y )d x.

fY ( y )


例5 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其他. 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
解
f X ( x)

f ( x, y) d y
二、二维离散型随机变量的边缘分布律
由(X,Y)的联合分布律P{X＝xi,Y＝yj}＝pij，i,j＝1,2,…

P{ X xi } P{ X xi , (Y y j )}
j 1
P{ X xi , Y y j } pij pi , i 1, 2, ...
XY
存在, 则称此极限为在条件Y=y下, X的条件分布函数, 记作 P{ X x Y y } 或 F ( x y ).
P{ X x , y Y y } lim P{ X x y Y y } lim 0 0 P{ y Y y }
1 ( x μ1 )2 ( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 )2 exp 2ρ 2 2 2 σ1 σ 2 σ2 2(1 ρ ) σ1
x , y ,
其中 μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ 都是常数, 且 σ1 0, σ 2 0, 1 ρ 1.
P { X xi Y y j } i 1, 2,
P{Y y j X xi } P{ X xi }
P{Y y
k 1

,
j
X xk } P { X xk }
【练习】已知(X,Y)的联合分布律
Y
X
0
0 3/28 1/14
1 9/28 5/14
2 3/28 0
ij
Y y j y i 1 ij


由联合概率密度求连续型r.v.的边缘分布函数
F ( x ) F ( x , ) x dx f ( x , y )dy X y FY ( y ) F ( , y ) dy f ( x , y )dx
(1) P{ X xi Y y j }

pij p j
0, i 1, 2, ;

(2) P{ X xi Y y j }
i 1 i 1
1 p j p j
pij
p
i 1

ij

p j p j
1.
类似乘法公式(求联合分布律)
P{ X xi , Y y j } P{ X xi } P{Y y j X xi }, P{ X xi } 0
2 2 2
e
e
( x 1 ) ( y 2 ) 1 2 2 (1 2 )
2
f ( x, y )
1 2 1 2 1
2

( y 2 )2
2 2 2
e

e
( x 1 ) ( y 2 ) 1 2 2 (1 2 )
y y x
(1,1)
y x2
O
x
当 0 y 1 时,
y y x
● ●
(1,1)
fY ( y )

f ( x, y ) d x
y
y

y x2
O

6d x
x
6( y y ).
当 y 0 或 y 1时, fY ( y )

f ( x , y ) d x 0.
6( y y ), 0 y 1, 得 fY ( y ) 0, 其他.