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第三章 二维随机变量及其分布■2009考试内容多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布■2009考试要求1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维离散型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率。
2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件。
3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布N （221212,;,;)μμσσρ的概率密度，理解其中参数的概率意义。
4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。
本章的核心内容是离散3分布（联合、边缘和条件）；连续3密度（联合、边缘和条件）；均匀与正态。
介绍了作者原创的3个秘技（直角分割法、平移法和旋转法） 求分布问题。
本章是教育部关于概率论大题命题的重点。
一、二维随机变量（向量）的分布函数1.1 二维随机变量（向量）的分布函数的一般定义(), X Y 是二维随机变量，对任意实数x 和y ，称为(), X Y 的分布函数，又称联合分布函数。
●(), F x y 具有一维随机变量分布类似的性质。
① ()0, 1F x y ≤≤；② (), F x y 对x 和y 都是单调非减的，如()()1212, , x x F x y F x y >⇒≥； ③ (), F x y 对x 和y 都是右连续；④ ()()()()(), lim , 1, , , , 0,x x F F x y F F x F y →+∞→+∞+∞+∞==-∞-∞=-∞=-∞=●(), F x y 几何意义：表示(), F x y 在(), x y 的函数值就是随机点(), X Y 在X x =左侧和Y y =下方的无穷矩形内的概率。
第三讲 二维随机变量的概率分布考纲要求1.理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率.2.理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.一、二维随机变量的概率分布问题1 何谓二维随机变量的联合分布函数？何谓二维随机变量的边缘分布函数？ 答 1.二维随机变量),(Y X 的联合分布函数{}(,),F x y P X x Y y =≤≤，即),(Y X 的取值落在无穷矩形域(,](,]x y -∞⨯-∞内的概率.二维随机变量的联合分布函数具有如下性质： ⑴0(,)1F x y ≤≤；⑵(,)(,)(,)0F F y F x -∞-∞=-∞=-∞=，(,)1F +∞+∞=； ⑶(,)F x y 关于x （关于y ）单调不减； ⑷(,)F x y 关于x （关于y ）右连续. 2.二维随机变量),(Y X 关于X 的边缘分布函数{}{}(),(,)lim (,)X y F x P X x P X x Y F x F x y →+∞=≤=≤<+∞=+∞=.二维随机变量),(Y X 关于Y 的边缘分布函数{}{}(),(,)lim (,)Y x F y P Y y P X Y y F y F x y →+∞=≤=<+∞≤=+∞=.问题2 何谓二维离散型随机变量联合分布、边缘分布和条件分布？ 答 ⑴联合分布设二维离散随机变量(,)X Y 的所有可能值为(,),,1,2,i j x y i j = ，则称{},(,1,2,)i j ij P X x Y y p i j ====为二维离散随机变量(,)X Y 的联合分布律，其中01ij p ≤≤，111ij i j p ∞∞===∑∑.⑵边缘分布称{}1(1,2,)i ij i j P X x p p i ∞⋅=====∑，{}1(1,2,)j ij j i P Y y p p j ∞⋅=====∑分别为(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律. 利用联合概率分布表计算如下： ⑶条件分布称{}(1,2,)ij i j j p P X x Y y i p ⋅==== 为在j Y y =的条件下随机变量X 的条件分布；称{}(1,2,)ijj i i p P Y y X x j p ⋅==== 为在i X x =的条件下随机变量Y 的条件分布. 例1.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p 且中途下车与否相互独立. 以Y 表示在中途下车的人数，求⑴在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 个人下车的概率； ⑵二维随机变量),(Y X 的概率分布(01-1). 解 ⑴{}(1)m m n m n P Y m X n C p p -===-； ⑵二维随机变量),(Y X 的概率分布为{}{}{},P X n Y m P X n P Y m X n ======(1)(0,1,2,0,1,,)!nm m n mn e C p p n m n n λλ--=-==2.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及关于X 和关于Y 的边缘概率分布的部分数值，将其余数值填入表中的空白处.解 由联合分布与边缘分布的关系，得111116824p =-=；由独立性，得11112464p ⋅=÷=；由概率分布的性质，得213144p ⋅=-=；其余数值可类似求出.故3.设随机变量11~(1,2)1/41/21/4i X i -⎛⎫=⎪⎝⎭且满足{}1201P X X ==，则{}12P X X == . 【0】问题3 何谓二维连续型随机变量的联合密度？它具有哪些性质？ 答 若存在非负函数(,)f x y ，使得随机变量(,)X Y 的分布函数 (,)(,)x y F x y f x y dxdy -∞-∞=⎰⎰，则称(,)X Y 为二维连续随机变量，并称(,)f x y 为(,)X Y 的联合概率密度或者联合密度函数.联合概率密度具有如下性质： ⑴(,)0f x y ≥；⑵(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；⑶(,)(,)x y F x y f x y dxdy -∞-∞=⎰⎰连续；⑷若(,)f x y 在点(,)x y 连续，则(,)(,)xyF x y f x y ''=； ⑸{}(,)(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰.例1.设二维随机变量),(Y X 的概率密度2(),(,)0,x y ce f x y -+⎧=⎨⎩.,0,0else y x +∞<<+∞<<则常数=c ；),(Y X 落在区域{(,)1}D x y x y =+≤内的概率为 .【提示：由2()(,)41x y f x y dxdy dx edy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰推出=c 4；{}112()2(,)413xx y P X Y D dx edy e--+-∈==-⎰⎰.】问题4 如何求二维随机变量的边缘密度？答 设(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，则可按如下公式计算边缘密度： 关于X 的边缘密度()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰； 关于Y 的边缘密度()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰.例 设二维随机变量),(Y X 的概率密度26,,(,)0,x y x f x y else⎧≤≤=⎨⎩ 则),(Y X 关于X 的边缘概率密度=)(x f X ，关于Y 的边缘概率密度=)(y f Y .解 画出概率密度(,)f x y 的非零区域. 由图看出，X 的取值范围[0,1]， 当01x ≤≤时，22()(,)66()x X xf x f x y dy dy x x +∞-∞===-⎰⎰，关于X 的边缘概率密度26(),01,()0,.X x x x f x else ⎧-≤≤=⎨⎩类似可求出关于Y的边缘概率密度),01,()0,.Y y y f y else ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩问题5 如何求二维随机变量的条件密度？答 设(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，关于,X Y 的边缘密度分别为(),()X Y f x f y ，则可按如下公式计算条件概率密度：在Y y =的条件下，X 的条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y =；在X x =的条件下，Y 的条件概率密度(,)()()Y X X f x y f y x f x =.问题6 如何判断随机变量的独立性？ 答 判断随机变量的独立性的方法有：⑴随机变量X 与Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=； ⑵离散型随机变量X 与Y 相互独立,,ij i j i j p p p ⋅⋅⇔∀=； ⑶连续随机变量X 与Y 相互独立(,)()()X Y f x y f x f y ⇔=.问题7 何谓二维均匀分布？答 若二维随机变量(,)X Y 的概率密度1,(,),(,)0,(,),x y D f x y x y D σ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩其中σ为D 的面积，则称(,)X Y 服从区域D 上的均匀分布.问题8 何谓二维正态分布？它具有哪些性质？ 答 若二维随机变量(,)X Y 的概率密度221122211221(,)[()2()()()]2(1)x x y y f x y μμμμρρσσσσ⎧⎫----=--+⎨⎬-⎩⎭则称(,)X Y 服从二维正态分布，记作221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ.二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ具有如下性质：⑴关于X 和Y 的边缘分布分别为211(,)N μσ，222(,)N μσ；⑵条件分布均为正态分布；⑶X 和Y 的非零线性组合aX bY +服从正态分布； ⑷X 和Y 相互独立的充要条件是相关系数0ρ=.例 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则（ ）.(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 21}0{=≤-Y X P【提示 独立的正态变量的线性函数仍为正态变量；B 】二、二维随机变量函数的分布问题9 如何求二维随机变量函数的概率分布？答 设(,)g x y 在随机变量(,)X Y 的一切可能值有定义，则称(,)Z g X Y =为随机变量(,)X Y 的函数.求离散型随机变量函数的分布，关键是：弄清(,)Z g X Y =取哪些值，并求出对应的概率；求连续型随机变量函数的分布，关键是：弄清(,)Z g X Y =的取值范围，并求出分布函数.求两个独立随机变量X 与Y 的和Z X Y =+的概率密度，可用如下的卷积公式 ()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰.例1.设ηξ,是两个相互独立且服从同分布的随机变量，如果ξ的分布律为3,2,1,31}{===i i P ξ，求),max(ηξ=X 与),min(ηξ=Y 的分布律.解 ),m a x (ηξ=X 的取值为1，2，3{}{}{}{}111,1119P X P P P ξηξη========；{}{}{}{}321,11,22,29P X P P P ξηξηξη====+==+===；{}{}{}531129P X P X P X ==-=-==，故),max(ηξ=X 分布律为：类似可求出),min(ηξ=Y 分布律为：2.设1X 和2X 独立，)2,1(1}2{,}1{=-====i p X P p X P i i ，令1,0,X ⎧=⎨⎩为偶数若为奇数若2121X X X X ++ 则2X 的概率分布为 .3.设二维随机变量),(Y X 在矩形}10,20),{(≤≤≤≤=y x y x D 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度)(s f S .(99-1)解 ),(Y X 的概率密度1,(,)(,)20,(,)x y Df x y x y D ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩X 的取值范围为[0,2]，Y 的取值范围为[0,1]，S XY =的取值范围为[0,2].S XY =的分布函数{}()S F s P S s =≤，当0s ≤时，{}()0S F s P S s =≤=，当2s ≥时，{}()1S F s P S s =≤=， 当02s <<时，{}{}{}()11S F s P S s P S s P XY s =≤=->=->211(,)1(1ln 2ln )22s sxxy ss f x y dxdy dx dy s >==-=+-⎰⎰⎰⎰，故S 的概率密度1(ln 2ln ),02,()20,.S s s f s else ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩4.设随机变量X 和Y 相互独立， 2~(,)X N μσ， ~(,)Y U ππ-.试求Y X Z +=的密度函数（用)(x Φ表示）.(92-1)解 X 和Y 相互独立，2~(,)X N μσ，~(,)Y U ππ-，则),(Y X 的密度函数=),(y x f 1(),()()20,.X X Y f x y f x f y else πππ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，Y X Z +=的分布函数{}{}()(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰11()()22z y X z y dy f x dx dy ππππμΦππσ---∞---==⎰⎰⎰（令z y t μσ--=）1()()()22z z z z t dt t dt πμπμσσπμπμσσσΦσΦππ--+-+---=-=⎰⎰，Y X Z +=的密度函数1()()[]2Z Z z z f z F z πμπμπσσ+---⎛⎫⎛⎫'==Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
