4.2 不等式的基本性质 能力培优训练(含答案)

2.2 不等式的根本性质1．假设x ＞y ，那么以下式子中错误的选项是( ) A ．x －3＞y －3 B ．x ＋3＞y ＋3 C ．－3x ＞－3yD.x 3＞y32．以下不等式变形正确的选项是( ) A ．由a ＞b 得ac ＞bc B ．由a ＞b 得－2a ＞－2bC ．由a ＞b 得－a ＜－bD ．由a ＞b 得a －2＜b －23．以下变形中，不正确的选项是( ) A ．由x －5＞0可得x ＞5 B ．由12x ＞0可得x ＞0C ．由－3x ＞－9可得x ＞3D ．由－34x ＞1可得x ＜－434．因为－13x ＞1，所以x －3(填“＞〞或“＜〞)，依据是 .5．用不等号填空：(1)假设a ＞b ，那么ac 2 bc 2；(2)假设a ＞b ，那么3－2a 3－2b .6．把不等式2x ＞3－x 化为x ＞a 或x ＜a 的形式是( ) A ．x ＞3 B ．x ＜3 C ．x ＞1D ．x ＜17．小明的作业本上有四道利用不等式的性质，将不等式化为x ＞a 或x ＜a 的作业题：①由x ＋7＞8解得x ＞1；②由x ＜2x ＋3解得x ＜3；③由3x －1＞x ＋7解得x ＞4；④由－3x ＞－6解得x ＜－2.其中正确的有( ) A ．1题 B ．2题 C ．3题D ．4题8．根据不等式的根本性质，可将“mx ＜2〞化为“x ＞2m〞，那么m 的取值范围是 .9．x 满足－5x ＋5＜－10，那么x 的范围是 .10．根据不等式的根本性质，把以下不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：(1)2x＞－4; (2)x－4＜－2；(3)－2x＜1; (4)12x＜2.11．某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同种商品40件，如果商店销售这些商品时，每件定价为x 元，那么会获得不少于12%的利润，用不等式表示以上问题中的不等关系，并把这个不等式变形为“x≥a〞或“x≤a〞的形式．12．某商贩去菜摊买西红柿，他上午买了30斤，价格为每斤x元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y元，后来他以每斤x＋y2元的价格卖完后．发现自己赔了钱，你知道是什么原因吗？答案：1. C2. C3. C4. ＜ 不等式的根本性质35. ＞ ＜6. C7. B8. m ＜09. x ＞310. 解：(1)x ＞－2 (2)x ＜2 (3)x ＞－12(4)x ＜411. 解：由题意得(10＋40)x －(15×10＋12.5×40)≥(15×10＋12.5×40)×12%，∴x ≥14.56. 12. 解：由题意得：(30x ＋20y )－x ＋y 2x －5y ＞0.根据不等式的性质1，两边都加上5y ，得5x ＞5y ，所以x ＞y .即此商贩上午所买的西红柿的单价高于下午的单价，所以赔了钱．第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质 一．选择题〔共8小题〕1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，那么添加的条件不能为〔 〕A． BD=CE B． AD=AE C． DA=DE D． BE=CD2．等腰三角形的一个角是80°，那么它顶角的度数是〔 〕A． 80° B． 80°或20° C ． 80°或50° D． 20°3．实数x，y满足，那么以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是〔〕A． 20或16 B． 20 C． 16 D． 以上答案均不对 4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，那么∠BDC的度数是〔 〕 A． 60° B． 70° C． 75° D． 80°5．等腰三角形的两边长分别是3和5，那么该三角形的周长是〔 〕 A． 8 B． 9 C． 10或12 D． 11或13 6.如图，给出以下四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有〔 〕 A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个局部，那么这个等腰三角形的底边长为〔〕A． 7 B．11 C．7或11D．7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，那么顶角的度数为〔〕A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°二．填空题〔共10小题〕9．等腰三角形的一个内角为80°，那么另两个角的度数是_________ ．10．如图，AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，那么∠ACD=_________ ．第10题 第11题 第12题 第13题11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，那么∠B=_________ °．12．如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，那么∠A=________°．13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，那么BD=_________．14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，那么∠BA C=_________ °．第14题 第15题 第16题 第17题 第18题15.如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°，那么∠D的度数为__ ___.16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，那么∠BDC的度数为_________．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，那么∠C=_________ ．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP ，CP=CF，那么∠EPF=_________ 度．三．解答题〔共5小题〕19．：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：〔1〕△ABD≌△ACD；〔2〕BE=CE．21．如下图，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB 的位置关系，并给出证明．22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出以下四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．〔1〕上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？〔用序号写出所有的情形〕〔2〕选择〔1〕小题中的一种情形，说明AB=AC．23．〔1〕如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、A C于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？〔2〕如图，假设点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜测线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜测．参考答案一、CBBCDCCD二、9、50°，50°或80°，20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、30°；16、72；17、70；18、50三、19、证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODB=∠OEC=90°．∵O是底边BC上的中点，∴OB=OC，在△OBD与△OCE中，∴△OBD≌△OCE〔AAS〕．∴BD=CE．∵AB=AC，∴AB﹣BD=AC﹣CE．即AD=AE．20、证明：〔1〕∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△A BD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD〔SSS〕；…〔4分〕〔2〕由〔1〕知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE 〔SAS〕，∴BE=CE〔全等三角形的对应边相等〕．〔其他正确证法同样给分〕…〔4分〕21、解：OE⊥AB．证明：在△B A C和△ABD中，，∴△BAC≌△ABD〔SAS〕．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．答：OE⊥AB．22、〔1〕答：有①③、①④、②③、②④共4种情形．〔2〕解：选择①④，证明如下：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB．②④理由是：在△BEO和△CDO中∵，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO=∠DCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，23、解：〔1〕成立；∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4．∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．∴∠1=∠3，∠6=∠5．根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．∴DE=DF+EF=BD+CE．故成立．〔2〕∵BF分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC．∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF．∵CF平分∠AC G，∴∠ACF=∠FCG．∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCG．∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF．∵EF+DE=DF，即DE+EC=BD．。

北师版八年级数学下册2.2 不等式的基本性质培优训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1. 下列不等式变形正确的是()A．由a＞b得ac＞bcB．由a＞b得－2a＞－2bC．由a＞b得－a＜－bD．由a＞b得a－2＜b－22．下列说法不一定成立的是( )A．若a＞b，则a＋c＞b＋cB．若a＋c＞b＋c，则a＞bC．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b3．下列推理正确的是()A．因为a＜b，所以a＋2＜b＋1B．因为a＜b，所以a－b＞0C．因为a＞b，所以a＋c＞b＋cD．因为a＞b，所以a＋c＞b＋d4．a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①a＋b＞0；②a＋b＞a＋c；③bc＞ac；④ab＞ac.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图，则下列式子正确的是()A．cb＞ab B．ac＞abC．cb＜ab D．c＋b＞a＋b6．下列不等式变形正确的是( )A．由4x－1≥0得4x＞1B ．由5x ＞3得x ＞3C ．由y 2＞0得y ＞0 D ．由－2x ＜4得x ＜－27. 设“▲”，“●”，“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲，●，■这三种物体按质量从大到小排列应为( )A ．■●▲B ．▲■●C ．■▲●D ．●▲■8. 估计(23＋62)×13的值应在( ) A ．4和5之间 B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间9．若a －b ＞a ，a ＋b ＜b ，则有( )A ．ab ＜0 B.a b＞0 C ．a ＋b ＞0 D ．a －b ＜010. 点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别为a ，b ，下列结论错误的是( )A ．|b|＜2＜|a|B ．1－2a ＞1－2bC ．－a ＜b ＜2D ．a ＜－2＜－b二．填空题（共8小题，3*8=24）11．用“＜”或“＞”填空：(1)若－a ＞－b ，则a ____b ；(2)若－2a ＋1＜－2b ＋1，则a ____b.12．用“＜”或“＞”填空：(1)若a ＞b ，则a －b____0；(2)若m －2n ＞0，则m____2n.13. 有一道这样的题：“由★x ＞1得到x ＜1 ★”，则题中★表示的是_______数. 14．设“”“ ”表示两种不同的物体，现用天平称，情况如图所示，设“”的质量为a kg ，“”的质量为b kg ，则可得a 与b 的大小关系是a ________b.15．由3a ＜4b ，两边____________________，可变形为14a ＜13b. 16. 估计7＋1的值在连续整数______和________之间17. 若a ＜7－2＜b ，且a ，b 是两个连续整数，则a ＋b 的值是________.18. 指出下列各式成立的条件：(1)由mx ＜n ，得x ＜n m成立的条件是_________；(2)由a ＜b ，得ma ＞mb 成立的条件是_________.三．解答题（共7小题， 46分）19．(6分) 说明下列不等式是怎样变形的：(1)若－32x ＞－6，则x ＜4； (2)若－3x ＞2，则x ＜－23.20．(6分21．(6分) 设a<b ，用“<”或“>”填空．(1)a －1________b －1； (2)a ＋1________b ＋1；(3)2a________2b ； (4)－2a________－2b ； (5)－a 2________－b 2； (6)a 2________b 2.23．(6分) 若a ＞b ，c 为实数，试比较ac 2与bc 2的大小．24．(8分) 已知－5x－4＞6x＋4.解：－5x－6x＞4＋4，①即－11x＞8，所以x＞－811.②(1)填空：步骤①是根据不等式的基本性质________，将不等式的两边同时_____________；步骤②是根据不等式的基本性质______，将不等式的两边同时_____________．(2)分析：本题解答有错误吗？如果有，指出错在哪一步，并写出正确的解答过程．25．(8分) 用等号或不等号填空：(1)比较4m与m2＋4的大小．当m＝3时，4m________m2＋4；当m＝2时，4m________m2＋4；当m＝－3时，4m________m2＋4.(2)无论取什么值，4m与m2＋4总有这样的大小关系吗？试说明理由；(3)比较x2＋2与2x2＋4x＋6的大小关系，并说明理由；(4)比较2x＋3与－3x－7的大小关系．参考答案1-5CCCDA 6-10 CCCBX11. ＜，＞12. ＞，＞13. 负14. ＜15. 同乘112(或同除以12) 16． 3，417．118. m ＞0；m ＜0；19. 解：(1)－32x ＞－6，两边都除以－32，得x ＜4； (2)－3x ＞2，两边都除以－3，得x ＜－23； 20. 解：由已知得1－a ＜0，即a ＞1.则|a －1|＋|a ＋2|＝a －1＋a ＋2＝2a ＋1.21. 解：(1)＞；(6)＜.22. 解：(1) ∴x ＞－6(2) ∵－5x ＜－2，∴－5x÷(-5) ＞－2÷(-5)∴x ＞2523. 解：此题应分c ＞0，c ＝0，c ＜0三种情况进行讨论． 当c ＞0时，c 2＞0，由a ＞b 得到ac 2＞bc 2；当c ＝0时，c 2＝0，由a ＞b 得到ac 2＝bc 2；当c ＜0时，c 2＞0，由a ＞b 得到ac 2＞bc 2.综上所述，当c≠0时，ac 2＞bc 2；当c ＝0时，ac 2＝bc 2.24. 解：(1)1，加(－6x ＋4)；，3，除以－11.(2)有错误，错在②.正确的解答过程如下：－5x －4＞6x ＋4，－5x －6x ＞4＋4，－11x ＞8，x＜－811.25. 解：(1)＜＝＜(2)∵(m2＋4)－4m＝(m－2)2≥0，∴无论m取什么值，总有4m≤m2＋4(3)∵(2x2＋4x＋6)－(x2＋2)＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，∴x2＋2≤2x2＋4x＋6(4)∵(2x＋3)－(－3x－7)＝5x＋10，∴当x＞－2时，5x＋10＞0，2x＋3＞－3x－7，当x＝－2时，5x＋10＝0，2x＋3＝－3x－7，当x＜－2时，5x＋10＜0，2x＋3＜－3x－7。

不等式的基本性质 习题精选（一）★不等式的基本性质1．不等式的基本性质1：如果a>b ，那么 a+c____b+c ， a －c____b －c ．不等式的基本性质2：如果a>b ，并且c>0，那么ac_____bc ．不等式的基本性质3：如果a>b ，并且c<0，那么ac_____bc ．2．设a<b ，用“<”或“>”填空．（1）a －1____b －1；（2）a+1_____b+1；（3）2a____2b ；（4）－2a_____－2b ； 5）－a 2_____－b 2；（6）a 2____b2．3．根据不等式的基本性质，用“<”或“>”填空．（1）若a －1>b －1，则a____b ；（2）若a+3>b+3，则a____b ；（3）若2a>2b ，则a____b ；（4）若－2a>－2b ，则a___b ．4．若a>b ，m<0，n>0，用“>”或“<”填空．（1）a+m____b+m ；（2）a+n___b+n ；（3）m －a___m －b ；（4）an____bn ；（5）a m ____b m ；（6）a n _____bn ；5．下列说法不正确的是（ ）A ．若a>b ，则ac 2>bc 2（c 0）B ．若a>b ，则b<aC ．若a>b ，则－a>－bD ．若a>b ，b>c ，则a>c★不等式的简单变形6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x>a 或x>a 的形式：（1）x －3>1；（2）－32x>－1；（3）3x<1+2x ；（4）2x>4． ［学科综合］7．已知实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图13－2－1所示，则下列式子中正确的是（ ）A．bc>ab B．ac>ab C．bc<ab D．c+b>a+b8．已知关于x的不等式（1－a）x>2变形为x<21-a，则1－a是____数．9．已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是（）A．3b<p<3a B．a+2b<p<2a+b C．2b<p<2（a+b）D．2a<p<2（a+b）［创新思维］（一）新型题10．若m>n，且am<an，则a的取值应满足条件（）A．a>0 B．a<0 C．a=0 D．a≥0（二）课本例题变式题11．（课本p6例题变式题）下列不等式的变形正确的是（）A．由4x－1>2，得4x>1 B．由5x>3，得x>35C．由x2>0，得x>2D．由－2x<4，得x<－2（三）易错题12．若a>b，且m为有理数，则am2____bm2．13．同桌甲和同桌乙正在对7a>6a进行争论，甲说：“7a>6a正确”，乙说：“这不可能正确”，你认为谁的观点对？为什么？（四）难题巧解题14．若方程组2x+y=k+1x+2y=-1⎧⎨⎩的解为x，y，且3<k<6，则x+y的取值范围是______．（五）一题多解题15．根据不等式的基本性质，把不等式2x+5<4x_1变为x>a或x<a的形式．［数学在学校、家庭、社会生活中的应用］16．如图13－2－2所示，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和b，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗？［数学在生产、经济、科技中的应用］17．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖，乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖．（1）小明要买20本时，到哪个商店购买较省钱？（2）写出甲商店中收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式．（3）小明现有24元钱，最多可买多少本？［自主探究］18．命题：a，b是有理数，若a>b，则a2>b2．（1）若结论保持不变，那么怎样改变条件，命题才能正确？；（2）若条件保持不变，那么怎样改变结论，命题才能正确？［潜能开发］19．甲同学与乙同学讨论一个不等式的问题，甲说：每个苹果的大小一样时，5个苹果的重量大于4个苹果的重量，设每个苹果的重量为x则有5x>4x．乙说：这肯定是正确的．甲接着说：设a为一个实数，那么5a一定大于4a，这对吗？乙说：这与5x>4x不是一回事吗？当然也是正确的．请问：乙同学的回答正确吗？试说明理由．［信息处理］20．根据不等式的基本性质，把下列不等变为x>a或x<a的形式：（1）1x2>－3；（2）－2x<6．解：（1）不等式的两边都乘以2，不等式的方向不变，所以1x2>-322⨯⨯，得x>－6．（2）不等式两边都除以－2，不等式方向改变，所以-2x6>-2-2，得x>－3．上面两小题中不等式的变形与方程的什么变形相类似？有什么不同的？［开放实践］21．比较a+b与a－b的大小．［经典名题，提升自我］［中考链接］22．（2004·山东淄博）如果m<n<0，那么下列结论中错误的是（）A．m－9<n－9 B．－m>－n C．11>n m D．mn>123．（2004·北京海淀）若a－b<0，则下列各题中一定成立的是（）A．a>b B．ab>0 C．ab>0 D．－a>－b［奥赛赏析］24．要使不等式…<753246a<a<a<a<a<a<a<…成立，有理数a的取值范围是（）A．0<a<1 B．a<－1 C．－1<a<0 D．a>1［趣味数学］25．（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，如图13－2－3①中，试判断这三人的轻重．（2）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，如图13－2－3②，试判断这四人的轻重．答案1．> > > <2．（1）<（2）<（3）<（4）>（5）>（6）<3．（1）>（2）>（3）>（4）<4．（1）>（2）>（3）<（4）>（5）<（6）>5．C 点拨：a>b，不等式的两边同时乘以－1，根据不等式的基本性质3，得－a<－b，所以C选项不正确．6．解：（1）x－3>1，x－3+3>1+3，（根据不等式的基本性质1）x>4；（2）－23x>－1，－23x·（－32）<－1·（－32），（根据不等式的基本性质3）x<32；（3）3x<1+2x，3x－2x<1+2x－2x，（根据不等式的基本性质1）x<1；（4）2x>4，2x4>22，（根据不等式的基本性质2）x>2．7．A 8．负9．D 10．B 11．B 12．错解：am2>bm2错因分析：m2应为大于或等于0的数，忽略了m等于0的情况正解：：am2≥bm213．错解1：甲对，因为7>6，两边同乘以一个数a，由不等式的基本性质2，可得7a>6a．错解2：乙对，因为a为负数或零时，原不等式不成立．错因分析：本题没有加以分析，只片面的认为a为正数或负数，实际a为任意数，有三种情况：a为负数，a为正数，a为0，应全面考察各种．正解：两人的观点都不对，因为a的符号没有确定：①当a>0时，由性质2得7a>6a，②当a<0时，由性质3得7a<6a，③当a=0时，得7a=6a=0．14．1<x+y<2点拨：两方程两边相加得3（x+y）=k．3<k<6，即3<3（x+y）<6，∴1<x+y<2．15．解法1：2x+5<4x－1，2x+5－5<4x－1－5，2x<4x－6，2x－4x<4x－6－4x，－2x<－6，-2x-6>-2-2，x>3．解法2：2x+5<4x－1，2x+5－2x<4x－1－2x，5+1<2x－1+1，6<2x，62x<22，3<x，即x>3．16．解：从图中可看出a>b，存在这样一个不等式，两边都加上c，根据不等式的基本性质1，则a+c>b+c，所以，盘子仍然像原来那样倾斜．17．解：（1）若到甲商店购买，买20本共需10+1⨯70%⨯10=17（元），到乙商店购买20本，共需1⨯0．85⨯220=17元，因为到甲、乙两个商店买20本都需花17元，故到两个商店中的任一个购买都一样．（2）甲商店中，收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式为y=10+0．7（x －10），即y=0．7x+3（其中x>10）．（3）小明现有24元钱，若到甲商店购买，可以得到方程24=0．7x+3，解得x=30（本）．若到乙商店购买，则可买24÷（1 0．85）≈28（本）．30>28，故小明最多哥买30本．a>b18．解：（1）a，b是有理数，若a>b>0，则22（2）a，b是有理数，若a>b，则a+1>b+1．19．解：乙同学的回答不正确，5a不一定大于4a．当a>0时，5a>4a>0；当a=0时，5a=4a=0；当a<0时，5a<4a<0．20．解：这里的变形与方程中的“将未知数的系数化为1”相类似，但是也有所不同；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．21．解：a+b－（a－b）=2b，当b>0时，a+b>a－b；当b=0时，a+b=a－b；当b<0时，a+b<a－b．22．C 23．Da<a<a<0…，则24．B 点拨：a的奇数次方一定小于a的偶数次方，则a是负数，且246这个负数一定小于－1，故应选B．25．解：（1）三人由轻到重排列顺序是B、A、C．（2）四人由轻到重排列顺序是Q、P、S、R．。

4.2不等式的基本性质基础导练1.下列说法不正确的是( )A.若a>b,则ac 2 >bc2 (cHO)B.若a>b,则bvaC.若a>b,则一a>~bD.若a>b, b>c,则a>c2.已知实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是( )c b 0 aA- bc>abB・ ac>abC.bc<abD.c+b>a+b3.要使不等it..<a7<a5<a3<a<a2<a4<a6<..j^,有理数a的取值范围是（）A.0<a<lB.a<—1C.—1<a<0D.a>l能力提升I2x+y=k+l5.若方程组ix+2y=・l的解为x, y,且3<k<6,则x+y的取值范围是__________6.根据不等式的基本性质，把下列不等变为x>a或x<a的形式：1—x(I) 2 >-3； (2) —2x<6.参考答案1.C2.A3.B4.负5.1<x+y<2 点拨：两方程两边相加得3 (x+y) =k. *.* 3<k<6,即3v3 (x+y) <6,6.解：这里的变形与方程中的“将未知数的系数化为1”相类似，但是也有所不同；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.我的写字心得体会从小开始练习写字，几年来我认认真真地按老师的要求去练习写字。

以前练习写字，大多是在印有田字格或米字格的练习本上进行。

教材中田字格或米字格里的范字我都认真仿写，其难度较大。

我写起来标准难以掌握，不是靠上了，就是靠下了；不是偏左，就是偏右。

后来在老师的指导下，我练习写字时，一开始观察字的笔画偏旁在格子中的位置，做到心中有数，然后才进行仿写，并要求把字尽量写大，要写满格子。

2．2 《不等式的基本性质》练习题一、选择题（每题4分，共32分）1、如果m ＜n ＜0,那么下列结论中错误的是（ ）A 、m －9＜n －9B 、－m ＞－nC 、11n m > D 、1mn >2、若a －b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）A 、a ＞bB 、ab ＞0C 、0ab < D 、－a ＞－b3、由不等式ax ＞b 可以推出x ＜ba ，那么a 的取值范围是（ ）A 、a≤0B 、a ＜0C 、a≥0D 、a ＞04、如果t ＞0,那么a ＋t 与a 的大小关系是（ ）A 、a ＋t ＞aB 、a ＋t ＜aC 、a ＋t≥aD 、不能确定5、如果34a a<--，则a 必须满足（ ）A 、a≠0B 、a ＜0C 、a ＞0D 、a 为任意数6、已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（） a 0b cA 、cb ＞abB 、ac ＞abC 、cb ＜abD 、c ＋b ＞a ＋b7、有下列说法：（1）若a ＜b ，则－a ＞－b ； （2）若xy ＜0，则x ＜0，y ＜0；（3）若x ＜0，y ＜0，则xy ＜0； （4）若a ＜b ，则2a ＜a ＋b ；（5）若a ＜b ，则11a b >； （6）若1122x y--<， 则x ＞y 。

其中正确的说法有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个8、2a 与3a 的大小关系（ ）A 、2a ＜3aB 、2a ＞3aC 、2a ＝3aD 、不能确定二、填空题（每题4分，共32分）9、若m ＜n ，比较下列各式的大小：（1）m －3______n －3（2）－5m______－5n（3）3m -______3n - （4）3－m______2－n(5)0_____m －n（6）324m --_____324n -- 10、用“＞”或“＜”填空：（1）如果x －2＜3，那么x______5； （2）如果23-x ＜－1，那么x______32； （3）如果15x ＞－2，那么x______－10；（4）如果－x ＞1，那么x______－1； （5）若ax b >，20ac <，则x______b a. 11、x ＜y 得到ax ＞ay 的条件应是____________。

2　不等式的基本性质基础过关全练知识点1　不等式的基本性质1.(重庆期末)若a>b,则下列不等式不成立的是( )A.2a-5>2b-5B.-4a>-4bC.a+1>b+1D.-a2<−b22.(广西贵港中考)如果a<b,c<0,那么下列不等式中不成立的是( )A.a+c<b+cB.ac>bcC.ac+1>bc+1D.ac2>bc23.(安徽宿州泗县期中)下列说法错误的是( )A.若a-4>b-4,则a>bB.若a1+m2>b1+m2,则a>bC.若a<b,则am<bmD.若a>b,则a+5>b+54.【新独家原创】若点P(m-2,0)在x轴的负半轴上,且(m-2)x>(m-2)y,则x和y的大小关系为 .5.【新考向·阅读理解试题】(辽宁沈阳新民期中)阅读下列解题过程,再解决问题.已知m<n,试比较-2 023m+1与-2 023n+1的大小.解:因为m<n,①所以-2 023m<-2 023n,②故-2 023m+1<-2 023n+1.③(1)上述解题过程中,从第 步开始出现错误;(2)错误的原因是什么?(3)请写出正确的解题过程.知识点2　用不等式的基本性质化简不等式6.(安徽合肥瑶海期末)下列说法正确的是( )A.如果-12x>1,那么x<-12B.如果-x>2,那么x<2C.如果2x<-2,那么x>-1D.如果-12x<0那么x>07.(2021山东滨州月考)根据要求,回答下列问题:(1)由2x>x-12,得2x-x>-12,依据是 ;(2)由13x >x−12,得2x>6x-3,依据是 .8.【教材变式·P140习题T2】根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>(≥)a”或“x<(≤)a”的形式(在括号中注明使用的是不等式的哪条基本性质):(1)-6x<18; (2)2x ≤3x+6;(3)x>13x−2; (4)x -12>3x +14.能力提升全练9.(北京中考,4,★☆☆)已知a-1>0,则下列结论正确的是( )A.-1<-a<a<1B.-a<-1<1<aC.-a<-1<a<1D.-1<-a<1<a10.(山东济南莱芜期末,6,★★☆)若a-1<b-1,则下列各不等式中成立的是( )A.a+c>b+cB.-2a<-2bC.ac<bcD.a+1<b+311.(2021山东临沂中考,13,★★☆)已知a>b,下列结论:①a2>ab;②a2>b2;③若b<0,则a+b<2b;④若b>0,则1a <1b.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.412.(山东济宁兖州期末,13,★★☆)已知x<y,请写出一个实数a,使得ax>ay.你所写的实数a是 .13.(2022江西萍乡月考,16,★★☆)江上某座桥桥头的限重标志如图所示,其中的“60 t”表示该桥梁限制载重后总质量超过60 t的车辆过桥梁.设一辆自重18 t的卡车,其载重的质量为x t.(1)若这辆卡车要通过这座桥,则x应满足的不等式为 ;(2)将(1)中所列的不等式化为“x<(≤)a”或“x>(≥)a”的形式.素养探究全练14.【推理能力】【新考向·代数推理】(陕西西安月考)【阅读】根据等式和不等式的基本性质,我们可以得到比较两数大小的方法:若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b.反之也成立.这种比较大小的方法称为“作差法”.【理解】(1)若a-b+2>0,则a+1 b-1.(填“>”“=”或“<”)【运用】(2)若M=a2+3b,N=2a2+3b+1,试比较M,N的大小.【拓展】(3)请运用“作差法”解决下面这个问题.制作某产品有两种用料方案:方案一:用5块A型钢板,6块B型钢板.方案二:用4块A型钢板,7块B型钢板.每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小.方案一的总面积记为S1,方案二的总面积记为S2,试比较S1,S2的大小.答案全解全析基础过关全练1.B　A.∵a>b,∴2a>2b,∴2a-5>2b-5,故A不合题意;B.∵a>b,∴-4a<-4b,故B符合题意;C.∵a>b,∴a+1>b+1,故C不合题意;D.∵a>b,∴a2>b2,∴−a2<−b2,故D不合题意.故选B.2.D　由a<b,c<0得到a+c<b+c,ac>bc,ac+1>bc+1,ac2<bc2,故A,B,C中的不等式成立,D 中的不等式不成立,故选D.3.C　A项,不等式两边都加上4,不等号的方向不变,故原变形正确;B项,易知1+m2>0,不等式两边都乘1+m2,不等号的方向不变,故原变形正确;C项,不等式两边都乘m,必须规定m>0,才有am<bm,原变形错误;D项,不等式两边都加上5,不等号的方向不变,故原变形正确.故选C.4.答案　x<y解析　∵点P(m-2,0)在x轴的负半轴上,∴m-2<0,根据不等式的基本性质3,在不等式(m-2)x>(m-2)y的两边同时除以m-2,得x<y.5.解析　(1)②.(2)错误的原因是错误地运用了不等式的基本性质3,即不等式两边乘同一个负数,不等号的方向没有改变.(3)正确的解题过程如下:因为m<n,所以-2 023m>-2 023n,故-2 023m+1>-2 023n+1.6.D A 项,如果-12x>1,那么x<-2,故A 不合题意;B 项,如果-x>2,那么x<-2,故B 不合题意;C 项,如果2x<-2,那么x<-1,故C 不合题意;D 项,如果-12x<0,那么x>0,故D 符合题意.故选D.7.答案　(1)不等式的基本性质1　(2)不等式的基本性质28.解析　(1)∵-6x<18,∴-6x÷(-6)>18÷(-6),即x>-3(不等式的基本性质3).(2)∵2x ≤3x+6,∴2x-3x ≤3x+6-3x(不等式的基本性质1),∴-x ≤6,∴x ≥-6(不等式的基本性质3).(3)∵x>13x−2,∴x−13x >13x−2−13x(不等式的基本性质1),∴23x>-2,∴x>-3(不等式的基本性质2).(4)∵x−12>3x +14,∴2x-2>3x+1(不等式的基本性质2),∴2x-2-3x+2>3x+1-3x+2(不等式的基本性质1),∴-x>3,∴x<-3(不等式的基本性质3).能力提升全练9.B ∵a-1>0,∴a>1,∴-a<-1,∴-a<-1<1<a,故选B.10.D ∵a-1<b-1,∴a<b.A 项,不等式a<b 两边同时加上一个相同的数,不等号的方向不变,故不符合题意;B 项,不等式a<b 两边同时乘一个负数,不等号方向改变,故不符合题意;C 项,若c=0,则ac=bc,若c<0,则ac>bc,故不符合题意;D 项,∵a<b,∴a+1<b+1,∴a+1<b+1+2,∴a+1<b+3,故符合题意.故选D.11.A ∵a>b,∴当a>0时,a 2>ab,当a=0时,a 2=ab,当a<0时,a 2<ab,故结论①错误;∵a>b,∴当|a|>|b|时,a 2>b 2,当|a|<|b|时,a 2<b 2,当|a|=|b|时,a 2=b 2,故结论②错误;∵a>b,b<0,∴a+b>2b,故结论③错误;∵a>b,b>0,∴a>b>0,∴1a <1b ,故结论④正确.∴正确的个数是1.故选A.12.答案　-2(答案不唯一)解析　由题意可知不等式x<y两边同时乘a后,不等号的方向发生改变,因此a是负数,∴所写的实数a可以是-2.(答案不唯一)13.解析　(1)18+x≤60.(2)18+x≤60,不等式的两边同时减去18,得x≤60-18,∴x≤42.素养探究全练14.解析　(1)∵a+1-(b-1)=a+1-b+1=a-b+2>0,∴a+1>b-1.故答案为>.(2)∵M=a2+3b,N=2a2+3b+1,∴M-N=a2+3b-(2a2+3b+1)=a2+3b-2a2-3b-1=-a2-1,∵-a2-1<0,∴M<N.(3)设每块A型钢板的面积为a,每块B型钢板的面积为b,∵方案一的总面积记为S1,方案二的总面积记为S2,∴S1=5a+6b,S2=4a+7b,∴S1-S2=5a+6b-(4a+7b)=5a+6b-4a-7b=a-b,∵每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小,即a<b,∴a-b<0,∴S1<S2.。

4.2不等式的基本性质同步测试一、选择题1.若b＞a＞0，则下列式子正确的是（）A. B. C. D. ﹣b＞﹣a2.如果a+b＞0，ab＞0，那么（）A. a＞0，b＞0B. a＜0，b＜0C. a＞0，b＜0D. a＜0，b＞03.四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，如图所示，则他们的体重大小关系是（）A. P＞R＞S＞QB. Q＞S＞P＞RC. S＞P＞Q＞RD. S＞P＞R＞Q4.对于命题“a、b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题，给出下列以下四种说法：①a、b是有理数，若a＞b＞0，则a2＞b2；②a、b是有理数，若a＞b，且a＋b＞0，则a2＞b2；③a、b是有理数，若a＜b＜0，则a2＞b2；④a、b是有理数，若a＜b且a＋b＜0，则a2＞b2.其中，真命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.若x＞y，则下列式子中错误的是（）A. x+ ＞y+B. ﹣3＞y﹣3C. ＞D. ﹣3x＞﹣3y6.已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A. a+5＞b+5B. ﹣2a＜﹣2bC. a> bD. 7a﹣7b＜07.如果a＞b，那么不等式变形正确的是（）A. a﹣2＜b﹣2B. 0.5a＜0.5bC. ﹣2a＜﹣2bD. ﹣a＞﹣b8.已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（）A. a﹣5＜b﹣5B. 2+a＜2+bC.D. 3a＞3b9.已知a＞b，则下列各式的判断中一定正确的是（）A. 3a＞3bB. 3﹣a＞3﹣bC. ﹣3a＞﹣3bD. 3÷a＞3÷b10.如果，则下列不等式中一定能成立的是______A. B. C. D.二、填空题11.如果2x﹣5＜2y﹣5，那么﹣x________﹣y（填“＜、＞、或=”）12.若2x＞3y，则﹣2x ________﹣3y．13.式子a2x＞x（a2+1）成立，则x满足的条件是________14.若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＞，则a的取值范围是________．15.已知x＜y，试比较大小：﹣2x________﹣2y．16.若a＞b，c＜0，用“＞”或“＜”号填空：ac________bc．17.若x＞y且（3﹣a）x＜（3﹣a）y，则a的取值范围是________18.若a＞b，且c为有理数，则ac2________ bc2．三、解答题19.证明：若a＞b＞0，则an＞bn（n∈N，n≥1）．20.能不能找到这样的a值，使关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2．21.把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）2x+5＞3；（2）﹣6（x﹣1）＜0．22.若a＞b，讨论ac与bc的大小关系．23.已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c=0．参考答案一、选择题1.C2.A3.D4.D5.D6.D7.C8.D9.A 10.C二、填空题11.＞ 12.＜ 13.x＜0 14.a＜1 15.＞ 16.＜ 17.a＞3 18.≥三、解答题19.证明：∵a＞b＞0，n≥1，∴an＞bn．20.解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2，∴1﹣a＜0，=2，解得：a=，经检验a=是方程=2的解，即能找到这样的a值，使关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2．21.解：（1）移项，得2x＞3﹣5，合并同类项，得2x＞﹣2，系数化为1，得x＞﹣1；（2）去括号，得，﹣6x+6＜0，移项，得﹣6x＜﹣6，系数化为1，得x＞1．22.解：a＞b，当c＞0时，ac＞bc，当c=0时，ac=bc，当c＜0时，ac＜bc．23.证明：∵|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|∴a2≥（b+c）2， b2≥（c+a）2， c2≥（a+b）2∴a2+b2+c2≥（b+c）2+（c+a）2+（a+b）2=2（a2+b2+c2）+2ab+2bc+2ca∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤0∴（a+b+c）2≤0，而（a+b+c）2≥0∴a+b+c=0．。

高中数学 不等式的基本性质 习题1．已知a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，则必有( )．A ．a ≤0 B．a ＞0 C ．b ＝0 D ．c ＞02．若a ＜1，b ＞1，那么下列命题中正确的是( )．A ．11a b >B ．1b a> C ．a 2＜b 2 D ．ab ＜a ＋b －13．设a ＞1＞b ＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )．A ．11a b <B ．11a b> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 4．已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，则3a －2b 的取值范围是( )．A ．B ．C ．D ．5．已知a ＜0，b ＜－1，则下列不等式成立的是( )．A ．2a a a b b >> B ．2a a a b b >> C ． 2a a a b b >> D ．2a a a b b>> 6．已知－3＜b ＜a ＜－1，－2＜c ＜－1，则(a －b )c 2的取值范围是__________． 7．若a ，b ∈R ，且a 2b 2＋a 2＋5＞2ab ＋4a ，则a ，b 应满足的条件是__________．8．设a ＞b ＞c ＞0，x =y =，z =x ，y ，z 之间的大小关系是__________．9．某次数学测验，共有16道题，答对一题得6分，答错一题倒扣2分，不答则不扣分，某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上？列出其中的不等关系．10．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较33S a 与55S a 的大小．参考答案1. 答案：B 解析：由a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0知3a ＞0，故a ＞0.2. 答案：D 解析：由a ＜1，b ＞1得a －1＜0，b －1＞0，所以(a －1)(b －1)＜0，展开整理即得ab ＜a ＋b －1.3. 答案：C 解析：取a ＝2，b ＝12-，满足a ＞1＞b ＞－1，但11a b>，故A 错；取a ＝2，13b =，满足a ＞1＞b ＞－1，但11a b <，故B 错；取54a =，56b =，满足a ＞1＞b ＞－1，但a 2＜2b ，故D 错，只有C 正确.4. 答案：D 解析：令3a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，则32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，，所以125.2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又因为1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3， 所以115()222a b ≤+≤，5515()222a b -≤-≤， 故－2≤3a －2b ≤10. 5. 答案：C 解析：∵a ＜0，b ＜－1，则0a b >，b ＜－1，则b 2＞1，∴211b <. 又∵a ＜0，∴0＞2a b＞a .∴2a a a b b >>.故选C. 6. 答案：(0,8) 解析：依题意0＜a －b ＜2,1＜c 2＜4，所以0＜(a －b )c 2＜8. 7. 答案：a ≠2或b ≠12 解析：原不等式可化为(ab －1)2＋(a －2)2＞0.故a ≠2或b ≠12. 8. 答案：x ＜y ＜z 解析：x 2－y 2＝a 2＋(b ＋c )2－b 2－(c ＋a )2＝2c (b －a )＜0，所以x ＜y ，同理可得y ＜z ，故x ，y ，z 之间的大小关系是x ＜y ＜z .9. 答案：解：设至少答对x 题，则6x －2(15－x )≥60.10. 答案：解：当q ＝1时，333S a =，555S a =，所以3535S S a a <； 当q ＞0且q ≠1时，353511243511(1)(1)(1)(1)S S a q a q a a a q q a q q ---=---＝23544(1)(1)10(1)q q q q q q q -----=<-， 所以有3535S S a a <.综上可知有3535S S a a <.。

第一讲不等式的基本性质一、单选题1．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）A．m+2＞n+2B．2m＞2n C．＞D．m2＞n2【答案】D【解析】试题分析：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误；故选D．【考点】不等式的性质．2．下列推理正确的是( )A．因为a＜b，所以a＋2＜b＋1 B．因为a＜b，所以a－1＜b－2C．因为a＞b，所以a＋c＞b＋c D．因为a＞b，所以a＋c＞b－d【答案】C【解析】【分析】根据不等式的基本性质逐项分析即可.【详解】A. 因为由a＜b，变为a＋2＜b＋1，两边不是加的同一个数，故不正确；B. 因为由a＜b，变为a－1＜b－2，两边不是减的同一个数，故不正确；C. 因为由a＞b，所以a＋c＞b＋c，符合不等式的性质1，故正确；D. 因为由a＞b，变为a＋c＞b－d，两边不是同时加上或减去同一个数，故不正确；故选C.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．3．如果t>0,那么a+t与a的大小关系是( )A．a+t>a B．a+t<a C．a+t≥a D．不能确定【答案】A【解析】试题分析：根据不等式的基本性质即可得到结果.t＞0，①a＋t＞a，故选A.考点：本题考查的是不等式的基本性质点评：解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变.4．把不等式－3x＞－6变形为x＜2的依据是不等式的( )A ．基本性质1B ．基本性质2C ．基本性质3D ．以上都不是【答案】C【解析】【分析】根据不等式的基本性质，结合变形的方法求解即可.【详解】①把不等式－3x ＞－6的两边都除以-2可变形为x ＜2，①变形的依据是不等式的基本性质3.故选C.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．5．若－2a ＜－3a ，则a 一定满足的条件是( ) A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a≥0D ．a≤0 【答案】A【解析】将原不等式两边都乘以﹣6，得：3a ＞2a ，移项、合并，得：a ＞0，故选A ．6．设“○”、“□”、“①”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“①”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为( )A．○□①B．○①□C．□○①D．①□○【答案】D【解析】由图1可知1个○的质量大于1个□的质量，由图2可知1个□的质量等于2个①的质量，因此1个□质量大于1个①质量．故选D7．a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①b＋c＞0；①a＋b＞a＋c；①bc＞ac；①ab＞ac.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据数轴上右边的数总大于左边的数，原点右边表示正数，左边表示负数，结合有理数运算法则进行判断即可求解．【详解】解：依题意得-2＜c＜-1＜0＜b＜1＜2＜a①b+c＜0，故说法错误；①a+b＞a+c，故说法正确；①bc＞ac，故说法正确；①a-b＞0，故说法正确；①正确的是①①①，共3个．故选C．【点睛】此题主要考查了利用数轴比较两个负数的大小，绝对值大的反而小．8．2a与3a的大小关系（）A．2a＜3a B．2a＞3a C．2a＝3a D．不能确定【答案】D【分析】题目中没有明确a的正负，故要分情况讨论．【详解】当a<0时，2a>3a；当a=0时，2a=3a；当a>0时，2a<3a，故选D．【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变．9．若x+5＞0，则（）A．x+1＜0B．x﹣1＜0C．＜﹣1D．﹣2x＜12【答案】C【解析】试题分析：根据不等式x+5＞0，求得x＞﹣5，然后可知：A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；C、根据＜﹣1得出x＜5，故本选项符合题意；D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项不符合题意；故选C．考点：不等式的性质10．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（）A．a＞b B．a+2＞b+2C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b【答案】D【解析】试题分析：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．故选D．考点：不等式的性质．点睛：根据不等式的性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，来判断各选项．11．在平面直角坐标系中，点A ()7,21m --+在第三象限，则m 的取值范围是（ ）A ．12m >B ．12m >-C ．12m <-D ．12m < 【答案】A【分析】点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数，可得-2m+1＜0，求不等式的解即可．【详解】解：①点在第三象限，①点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，即-2m+1＜0，解得m ＞12． 故选A ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 12．当0＜x ＜1时，x 2、x 、1x的大小顺序是( ) A ．21x x x <<B ．21x x x <<C ．21x x x <<D ．21x x x<< 【答案】A【解析】 分析：先在不等式0＜x ＜1的两边都乘上x ，再在不等式0＜x ＜1的两边都除以x ，根据所得结果进行判断即可．详解：当0＜x ＜1时，在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，在不等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜1x，又①x＜1，①x2、x、1x的大小顺序是：x2＜x＜1x．故选A．点睛：本题主要考查了不等式，解决问题的关键是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或a bm m ＞．二、填空题13．用“＞”“＝”或“＜”填空：(1) 若a＞b，且a＜0，则a2________ab；(2) 若a＋5＜b＋5，则－a_________－b.【答案】＜＞【解析】【分析】（1）根据不等式的性质3求解即可（2）先根据不等式的性质1，再根据性质3求解即可.【详解】(1) ①a＞b，且a＜0，①a2>ab；(2) ①a＋5＜b＋5，①a＜b，①－a>－b.故答案为：(1)＜ ， (2)＞.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．14．已知a>b ，选择适当的不等号填空：(1)－3a ________－3b ； (2)1－5a__________1－5b ；(3)ax 2_________bx 2；(4)a(－c 2－1)_________b(－c 2－1)．【答案】＜ ＜ ≥ ＜【解析】【分析】（1）根据不等式的性质3两边都除以-3解答即可；（2）先用不等式的性质3两边都乘以-5，，再用不等式的性质1两边都加1解答；（3）先判断x 2的取值范围，再根据不等式的性质解答；（4）先判断－c 2－1的取值范围，再根据不等式的性质解答.【详解】(1) ① a >b ，①－3a <－3b ； (2) ① a >b ，①－5a <－5b , ①1－5a <1－5b ；(3) ① a >b ，x 2≥0，①ax 2≥bx 2；(4) ①c2≥0，①-c2≤0，①－c2－1<0；① a>b，①a(－c2－1)<b(－c2－1)．故答案为：(1)＜；(2) ＜；(3) ≥ ；(4) ＜.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．15．若7x＋2＜7y＋2，则x_______y，它经历了两步，第一步是将不等式7x＋2＜7y＋2的两边_______________，第二步是将不等式的两边_______________．【答案】＜都减去2 都除以7【解析】【分析】先根据不等式的性质1两边都减去2，再根据不等式的性质2两边都除以7.【详解】若7x＋2＜7y＋2，则x<y，它经历了两步，第一步是将不等式7x＋2＜7y＋2的两边都减去2，第二步是将不等式的两边都除以7．故答案为：＜；都减去2 ；都除以7.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．16．当x____________时，代数式2x－3的值是正数．【答案】＞3 2先由题意列出不等式，再根据不等式的基本性质即可得到结果．【详解】由题意得2x－3＞0，解得x＞3 2 .考点：本题考查的是不等式的基本性质【点睛】解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变.三、解答题17．将下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式：(1)2x＞3x－4；(2)5x－1＜14；(3)－19x＜－3；(4) 13x＜12x＋1.【答案】(1) x＜4；(2) x＜3；(3) x＞27；(4) x＞－6.【解析】（1）先根据不等式的性质1两边都减去3x，合并同类项后，再根据不等式的性质3两边都除以-1；（2）先根据不等式的性质1两边都加1，合并同类项后，再根据不等式的性质2两边都除以5；（3）先根据不等式的性质3两边都乘以-9即可；（4）先根据不等式的性质1两边都减去12x，合并同类项后，再根据不等式的性质2两边都除以6.【详解】(1) ①2x＞3x－4，①2x-3x>-4,①-x>-4,①x<4;(2) ①5x－1＜14，①5x<14+1,①5x<15,①x<3；(3)－19x＜－3，①－19x×（-9）>－3×（-9）①x>27；(4) ① 13x＜12x＋1，①13x-12x<1，①-16x<1，①x>-6.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．18．指出下列各式成立的条件．(1)由a>b，得ac≤bc；(2)由(a－3)x>a－3，得x>1；(3)由a<b，得(m－2)a>(m－2)b.【答案】(1)c≤0；(2)a>3；(3)m<2.【解析】试题分析：根据不等式的性质，又不等式的不等号的变化判断即可.试题解析：（1）由a＞b，得ac≤bc，根据不等式的性质3，可知c≤0；(2)由(a－3)x＞a－3，得x＞1，根据不等式的基本性质2，可得a-3＞0，即a＞3；(3)由a＜b，得(m－2)a＞(m－2)b，根据不等式的性质3，可知m-2＜0，解得m＜2.19．已知x>0，试比较10x2－3x＋2与8x2－3x＋2的大小【答案】10x2－3x＋2>8x2－3x＋2.【解析】【分析】先把两个式子相减，并去括号合并同类项，然后由x>0，结合不等式的性质判断差的正负即可.【详解】解：(10x2－3x＋2)－(8x2－3x＋2)＝2x2，①x>0，①2x2>0，①10x2－3x＋2>8x2－3x＋2.【点睛】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小.作差法比较大小的方法是:如果a-b>0，那么a>b；如果a-b=0,那么a=b；如果a-b<0,那么a<b；另外本题还用到了不等式的传递性，即如果a>b，b>c，那么a>b>c.20．已知x>y，试比较(m－1)x与(m－1)y的大小【答案】见解析【解析】【分析】分三种情况①m－1>0，①m－1＝0，①m－1<0，根据不等式的性质解答即可.【详解】解：当m－1>0，即m>1时，(m－1)x>(m－1)y；当m－1＝0，即m＝1时，(m－1)x＝(m－1)y；当m－1<0，即m<1时，(m－1)x<(m－1)y.【点睛】本题考查了不等式的基本性质及分类讨论的数学思想，分三种情况解答是解答本题的关键．21．小明从一商店买了3个相同的玻璃杯，平均每个a元，又从另一个商店买了2个相同的玻璃杯，平均每个b 元，后来他以每个2a b +元的价格把玻璃杯全部都卖给了乙，结果赔了钱，你能用不等式的知识说明原因吗？【答案】见解析【解析】【分析】 先理解题意知道赔钱是什么意思，进而利用题中数量关系列出不等式2a b +<3a +2b >5，根据不等式的基本性质变形即可得到赔钱的原因.【详解】 解：因为赔了钱，所以×5＜3a ＋2b ，①5a ＋5b ＜6a ＋4b ，①－a ＋b ＜0，即b ＜a ，①赔钱的原因是b ＜a.【点睛】本题考查了不等式的基本性质的应用，根据题意列出不等式并能根据不等式的基本性质变形是解答本题的关键.。

初中精品试卷3.2 不等式的基本性质◆回顾探索1．不等式性质 1，如果 a>b ，那么 a ±b______b ±c ，如果 a<b ，那么 a ±c_____b ±c ．这就是说：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向 b ________．2．不等式性质 2，如果 a>b ，并且 c____0，那么 ac>bc ．3．不等式性质 3，如果 a>b ，并且 c_____0，那么 ac<bc ．这就是说：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向______；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向________．测试点一1．（ 1）若 x>3，那么 x-m_____3-m ；（ 2）若 a<b ，那么 a+6_______b+6；（ 3） a<-b ，那么 a+b______0； （ 4）若 7a-2m<7b-2m ，那么 7a____7b ．2．不等式3+x ≥6的解集是（）A ．x=3B ．x ≥ 3C ．所有大于 3 的数D ．大于或等于 3 的整数3．若代数式x-3的值为负数，则（）A ．x<3B ． x<0C ．x>3D ．x>04．下列说法正确的是（）A ．方程 4+x=8 和不等式 4+x>8 的解是一样的 ;B ．x=2 是不等式 4x>5 的唯一解C ．x=2 是不等式 4x>15 的一个解 ;D ．不等式 x-2<6 的两边都加上 1，则此不等式成立测试点二5．若 a>b ，且 c 为实数，则（）A ．ac>bcB ．ac<bc 2222C ． ac >bcD ．ac ≥ bc 6．若 a<0，关于 a 的不等式 ax+1>0 的解集是（）A ．x<1B ．x>1C ．x<-1D ．x>-1a a aa 7．若代数式 3x+4 的值不大于 0，则 x 的取值范围是（）A ．x>-4B ．x ≥-4C ．x<-4D ．x ≤-43 3 338．解不等式 :（1）1x>-3（2）-2x<6（3）3x-6≤ 0（4）-12x-6>0 2测试点三1．若 a<b，用“ >或”“ <号”填空：（1）a+4_______b+4；（ 2） a-2______b-2；（3）22；（ 4） -2a______-2b．a_____b552．在下列各题的“ ____中”填写不等号并写出理由：（1）因为 x>5，所以 -x____-5，理由是 _______________．（2）因为 4x>12，所以 x_____3，理由是 _____________．（3）- 1x<-2，所以 x_______14，理由是 ________________．73．若 8+3a<8+3b，那么 a，b 的大小关系是（）A．a=b B． a<b C．a>b D．以上都不对4．由 x<y，得 ax>ay，则 a 应满足的条件是（）A．a≥ 0B．a≤ 0C．a>0D．a<0 5．求不等式 x+4≥ 3x-2 的非负整数解．6．利用不等式的性质，求下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来．（1）x-3≥ 1（2）4x-15>3x-2（ 3） 2x-3x<0（4）- 1x≥1 37．（ 1）若（ m+1）x<m+1 的解集是 x>1，求 m 的取值范围．（ 2）若关于 x 的方程 x-3k+2=0 的解是正数，求 k 的取值范围．8．在行驶于公路的汽车上，我们会看到不同的交通标志图形，它们有着不同的意义如图所示，如果设汽车质量为 xkg，速度为 ykm/小时，宽度 L 米，高度为hm?请用不等式表示图中各标志的意义．◆拓展创新若 a>4.（1）试比较 a2与 4a 的大小 ;（2）比较 ab 与 4b 的大小．参考答案回顾探索1．> < 不变2．> 3．< 不变 改变测试点一、二1．（1）>（2）< （3）< （4）< 2．B 3．A 4．D5．D （点拨：因为 c 是实数，所以 c ≥0）6．C （点拨：不等式两边同除以一个负数，不等号方向改变）7．D （点拨：由题设可得不等式： 3x+4≤0） 8．（ 1）x>-6 （2）x>-3（3）x ≤ 2 （4）x<-测试点三1．（1）<（2）< （3）< （4）>122．（ 1）< 不等式两边同乘以同一个负数，不等号方向改变．（2）>不等式两边两边同除以同一个正数，不等号方向不变（3）>不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变3．B （点拨：不等式性质 1、2）4．D （点拨：不等式性质 3）5．0，1，2，3（点拨：原不等式的解集是： x ≤3）6．（ 1）x ≥ 4 （2） x>13 （3）x>0（ 4） x ≤-37．（ 1）m<-1（点拨：由不等式的性质 m+1<0）（2）原方程的解为 x=3k-2，由解为正数得 3k-2>0，即 k> 2．38．x ≤ 5.5t ， y ≤ 30， L ≤ 2m ，h ≤ 3.5m ．拓展创新（1）a 2>4a （点拨：不等式性质 2）（2）因为 a>4，所以当 b>0 时， ab>4b ；当 b=0 时， ab=4b ；当 b<0 时， ab<4b ．。

4．2 不等式的基天性质专题一不等式的基天性质1．（2013·淄博）若a b，则以下不等式不必定成立的是（）A．a m b m B．a(m21)b(m21)C．a b D．a2b222．如图，A 、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，以下式子成立的是（）2A B－1a01b图3A．ab＞0B．a b＜0C．(b1)(a1)＞0D．(b1)(a1)＞03、已知a、b、c、d都是正实数，且a c、给出以下四个不等式：①a c；b d abc dc a；③d b；④b d；此中不等式正确的选项是②cdab abcdcdab_____________________________、4、5、状元笔录【知识重点】1、不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．2、不等式的传达性：假如a b,b c，那么a c、【温馨提示】不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【方法技巧】1．利用不等式的符号变化对乘以或除以的数或式子进行判断正负．2．对于一些较复杂的变形，遇到两个也许两个以上的性质，必定要依照性质仔细分析，不要因盲此刻结论以致判断失误．参照答案：1、D分析：依据不等式的性质“不等式的两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变”，可知选项A正确；因为m2+1＞0，依据不等式的性质“不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”，可知选项B正确；依据不等式的性质“不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，可知选项C正确；因为a，b的正负不明确，故a2，b2的大小也不确立，如a=﹣1，b=﹣2时，满足ab，但a2＜b2，应选项D不正确．故应选D．2、C分析：依据数轴知－1＜a＜0，b＞1，则a+1＞－1＞0．所以ab＜0，a+b＞0，0，b(a+1)(b－1)＞0，(a－1)(b－1)＜0，应选C．3、①③a cad bc，所以d b，所以d b分析：因为，所以c a11，所以b dc acd b a，即可得a c，相同的方法可得d b，故填①③、c a a bcd c da b 4、5、。

4.2 不等式的基本性质★不等式的基本性质1．不等式的基本性质1：如果a>b，那么a+c____b+c，a－c____b－c．不等式的基本性质2：如果a>b，并且c>0，那么ac_____bc．不等式的基本性质3：如果a>b，并且c<0，那么ac_____bc．2．设a<b，用“<”或“>”填空．（1）a－1____b－1；（2）a+1_____b+1；（3）2a____2b；（4）－2a_____－2b；（5）－a2_____－b2；（6）a2____b2．3．根据不等式的基本性质，用“<”或“>”填空．（1）若a－1>b－1，则a____b；（2）若a+3>b+3，则a____b；（3）若2a>2b，则a____b；（4）若－2a>－2b，则a___b．4．若a>b，m<0，n>0，用“>”或“<”填空．（1）a+m____b+m；（2）a+n___b+n；（3）m－a___m－b；（4）an____bn；（5）am____bm；（6）an_____bn；5．下列说法不正确的是（）A．若a>b，则ac2>bc2（c 0）B．若a>b，则b<aC．若a>b，则－a>－bD．若a>b，b>c，则a>c★不等式的简单变形6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x>a或x>a的形式：（1）x－3>1；（2）－23x>－1；（3）3x<1+2x；（4）2x>4．［学科综合］7．已知实数a、b、c在数轴上对应的点如图13－2－1所示，则下列式子中正确的是（）A．bc>abB．ac>abC．bc<abD．c+b>a+b8．已知关于x的不等式（1－a）x>2变形为x<21-a，则1－a是____数．9．已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是（）A．3b<p<3aB．a+2b<p<2a+bC．2b<p<2（a+b）D．2a<p<2（a+b）［创新思维］（一）新型题10．若m>n，且am<an，则a的取值应满足条件（）A．a>0B．a<0C．a=0D．a≥0（二）课本例题变式题11．（课本p6例题变式题）下列不等式的变形正确的是（）A．由4x－1>2，得4x>1B．由5x>3，得x>3 5C．由x2>0，得x>2D．由－2x<4，得x<－2（三）易错题12．若a>b，且m为有理数，则am2____bm2．13．同桌甲和同桌乙正在对7a>6a进行争论，甲说：“7a>6a正确”，乙说：“这不可能正确”，你认为谁的观点对？为什么？（四）难题巧解题14．若方程组2x+y=k+1x+2y=-1⎧⎨⎩的解为x，y，且3<k<6，则x+y的取值范围是______．（五）一题多解题15．根据不等式的基本性质，把不等式2x+5<4x_1变为x>a或x<a的形式．［数学在学校、家庭、社会生活中的应用］16．如图13－2－2所示，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和b，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗？［数学在生产、经济、科技中的应用］17．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖，乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖．（1）小明要买20本时，到哪个商店购买较省钱？（2）写出甲商店中收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式．（3）小明现有24元钱，最多可买多少本？［自主探究］18．命题：a，b是有理数，若a>b，则a2>b2．（1）若结论保持不变，那么怎样改变条件，命题才能正确？；（2）若条件保持不变，那么怎样改变结论，命题才能正确？［潜能开发］19．甲同学与乙同学讨论一个不等式的问题，甲说：每个苹果的大小一样时，5个苹果的重量大于4个苹果的重量，设每个苹果的重量为x则有5x>4x．乙说：这肯定是正确的．甲接着说：设a为一个实数，那么5a一定大于4a，这对吗？乙说：这与5x>4x不是一回事吗？当然也是正确的．请问：乙同学的回答正确吗？试说明理由．［信息处理］20．根据不等式的基本性质，把下列不等变为x>a或x<a的形式：（1）1x2>－3；（2）－2x<6．解：（1）不等式的两边都乘以2，不等式的方向不变，所以1x2>-322⨯⨯，得x>－6．（2）不等式两边都除以－2，不等式方向改变，所以-2x6>-2-2，得x>－3．上面两小题中不等式的变形与方程的什么变形相类似？有什么不同的？［开放实践］21．比较a+b与a－b的大小．［经典名题，提升自我］［中考链接］22．（2004·山东淄博）如果m<n<0，那么下列结论中错误的是（）A．m－9<n－9B．－m>－nC．11 > n mD．m n>123．（2004·北京海淀）若a－b<0，则下列各题中一定成立的是（）A．a>bB．ab>0C．a b>0D．－a>－b［奥赛赏析］24．要使不等式…<753246a<a<a<a<a<a<a<…成立，有理数a的取值范围是（）A．0<a<1B．a<－1C．－1<a<0D．a>1［趣味数学］25．（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，如图13－2－3①中，试判断这三人的轻重．（2）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，如图13－2－3②，试判断这四人的轻重．答案1．> > > <2．（1）<（2）<（3）<（4）>（5）>（6）<3．（1）>（2）>（3）>（4）<4．（1）>（2）>（3）<（4）>（5）<（6）>5．C 点拨：a>b，不等式的两边同时乘以－1，根据不等式的基本性质3，得－a<－b，所以C选项不正确．6．解：（1）x－3>1，x－3+3>1+3，（根据不等式的基本性质1）x>4；（2）－23x>－1，－23x·（－32）<－1·（－32），（根据不等式的基本性质3）x<32；（3）3x<1+2x，3x－2x<1+2x－2x，（根据不等式的基本性质1）x<1；（4）2x>4，2x4>22，（根据不等式的基本性质2）x>2．7．A8．负9．D10．B11．B12．错解：am2>bm2错因分析：m2应为大于或等于0的数，忽略了m等于0的情况正解：：am2≥bm213．错解1：甲对，因为7>6，两边同乘以一个数a，由不等式的基本性质2，可得7a>6a．错解2：乙对，因为a为负数或零时，原不等式不成立．错因分析：本题没有加以分析，只片面的认为a为正数或负数，实际a为任意数，有三种情况：a为负数，a为正数，a为0，应全面考察各种．正解：两人的观点都不对，因为a的符号没有确定：①当a>0时，由性质2得7a>6a，②当a<0时，由性质3得7a<6a，③当a=0时，得7a=6a=0．14．1<x+y<2点拨：两方程两边相加得3（x+y）=k．3<k<6，即3<3（x+y）<6，∴1<x+y<2．15．解法1：2x+5<4x－1，2x+5－5<4x－1－5，2x<4x－6，2x－4x<4x－6－4x，－2x<－6，-2x-6>-2-2，x>3．解法2：2x+5<4x－1，2x+5－2x<4x－1－2x，5+1<2x－1+1，6<2x，62x<22，3<x，即x>3．16．解：从图中可看出a>b，存在这样一个不等式，两边都加上c，根据不等式的基本性质1，则a+c>b+c，所以，盘子仍然像原来那样倾斜．17．解：（1）若到甲商店购买，买20本共需10+1⨯70%⨯10=17（元），到乙商店购买20本，共需1⨯0．85⨯220=17元，因为到甲、乙两个商店买20本都需花17元，故到两个商店中的任一个购买都一样．（2）甲商店中，收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式为y=10+0．7（x －10），即y=0．7x+3（其中x>10）．（3）小明现有24元钱，若到甲商店购买，可以得到方程24=0．7x+3，解得x=30（本）．若到乙商店购买，则可买24÷（1 0．85）≈28（本）．30>28，故小明最多哥买30本．a>b18．解：（1）a，b是有理数，若a>b>0，则22（2）a，b是有理数，若a>b，则a+1>b+1．19．解：乙同学的回答不正确，5a不一定大于4a．当a>0时，5a>4a>0；当a=0时，5a=4a=0；当a<0时，5a<4a<0．20．解：这里的变形与方程中的“将未知数的系数化为1”相类似，但是也有所不同；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．21．解：a+b－（a－b）=2b，当b>0时，a+b>a－b；当b=0时，a+b=a－b；当b<0时，a+b<a－b．22．C23．Da<a<a<0…，则24．B 点拨：a的奇数次方一定小于a的偶数次方，则a是负数，且246这个负数一定小于－1，故应选B．25．解：（1）三人由轻到重排列顺序是B、A、C．（2）四人由轻到重排列顺序是Q、P、S、R．。

不等式基本性质练习题及答案一、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”1.不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变。

2.如果a＞b，那么3－2a＞3－2b。

3.如果a是有理数，那么－8a＞－5a。

4.如果a＜b，那么a2＜b2。

5.如果a为有理数，则a＞－a。

6.如果a＞b，那么ac2＞bc2。

7.如果－x＞８，那么x＞－8。

8.若a＜b，则a＋c＜b＋c。

二、选择题：1．若x＞ｙ，则ax＞ay，那么a一定为A．a＞０ B．ａ＜０ C．ａ≥0 D．a≤02．若m＜ｎ，则下列各式中正确的是A．m－3＞ｎ－B.3m＞3n C.－3m＞－3n D.m3?1?n3?13．若a＜0，则下列不等关系错误的是A．a＋5＜a＋B.5a＞7a C.5－a＜7－a D.aa5?74．下列各题中，结论正确的是A．若a＞0，b＜0，则ba＞0; B．若a＞b，则a－b＞0C．若a＜0，b＜0，则ab＜0; D．若a＞b，a＜0，则ba＜05．下列变形不正确的是A．若a＞b，则b＜a; B．－a＞－b，得b＞aC．由－2x＞a，得x＞?a2; D．由x2＞－y，得x＞－2y6．有理数b满足︱b︱＜3，并且有理数a使得a＜b 恒成立，则a得取值范围是A．a＞b B．ab＞0 C．ab＜0 D．－a＞－b8．绝对值不大于2的整数的个数有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个- 1 -）三、填空：9．若a＜0，则－a?bb____－;2ab____.310．设a＜b，用“＞”或“＜”填空： a－1____b－1， a＋3____b＋3，－2a____－2b， 11．实数a，b在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a－b____0， a＋b____0，ab____0，a2____b2，12．若a＜b＜0，则11____，︱a︱____︱b︱. ab1____0.四、解答题：13.根据不等式的性质，把下列不等式表示为x＞a或x＜a的形式：10x－１＞9x; x＋2＜3; －6x≥214.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同一种商品40件。

不等式的性质习题及答案一、选择题1.已知a +b >0,b <0,那么a ,b ,-a ,-b 的大小关系是（ ）A.a >b >-b >-aB. a >-b >-a >bC. a >b >-a >-bD. a >-b >b >-a2.如果a >b >0,c >d >0,则下列不等式中不正确的是 （ ）A ．a-d >b-cB ．db c a > C ．a+ c >b+ d D ．ac >bd 3.若x +y =2, b <x <a ,则下列不等式中正确的是（ ）A.2-a <y <2-bB. 2-b <y <2-aC.b +2>y >a +2D. 2+b <y <2+a4.若a <b , d <c,并且(c -a )(c -b )<0,(d -a )(d -b )>0, 则a 、b 、c 、d 的大小关系是 （ ）A ．d <a <c <b B.a <c <b <d C.a <d <b <c D.a <d <c <b5.设1>>b a ，111++=a b y ，a b y =2，113--=a b y , 则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A. 321y y y << B. 312y y y << C. 123y y y << D. 132y y y <<6.给出下列命题，其中正确的是 （ ） ①若11<x ，则1>x ②若y a x a 22>，则y x > ③011<<ba ，则2b ab < ④ ,0<<b a 则3322,b a b a <>A. ①②B. ②③C. ②③④D.①②③④二、填空题7.比较大小：)7)(5(__________)6(2+++x x x ； 244a a +__________ 1. 8.已知22πβαπ≤≤<-，则βα-的取值范围是_____________. 9.若a <b 且0<c <1，则lg c_____ 0（用>或<连接）; a lg c 与b lg c 的大小关系是____________. 10.._____________________,,1,,102从小到大的顺序是则若x x xx x <<三、解答题11.在________上填上适当条件，使下列命题成立：（1）若b a >且______________，则bc ac ≤；（2）若0>>b a 且______________，则bd ac >；（3）若b a >且_____________，则ba 11<； （4）若b a >且________________，则22)1()1(->-c b c a .12.已知30< x <42,8< y <10,求2x +y , x -2y , xy ,yx 的范围.答案 D 2.B 3.A 4.A 5.C 6.C 7.>;≤ 8.]0,(π- 9.<;a lg c >b lgc 10.x x x x 12<<< 答案提示：（1）（4）可借助于数轴画图比较；（1）（5）可赋值；（3）将x 替换2-y 成即可.11.(1) c ≤0; (2) c >d >0; (3) ab <0 (4) c ≠112.)94,68(2∈+y x ; )32,10(2∈-y x ; )420,240(∈xy ;)421,3(∈y x。

4．2 不等式的根本性质专题一不等式的根本性质1．〔2021·淄博〕假设a b，那么以下不等式不一定成立的是〔〕A．a m b m B．a(m21)b(m21)C．a b D．a2b222．如图，A 、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，以下式子成立的是〔〕2A B－1a01b图3A．ab＞0B．a b＜0C．(b1)(a1)＞0D．(b1)(a1)＞03、a、b、c、d都是正实数，且ac、给出以下四个不等式：①a c；b d abc dc a；③d b；④b d；其中不等式正确的选项是②cdab abcdcdab_____________________________、4、5、状元笔记【知识要点】1、不等式的性质：①不等式两边加〔或减〕同一个数〔或式子〕，不等号的方向不变；②不等式两边乘〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变．2、不等式的传递性：如果a b,b c，那么a c、【温馨提示】不等式两边乘〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变．【方法技巧】1．利用不等式的符号变化对乘以或除以的数或式子进行判断正负．2．对于一些较复杂的变形，遇到两个或者两个以上的性质，一定要依据性质仔细分析，不要因盲目下结论导致判断失误．参考答案：1、D解析：根据不等式的性质“不等式的两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变〞，可知选项A正确；由于m2+1＞0，根据不等式的性质“不等式的两边都乘以〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变〞，可知选项B正确；根据不等式的性质“不等式的两边都乘以〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变〞，可知选项C正确；由于a，b的正负不明确，故a2，b2的大小也不确定，如a=﹣1，b=﹣2时，满足ab，但a2＜b2，应选项D不正确．故应选D．2、C解析：根据数轴知－1＜a＜0，b＞1，那么a+1＞－1＞0．因此ab＜0，a+b＞0，0，b(a+1)(b－1)＞0，(a－1)(b－1)＜0，应选C．3、①③a cad bc，所以d b，所以d b解析：因为，所以c a11，所以b dc acd b a，即可得a c，同样的方法可得d b，故填①③、c a a bcd c da b 4、5、。

2024届新高考数学复习：专项（不等式的概念及基本性质）好题练习[基础巩固]一、选择题1．如果a ＜b ＜0，那么下列各式一定成立的是( ) A ．a －b ＞0 B ．ac ＜bcC ．a 2＞b 2D ．1a ＜1b2．下列不等式中，正确的是( ) A ．若ac 2>bc 2，则a >b B ．若a >b ，则a ＋c <b ＋c C ．若a >b ，c >d ，则ac >bdD ．若a >b ，c >d ，则a c >bd3．使得a ＞b ＞0成立的一个充分不必要条件是( )A ．1b ＞1a B ．e a ＞e bC ．a b ＞b aD ．ln a ＞ln b ＞04．已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( )A ．1x －1y ＞0 B ．sin x －sin y ＞0C ．⎝⎛⎭⎫12 x －⎝⎛⎭⎫12 y ＜0D ．ln x ＋ln y ＞05．若a ，b ∈R ，且a >|b |，则( ) A ．a <－b B ．a >bC ．a 2<b 2D ．1a >1b6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．ac >bc B ．ab >bc C ．ab <bc D ．ac <bc7．若α，β满足－π2 <α<β<π2 ，则2α－β的取值范围是( ) A ．－π<2α－β<0 B ．－π<2α－β<πC ．－3π2 <2α－β<π2 D ．0<2α－β<π8．已知实数a ，b ，c ，满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b9．(多选)[2023ꞏ山东淄博实验中学检测]若a >b >0，则下列不等式中一定不成立的是( )A ．b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1a D ．2a ＋b a ＋2b >a b二、填空题10．若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为________．11．若实数a ，b 满足0<a <2，0<b <1，则a －b 的取值范围是________． 12．[2023ꞏ山东济南外国语学校检测]已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则ca －db >0；②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0.其中正确的命题是________．[强化练习]13．已知下列四个条件：①b ＞0＞a ；②0＞a ＞b ；③a ＞0＞b ；④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b 成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．(多选)若a ＜b ＜－1，c ＞0，则下列不等式一定成立的是( )A ．a －1a ＞b －1b B ．a －1b ＜b －1aC ．ln (b －a )＞0D ．(ab )c ＞(b a )c15．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >bc ；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件是________．(填序号)16．已知2b <a <－b ，则ab 的取值范围是________．参考答案1．C ∵a ＜b ＜0，∴a 2＞b 2.2．A ∵ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b .A 正确．3．D 当a ＞b ＞0时，1b ＞1a ，e a ＞e b 成立，即1b ＞1a ，e a ＞eb 是a >b >0的必要条件，不符合题意，排除A ，B.当a b ＞b a 时，可取a ＝1，b ＝－1，但a >b >0不成立，故a b ＞b a 不是a ＞b ＞0的充分条件，排除C.函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，当ln a ＞ln b ＞0时，a ＞b ＞1＞0；当a ＞b ＞0时，取a ＝1e ，b ＝1e 2 ，则ln b ＜ln a ＜0.综上，ln a ＞ln b ＞0是a ＞b ＞0的充分不必要条件．4．C 方法一 (取特殊值进行验证)因为x ＞y ＞0，选项A ，取x ＝1，y ＝12 ，则1x －1y＝1－2＝－1＜0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2 ，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2 ＝－1＜0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12 ，则ln x ＋ln y ＝ln (xy )＝ln 1＝0，排除D.方法二 (利用函数的单调性)因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12 x 在R 上单调递减，且x ＞y ＞0，所以⎝⎛⎭⎫12x＜⎝⎛⎭⎫12 y ，即⎝⎛⎭⎫12 x －⎝⎛⎭⎫12 y ＜0.故选C.5．B 可取a ＝2，b ＝±1逐一验证，B 正确． 6．D ∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0 ∴a >0，c <0，b 不确定 ∴ac <bc .7．C ∵－π2 <α<β<π2 ，∴－π2 <α<π2 ，－π<α－β<0，∴－3π2 <2α－β<π2 .8．A 因为c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0， 所以c ≥b .又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，所以2b ＝2＋2a 2，b ＝a 2＋1，所以b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12 )2＋34 >0， 所以b >a ， 所以c ≥b >a .9．AD ∵a >b >0，则b a －b ＋1a ＋1 ＝b （a ＋1）－a （b ＋1）a （a ＋1） ＝b －a a （a ＋1） <0，∴b a >b ＋1a ＋1一定不成立；a ＋1a －b －1b ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1－1ab ，当ab >1时，a ＋1a －b －1b >0，故a ＋1a >b ＋1b 可能成立；a ＋1b －b －1a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0，故a ＋1b >b ＋1a 恒成立；2a ＋b a ＋2b －a b＝b 2－a 2b （a ＋2b ） <0，故2a ＋b a ＋2b >ab一定不成立．故选AD.10．p ≤q答案解析：p －q ＝(b 2a ＋a 2b )－(a ＋b )＝(b 2a －a )＋(a 2b －b )＝(1a －1b )(b 2－a 2)＝（b －a ）2（b ＋a ）ab，又a <0，b <0，所以b ＋a <0，ab >0，(b －a )2≥0，所以(b 2a ＋a 2b )－(a ＋b )≤0，所以p ≤q . 11．(－1，2)答案解析：∵0<b <1，∴－1<－b <0 又∵0<a <2 ∴－1<a －b <2. 12．①②③答案解析：对于①，若ab >0，bc －ad >0，不等式两边同时除以ab 得c a －db >0，所以①正确；对于②，若ab >0，ca －db >0，不等式两边同时乘以ab 得bc －ad >0，所以②正确；对于③，若ca －db >0，当两边同时乘以ab 时可得bc －ad >0，所以ab >0，所以③正确．13．C ①中，因为b ＞0＞a ，所以1b ＞0＞1a ，因此①能推出1a ＜1b 成立，所以①正确；②中，因为0＞a ＞b ，所以ab ＞0，所以aab ＞b ab ，所以1b ＞1a ，所以②正确；③中，因为a ＞0＞b ，所以1a ＞0＞1b ，所以1a ＞1b ，所以③不正确；④中，因为a ＞b ＞0，所以a ab ＞b ab ，所以1b ＞1a ，所以④正确．故选C.14．BD 利用取特殊值法，令a ＝－3，b ＝－2，代入各选项，验证可得正确的选项为BD.15．①答案解析：①由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件．16．(－1，2)答案解析：∵2b <a <－b ，∴2b <－b ，∴b <0，∴1b <0，∴－b b <a b <2bb ，即－1<a b <2.。

不等式的根本性质知能演练提升能力提升1.a,b,c均为实数,假设a>b,c≠0,以下结论不一定正确的选项是()A.a+c>b+cB.c-a<c-bC. D.a2>ab>b22.2a+3b-1>3a+2b,那么a,b的大小关系是()A.a<bB.a>bC.a=b3.实数a,b在数轴上的位置如图,那么0.(填“>〞或“<〞)4.以下四个判断:①假设ac2>bc2,那么a>b;②假设a>b,那么a|c|>b|c|;③假设a>b,那么<1;④假设a>0,那么b-a<b.其中正确的选项是.(填序号)5.-m+5>-n+5,试比较10m+8与10n+8的大小.6.如图,有四个小朋友在公园玩跷跷板,他们的体重分别为P,Q,R,S.请你根据图中的情境确定他们的体重大小关系(用“>〞连接起来).7.甲,乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,请问在哪家超市购置这种商品更合算?创新应用8.阅读以下材料:试判断a2-3a+7与-3a+2的大小.分析:要判断两个数的大小,我们往往使用作差法,即假设a-b>0,那么a>b;假设a-b<0,那么a<b;假设a-b=0,那么a=b.解:∵(a2-3a+7)-(-3a+2)=a2-3a+7+3a-2=a2+5,又a2≥0,∴a2+5>0.∴a2-3a+7>-3a+2.阅读后,应用这种方法比较的大小.答案：能力提升1.D2.A3.< 由数轴知0<a<1,b<-1,∴a-b>0,a+b<0.由不等式的根本性质3,a-b>0两边除以a+b,得<0.4.①④5.解:根据不等式的根本性质1,不等式-m+5>-n+5的两边都减去5,得-m>-n,根据不等式的根本性质3,不等式的两边都乘-1,得m<n;根据不等式的根本性质2,不等式的两边都乘10,得 10m<10n,根据不等式的根本性质1,不等式的两边都加上8,得10m+8<10n+8.6.解:由题中第一个图知S>P;由题中第二个图知P>R,∴S>P>R.又由题中第三个图知P+R>S+Q;而由S>P,得S+Q>P+Q,∴P+R>P+Q,∴R>Q.因此,S>P>R>Q.7.解:设这种商品的价格为a(a>0),在甲超市购置需付款a(1-10%)·(1-10%),即0.81a.在乙超市购置需付款a(1-20%),即0.8a.∵0.81>0.8,且a>0,∴0.81a>0.8a,∴在乙超市购置更合算.创新应用能力提升1.以下各式能用完全平方公式进行因式分解的是()A.x2+1B.x2+2x-1C.x2+x+1D.x2+4x+42.假设x为任意实数,那么多项式x-1-x2的值()3.以下多项式中,不能用公式法因式分解的是()A.-x2+16y2B.81(a2+b2-2ab)-(a+b)2C.m2-mn+n2D.-x2-y24.因式分解:(a+b)(a+b+6)+9=.5.因式分解:4+12(x-y)+9(x-y)2=.6.当x=时,多项式-x2+2x-1有最大值.7.利用因式分解计算:1012+101×198+992的值.8.先因式分解,再求值:(a2+b2)2-4a2b2,其中a=3.5,b=1.5.9.a,b,c为△ABC的三条边长,且b2+2ab=c2+2ac,试判断△ABC的形状.创新应用10.观察思考:1×2×3×4+1=25=52,2×3×4×5+1=121=112,3×4×5×6+1=361=192,4×5×6×7+1=841=292,…………从以上几个等式中,你能得出什么结论?能证明吗?答案：能力提升1.D2.B3.D4.(a+b+3)25.(3x-3y+2)26.107.解:原式=1012+2×101×99+992=(101+99)2=2021年=40 000.8.解:(a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)=(a+b)2(a-b)2,当a=3.5,b=1.5时,原式=(3.5+1.5)2×(3.5-1.5)2=25×4=100.9.解法一:∵b2+2ab=c2+2ac,∴b2-c2+2ab-2ac=0,∴(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0,(b-c)(b+c+2a)=0.∵a,b,c为三角形的三边长,∴b+c+2a>0.∴b-c=0,即b=c.∴△ABC为等腰三角形.解法二:∵b2+2ab=c2+2ac,∴b2+2ab+a2=c2+2ac+a2,∴(a+b)2=(a+c)2.∵a,b,c为三角形的三边长,∴a+b=a+c.∴b=c.∴△ABC为等腰三角形.创新应用10.分析:仔细观察,寻找规律是关键.等式左边是四个连续自然数的积与1的和,等式右边是一个完全平方数,因此结论是四个连续自然数的积与1的和是一个完全平方数.解:结论:四个连续自然数的积与1的和是一个整数的完全平方数.证明:设最小的自然数是n,那么这四个自然数的积与1的和可以表示为n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)·(n+2)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3 n+1)2.。

4.2 不等式的根本性质第1课时不等式的根本性质1 1．假设m>n，且am<an，那么a的取值应满足条件〔〕A．a>0B．a<0C．a=0D．a 02.以下不等式的变形正确的选项是〔〕A．由4x－1>2，得4x>1B．由5x>3，得x>3 5C．由x2>0，得x>2D．由－2x<4，得x<－23．假设a>b，且m为有理数，那么am2____bm2．4．同桌甲和同桌乙正在对7a>6a进行争论，甲说：“7a>6a正确〞，乙说：“这不可能正确〞，你认为谁的观点对？为什么？1．不等式的根本性质1：如果a>b，那么a+c____b+c，a－c____b－c．2．设a<b，用“<〞或“>〞填空．〔1〕a－1____b－1；〔2〕a+1_____b+1；〔3〕2a____2b；〔4〕－2a_____－2b；〔5〕－a2_____－b2；〔6〕a2____b2．3．根据不等式的根本性质，用“<〞或“>〞填空．〔1〕假设a－1>b－1，那么a____b；〔2〕假设a+3>b+3，那么a____b；〔3〕假设2a>2b，那么a____b；〔4〕假设－2a>－2b，那么a___b．4．假设a>b，m<0，n>0，用“>〞或“<〞填空．〔1〕a+m____b+m；〔2〕a+n___b+n；〔3〕m－a___m－b；〔4〕an____bn；〔5〕am____bm；〔6〕an_____bn；5．以下说法不正确的选项是〔〕A．假设a>b，那么ac2>bc2〔c 0〕B．假设a>b，那么b<aC．假设a>b，那么－a>－bD．假设a>b，b>c，那么a>c★不等式的简单变形6．根据不等式的根本性质，把以下不等式化为x>a或x>a的形式：〔1〕x－3>1；〔2〕－23x>－1；〔3〕3x<1+2x；〔4〕2x>4．第3课时二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质1．已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图像一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图像如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）函数有最小值B．对称轴是直线x=A．C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞03．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或24．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是_________．5．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图像的对称轴是直线_________．6．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m=_________．7．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．8．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．9．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图像记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图像记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有_________个；（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．10．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图像的对称轴为直线．（1）请求出该函数图像的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图像；（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．。