计算方法复习资料

1 第一章 引论

一、判断题

1. *x–12.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限41021。

( )

2. 对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。 ( )

3. 一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。 ( )

4. 3.14和3.142作为的近似值有效数字位数相同。 ( )

二、填空题

1. 为了使计算2334912111yxxx的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ；

2. *x–0.003457是x舍入得到的近似值，它有 位有效数字，绝对误差限为 ，相对误差限为 ；

3. 用四舍五入得到的近似数0.550，有 位有效数字，其相对误差是 。

三、选择题

1．*x–0.026900作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。

(A) 7； (B) 3；

(C) 不能确定 (D) 5.

2．舍入误差是( )产生的误差。

(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值

(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值

3．用 1+x近似表示ex所产生的误差是( )误差。

(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入

4．用221gts表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，ts是在时间t内的实际距离，则s*是（ ）误差。

(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断

5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。

(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。

四、计算题

1. 若误差限为5105.0,那么近似数0.003400有几位有效数字？

2. 14159.3具有4位有效数字的近似值是多少？

3. 已知2031.1a，978.0b是经过四舍五入后得到的近似值，问ba，ba有几位有效数字？

4. 设0x，x的相对误差为，求xln的误差和相对误差？

5. 设x的相对误差为%a,求nxy的相对误差。

6. 计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？

7. 采用迭代法计算7，取

2 )7(21210kkkxxxx k=0,1,…,

若kx是7的具有n位有效数字的近似值，求证1kx是7的具有2n位有效数字的近似值。

第二章 插值方法

一、判断题

1. 在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。 ( )

2. 120102()()()()xxxxxxxx表示节点0x处的二次插值基函数。 ( )

3. 牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。

( )

4. 在拉格朗日插值中，插值节点01,,,nxxx必须按顺序排列。 ( )

二、填空题

1. 已知3n，则三次插值基函数)(2xl= 。

2. n+1个节点的拉格朗日插值基函数)(xli的和)(0xlnki 。

3. 已知4)(xxf，取节点(0,1,2,kxkk…），用线性插值求)1.2(f的近似值，其计算公式1(2.1)(2.1)________________fP 。

4. 已知(1)2,(0)1,(2)3fff则]0,1[f________________，]2,0[f__ _________，[1,0,2]___f ，牛顿二次插值多项式2()Nx 。

5. 已知函数327924)(3xxxf，在节点75102,2,2,2的函数值，则其插值多项式p(x)= 。

6. 已知函数183664232.47)(247xxxxxf，其差商]2,,2,2,2[7210f 。

7. Lagrange插值基函数在节点上的取值是 。

三、选择题

1．函数101xxxx表示线性插值( )点的基函数.

(A) 0x； (B) 0y ； (C) 1x (D) 1y。

2．过点)4,2(),3,0(),1,1(的二次插值多项式)(2xp中2x的系数为( ).

(A) –0.5 (B) 0.5 (C) 2 (D) -2

3．给定互异的节点01,,,,nxxx)(xp是以它们为插值节点的插值多项式，则)(xp是一个( ).

(A) n+1次多项式 (B) n次多项式

3 (C) 次数小于n的多项式 (D) 次数不超过n的多项式

4．差商,7503)(699xxxxf(]2,,2,2,1[1002f )

(A) 0 (B) -3 (C) 50 (D) -7

5．对于次数不超过n的多项式为次插值多项式它的)(),(xpnxf( ).

(A) 任意n次多项式 (B) 任意不超过n次的多项式

(C) )(xf本身 (D) 无法确定

四、计算题

1. 已知的f(x)函数表

xi 1 3 2

f(xi) 1 2

-1

求f (x)的二次Newton插值多项式；

2. 证明若Lagrange插值多项式的首项系数记为),,,(10nxxxf，则

niiinxwyxxxf010)(),,,(，其中)())(()(10nxxxxxxxw

3. 证明n阶差商的性质。

若)()()(xdgxcfxF，则],,[],,[],,[101010nnnxxxdgxxxcfxxxF

4. 设13)(35xxxxf

求差商]3,,3,3[],3,,3,3[],3,3[61051010fff。

5. 设xy，求y在节点0,1,2，…，n上的Lagrange插值多项式。

6.已知连续函数p(x)的函数值表如下，求方程p(x)=0在[-1,2]内的近似根。

x -1 0 1 2

p(x) -2 -1 1 2

7. 设211)(xxf，将区间[-5,5]分成10等分，用分段线性插值求各段中点的值，并估计误差。

8. 已知1)2(,1)1(,2)1(fff，求)(xf的拉格朗日插值多项式。

9.设2)(xxf，求)(xf在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(xfh，并估计误差，取等距节点，且10/1h.

第三章 数值积分

一、判断题

1、 梯形求积公式和Simpson求积公式都是高精度方法。 ( )

2、 在使用插值型求积公式时，勿须进行误差分析。 ( )

3、 n越大，复合求积公式的代数精确度就越高，相应地求积公式的稳定性也越好。

( )

4、 具有n+1各节点的插值型求积公式至少具有n+1次代数精度。 ( )

二、填空题

1. 已知(1)1.1f，(2)1.2f，(3)1.5f，则用抛物线求积公式求得31()dfxx 。

2. 复合梯形求积公式为()dbafxx ，当2()[,]fxCab时,其余项)(fRn 。

3. 有7个节点的Newton-Cotes公式的代数精度为 次。

4. Cotes系数取决于 。

4 三、选择题

1. 求积公式研究的误差为（ ） 。

A.观测误差 B.模型误差 C.舍入误差 D.截断误差

2. 已知在[a,b]上，()2fx，且],[)(2baCxf，步长nabh，则复合梯形求积公式的误差限为（ ）。

A.6)(3ab B. 6)(3ab

C. 26hab D. 63h

3. 梯形公式、抛物线公式及n阶Newton-Cotes求积公式的代数精度分别至少为（ ）。

A. 1,2,n B. 2,3,n C. 1,3,n D. 1,4,n+1

四、计算题

1.设有求积公式20120()d(0)2(1)3(2)fxxAfAfAf，求210,,AAA使代数精度尽量高。

2. 求下列求积公式的代数精度

)]43(2)21()41(2[31)(10fffdxxf

3. 在区间[-1,1]上，取1,0,1321xxx构造插值型求积公式，并求它的代数精度。

4. 求三个不同的节点321,,xxx，使求积公式11321)]()()([)(xfxfxfcdxxf

具有三次代数精度。

5. 证明 abAAAn10

6.给定求积公式)()0()()(hcfbfhafdxxfhh试确定cba,,使它的代数精度尽可能高。

7. 求积公式)0()1()0()(01010fBfAfAdxxf，试确定系数0A,1A及0B，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。

8.数值积分公式)]2()1([23)(30ffdxxf，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精确度为多少？

9.用4n的复化梯形公式计算积分211dxx，并估计误差。

10.设2)1(,9)5.0(,6)0(,4)5.0(,1)1(fffff,则用复化辛普生公式计算11)(dxxf，若有常数M使 Mf||)4(，则估计复化辛普生公式的整体截断误差限。

第四章 常微分方程数值解法

一、判断题

1、龙格-库塔法是一类低精度的方法。 ( )

2、求解微分方程初值问题的二阶龙格-库塔方法是多步法。 ( )

3、梯形方法是一种隐式的多步法。 ( )

4、求解微分方程初值问题的隐式尤拉法是隐式方法。 ( )