北京市2014年高考考试说明及样题(数学文)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文科)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(2014北京,文1)若集合A={0,1,2,4},B={1,2,3},则A∩B=().A.{0,1,2,3,4}B.{0,4}C.{1,2}D.{3}答案:C解析:因为集合A,B中的公共元素为1,2,所以A∩B={1,2},应选C.2.(2014北京,文2)下列函数中,定义域是R且为增函数的是().A.y=e-xB.y=x3C.y=ln xD.y=|x|答案:B解析:A项,函数y=e-x为R上的减函数;B项,函数y=x3为R上的增函数;C项,函数y=ln x为(0,+∞)上的增函数;D项,函数y=|x|在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数.故只有B项符合题意,应选B.3.(2014北京,文3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=().A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)答案:A解析:因为2a=(4,8),b=(-1,1),所以2a-b=(4-(-1),8-1)=(5,7).故选A.4.(2014北京,文4)执行如图所示的程序框图,输出的S值为().A.1B.3C.7D.15答案:C解析:开始时k=0,S=0.第一次循环,k=0<3,S=0+20=1,k=0+1=1,第二次循环,k=1<3,S=1+21=3,k=1+1=2,第三次循环,k=2<3,S=3+22=7,k=3.此时不满足条件k<3,输出结果S,即输出7.故选C.5.(2014北京,文5)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:D解析:当a=0,b=-1时,a>b成立,但a2=0,b2=1,a2>b2不成立,所以“a>b”是“a2>b2”的不充分条件.反之,当a=-1,b=0时,a2=1,b2=0,即a2>b2成立,但a>b不成立,所以“a>b”是“a2>b2”的不必要条件.综上,“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件,应选D.6.(2014北京,文6)已知函数f(x)=6-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是().xA.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)答案:C解析:由题意知f (1)=61-log 21=6>0,f (2)=62-log 22=3-1=2>0,f (4)=64-log 24=32-2=-12<0.故f (2)·f (4)<0.由零点存在性定理可知,包含f (x )零点的区间为(2,4).7.(2014北京,文7)已知圆C :(x-3)2+(y-4)2=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m>0).若圆C 上存在点P ,使得∠APB=90°,则m 的最大值为( ). A .7 B .6C .5D .4答案:B解析:因为A (-m ,0),B (m ,0)(m>0),所以使∠APB=90°的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O (0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C (3,4),半径为1.由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点. 所以两圆的位置关系为外切、相交或内切, 故m-1≤|CO|≤m+1,即m-1≤5≤m+1,解得4≤m ≤6. 所以m 的最大值为6.故选B . 8.(2014北京,文8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位:分钟)满足函数关系p=at 2+bt+c (a ,b ,c 是常数),右图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( ). A .3.50分钟 B .3.75分钟 C .4.00分钟 D .4.25分钟答案:B解析:由题中图象可知点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)在函数图象上,因此有{0.7=a ×32+b ×3+c ,0.8=a ×42+b ×4+c ,0.5=a ×52+b ×5+c ,解得{a =-0.2,b =1.5,c =-2.故p=-0.2t 2+1.5t-2,其对称轴方程为t=-1.52×(-0.2)=154=3.75.所以当t=3.75时,p 取得最大值.故选B .第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2014北京,文9)若(x+i)i =-1+2i(x ∈R ),则x= . 答案:2解析:由已知得x i +i 2=-1+2i,即x i =2i,解得x=2.10.(2014北京,文10)设双曲线C 的两个焦点为(-√2,0),(√2,0),一个顶点是(1,0),则C 的方程为 . 答案:x 2-y 2=1解析:由题意知双曲线的焦点在x 轴上,且c=√2,设其方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),又由顶点为(1,0)知a=1,所以b=√c 2-a 2=1. 故所求双曲线的方程为x 2-y 2=1.11.(2014北京,文11)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为 .答案:2√2解析:由题中三视图可知,三棱锥的直观图如图所示,其中PA ⊥平面ABC ,M 为AC 的中点,且BM ⊥AC.故该三棱锥的最长棱为PC.在Rt △PAC 中,PC=√PA 2+AC 2=√22+22=2√2.12.(2014北京,文12)在△ABC 中,a=1,b=2,cos C=14,则c= ;sin A= . 答案:2√158解析:由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=12+22-2×1×2×14=4,故c=2.所以cos A=b 2+c 2-a 22bc=22+22-122×2×2=78.故sin A=√1-cos 2A=√1-(78)2=√158. 13.(2014北京,文13)若x ,y 满足{y ≤1,x -y -1≤0,x +y -1≥0,则z=√3x+y 的最小值为 .答案:1解析:如图,作出不等式组表示的平面区域(阴影部分所示),目标函数z=√3x+y 可化为y=-√3x+z ,作出直线l 0:y=-√3x 并平移.因为k AB =-1>-√3,所以当直线过点A 时,z 取得最小值. 由{x +y -1=0,y =1,解得A (0,1),所以z 的最小值为z=√3×0+1=1.14.(2014北京,文14)顾客请一位工艺师把A,B 两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:则最短交货期为 个工作日. 答案:42解析:最短交货期为先由徒弟完成原料B 的粗加工,共需6天,然后工艺师加工该件工艺品,需21天;徒弟可在这几天中完成原料A 的粗加工;最后由工艺师完成原料A 的精加工,需15个工作日.故交货期为6+21+15=42个工作日. 三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)(2014北京,文15)已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }为等比数列.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和.分析:(1)先由等差数列{a n }中的a 1,a 4求出公差d ,即可求其通项a n ,然后根据b 1,b 4的值及{b n -a n }为等比数列,从而求出该数列的第1项和第4项,得出其公比,从而写出其通项公式,即可求得{b n }的通项.(2)根据{b n }的通项公式的结构特征即可利用分组求和的方法求得{b n }的前n 项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d=a4-a13=12-33=3.所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为32n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为1×1-2n1-2=2n-1.所以,数列{b n}的前n项和为32n(n+1)+2n-1.16.(本小题满分13分)(2014北京,文16)函数f(x)=3sin(2x+π6)的部分图象如图所示.(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;(2)求f(x)在区间[-π2,-π12]上的最大值和最小值.分析:(1)首先利用公式求得f(x)=3sin(2x+π6)的最小正周期,然后根据图形确定y0,即f(x)的最大值,再根据x0的位置即可求得其取值.(2)先根据x的范围确定2x+π6的范围,进而求得f(x)的最值.解:(1)f(x)的最小正周期为π.x0=7π6,y0=3.(2)因为x∈[-π2,-π12],所以2x+π6∈[-5π6,0].于是,当2x+π6=0,即x=-π12时,f(x)取得最大值0;当2x+π6=-π2,即x=-π3时,f(x)取得最小值-3.17.(本小题满分14分)(2014北京,文17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.分析:(1)首先利用侧棱垂直于底面得到BB1⊥AB,然后结合已知即可证得AB⊥平面BCC1B1,最后利用面面垂直的判定定理即得结论.(2)取AB的中点G,然后利用三棱柱的性质和三角形中位线性质可得GF EC1,进而转化为C1F∥EG,最后利用线面平行的判定定理证得结论.(3)先求出△ABC的三边长,由已知可得该三棱锥的高等于AA1,然后代入锥体体积公式即得结果.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG=12AC.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)解:因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=√AC2-BC2=√3.所以三棱锥E-ABC的体积V=13S△ABC·AA1=13×12×√3×1×2=√33.18.(本小题满分13分)(2014北京,文18)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;(2)求频率分布直方图中的a,b的值;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)分析:(1)直接根据频率分布表中的数据求出相应事件的频数,然后代入频率公式求值.(2)先根据频率分布表中的数据求出相应范围内的频率,然后根据频率分布直方图中纵轴表示频率组距即可求出a,b的值.(3)根据频率分布直方图数据的分布情况即可估计平均数所在位置.解:(1)根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名,所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1-10100=0.9.从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人,频率为0.17,所以a=频率组距=0.172=0.085.课外阅读时间落在组[8,10)的有25人,频率为0.25,所以b=频率组距=0.252=0.125.(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.19.(本小题满分14分)(2014北京,文19)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点.若点A 在直线y=2上,点B 在椭圆C 上,且OA ⊥OB ,求线段AB 长度的最小值.分析:(1)先把方程化为标准方程,分别求出a ,c ,即可求其离心率e.(2)分别设出A ,B 两点的坐标,先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系,然后用相应坐标表示出|AB|2,代入坐标之间的关系,根据代数式的结构特征求其最值. 解:(1)由题意,椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1. 所以a 2=4,b 2=2,从而c 2=a 2-b 2=2.因此a=2,c=√2. 故椭圆C 的离心率e=c a=√22.(2)设点A ,B 的坐标分别为(t ,2),(x 0,y 0),其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即tx 0+2y 0=0,解得t=-2y0x 0.又x 02+2y 02=4,所以|AB|2=(x 0-t )2+(y 0-2)2=(x 0+2y 0x 0)2+(y 0-2)2=x 02+y 02+4y 02x 02+4=x 02+4-x 022+2(4-x 02)x 02+4=x 022+8x 02+4(0<x 02≤4). 因为x 022+8x 02≥4(0<x 02≤4),且当x 02=4时等号成立,所以|AB|2≥8.故线段AB 长度的最小值为2√2.20.(本小题满分13分)(2014北京,文20)已知函数f (x )=2x 3-3x. (1)求f (x )在区间[-2,1]上的最大值;(2)若过点P (1,t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切,求t 的取值范围;(3)问过点A (-1,2),B (2,10),C (0,2)分别存在几条直线与曲线y=f (x )相切?(只需写出结论)分析:(1)先求函数f (x )的导函数f'(x ),然后求出f'(x )=0的解,进而比较这些值与区间端点处的函数值的大小,即可求得最大值.(2)设出切点坐标(x 0,y 0),利用导数的几何意义表示出切线方程,由切点在曲线上及切线过点P 将切线方程化为关于x 0的三次方程,从而将已知转化为方程有三个解,构造相应函数,转化为函数图象与x 轴有三个交点,利用导数研究单调性和极值,利用极值和0的大小关系构造不等关系,从而求得t 的取值范围.(3)根据(2)中的结论,比较纵坐标与t 的大小,即可写出相应的结论. 解:(1)由f (x )=2x 3-3x 得f'(x )=6x 2-3,令f'(x )=0,得x=-√22或x=√22.因为f (-2)=-10,f (-√22)=√2,f (√22)=-√2,f (1)=-1,所以f (x )在区间[-2,1]上的最大值为f (-√22)=√2.(2)设过点P (1,t )的直线与曲线y=f (x )相切于点(x 0,y 0),则y 0=2x 03-3x 0,且切线斜率为k=6x 02-3, 所以切线方程为y-y 0=(6x 02-3)(x-x 0), 因此t-y 0=(6x 02-3)(1-x 0).整理得4x 03-6x 02+t+3=0, 设g (x )=4x 3-6x 2+t+3,则“过点P (1,t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”. g'(x )=12x 2-12x=12x (x-1). g (x )与g'(x )的情况如下:所以,g (0)=t+3是g (x )的极大值,g (1)=t+1是g (x )的极小值.当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(0)>0,且g(1)<0,即-3<t<-1时,因为g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点.综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.。

绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．210．221x y -=11．12．213．1 14．42三、解答题（共6小题，共80分） 15．（共13分）【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得 344112012843b a q b a --===--，解得2q =． 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=，，⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×．所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．16．（共13分）【解析】⑴ ()f x 的最小正周期为π07π6x =． 03y =⑵ 因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0； 当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-．17．（共14分） 解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥． 又因为AB BC ⊥．所以AB ⊥平面11B BCC ．所以平面ABE ⊥平面11B BCC ．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ．因为E ，F 分别是11AC ，BC 的中点， 所以FG AC ∥，且12FG AC =．因为11AC AC ∥，且11AC AC =， 所以1FG EC ∥，且1FG EC =． 所以四边形1FGEC 为平行四边形． 所以1C F EG ∥．又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ， 所以1C F ∥平面ABE ．（Ⅲ）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB ． 所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯=△18．（共13分） 解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210++=名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以 0.170.0852a ===频率组距． 课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距．（Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．GC 1B 1A 1FE CBA19．（共14分） 解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c =故椭圆C的离心率c e a ==． （Ⅱ）设点A ，B 的坐标分别为()2t ，，()00x y ，，其中00x ≠．因为OA OB ⊥， 所以0OA OB ⋅=， 即0020tx y +=，解得02y t x =-． 又220024x y +=，所以()()222002AB x t y =-+-()22000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2220002044y x y x =+++()2202224442x x x x --=+++ ()22002084042x x x =++<≤． 因为()22002084042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥．故线段AB长度的最小值为20.（共13分） 解：（Ⅰ）由()323f x x x =-得()263f x x '=-. 令()0f x '=，得x =或x =. 因为()210f -=-，2f ⎛ ⎝⎭()112f f ⎛==- ⎝⎭所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝⎭（Ⅱ）设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，， 则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，因此()()2000631t y x x -=-- .整理得32004630x x t -++=.设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”.()()21212121g x x x x x '=-=-. ()g x 与()g x '的情况如下：)所以，(0)g 当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，，所以()g x 分别在区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有1个零点.由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调，所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点. 综上可知，当过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()31--， . （Ⅲ）过点()12A -， 存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点()210B ，存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()02C ，存在1条直线与曲线()y f x =相切.：。

绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}2．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y＝e﹣x B．y＝x C．y＝lnx D．y＝|x|3．（5分）已知向量＝（2，4），＝（﹣1，1），则2﹣＝（）A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．155．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x）＝﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）7．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．48．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若（x+i）i＝﹣1+2i（x∈R），则x＝．10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为．11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．12．（5分）在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝；sin A＝．13．（5分）若x，y满足，则z＝x+y的最小值为．14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序粗加工精加工。

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B = （ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x =3.已知向量()2,4a = ，()1,1b =-，则2a b -= （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.155.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中， 包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ， 使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟） 满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数）， 图中记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据， 可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 10.设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.侧（左）视图正（主）视图12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 13.若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y +的最小值为 .14.顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 工作日.三、解答题共6小题，共80分。

2014高考北京（文）一、选择题1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B. 3y x =C.ln y x =D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.155.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数26()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >.若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟二、填空题9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 10.设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.侧（左）视图正（主）视图12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 13.若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为 .14.顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 工作日. 三、解答题15.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.16.（本小题满分13分）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，=1BC ，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE CBA18. （本小题满分13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的,a b 的值； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）19. （本小题满分14分）已知椭圆C ：2224x y +=. （1） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.20. （本小题满分13分）已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）参考答案一、选择题 1.C解析：∵{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，∴{}{}{}0,1,2,41,2,31,2A B ==故选：C考点：1.1.3集合的基本运算 难度：A备注：高频考点 2.B解析：函数的定义域为R ，但函数为减函数，不满足条件． B ．函数的定义域为R ，函数增函数，满足条件． C ．函数的定义域为0+∞（，），函数为增函数，不满足条件． D ．函数的定义域为R ，在0+∞（，）上函数是增函数，在-0∞（，）上是减函数，不满足条件． 故选A ．考点：（1）2.1.5求函数的定义域；（2）2.2.1函数单调性的判断；（3）2.4.3指数函数的性质及应用．（4）2.5.2对数函数的图象与性质. 难度： A 备注：概念题 3． A解析：由a=2,4（），b=-1,1（），得： 2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(4,8)-(-1,1)=(5,7)．故选：A考点： 5.2.2向量坐标的基本运算. 难度：A备注：细节题 4． C解析：由程序框图知：算法的功能是求12s 1222k =++++的值，∵跳出循环的k 值为3， ∴输出12s 122=7=++． 故选：C ．考点：11.1.3程序框图的识别及应用． 难度：A备注：典型题 5．D解析：因为a ，b 都是实数，由a b >，不一定有22a b >，如﹣2＞﹣3，但22-2-3>（）（），所以“a b >”是“22a b >”的不充分条件；反之，由22a b >也不一定得a b >，如22-3-2>（）（），但-3<-2，所以“a ＞b”是“22a b >”的不必要条件． 故选D 考点：（1）1.3.1充分、必要、充要条件的概念与判断；（2）7.1.1不等式的性质；（3）7.1.2比较实数或代数式的大小；（4）13.2.5检验法． 难度：B备注：易错题 6． C解析：方法一：∵26()log =-f x x x，∴(2)20=>f ，1(4)-02=<f ，满足(2)(4)0<f f ，∴()f x 在区间2,4（）内必有零点，故选：C方法二：在同一坐标系中作出函数h 6()=x x与g 2()=log x x 的大致图像，如图所示，可得()f x 的零点所在的区间为2,4（）．（2）2.8.3函数图像的应用；（3）13.1.1函数与方程思想． 难度：B备注：一题多解 7．B解析：圆C ：22-3)(4)1（+-=x y 的圆心C(3,4)，半径为1， ∵圆心C 到O(0,0)的距离为5，∴圆C 上的点到点O O 的距离的最大值为6．再由0APB=90∠，以A 为直径的圆和圆C 有交点，可得1PO=AB=m 2，故有4m 6≤≤， 故选：B ．考点：（1）8.3.3与圆有关的轨迹问题；（2）8.3.2与圆有关的最值问题；（3）13.2.7边界值法；（4）13.1.4化归与转化思想． 难度：C备注：典型题 8．B解析：将3,0.7（），4,0.8（），（5,0.5）分别代入2p +b at t c =+，可得0.7=9a 30.81640.5255b c a b c a b c ++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得a 0.2=-，b 1.5=，c 2=-， ∴2p 0.2+1.5-2t t =，对称轴为 1.5t =3.752(0.2)=-⨯- ．故选：B ．考点：（1）2.10.1一次、二次函数模型；（2）13.2.10待定系数法；（3）2.6.5二次函数的图象与性质．（4）13.1.4化归与转化思想． 难度：C备注：创新题二、填空题 9．2解析：()12x i i i +=-+，∴1-12x i i -+=+，由复数相等可得2x =，故答案为：2 考点： 11.2.2复数的代数运算. 难度：A备注：基础题 10．22x 1y -=解析：双曲线C的两个焦点为（），），一个顶点是10（，），∴c =a 1=，∴b 1=，∴C 的方程为22x 1y -=．故答案为：22x 1y -=． 考点：（1）8.6.1双曲线的定义；（2） 8.6.2双曲线的标准方程. 难度：A备注：概念题 11．解析：由主视图知CD ⊥平面ABC ，设AC 中点为E ，则BE AC ⊥，且AE=CE=1；由左视图知CD=2，BE=１，在Rt BCE中，Rt D BC中， 在Rt A D C中，考点：（1）9.1.2几何体的三视图；（2）13.1.2数形结合思想. 难度：B备注：易错题，典型题 12． 2解析：∵在ABC 中，1a =，b 2=，1cosC 4=， ∴由余弦定理得：222c 2cos a b ab C =+-=1+4-1=4，即c 2=；∵1cosC 4=，C 为三角形内角，∴sin C∴由正弦定理a sin sin c A C =得：sin sin a C A c=14==28故答案为：2 考点：（1）4.6.1利用正弦定理求解三角形（2）4.6.2利用余弦定理求解三角形 （3）13.1.2数形结合思想. 难度：B备注：典型题 13． 1.解析：由约束条件y 11010x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图，化目标函数z y +为z y =+，由图可知，当直线z y =+过C 0,1（）时直线在y 轴上的截距最小．此时min011z=+=．故答案为：1．考点：（1）7.4.2求线性目标函数的最值问题；（2）13.1.2数形结合思想. 难度：B备注：高频考点 14． 42.解析：由题意，徒弟利用6天完成原料B 的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A 的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42个工作日．故答案为：42．考点： 11.1.1算法的意义与设计. 难度：A . 备注：基础题 三、解答题15．(1)132n 2n n b n -=+（=1，，).；(2)3(1)212n n n ++-. 解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：41123333a a d --===， 所以1(1)3(1,2,)n a a n d n n =+-==，设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得：344112012843b a q b a --===--，解得2q =. 所以1111()2n n n n b a b a q---=-=，从而132n 2n n b n -=+（=1，，).（II ）由（1）知，132n 2n n b n -=+（=1，，)， 数列{}3n 的前n 项和为3(1)2n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -⨯=--，所以数列{}n b 的前n 项和为3(1)212nn n ++-.考点:（1）6.3.2等比数列的定义及判定；（2）6.3.4等比数列的前n 项和及综合应用；（3）13.1.4化归与转化思想. 难度：B 备注：典例.16．（1）π，076x π=，03y =；（2）0，-3. 解：（I ）()f x 的最小正周期为π，076x π=，03y =.（II ）因为,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以52,066x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，于是当206x π+=，即12x π=-时，()f x 取得最大值0；当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 取得最小值-3.考点:（1）4.3.2三角函数的单调性与周期性；（2）4.4.1作y=Asin(wx+φ）的图象及图像变换. 难度：A备注：细节题；典例..17．(1) (2) 详见解析；（3解析：（I ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，所以1BB A ⊥Ｂ， 又因为AB BC ⊥，所以AB ⊥平面11B BCC ，所以平面ABE ⊥平面11B BCC . （II ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ，因为E ，F 分别是11AC 、BC 的中点，所以FG AC ，且1FG=AC 2， 因为11A C AC ，且11A C =AC ，所以1FG EC ，且1FG=EC ， 所以四边形1FG EC 为平行四边形，所以1//E C F Ｇ， 又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ， 所以1//C F 平面ABE .（III ）因为1AA =AC 2=，BC ＝１，AB BC ⊥，所以 所以三棱锥E ABC -的体积为：ABC11V=S AA311=12=323⨯⨯.C 1B 1A 1FE CBA考点:（1）9.5.2平面与平面垂直的判定与性质；（2）9.4.3线面、面面平行的综合应用；（3）9.2.2几何体的体积. 难度：B备注：典型题.18．(1) 0.9 (2)a 0.0085=；b 0.125=（3）第四组. 解析：（I ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6=2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是101-=0.9100. 从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.（II ）课外阅读时间落在组[)4,6的有17人，频率为0.17，所以0.17a ==0.0852=频率组距， 课外阅读时间落在组[)8,10的有25人，频率为0.25，所以0.25b ==0.1252=频率组距. （III ）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.考点:（1）10.2.1频率分布直方图的绘制与应用；（2）10.2.3用样本的数字特征估计总体的数字特征；（3）13.2.9估算法. 难度：B备注：典型题；易错题. 19．(1)2；(2)解析：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=，所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=2222c a b =-=，因此2,a c =C的离心率c e a ==（II ）设点A ，B 的坐标分别为00)(,2),(,t x y ，其中00x ≠，因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即0020t x y +=，解得02y t x =-，又220024x y +=， 所以22200()(2)AB x t y =-+-2222200000020024()(2)4y y x y x y x x =++-=+++= 2220002042(4)42x x x x --=+++2200284(04)2x x x =++<≤， 因为22002084(04)2x x x +≥<≤，且当204x =时间等号成立，所以28AB ≥， 故线段AB长度的最小值为考点:（1）8.5.3椭圆的几何性质；（2）8.8.6圆锥曲线的最值（或取值范围）问题；（3）8.2.3距离公式的应用；（4）7.3.2利用基本不等式求最值；（5）13.1.4化归与转化思想；（6）13.1.2数形结合思想。

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

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第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =I （ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x =3.已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r，则2a b -=r r （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,94.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.155. 设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 6. 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞ 7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共6页，150分。

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第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题。

每小题5分.共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3（2）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x =（3）已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.15（5）设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件（6）已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞（7）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2014年高考北京卷数学文试题及答案解析一、选择题1.[2014•北京文卷]若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 【答案】C【解析】{}{}{}2,13,2,14,2,1,0== B A . 2. [2014•北京文卷]下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x =【答案】B【解析】由定义域为R 排除选项C ，定义域单调递增排除选项A 、D. 3. [2014•北京文卷]已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】2a －b =()()()7,51,14,22=--.4. [2014•北京文卷]执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. B.3 C.7 D.15输出【答案】C【解析】7222210=++=S . 5. [2014•北京文卷]设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 【答案】D【解析】当0<⋅b a 时，由b a >推不出22b a >，反之也不成立. 6. [2014•北京文卷] 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C 【解析】在同一坐标系中作函数()xx h 6=与()x x g 2log =的图象如图，可得()x f 零点所在区间为()4,2. 7. [2014•北京文卷]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由图可知当圆C 上存在点P 使O =∠90APB ，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，∴143122+≤+≤-m m ，解之得64≤≤m .8. [2014•北京文卷]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图 O 5430.80.70.5t p记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 【答案】B【解析】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 5255.04168.0397.0，解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=25.12.0c b a ，∴()0625.075.32.025.12.022+--=-+-=t t t p ，即当75.3=t 时，P 有最大值.二、填空题9. [2014•北京文卷]若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 【答案】2【解析】∵()i xi i i x 211+-=+-=+，∴2=x . 10. [2014•北京文卷]设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为()0,m A -()0,m BP. 【答案】122=-y x【解析】由题意设双曲线方程1222=-by x ，又∵()2221=+b ，∴12=b即双曲线方程为122=-y x .11. [2014•北京文卷]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .俯视图侧（左）视图正（主）视图11122【答案】 22【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且ABC PB 面⊥，2=PB ，2,2===BC AC AB ，222222=+=PA ，()62222=+=PC .12. [2014•北京文卷]在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 【答案】2、815PBAC【解析】由余弦定理得24112241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=C ab b a c ，即2=c ； 872221442cos 222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，∴815871sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=A . 13. [2014•北京文卷]若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为 .【答案】1【解析】可行域如图，当目标函数线x y z 3+=过可行域内A 点时，z 有最小值，联立⎩⎨⎧=-+=011y x y ，解之得()1,0A ，11103min =⨯+⨯=Z .14. [2014•北京文卷] 【答案】42【解析】交货期最短即少耽误工期，所以先让徒弟加工原料B ，交货期为4215216=++天. 顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都则最短交货期为 工作日. 15. [2014•北京文卷]已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.1=y 01=--y x 01=-+y x xy 3-=A（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得·· 344112012843b a q b a --===--，解得2q =． 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=，，⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×． 所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．16. [2012•北京文卷] 函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. Oy xy 0x 0【解析】⑴ ()f x 的最小正周期为π07π6x =． 03y =⑵ 因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-． 17. [2014•北京文卷]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE CBA解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥． 又因为AB BC ⊥．所以AB ⊥平面11B BCC ．所以平面ABE ⊥平面11B BCC ．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ． 因为E ，F 分别是11A C ，BC 的中点，所以FG AC ∥，且12FG AC =．因为11AC A C ∥，且11AC A C =， 所以1FG EC ∥，且1FG EC =． 所以四边形1FGEC 为平行四边形． 所以1C F EG ∥．又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ，GC 1B 1A 1FE CBA所以1C F ∥平面ABE ．（Ⅲ）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB ==． 所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯=△． 18. [2014•北京文卷]从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210++=名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距． 课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距． （Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． 19. [2014•北京文卷] 已知椭圆C ：2224x y +=. （1） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． 所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c =故椭圆C的离心率c e a =．（Ⅱ）设点A ，B 的坐标分别为()2t ，，()00x y ，，其中00x ≠．因为OA OB ⊥， 所以0OA OB ⋅=， 即0020tx y +=，解得02y t x =-． 又220024x y +=，所以 ()()222002AB x t y =-+-()22000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2220002044y x y x =+++()2202224442x x x x --=+++ ()22002084042x x x =++<≤． 因为()22002084042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB长度的最小值为 20. [2014•北京文卷] 已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论） 解：（Ⅰ）由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得x =或x =.因为()210f -=-，f ⎛= ⎝()11f f ==-所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝. （Ⅱ）设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，因此()()2000631t y x x -=-- . 整理得3204630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.()g x 与()g x '的情况如下：)所以，(0)g t =当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，，所以()g x 分别在区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有个零点.由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调，所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点.综上可知，当过点()1P t ，存在条直线与曲线()y f x =相切时，的取值范围是()31--， . （Ⅲ）过点()12A -， 存在条直线与曲线()y f x =相切；过点()210B ，存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()02C ， 存在条直线与曲线()y f x =相切.：。