有限差分法解微分方程两点边值问题

有限差分法科技名词定义中文名称：有限差分法英文名称：finite difference method其他名称：差分法定义：力学中将求解微分方程问题转化为求解差分方程的一种数值解法。

所属学科：水利科技（一级学科）；工程力学、工程结构、建筑材料（二级学科）；工程力学（水利）（三级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布目录有限差分法英文主要内容编辑本段有限差分法微分方程和积分微分方程数值解的方法。

基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。

有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：1、区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；2、近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；3、逼近求解。

换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程（Leon，Lapidus，George F.Pinder，1985）编辑本段英文finite difference method编辑本段主要内容如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。

此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。

对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。

1. 引言有限差分法（Finite Difference Method，FDM）是一种求解微分方程数值解的近似方法，其主要原理是对微分方程中的微分项进行直接差分近似，从而将微分方程转化为代数方程组求解。

有限差分法的原理简单，粗暴有效，最早由远古数学大神欧拉（L. Euler 1707-1783）提出，他在1768年给出了一维问题的差分格式。

1908年，龙格（C. Runge 1856-1927）将差分法扩展到了二维问题【对，就是龙格-库塔法中的那个龙格】。

但是在那个年代，将微分方程的求解转化为大量代数方程组的求解无疑是将一个难题转化为另一个难题，因此并未得到大量的应用。

随着计算机技术的发展，快速准确地求解庞大的代数方程组成为可能，因此逐渐得到大量的应用。

发展至今，有限差分法已成为一个重要的数值求解方法，在工程领域有着广泛的应用背景。

本文将从有限差分法的原理、基本差分公式、误差估计等方面进行概述，给出其基本的应用方法，对于一些深入的问题不做讨论。

2. 有限差分方法概述首先，有限差分法是一种求解微分方程的数值方法，其面对的对象是微分方程，包括常微分方程和偏微分方程。

此外，有限差分法需要对微分进行近似，这里的近似采取的是离散近似，使用某一点周围点的函数值近似表示该点的微分。

下面将对该方法进行概述。

2.1. 有限差分法的基本原理这里我们使用一个简单的例子来简述有限差分法的基本原理，考虑如下常微分方程\begin{cases} u'(x)+c(x)u(x)=f(x), \quad x \in [a, b]; \\u(x=a) = d \end{cases} \tag{1}微分方程与代数方程最大的不同就是其包含微分项，这也是求解微分方程最难处理的地方。

有限差分法的基本原理即使用近似方法处理微分方程中的微分项。

为了得到微分的近似，我们最容易想到的即导数定义u'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\approx \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \tag{2}上式后面的近似表示使用割线斜率近似替代切线斜率，\Delta x 即为步长，如图 1(a)所示。

有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种常见的数值方法，用于求解偏微分方程。

然而，并非所有的方程都可以通过有限差分法来求解。

本文将讨论有限差分法不能求解的方程，并探讨其原因。

一、有限差分法求解的方程类型有限差分法主要用于求解偏微分方程，尤其是常见的热传导方程、扩散方程和波动方程等。

这些方程通常可以通过有限差分法离散化空间和时间，从而转化为代数方程组，再通过迭代等方法求解。

二、有限差分法不能求解的方程类型然而，并非所有的偏微分方程都适合用有限差分法求解。

以下是一些有限差分法不能求解的方程类型：1. 非线性偏微分方程：有限差分法主要适用于线性偏微分方程，对于非线性偏微分方程，由于其复杂的性质和解的多样性，有限差分法往往难以适用。

2. 高阶偏微分方程：有限差分法通常只适用于一阶和二阶偏微分方程，对于高阶偏微分方程，需要进行更复杂的离散化处理，难以直接通过有限差分法求解。

3. 变系数偏微分方程：对于系数随空间或时间变化的偏微分方程，有限差分法往往难以准确描述其变化规律，因此难以求解。

4. 非线性边值问题：对于带有非线性边值条件的偏微分方程，有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。

三、原因分析有限差分法不能求解某些偏微分方程的原因主要包括以下几点：1. 离散化处理困难：一些复杂的方程很难通过简单的差分离散化处理转化为代数方程组，从而难以应用有限差分法求解。

2. 解的多样性：对于非线性偏微分方程和非线性边值条件，解的多样性导致有限差分法往往无法准确描述其解的特性。

3. 稳定性和收敛性难以保证：对于一些特殊的偏微分方程，由于有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。

四、解决方法针对有限差分法不能求解的方程，可以考虑以下解决方法：1. 使用其他数值方法：对于非线性偏微分方程和高阶偏微分方程，可以考虑使用有限元法、有限体积法等其他数值方法进行求解。

2. 手工推导精确解：对于一些特殊的偏微分方程，可以尝试手工推导其解析解，从而获得准确的解。

两点边值问题的有限元法（原创版）目录1.引言2.两点边值问题的定义和背景3.有限元法的基本原理4.两点边值问题在有限元法中的应用5.结论正文1.引言在数学和工程领域中，两点边值问题是一个广泛研究的问题。

给定一个函数，它在两个边界点上具有已知的函数值，要求找到这个函数。

这类问题在物理、力学、金融等多个领域都有实际应用。

为了解决这类问题，有限元法作为一种数值计算方法，被广泛应用于求解两点边值问题。

2.两点边值问题的定义和背景两点边值问题是指给定一个函数 f(x)，已知它在 x=a 和 x=b 两个边界点上的函数值，即 f(a) 和 f(b)，要求找到满足这两个边界条件的函数 f(x)。

这个问题可以表示为：f(a) = g(a)f(b) = g(b)其中 g(x) 是已知函数。

这个问题的求解在数学和工程领域具有重要意义，因为它可以用于解决许多实际问题，如流体力学、热传导、电磁场等。

3.有限元法的基本原理有限元法是一种数值计算方法，它通过将连续的求解域离散化为有限个单元，然后用基函数的线性组合来表示每个单元内的解。

这种方法可以有效地降低问题的维数，从而简化求解过程。

有限元法的基本步骤包括：建立有限元模型、选择基函数、组装方程、求解方程等。

4.两点边值问题在有限元法中的应用在有限元法中，两点边值问题可以通过以下步骤求解：（1）建立有限元模型：将求解域划分为有限个小区间，每个小区间用一个基函数表示。

（2）选择基函数：在每个小区间内选择一个适当的基函数，如多项式函数、三角函数等。

（3）组装方程：将基函数的线性组合表示的解代入两点边值问题的边界条件，得到一组线性方程。

（4）求解方程：用数值方法求解这组线性方程，得到每个小区间内的解。

（5）组装解：将每个小区间内的解组装起来，得到整个求解域内的解。

通过以上步骤，有限元法可以有效地求解两点边值问题。

这种方法具有较高的灵活性和广泛的适用性，可以应用于各种实际问题。

5.结论本文介绍了两点边值问题的有限元法求解方法。

西京学数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数0901学号0912020107姓名李亚强微分方程组边值问题数值算法（打靶法，有限差分法）实验课题熟悉微分方程组边值问题数值算法（打靶法，有限差实验目的分法）运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中实验要求一种语言完成微分方程组边值问题数值算法（打靶法，有限差分法）实验内容成绩教师实验二十七实验报告1、实验名称：微分方程组边值问题数值算法（打靶法，有限差分法）。

2、实验目的：进一步熟悉微分方程组边值问题数值算法（打靶法，有限差分法）。

3、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计。

4、实验原理：1．打靶法：对于线性边值问题(1)⎩⎨⎧==∈=+'+''βα)(,)(],[)()()(b y a y b a x x f y x q y x p y 假设是一个微分算子使：L ()()Ly y p x y q x y '''=++则可得到两个微分方程：，，)(1x f Ly =α=)(1a y 0)(1='a y ，， (2)⇔)()()(111x f y x q y x p y =+'+''α=)(1a y 0)(1='a y ，，02=Ly 0)(2=a y 1)(2='a y ，， (3)⇔0)()(222=+'+''y x q y x p y 0)(2=a y 1)(2='a y 方程（2），（3）是两个二阶初值问题.假设是问题1y（2）的解，是问题（3）的解，且，则线性边值问2y 2()0y b ≠题（1）的解为: 。

1122()()()()()y b y x y x y x y b β-=+2．有限差分法：基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似， 积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组 ， 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

有限差分法有限差分法finite difference method微分方程和积分微分方程数值解的方法。

基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。

此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。

对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。

另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。

此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。

因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。

前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。

只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。

关于差分格式的构造一般有以下3种方法。

最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。

另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。

此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。

偏微分方程数值解 第一次大作业0 问题重述求解边值问题：2()2(sin cos cos sin ),(,)(0,1)(0,1)0,(,)x y u e x y x y x y G u x y Gππππππ+∆=+∈=⨯=∈∂其精确解为()(x,y)sin sin x y u e x y πππ+=+——分别取步长h=1/64,1/128，做五点差分格式，用雅可比方法，高斯赛德尔方法和共轭梯度法解差分方程，并比较精度与迭代步数1 方程的导出设在x ，y 方向均取N 个网格，步长h=1/N 。

对拉普拉斯算子中的二阶导数项用二阶中心差商代替，离散化后得到逼近该问题的差分方程：21,,11,,1,,,1(),,1,2,...,1440,,0 ,i j i j i j i j i j i j i j h u u u u u f i j N u i j or i j N--+++++-==-=== 其中：2(),2(sin cos cos sin )ih jh i j f eih jh ih jh ππππππ+=+这样，便得到了相应的差分方程，理论上已经可以通过求解线性方程组进行解的数值逼近2 代数方程组的构建问题已经转化为构建并求解如上所示的（N-1）X （N-1）维的线性方程组。

这里我们首先将空间网格点,i j u 拉成向量11121121(1)11(,,...,,,....,,...,)T N N i j N N u u u u u u u --+--=其系数矩阵也会发生相应的变化。

为了更方便得构建出系数矩阵，这里先引入边界点，即引入0001010,1112121(1)(,,...,,,,...,,,....,,...,)T N N N i j NN u u u u u u u u u u u ++=初始化矩阵A 为（N+1）阶零方阵。

对i ，j=1,2，…，N-1进行赋值：A((i0-1)(N+1)+j0,(i0-1)(N+1)+j0)=-1;A((i0-1)(N+1)+j0,(i0-1-1)(N+1)+j0)=1/4;A((i0-1)(N+1)+j0,(i0-1)(N+1)+j0-1)=1/4;A((i0-1)(N+1)+j0,(i0+1-1)(N+1)+j0)=1/4;A((i0-1)(N+1)+j0,(i0-1)(N+1)+j0+1)=1/4;由于边界条件中函数在边界点的取值是0，上述操作相当于在网格内点运算的同时考虑到了边界条件。