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适用文案高等代数教课设计第一章首页讲课内容第一章基本观点第 1．1节——第1。
5 节所需课时12 学时1 ．北京师范大学，高等代数高等教育第一版社，1997主要教材或2．北京大学编，高等代数。
高等教育第一版社， 1995参照资料3．华东师范大学，高等代数与几何高等教育第一版社，1997知识目标：教课目的和教课基本要求：（1 ）掌握会合，子集，空集等基本观点，明确会合、子会合之间的关系及表示方法。
（2 ）掌握映照、单射、满射及双射的基本观点。
（3 ）掌握数学概括原理、最小数原理，第二数学概括法原理应用。
教课目的（4 ）掌握带余除法，最大公因数，互素观点和方法。
（5 ）掌握数环，数域及最小数域—有理数域为基本观点。
能力目标：（ 1 ）训练学生领悟和掌握高等代数的基本方法和思想方式。
（2 ）掌握高等代数的基本观点中的公义化定义、性质，而且会解决实质问题教课要点会合、映照、数学概括法、整数的一些整除性质、数环和数域。
教课难点数学概括法原理的证明和应用、数环和数域的抽象观点的理解。
教课方法 1. 讲解法。
2.议论法。
3.讲练联合适用文案§1会合§2映照教课内容及§3数学概括法时间安排2学时2学时2学时§4整数的一些整除性质§5数环和数域2学时2学时习题课 2 学时1.复习教材和笔录中本章内容。
学习指导 2.让学生阅读北京师范大学，高等代数第一章3.让学生阅读《高等代数协助教材》第一章。
教材第一章习题：第 6 页： 6、7；第 14 页：5、10；第 18 页： 1、4、5；作业及思虑题第 29 页： 2、4、5；第 25 页：3、5。
赞同上述安排。
教研室批阅建议教研室主任署名：王书琴2005 年 2月 28 日高等代数教课设计第二章首页讲课内容第二章多项式第 2．1 节——第2。
8 节所需课时28学时1．北京师范大学高等代数高等教育第一版社， 1997主要教材或2．北京大学编高等代数高等教育第一版社， 1995参照资料3．华东师范大学高等代数与几何高等教育第一版社，1997知识目标：教课目的和教课基本要求：（1 ）掌握一元多项式的观点和运算规则，整除互素的观点及简单性质并能进行有关论证。
《高等代数》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《高等代数》是数学专业本科学生的三门主要基础课程之一。
它不仅是代数学的基础，也是其它数学课程必要的前提。
该课程是为大学一年级的学生开设的，总课时144学时，开设时间为一年。
通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。
本课程的任务是使学生系统地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。
（二）教学目的和要求通过本课程的学习，使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论与基本方法，熟悉代数的语言、工具、方法，具有一定理解问题、分析问题、解决问题的能力。
为今后的学习打下扎实的基础。
１．熟练掌握：集合、映射、单射、满射、双射的概念，第一、第二数学归纳法，带余除法，不可约多项式，线性方程组的消元法，矩阵的行（列）初等变换，矩阵的秩，初等矩阵的性质，可逆矩阵，向量空间的基、维数，线性相关与线性无关，齐次线性方程组的基础解系，线性变换，矩阵特征值、特征向量的概念与求法，内积的定义，正交变换与正交矩阵，二次型的概念及与其矩阵的对应关系。
２．掌握：整数的整除性、素数的性质，集合的表示与运算，辗转相除法，综合除法，多项式的互素，根与系数的关系，重因式及其判定，行列式的性质，行列式的展开，矩阵的乘法，矩阵的行列式，子空间的交与和，坐标，过渡矩阵，线性方程组的特解与通解，线性变换的运算及其形成的向量空间，线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构，矩阵的相似，几类向量空间的内积，Cauchy不等式，正交基与正交化，三维空间中的几种正交变换，正交变换与正交矩阵的关系，二次型的矩阵的合同及其求法，对称矩阵合同于对角矩阵，复数域上的二次型的规范形、实数域上二次型的惯性定理、规范形、分类，正定二次型的判定。
高等代数教案 The pony was revised in January 2021
高等代数
教案
秦文钊
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a的代数余子式.称为元素
ij
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《矩阵特征值与特征向量的定义与性质》教学设计所属学科及专业：数学学科各专业所属课程：《高等代数》适用对象：本专科院校数学各专业学生一、教学背景首先，本节课的主讲内容“矩阵特征值与特征向量的定义与性质”是矩阵的运算和性质的简单应用，它是更好地理解线性变换的特征值与特征向量概念的前提和基础，是理解矩阵和线性变换的特征值和特征向量计算原理的基石，也为进一步学习和理解实二次型化标准型提供了一定的理论支持。
其次，通过之前线性变换和矩阵之间关系的学习，学生已感受到了矩阵的重要地位和作用，这为本节课的学习做了铺垫。
另外，矩阵的加法、数乘和乘法等运算及其性质的掌握为本节课的展开提供了理论支持。
再次，现今的大学数学教育，大部分学生的学习仍是被动学习，以学习知识为目的，不注重数学思想方法的领会，脱离了学习的最终目的和宗旨。
作为大学数学的授课教师，尤其是基础学科教师，应该尽其所能向学生展示数学知识的形成和发展过程，达到教育和学习的真正目的。
二、教学目标及教学重难点根据所讲内容在教材中的地位和作用，结合学生的认知水平，设定下列教学目标。
（一）知识目标1、通过总结、归纳和剖析，深刻理解矩阵特征值和特征向量的概念；2、通过激发学生的好奇心和求知欲，熟悉并掌握矩阵特征值和特征向量的相关性质。
（二）能力目标1、通过基本概念的学习，提高仔细观察和深入思考的能力；2、通过性质的学习过程，培养学生自己提出问题、分析问题和解决问题的能力，增加学习动力和热情。
（三）情感目标1、通过对概念的剖析，培养学生一丝不苟的学习态度和严谨求实的数学素养，最终形成老老实实做人，踏踏实实做事的工作学习作风；2、通过性质的学习，让学生感受从不同角度观察和认识事物，培养其多角度分析、解决实际问题处世技能。
根据教学目标和学生特点，将特征值与特征向量的性质作为本节课的教学重点和教学难点。
三、教学方法针对要讲解的两大知识点（特征值和特征向量的概念和性质），结合人类认识事物的规律，采取以问带学，边学边问的启发、探索式授课。
第五章矩阵教学目的：1.掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。
及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。
2.了解几种特殊矩阵的性质。
教学内容：5.1矩阵的运算1矩阵相等我们将在一个数域上来讨论。
令F是一个数域。
用F的元素a ij作成的一个m行n列矩阵叫做（a ij一个F(a+b)A=Aa+Ba；a(bA)=(ab)A；这里A,B和C表示任意m*n矩阵，而a和b表示F中的任意数。
利用负矩阵，我们如下定义矩阵的减法：A—B=A+（—B）。
于是有A+B=C⇔A=C—B。
由于数列是矩阵的特例，以上运算规律对于数列也成立。
4乘法定义3数域F 上的m*n 矩阵A=(a ij )与n*p 矩阵B=(b ij )的乘积AB 指的是这样的一个m*p 矩阵。
这个矩阵的第I 行第j 列（I=1,2,…，m;j=1,2,…p ）的元素c ij 等于A 的第I 行的元素与B 的第j 列的对应元素的乘积的和：c ij =a i1b 1j +a i2b 2j+…+a in b nj 。
注意，两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能相乘。
我们看一个例子:=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-+⋅+-⋅-⋅-+⋅+⋅⋅+⋅-+-⋅-⋅+⋅-+⋅0)2(11)3(3)5()2(2113001)1()3(2)5(02)1(12 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--81570.5 矩阵乘法的运算规律：B np 和B nm A nn 那么u il 因此(1)l (2)111l k k ===由于双重求和符号可以交换次序,所以(1)和(2)的又端相等.这就证明了结合律.我们知道,数1乘任何数a 仍得a.对距阵的乘法来说,存在这样的距阵,他们有类似于数1的性质. 我们把主对角线上(从左上角到右下角的对角线)上的元素都是1,而其它元素都是0的n 阶正距阵1 0 001 0…………001叫做n 阶单位距阵，记作I n ,有时简记作I.I n 显然有以下性质：I n A np =A np ;A mn I n =A mn .距阵的乘法和加法满足分配律：A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA;这两个式子的验证比较简单，我们留给读者。
注意，由于距阵的乘法不满足结合律，所以着两个式子并不能互推。
距阵的乘法和数与距阵的乘法显然满足以下运算规律：a(AB)=(aA)B=A(aB).给了任意r 个距阵A 1,A 2,……A r ,只要前一个距阵的列数等于后一个距阵的行数，就可以把它们依次相乘，由于距阵的乘法满足结合律，作这样的乘积时，我们可以把因子任意结合，而乘积A 1A 2……A r 有完全确定的意义。
特别，一个n 阶正方阵A 的r 次方（r 是正整数）有意义我们再约定A 0=I这样一来，一个n 阶距阵的任意非负整数次方都有意义。
设是f(A)如果u u 定义A=a a m1把A a 11a 叫A d) (aA)=aA’我们只验证(5),其它三个规律容易验证.设A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a a a a a mn m m n n 212222111211,B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b b bb b b b b np n n p p 212222111211首先容易看出,(AB)’和B ’A ’都是pm 矩阵.其次,位于(AB)’的第i 行第j 列的元素就是位于AB 的第j 行第i 列的元素,因而等于a j1b 1i +a j2b 2i +…+a jn b ni .位于B ’A ’的第i 行第j 列的元素等于B ’的第i 行的元素与A ’的第j 列的对应元素的乘积之和,因而等于B 的第i 列的元素与A 的第j 行的对应元素的乘积之之和:b 1i a j1+b 2i a j2+…+b ni a jn 上面两个式子显然相等,所以(5)成立..等式(4)和(5)显然可以推广到n个矩阵的情形,也就是说,以下等式成立: (A1+A2+…+A n)’=A1’+A2’+…+A n’,(A1A2…A n)’=A n’A n-1’…A2’A1’5.2可逆矩阵矩阵乘积的行列式教学目的：1掌握逆矩阵的概念及逆矩阵存在的充要条件。
2掌握求逆矩阵的方法，尤其能利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。
教学内容：1逆矩阵的定义：令A是数域F上的一个n阶矩阵。
若是存在F上n阶矩阵B，使得AB=BA=I，那么A叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B叫作A的逆矩阵。
若是矩阵A可逆，那么A的逆矩阵由A唯一决定。
事实上，设B和C都是A的逆矩阵：AB=BA=I，AC=CA=I。
那么（A一个而B是任意一个2阶矩阵。
那么乘积AB的第二行的元素都是零，因此不存在二阶矩阵B，使AB=I，从而A不是可逆矩阵。
3初等变换首先注意以下事实：对于一个矩阵施行一个行或列初等变换相当于把这个矩阵左乘或右乘以一个可逆矩阵。
我们把以下的三种正方阵叫做初等矩阵：i列j列110…1i行1P ij=11…0j行11i列m×n矩阵A A的第i后加到第i T ij(-k)P-1ij那么因为引理5.2.1说明，矩阵是否可逆这一性质不因施行初等变换而有所改变。
由定理4.1.2，给了任意一个m×n矩阵A，总可以通过行初等变换和交换两列的初等变换，把A化为以下的一个矩阵：10...0c1,r+1 (1)01?...0c2,r+1 (2)……………………………（3）00…1c r,r+1…c rn0 0……………………………0 0继续对（3）施行第三种列初等变换，显然可以把c ij都化为零，因此，我们有定理5.2.2一个m ×n 矩阵A 总可以通过初等变换化为以下形式的一个矩阵。
A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----O O O I r n r m r r m rn r ,,, 这里I r 是r 阶单位矩阵，O st 表示s ×t 的零矩阵、r 等于A 的秩。
特别，当A 是一个n 阶矩阵时，上面的矩阵ā是一个对角矩阵（即主对角线以外的元素都是0的矩阵）。
根据引理5.2.1，n 阶矩阵A 是否可逆，决定于ā是否可逆。
然而对角矩阵ā是否可逆很容易看出。
当ā等于单位矩阵I 时，ā可逆。
因为I 本身就是I 的逆矩阵。
当ā不等于I 时，ā至少有一个元素全是零的行，因而右乘ā以任意一个n 阶矩阵B ，所得的乘积āB 中也至少有一个元素全是零的行，所以ā不可逆。
这样，n 阶矩阵A 可逆，当且仅当它可以通过初等变换化为单位矩阵I 。
阵E a n1a |A|第一种还是要用到初等变换。
先说明以下事实：一个n 阶可逆矩阵A 可以通过行初等变换化为单位矩阵I 。
事实上，根据定理5.2.4，|A|≠0。
因此A 的第一列至少有一个元素不等于零。
我们显然可以通过行初等变换把A 化为这里A1是一个n-1阶矩阵。
行列式|A1|显然等于矩阵（4）的行列式，而后者与|A|最多差一个不等于零的因子，因此|A1|≠0，从而A1的第一列至少有一个元素不等于零。
于是通过行初等变换可由（4）得到这里A 2是一个n-2阶矩阵。
这样下去，最后我们得到单位矩阵I 。
但对于一个矩阵施行行初等变换相当于以初等矩阵左乘这个矩阵，因此给了一个可逆矩阵A ，可以找到一些初等矩E 1，E 2，…，E s ，使（5）Es …E 2E 1A=I用A-1右乘这个等式的两端，得（6）Es …E 2E 1I =A -1比较矩式（5）和（6）。
5 求矩阵的方法：在通过行初等变换把可逆矩阵A 化为单位矩阵I 时，对单位矩阵I 施行同样的初等变换，就得到A 的逆矩阵A-1。
例1求矩阵A=201013121---的逆矩阵。
我们写下A ，并把单位矩阵I 写在A 的右边：设n 这里A *那么(7)AA *=A *A=|A |000|A |000|A |我们把矩阵A *叫做矩阵的伴随矩阵。
当A 是可逆矩时，由定理5.2.5，|A|≠0，因此由（7）得A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*A |A |1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*|A |1A A=I 这就是说（8）A -1=|A |1A* 这样，我们得到了一个求逆矩阵的公式。
利用这个公式去求逆矩阵，计算量一般很大，公式（8）的意义主要在理论方面。
例如，我们可以应用它来给出克莱姆规则的另一种推导法。
考虑线性方程组a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1,a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2………………………………a n1x 1+a n2x 2+…+a nn x n =b n利用矩阵的乘法可以把这个线性方程组写成(9)⎝⎛A-1 ⎝⎛x x x n i 1首先证明引理5.2.6一个n 阶矩A 总可以通过第三种行和列的初等变换化为一个对角矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d d d n 0021 , 并且|A|=|ā|=d 1d 2…dn证如果A 的第一行和第一列的元素不都是零。
那么必要时总可以通过第三种初等变换使左上角的元素不为零。
于是再通过适当的第三种初等变换可以把A 化为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011A d . 如果A 的第一行和第一列的元素都是零，那么A 已经具有（10）的形式。
对A1进行同样的考虑，易见可用第三种初等变换逐步把A 化为对角矩阵。
根据行列式的性质，我们有|A|=|ā|=d 1d 2…dn定理5.2.7设A ，B 是任意两个n 阶矩阵。
那么|AB|=|A||B |证先看一个特殊情形，即A 是一个对角矩阵的情形。
设令AB=,T 2,…,T q ,使于是=|由这个定理显然可以得出，对于m 个n 阶矩阵A 1，A 2，…，A m 来说，总有|A 1A 2…A m |=|A 1||A 2|…|A m |6 关于矩阵乘积的秩定理5.2.8两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩。
特别，当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩。
证设A 是一个m ×n 矩阵，B 是一个n ×p 矩阵，并且秩A=r 。
由定理5.2.2，可以对A 施行初等变换将A 化为ā=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000I r . 换句话说，存在m 阶初等矩阵E 1，…，E p 和n 阶初等矩阵E p+1,…,E q,使E 1…E pA E p+1…E q =ā.于是 =B A B A E E p q =-+-111, 这里B=.111B E E p q -+- ，显然，B A 除前r 行外，其余各行的元素都是零，所以秩B A ≤r 。
另一方面，E 1…E p AB 是由AB 通行初等变换而得到的，所以它与AB 有相同的秩。
这样就证明了秩AB ≤秩A ，同理可证秩AB ≤秩B 。
如果A ，B 中有一个，例如A 是可逆矩阵。
那么一方面，秩AB ≤秩B ；另一方面，由于B=A -1（AB ），所以秩B ≤秩AB 。
