高等数学第三节新 全微分

第三节 全微分及其应用一、全微分二、全微分在近似计算中的应用d d tan xy=α沿此曲线计算的函数在点P 处的增量为偏增量z x∆多元函数的全增量运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量y x ∆∆ ,:z ∆α+∆+∆=−∆+∆+=∆y b x a y x f y y x x f z ),() ,(, ,无关的常数和是与y x b a ∆∆.应该是一个无穷小量α二元函数全微分的定义全微分概念的极限形式函数在区域上的可微性如果函数)f在区域Ω中的(X每一点均可微, 则称函数在区域Ω上可微 .可微连续可导连续：0lim 00=∆→∆→∆z y x 可微：+∆=∆x a z +∆y b )o(22y x ∆+∆什么?可微连续可导可微连续可导可微连续可导逆命题?可 微连续可导连 续可 导连续可导Okf,0(),(≠y xf二、全微分在近似计算中的应用例5 计算的近似值. 解.),(y x y x f =设函数.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x 取,1)2,1(=f ∵,),(1−=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f yy =,2)2,1(=x f ,0)2,1(=y f 由公式得02.0004.021)04.1(02.2×+×+≈.08.1=谢谢大家！。

第三节 全微分一、 全微分的定义及计算定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义。

如果自变量x 和y 在点),(00y x 处分别有增量x ∆和y ∆，则函数相应有增量),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆ (18)我们称z ∆为函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量。

一般说来，计算全增量z ∆比较复杂。

在一元函数微分学中，我们用函数)(x f y =的微分（即函数增量的线性主部）来近似替代函数的增量。

现在对于二元函数),(y x f z =，我们也希望能够用自变量的增量y x ∆∆,的线性函数来近似替代函数的增量z ∆。

为此，引入全微分的概念。

定义 若二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域有定义，如果函数的全增量z ∆可写成：)(ρo y B x A z +∆⋅+∆⋅=∆（19）其中B A ,仅与00,y x 有关而与y x ∆∆,无关，()22)(y x ∆+∆=ρ，则称y x ∆⋅B +∆⋅A为函数()y x f z ,=在点),(00y x 处的全微分。

记作),(00y x dz ，即),(00y x dz =y x ∆⋅B +∆⋅A（20）此时，又称函数()y x f z ,=在点),(00y x 处是可微的。

定理 1 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则（1）),(y x f z =在点),(00y x 处连续；（2）),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，且),(00y x dz =),(00y x f x 'y y x f x y ∆⋅'+∆⋅),(00（21）证 （1） 由于函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，所以函数在点),(00y x 的增量可表示为)(ρo y B x A z +∆⋅+∆⋅=∆而当0,0→∆→∆y x 时，0→ρ，故有0)(→ρo ，因此0lim 00=∆→∆→∆z y x 设yy y x x x ∆+=∆+=00,，则当0,0→∆→∆y x 时，00,y y x x →→，所以()0),(),(lim00),(),(00=-→y x f y x f y x y x ，即),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→，也即),(y x f z =在点),(00y x 处连续。

简述全微分的定义全微分是微积分中一个重要的概念，它用于描述函数在某一点的局部变化情况。

全微分的定义可以简述为：在数学中，函数的全微分是指函数在某一点附近的微小变化量与自变量的微小变化量之间的线性关系。

全微分的定义可以通过以下方式进行描述：设函数f(x,y)在点(x₀,y₀)处可微分，那么函数在该点处的全微分df可以表示为：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别为函数f(x,y)对自变量x和y的偏导数，dx和dy分别为自变量x和y的微小变化量。

全微分的定义可以理解为，当自变量x和y发生微小变化dx和dy 时，函数f(x,y)的取值也会发生微小变化df。

全微分df可以看作是函数f(x,y)对自变量x和y的微小变化量的线性近似。

全微分的概念在实际应用中具有重要意义。

它可以用于描述函数在某一点的局部变化情况，从而帮助我们理解函数的性质和特点。

通过计算全微分，我们可以得到函数在某一点处的斜率，进而判断函数在该点的增减性和凹凸性。

全微分在物理学、经济学等领域中也有广泛的应用。

例如在物理学中，全微分可用于描述物体在某一点处的位移和力的关系，从而帮助我们理解物体的运动规律。

在经济学中，全微分可用于描述经济变量之间的相互关系，从而帮助我们分析经济现象和制定经济政策。

全微分是微积分中一个重要的概念，它用于描述函数在某一点的局部变化情况。

全微分的定义可以简述为函数在某一点附近的微小变化量与自变量的微小变化量之间的线性关系。

全微分的概念在理论和应用中都具有重要意义，它帮助我们理解函数的性质和特点，以及分析和解决实际问题。

通过深入理解和应用全微分的概念，我们可以更好地掌握微积分的基本原理和方法，为相关学科的研究和应用提供有力支持。