福大高数微积分作业答案6.3全微分

《高等数学教程》第十章 多元函数微分法 习题参考答案10－1 (A)1.)()(y x xy +2.x xy xy y x 2)()(++5.(1)}012),({2>+-x y y x ; (2)}0,0),({>->+y x y x y x ; (3)}4,10),({222x y y x y x ≤<+<; (4)}0,0,0),,({>>>z y x z y x ; (5)},0,0),({2y x y x y x ≥≥≥; (6)}1,0,0),({22<+≥>-y x x x y y x ; (7)},),({+∞≤≤-∞+∞≤≤∞-y x y x ; (8)}2,0),({x y x y x π≤≠;(9)}),,({22222R z y x r z y x ≤++<; (10)}0,0),,({22222≠+≥-+y x z y x z y x .6.(1)2ln ; (2)0; (3)∞+;(4)41- (5)不存在； (6)0(7)0 (8)e 9.(1)在)0,0(点不连续(2)在0≠+y x 上所有),(y x 点均连续 (3) 在)0,0(点不连续10－1 (B)1．21x +2．1,22-+=+=x y z x x f3．yy x +-1)1(210－2 (A)1.(1)52(2)1,2ln 22+ (3)3334,3,2e e e2. 13.(1)x y x yz y y x x z 23323,3-=∂∂-=∂∂ (2)221,1vu u v s u v v u s -=∂∂-=∂∂ (3))ln(21,)ln(21xy y y z xy x x z =∂∂=∂∂ (4))]2sin()[cos()],2sin()[cos(xy xy x y z xy xy y x z -=∂∂-=∂∂ (5)y x yx y z y x y x z 2csc 2,csc 222-=∂∂=∂∂ (6)]1)1[ln()1(,1)1(2xyxy xy xy y z xy y xy x z y y++++=∂∂++=∂∂ (7)x x zy z u x z y u x z y x u z yz y y zln ,1,21⋅-=∂∂=∂∂=∂∂-(8)zz x z z z y x y x y x z u y x y x z y u y x y x z x u 22121)(1)ln()(,)(1)(,)(1)(-+--=∂∂-+--=∂∂-+-=∂∂-- 6.4π 7.6π 10.(1)2222812y x x z -=∂∂,2222812x y yz -=∂∂,xy y x z 162-=∂∂∂ (2)22222)(2y x xy x z +=∂∂,22222)(2y x xy y z +-=∂∂,2222222)(y x x y x z +-=∂∂ (3)y y x z x 222ln =∂∂,222)1(--=∂∂x y x x yz ,)ln 1(12y x y y x z x +=∂∂∂- (4))sin()cos(222y x x y x xz+-+=∂∂,)sin(22y x x yz+-=∂∂, )sin()cos(2y x x y x y x z +-+=∂∂∂. 11. 2;2;0;012.023=∂∂∂y x z ,2231y y x z -=∂∂∂.10－2 (B)2.74arctan , )74arctan(-.10－3 (A)1.(1)dy y x dx y y )11()1(2-++;(2))(1dy dx xye x x y--;(3)xdz yx xdy zx dx yzx yz yz yz ln ln 1⋅+⋅+- (4)])1()1[(22)(dy x yx dx y x y eyx x y -+-+- 2.(1)dy dx 3231+ (2)dy dx 5252-3. 0.25e4. (1)2.95 (2)0.005 (3)2.039 (4)0.50235. -5厘米6. 55.3立方厘米10－3 (B)1.xdy e ydx e du yxyx ⋅+⋅=--222210－4 (A)1.)sin (cos cos sin 32θθθθρ-=∂∂pz]cos )sin 2(cos sin )cos 2[(sin 223θθθθθθρθ-+-=∂∂z2.)]23ln(2233[22y x xy x x y x z ---=∂∂]23)23[ln(22yx y y x x y y z ---=∂∂ 3.]2[244)(22yx y x x e x z xyy x -+=∂∂+ ]2[244)(22xyx y y e y z xyy x -+=∂∂+ 4.])()(cos[])(3))((21[322xyz xz yz xy z y x yz xyz z y zx yz xy xu++++++⋅+++++=∂∂ ])()(cos[])(3))((21[322xyz xz yz xy z y x xz xyz z x zx yz xy yu++++++⋅+++++=∂∂ ])()(cos[])(3)(21[3222xyz xz yz xy z y x xy xyz zx yz xy zu++++++⋅++++=∂∂ 5.)6(cos 22sin 2t t e t t -- 6.232)43(1)41(3t t t ---7.xx e x x e 221)1(++ 8.11sin 2++⋅a a x e ax9.)ln 1(1x y x xzy x y +=∂∂-+,x x y z y x y 2ln +=∂∂ 11.(1)'2'12f ye xf xzxy +=∂∂,'2'12f xe yf y z xy +-=∂∂ (2)'11f y x u =∂∂,'2'121f z f y x y u +-=∂∂,'22f zy z u -=∂∂ (3)'3'2'1yzf yf f x u ++=∂∂,'3'2xzf xf y u +=∂∂,'3xyf zu=∂∂ (4))1('yz y f x u ++⋅=∂∂,)('xz x f x u +⋅=∂∂,xy f xu⋅=∂∂' 14.(1)''2'2242f x f x z +=∂∂,''24xyf y x z =∂∂∂,''2'2242f y f yz +=∂∂(2)''222''12''112212f yf y f x z ++=∂∂ '22''22''12221)1(f y f y f y x y x z -+-=∂∂∂ ''2242'23222f yx f y x y z +=∂∂ (3)''2222''123''114'222442f y x f xy f y yf xz +++=∂∂''1223''223''113'2'1252222f y x yf x f xy xf yf yx z ++++=∂∂∂ ''224''123''1122'122442f x yf x f y x xf yz +++=∂∂ (4)''33)(2''12''112'1'322cos 2cos sin f e xf e xf f x f e xz y x y x y x ++++++⋅-=∂∂''33)(2''32''13''12'32sin cos sin cos f e yf e xf e yf x f e yx z y x y x y x y x +++++-+-=∂∂∂ ''33)(2''23''222'2'322sin 2sin cos f e yf e yf f y f e y z y x y x y x ++++-+⋅-=∂∂10－4 (B)1. )1()()()(212122121ψψϕψϕϕψψϕψϕϕ'+'+'-'=∂∂'-'+'+'=∂∂xx y z x yy x z 2. vvuv uu xv xu v u v u x yf x f xy x xf f x xf xf f y x zyf f f x f x z2222)2(22)2(+++++++=∂∂∂+++=∂∂3. z t y f z f z u x t y f x y f x f x u ∂∂∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂ψϕψϕϕ.10－5 (A)1.xy y e y x 2cos 2--;2.-1;3.xxy x y xy y ln ln 22--. 4.xy xyz xyz yz x z --=∂∂,xyxyz xyzxz y z --=∂∂2 5.z x zx z +=∂∂,)(2z x y z y z +=∂∂ 6. zy y z zxe x z x cos 3,cos 252-=∂∂-=∂∂ 7.dy dx xee x dz xy z xy z ++-+=----1)1(1 8.322224)()2(xy z y x xyz z z ---⋅ 9.32232)(22xy e e z y z xy ze y z z z --- 10. 2 11. 2 12.(1))13(2)16(++-=z y z x dx dy ,13+=z x dx dz (2)y x z y dz dx --=, yx x z dz dy --= (3)y x u y x u -+-=∂∂, y x y v y u -+-=∂∂； y x x u x v -+=∂∂, yx xv y v -+=∂∂10－5 (B)5.32)()()(v u u vv v uv u uv v uu u v u v uu u uv F F F F F F F F F F F F F F F F F -⋅-⋅+⋅+⋅---⋅-⋅ 7.'1'2'2'1'1'2'2'1)12)(1()12(g f yvg xf g f yvg uf x u------=∂∂ '1'2'2'1'1'1'1)12)(1()1(g f yvg xf uf xf g x v----+=∂∂8.1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u ,1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u ,]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v uu 10－61.321＋2.32 3.)(2122b a ab+ 4.2948 5. 5 6.14227.1412 8.202020000zy x z y x ++++9. }6,2,3{)0,0,0(--=gradf , }0,3,6{)1,1,1=（gradf10－71.切线方程：222111)12(-=-=--z y x π 法平面方程：422+=++πz y x2.切线方程：8142121-=--=-z y x 法平面方程：011682=-+-z y x 3.切线方程：000211z z z y m y y x x --=-=- 法平面方程:0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x 4.切线方程：1191161--=-=-z y x 法平面方程:024916=--+z y x5.)1,1,1(1---P 及)271,91,31(2--P7.(1)切平面方程：042=-+y x法线方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-02112z y x(2)切平面方程:22π=+-z y x ， 法线方程:241111π-=--=-z y x(3)切平面方程:002002002202020)()()(1z z z c y y y b x x x a c z z b y y a x x -=-=-=++， 8.2112±=+-z y x 9.)3,1,3(--,133113-=+=+z y x 11.223cos =r10－8])4(21)4(22)[2sin()4(22222)2sin(.122ππηξπ-+-++--++=+y y x x y x y x其中 ).10()4(4<<-+==θπθπηθξy x ，])1(2)1(313)1[ln(!)2(!21.23322232y y x y x x y e y xy y z ηηηξξ+++-++++-+= 其中 ).10(,<<==θθηθξy x ，1021.1.3 10)!1()(!)(.4)(10<<++++=++=+∑θθy x n nk k yx e n y x k y x e10－9(A)1.(1)驻点)0,0(;极大点)0,0((2)驻点)2,2(),0,2(),2,0(),0,0(;极大点)0,0(;极小点(2,2).(3)驻点)0,2(),0,76(-;极大点)0,716(;极小点)0,2(-.2.(1)极小值：3231313),(a a a f =； (2)极小值：0)1,1(=-f ； (3)极大值：8)2,2(=-f ；(4)极小值：2)1,21(ef -=-.3.极大值：41)21,21(=z .4.当两边都是2e 时，可取得最大周界.5.当长、宽、都是32k ，而高为3221k 时，表面积最小. 6. 购买A 原料100吨, 购买B 原料25吨,可使生产量达到最大值. 7. 368. .3,521==D D 利润 125)3,5(=L 9.X=15(千克), Y=10(千克)10. （1） 当电台广告费用万元），(75.01=x 当报纸广告费用万元），(25.12=x 时可使利润最大。

高等数学微积分教材答案第一章：导数与微分1.1 导数的定义1.1.1 极限的概念1.1.2 函数的极限1.1.3 导数的定义及计算方法1.2 导数的基本性质1.2.1 可导性与连续性的关系1.2.2 导数的四则运算法则1.2.3 导数的链式法则1.3 高阶导数与隐函数微分1.3.1 高阶导数的定义1.3.2 隐函数的导数计算方法1.4 微分的定义与微分公式1.4.1 微分的定义1.4.2 微分的性质1.4.3 微分公式第二章：微分学的应用2.1 函数的单调性与极值2.1.1 函数单调性的判定2.1.2 函数的极值与最值2.2 函数的凹凸性与拐点2.2.1 函数的凹凸性定义2.2.2 函数的拐点2.3 泰勒公式与函数的近似计算 2.3.1 泰勒公式的定义2.3.2 泰勒公式的应用2.4 最值问题与优化问题2.4.1 最值问题的分析方法2.4.2 优化问题的数学建模第三章：不定积分3.1 原函数与不定积分3.1.1 原函数的定义与性质3.1.2 不定积分的定义3.2 积分基本公式3.2.1 基本积分公式3.2.2 积分的线性性质3.3 第一类换元积分法3.3.1 第一类换元积分法的基本思想 3.3.2 第一类换元积分法的具体步骤3.4 分部积分法与第二类换元积分法 3.4.1 分部积分法的定义与应用3.4.2 第二类换元积分法的基本原理第四章：定积分与定积分的应用4.1 定积分的定义与性质4.1.1 定积分的几何意义4.1.2 定积分的性质4.2 定积分的计算方法4.2.1 定积分的基本计算方法4.2.2 定积分的换元法4.3 定积分的应用4.3.1 曲线与曲面的长度4.3.2 曲线与曲面的面积4.3.3 物理应用中的定积分4.4 微积分基本定理与不定积分的计算方法 4.4.1 微积分基本定理4.4.2 不定积分的计算方法第五章：数项级数5.1 数项级数的概念与性质5.1.1 数项级数的定义5.1.2 数项级数的性质5.2 收敛级数的判别法5.2.1 正项级数的判别法5.2.2 任意项级数的判别法5.3 幂级数与函数展开5.3.1 幂级数的收敛半径5.3.2 幂级数的函数展开5.4 常数项级数的求和5.4.1 等比级数的求和5.4.2 绝对收敛级数的求和第六章：级数的应用6.1 函数展开与泰勒级数6.1.1 函数展开与泰勒级数的概念6.1.2 泰勒级数的求法6.2 常微分方程与级数解6.2.1 常微分方程的基本概念6.2.2 幂级数解的构造6.3 分析几何中的级数应用6.3.1 曲线与曲面的参数方程6.3.2 空间曲线与曲面的求交问题6.4 物理学中的级数应用6.4.1 物理学中的振动问题6.4.2 物理学中的波动问题总结高等数学微积分教材涵盖了导数与微分、微分学的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、数项级数和级数的应用等内容。

福州大学高等数学（下）试题及答案一、单项选择题1．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则xb x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→= 。

A 、 0； B 、),2(b a f x ； C 、),(b a f x ； D 、),(2b a f x 。

2．设曲面),(y x f z =与平面0y y =的交线在点)),(,,(000y x f y x o 处的切线与x 轴正向所成的角为6π，则 。

A 、236cos ),(00==πy x f x ； B 、21)62cos(),(00=-=ππy x f y ； C 、336),(00==πtg y x f x ； D 、3)62(),(00=-=ππtg y x f y 。

3．0lim =∞→n n u是级数∑∞=0n n u 发散的 。

A 、 必要条件； B 、充分条件； C 、充要条件； D 、既非充分又非必要。

4．在区域D ：220x R y -≤≤上的σd xy D ⎰⎰2值为 。

A 、2R π； B 、24R π； C 、332R π； D 、0。

5．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解 。

A 、x y 2=；B 、2x y =；C 、x y 2-=；D 、2x y -=。

二、是非判断题（15分） 1．⎰+-L y x ydx xdy 22=0，其中L 为圆周122=+y x 按逆时针转一周（ ） 2．如果x∂∂ϕ，y ∂∂ϕ均存在，则),(y x ϕϕ=沿任何方向的方向导数均存在（ ） 3．以),(y x f 为面密度的平面薄片D 的质量可表为σd y x f D ⎰⎰),(。

（ ） 4．)(x f 在],0(π上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且],0[π上收敛于)(x f 。

（ ）1． 微分方程的通解包含了所有的解。

（ ）三、计算题（16分）1． 设),(22xye y xf -=μ，其中f 具有一阶连续偏导数，求x ∂∂μ，y x ∂∂∂μ2。

安徽大学微积分考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个不是正比例函数？A. \( y = 3x \)B. \( y = \frac{1}{x} \)C. \( y = 2x^2 \)D. \( y = 4 \)答案：B2. 函数 \( f(x) = x^2 + 2x + 1 \) 的最小值出现在哪个点？A. \( x = -1 \)B. \( x = 0 \)C. \( x = 1 \)D. \( x = 2 \)答案：A3. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值为：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{2}{3} \)D. \( 1 \)答案：C4. 以下哪个选项是微分方程 \( y'' - y' - 2y = e^{2x} \) 的解？A. \( y = e^{2x} \)B. \( y = e^{-x} \)C. \( y = x^2 + e^{2x} \)D. \( y = x^2 - x - e^{2x} \)答案：C5. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 在区间[0, π] 上的定积分为：A. 0B. 1C. 2D. π答案：A6. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 (1,1) 处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D7. 以下哪个函数是周期函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = \sin(x) \)C. \( y = e^x \)D. \( y = \log(x) \)答案：B8. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在区间(0, +∞) 上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有界函数D. 无界函数答案：B9. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是：A. 1B. 0C. 2D. 不存在答案：A10. 以下哪个级数是收敛的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} n \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的零点是______。

微积分综合练习题及参考答案Last updated on the afternoon of January 3, 2021综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x . （2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x （7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1 （8）若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）． A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x + 答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x x y 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x 答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1-答案：B（7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x x B ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点答案：A3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x（2）329lim 223---→x x x x 解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x 解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x 综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ． 答案：21 （2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ．答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f． 答案：x x x x f --+-=''e e 2)(2.单项选择题（1）若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2因)(cos e cos )e ()cos e ()('+'='='---x x x x f x x x所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=-答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）．A ．12d x xB ．1d x x ln10C ．ln10x x dD ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '-答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （）． A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D．x cos答案：C3．计算题（1）设x x y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121x x x y x x -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='（3）设x y x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21e x x y x -+='+（4）设x x x y cos ln +=，求y '. 解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-=综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）.A ．极值点B ．最值点C ．驻点D ． 间断点答案：C（3）下列结论中（ ）不正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上.答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．x eC ．2xD ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

第六章 定积分§6.1~6.2 定积分的概念、性质一、填空题1、设()f x 在[,]a b 上连续，n 等分011[,]:n n a b a x x x x b -=<<<<=，并取小区间左端点1i x -，作乘积1()i b af x n --⋅，则11lim ()ni n i b a f x n -→∞=-⋅=∑()d b af x x⎰.2、根据定积分的几何意义，20d x x =⎰2，1x -=⎰2π，sin d x x ππ-=⎰0.3、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()d ()d b baaf x x f t t -=⎰⎰0.二、单项选择题1、定积分()d b af x x ⎰(C) .(A) 与()f x 无关 (B) 与区间[,]a b 无关 (C) 与变量x 采用的符号无关 (D) 是变量x 的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) 222311d d x x x x >⎰⎰ (B) 22211ln d (ln )d x x x x <⎰⎰(C)110d ln(1)d x x x x >+⎰⎰ (D) 11e d (1)d xx x x <+⎰⎰3、设()f x 在[,]a b 上连续，且()d 0b af x x =⎰，则 (C) .(A) 在[,]a b 的某小区间上()0f x = (B) [,]a b 上的一切x 均使()0f x = (C) [,]a b 内至少有一点x 使()0f x = (D) [,]a b 内不一定有x 使()0f x = 4、积分中值公式()d ()()b af x x f b a ξ=-⎰中的ξ是 (B) .(A) [,]a b 上的任一点 (B) [,]a b 上必存在的某一点(C) [,]a b 上唯一的某一点 (D) [,]a b 的中点5、d arctan d d bax x x =⎰ (D) .析：arctan d b ax x ⎰是常数(A) arctan x (B)211x+ (C) arctan arctan b a - (D) 06、设244123d ,s i n d I x x Ix x ππ===⎰⎰⎰，则123,,I I I 的关系为 (B) .(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 312I I I >> (D) 132I I I >> 7、设41I x =⎰，则I 的值 (A) . (A) 0I ≤≤(B) 115I ≤≤ (C) 1165I ≤≤ (D) 1I ≥析：4()f x =[]0,1上的最大值是2，最小值是0，所以0I ≤≤.三、估计定积分220e d x x I x -=⎰的值.解 记2()e ,[0,2]xxf x x -=∈，则2()(21)e x x f x x -'=-，令()0f x '=，得12x =. 因为1241e ,(0)1,(2)e 2f f f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以()f x 在[0,2]上的最大值为2e ，最小值为14e -，从而 212242ee d 2e x x I x --≤=≤⎰.四、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且1()d ()baf x x f b b a =-⎰.求证：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=.证明 由积分中值定理，存在一点[,]a b η∈，使得()d ()()b af x x f b a η=-⎰，即1()d ()b af x x f b a η=-⎰.又由题设可知，()f x 在[,]b η上连续，在(,)b η内可导，且有()()f f b η=，根据罗尔定理，存在一点(,)(,)b a b ξη∈⊂，使得()0f ξ'=.§6.3微积分的基本公式一、填空题1、若20()x f x t t =⎰，则()f x '=32x .2、32d d x x x⎰23、极限0sin 3d lim1cos x x t tx→=-⎰3.4、定积分412d x x -=⎰52.5、设,0()sin ,0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则11()d f x x -=⎰1cos12-.6、由方程2d cos d 0e y xt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x=2cos ey x-.7、设()f x 是连续函数，且31()d x f t t x -=⎰，则(7)f =112.8、设13201()()d 1f x x f x x x =++⎰，则10()d f x x =⎰3π.析：设10()d f x x A =⎰，则等式两端同时积分得111320001()d d d 1f x x x x A x x =+⋅+⎰⎰⎰ 1013arctan |,,4443A x A A A ππ=+⋅∴==. 9、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()0f x >，则方程1()d d 0()x x abf t t t f t +=⎰⎰在开区间(,)a b 内有1个实根.析：设1()()d d ()x x abF x f t t t f t =+⎰⎰，则有 1()d 0,()()d 0()a b ba F a t Fb f t t f t =<=>⎰⎰,由根的存在定理知至少有存在一个(),a b ξ∈使得()0F ξ=；若方程有两个根，不妨设1,2ξξ即12()0,()0F F ξξ==,则由罗尔定理知,(),a b ξ∃∈使得()0F ξ'=, 即使得1()0()f x f x +=成立，这与()0f x >矛盾， 所以方程又且只有一个根.二、单项选择题1、下列积分中能用微积分基本公式的只有 (C) .(A) 11d x x -⎰ (B) 31e d ln x x x ⎰(C) 1-⎰(D) 1-⎰2、设2()()d xa x F x f t t x a=-⎰，其中()f x 是连续函数，则lim ()x a F x →= (B) . (A) 2a (B) 2()a f a (C) 0 (D) 不存在3、设561cos 2()sin d ,()56x x x f x t t g x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的 (B) .(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 析: 1cos 42056450004()sin d ()2limlimlim 0()56xx x x x xt tf x x xg x x x-→→→⋅===++⎰. 三、求020(e 1)d limsin x t x t t x x→-⎰.解 根据洛必得法则，得202322000(e 1)d (e 1)d (e 1)1limlimlim lim sin 333x x t t x x x x x t t t t x x x xx x x →→→→---====⎰⎰.四、求函数20()e d xtI x t t -=⎰的极值.解 2()e x I x x -'=，()2222()ee (2)12e x x x I x x x x ---''=+-=-.令()0I x '=，得驻点0x =,又(0)10I ''=>，所以0x =是()I x 得极小值点，极小值为(0)0I =.五、求x .解x x x ==⎰()()24204sin cos d cos sin d sin cos d x x x x x x x x x ππππ=-=-+-⎰⎰⎰()()42042sin cos cos sin x x x x πππ=++--=.六、已知0()()d 1cos xx t f t t x -=-⎰，证明：20()d 1f x x π=⎰.证明 原式可化为 0()d ()d 1cos x xx f t t tf t t x -=-⎰⎰，两边对x 求导，得()d ()()sin xf t t xf x xf x x +-=⎰，即0()d sin xf t t x =⎰，令2x π=，得20()d sin12f t t ππ==⎰，即 20()d 1f x x π=⎰.§6.4 定积分的换元积分法一、填空题1、设()f x 在区间[,]a a -上连续，则2[()()]d a ax f x f x x ---=⎰.2、91x =⎰2ln 2. 3、09912(21)d x x -+=⎰1200.4、31e =⎰2. 5、(211d x x -=⎰2.6、222d 2x xx x -+=+⎰ln3. 7、x =⎰4π.8、设211e ,22()11,2x x x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，则212(1)d f x x -=⎰12-.二、单项选择题1、设()f x 是连续函数，()d ()d b baaf x x f a b x x -+-=⎰⎰ (A) .(A) 0 (B) 1 (C) a b + (D) ()d b af x x ⎰析：令a b x y +-=，则()d ()d ()d ()dy 0b bbaaaabf x x f a b x x f x xg x -+-=+=⎰⎰⎰⎰2、设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 (A) . (A) 若()f x 是奇函数，()F x 必为偶函数 (B) 若()f x 是偶函数，()F x 必为奇函数 (C) 若()f x 是周期函数，()F x 必为周期函数 (D) 若()f x 是单调增函数，()F x 必为单调增函数 析：(B)反例：()cos ,()sin 1f x x F x x ==+(C)反例：()1,()f x F x x ==(D)反例：212(),()f x x F x x == 三、计算下列定积分1、()234332011311211222d 3d 32233t t t t t t t t -+⎛⎫⋅=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰. 2、()1ln 1122000021d 21d 2arctan 2112t t t t t t t t π⎛⎫⋅=-=-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰.3、d d t t t t =⎰1t=-=.四、设()f x 是连续函数，证明：02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.证明(sin )d ()(sin )(d )=()(sin )d x txf x xt f t t t f t t ππππππ=-=---⎰⎰⎰令(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d f t t tf t t f x x xf x x ππππππ=-=-⎰⎰⎰⎰.从而 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰，即 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.五、设(),()f x g x 在[,](0)a a a ->上连续，且()f x 满足条件()()f x f x A +-=（A 为常数）,()g x 为偶函数. （1）证明:()()d ()d a aaf xg x x A g x x -=⎰⎰；（2）利用（1）的结论计算定积分22sin arctan e d xx x ππ-⎰.(1)证明00()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x --=+⎰⎰⎰,而000()()d ()()(d )()()d ()()d a aaax tf xg x xf tg t t f t g t t f x g x x -=----=-=-⎰⎰⎰⎰令,所以()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x -=-+⎰⎰⎰[]0()()()d ()d a af x f xg x x A g x x =-+=⎰⎰.(2)解 取()arctan e ,()sin ,2xf xg x x a π===，令 ()()()arctan earctan e xx F x f x f x -=-+=+，则 ()2222e e e e ()arctan e arctan e 01e 1e 1e 1e x x x x xx x x x xF x -----''=+=+=+=++++，所以 ()F x A =（常数），又(0)arctan1arctan12arctan12F π=+==，即 ()()2f x f x A π-+==.于是有22202sin arctan e d sin d sin d 222xx x x x x x πππππππ-===⎰⎰⎰.§6.5 定积分的分部积分法一、填空题1、cos d x x x π=⎰2-.2、已知()f x 的一个原函数是2ln x ，则1e()d xf x x '=⎰1.3、11()e d xx x x --+=⎰124e --.4、设0sin ()d xtf x t t π=-⎰，则0()d f x x π=⎰2. 析：0000sin sin ()d ()|d ()d x x f x x xf x x x x x x xπππππππ=-=---⎰⎰⎰0(cos )|2x π=-=. 二、计算下列定积分1、2001d arccos 122x x x x =+=-⎰⎰12==+. 2、1e111e1e 1e 1111eeee11ln d (ln )d ln d ln d ln d x x x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⋅+-⋅⎰⎰⎰⎰⎰1121e e 12e e e=-+-+-+=-. 3、ln 2ln 2ln 20ln 2ln 211e d d(e )e e d ln 2e (1ln 2)22x x xx xx x x x x -----=-=-+=--=-⎰⎰⎰. 4、2222200001cos 211sin d d d cos 2d 222x x x x x x x x x x x ππππ-=⋅=-⎰⎰⎰⎰22220022011d(sin 2)sin 2sin 2d 44164x x x x x x x πππππ⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰22201110cos 21642164x πππ⎛⎫ ⎪=-+=+ ⎪⎝⎭. 5、1102x x =⎰⎰（被积函数为偶函数）方法一 ：122arcsin dx =-⎰1202arcsin x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭212x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭1202d 1x ⎫=--=-⎪⎪⎝⎭⎰. 方法二：166sin arcsin cos dt cos t txt x t t ππ-=⎰⎰602d(-cos )1t t π==-⎰. 6、111120000ln(1)1ln(1)1d ln(1)d d ln(1)(2)222x x x x x x x x x ++⎛⎫=+=-+ ⎪----⎝⎭⎰⎰⎰ 11001111ln 2d ln 2d (2)(1)321x x x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭⎰⎰[]1121ln 2ln(2)ln(1)ln 2ln 2ln 2333x x =---++=-=.三、设()f x 是连续函数，证明：000()d d ()()d x u xf t t u x u f u u ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.证明()0000()d d ()d d()d ()d ()d xx u u x u x xf t t u u f t t u f t t x f t t uf u u ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d xxx xx f u u uf u u xf u u uf u u =-=-⎰⎰⎰⎰()()d xx u f u u =-⎰.§6.6 广义积分与Γ函数一、单项选择题1、下列广义积分收敛的是 (D) . (A)e d xx +∞⎰(B) e1d ln x x x +∞⎰(C) 1x +∞⎰ (D) 321d x x +∞-⎰2、以下结论中错误的是 (D) .(A) 201d 1x x +∞+⎰收敛 (B) 20d 1x x x +∞+⎰发散 (C) 2d 1x x x +∞-∞+⎰发散 (D) 2d 1x x x +∞-∞+⎰收敛 3、1211d x x -=⎰ (D) .(A) 0 (B) 2 (C) 2- (D) 发散析：1101222210101111d d d ,d x x x x x x x x --=+⎰⎰⎰⎰发散，0211d x x-⎰也发散。