第5章 均匀平面电磁波在无界空间中的传播

π 2
Exm = Eym = Em ,
y
E
x
Ex = Em cos(ωt + φx ) , Ey = −Em sin(ωt + φx )
合成后
⎧ E = Ex 2 + E y 2 = Em = const ⎪ ⎪ (ϕ y − ϕ x = π ) ⎨ Ey ⎧ ⎪−(ωt + ϕ x ) 2 ⎪ α = arctg =⎨ Ex ⎪ωt + ϕ x ⎪ (ϕ y − ϕ x = − π ) ⎩ ⎩ 2
E = E0e− jkez i r
若均匀平面波沿 en方向传播,如图所示。 其等相位面是垂直于 en 的平面，其方程为
x P r
en P0
en ir = const
则电场矢量
且
k = en k
y
沿任意方向传播的波 且由 ∇ i E = 0，可得
z
E = E0e− jken i r = E0e− jk ir
将 k = ω µε
1 ⎧ ε = ε = F /m ⎪ 0 36π × 109 自由空间 ⎨ ⎪ µ = µ = 4π × 10 −7 H / m 0 ⎩
v=
ω = k
1 µε
得自由空间中电磁波的相速度 v = c = 3 × 108 m / s 对于 Ex − = Exme jkz，它表示以相同速度v 沿（-z）方向传播的正弦波。
1 ∂E x+ H =− jωµ ∂z
+ y
将 Ex+ = Exme− jkz 其瞬时值形式 1 Exm cos (ωt − kz ) η ——媒质的本征阻抗
=
k 将 k = ω µε Exme− jkz ωµ ε 1 = Exme− jkz = Ex+ µ η
H = ey
E+ x µ 式中 η = + = H y ε
通解
Ex = A1e− jkz + A2e jkz
二、传播特性 (1)
Ex = A1e− jkz + A2e jkz
沿-z方向传播的波
A1、A2
由边界条件决定
沿+z方向传播的波
A1 = E1m e jφ1、A2 = E2 m e jφ2
将第一项写为瞬时值形式(沿+z方向传播的波)
− jkz jωt Ex+ ( z, t ) = Re ⎡ A e e ⎤ 1 ⎣ ⎦ = Exm cos (ωt − kz + φx )
波形每隔 2mπ 重复一次，因 此定义空间周期，又称波长
λ=
2π k
(m)
O
π
2π
3π
kz
每 2π 空间距离内所包含的 波长数即是波数
k=
2π λ
( rad/m )
kz 为空间相位，故波的等相面是z为常数的平面--平面波
由均匀平面波的表示式 Ex+ ( z, t ) = Exm cos (ωt − kz ) 可知，其时空特性分别依 赖于角频率 ω 和波数 k 。
T=
2π ω
(s )
每一秒钟时间波形变化的 周期数即是频率 O
π 2π 3π
ωt f =
1 ω = T 2π
( Hz )
ω 称为角频率
采用空间观察方式，可令 ωt = 0, φ X = 0 。 这时电场可表示为
Ex+ ( z,0) = Exm cos ( −kz ) = Exm cos(kz)
E x+
5.2
1、极化的定义
电磁波的极化
◇波的极化：指空间某固定位置处电场矢量随时间变化的特性。 ◇极化的描述：用电场强度E 矢量末端随时间变化的轨迹来描述波的极化。 二、极化的分类 ◇直线极化：电场仅在一个方向振动，即电场强度矢量端点的轨迹是一条直线。 ◇圆极化： 电场强度矢量端点的轨迹是一个圆。 ◇椭圆极化： 电场强度矢量端点的轨迹是一个椭圆。 ◇注意：电磁波的极化方式由辐射源（即天线）的性质决定。 三、极化的判断 两个相互正交的线极化波叠加，可得到不同极化方式的合成波。 由电磁波电场场量和磁场场量两个正交分量间的幅度和相位关系， 可以判断波的极化方式。
E ( z, t ) = ex Ex ( z, t )
= ex Em cos (ωt − kz + ϕ )
Em = 10−4 V/m
ω = 2πf = 2π×108 rad/s
4π k = ω εµ = rad/m 3
?
由条件t=0,z=1/8 m时，电场等于其振幅值， 得
1 ω ×0 − k × +ϕ = 0 8 1 4π 1 π ⇒ϕ = k × = × = 8 3 8 6
相伴的磁场
1 1 H = en × E = en × E0e − jk •r η η
en i E0 = 0
即电场矢量的方向垂直于传播方向
沿任意方向传播的均匀平面波电场与磁场相互 垂直且垂直于传播方向
例 频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿 +z 方向传播，介质的特性参数为 ε r = 4, µr = 1, σ = 0 。设电场沿x方向，即 E = ex Ex当 t=0,z=1/8 m时，电场等于其振幅值 10−4 V/m 。试求 （1）电场和磁场的瞬时 表达式；（2）波的传播速度；（3）平均坡印廷矢量。(教材例5.1.1) 解： （1）写出电场强度瞬时表示式
1 1 H = ez × E = ez × E0e− jkz η η
z H x P(x,y,z) z y
波的等相位面
r
其等相位面为 z = const 等相位面上一点P 的位置矢径为 r = ex x + e y y + ez z 则 z = const 可表式为 r ⋅ e z = const
于是沿+z方向传播的均匀平面波可写为
（2） 平面波电场和磁场的关系 与E 相伴的磁场H 可由 ∇ × E = − jωµ H 求得
ex ∂ ∇× E = ∂x E x+
得
ey ∂ ∂y 0
ez ∂ = − jωµ ( e x H x + e y H y + e z H z ) ∂z 0
H=
1 ez × E 或 E = η H × ey
= ϕ
x
或 ϕ
y
−ϕ
x
= π
y
x
直线极化的平面波
合成波电场大小随时间变化，但矢端轨迹与x轴夹角不变。
若 E 的变化轨迹在 向的线极化波。
轴上 ( α = 0 ) ，称为
轴取
若 E 的变化轨迹在 y 轴上 ( α = 90 � ) ，称为 y轴取向 的线极化波。
（2） 圆极化 令 ϕ y − ϕx = ± 得
合成后
2 2 2 ⎧ E = Ex2 + E y = E xm + E ym cos(ωt + φx ) ⎪ ⎪ Eym ⎧ ⎪ arctg = const (ϕ y − ϕx = 0) ⎨ ⎪ Exm ⎪ α = arctg Ey = ⎪ ⎨ ⎪ Eym Ex ⎪ − arctg = const (ϕ y − ϕx = π ) ⎪ ⎩ ⎪ Exm ⎩
( A/m)
（2） 波的传播速度
1 1 3 × 108 v= = = = 1.5 ×108 2 εµ 4ε 0µ0
( m/s)
（3） 平均坡印廷矢量
1 ∗ Sav = Re ⎡ E H ⎤ × ⎣ ⎦ 2
E = ex10 e
⎛ 4π π ⎞ − j⎜ z − ⎟ −4 6⎠ ⎝ 3
z− ⎟ 10−4 j⎜ 6⎠ ⎝ 3 H = ey e 60π
当
ϕ y − ϕx =
π 2
即 α = −(ωt + ϕ x ) 且
Exm = E ym
可判断出
电场矢量终端运动方向与电磁波传播方向满足左手螺旋关系 ——左旋圆极化波。 说明：上述结论适用于沿+Z方向传播的均匀平面波。
第 5 章 均匀平面电磁波在无界空间中的传播
◇ 理想介质中的均匀平面波 ◇ 电磁波的极化 ◇ 电磁波在导电媒质中的传播
5.1 理想介质中的均匀平面波
◇理想媒质：电导率 σ = 0 的媒质，也称无耗媒质。 ◇平面波——等相位面为平面的电磁波。 ◇ 均匀平面波——等相面为平面，且在等相面上，电、磁场量的振幅、方向、相 位处处相等的电磁波-----理想情况。 一、理想介质中的均匀平面波 在正弦稳态下，均匀各向同性理想介质中的无源区域内，亥姆霍兹方程 ⎧ ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex 2 + + + k Ex = 0 ⎪ ∂x2 2 2 ∂y ∂z ⎪ 2 2 2 ⎪ ⎪ ∂ Ey ∂ Ey ∂ Ey 2 2 ∇ E + k E = 0 ⎨ 2 + 2 + 2 + k 2 Ey = 0 ∂y ∂z ⎪ ∂x ⎪ ∂2 E ∂2 E ∂2 E 2 ⎪ 2z + 2z + 2z + k Ez = 0 ∂y ∂z ⎪ ⎩ ∂x 考虑沿 +z方向传播的均匀平面波,设电场 平行于x轴，且只是z的函数，即 E = e x Ex ( z ) 得 ∂ 2 Ex + k 2 Ex = 0 2 ∂z
而
η= µ = 60π ε
( rad )
则
4π π⎞ ⎛ E ( z, t ) = ex10−4 cos ⎜ 2π×108 t − z + ⎟ ( V/m) 3 6⎠ ⎝ 1 1 10−4 4π π⎞ ⎛ H ( z, t ) = ez × E ( z, t ) = e y Ex = e y cos ⎜ 2π×108 t − z + ⎟ η η 60π 3 6⎠ ⎝