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概率复习课二

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复习课(二) 随机变量及其分布

复习课(二) 随机变量及其分布

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解：(1)记事件 A 为“甲、乙 2 人一次竞猜成功”， 则 P(A)＝2CC12＋16·C416C31＝49， 设 3 次竞猜中，竞猜成功的次数为 X，则 X～B3，49， 则甲、乙 2 人获奖的概率为 P＝1－C03490593－C13491592＝370249.
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P(AB)＝P( A )P( B )．
2．若事件 A1，A2，…，An 相互独立，则有 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 3．在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数为 X，在每 次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中， 事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
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[解] 记事件 A：第一次取出的是红球； 事件 B：第二 次取出的是红球．
(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取 1 个， 所 有基本事件共 6×5 个； 第一次取出的是红球， 第二次是其 余 5 个球中的任一个， 符合条件的有 4×5 个，
所以 P(A)＝46× ×55＝23.
结束
复习课(二) 随机变量及其分布
条件概率
1．在近几年的高考中对条件概率的考查有所体现，一般以选 择题或填空题形式考查，难度中低档．
2．条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概 率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．
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[考点精要] 条件概率的性质 (1)非负性：0≤P(B|A)≤1. (2)可加性：如果是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋ P(C|A)．

《中考大一轮数学复习》课件 概率的简要计算(概率2)

《中考大一轮数学复习》课件 概率的简要计算(概率2)
1 球的概率不小于 . 问至少取出了多少黑球？ 3
1 2
4
3
中考大一轮复习讲义◆ 数学
课前预测 你很棒
1. (2013·四川资阳 ) 在一个不透明的盒子里，装有 4个黑球和若干个白球， 它们除颜色外没有任何其他区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它 放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有 白球( A ) A. 12个 B. 16个 C. 20个 D. 30个 2. (2013·江苏连云港)在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干 个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记 下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色……如此大量的摸球实 验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于 20%，摸出黑球的频率稳定于50%.对 此实验，他总结出下列结论：①若进行大量的摸球实验，摸出白球的频率应稳定 于30%；②若从布袋中随机摸出一球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次， 必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是( B ) A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 3. (2013·福建福州 ) 袋中有红球 4 个，白球若干个，它们只有颜色上的区 别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个 数可能是( D ) A. 3个 B. 不足3个 C. 4个 D. 5个或5个以上
1 2 3
5
中考大一轮复习讲义◆ 数学
课前预测 你很棒
4. (2014·河北)某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果 出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是 ( D ) A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是 黄球 D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 5. (2014·浙江台州 )某品牌电插座抽样检查的合格率为 99%，则下列说法 中正确的是( D ) A. 购买100个该品牌的电插座，一定有99个合格 B. 购买1000个该品牌的电插座，一定有10不个合格 C. 购买20个该品牌的电插座，一定都合格 D. 即使购买1个该品牌的电插座，也可能不合格

苏教版八下同步课程：第12章认识概率复习2

苏教版八下同步课程：第12章认识概率复习2
认识概率二
概率的相关概念
1.概率 事件发生的可能性,也称为事件发生的 概率.概率也叫几率. 2.频数,频率 在考察中,每个对象出现的次数称 为频数,而每个对象出现的次数与总次数的比值 称为频率.当试验次数很大时,一个事件发生的频 率稳定在相应的概率附近.因此,我们可以通过多 次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件 发生的概率. 3.利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件 发生的所有可能出现的结果;从而较方便地求出 某些事件发生的概率.用树状图和列表的方法求 概率时应注意各种结果出现的可能性务必相同.
解：要使蚂蚁不相撞，只需它们 全按顺时针方向爬行或全按逆时 针方向爬行，设顺时针爬行记为 “→”，逆时针爬行记为“←”， 则三只蚂蚁可能爬行的情况有： B
A
C
①→、→、→(不相撞) ②→、→、←(相撞) ③→、← 、 →(相撞) ④→、←、←(相撞) ⑤←、→、→(相撞) ⑥←、→、←(相撞) ⑦←、← 、 →(相撞) ⑧←、←、←(不相撞) 2 1 P不相撞 8 4
例24.(1)连掷两枚骰子,它们点数相同的概率是多 少? (2)转动如图所示的转盘两次,两次所得颜色相同 的概率是多少? (3)某口袋里放有编号1~6的6个球,先从中摸索出 一球,将它放回口袋中后,再摸一次,两次摸到的球 相同的概率是多少? (4)利用计算器产生1~6的随机数(整数),连续两次 随机数相同的概率是多少?
A
6
3
例13.一位汽车司机准备去商场购物，然后 他随意把汽车停在某个停车场内，停车场分 A、B两区，停车场内一个停车位置正好占 一个方格且一个方格除颜色外完全一样，则 1 汽车停在A区红色区域 的概率是（ ）， 4 2 B区黄色区域的概率是（ 9 ）
A区B区例14.动源自操作：小猫在如图所示的 地板上自由地走来 走去，它最终停留 在红色方砖上的概 1 率是 ，你试着把 4 每块砖的颜色涂上。

2024届新教材高考数学二轮复习 概率 课件(69张)

2024届新教材高考数学二轮复习 概率 课件(69张)

A.15
B．13
C．25
D．23
【解析】 从 6 张卡片中无放回抽取 2 张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，
(5,6)，15 种情况，其中数字之积为 4 的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，
2.古典概型 一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率 P(A)＝nk＝nnΩA. 其中，n(A)和 n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数．
多 维 题 组·明 技 法
角度1：随机事件的关系 1. (2023·柳州模拟)从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中 任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是( D ) A．至少有一本政治与都是数学 B．至少有一本政治与都是政治 C．至少有一本政治与至少有一本数学 D．恰有1本政治与恰有2本政治
A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率 为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－ β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1 －β)3
D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率 大于采用单次传输方案译码为0的概率
【解析】 由题意可得事件1表示{1,3,5}，事件2表示{2,4,6}，事件3 表示{4,5,6}，事件4表示{1,2}，所以事件1与事件2为对立事件，事件1与 事件3不互斥，事件2与事件3不互斥，事件3与事件4互斥不对立，故选 项A，C，D错误，选项B正确．故选B.

《高二数学概率复习》课件

《高二数学概率复习》课件
条件概率的公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率， P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
P(A|B) ≥ 0。
规范性
当事件B是必然事件时，P(A|B) = P(A)。
条件概率的加法规则
如果两个事件B1和B2是互斥的，那么对于任一事件A，有 P(A|B1∪B2) = P(A|B1) + P(A|B2)。
04
概率的应用
概率在日常生活中的应用
天气预报
通过概率分析，预测未来天气变 化，为日常生活和出行提供参考
。
彩票
彩票中奖概率的计算，让人们理性 对待，避免盲目投入。
医学诊断
通过概率统计方法，提高疾病诊断 的准确率。
概率在科学实验中的应用
物理实验
在物理学中，概率被广泛应用于 粒子实验、量子力学等领域。
解析5
进阶题目5的答案是$frac{4}{8} times frac{3}{7} = frac{12}{56} = frac{3}{14}$，因为第一次摸出白球的概 率为$frac{4}{8}$，第二次摸出白球的概率为$frac{3}{7}$ 。
解析6
进阶题目6的答案是$frac{7}{10} times frac{3}{9} = frac{21}{90} = frac{7}{30}$，因为第一次摸出红球的概 率为$frac{7}{10}$，第二次摸出白球的概率为 $frac{3}{9}$。
《高二数学概率复习》ห้องสมุดไป่ตู้ppt课件
目 录
• 概率的基本概念 • 古典概型与几何概型 • 条件概率与独立性 • 概率的应用 • 复习题与答案解析

课题四：随机事件的概率复习(2)

课题四：随机事件的概率复习(2)

随机事件的概率（2）复习目标：1.在简单问题情境中能较熟练地应用不同的工具进行模拟试验；2.对于同一个概率问题能够从分析和实验两个角度加以解决，真正体会概率的含义；重点难点：模拟实验必须保证实验在相同条件下进行，否则会影响实验结果学习过程：一、知识回顾：二、典型例题：例1、考查模拟实验设计的合理性：下表中给出了一些模拟实验的方法，你觉得这些方法合理吗？若不合理请说明理由，另外请提出一个新的你认为合理的模拟实验的方法。

精讲点拨：用替代物模拟实验的关键是不能影响实验的结果，在这种大前提下我们可以借助替代物模拟实验。

自我尝试：你认为下面的替代物合理吗？不合理的说明理由并提出一个新的合理的替代方法：（1）抽屉中有大小相同的2副白手套和1副黑手套，在黑暗中摸出2只为一副的可能性有多大？替代物和方法：把2双白袜子和一双黑袜子放到一个不透明的袋子中，闭上眼睛摸出2只。

（2）用一枚硬币抛掷后正面朝上的机会来代替从一个不透明的袋子中2个红球、2个黑球摸出1个红球的机会。

例2、用计算器模拟实验：课外活动时，王老师把自己的一串钥匙交给李强，让他去办公室取一本书，但李强不小心把王老师告诉他开办公室的这把钥匙的特征忘记了，已知这串钥匙共有8把，请你用计算器模拟实验的方法估测一下，他一次试开成功的概率有多大？（1）写出用计算器模拟实验的方法；（2）在表中填写实验数据。

精讲点拨：由于共有8把钥匙，因此随机数的范围是1~8,可设符合条件的随机数为1.自我尝试：金山中学九年级二班共有45人，根据学校安排，每班可领取5张电影票。

李老师要将5张电影票随机要给班上的5个同学，为了保证公平，你能利用计算器帮助李老师作出决定吗？三、课堂小比拼：1、在抛一枚硬币的实验中，不能用的替代物是（）A、方型橡皮B小刀C骰子D课本2、某人设计了一种中奖游戏，号码是由1~100这100个数组成的，若抽得的末位数是0的即中奖，则中奖的概率是（）Ａ、1001 Ｂ、101 Ｃ、91 Ｄ、10013、实验中学九年级一班，有男生30人，女生20人，要求选一名学生当卫生监督员，抽到一名女生的概率是多少？你能用替代物模拟实验吗？4、在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同。

6统计与概率整理和复习(第2课时)(课件)-六年级下册数学+人教版


（1.40+1.43+1.46+1.49+1.52+1.55+1.58）÷7
=10.43÷7
天天
=1.49（m）
小红
六（1）班同学的身高、体重情况如下表。
身高/m 1.40 1.43 1.46 1.49 1.52 1.55 1.58
人数
1
3
5
10 12
6
3
（2）六（1）班同学的平均身高和平均体重分别是多少？
琪琪
小志
去年全年的总产量和总销量的情况。
去年的月平均生产量和销售量各是多少呢？
小红
总产量和总销售量都是20.9万台。 20.9÷12≈1.7（万台）
平均数在生活中有哪些应用？
六年级同学完成数学作业所需的平均时长。 某同学400米跑步的平均速度。 某班同学的平均身高。 某销售公司的一年平均销售量等。
百分比/% 第五次 第六次 第七次 22.89 16.60 17.95 66.85 70.14 63.35 10.25 13.26 18.70
天天
小明
回顾这节课，同学们有什么收获？
在解决问题时，不能光凭感觉做判断，要 借助数据来进行计算和分析，从而做出正 确合理的判断。
小红
当一组数据较大时，可以找到一个基准简化计算。
人数
2
4
5
12 10
4
3
（2）六（1）班同学的平均身高和平均体重分别是多少？
体重总和： 30×2+33×4+36×5+39×12+42×10+45×4+48×3=1584（kg）
总人数： 2+4+5+12+10+4+3=40（人）

等可能条件下的概率(二)课件


∴P(芝麻落在红色或黄色区域)= = 。

50° 50°
01
情境引入
Q4：一般地，如果一个实验有无数个等可能的结果，当其中的
某些结果之一出现时，事件A产生，
(1)事件A产生的概率与什么因素有关？
与事件A所占的面积大小有关
(2)如何求事件A产生的概率？
P(A)=
事件对应的区域面积（红色区域面积）


获得500元、100元、50元礼品的概率分别是 、 、 。

02
二、定义
情境引入
知识精讲
探究2：设计一个转盘，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，使指针
：

(1)落在红色区域、黄色区域、蓝色区域的概率分别为 、 、 ；


(2)落在红色区域、黄色区域、蓝色区域的概率分别为 、 、 。

指针落在B区域的概率是________。

【分析】由题意可得：
B区域的圆弧所对的圆心角是360°-150°-90°=120°，

∴指针落在B区域的概率为： = 。

03
典例精析
例2、一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则

停留在阴影区域上的概率是________。


03
典例精析
例1、(1)如图，转盘被分成5个面积相等的扇形，任意转动这个转

盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率为________。

【分析】∵转盘被分成5个面积相等的扇形，
其中阴影区域占2个，

∴指针落在阴影区域的概率为 。

03
典例精析
例1、(2)如图是一个可以自由转动的转盘，转盘转动并停止后，

高一数学人教A版必修3课件：概率单元复习2


9´ 6 9 用数字1，2，3，4分别表示红、黑、白、黄 皮笔记本，分别产生100个1～3和2～4的随机 数，统计两组随机数取不同数的频数，再计 算频率，即得概率的近似值.
例4 在1,2,3,4,5五条线路的公交车 都停靠的车站上，张老师等候1,3,4路车. 已知每天2,3,4,5路车经过该站的平均次 数是相等的，1路车经过该站的次数是其 它四路车经过该站的次数之和，若任意 两路车不同时到站，求首先到站的公交 车是张老师所等候的车的概率. P(A1＋A3＋A4)= P(A1)＋P(A3)＋P(A4)
第三章 概率 单元复习
第二课时
例1 某招呼站每天均有上、中、下等 级的客车各一辆经过（开往省城）.某天， 王先生准备在此招呼站乘车前往省城办 事，但他不知道客车的车况及发车的顺 序，为了尽可能乘上上等车，他采取如 下策略：先放过第一辆，如果第二辆比 第一辆好，则上第二辆，否则上第三辆， 求王先生乘上上等车的概率.
y
1 2 (23 + 222 ) 506.5 2 P (A ) = = 2 24 576
24
0.8793.
1 o 2
24
x
作业： P146复习参考题B组：1，，3.
3 1 P (A ) = = 6 2
例2 某三件产品中有两件正品和一件 次品，每次从中任取一件，连续取两次， 分别在下列条件下，求取出的两件产品 中恰有一件次品的概率. （1）每次取出产品后不放回； （2）每次取出产品后放回.
4 2 P (A ) = = 6 3
4 P (B ) = 9
例3 甲盒中有红、黑、白皮笔记本 各3本，乙盒中有黄、黑、白皮笔记本 各2本，从两个盒子中各任取一个笔记 本，求取出的两个笔记本颜色不同的概 率，并设计一种随机模拟方法，估计这 个概率的近似值. P (A ) = 1 - 6 + 6 = 7

《概率论总复习》课件


常见问题解答二：条件概率与独立性的关系？
总结词
条件概率与独立性是概率论中的重要概念，它们之间 存在密切的联系。
详细描述
条件概率是指在某个已知事件发生的条件下，另一个 事件发生的概率。而独立性则是指两个事件之间没有 相互影响，一个事件的发生不影响另一个事件的发生 。在条件概率中，如果两个事件在给定条件下是独立 的，那么它们同时发生的概率等于各自发生的概率的 乘积。因此，条件概率和独立性之间存在密切的联系 ，理解它们的概念和关系有助于更好地掌握概率论中 的相关内容。
04
概率论的应用
统计学中的概率论应用
统计推断
概率论为统计学提供了理论基 础，用于估计未知参数、检验 假设和进行预测。
随机抽样
概率论确保了随机抽样的公正 性和代表性，使得样本数据能 够反映总体特征。
统计决策
基于概率论的决策分析方法， 如贝叶斯决策和风险分析，帮 助决策者做出最优选择。
计算机科学中的概率论应用
100%
离散型随机变量的分布
离散型随机变量的分布通常由概 率质量函数或概率分布函数描述 。
80%
连续型随机变量的分布
连续型随机变量的分布由概率密 度函数描述，其总概率为1，即 ∫−∞∞f(x)dxF(x)=∫−∞∞f(x)dxF (x)=∫−∞∞f(x)dxF(x)=1。
02
概率论中的重要定理
贝叶斯定理
01
02
03
04
贝叶斯定理是概率论中的基本 定理之一，它提供了在已知某 些条件下，对概率进行更新和 推理的方法。
贝叶斯定理是概率论中的基本 定理之一，它提供了在已知某 些条件下，对概率进行更新和 推理的方法。
贝叶斯定理是概率论中的基本 定理之一，它提供了在已知某 些条件下，对概率进行更新和 推理的方法。
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5
O
5
10 x
达标检测 1、一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为 5秒,绿灯的时间为40秒,当你到达路口时,看见下列三种 情况的概率各是多少? (1)红灯;(2)黄灯;(3)不是红灯.
2、ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为( B )
复习回顾
１、几何概型的特点是什么？ (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
２、几何概率的计算公式是什么？
P ( A) 构成事件A的区域长度 面积或体积 （ ） 试验的全部结果所构成 的区域长度 面积或体积 （ ）
课前训练 1.两根相距6 m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯, 则灯与两端距离都大于2 m的概率为( B )
A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D .不 正 确
2.如右图所示在一个边长为a、b(a>b>0)的矩形内画一个 梯形,梯形上下底分别为 1 a 与 1 a ,高为b,向该矩形内
3 2
随机投一点,则所投的点落在梯形内 部的概率为( C )
A. 1 3 B. 1 2 C. 5 12 D. 7 12
p 正方形的面积 25 2 1 4
2
2 25

9 25.
3 2 1
0
1
2 3 4
5 x
例3.在长度为10的线段内任取两点,将线段分成三段,求他 们可以构成三角形的概率.
解 ： 设 构 成 三 角 形 的 事 件 为 A， 长 度 为 10的 线 段 被 分 成 三 段 的 长 度 分 别 为 x， y， － ( x＋ y ) ， 可 得 10 0 x 10 为试验全部结果构成区域 0 y 10 0 x y 10 y 10 由一个三角形两边之和大于第三边，有 0 x 5 为 事 件 A包 含 的 区 域 . 0 y 5 5 x y 10 P ( A) SA S 1. 4 0 x 10 即 0 y 10 0 10 ( x y) 10
4、在正方形ABCD内随机取一点P,求： （1）∠APB ＞900的概率；（2）∠APB =900的概率。
5、在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线 OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率。
3.已知实数x,y可以在0<x<2,0<y<2的条件下随机取数,那 么取出的数对满足x2+(y-1)2<1的概率是( B )
A.

B.

C.

D.

4
8
16
2
4.点A为周长等于3的圆周上的一个定点.若在该圆周上随 机取一点B,则劣弧 AB的长度小于1的概率为______. 5.如图所示,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=2cm,在图 形上随机撒一粒黄豆,则黄豆落在圆内(阴影部分)的概 率是________.
m”,问题可以理解为求海豚嘴
尖出现在图中阴影部分的概率.
由于区域Ω的面积为 30×20=600(m2),阴影A的面积 为30×20-26×16=184(m2).
P A 184 600 23 75 0 .3 1.
作业
1、两人相约于 7 时到 8 时在公园见面，先到者等候 20 分钟就可离去，求两人能够见面的概率。 2、某公共汽车站,每隔15分钟有一辆车发出,并且发出 前在车站停靠3分钟. (1)求乘客到站候车不超过10分钟的概率; (2)求乘客到达车站立即上车的概率. 3、设关于x的一元二次方程 x 2 + 2ax + b2 = 0 （1）若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从 0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率; （2）若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2] 上任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
6
6.在1000 mL水中有一个草履虫,现从中随机取出3 mL水 3 样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是_______.
1000
7.假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆,则它落 1 到阴影部分的概率是________.
例1、(会面问题）甲、乙二人约定在12点到 5点之间 在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段 时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求 二人能会面的概率。 解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是 y-x =1 y 0 X 5, 0 Y 5. |X 二人会面的条件是： Y | 1, 5 y-x = -1 4 阴影部分的面积
解析:由题意可知,只有硬币中心投在阴影 部分时才符合要求.
20
所以不与圆相碰的概率P
8 10 2 8 10
2
1

20
.
5、一海豚在水中自由游弋,水池为长30 m,宽20 m的长方 形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率. 解:图中阴影部分表示事件
A:“海豚嘴尖离岸边不超过2
A.

B .1

C.

D .
2 2
3、在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为 边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 与49 cm 之 间的概率为________ 1/5
4、平面上一长12 cm,宽10 cm的矩形ABCD内有一半 径为1 cm的圆O(圆心O在矩形对角线交点处).把一枚 半径1 cm的硬币任意掷矩形内(硬币完全落在矩形 1 内),则硬币不与圆O相碰的概率为________.