基本不等式培优专题(可编辑)0

2020年高中数学人教A 版必修第一册 专项培优《 基本不等式》一、选择题1.不等式(x-2y)＋1x －2y≥2成立的条件为( )A.x ≥2y ，当且仅当x-2y=1时取等号B.x>2y ，当且仅当x-2y=1时取等号C.x ≤2y ，当且仅当x-2y=1时取等号D.x<2y ，当且仅当x-2y=1时取等号2.已知不等式(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.83.若2x ＋2y=1，则x ＋y 的取值范围是( )A.[0，2]B.[－2，0]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]4.设M=3x ＋3y 2，N=(3)x ＋y，P=3xy(x ，y ＞0，且x ≠y)，则M ，N ，P 大小关系为( )A.M ＜N ＜PB.N ＜P ＜MC.P ＜M ＜ND.P ＜N ＜M5.已知a ，b 都是正数，设M=a b ＋ba，N=a ＋b ，则( )A.M>NB.M<NC.M=ND.M ≥N6.将一根铁丝切割成三段，做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m7.点P(x ，y)是直线x ＋3y －2=0上的动点，则代数式3x ＋27y有( ) A.最大值8 B.最小值8 C.最小值6 D.最大值68.若x>4，则函数y=x ＋1x －4( )A.有最大值－6B.有最小值6C.有最大值－2D.有最小值29.已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2=4，那么ab( ) A.有最大值2，有最小值－2 B.有最大值2，但无最小值 C.有最小值2，但无最大值 D.有最大值2，有最小值010.已知0<x<1，则x(3-3x)取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.2311.已知a>0，b>0，2a ＋1b =16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则实数m 的最大值为( )A.8B.7C.6D.512.若实数x ，y 满足xy>0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y 的最大值为( )A ．2- 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4-2 2二、填空题13.已知点P(x ，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x ＋4y的最小值为________.14.已知x ≥52，则f(x)=x 2－4x ＋52x －4的最小值为________.15.若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________.16.若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6=xy ，则xy 的最小值是________.三、解答题17.已知a ，b 为正实数，且a ＋b=1，求1a ＋2b的最小值.18.已知x ≥52，求f(x)=x 2－4x ＋5x －2的最小值.19.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＞0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac≥4.20.已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c>ab ＋bc ＋ca.21.围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元). (1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.22.已知a>0，b>0，a ＋b=1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.23.已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c=1，求证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.答案解析1.答案为：B.解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x-2y>0，即x>2y ，且等号成立时(x-2y)2=1，即x-2y=1，故选B.2.答案为：B ；解析：(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y =1＋ax y ＋y x ＋a ≥1＋2a ＋a=(1＋a)2.由(1＋a)2=9，解得a=4.3.答案为：D.解析：因为2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y=1，所以22x ＋y ≤1，所以2x ＋y≤14=2－2，所以x ＋y ≤－2，即(x ＋y)∈(－∞，－2].4.答案为：D.解析：由基本不等式可知3x ＋3y2≥3x 3y =(3)x ＋y =3x ＋y 2≥3xy，因为x ≠y ，所以等号不成立，故P ＜N ＜M.5.答案为：D.解析：∵a>0，b>0，∴b>0，a b ＋b ≥2a ，ba＋a ≥2 b.于是a b ＋b ＋b a ＋a ≥2a ＋2 b.故a b ＋ba ≥a ＋b ，即M ≥N.6.答案为：C.解析：设两直角边分别为a 、b ，直角三角形的框架的周长为l ， 则12ab=2，l=a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab=4＋22≈6.828(m).故选C.7.答案为：C.解析：∵点P(x ，y)在直线x ＋3y －2=0上，∴x ＋3y=2.∴3x＋27y=3x＋33y≥23x·33y=23x ＋3y=232=6.当且仅当x=3y ，即x=1，y=13时，等号成立.∴代数式3x ＋27y有最小值6.8.答案为：B.解析：∵x>4，∴x －4>0，∴y=x ＋1x －4=(x －4)＋1x －4＋4≥2＋4=6. 当且仅当x －4=1x －4，即x=5时，取“=”号.9.答案为： A.这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2=4，a 2＋b 2≥2|ab|，得|ab|≤2， 所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.10.答案为：B ；解析：由x(3-3x)=13×3x(3-3x)≤13×94=34，当且仅当3x=3-3x ，即x=12时等号成立．11.答案为：C.解析：由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b =1， 所以2a ＋b=6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b)=6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)=54，当且仅当2a b =2ba时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.12.答案为：D ； 解析： x x ＋y ＋2y x ＋2y =x x ＋y ＋x ＋2y －x x ＋2y =1＋x x ＋y -x x ＋2y =1＋xy (x ＋y )(x ＋2y )=1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2=1＋13＋x y ＋2y x，因为xy>0，所以x y >0，y x >0.由基本不等式可知x y ＋2yx≥22， 当且仅当x=2y 时等号成立，所以1＋13＋x y ＋2y x≤1＋13＋22=4-2 2.一、填空题13.答案为：42；解析：∵点P(x ，y)在直线AB 上，∴x ＋2y=3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y =22x ＋2y=4 2.14.答案为：1；解析：f(x)=x 2－4x ＋52x －4=x －22＋12x －2=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋1x －2≥1.当且仅当x －2=1x －2，即x=3时等号成立.15.答案为：(－∞，2]；解析：x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立⇔a ≤x ＋1x，x ∈(0,1]恒成立.∵x ∈(0,1]，x ＋1x≥2，∴a ≤2.16.答案为：18；解析：由x ＞0，y ＞0，2x ＋y ＋6=xy ，得xy ≥2 2xy ＋6(当且仅当2x=y 时，取“=”)，即(xy)2－2 2 xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0.又∵xy ＞0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18.二、解答题17.解：1a ＋2b =a ＋b a ＋2a ＋2b b =1＋b a ＋2a b ＋2≥3＋22baab =3＋2 2.当且仅当b a =2ab ，即a=2－1，b=2－2时取“=”.故1a ＋2b 的最小值是3＋2 2.18.解：因为x ≥52，所以x －2＞0.所以f(x)=x 2－4x ＋5x －2=（x －2）2＋1x －2=(x －2)＋1x －2≥2.当且仅当x －2=1x －2，即x=3时，等号成立.故当x=3时，f(x)min =2.19.证明：ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac =a b ＋c d ＋b a ＋d c =⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c d ＋d c ≥2＋2=4，当且仅当a=b 且c=d 时取“=”号，所以ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ≥4.20.证明：∵a>0，b>0，c>0，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ac. 于是2(a ＋b ＋c)≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca.∵a ，b ，c 为不全相等的正实数，等号不成立，∴a ＋b ＋c>ab ＋bc ＋ca.21.解：(1)设矩形的另一边长为a m ，则y=45x ＋180(x －2)＋180·2a=225x ＋360a －360.由已知ax=360，得a=360x ，所以y=225x ＋3602x－360(x ＞0).(2)因为x ＞0，所以225x ＋3602x≥2225×3602=10 800.所以y=225x ＋3602x －360≥10 440，当且仅当225x=3602x时，等号成立.即当x=24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元.22.证明：(1)1a ＋1b ＋1ab =1a ＋1b ＋a ＋b ab =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b .∵a ＋b=1，a>0，b>0， ∴1a ＋1b =a ＋b a ＋a ＋b b =2＋a b ＋b a ≥2＋2=4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a=b=12时等号成立). (2)法一 ∵a>0，b>0，a ＋b=1，∴1＋1a =1＋a ＋b a =2＋b a ，同理，1＋1b =2＋a b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b =⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b =5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4=9， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a=b=12时等号成立). 法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b =1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b =1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.23.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c=1， ∴1a －1=1－a a =b ＋c a ≥2bc a ， 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c .∵上述三个不等式两边均为正，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c =8， 当且仅当a=b=c=13时取等号．。

高中数学——基本不等式培优专题目录培优（1）常规配凑法培优（2）“1”的代换培优（3）换元法培优（4）和、积、平方和三量减元培优（5）轮换对称与万能k法培优（6）消元法（必要构造函数求异）*培优（7）不等式算两次培优（8）齐次化培优（9）待定与技巧性强的配凑培优（10）多元变量的不等式最值问题培优（11）不等式综合应用培优（1） 常规配凑法。

1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最大值为_____________2. 已知实数x,y 满足11622=+y x ，则22y x +的最大值为_____________3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)11)((≥++yx my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值是（ ）4.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -+++11的最小值是_____________5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且ab ba =+32，则ab 的最小值是_____________ 》6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则bb a 214+-的最小值是_____________7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11111=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ）A.23B.22]培优（2） “1”的代换8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则ba b 1+的最小值为_____________此时a=______9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+b a 则b a+2的最小值为（ ）A.24B.2810.（2017西湖区校级期末）已知实数x,y 满足x ﹥y ﹥0,且x+y=2，则3yx 4y -x 1++的最小值是_____________ <11.（18届金华十校高一下期末）记max ｛x,y,z ｝表示x,y,z 中的最大数，若a ﹥0,b ﹥0,则max ｛a,b,ba 31+｝ 的最小值为（ ）A.2B.312. 已知a,b 为正实数,且a+b=2，则21222-+++b b a a 的最小值为_____________13. 已知正实数a,b 满足1)2(221=+++aa b b b a ）（，则ab 的最大值为_____________（补充题）已知x,y ﹥0,则2222296y x xyy x xy +++的最大值是_____________!培优（3） 换元法14.（2019届超级全能生2月）已知正数x,y 满足x+y=1,则yx 21111+++的最小值是（ ） {A.2833 B.67 C.5223+ D.5615.（2019届模拟7）已知㏒2(a-2)+ ㏒2(b-1)≥1，则2a+b 取到最小值时ab=（ ）16.（2018温州期中）已知实数x,y 满足2x ﹥y ﹥0,且12121=++-yx y x ，则x+y 的最小值为（ ） A.5323+ B.5324+ C.5342+ D.5343+17.（2018杭州期末）若正数a,b 满足a+b=1,则bba a +++11的最大值是_____________—18.（2017湖州期末）若正实数x,y 满足2x+y=2,则221422+++x y y x 的最小值是_____________19.（2018河北区二模）若正数a,b 满足111=+b a ，则1911-+-b a 的最小值为（ ）20.（温岭市2016届高三5月高考模拟）已知实数x,y 满足xy-3=x+y,且x ﹥1，则y(x+8)的最小值是（ ）21. 若正数x,y 满足111=+y x ，则1914-+-y yx x 的最小值为_____________22.（2018届嘉兴期末）已知实数x,y 满足194=+y x ，则1132+++y x 的取值范围是_____________?23.（2018上海二模）若实数x,y 满足112244+++=+y x y x ，则S=y x 22+的取值范围是_____________培优（4） 和、积、平方和三量减元24.（2019届台州4月模拟）实数a,b 满足a+b=4,则ab 的最大值为_____________，则)1)(1(22++b a 的最小值是_____________25. (2019届镇海中学考前练习14)已知正数x,y 满足xy(x+y)=4,则xy 的最大值为_____________，2x+y 的最小值为_____________#26.（2018春台州期末）已知a,b ∈R ，a+b=2,则的最大值为（ ）B.56C.212+27.（2016宁2波期末14）若正数x,y 满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值是_____________28.（2018届诸暨市期中）已知实数x,y 满足214-=+xy x y y x ，则122-+y x xy的最大值为（ ） A.332 B.23 C.1332+ D. 213+29.（2018台州一模）非负实数x,y 满足324442222=+++y x xy y x ,则x+2y 的最小值为_____________，xy y x 2)2(7++的最大值是_____________！30.（2018春南京）若x,y ∈(0,+∞),,42=++xy yx 则172122+++xy y x xy 的取值范围是_____________31.（2017武进区模拟）已知正实数x,y 满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y 的最小值为_____________32.（2017宁波期末）若正实数a,b 满足ab b a 61)2(2+=+,则12++b a ab的最大值为_____________/培优（5） 轮换对称与万能k 法33.（2019嘉兴9月基础测试17）已知实数x,y 满足1422=++y xy x ，则x+2y 的最大值为_____________34.（2016暨阳联谊）已知正实数x,y 满足2x+y=2,则22y x x ++的最小值为_____________35. 已知正实数a,b 满足1922=+b a ，则ba ab+3的最大值为_____________36. 已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, 1222=++c b a 则a 的最大值为_____________37.（2018届杭二高三下开学）若164922=++xy y x ，x ∈R ，y ∈R ，则9x+6y 的最大值为_____________、培优（6） 消元法（必要构造函数求异）38.（2016十二校联考13）若存在正实数y,使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_____________39.（2019届镇海中学5月模拟13）已知a,b ∈+R ，且a+2b=3,则ba 21+的最小值是_____________， 2221ba +的最小值是_____________40.（2019届金华一中5月模拟9）已知正实数a,b 满足a+b=1,则的最大值是（ ）B.21+C.1332+ D. 2223+<41.（2017西湖区校级模拟）已知正实数a,b 满足042≤+-b a ，则ba ba u ++=32（ ） A.有最大值为514 B. 有最小值为514C.没有最小值D.有最大值为342.（2018湖州期末）已知a,b 都为正实数，且311=+ba ，则ab 的最小值是_____________ abb+1的最大值是_____________培优（7） 不等式算两次43. 设a ＞b ＞0,那么)(12b a b a -+的最小值为（ ）&44. 设a ＞2b ＞0，则)2(9)(2b a b b a -+-的最小值为_____________45.（2017天津）若a,b ∈R,ab ＞0，则abb a 1444++的最小值为_____________46. 若x,y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是_____________47. 已知a,b,c ∈(0,+∞),则acbc c b a ++++25)(2222的最小值为_____________48.（2018天津一模）已知a ＞b ＞0，则ba b a a -+++232的最小值为_____________49.（2017西湖区校级模拟）已知正实数a,b 满足042≤+-b a ，则ba ba u ++=32（ ） |A.有最大值为514B. 有最小值为514C.没有最小值D.有最大值为350. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0且a+b=2,则252-+-+c c ab c b ac 的最小值是_____________"培优（8） 齐次化51.（2019届杭高高三下开学考T17）若不等式)(222x y cx y x -≤-对满足x ＞y ＞0的任意实数x,y 恒成立，则实数c 的最大值为_____________52.（2019届绍兴一中4月模拟）已知x ＞0，y ＞0，x+2y=3，则xyy x 32+的最小值为（ ） A.223- B.122+ C.12- D.12+53.（2018浙江模拟）已知a ＞0,b ＞0，则2222296b a ab b a ab +++的最大值为_____________ :若25422=+-y xy x ，则223y x +的取值范围是_____________54.（2016新高考研究联盟二模）实数x,y 满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是_____________<…培优（9） 待定与技巧性强的配凑55.（2016大联考）若正数x,y,z 满足3x+4y+5z=6，则zx z ++++2y 4z y 21的最小值为_____________56.（2016杭二最后一卷）若正数x,y 满足11x 1=+y，则2210y xy x +-的最小值为_____________ %57.（2016宁波二模）已知正数x,y 满足xy ≤1，则M=1211x 1+++y 的最小值为_____________58.（2016浙江模拟）已知实数a,b,c 满足14141222=++c b a ，则ab+2bc+2ca 的取值范围是（ ） A.(]4，∞- B. []44，- C. []42，- D. []41，-59.（2019江苏模拟）已知x,y,z ∈(0,+∞)且1222=++c b a ，则3xy+yz 的最大值为_____________60.（2016大联考）已知12222=+++d c b a ，则ab+2bc+cd 的最大值为_____________61.（2017学年杭二高三第三次月考）已知{}222)()()(min T z x y z y x +++=，，，且x+y+z=2， ~则T 的最大值是（ ） A.38 C. 34 D. 32 62. 已知a,b,c ∈+R ,则bc ab c b a 2222+++的最小值是_____________63. 已知a,b,c ∈R ，且4222=++c b a ，则bc ab 25+的最大值是_____________64. 已知a,b,c ∈R ，且4222=++c b a ，则ac+bc 的最大值为_____________,又若a+b+c=0,则c 的最大值是_____________|培优（10） 多元变量的不等式最值问题65.（2019届浙江名校新高考研究联盟第9题）已知正实数abcd 满足a+b=1,c+d=1， 则d1abc 1+的最小值是（ ） C.24 D.3366.（2019届杭四仿真卷）已知实数x,y,z 满足⎩⎨⎧=++=+512222z y x z xy ，则xyz 的最小值为_____________ 67.（2019届慈溪中学5月模拟）若正实数a,b,c 满足a(a+b+c)=bc ，则c b +a 的最大值为_____________ 68.（2017浙江期末）已知实数a,b,c 满足a+b+c=0,a ﹥b ﹥c,则22c a b+的取值范围是（ ） A.)55,55(- B. )51,51(- C.)2,2(- D. )55,2(- 69.（2018浦江县模拟）已知实数a,b,c 满足1222=++c b a ，则ab+c 的最小值为（ ） 、 B.23- 21 70.（2016秋湖州期末）已知实数a,b,c 满足132222=++c b a ，则a+2b 的最大值为（ ） A.3 C.571.（2019江苏一模）若正实数a,b,c 满足ab=a+2b ，abc=a+2b+c ，则c 的最大值为_____________72.（2018秋辽宁期末）设a,b,c 是正实数且满足a+b ≥c ，则cb a a b ++的最小值为_____________73.（2017秋苏州期末）已知正实数a,b,c 满足11a 1=+b ，11b a 1=++c ，则c 的取值范围是_____________74.（2019届浙江名校协作体高三下开学考17）若正数a,b,c 满足1222=--++bc ab c b a ，则c 的最大值为_____________75.（2018届衢州二中5月模拟12）已知非负实数a,b,c 满足a+b+c=1,则(c-a)(c-b)的取值范围是_____________76.（2018届上虞5月模拟16）若实数x,y,z 满足x+2y+3z=1, 194222=++z y x ,则z 的最小值为_____________培优（11） 不等式综合应用77.（2018春衢州期末）已知x,y ＞0，若,1464x y x y +=++ 则yx 14+的最小值是（ ）78.（2018嘉兴模拟）已知,0x ,841x ）＞（y yx y ++=+则x+y 的最小值为（ ） A.35 C.2624+79.（2018越城区校级）已知x,y ＞0，且,419211x =+++y x y 则y 167x 3-的最小值是_____________ 80.（2016台州期末）已知a,b,c ∈(0,1),设ac c b b a -+-+-+112,112,112这三个数的最大值为M ， 则M 的最小值为（ ） B.223+ C. 223- D.不存在81.（2019乐山模拟）已知实数x,y 满足x ＞1，y ＞0, ,111114x =+-++y x y 则y 11-x 1+的最大值 为_____________82.（2019乐山模拟）已知x,y 为正实数，且满足)2)(23(12-+=-y y xy ）（，则y1+x 的最大值 为_____________83.（2019届镇海中学最后一卷）已知x,y ＞0，且1y 1x 82=+，则x+y 的最小值为_____________。

基本不等式培优专题目录：培优点一：常规配凑法 培优点二：常量代换 培优点三：换元法培优点四：和、积、平方和三量减元 培优点五：轮换对称和万能k 法培优点六：消元法（必要构造函数求导） 培优点七：不等式算两次 培优点八：齐次化培优点九：待定与技巧性强的配凑 培优点十：多元变量的不等式最值问题 培优点十一：不等式综合问题一、常规配凑法1.已知242(,)aba b R +=∈，则2a b +的最大值为__________,02.已知实数,x y ,满足22116y x +=，则__________,943.已知不等式11()()9x my x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数m 的最小值______,44.已知实数,x y ,满足1x ≠，则11x y y x ++-+的最小值为__________,15.已知实数0,0x y >>,满足23x y+=xy 的最小值为__________,6.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则412x y y+-的最小值为__________,97.已知实数0,0x y >>,满足11111x y +=++，则2x y +的最小值为__________, 二、“1”的代换8.已知实数0,0>>y x ,满足1x y +=，则1y x y+的最小值为__________3,此时_____x =129.已知实数0x y >>,满足121x y +=，则2y x+的最小值为__________，9 10.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则413x y x y ++-的最小值为__________,9411.记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大数，若0,0x y >>，则13max{,,}x y x y+的最小值为______,212.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则22221x y x y ++-+的最小值为13.已知正实数,x y ,满足121(2)(2)x y y x y x+=++，则xy 的最大值为__________,2三、换元法14.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11112x y+++的最小值为15.已知22log (2)log (1)1a b -+-≥，则2a b +取到最小值时________ab =916.已知实数20x y >>,满足11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为17.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11x y x y +++的最大值为__________,2318.已知实数0,0x y >>,满足22x y +=，则224122x y y x +++的最小值为__________,4519.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则1911x y +--的最小值为__________,6 20.已知实数,x y ,满足3x y xy +=-，且1x >，则(8)y x +的最小值为__________,2521.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则4911x y x y +--的最小值为__________,2522.已知实数,x y ，满足491xy+=，则1123x y +++的取值范围为__________,23.已知实数,x y ，满足114422x y x y +++=+，则22xyS =+的取值范围为__________,(2,4] 四、和、积、平方和三量减元24.已知实数,x y ,满足4x y +=，则xy 的最大值为__________4,22(1)(1)x y ++的最小值为__________,1625.已知实数0,0x y >>,满足()4xy x y +=，则xy 的最大值为_,2x y +的最小值为__________,226.已知实数,x y ,满足2x y +=，则221111x y +++的最大值为27.已知正实数,x y ,满足22421x y x y +++=，则xy 的最大值为28.已知实数,x y ,满足412x y y x xy +=-，则221xyx y +-的最大值为__________,13+ 29.已知非负实数,x y ,满足222244432x y xy x y +++=，则2x y +的最小值为2)2x y xy ++的最大值为__________,16 30.已知正实数,x y ,满足42y x xy ++=，则221217xy x y xy +++的取值范围为______,13(,]172531.已知正实数,x y ,满足2342x y xy ++=，则54xy x y ++的最小值为__________,55 32.已知正实数,x y ,满足2(2)16x y xy +=+，则21xy x y ++的最大值为__________,16五、轮换对称与万能k 法33.已知实数,x y ,满足2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为__________,534.已知正实数,x y ,满足22x y +=，则x __________,8535.已知正实数,x y ,满足2291x y +=，则3xyx y+的最大值为__________,1236.已知实数,,x y z ,满足0x y z ++=，2221x y z ++=则x 的最大值为__________,337.已知实数,x y ,满足229461x y xy ++=，则96x y +的最大值为__________,六、消元法（必要构造函数求导） 38.若存在正实数y ,使得154xy y x x y =-+，则x 的最大值为__________,1539.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则12x y +的最小值为_________3_,2212x y+的最小值为_________3,40. 已知正实数,x y ,满足1x y +=，则222x yx y x y+++的最大值为1+ 41. 已知正实数,x y ,满足240x y -+≤，则23x y u x y +=+有最_小__值为________,14542. 已知正实数,x y ,满足113x y +=，则xy 的最小值为_________49_,1y xy +的最大值为__________,4七、不等式算两次43.已知实数0x y >>，则21()x y x y +-的最小值为__________,444.已知实数20x y >>，则29()(2)x y y x y -+-的最小值为__________,1245.已知实数0x y >>，则4441x y xy++的最小值为__________,446.已知实数0,0x y >>，则2211()()22x y y x+++的最小值为__________,4 47.已知正实数,,x y z ，则2222()52x y z yz xz++++的最小值为__________,448.已知实数0x y >>，则322x x y x y+++-的最小值为__________,49.已知实数2,0,0>>>z y x ，且2x y +=，则2xz z z y xy +-的最小值为_______,+八、齐次化50.若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为____________.451.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则23x y xy+的最小值为__________,152.已知正实数,x y ,若23x y +=，则2222629xy xyy x y x+++的最大值为53.已知实数,x y ,满足22222x xy y -+=，则222x y +的最小值为__________,73九、待定和技巧性强的配凑54.已知正实数,,x y z ，满足3456x y z ++=，则1422y z y z x z ++++的最小值为_______,7355.已知正实数,x y ,满足111x y+=，则2210x xy y -+的最小值为__________,-3656.已知正实数,x y ,满足1xy ≤，则11112x y+++的最小值为__________,2 57.已知实数,,x y z ，满足222144x y z ++=，则22xy yz xz ++的取值范围为_____,[2,4]-58.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则3xy yz +的最大值为__________,259.已知实数,,x y z ，满足2224x y z ++=+的最大值为__________,十、多元变量的不等式最值问题60.已知正实数,,,a b c d ，满足1a b +=，1c d +=则11abc d+的最小值为__________,961.已知实数,,x y z ，满足222215xy z x y z +=⎧⎨++=⎩，则xyz 的最小值为____32______,此时___z =262.已知正实数,,x y z ，满足()x x y z yz ++=，则xy z+的最大值为__________,1263.已知实数,,x y z ，满足0,x y z x y z ++=>>，则的取值范围为______,(55-64.已知实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则xy z +的最小值为__________,-165.已知实数,,x y z ，满足222231x y z ++=，则2x y +的最大值为66.已知正实数,,x y z ，满足2xy x y =+，2xyz x y z =++则z 的最大值为__________,8767.已知正实数,,x y z ，满足x y z +≥，则y x x y z ++的最小值为1268.已知正实数,,x y z ，满足111x y +=，111x y z +=+，则z 的取值范围为__________,4(1,]369.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z xy yz ++--=，则z 的最大值为70.已知非负实数,,x y z ，满足1x y z ++=，则()()z x z y --的取值范围为___,1[,1]8- 十一、不等式综合应用71.已知正实数,x y ,满足4146x y x y ++=+，则41x y+的最小值为__________,8 72.已知正实数,x y ,满足148x y x y+=++，则x y +的最小值为__________,9 73.已知正实数,x y ,满足111924x y x y +++=，则3716x y -的最小值为__________,14- 74.已知实数,,(0,1)a b c ∈，设212121,,,111a b b c c a+++---这三个数的最大值为M ，则M 的最小值为_______3+75.已知实数,x y ，满足1,0x y >>，且114111x y x y +++=-则111x y+-的最大值为__,976.已知正实数,x y ，满足2(1)(32)(2)xy y y -=+-，则1x y+的最大值为______,1 77.已知正实数,x y ，满足2811x y+=，则x y +的最小值为__________,6。

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。

《基本不等式》专题一、相关知识点1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)； (2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (4)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(5)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R)．(6)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R)．(7)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)5．重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 题型一 基本不等式的判断1．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( )A.|a ＋b |2≥|ab | B ．b a ＋ab ≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥23．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 34．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <Q题型二 利用基本不等式求最值类型一 直接法或配凑法利用基本不等式求最值1．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为4．已知x <0，则函数y ＝4x ＋x 的最大值是5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为6．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．7．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为________．8．若x ，y 均为正数，则3x y ＋12yx ＋13的最小值是9．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．10．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．11．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为12．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为13．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.14．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是15．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是16．已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为17．已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．类型二 常数代换法利用基本不等式求最值1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．3．已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为________．4．已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小值为5．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是6．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为7．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝a log 2x ＋b 的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则1a ＋2b 的最小值为________．9．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为10．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是11．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．12．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为13．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是14．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．15．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．类型三 通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．2．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．3.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________.4．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为2．已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．3．若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．4．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为5．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为7．已知函数f (x )＝3x 2＋ax ＋26x ＋1，若存在x ∈N ＋使得f (x )≤2成立，则实数a 的取值范围为___题型三 基本不等式的综合问题类型一 基本不等式的实际应用问题1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)． (1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．类型二 基本不等式与函数的交汇问题1．已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－4)类型三 基本不等式与数列的交汇问题1．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为3．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N ＋)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是______.类型四 基本不等式与解析几何的交汇问题1． 已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是2．当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为3．两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n4m2＋1n2的最小值为∈R，且mn≠0，则。

授课主题 第12讲---基本不等式授课类型T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 掌握基本不等式的证明及应用；② 会用基本不等式求函数的最大值或最小值； ③ 掌握基本不等式的实际应用。

授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂1、算术平均值与几何平均值（1） 算术平均值：对任意两个正实数,a b ，数2a b+ 叫做,a b 的算术平均值 （2） 几何平均值：对任意两个正实数,a b ，数ab 叫做,a b 的几何平均值 2、均值定理如果,a b R +∈，那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 3、均值不等式的常见变形（1）()2,a b ab a b R ++≥∈（2）()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭（3）2b aa b+≥（,a b 同号且不为0） （4）()2,11ab a b R a b+≤∈+4、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x=y 时，x ＋y 有最最小值是p 2。

(简记：积定和最小)知识梳理（2）如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x=y 时，xy 有最大值是42s 。

(简记：和定积最大)考点一： 基本不等式的理解例1、下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ．211()1x R x >∈+例2、已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥或2m -≤ B ．2m ≥或4m -≤ C ．24m -<< D ．42m -<<考点二：基本不等式与最值例1、已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30⋅=∠=︒AB AC BAC ，若,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y +的最小值为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9例2、设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值．例3、设b a 、为正实数，且2211=+ba . （1）求22b a +的最小值；（2）若32)(4)(ab b a ≥-，求ab 的值.典例分析考点四：基本不等式的实际问题例1、如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.（1）要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？（2）M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．4800m，深为3m．如果池底每平方米的造价为150例2、某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为3元，池底每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？例3、图画柱挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方a米处，而上边缘在b米处，问观察者站在离墙多远处才能使视角最大？P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．222、若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．23、若,0>>b a 则下列不等式成立的是（ ）A.ab b a b a >+>>2 B.b ab ba a >>+>2C.ab b b a a >>+>2 D.b b a ab a >+>>24、函数()()130,1x f x a a a -=+>≠且的图象过一个定点P ，且点P 在直线()100,0mx ny m n +-=>>上，则14m n+的最小值是（ ） A.12 B.13 C.24 D.255、已知为正实数，且，则的最小值为__ _．实战演练10、 已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋C11、某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：（1）仓库面积S 的取值范围是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？1、【优质试题·四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）A ．16B ．18C ．25D ．8122、【优质试题·福建，13】要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是直击高考每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）。

专题2.2 基本不等式（同步培优）知识储备1．基本不等式：2ba ab +≤(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)baa b +≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤2)2(b a +(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥2)2(b a + (a ，b ∈R )．【注意】每个不等式成立的条件不一样。

【探究】函数y ＝x ＋x1的最小值是2吗？ 提示 不是．因为函数y ＝x ＋x1的定义域是{x |x ≠0}， 当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋x1无最小值． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为2ba +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值42p .(简记：和定积最大)能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．1BC ．2D ．12【答案】D【解析】因为222x y xy +≥，所以222=1y x x y +≤，得12xy ≤. 故选：D.2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数,a b 满足22a b +=，则93a b +的最小值是（ ）A ．18B ．9C ．6D ．【答案】C【解析】因为90,30a b>>，22a b +=，所以936a b +≥===，当且仅当233a b =，即1,12a b ==时取等号， 所以93a b +的最小值为6， 故选：C3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-D ．a b +≤【答案】B【解析】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B.2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B4．（2020·全国高一）当1x >时，函数241x x y x -+=-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】依题意241x x y x -+=-4111x x =-++-，由于1,10x x >->，所以411151x x -++≥=-，当且仅当41,31x x x -==-时，等号成立.故选B.5．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】C【解析】()11a ax yx y a x y y x ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立；③当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立.所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C.6．（2020·浙江鄞州宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2+a b 的最小值是（ ）A．B．C ．3D ．2【答案】B【解析】∵0a >，0b >，11111a b +=++ ∴112(1)12(1)2(1)3[(1)2(1)]()3[12]31111b a a b a b a b a b a b +++=+++-=+++⋅+-=+++-++++≥2(1)111b a a b ++=++，即a =b =.故选B 7．（多选）小王从甲地到乙地往返的速度分別为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则（ ）A．a v <<B．v =C2a bv +<<D ．2abv a b=+ 【答案】AD【解析】设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s s a b+，22s abv s s a b a b∴==++. 0b a >>2a b+<，2ab v a b ∴=<=+ 另一方面22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭=<=++，22220ab ab a a a v a a a b a b a b---=-=>=+++， v a ∴>，则a v <<故选：AD.8．（多选）（2020·福建省泰宁第一中学）下列各不等式，其中不正确的是（ ）A ．212()a a a R +>∈；B ．12(,0)x x R x x+≥∈≠； C 2(0)ab≥≠； D ．2211()1x x R x +>∈+. 【答案】ACD【解析】对A 项，当1a =时，212a a +=，则A 错误；对B 项，当0x >时，112x x x x +=+≥=，当且仅当1x =时，等号成立当0x <时，112x x x x +=-+≥=-，当且仅当1x =-时，等号成立，则B 正确； 对C 项，当0,0a b <<0<，则C 错误； 对D 项，当0x =时，22111x x +=+，则D 错误； 故选：ACD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020·黑龙江工农，鹤岗一中高一期末（理））若110a b<<，则不等式（1）a b ab +<；（2）a b >；（3）a b <；（4）2b aa b+>中，正确的不等式有__________个． 【答案】2【解析】110a b<<，则0a <，0b <，0ab ∴>. 0a b ab +<<，（1）中的不等式正确；110ab ab a b⋅<⋅<，则0b a <<，（3）中的不等式错误； a a b b =-<-=，（2）中的不等式错误；0b a ->->，则1b b a a -=>-，由基本不等式可得2b a a b +>=，（4）中的不等式正确. 故答案为：2.10．（2020·江苏滨湖，辅仁高中高二期中）已知正实数,x y 满足39x y +=是______.【答案】【解析】正实数,x y ，则39x y +=≥92≤， 2318x y =++≤当93,22x y ==时等号成立.故答案为： 11．（2020·黑龙江建华齐齐哈尔市实验中学高一期中）设a b c >>且11ma b b c a c+≥---恒成立，则m 的取值范围是__________． 【答案】(],4-∞【解析】因为a ＞b ＞c ，所以a-b ＞0，b-c ＞0，a-c ＞0.又()()()111124b c a b a c a b b c a b b c a b b c a b b c --⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+=-+-+=++≥⎪ ⎪⎣⎦------⎝⎭⎝⎭, 当且仅当b c a ba b b c--=--，即2b=a+c 时等号成立.所以m≤4. 12．（2018·浙江高三月考）已知,a b ∈R ，222a b ab +-=，则+a b 的最大值为________，ab 的取值范围是________．【答案】 2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为,a b ∈R ，222a b ab +-=，所以222()3()4a b a b +=+-．因为22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，所以223()4()2a b a b ++≥+，解得a b -≤+≤，当且仅当a b ==222a b =+2()3ab a b ab -=+-，所以223()0ab a b =+≥+，2)823(ab a b =+≤+，解得223ab -≤≤，所以ab 的取值范围是2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（2017·甘肃省会宁县第二中学高二期中）（1）已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； （2）已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x＋2y 的最小值. 【解析】（1）因为()()2125255255y x xx x x x =-=-=⨯⨯- 已知205x <≤，所以250x ->， 所以()252552512x x x x ⎛⎫+-⨯-≤= ⎪⎝⎭所以15y ≤，当且仅当525x x =-，即15x = 取等号，所以y ＝2x －5x 2的最大值为：15（2）因为8x ＋2y ()⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭8282101018y x x y x y x y ，当且仅当 x ＋y ＝1，82y x x y =，即21,33x y ==时，取等号， 所以8x＋2y 的最小值.为18.14．（2017·福建高三（理））已知a ，b 为正实数，且11a b+=. （1）求a 2＋b 2的最小值；（2）若23()4()a b ab -≥，求ab 的值．【解析】(1)因为a ，b 为正实数，且11a b+=，所以11a b +=≥ab ≥12(当且仅当a ＝b =)．因为2212212a b ab +≥≥⨯=(当且仅当a ＝b 2=时等号成立)， 所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为11a b+=，所以a b +=，因为23()4()a b ab -≥，所以23()44()a b ab ab +-≥，即23)44()ab ab -≥，所以(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0， 因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.15．（2020·上海高三专题练习）已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z=1，求证：（1x-1）（1y -1）（1z-1）＞8． 【解析】∵x +y +z ＝1，x 、y 、z 是互不相等的正实数，∴（1x -1）（1y -1）（1z -1）y z x z x y x y z y ⎛⎫⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞8． ∴（1x-1）（1y -1）（1z -1）＞816．（2020·江西南康中学高一月考）南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用()04x x ≤≤万元满足131m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？ 【解析】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8162mm+⨯， ()816116281681681635611m y m m x m x x x m x x +⎛⎫∴=⋅⨯-++=+-=+--=-- ⎪++⎝⎭[]()0,4x ∈；（2）由()161656571574911y x x x x ⎡⎤=--=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号. 答：该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.。

基本不等式培优专练参考答案培优点一 常规配凑法1.答案：0 提示：242a b +=≥20a b ⇒+≤;2.答案：94 提示：2229121682y x ++=≥=3.答案：B 提示：柯西不等式知：211()()(194x my m xy ++≥≥⇒≥4.答案：1 提示：1111111a b b a a a ++-≥++-≥++ 5.答案：6223a b =+≥62≥⇒ab 6.答案：9 提示：241()(2)(21)92a b b a b b+-+≥+=-7.答案：B 提示：2112[+12(1)]()3(1311a b a b a b +=+++-≥-=++培优点二 “1”的代换8.答案：3，21 提示：311≥++=+b a a b b a b ，当且仅当21==b a 时取等号 9.答案：D 提示：9)12()2)(12(22=+≥++=+b ab a b a10.答案：49 提示：49)12(41)134)(3(411342=+≥-++-++=-++y x y x y x y x y x y x 11.答案：C 提示：（1）当2≥≥b a 时，由2431≤≤+b b a 知，231,,max ≥=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+a b a b a（2）当b a ≥≥2时，231,,max ≥=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+a b a b a （3）当b a ≥≥2时，23131,,max ≥+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+ba b a b a 故⎭⎬⎫⎩⎨⎧+b a b a 31,,max 的最小值为2 12. 答案：322 提示：111221)11(2212222-++=-+-+++=-+++b a b b a a b b a a32213)12(1)112)(13111122=-+≥-++++=-++b a b a b a （Θ 13. 答案：3222-提示：ba ab a b b b a a a a b b b a ab ab +++=+++=+++=2221222))2(2)2(1(令abt =，则252112521621222112221222++-+=++++=+++=+++=t t t t t t t t t t tt ab 再令1-=t m ,3222926119921199212-=++≤+++=+++=mm m m m ab （补充题）答案：3 提示：109)3(810248296224224332222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=+++x y y x yxy x y y x x xy y x y x xy y x xy )323(3338848484)3()3822≥+==≤+=+=+++=x y y x t t t t t x y y x xyy x （ 培优点三 换元法14.答案：C 提示：令25221,1=+⇒=+=+n m n y m x ， 则n m y x 1121111+=+++5223)211(52)11)(252112+=+≥++=+n m n m n m （ 15.答案：9 提示：由已知可知：2)1)(2≥--b a （，9545)1()2(22=+≥+-+-=+b a b a 16.答案：B 提示：令52,522,2m n y m n x n y x m y x -=+=⇒=+=-，)3(51n m y x +=+5324)31(51)11)3(512+=+≥++=+n m n m y x （17.答案：32 提示：)1111)(11(312)1111(211++++++-=+++-=+++b a b a b a b b a a32342=-≤（当且仅当21==b a 时取等号） 18.答案：54提示：54)2(51)2214)(32(51221422222=+≥+++++=+++y x x y y x y x x y y x19.答案：B 提示：1)1)(1(111=--⇒=+b a b a，61911≥-+-b a （当且仅当4,34==b a 取等号） 20.答案：C 提示：由y x xy +=-3得13-+=x x y ，则251313611)8)(3()8(≥+-+-=-++=+x x x x x x y （当且仅当35,7==y x 时取等号）21.答案：25 提示：1)1)(1(111=--⇒=+y x y x ，251914131914≥-+-+=-+-y x y y x x （当且仅当25,35==y x 时取等号）22.答案：]13,2( 提示：θθsin 3,cos 2194==∴=+yx y x Θ（20πθ<<）)32tan )(sin(13sin 3cos 23211=+=+=+++ϕϕθθθ其中y x)2,(ϕπϕϕθ+∈+Θ1)sin(≤+∴ϕθ，最小值为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+)2sin(,sin min ϕπϕ132133cos )2sin(133cos ,132sin >==+∴==ϕϕπϕϕΘ]1,132()(sin ∈+∴ϕθ，因此1132+++y x 的取值范围是]132，（ 23.答案：]4,2( 提示：2)12()12(224411=-+-∴+=+++y x y x yxΘ，令)43,4(,sin 212,cos 212ππθθθ-∈=-=-y x因此]4,2()4sin(2222∈++=+=πθyxS培优点四 和、积、平方和三量减元24.答案：4 提示：4)2(,42=+≤∴=+b a ab b a Θ（当且仅当2==b a 时取等号）1616)1(12)()(1)()1)(1(22222222≥+-=+-++=+++=++ab ab b a ab b a ab b a25. 答案：34、32 提示：342)(4≤⇒≥+=xy xy xy y x xy （当且仅当y x =时取等号）32)(333333332≥+-+++=+y x y x y x 分析：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+===+=+⇒+++=+33333333)(12)(2t n m y x t ny mx t n t m y x t ny mx y x 26.答案：C 提示：1)(2)(22)(1)(211112222222222++-++-+=+++++=+++ab ab b a ab b a b a ab b a b a 4)1(262+--=ab ab0)1(1)2(12≤--=+-=-=a a a ab t 令4241111222+-=+++∴t tb a ，令22≥-=t m21248284242411112222+≤-+=+-=+-=+++∴mm m m m t t b a 27.答案：432- 提示：42642242122-≤⇒+≥+++=xy xy xy y x y x 432-≤xy 28.答案：C 提示：xy y x xy y x xyx y y x 21)2(14214222+=+⇒-=+⇒-=+ 121222)12)(12++=-+⇒=++-+y x y x xyxy y x y x （又 22)2(411)22(121y x y x xy ++=++≤+ 3322)2(411)222≤+⇒++≤+⇒y x y x y x （29.答案：4 16 提示：422222)2(161)2(44432y x y x y x xy y x +++≤+++=42≥+⇒y x 由已知可知：324)2(222=++y x y x ，因此2222]2)2(7[)17](4)2[(xy y x y x y x ++≥+++，即162)2(7≤++xy y x30.答案：]253,171(提示：20224≤<⇒+≥++=xy xy xy xy yx1161116)1(11721222+++=+++=+++xy xy xy xy xy y x xy ]253,171（∈ 31.答案：55 提示：210032424232<<⇒>+-=⇒=++x x xy y x xy 55148)1(3313168493452≥++++=+++=++x x x x x y x xy （当且仅当x=3时取等号）32.答案：61 提示：)12(6112)12)(12(6-+=++⇒-+++=b a b a ab b a b a ab 又22)22(3161)2(b a ab b a ++≤+=+22≤+⇒b a 61)12(6112≤-+=++∴b a b a ab培优点五 轮换对称与万能k 法33. 答案：5102 提示：方法1：222222)2(85)2(83)2(3)2(41y x y x y x xy y x y xy x +=+-+≤-+=++=51022≤+∴y x （当且仅当1010,510==y x 时取等号）方法2：51051)2(2≤⇒≥-=-xy xy y x ，5831)2(2≤+=+xy y x 51022≤+⇒∴y x（当且仅当1010,510==y x 时取等号）方法3：1415)2(22=++y y x ，222)2()531](415)2[(y x y y x +≥+++51022≤+⇒∴y x（当且仅当1010,510==y x 时取等号） 方法4：令y t x y x t 22-=⇒+=代入转化成关于y 的一元二次方程有解，判别式0≥∆可求；方法5：2222222)4()24()1()()2()2(y n xy mn x m ny mx y x y x ++-++=-++≤+512,53442412222==⇒+=-=+n m n mn m58)4()24()1()()2()2(2222222≤++-++=-++≤+y n xy mn x m ny mx y x y x34.答案：58提示：方法1：数形结合，可以理解为22=+y x 上的动点到原点的距离与到y 轴距离之和；)0,0(关于直线22=+y x 的对称点为)54,58(Q ，Q 到y 的距离为所求，即58方法2：令04)4(242222=-+-+⇒++=t x t x y x x t ， 580≥⇒≥∆t 35.答案：122 提示：令)2,0(,cos ,sin 3πθθθ∈==b a ，)cos (sin 3cos sin 3θθθθ+=+b a ab令2)4sin(2cos sin ≤+=+=πθθθt ，122)1(61)cos (sin 3cos sin 3≤-=+=+t t b a ab θθθθ 36.答案：36 提示：,1,222a c b a c b -=+-=+又222)2(2c b c b +≥+322≤⇒a 36≤⇒a37.答案：32 提示：33223)23(41161)23(22≤+⇒++≤+=+y x y x xy y x 因此3269≤+y x 参考33题 培优点六 消元法38.答案：51提示：414511145351≥+=-⇒-=+⇒+=-y y x x y x y x y x x y xy 5101452≤⇒≤-+⇒x x x39.答案：3,3 提示：3)21)(2(3121≥++=+ba b a b a ；133232≤⇒≥++=ab ab b b a )(b a =3131112134222222≥≥++=+b a b b a b a (当且仅当1==b a 时取等号） 40.答案：C 提示：a b -=1，3321331331122222+≤-+=+-=+-+=+++tt t t t a a a b a b b a a （令11>+=a t ）41.答案：B 提示：5141413433322≥++-=++-≥+-=++=aa a a ab a a b a b a μ（当且仅当2=a ）42.答案:494、 提示：由已知可知9423≥⇒≥+=ab ab b a ab （当且仅当32==b a 时取等号）又4112114≤+⇒+≥++=ab b ab b b b a （当且仅当1,21==b a 时取等号） 培优点七 不等式算两次 43.答案：C 提示：44)(1222≥+≥-+aa b a b a （当且仅当22,2==b a 时取等号）44.答案：12 提示：12)(36)()2(9)(222≥-+-≥-+-b a b a b a b b a （当且仅当3,9==b a 时取等号） 45.答案：4 提示：41414142244≥+≥+≥++abab ab b a ab b a （当且仅当42,2222==b a 取等号） 46.答案：4 提示：方法1. 4)22(21)2121(21)21()21(2222=+≥+++≥+++y y x x x y y x（当且仅当22==y x 时取等号） 方法2：4)11(2)411(2)21)(21(2)21()21(22=+≥++=++≥+++xyxy x y y x x y y x（当且仅当22==y x 时取等号） 方法3：42114141)21()21(222222=++≥+++++=+++yxx y y y x x x y y x（当且仅当22==y x 时取等号）47.答案：4 提示：)2(52)54()51(2222222bc ac c b c a c b a +≥+++=++ 即22222)2(54)(bc ac c b a +≥++425)2(5425)2(5425)(22222≥+++=+++≥++++acbc ac bc ac bc ac bc ac bc c b a分析：bc n ac m nc b mc a c b a 22)()(2222222+≥+++=++54,511,2212==⇒=+=n m n m n m 48.答案：2232+ 提示：22322)(3)(232+≥-+-++++=-+++∴ba b a b a b a b a b a a49.答案：B 提示：41题50.答案：510+ 提示：25452)(21222221122222≥+=-++=-+=-+ab b a ab ab b a a ab ab a ab b a2525252-+≥-+-+c c c c ab c b ac 510525)2(25+≥+-+-=c c 培优点八 齐次化51.答案：422- 提示：))1,0((112121)(22222∈=--=--=--≤xyt t t t t x y x y x c422411)1(21122-≥--+-=--tt t t （当且仅当221-=t 时取等号）52.答案：B 提示：12212)2(3322222+≥++=++=+∴=+xyy x xy y x y x xy y x y x Θ 53.答案：]30,350[3、 提示：4)3()3(8109)3(829624224332222+++=+++=+++ab b a a bb a a b a b ab b a a b ab a b ab令323≥+=a b b a t 3324328484)3()3(829622222≤+≤+=+++=+++t t a b b a a b b a a b ab a b ab 方法1.令223y x t +=，θθsin ,cos 3t y t x ==代入已知条件可得]30,350[)2sin(626725∈--=ϕθt 方法2.由已知可得：25415)2(22=+-x x y ，令θθcos 3152,sin 52==-x x y θθcos 315sin 5+=y]30350[)2sin(320370322∈-+=+ϕθy x 54.答案：224- 提示：可以用三角换元，参考53题也可以使用判别式；222222222)2(22)1()(22y n xy mn x m ny mx y x y x -+--=+-+≥+)12(2,122212222-=-=⇒-==-n m n mn m2)22()2(22)1(2222222⨯-=-+--≥+y n xy mn x m y x培优点九 待定与技巧性强的凑配55.答案：37提示：6543=++z y x Θ 36212421-+++=++++∴z x z y z x z y z y 316)232(61)3318242)(3324616212=+≥++++++=+++z x z y z x z y z x z y （37331636212421=-≥-+++=++++∴z x z y z x z y z y56.答案：36- 提示：由已知可知xy y x =+，36)6(12)(102222--=-+=+-xy xy y x y xy x57.答案：222- 提示：1321222111211111122++++=+++=+++≥∴≤y y y y y y y y yM xy Θ2222231131********-=+-=++-=++-=yy y y y（当且仅当22=y 时取等号） 58.答案：C 提示：)22(4121214141411222bc ac ab bc ac ab c b a ++=++≥++=Θ 422≤++∴bc ac ab又2220211)2121(2-≥++∴≥+++=++bc ac ab bc ac ab c b a Θ 59.答案：210 提示：yz m xy m z y m my x z y x -+≥+-++=++=122)1(1222222210111232=⇒-=m m m 即)3102122yz xy yz m xy m +=-+（2103≤+yz xy 60.答案：212+ 提示：)()1()1()(12222222222w nz z n y m my x w z y x ++-+-++=+++=zw n yz n m xy m 2)1)(1(22+--+≥2)12(223122)1)(1(212-=-==⇒=--=m n nn m m )2)(1222)1)(1(221zw yz xy zw n yz n m xy m +-=+--+≥（212)12(212+=-≤++∴zw yz xy 61.答案：A 提示：依题意T y x ≥+2)(，T y z ≥+2)(，T z x ≥+2)(≤T 3++2)(y x ++2)(y z zx yz xy xz yz xy z x 222222)(2+++++=+8)4=++≤xz yz xy （，38≤T62.答案：25提示：参考47题 63.答案：72 提示：bc m ab m c b m mb a c b a -+≥+-++=++=122)1(422222227521252=⇒-=m m m)25721224222bc ab bc m ab m c b a +=-+≥++=（7225≤+∴bc ab64.答案：36222、提示：)(2212142222222bc ab c b b a c b a +≥+++=++=22≤+∴bc ab,,222c b a c b a -=+-=+由36238)2(22222≤⇒≤⇒+≥+c c b a b a 培优点十 多元变量的不等式最值问题 65.答案：B 提示：414121≥⇒≤⇒≥+=abab ab b a Θ 9)12()14)((14112=+≥++=+≥+∴dc d c d c d abc66.答案：21132119-=-z 、 提示：81)21(21212+--=-=xy xy xyxyz ，又2222)1(412)1(415xy xy xy y x -+≥-++=37200196)(,02-≤≤⇒≤-+≥xy xy xy xy ，,0<xy 0112501910)(2<≤-⇒≤--xy xy xy3211981)21(212-≥+--=xy xyz ，此时211-=z67.答案：212- 提示：21241)()(41)(222-≤+⇒≤+++⇒+≤=++c b a c b a c b a c b bc c b a a68.答案：A提示：21211-<<-⇒>-->⇒>-->a c a c a c c c a a 222222222)(12121)(a c a c c a ac c a c a c a b ++=++=++=+Θ 令a c t = )51,0[121)(12121)(222222222∈++=++=++=++=+∴tt a c a c c a ac c a c a c a b 69.答案：C 提示：ab ab b a c 221222-=≥+=-（当0,0<<c ab 时最小）11)1(212122-≥-+=+-≥+∴c c c c ab 70.答案：A 提示：132222=++c b a Θ，12022≤+≤∴b a ，令θθsin 22,cos t b t a ==33)sin(3sin 2cos 2≤≤+=+=+t t t t b a ϕθθθ71.答案：78提示：8222≥⇒≥+=ab ab b a ab 7811112≤-=-=⇒+=++=abab ab c c ab c b a abc72.答案：212- 提示：)()21(211212a bt t t t t b a a a b c b a a b =++=++=++≥++21221)21(2121)21(21-≥-+++=++≥++t t t t c b a a b（当且仅当212-==a b t 时取等号） 73.答案：]34,1( 提示：42111≥⇒≥+=∴=+ab ab b a ab b a Θ，411≤ab34111,4311111≤<∴<≥-=+-=c c ab b a c 又 74.答案：26 提示：依题意01222=--++-bc c b ab a 有解，04443022≤-+-⇒≥∆c bc b有解，则262302≤⇒≤⇒≥∆c c75.答案：]1,81[- 提示：1)31(49)21()1()())((2222≤-=-+--≤++-=--c c c c c ab c b a c b c a c 8181)41(2)1()())((222-≥--=--≥++-=--c c c c ab c b a c b c a c76.答案：91-提示：222914,312z y x z y x -=+-=+Θ，319101627)231(291222≤≤-⇒≤--⇒-≥-∴z z z z z 91min -=∴z培优点十一 不等式综合应用 77.答案：C 提示：)14(6)14)(4()14(14642yx y x y x y x y x y x ++++=+∴+=++Θ2)14(y x +∴)146222y x +++≥（）（814≥+⇒yx78.答案：B 提示：9)(8)41)(()(8)(2++≥++++=+y x yx y x y x y x （当且仅当y=2x 取等号）9≥+∴y x79.答案：41-提示：在已知等式两边加y x 1673-可2921416141613419=+≥+++=-+y y x x y x （当且仅当41,2==y x 时取等号）411673-≥-∴y x 80.答案：B 提示：依题意可知：b a M -+≥112，c b M -+≥112，ac M -+≥112 a a M -+≥∴1123b b -++112cc -++112 Θ223)12()112)(1(1122+=+≥-+-+=-+aa a a a a223+≥∴M81.答案：9 提示：101114)1(111114=+-++-∴=+-++y x y x y x y x Θ，两边同承yx 111+-)111](4)1[()111()111102y x y x y x y x +-+-++-=+-（9)111(2++-≥yx91111≤+-≤⇒yx 82.答案：122- 提示：2222)2(4443)2)(23)1(+-=--=-+=-y y y y y y xy （Θ 4)21()1(22=++-∴y y x 1221)11(21)2112122-≤+⇒++=++-≥yx y x y y x （83.答案6 提示：6838)18(118322=≥++=++=+∴=+y yx x y y x x y x y x Θ。

基本不等式专题训练一、选择题1.已知a,b∈R，且a+b=1，则ab的最大值为（）A. 41B. −41C. 1D. 不存在2.对于任意正实数x,y，下列不等式恒成立的是（）A. x2+y2≥2xyB. x2+y2≤2xyC. x+y≥2xyD. x+y≤2xy3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，则a+b+c的最大值为（）A. 1B. 3C. 3D. 33二、填空题4.已知x>0，则函数y=4x+x1的最小值为____。

5.已知a,b>0，且a+b=5，则a1+b4的最小值为____。

三、解答题6.已知x,y∈R，且x+y=4，求3x+9y的最小值。

7.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，证明：a+b+c≤2。

8.已知x>0，y>0，且xy=4，求x+yx2+y2的最小值。

参考答案一、选择题1.A解析由a+b=1，根据基本不等式(a−b)2≥0，展开得a2−2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab。

又因为(a+b)2=a2+2ab+b2=1，所以2ab≤1−(a2+b2)+2ab=1，即ab≤41。

当且仅当a=b=21时，等号成立。

2.A解析对于任意正实数x,y，根据平方和公式，有x2+y2≥2xy（当且仅当x=y时取等号）。

而选项C和D分别对应的是算术平均数与几何平均数的关系，但仅当x,y均为正数时，算术平均数才大于等于几何平均数，且等号成立的条件是x=y。

选项B显然不成立。

3.B解析由柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）得(a+b+c)2≤(12+12+12)(a+b+c)=3，即a+b+c≤3。

当且仅当a=b=c=31时，等号成立。

二、填空题4.41解析由算术平均数与几何平均数的关系得y=4x+x1≥24x⋅x1=4（当且仅当4x=x1，即x=21时取等号）。

5.59解析由“乘1法”与基本不等式得a1+b4=51(a+b)(a1+b4)=51(5+ab+b4a )≥51(5+2ab⋅b4a)=59（当且仅当ab=b4a，即a=35,b=310时取等号）。

培优点2 基本不等式的综合问题【要点提炼】利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等”原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求．【典例】1 (1)已知x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是_________________________．(2)设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x ·1＋y 2的最大值为________． (3)已知x>0，y>0，1x ＋2y ＋1＝2，则2x ＋y 的最小值为________． 【答案】 (1)233 (2)324(3)3 【解析】 (1)由(x ＋y)2＝xy ＋1，得(x ＋y)2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1， 则x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取等号)， 故x ＋y 的最大值为233. (2)x ·1＋y 2＝2x ·1＋y 22≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122 ＝324⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝32，y ＝22时取等号，故x ·1＋y 2的最大值为324. (3)∵2x ＋(y ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋1[2x ＋(y ＋1)] ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y ＋1x ＋4x y ＋1＋2≥4， ∴2x ＋y ＝2x ＋(y ＋1)－1≥3(当且仅当x ＝1，y ＝1时取等号)，故2x ＋y 的最小值为3.【典例】2 记max{a ，b}为a ，b 两数的最大值，则当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为________． 【答案】 10【解析】 方法一 由题意知t ≥x 2，t ≥25y x －y， ∴2t ≥x 2＋25yx －y ， 又∵x 2＋25y x －y ≥x 2＋25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2＋100x 2 ≥20，∴2t ≥20，即t ≥10.∴当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 方法二 由题意知t ≥x 2>0，t ≥25yx －y >0， ∴t 2≥x 2·25y x －y ， 又∵x 2·25y x －y ≥x 2·25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2·100x 2 ＝100，∴t 2≥100，即t ≥10.∴当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 【方法总结】 (1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．(2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值．【拓展训练】1．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】 B【解析】 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴b ＝a a －1>0，解得a>1.同理可得b>1， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立， ∴所求最小值为6.2．(2020·厦门模拟)函数y ＝2x －1＋5－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<x<52 的最大值是________．【答案】 2 2 【解析】 y 2＝(2x －1＋5－2x)2＝4＋22x －15－2x ≤4＋(2x －1)＋(5－2x)＝8，又y>0，所以0<y ≤22，当且仅当2x －1＝5－2x ，即x ＝32时取等号．故函数的最大值是2 2. 3．(2020·天津)已知a>0，b>0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为________． 【答案】 4【解析】 因为a>0，b>0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b ＝4， 当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b， 即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 4．设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 【答案】 －2【解析】12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥－14＋2b 4|a|·|a|b ＝34，当且仅当b 4|a|＝|a|b 且a<0，即a ＝－2，b ＝4时取等号．故当a ＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值．。

高一数学培优基本不等式一、几个重要的均值不等式 ①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112+2a b +≤≤≤222b a +。

二、函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0) 三、用均值不等式求最值的常见类型与解题技巧类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。

例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。

例4、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值。

类型Ⅳ：条件最值问题。

例5、已知正数x 、y 满足811x y +=，求2x y +的最小值。

数学 基本不等式[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥22．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．165．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18D ．242．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．【参考答案】[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝32时取等号． 答案：986．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：307．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋81b ≥23a ·34b ＝23a ＋4b ≥232a ·4b＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的最小值为18.故选C.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.答案：62－84．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________． 解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：12。

新高一必修一《基本不等式，一元二次方程与不等式篇》一．选择题（共22小题）1．已知动点（a，b）的轨迹为直线l ：+＝1在第一象限内的部分，则a b的最大值为（）A．1B．2C．2D．42．已知m＞0，x y＞0，当x+y＝2时，不等式≥恒成立，则m的取值范围是（）A ．B．[1，+∞）C．（0，1]D ．3．设a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列选项错误的是（）A．a2+b2的最小值为B ．的取值范围是[9，+∞）C ．的最小值为D．若c＞1，则的最小值为34．若a≥0，b≥0，且a+b＝1，则的最小值为（）A ．B．1C ．D ．5．函数的最小值为（）A．2B ．C ．D ．6．已知正数m，n满足25m﹣1＝0.2n ，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．127．已知正数a，b满足a+b＝1，则取得最小值时的b值为（）A ．B ．C ．D ．8．已知m＞0，n＞0，则当取得最小值时，n的值为（）A ．B ．C ．D ．9．已知，则2x+y的最小值为（）A．8B．4C．10D．610．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（）A．B．C．D．11．若实数m，n＞0，满足2m+n＝1，以下选项中正确的有（）A．mn的最小值为B．的最小值为4C．的最小值为5D．4m2+n2的最小值为12．对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2a b+4b2﹣c＝0，且使|2a+b|最大时，的最小值为（）A．B．C．﹣2D．213．设正实数x，y满足，y＞2，不等式恒成立，则m的最大值为（）A．B．C．8D．1614．已知a＞0，b＞0且a≠b，A＝a+b，，，则A，B，C的大小关系是（）A．A＞B＞C B．C＞A＞B C．A＞C＞B D．C＞B＞A 15．若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，按由小到大的顺序排列为（）A．B．C．D．16．若2a+1＝3，2b＝，则以下结论正确的有（）①b﹣a＜1；②+＞2；③a b；④b2＞2a．A．1个B．2个C．3个D．4个17．已知关于x的一元二次不等式2a x2+4x+b≤0的解集为，且a＞b，则的最大值为（）A．1B．C．D．18．已知二次函数f（x）＝x2+a x+b的图象经过四点：（x1，0），（x2，0），（1，p），（2，q），其中1＜x1≤x2＜2，则p q的最大值为（）A．2B．C．D．19．关于x的不等式（a x﹣1）2＜x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（，]∪（，]B．（，]∪[，）C．[，）∪（，]D．[，）∪[，）20．在R上定义运算a※b＝（a+1）b，若存在x∈[1，2]使不等式（m﹣x）※（m+x）＜4，成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣3，2）B．（﹣1，2）C．（﹣2，2）D．（1，2）21．不等式x2+a x+b≤0（a，b∈R）的解集为{x|x1≤x≤x2}，若|x1|+|x2|≤2，则（）A．|a+2b|≥2B．|a+2b|≤2C．|a|≥1D．|b|≤122．设f（x）＝a x2+b x+c（a≠0），若f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，则的值不可能为（）A．B．C．D．二．解答题（共5小题）23．已知函数y＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若不等式y＜0的解集为∅，求m的取值范围；（2）当m＞﹣2时，解不等式y≥m．24．已知函数f（x）＝x2﹣a x+1．（1）求f（x）在[0，1]上的最大值；（2）当a＝1时，求f（x）在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值．25．已知函数f（x）＝4x2﹣4mx+m+2的图象与x轴的两个不同交点的横坐标分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）求x12+x22的取值范围；（3）若函数f（x）＝4x2﹣4mx+m+2在（﹣∞，1]上是减函数、且对任意的x1，x2∈[﹣2，m+1]．总有|f（x1）﹣f（x2）|≤64成立，求实数m的范围．26．二次函数f（x）＝a x2+b x+1（a＞0），设f（x）＝x的两个实根为x1，x2．（1）如果b＝2，且x12+x22＝2﹣x1x1，求a的值；（2）如果x1＜2＜x2＜4，求证：f（x）在区间（﹣∞，﹣1）是减函数．27．已知二次函数f（x）＝a x2+b x满足f（2）＝0，且方程f（x）＝x有两个相等实根．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域是[m，n]，值域是[3m，3n]．若存在，求m，n的值，若不存在，请说明理由．新高一必修一《基本不等式，一元二次方程与不等式篇》参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．已知动点（a，b）的轨迹为直线l ：+＝1在第一象限内的部分，则a b的最大值为（）A．1B．2C．2D．4【解答】解：动点（a，b）的轨迹为直线l ：+＝1在第一象限内的部分，所以，由基本不等式1＝，解得a b≤2，当且仅当时，等号成立，故a b的最大值为2．故选：B．2．已知m＞0，x y＞0，当x+y＝2时，不等式≥恒成立，则m的取值范围是（）A ．B．[1，+∞）C．（0，1]D ．【解答】解：∵x y＞0，且x+y＝2，∴x＞0，y＞0，∴＝（）（x+y）＝（4+m ++）≥（4+m+2）＝（4+m+2），当且仅当＝即x＝2y时，等号成立，∵不等式≥恒成立，∴（4+m+2）≥，化简得，m+4﹣5≥0，解得≥1，即m≥1，∴m的取值范围是[1，+∞）．故选：B．3．设a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列选项错误的是（）A．a2+b2的最小值为B ．的取值范围是[9，+∞）C．的最小值为D．若c＞1，则的最小值为3【解答】解：对于A选项：由，当且仅当时取等，知A 正确；对于B选项：，当且仅当时取得最小值9，知B正确；对于C选项：，又，所以，知C选项不正确．对于D选项：，当且仅当c＝2时取等，知选项D正确；故选：C．4．若a≥0，b≥0，且a+b＝1，则的最小值为（）A．B．1C．D．【解答】解：根据已知条件可得＝，当且仅当，即a＝1，b＝0时取“＝”，故的最小值为1．故选：B．5．函数的最小值为（）A．2B．C．D．【解答】解：令，因为x＞0，所以，又在t≥4时单调递增，所以t＝4时，取得最小值，故f（x）的最小值为．故选：C．6．已知正数m，n满足25m﹣1＝0.2n，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．12【解答】解：因为正数m，n满足25m﹣1＝0.2n，所以52m﹣2＝5﹣n，即2m﹣2＝﹣n，所以2m+n＝2，m＞0，n＞0，则＝（）（2m+n）＝＝4，当且仅当且2m+n＝2即m＝，n＝1时取等号．故选：B．7．已知正数a，b满足a+b＝1，则取得最小值时的b值为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意得，，由a+b＝1，得3a+1+3b+6＝10．因此＝，当且仅当，即3b+6＝2（3a+1）时取等号，结合a+b＝1，得，．故选：B．8．已知m＞0，n＞0，则当取得最小值时，n的值为（）A．B．C．D．【解答】解：已知m＞0，n＞0，则当＝，当且仅当，即m＝，n＝等号成立，故选：D．9．已知，则2x+y的最小值为（）A．8B．4C．10D．6【解答】解：，则2x+y＝＝＝4，当且仅当且＝2即x＝1，y＝2时取等号，故选：B．10．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵m+n＝2，m＞0，n＞0，∴（m+1）+（n+2）＝5，即，∴＝＝＝，当且仅当，即时等号成立，∴当时，取得最小值．故选：B．11．若实数m，n＞0，满足2m+n＝1，以下选项中正确的有（）A．mn的最小值为B．的最小值为4C．的最小值为5D．4m2+n2的最小值为【解答】解：∵实数m，n＞0，∴2m+n＝1≥2，整理得：mn≤，当且仅当时取“＝“，故选项A错误；∵+＝（2m+n）（+）＝3++≥3+2，当且仅当时取“＝“，故选项B错误；∵2m+n＝1，∴2（m+1）+（n+2）＝5，∴+＝[2（m+1）+（n+2）]（+）＝[13++]≥（13+2）＝5，当且仅当时取“＝“，∴+＞5，故选项C错误；∵2m+n＝1，∴1＝（2m+n）2＝4m2+n2+4mn＝4m2+n2+2•≤2（4m2+n2），∴4m2+n2≥，当且仅当时取“＝“，故选项D正确，故选：D．12．对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2a b+4b2﹣c＝0，且使|2a+b|最大时，的最小值为（）A．B．C．﹣2D．2【解答】解：∵4a2﹣2a b+4b2﹣c＝0，∴＝（a﹣）2+，由柯西不等式得，[（a﹣）2+][22+（）2]≥[2（a﹣）+b•]2＝|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有＝，∴a＝b，c＝10b2，∴＝﹣+＝（）2﹣＝（）2﹣2，b＝时，取得最小值为﹣2．故选：C．13．设正实数x，y满足，y＞2，不等式恒成立，则m的最大值为（）A．B．C．8D．16【解答】解：设y﹣2＝a，3x﹣2＝b，（a＞0，b＞0），，当且仅当a＝b＝2，即，y＝4时取等号故选：D．14．已知a＞0，b＞0且a≠b，A＝a+b，，，则A，B，C的大小关系是（）A．A＞B＞C B．C＞A＞B C．A＞C＞B D．C＞B＞A【解答】解：，＝，故C＞A＞B．故选：B．15．若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，按由小到大的顺序排列为（）A．B．C．D．【解答】解：﹣＝＝，∵a＞b＞0，m＞0，n＞0，∴＜0，∴＜，∵﹣＝，∵a＞b＞0，m＞0，n＞0，∴＜0，∴﹣＜0，∴＜，﹣＝＝，∵a＞b＞0，n＞0，∴﹣＜0，∴＜，综上可知，＜＜，故选：A．16．若2a+1＝3，2b＝，则以下结论正确的有（）①b﹣a＜1；②+＞2；③a b；④b2＞2a．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：2a+1＝3，2b＝，则a＝l o g23﹣1＝l o g2，b＝l o g2＝3﹣l o g23∴b﹣a＝l o g2﹣l o g2＝l o g2（×）＝l o g2＜l o g22＝1，故①正确；∵a+b＝l o g2+l o g2＝l o g24＝2，a b＝（l o g23﹣1）（3﹣l o g23）＝﹣（l o g23）2+4l o g23﹣3＝﹣（l o g23﹣2）2+1＜1，∵2﹣l o g23＜2﹣l o g2＝2﹣＝，∴a b＝﹣（l o g23﹣2）2+1＞﹣+1＝，故③正确；∴+＝＞2，故②正确；b2﹣2a＝（3﹣l o g23）2﹣2（l o g23﹣1）＝（l o g23）2﹣8l o g23+11＝（l o g23﹣4）2﹣5，∵1＜l o g23＜，∴﹣3＜l o g23＜﹣，∴＜（l o g23﹣4）2＜9，∴b2﹣2a＞0，故④正确；故选：D．17．已知关于x的一元二次不等式2a x2+4x+b≤0的解集为，且a＞b，则的最大值为（）A．1B ．C ．D ．【解答】解：由题设可得：，即，∴b a＝2＞0，又a＞b⇒a ＞，∴＝＝，又∵a﹣b＞0，∴＝＝（a﹣b）+≥2＝4，当且仅当时取“＝“，∴≤，当且仅当时取“＝“，故选：B．18．已知二次函数f（x）＝x2+a x+b的图象经过四点：（x1，0），（x2，0），（1，p），（2，q），其中1＜x1≤x2＜2，则p q的最大值为（）A．2B ．C ．D ．【解答】解：由于f（x）＝x2+a x+b＝（x﹣x1）（x﹣x2），则p＝f（1）＝（1﹣x1）（1﹣x2），q＝f（2）＝（2﹣x1）（2﹣x2），因此，当且仅当取等号，故选：D．19．关于x的不等式（a x﹣1）2＜x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（，]∪（，]B．（，]∪[，）C．[，）∪（，]D．[，）∪[，）【解答】解：由题（a x﹣1）2＜x2恰有2个整数解，即（a x﹣1）2﹣x2＜0⇔（（a+1）x ﹣1）（（a﹣1）x﹣1）＜0恰有两个解，∴（a+1）（a﹣1）＞0，即a＞1，或a＜﹣1．当a＞1时，不等式解为＜x＜，∵∈（0，），恰有两个整数解即：1，2，∴2＜≤3，2a﹣2＜1≤3a﹣3，解得：≤a＜；当a＜﹣1时，不等式解为＜x＜，∵∈（﹣，0），恰有两个整数解即：﹣1，﹣2，∴﹣3≤＜﹣2，﹣2（a+1）＜1≤﹣3（a+1），解得：﹣＜a≤﹣，综上所述：≤a＜，或﹣＜a≤﹣．故选：B．20．在R上定义运算a※b＝（a+1）b，若存在x∈[1，2]使不等式（m﹣x）※（m+x）＜4，成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣3，2）B．（﹣1，2）C．（﹣2，2）D．（1，2）【解答】解：由题意知，不等式（m﹣x）※（m+x）＜4化为（m﹣x+1）（m+x）＜4，即m2+m﹣4＜x2﹣x；设f（x）＝x2﹣x，x∈[1，2]，则f（x）的最大值是f（2）＝4﹣2＝2；令m2+m﹣4＜2，即m2+m﹣6＜0，解得﹣3＜m＜2，∴实数m的取值范围是（﹣3，2）．故选：A．21．不等式x2+a x+b≤0（a，b∈R）的解集为{x|x1≤x≤x2}，若|x1|+|x2|≤2，则（）A．|a+2b|≥2B．|a+2b|≤2C．|a|≥1D．|b|≤1【解答】解：∵不等式x2+a x+b≤0（a，b∈R）的解集为{x|x1≤x≤x2}，则x1、x2是对应方程x2+a x+b＝0的两个实数根；，x1x2＝b，又|x1|+|x2|≤2，不妨令a＝﹣1，b＝0，则x1＝0，x2＝1，但|a+2b|＝1，∴A选项不成立；令a＝2，b＝1，则x1＝x2＝1，但|a+2b|＝4，B选项不成立；令a＝0，b＝﹣1，则x1＝﹣1，x2＝1，但|a|＝0，C选项不成立；b＝x1•x2≤≤＝1，D选项正确．故选：D．22．设f（x）＝a x2+b x+c（a≠0），若f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，则的值不可能为（）A．B．C．D．【解答】证明：∵f（0）＝c，f（1）＝a+b+c，f（﹣1）＝a﹣b+c∴a＝[f（1）+f（﹣1）]﹣f（0），b＝[f（1）﹣f（﹣1）]，c＝f（0）把它们代入到函数表达式里，再化简，得|f（x）|＝|[（x2+x）f（1）]+[（x2﹣x）f（﹣1）]+（1﹣x2）f（0）|≤|||f（1）|+|||f（﹣1）|+|1﹣x2||f（0）|≤||+||+|1﹣x2|＝||+||+1﹣x2，当x≤0时，||+||+1﹣x2＝﹣x2﹣x+1≤当x＞0时，||+||+1﹣x2＝﹣x2+x+1≤．综上所述，|f（x）|≤．故选：C．二．解答题（共5小题）23．已知函数y＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若不等式y＜0的解集为∅，求m的取值范围；（2）当m＞﹣2时，解不等式y≥m．【解答】解：（1）函数y＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1，当m+1＝0，即m＝﹣1时，不等式y＜0可化为x﹣2＜0，它的解集不是∅，不满足题意；当m+1≠0，即m≠﹣1时，应满足，即，解得；即m≥；综上知，m的取值范围是[，+∞）．（2）当m＞﹣2时，不等式y≥m化为[（m+1）x+1]（x﹣1）≥0；当m+1＝0时，即m＝﹣1时，不等式为x﹣1≥0，解得x≥1；当m+1＞0时，即m＞﹣1时，不等式化为（x+）（x﹣1）≥0，且＜0＜1，解不等式得x≤﹣或x≥1；当m+1＜0时，即﹣2＜m＜﹣1时，不等式化为（x+）（x﹣1）≤0，因为﹣2＜m＜﹣1，所以﹣1＜m+1＜0，所以﹣＞1，解不等式得1≤x≤﹣；综上知，m＝﹣1时，不等式的解集为[1，+∞）；m＞﹣1时，不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）；﹣2＜m＜﹣1时，不等式的解集为[1，﹣]．24．已知函数f（x）＝x2﹣a x+1．（1）求f（x）在[0，1]上的最大值；（2）当a＝1时，求f（x）在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值．【解答】解：（1）f（x）＝x2﹣a x+1的开口向上，对称轴x＝，所以在区间[0，1]的哪个端点离对称轴远，则在哪个端点处取得最大值，当即a≤1时，f（x）取得最大值f（1）＝2﹣a，当即a＞1时，f（x）的最大值f（0）＝1，（2）当a＝1时，f（x）＝x2﹣x+1的对称轴x＝，当t时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，所以f（x）mi n＝f（t）＝t2﹣t+1，当t+1即t时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，f（x）mi n＝f（t+1）＝t2+t+1，当t即﹣时，f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+1）上单调递增，故f（x）mi n＝f（）＝，令g（t）＝f（x）mi n，则g（t）＝．25．已知函数f（x）＝4x2﹣4mx+m+2的图象与x轴的两个不同交点的横坐标分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）求x12+x22的取值范围；（3）若函数f（x）＝4x2﹣4mx+m+2在（﹣∞，1]上是减函数、且对任意的x1，x2∈[﹣2，m+1]．总有|f（x1）﹣f（x2）|≤64成立，求实数m的范围．【解答】解：（1）根据题意，可得△＝16m2﹣16（m+2）＞0，解得：m＜﹣1或m＞2；（2）由题意，f（x）＝4x2﹣4mx+m+2＝0的两个根为x1，x2，∴x1+x2＝m，x1x2＝，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝m2﹣＝（m﹣）2﹣∵m＜﹣1或m＞2，令h（m）＝（m﹣）2﹣，故h（m）在（﹣∞，﹣1）递减，在（2，+∞）递增，故h（m）mi n＞mi n{h（﹣1）或h（2）}，由﹣（﹣1）＝＜2﹣＝，故h（m）mi n＝h（﹣1）＝；∴x12+x22＞；（3）若f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，则对称轴x＝≥1，故m≥2①，由m+1﹣＝+1＞0，故﹣2＜＜m+1，故f（x）在[﹣2，）递减，在（，m+1]递增，故f（x）mi n＝f（）＝﹣m2+m+2，而f（﹣2）＝9m+18，f（m+1）＝5m+6，故f（﹣2）＞f（m+1），故f（x）ma x＝f（﹣2）＝9m+18，若对任意的x1，x2∈[﹣2，m+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤64成立，故只需f（x）ma x﹣f（x）mi n≤64即可，即9m+18﹣（﹣m2+m+2）≤64，即m2+8m﹣48≤0，解得：﹣12≤m≤4②，由（1）f（x）＝0有2个根，m＞2③，综合①②③得：2＜m≤4．26．二次函数f（x）＝a x2+b x+1（a＞0），设f（x）＝x的两个实根为x1，x2．（1）如果b＝2，且x12+x22＝2﹣x1x1，求a的值；（2）如果x1＜2＜x2＜4，求证：f（x）在区间（﹣∞，﹣1）是减函数．【解答】（1）解：由f（x）＝a x2+b x+1＝x可得a x2+（b﹣1）x+1＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∵b＝2，且x12+x22＝2﹣x1x2，∴（x1+x2）2＝2+x1x2，∴＝2+，解得，a＝﹣1或a＝，因为a＞0，所以a的值为．（2）证明：设g（x）＝f（x）﹣x＝a x2+（b﹣1）x+1，∵a＞0，∴由条件x1＜2＜x2＜4，可得g（2）＜0，g（4）＞0，即，作出不等式组表示的可行域如图所示：由可行域可得＜2，∴函数f（x）的对称轴为x＝﹣＞﹣1，由a＞0，可得函数f（x）图象开口向上，∴f（x）在区间（﹣∞，﹣1）是减函数．27．已知二次函数f（x）＝a x2+b x满足f（2）＝0，且方程f（x）＝x有两个相等实根．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域是[m，n]，值域是[3m，3n]．若存在，求m，n的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由f（2）＝0得：4a+2b＝0①，由f（x）＝x有等根得：a x2+（b﹣1）x＝0有等根，∴△＝（b﹣1）2＝0，∴b＝1，将b＝1带入①得：，∴．（2），∴3n≤，即n≤，根据二次函数的性质，在区间[m，n]上单调递增，则必有，解得m＝﹣4，n＝0，故存在实数m＝﹣4，n＝0，使f（x）的定义域是[m，n]，值域是[3m，3n]．。

授课主题 第12讲---基本不等式授课类型T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 掌握基本不等式的证明及应用；② 会用基本不等式求函数的最大值或最小值； ③ 掌握基本不等式的实际应用。

授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂1、算术平均值与几何平均值（1） 算术平均值：对任意两个正实数,a b ，数2a b+ 叫做,a b 的算术平均值 （2） 几何平均值：对任意两个正实数,a b ，数ab 叫做,a b 的几何平均值 2、均值定理如果,a b R +∈，那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 3、均值不等式的常见变形（1）()2,a b ab a b R ++≥∈（2）()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭（3）2b aa b+≥（,a b 同号且不为0） （4）()2,11ab a b R a b+≤∈+4、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x=y 时，x ＋y 有最最小值是p 2。

(简记：积定和最小)知识梳理（2）如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x=y 时，xy 有最大值是42s 。

(简记：和定积最大)考点一： 基本不等式的理解例1、下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ．211()1x R x >∈+例2、已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥或2m -≤ B ．2m ≥或4m -≤ C ．24m -<< D ．42m -<<考点二：基本不等式与最值例1、已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30⋅=∠=︒AB AC BAC ，若,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y +的最小值为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9例2、设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值．例3、设b a 、为正实数，且2211=+ba . （1）求22b a +的最小值；（2）若32)(4)(ab b a ≥-，求ab 的值.典例分析考点四：基本不等式的实际问题例1、如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.（1）要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？（2）M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．4800m，深为3m．如果池底每平方米的造价为150例2、某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为3元，池底每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？例3、图画柱挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方a米处，而上边缘在b米处，问观察者站在离墙多远处才能使视角最大？P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．222、若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．23、若,0>>b a 则下列不等式成立的是（ ）A.ab b a b a >+>>2 B.b ab ba a >>+>2C.ab b b a a >>+>2 D.b b a ab a >+>>24、函数()()130,1x f x a a a -=+>≠且的图象过一个定点P ，且点P 在直线()100,0mx ny m n +-=>>上，则14m n+的最小值是（ ） A.12 B.13 C.24 D.255、已知为正实数，且，则的最小值为__ _．实战演练10、 已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋C11、某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：（1）仓库面积S 的取值范围是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？1、【优质试题·四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）A ．16B ．18C ．25D ．8122、【优质试题·福建，13】要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是直击高考每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）。

基本不等式求最值【题型1 直接法求最值】 (2)【题型2 配凑法求最值】 (3)【题型3 常数代换法求最值】 (3)【题型4 消元法求最值】 (4)【题型5 构造不等式法求最值】 (5)【题型6 多次使用基本不等式求最值】 (6)【题型7 实际应用中的最值问题】 (6)【题型8 与其他知识交汇的最值问题】 (9)基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.【知识点1 利用基本不等式求最值的方法】1．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2 基本不等式的实际应用】1．基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.【题型1 直接法求最值】【例1】（2023上·北京·高一校考阶段练习）已知a>0，则a+1+1的最小值为（）aA．2B．3C．4D．5【变式1-1】（2023·北京东城·统考一模）已知x>0，则x−4+4的最小值为（）xA．－2B．0C．1D．2√2【变式1-2】（2023上·山东·高一统考期中）函数y=x2−x+9（x>0）的最小值为（）xA．1B．3C．5D．9【变式1-3】（2023下·江西·高三校联考阶段练习）(3+1)(1+4x2)的最小值为（）x2A．9√3B．7+4√2C．8√3D．7+4√3【题型2 配凑法求最值】【例2】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知a>1，则a+16a−1的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【变式2-1】（2023上·吉林·高一校考阶段练习）已知x>3，则y=2x−3+2x的最小值是（）A．6B．8C．10D．12【变式2-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设x>2，则函数y=4x−1+4x−2，的最小值为（）A．7B．8C．14D．15【变式2-3】（2023上·辽宁·高一校联考期中）若x>0，y>0且满足x+y=xy，则2xx−1+4yy−1的最小值为（）A．6+2√6B．4+6√2C．2+4√6D．6+4√2【题型3 常数代换法求最值】【例3】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知a>0，b>0，若2a +3b=1，则2a+b3的最小值是（）A．8B．9C．10D．11【变式3-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，点M(1,4)在直线xa +yb=1上，则a+b的最小值为（）A．4B．6C．9D．12【变式3-2】（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足2x+8y−xy=0，则2x+y的最大值为（）A．25B．16C．37D．19【变式3-3】（2023·重庆·统考一模）已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则2a2a+1+b2+1b的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【题型4 消元法求最值】【例4】（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）已知正数x，y满足3x−4=9y，则x+8y的最小值为.【变式4-1】（2023上·安徽池州·高一统考期中）已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则x+2y的最小值为.【变式4-2】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小值为.【变式4-3】（2023·上海崇明·统考一模）已知正实数a, b, c, d满足a2 −ab+1=0，c2 +d2 =1，则当(a−c)2 +(b−d)2取得最小值时，ab=．【题型5 构造不等式法求最值】【例5】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是（）A．ab的最大值为8B．1a−1+2b−2的最小值为2C．a+b有最小值3+√2D．a2−2a+b2−4b有最大值4【变式5-1】（2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知x>0，y>0，且x+y+xy−3=0；则下列结论正确的是（）A．xy的最小值是1B．x+y的最小值是2C．x+4y的最小值是8D．x+2y的最大值是4√2−3【变式5-2】（2023上·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（）A．若x>2，则函数y=x+1x−1的最小值为3B．若x>0，y>0，3x +1y=5，则5x+4y的最小值为5C．若x>0，y>0，x+y+xy=3，则xy的最小值为1D．若x>1，y>0，x+y=2，则1x−1+2y的最小值为3+2√2【变式5-3】（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设正实数x,y满足x+2y=3，则下列说法错误的是（）A．yx +3y的最小值为4B．xy的最大值为98C．√x+√2y的最大值为2D．x2+4y2的最小值为92【题型6 多次使用基本不等式求最值】【例6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥92a +2b，则a+b的最小值为（）A．5B．52C．5√2D．5√22【变式6-1】（2023·山东菏泽·统考一模）设实数x,y满足x+y=1，y>0，x≠0，则1|x|+2|x|y的最小值为（）A．2√2−1B．2√2+1C．√2−1D．√2+1【变式6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数x,y,z>0，满足xy+zx =2，则当4y+1z取得最小值时，y+z的值为（）A．1B．32C．2D．52【变式6-3】（2023上·辽宁大连·高一期末）若a>0,b>0,a+b=1，则a2+3aba+2b +2b+1−1b的最大值为（）A．√2B．2−√2C．3−√2D．3−2√2【题型7 实际应用中的最值问题】【例7】（2023上·四川眉山·高一校联考期中）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）.(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.【变式7-1】（2023上·山东·高一校联考期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.(2≤x≤6)(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.元(a>0)（整体报价中含固定费用）.若无论(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900a(x+2)x宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.【变式7-2】（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的．因此室的后长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的13背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米(1≤x≤5)．(1)记y为甲工程队整体报价，求y关于x的关系式；元，问是否存在实数t，使得(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t(x+1)x无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由．【变式7-3】（2023上·重庆·高一校考阶段练习）为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=x cm．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（AD和CD分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．【题型8 与其他知识交汇的最值问题】【例8】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c+bcos2A= 2acosAcosB(A≤B).(1)求A；(2)若角A的平分线交BC于D点，且AD=1，求△ABC面积的最小值.【变式8-1】（2023上·安徽铜陵·高二校联考期中）已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π．(1)求圆C的方程；(2)若直线l，l′都经过点(0,2)，且l⊥l′，直线l交圆C于M，N两点，直线l′交圆C于P，Q两点，求四边形PMQN 面积的最大值．【变式8-2】（2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习）已知在定义域内单调的函数f(x)满足f(f(x)+1−2x+1恒成立．ln x)=23(1)设f(x)+1−ln x=k，求实数k的值；2x+1(2)解不等式f(7+2x)>−2x+ln(−ex)；2x+1(3)设g(x)=f(x)−ln x，若g(x)≥mg(2x)对于任意的x∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．【变式8-3】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是长方形A1B1C1D1内一点，∠APC是二面角A−PD1−C的平面角.(1)证明：点P在A1C1上；(2)若AB=BC，求直线PA与平面PCD所成角的正弦的最大值.1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足x2+y2−xy=1，则（）A．x+y≤1B．x+y≥−2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥12．（2020·山东·统考高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A．a2+b2≥12B．2a−b>12C．log2a+log2b≥−2D．√a+√b≤√23．（2020·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．324．（2021·天津·统考高考真题）若a>0,b>0，则1a +ab2+b的最小值为．5．（2020·天津·统考高考真题）已知a>0,b>0，且ab=1，则12a +12b+8a+b的最小值为．6．（2020·江苏·统考高考真题）已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是．7．（2019·天津·高考真题）设x>0,y>0,x+2y=5，则√xy的最小值为. 8．（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．基本不等式求最值【题型1 直接法求最值】 (2)【题型2 配凑法求最值】 (3)【题型3 常数代换法求最值】 (4)【题型4 消元法求最值】 (6)【题型5 构造不等式法求最值】 (8)【题型6 多次使用基本不等式求最值】 (11)【题型7 实际应用中的最值问题】 (13)【题型8 与其他知识交汇的最值问题】 (17)基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2 基本不等式的实际应用】1．基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.【题型1 直接法求最值】【例1】（2023上·北京·高一校考阶段练习）已知a>0，则a+1a+1的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】用基本不等式求解即可.【解答过程】因为a>0，所以a+1a +1≥2√a⋅1a+1=3，当且仅当a=1a即a=1时取等号；故选：B.【变式1-1】（2023·北京东城·统考一模）已知x>0，则x−4+4x的最小值为（）A．－2B．0C．1D．2√2【解题思路】由基本不等式求得最小值．【解答过程】∵x>0，∴x+4x −4≥2√x×4x−4=0，当且仅当x=4x即x=2时等号成立．故选：B．【变式1-2】（2023上·山东·高一统考期中）函数y=x2−x+9x（x>0）的最小值为（）A．1B．3C．5D．9【解题思路】利用均值不等式求最小值即可.【解答过程】y=x2−x+9x =x+9x−1≥2√x⋅9x−1=5，当且仅当x=9x，即x=3时等号成立，故选：C.【变式1-3】（2023下·江西·高三校联考阶段练习）(3+1x2)(1+4x2)的最小值为（）A．9√3B．7+4√2C．8√3D．7+4√3【解题思路】依题意可得(3+1x2)(1+4x2)=7+1x2+12x2，再利用基本不等式计算可得.【解答过程】(3+1x2)(1+4x2)=7+1x2+12x2≥7+2√1x2⋅12x2=7+4√3，当且仅当1x2=12x2，即x4=112时，等号成立，故(3+1x2)(1+4x2)的最小值为7+4√3.故选：D.【题型2 配凑法求最值】【例2】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知a>1，则a+16a−1的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【解题思路】运用基本不等式的性质进行求解即可.【解答过程】因为a>1，所以由a+16a−1=a−1+16a−1+1≥2√(a−1)⋅16a−1+1=9，当且仅当a−1=16a−1时取等号，即a=5时取等号，故选：B.【变式2-1】（2023上·吉林·高一校考阶段练习）已知x>3，则y=2x−3+2x的最小值是（）A．6B．8C．10D．12【解题思路】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.【解答过程】由x−3>0，则y=2x−3+2(x−3)+6≥2√2x−3⋅2(x−3)+6=10，当且仅当x=4时等号成立，故最小值为10.故选：C.【变式2-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设x>2，则函数y=4x−1+4x−2，的最小值为（）A．7B．8C．14D．15【解题思路】利用基本不等式求解.【解答过程】因为x>2，所以x−2>0，所以y=4x−1+4x−2=4(x−2)+4x−2+7≥2√4(x−2)⋅4x−2+7=15，当且仅当4(x−2)=4x−2，即x=3时等号成立，所以函数y=4x−1+4x−2的最小值为15，故选:D．【变式2-3】（2023上·辽宁·高一校联考期中）若x>0，y>0且满足x+y=xy，则2xx−1+4yy−1的最小值为（）A．6+2√6B．4+6√2C．2+4√6D．6+4√2【解题思路】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值.【解答过程】若x>0，y>0且满足x+y=xy，则有1x +1y=1，所以x>1，y>1，2x x−1+4yy−1=2(x−1)+2x−1+4(y−1)+4y−1=6+2x−1+4y−1≥6+2√2x−1⋅4y−1=6+2√8xy−(x+y)+1=6+4√2，当且仅当2x−1=4y−1，即x=1+√22,y=1+√2时等号成立.所以2xx−1+4yy−1的最小值为6+4√2.故选：D.【题型3 常数代换法求最值】【例3】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知a>0，b>0，若2a +3b=1，则2a+b3的最小值是（）A．8B．9C．10D．11【解题思路】利用基本不等式“1”的应用即可求解.【解答过程】由题意得a>0，b>0，2a +3b=1，所以2a+b3=(2a+b3)(2a+3b)=4+1+2b3a+6ab≥5+2√2b3a×6ab=9，当且仅当2b3a =6ab时，即a=3，b=9，取等号，故B项正确.故选：B.【变式3-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a ，b ，点M (1,4)在直线x a+yb=1上，则a +b 的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．12【解题思路】根据题意可得1a+4b=1，结合基本不等式运算求解. 【解答过程】由题意得1a +4b =1，且a >0,b >0， 故a +b =(a +b )⋅(1a +4b )=5+ba +4a b≥5+2√b a ×4a b=9，当且仅当ba =4a b，即a =3，b =6时，等号成立.故选：C.【变式3-2】（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x ，y 满足2x +8y −xy =0，则2x+y 的最大值为（ ）A ．25B ．16C ．37D ．19【解题思路】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值. 【解答过程】∵x >0,y >0,2x +8y −xy =0,∴2y +8x =1, x +y=(x +y )(2y +8x )=2x y+8+2+8y x≥2√2x y×8y x+10=18,∴2x+y ≤218=19. 故选:D.【变式3-3】（2023·重庆·统考一模）已知a ，b 为非负实数，且2a +b =1，则2a 2a+1+b 2+1b的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】首先根据题意求出0≤a <12，0<b ≤1，然后将原式变形得2a 2a+1+b 2+1b=2a+1+1b−1，最后利用1的妙用即可求出其最值.【解答过程】∵2a +b =1，且a ,b 为非负实数，b ≠0， 则a ≥0,b >0则b =1−2a >0，解得0≤a <12，2a =1−b ≥0，解得0<b ≤1，∴2a2a+1+b2+1b=2(a+1)2−4(a+1)+2a+1+b2+1b=2(a+1)−4+2a+1+b+1b=(2a+b−2)+2a+1+1b=2a+1+1b−12 a+1+1b=42a+2+1b=13[(2a+2)+b]⋅(42a+2+1b)=13(5+4b2a+2+2a+2b)≥13(5+2√4b2a+2⋅2a+2b)=3，当且仅当4b2a+2=2a+2b即2a+2=2b，2a+b=1时,即b=1,a=0时等号成立，故(2a+1+1b−1)min=2，故选：B.【题型4 消元法求最值】【例4】（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）已知正数x，y满足3x−4=9y，则x+8y的最小值为12 .【解题思路】根据指数方程，得出x,y的关系式，运用消元法将所求式化成关于y的关系式，再利用基本不等式求解.【解答过程】由3x−4=9y，可得x−4=2y，即x=2y+4，代入x+8y中，可得2y+4+8y =2y+8y+4≥2√2y⋅8y+4=12,当且仅当y=2,x=8所以x+8y的最小值为12.故答案为：12.【变式4-1】（2023上·安徽池州·高一统考期中）已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则x+2y的最小值为6√2−5.【解题思路】根据题意，化简得到x+2y=x2−3x+14x+1，设t=x+1，求得x2−3x+14x+1=t+18t−5，结合基本不等式，即可求解.【解答过程】由x,y∈R+，且2x+y+xy=7，可得y=7−2xx+1，则x+2y=x+2×7−2xx+1=x2−3x+14x+1，设t=x+1，可得x=t−1且t>1，可得x2−3x+14x+1=t2−5t+18t=t+18t−5≥2√t⋅18t−5=6√2−5，当且仅当t=18t时，即t=3√2时，等号成立，所以x+2y的最小值为6√2−5.故答案为：6√2−5.【变式4-2】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小值为13 .【解题思路】根据基本不等式即可求解.【解答过程】由2a+b+6=ab可得a=b+6b−2>0，由于b>0，所以b>2，故a+2b=b+6b−2+2b=8b−2+2(b−2)+5，由于b>2，所以8b−2+2(b−2)≥2√16=8，当且仅当b=4时等号成立，故a+2b=8b−2+2(b−2)+5≥13，故a+2b的最小值为13，故答案为：13.【变式4-3】（2023·上海崇明·统考一模）已知正实数a, b, c, d满足a2−ab+1=0，c2+d2=1，则当(a−c)2+(b−d)2取得最小值时，ab=√22+1．【解题思路】将(a−c)2+(b−d)2转化为(a,b)与(c,d)两点间距离的平方，进而转化为(a,b)与圆心(0,0)的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.【解答过程】可将(a−c)2+(b−d)2转化为(a,b)与(c,d)两点间距离的平方，由a2−ab+1=0，得b=a+1a，而c2+d2=1表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆，(c,d)为圆上一点，则(a,b)与圆心(0,0)的距离为：√a2+b2=√a2+(a+1a )2=√2a2+1a2+2≥√2√2a2⋅1a2+2=√2√2+2，当且仅当2a2=1a2，即a=±√124时等号成立，此时(a,b)与圆心(0,0)的距离最小，即(a,b)与(c,d)两点间距离的平方最小，即(a −c)2+(b −d)2取得最小值. 当a =√124时，ab =a 2+1=√22+1，故答案为：√22+1.【题型5 构造不等式法求最值】【例5】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知2a +b =ab(a >0,b >0)，下列说法正确的是（ ）A ．ab 的最大值为8B ．1a−1+2b−2的最小值为2 C ．a +b 有最小值3+√2 D ．a 2−2a +b 2−4b 有最大值4【解题思路】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知ab ≥8，所以A 错误；将原式化成(a −1)(b −2)=2，即可得1a−1+2b−2=1a−1+(a −1)≥2，即B 正确；不等式变形可得2b+1a=1，利用基本不等式中“1”的妙用可知a +b ≥3+2√2，C 错误；将式子配方可得a 2−2a +b 2−4b =(a −1)2+(b −2)2−5，再利用基本不等式可得其有最小值−1，无最大值，D 错误. 【解答过程】对于A 选项，ab =2a +b ≥2√2ab ，即√ab ≥2√2，故ab ≥8， 当且仅当a =2,b =4时等号成立，故ab 的最小值为8，A 错误； 对于B 选项，原式化为(a −1)(b −2)=2,b =2a a−1>0，故a −1>0；a =b b−2>0，故b −2>0；所以1a−1+2b−2=1a−1+(a −1)≥2，当且仅当a =2,b =4时等号成立，B 正确；对于C 选项，原式化为2b +1a =1，故a +b =(a +b )(2b +1a )=2a b+1+2+ba ≥3+2√2，当且仅当a =√2+1,b =2+√2时等号成立，C 错误；对于D 选项，a 2−2a +b 2−4b =(a −1)2+(b −2)2−5≥2(a −1)(b −2)−5=−1， 当且仅当a =1+√2,b =2+√2时等号成立，故有最小值−1，D 错误． 故选：B.【变式5-1】（2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知x>0，y>0，且x+y+xy−3=0；则下列结论正确的是（）A．xy的最小值是1B．x+y的最小值是2C．x+4y的最小值是8D．x+2y的最大值是4√2−3【解题思路】利用基本不等式得x+y+xy−3≥(√xy+3)(√xy−1)、x+y+xy−3≤(x+y)24+(x+y)−3分别求xy、x+y的最值，注意取等条件；由题设有x=3−yy+1且0<y<3代入x+4y、x+2y，结合基本不等式求最值，注意取等条件.【解答过程】由x+y+xy−3≥xy+2√xy−3=(√xy+3)(√xy−1)，当且仅当x=y=1时等号成立，即(√xy+3)(√xy−1)≤0，又x>0，y>0，故0<√xy≤1，仅当x=y=1时等号成立，所以0<xy≤1，故xy的最大值是1，A错误；由x+y+xy−3≤(x+y)24+(x+y)−3，当且仅当x=y=1时等号成立，所以(x+y)24+(x+y)−3≥0，即(x+y+6)(x+y−2)≥0，又x>0，y>0，则x+y≥2，仅当x=y=1时等号成立，故x+y的最小值是2，B正确；由x+y+xy−3=0，x>0，y>0，可得x=3−yy+1，且0<y<3，所以x+4y=3−yy+1+4y=4y2+3y+3y+1=4(y+1)2−5(y+1)+4y+1=4(y+1)+4y+1−5≥2√4(y+1)⋅4y+1−5=3，当且仅当y+1=1，即y=0、x时等号成立，故x+4y>3，C错误；同上，x+2y=3−yy+1+2y=2y2+y+3y+1=2(y+1)2−3(y+1)+4y+1=2(y+1)+4y+1−3≥2√2(y+1)⋅4y+1−3=4√2−3，当且仅当y+1=√2，即y=√2−1、x=2√2−1时等号成立，故x+2y≥4√2−3，D错误；故选：B.【变式5-2】（2023上·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（）A．若x>2，则函数y=x+1x−1的最小值为3B．若x>0，y>0，3x +1y=5，则5x+4y的最小值为5C．若x>0，y>0，x+y+xy=3，则xy的最小值为1D．若x>1，y>0，x+y=2，则1x−1+2y的最小值为3+2√2【解题思路】选项A：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，选项B：由基本不等式进行判断即可，选项C：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，选项D：对式子进行变形得到1+yx−1+2(x−1)y+2，再利用基本不等式进行判断即可．【解答过程】解：选项A：y=x+1x−1=x−1+1x−1+1⩾2√x−1·1x−1+1=3，当且仅当(x−1)2=1时可以取等号，但题设条件中x>2，故函数最小值取不到3，故A错误；选项B：若x>0，y>0，3x +1y=5，则5x+4y=15(3x+1y)(5x+4y)=15(19+5xy+12yx)⩾15(19+2√5xy·12yx)=19+4√155，当且仅当5xy=12yx时不等式可取等号，故B错误；选项C：3−xy=x+y⩾2√xy⇒xy+2√xy−3⩽0当且仅当x=y时取等号，令√xy=t(t⩾0)，t2+2t−3⩽0，解得−3⩽t⩽1，即0<√xy⩽1，故xy的最大值为1，故C错误；选项D：x+y=2，(x−1)+y=1，1 x−1+2y=(1x−1+2y)·[(x−1)+y]=1+yx−1+2(x−1)y+2⩾3+2√yx−1·2(x−1)y=3+2√2，当且仅当y=√2x−√2时取等号，又因为x+y=2，故{x=√2y=2−√2时等号成立，即1x−1+2y最小值可取到3+2√2，故D正确．故选：D．【变式5-3】（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设正实数x,y满足x+2y=3，则下列说法错误的是（）A．yx +3y的最小值为4B．xy的最大值为98C．√x+√2y的最大值为2D．x2+4y2的最小值为92【解题思路】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【解答过程】对于A，yx +3y=yx+x+2yy=yx+xy+2≥2√yxxy+2=4，当且仅当x=y=1时取等号，故A正确；对于B，xy=12⋅x⋅2y≤12×(x+2y2)2=12×94=98，当且仅当x=2y，即x=32,y=34时取等号，故B正确；对于C，(√x+√2y)2=x+2y+2√2xy≤3+2√2×98=3+3=6，则√x+√2y≤√6，当且仅当x=2y，即x=32,y=34时，故C错误；对于D，x2+4y2=(x+2y)2−4xy≥9−4×98=92，当且仅当x=32,y=34时取等号，故D正确.故选：C.【题型6 多次使用基本不等式求最值】【例6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥92a +2b，则a+b的最小值为（）A．5B．52C．5√2D．5√22【解题思路】先根据基本不等式求出(92a +2b)(a+b)≥252.然后即可根据不等式的性质得出(a+b)2≥(9 2a +2b)(a+b)≥252，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.【解答过程】由已知可得，a>0，b>0，a+b>0.因为(92a +2b)(a+b)=92+2+9b2a+2ab≥2√9b2a×2ab+132=6+132=252，当且仅当9b2a =2ab，即2a=3b时等号成立.所以，(a+b)2≥(92a +2b)(a+b)≥252，当且仅当{2a=3ba+b=92a+2b，即{a=3√22b=√2时，两个等号同时成立.所以，a+b≥3√22+√2=5√22.故选：D.【变式6-1】（2023·山东菏泽·统考一模）设实数x,y满足x+y=1，y>0，x≠0，则1|x|+2|x|y的最小值为（）A．2√2−1B．2√2+1C．√2−1D．√2+1【解题思路】分为x>0与x<0，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.【解答过程】当x>0时，1|x|+2|x|y=x+yx+2xy=yx+2xy+1≥2√yx⋅2xy+1=2√2+1，当且仅当yx =2xy，即x=√2−1，y=2−√2时等号成立，此时有最小值2√2+1；当x<0时，1|x|+2|x|y=x+y−x+−2xy=y−x+−2xy−1≥2√y−x⋅−2xy−1=2√2−1.当且仅当y−x =−2xy，即x=−1−√2，y=2+√2时等号成立，此时有最小值2√2−1.所以，1|x|+2|x|y的最小值为2√2−1.故选：A.【变式6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数x,y,z>0，满足xy+zx =2，则当4y+1z取得最小值时，y+z的值为（）A．1B．32C．2D．52【解题思路】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.【解答过程】因为实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，所以xy+zx =2≥2√xy×zx=2√yz⇒yz≤1，当且仅当z=yx2时，yz=1，所以4y +1z≥2√4y×1z=2√4yz≥2√41=4，当且仅当4y=1z且yz=1时，等号成立；所以当yz=1且4y =1z时，4y+1z取得最小值4，此时解得{y=2z=12⇒y+z=52，故选：D.【变式6-3】（2023上·辽宁大连·高一期末）若a>0,b>0,a+b=1，则a2+3aba+2b +2b+1−1b的最大值为（）A．√2B．2−√2C．3−√2D．3−2√2【解题思路】由已知可得a2+3aba+2b +1b+1=3−2b−1b+1，进而有a2+3aba+2b+2b+1−1b=3−2b−1b，结合基本不等式求最大值，注意取值条件.【解答过程】由题设，a2+3aba+2b +1b+1=a(a+3b)+1b+1=a(2b+1)+1b+1，而a=1−b>0，b>0，所以a(2b+1)+1b+1=2+b−2b2b+1=1+1−2b2b+1=1+2(1−b2)−1b+1=3−2b−1b+1，所以a2+3aba+2b +2b+1−1b=3−2b−1b且0<b<1，又2b+1b ≥2√2b⋅1b=2√2，当且仅当b=√22时取等号，所以a2+3aba+2b +2b+1−1b≤3−2√2，当且仅当a=1−√22,b=√22时取等号，即目标式最大值为3−2√2.故选：D.【题型7 实际应用中的最值问题】【例7】（2023上·四川眉山·高一校联考期中）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）.(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.【解题思路】（1）由题意可得矩形AMQD的面积，即可得出AM=400−x24x；（2）先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可.【解答过程】（1）由题意可得，矩形AMQD的面积为S AMQD=400−x24,因此AM=400−x24x，∵AM>0，∴0<x<20.（2）y=8400x2+420×(400−x2)+160×4×12×（400−x24x）2=8000x2+3200000x2+152000，0<x<20，由基本不等式y ≥2√8000x 2×3200000x 2+152000=472000，当且仅当8000x 2=3200000x 2，即x =2√5时，等号成立，故当x =2√5时，总造价y 最小，最小值为472000元.【变式7-1】（2023上·山东·高一校联考期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x 米.(2≤x ≤6) (1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价. (2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900a (x+2)x元(a >0)（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.【解题思路】（1）根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）设甲工程队的总造价为y 元，则 y =150×2(x +16x)×3+400×16+800 =900(x +16x )+7200≥900×2√x ⋅16x+7200 =14400当且仅当x =16x时，即x =4时等号成立.即当宽为4m 时，甲工程队的报价最低，最低为14400元. （2）由题意可得900(x +16x)+7200>900a (x+2)x.对∀x ∈[2,6]恒成立.即a <x 2+8x+16x+12令y =x 2+8x+16x+2=(x +2)+4x+2+4∵2≤x ≤6,∴4≤x +2≤8. 令t =x +2,t ∈[4,8]，则y=t+4t+4在[4,8]上单调递增.且t=4时，y min=9.∴0<a<9.即a的取值范围为(0,9).【变式7-2】（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的13．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米(1≤x≤5)．(1)记y为甲工程队整体报价，求y关于x的关系式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t(x+1)x元，问是否存在实数t，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意分别计算正面和侧面以及其它各面的费用，相加，可得答案;（2）由题意可得不等关系240(184x +10x)−3120>4800t(x+1)x,对任意x∈[1,5]都成立，进而转化t<10x2−13x+18420(x+1)恒成立，采用换元法，结合基本不等式求得答案.【解答过程】（1）由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米(1≤x≤5)，则底面长为24x米，正面费用为360(4×24x−2×6),故y=360(4×24x −2×6)+4×24x×100+2×300×4x+1200=240(184x+10x)−3120，1≤x≤5.（2）由题意知, 240(184x +10x)−3120>4800t(x+1)x，对任意x∈[1,5]都成立,即t<10x2−13x+18420(x+1)对任意x∈[1,5]恒成立，令k=x+1,则x=k−1,k∈[2,6]，。

专题7-1线性规划归类【题型一】三大基础题型：截距，斜率与距离（圆系）【典例分析】若实数x ，y 满足{x ≤4y ≤33x +4y ≥12，则x 2+y 2的取值范围是___【提分秘籍】基本规律1.线性，注意Z 与截距之间的正反比例关系，如变式22.斜率型，要写层标准的斜率公式形式，如变式13.距离型，注意圆与直线（线段）的位置关系：点到线的垂直关系还是点到点的关系，如典例分析【变式演练】1.设,x y 满足约束条件20{230 0x y x y x y --≤-+≥+≤，则46y x ++的取值范围是 ( ) A. []4,1- B. 33,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. (][),31,-∞-⋃+∞D. []3,1-2.若实数x ，y 满足约束条件{x ≥2,x +y ≤6,x −y ≤0,则目标函数z =2x −3y 的最大值是__________．3.设点(),Px y 是平面区域0{10 220x x y x y ≤++≤++≥内的任意一点，则224x y x +-的最小值为 A. 12 B. 1 C. 92D. 5【题型二】 由参数确定图像形状【典例分析】若不等式组0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是（ ）A.43a ≥B.01a <≤C.413a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥【提分秘籍】基本规律分类讨论，动图研究【变式演练】1.设不等式组4,0,10,x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r +++=>不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是A ．22,25⎡⎣B ．(22,32]C ．(22,25]D ．(0,22)(25,)+∞2.不等式组表示的是一个对称四边形围成的区域，则 .3.已知圆的方程为224x y +=，P 是圆O 上的一个动点，若OP 的垂直平分线总是被平面区域||||x y a +≥覆盖，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．1a ≤C ．01a <≤D ．0a ≤【题型三】 含参线性规划【典例分析】给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数(0)Z ax y a =->取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是A ．B ．1C ．4D ．【提分秘籍】基本规律含参型，注意区分参数所在位置而采取的不同处理方法。