计算方法总复习

1 数值分析复习

一、 期末考试试题

期末考试的试卷有填空题和解答题。

解答题共7个题，分数约占70％。

期末考试主要考核：

 基本概念；

 基本原理；

 基本运算。

必须带简易计算器。

总成绩=平时成绩*20%+期末成绩*80%

二、 考核知识点、复习要求

第1章 误差

(一) 考核知识点

 误差的来源类型；

 绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；

 绝对误差的传播。

(二) 复习要求

1. 产生误差的主要来源。

2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。

第2章 方程求根

(一) 考核知识点

二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。

(二) 复习要求

1. 知道有根区间概念，和方程f(x)=0在区间 (a,b)有根的充分条件。

2. 掌握方程求根的二分法，知道其收敛性； 2 掌握二分法迭代次数公式;

掌握迭代法，知道其收敛性。

3. 熟练掌握牛顿法。掌握初始值的选择条件。

4. 收敛阶和收敛速度

第3章 线性方程组的数值解法

(一) 考核知识点

高斯顺序消去法，列主元消去法,LU分解法；

消去法消元能进行到底的条件;

雅可比迭代法，高斯―赛德尔迭代法，

超松弛迭代法；迭代解数列收敛的条件。

(二) 复习要求

1. 掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法。

2. 知道高斯消去法的基本思想，

熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。

3. 知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，

迭代解收敛性的充分条件。

4. Cond(A)的概念和性质

第4章 函数插值与最小二乘法

(一) 考核知识点

 插值函数，插值多项式；

 拉格朗日插值多项式;插值基函数；

 牛顿插值多项式；差商表;

 分段线性插值、线性插值基函数

 最小二乘法，法方程组，线性拟合、二次拟合、指数拟合。

(二) 复习要求

1. 了解插值函数，插值节点等概念。

2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，

知道拉格朗日插值多项式余项。 3 3. 掌握牛顿插值多项式的公式，

掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。

4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。

6. 了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程，

掌握法方程组的求法，以及线性拟合和二次多项式拟合的方法。

第5章 数值积分与微分

(一) 考核知识点

 数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；

 插值型求积公式，牛顿―科特茨求积公式，科特茨系数及其性质，

 (复化)梯形求积公式，(复化)抛物线求积公式；

 高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯――勒让德求积公式；

(二) 复习要求

1. 了解数值积分和代数精度等基本概念。

2. 了解牛顿科茨求积公式和科茨系数的性质。熟练掌握并推导(复化)梯形求积公式和(复化)抛物线求积公式。

3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。会用高斯勒让德求积公式求定积分的近似值。

4. 知道插值型求导公式概念，掌握两点求导公式和三点求导公式。

第6章 常微分方程的数值解法

(一) 考核知识点

欧拉公式，梯形公式，改进欧拉法，局部截断误差；

龙格―库塔法，局部截断误差。

(二) 复习要求

1. 掌握欧拉法和改进的欧拉法(梯形公式、预报－校正公式和平均形式

公式)，知道其局部截断误差。

2. 知道龙格库塔法的基本思想。知道二阶、三阶龙格库塔法。

掌握四阶龙格――库塔法，知道龙格库塔法的局部截断误差。

4 华中科技大学《计算方法》历年考题汇编

附录1：2006～2007学年 第一学期 《计算方法》课程考试试卷(A卷)

附录2：2006～2007学年 第一学期 《计算方法》课程考试试卷(B卷)

附录3：2005～2006学年《计算方法》试题

附录4：2004～2005学年《计算方法》试题(2004年11月26日)

附录5：2003～2004学年《计算方法》课程考试试卷

三、重、难点分析

例1 证明计算)0(aa的牛顿切线法迭代公式为：

,1,0),(211nxaxxnnn

并用它求2的近似值（求出1x即可）

解

(1) 因计算a等于求02ax正根，axxf2)(，xxf2)(

代入牛顿法迭代公式得

)(21221nnnnnnxaxxaxxx ,1,0n

(2) 设2)(2xxf，因,0121)1(2f 025.1)5.1(2f

所以 5.1,12*x

选5.10x

用上面导出的迭代公式计算得

4167.11217)2(21001xxx 5

例2 用迭代法求0243xx的最小正根（求出2x即可）。

解 （1）用迭代法

因02)0(f，0125.0)5.0(f，故5.0,0*x

在5.0,0上将0243xx，同解变形为

)()2(413xxx

则 116343max)(max25.0,05.0,0xxxx

取,5.00x 应用迭代公式

)2(4131nnxx，,1,0n

计算得

3215)812(411x

47425.0321524132x

例3 用列主元消元法的方程组

53368435532321321321xxxxxxxxx

注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。

解 第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得， 6

331351313168433232321xxxxxxx

第2列主35，元为交换第2、3方程位置后消元得

5252331356843332321xxxxxx

回代解得 2,2,1123xxx

例4 将矩阵A进行三角分解（Doolittle分解,Crout分解,LDU分解）

其中1332222224A

说明：一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进行矩阵的三角分解（或代入公式求得相应元素）。在分解时注意矩阵乘法、矩阵求逆等代数运算。

解：

9,2;1,121,21;2,2,43322123132321321232312212222113131112121131312121111rrrlalrlarrlaraalaalararar

则矩阵的Doolittle分解为 7

911224122112111332222224

因为对角阵914D，则111212111RDU

所以矩阵的LDU分解为

11121211914122112111332222224

矩阵的Crout分解为

111212119221241332222224

例5 用LU分解求解方程组

5481332222224321xxx

注意：消元过程是解方程组bLY，和回代过程是解方程组YRX。

解：（1）将矩阵进行三角分解，由上例得：

矩阵的三角分解为 8

911224122112111332222224

（2）解方程组9,0,8,321yyybLY

（3）解方程组1,1,2,321xxxYRX

所以 TX)1,1,2(

例6 已知向量X=（1，-2，3）,求向量X的三种常用范数。

解 3maxiixX，

14,612211niiniixXxX

例7 证明 ,1XnXX

证明 因为 11maxXxxxXniipii

Xnxnxnxiipniimax1

所以 ,1XnXX

9 例8 已知矩阵2212A，求矩阵A的三种常用范数。

解 4max31jijiaA，niijjaA114max，

39)9)(4(36135228522822122122122AIAAAATT

例9 已知方程组

121212212321xxxaaa

（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式

（2）证明当4a时，雅可比迭代法收敛

（3）取5a,TX)101,51,101()0(，求出)2(X。

解 （1）对3,2,1i，从第i个方程解出ix，得雅可比法迭代公式为：

,1,0,)21(1)222(1)21(1)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1mxxaxxxaxxxaxmmmmmmmmm

（2）当4a时，A为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。