第05章 计算原理与计算公式

Λ*=
|E | |H +E |
(5-8)
其中，分子、分母都是矩阵行列式的值。 随着 | H | 值相对于 | T | 值的增加，即 | E | 值的减少而比值将降低，随之拒绝 H 0 的可信 度也增加。也就是说，当 Λ* 很小时，说明组间差异 H 大于随机效应 E ，就有理由怀疑原 假设 H 0 : μ1 = μ 2 = ... = μ g 的正确性。
转换关系式
F 分布自由度
m =1
g≥2
⎛ ∑ n g − g ⎞⎛ 1 − Λ* ⎞ ⎟⎜ ⎟ F =⎜ ⎜ g − 1 ⎟⎜ Λ* ⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎝
ν 1 = g − 1 , v2 = ∑ n g − g
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
m=2
g≥2
⎛ ∑ n g − g − 1 ⎞⎛ 1 − Λ* ⎟⎜ F =⎜ ⎜ ⎟⎜ − g 1 Λ* ⎝ ⎠⎝
2
F=
(n − g − p + 1) 2 Tij ～ F ( p, n − g − p + 1) (n − g ) p
(5-13)
这里， n=
∑n
i =1
g
i
， 为 总 样 本 含 量 ； g 为 组 数 ； p 为 矩 阵 (H + E) 的 秩 ；
Tij2 =
ni ⋅ n j ni + n j
表 5-3 试验设计 类 型 单响应变量均值的 t 检验与多响应变量均值向量的 Hotelling 单响应变量均值 t 检验时的统计量
2 2 2
T 2 检验对照 T2
多响应变量均值向量 Hotelling 检验时的统计量
t=
单组设计
2
n ( x − μ0 ) s
2 −1
T 2 = n( X − μ )′V −1 ( X − μ ) F= n−m 2 T (n − 1)m
t = n( x − μ 0 )( s ) ( x − μ0 )
t=
配对设计
2
n ( d − 0) s
2 −1
T 2 = n( D )′V −1 ( D ) F= n−m 2 T (n − 1)m
t = n(d − 0)( s ) (d − 0)
t=
单因素两 水平设计
x1 − x2 n1 + n2 2 s n1 ⋅ n2
det( E ) det( H + E )
−1
(5-9)
Pillai trace V = trace( H ( H + E ) ) Hotelling-Lawley trace U = trace( E H ) Roy’s Greatest Root Θ = λ1 ，即矩阵 E H 的最大特征根。
−1 −1
H = ∑ nk ( X g − X )( X g − X ) ′
k =1
g
（5-5）
等式（5-3）右边第二项为样本各观测向量与组中心（组均值向量）的偏差的交叉乘积 和矩阵，记为 E 矩阵（组内离差矩阵） ，即
E = ∑∑ ( X ki − X k )( X ki − X k )′ = ∑ (nk − 1)Vk
2
Hotelling T 检验与 t 检验在形式上是完全对应的。 5.2 协方差分析的基本原理 所谓协方差分析，实际上就是将线性回归分析与方差分析相结合的一种统计学分析方 法， 即先用线性回归方法消除对响应变量有影响的某个或某些定量的自变量的影响之后再作 方差分析的方法。其主要作用是控制定量的干扰因素对实验效应的影响。 在协方差分析中，通常约定：表示处理效应的变量 Y 称为响应变量，对 Y 有影响的干 （Covariables） 。 响应变量 Y 与协变量 X 的离均差积和与相应自由度的 扰因素 X 称为协变量 比值称为协方差（Covariance） 。 与方差分析的类型一样，依据实验设计类型的不同，协方差分析也有不同的类型。比如 有完全随机设计定量资料的协方差分析、 配伍组设计定量资料的协方差分析、 拉丁方设计定 量资料的协方差分析等。在协方差分析中，协变量可以只有一个，也可以有多个。当协变量 多于一个时， 称为多元协方差分析或多协变量协方差分析 （Analysis of Multiple Covariance） 。 依据资料所涉及到的响应变量（不同于协变量，且与协变量互不包含）和协变量的个数，协 方差分析可分为 4 种类型，即：一元定量资料的一元协方差分析（资料涉及一个响应变量和 一个协变量） 、一元定量资料的多元协方差分析（资料涉及一个响应变量和多个协变量） 、多 元定量资料的一元协方差分析 （资料涉及多个响应变量和一个协变量） 和多元定量资料的多 元协方差分析（资料涉及多个响应变量和多个协变量） 。 协方差分析也要求资料具备一定的条件： （1）各处理组样本应是相互独立的随机样本并具有方差齐性； （2）响应变量（ Y ）与协变量( X )具有线性关系，而且各处理组由 X 推测 Y 的总体回 归系数应相等，且不等于“零” 。
⎛ ∑ n g − m − 1 ⎞⎛ 1 − Λ* ⎞ ⎟⎜ ⎟ F =⎜ ⎜ ⎟⎜ Λ* ⎟ − m 1 ⎠ ⎝ ⎠⎝
ν 1 = 2( g − 1) , v2 = 2(∑ n g − g − 1) ν 1 = m , v2 = ∑ n g − m − 1
m ≥1
g=2
m ≥1
g =3
⎛ ∑ n g − g − 1 ⎞⎛ 1 − Λ* ⎟⎜ F =⎜ ⎜ ⎟⎜ m Λ* ⎝ ⎠⎝
X ki = μ + ( μk − μ ) + ( X ki − μk )
令 Dki = X ki − μ ，则该模型变为：
(5-1)
Dki = ( μk − μ ) + ( X ki − μk )
(5-2)
式中， X ki 为第 k 组第 i 个观测向量， Dki 为第 k 组第 i 个观测的离均差向量， μ 为总体均值 向量， μ k 为第 k 组均值向量， ( μ k − μ ) 为第 k 组的处理效应， ( X ki − μ k ) 为第 k 组第 i 个 观测的随机误差向量。 由此模型出发， 单因素设计多元定量资料多元方差分析的变异分解形式与分析方法可归 纳如下，见表 5-1。
k =1 i =1 k =1
g
ng
g
（5-6）
则有恒等式
T =H+E
（5-7）
5.1.2 多元方差分析的前提条件 与一元方差分析时要求资料满足正态性和方差齐性一样， 多元方差分析也要求资料满足 这两个前提条件，只不过是针对多元定量资料而言的，即各组资料应服从多元正态分布，组 与组之间的多元协方差矩阵应相等。 在多元的情形下， 对这些前提条件的检验都是相当困难 的。通常情况下，仅对明显偏离正态分布的单个变量作某种相应的变量变换，并假定变换后 的资料基本满足统计分析方法所要求的前提条件， 不对资料是否真正满足其前提条件作详细 检查。 5.1.3 多元方差分析的计算步骤 用 于 多 元 方 差 分 析 统 计 假 设 检 验 的 统 计 量 有 Wilks’ Lambda 、 Pillai’ s Trace 、 Hotelling-Lawley Trace 和 Roy’ s Greatest Root。当响应变量组的第一个（或最大）特征 根完全解释了响应变量组的共同变异时， 四个统计量对应的 F 值相等， 并准确地服从于 F 分 布。 当响应变量组的第一个特征根不能完全解释响应变量组的共同变异时， 四个统计量对应 的 F 值不相等，并且它们不是准确地服从于 F 分布，而是逼近 F 分布。此时 Roy 的 F 值是 上限值，为保守起见，通常选用 Wilks’ Lambda 检验法或 Hotelling-Lawley 检验法。 选用 Wilks’ Lambda 检验法时，具体计算步骤如下： 1.总变异的分解 分别按式（5-5） 、 （5-6）和（5-7）求解 H 、 E 和 T 矩阵。 2.求解 Wilks’ Λ* 统计量 Λ* 统计量是 Wilks 于 1932 年提出的一种广义方差比，也称 Wilks’ Lambda 统计量，定 义为：
k =1 i =1
k =1
g
nk
g
g
ng
（5-3）
k =1 i =1
等式（5-3）左边为所有样本观测向量与合并中心（总均值向量）偏差的交叉乘积和矩
阵，记为 T 矩阵（总离差矩阵） ，即
′ T = ∑∑ X ki X ki
k =1 i =1
g
nk
（5-4）
等式（5-3）右边第一项为样本组中心（组均值向量）与合并中心的偏差的交叉乘积和 矩阵，记为 H 矩阵（组间离差矩阵） ，即
( X i − X j )V −1 ( X i − X j )′ ，其中 i, j = 1, 2,..., g ，i ≠ j ，V −1 =
1 E ,V n−g
为多元方差分析中的合并类内方差、协方差矩阵。 5.1.5 两均值向量的 Hotelling T 检验 如前所述， 多元方差分析就是一元方差分析逻辑形式的拓展。 当一元方差分析中定性的 自变量只有两个水平时就简化为 t 检验。同样，当多元方差分析中定性的自变量只有两个水 平时就简化为 Hotelling T 检验。表 5-3 给出了单响应变量均值的 t 检验如何与多响应变 量均值向量的 Hotelling T 检验形成对应关系。
T2 =
n1 + n2 ( X1 − X 2 )′VC−2 ( X1 − X 2 ) n1 ⋅ n2 n1 + n2 − m − 1 2 T (n1 + n2 − 2)m
n + n2 ( x1 − x2 ) sc−2 ( x1 − x2 ) t = 1 n1 ⋅ n2
2Leabharlann F=由上表可见， t 检验是一元方差分析在仅有两个均值比较情况下的简化形式。同样， Hotelling T 检验也是多元方差分析在仅有两个均值向量比较情况下的简化形式。而且，