高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)双曲线教学案
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高中数学双曲线教案模板教学目标:1. 了解双曲线的定义和基本性质;2. 掌握双曲线的标准方程和基本图形;3. 能够应用双曲线解决实际问题。
教学重点:1. 双曲线的定义和基本性质;2. 双曲线的标准方程和基本图形。
教学难点:1. 双曲线的性质证明;2. 双曲线的应用问题解决。
教学过程:一、导入新课通过展示双曲线的图像,引导学生观察并讨论双曲线的特点,引出双曲线的定义和基本性质。
二、讲解双曲线的定义和基本性质1. 定义:双曲线是平面上到两定点的距离之差等于常数的动点的轨迹;2. 基本性质:双曲线在原点对称,包含两支曲线,分别称为实轴和虚轴。
三、引导学生推导双曲线的标准方程1. 让学生思考双曲线的标准方程应该是什么形式;2. 结合双曲线的定义和基本性质,引导学生推导双曲线的标准方程。
四、讲解双曲线的基本图形1. 展示双曲线的标准方程,并解释各参数对双曲线的形状的影响;2. 让学生画出几种不同参数值的双曲线图形,加深他们对双曲线形状的认识。
五、练习1. 完成课堂练习题,巩固对双曲线的理解;2. 解答一些应用问题,训练学生运用双曲线解决实际问题的能力。
六、作业布置布置相关的作业,巩固学生对本节课知识点的理解。
七、课堂小结总结本节课的重点内容,并强调需要学生掌握的知识点。
教学反思:本节课主要围绕双曲线的定义、基本性质、标准方程和基本图形展开讲解,并引导学生进行练习和应用题目。
通过本节课的教学,学生应该能够掌握双曲线的相关概念和方法,为以后的学习打下基础。
在以后的教学中可以进一步引导学生进行深入的应用题目练习,巩固他们的知识掌握和解决问题的能力。
双_曲_线知识能否忆起1.双曲线的定义平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数小于|F1F2|的点的轨迹叫做双曲线;这两个定点叫做双曲线的焦点;两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.双曲线的标准方程和几何性质1.教材习题改编若双曲线方程为x2-2y2=1;则它的左焦点的坐标为A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析:选C ∵双曲线方程可化为x2-错误!=1;∴a2=1;b2=错误!.∴c2=a2+b2=错误!;c=错误!.∴左焦点坐标为错误!.2.教材习题改编若双曲线错误!-y2=1的一个焦点为2;0;则它的离心率为A.错误!B.错误!C.错误!D.2解析:选C 依题意得a2+1=4;a2=3;故e=错误!=错误!=错误!.3.设F1;F2是双曲线x2-错误!=1的两个焦点;P是双曲线上的一点;且3|PF1|=4|PF2|;则△PF1F2的面积等于A.4错误!B.8错误!C.24 D.48解析:选C 由P是双曲线上的一点和3|PF1|=4|PF2|可知;|PF1|-|PF2|=2;解得|PF1|=8;|PF2|=6.又|F1F2|=2c=10;所以△PF1F2为直角三角形;所以△PF1F2的面积S=错误!×6×8=24.4.双曲线错误!-y2=1a>0的离心率为2;则该双曲线的渐近线方程为________________.解析:由题意知错误!=错误!=2;解得a=错误!;故该双曲线的渐近线方程是错误!x±y=0;即y=±错误!x.答案:y=±错误!x5.已知F10;-5;F20;5;一曲线上任意一点M满足|MF1|-|MF2|=8;若该曲线的一条渐近线的斜率为k;该曲线的离心率为e;则|k|·e=________.解析:根据双曲线的定义可知;该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支;∵c=5;a=4;∴b=3;e=错误!=错误!;|k|=错误!.∴|k|·e=错误!×错误!=错误!.答案:错误!1.区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系;在椭圆中a2=b2+c2;而在双曲线中c2=a2+b2.双曲线的离心率e>1;椭圆的离心率e∈0;1.2.渐近线与离心率:错误!-错误!=1a>0;b>0的一条渐近线的斜率为错误!=错误!=错误!=错误!.可以看出;双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.注意当a>b>0时;双曲线的离心率满足1<e<错误!;当a=b>0时;e=错误!亦称为等轴双曲线;当b>a>0时;e>错误!.3.直线与双曲线交于一点时;不一定相切;例如:当直线与双曲线的渐近线平行时;直线与双曲线相交于一点;但不是相切;反之;当直线与双曲线相切时;直线与双曲线仅有一个交点.双曲线的定义及标准方程典题导入例1 12012·湖南高考已知双曲线C:错误!-错误!=1的焦距为10;点P2;1在C的渐近线上;则C的方程为A.错误!-错误!=1B.错误!-错误!=1C.错误!-错误!=1D.错误!-错误!=122012·辽宁高考已知双曲线x2-y2=1;点F1;F2为其两个焦点;点P为双曲线上一点;若PF1⊥PF2;则|PF1|+|PF2|的值为________.自主解答1∵错误!-错误!=1的焦距为10;∴c=5=错误!.①又双曲线渐近线方程为y=±错误!x;且P2;1在渐近线上;∴错误!=1;即a =2b.②由①②解得a=2错误!;b=错误!.2不妨设点P在双曲线的右支上;因为PF1⊥PF2;所以2错误!2=|PF1|2+|PF2|2;又因为|PF1|-|PF2|=2;所以|PF1|-|PF2|2=4;可得2|PF1|·|PF2|=4;则|PF1|+|PF2|2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=12;所以|PF1|+|PF2|=2错误!.答案1A 22错误!由题悟法1.应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点动点具备的几何条件;即“到两定点焦点的距离之差的绝对值为一常数;且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉;点的轨迹是双曲线的一支.2.双曲线方程的求法1若不能明确焦点在哪条坐标轴上;设双曲线方程为mx2+ny2=1mn<0.2与双曲线错误!-错误!=1有共同渐近线的双曲线方程可设为错误!-错误!=λλ≠0.3若已知渐近线方程为mx+ny=0;则双曲线方程可设为m2x2-n2y2=λλ≠0.以题试法1.2012·大连模拟设P是双曲线错误!-错误!=1上一点;F1;F2分别是双曲线左右两个焦点;若|PF1|=9;则|PF2|=A.1 B.17C.1或17 D.以上答案均不对解析:选B 由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8;又∵|PF1|=9;∴|PF2|=1或17;但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1;∴|PF2|=17.双曲线的几何性质典题导入例2 2012·浙江高考如图;F1;F2分别是双曲线C:错误!-错误!=1a;b>0的左、右焦点;B是虚轴的端点;直线F1B与C的两条渐近线分别交于P;Q两点;线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|;则C的离心率是A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!自主解答设双曲线的焦点坐标为F1-c;0;F2c;0.∵B0;b;∴F1B所在的直线为-错误!+错误!=1.①双曲线渐近线为y=±错误!x;由错误!得Q错误!.由错误!得P错误!;∴PQ的中点坐标为错误!.由a2+b2=c2得;PQ的中点坐标可化为错误!.直线F1B的斜率为k=错误!;∴PQ的垂直平分线为y-错误!=-错误!错误!.令y=0;得x=错误!+c;∴M错误!;∴|F2M|=错误!.由|MF2|=|F1F2|得错误!=错误!=2c;即3a2=2c2;∴e2=错误!;∴e=错误!.答案 B若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为α;且错误!<α<错误!”;求双曲线的离心率的取值范围.解:根据题意知1<错误!<错误!;即1<错误!<错误!.所以错误!<e<2.即离心率的取值范围为错误!;2.由题悟法1.已知渐近线方程y=mx;求离心率时;若焦点位置不确定时;m=错误!m>0或m=错误!;故离心率有两种可能.2.解决与双曲线几何性质相关的问题时;要注意数形结合思想的应用.以题试法2.12012·福建高考已知双曲线错误!-错误!=1的右焦点为3;0;则该双曲线的离心率等于A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析:选C 由题意知c=3;故a2+5=9;解得a=2;故该双曲线的离心率e =错误!=错误!.22012·大同模拟已知双曲线错误!-错误!=1a>0;b>0与抛物线y2=8x 有一个公共的焦点F;且两曲线的一个交点为P;若|PF|=5;则双曲线的渐近线方程为A.y=±错误!x B.y=±错误!xC.y=±错误!x D.y=±错误!x解析:选B 设点Pm;n;依题意得;点F2;0;由点P在抛物线y2=8x上;且|PF|=5得错误!由此解得m=3;n2=24.于是有错误!由此解得a2=1;b2=3;该双曲线的渐近线方程为y=±错误!x=±错误!x.直线与双曲线的位置关系典题导入例 3 2012·南昌模拟已知双曲线错误!-错误!=1b>a>0;O为坐标原点;离心率e=2;点M错误!;错误!在双曲线上.1求双曲线的方程;2若直线l与双曲线交于P;Q两点;且OP·OQ=0.求错误!+错误!的值.自主解答1∵e=2;∴c=2a;b2=c2-a2=3a2;双曲线方程为错误!-错误!=1;即3x2-y2=3a2.∵点M错误!;错误!在双曲线上;∴15-3=3a2.∴a2=4.∴所求双曲线的方程为错误!-错误!=1.2设直线OP的方程为y=kxk≠0;联立错误!-错误!=1;得错误!∴|OP|2=x2+y2=错误!.则OQ的方程为y=-错误!x;同理有|OQ|2=错误!=错误!;∴错误!+错误!=错误!=错误!=错误!.由题悟法1.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程;然后把直线方程和双曲线方程组成方程组;消元后转化成关于x 或y 的一元二次方程.利用根与系数的关系;整体代入.2.与中点有关的问题常用点差法.注意 根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系.以题试法3.2012·长春模拟F 1;F 2分别为双曲线错误!-错误!=1a >0;b >0的左;右焦点;过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线;垂足为M ;满足|1MF ;|=3|2MF ;|;则此双曲线的渐近线方程为________________.解析:由双曲线的性质可得|2MF ;|=b ;则|1MF ;|=3b .在△MF 1O 中;|OM ;|=a ;|1OF ;|=c ;cos ∠F 1OM =-错误!;由余弦定理可知错误!=-错误!;又c 2=a 2+b 2;所以a 2=2b 2;即错误!=错误!;故此双曲线的渐近线方程为y =±错误!x .答案:y =±错误!x1.2013·唐山模拟已知双曲线的渐近线为y =±错误!x ;焦点坐标为-4;0;4;0;则双曲线方程为A.错误!-错误!=1B.错误!-错误!=1C.错误!-错误!=1D.错误!-错误!=1解析:选A 由题意可设双曲线方程为错误!-错误!=1a >0;b >0;由已知条件可得错误!即错误!解得错误!故双曲线方程为错误!-错误!=1.2.若双曲线过点m ;nm >n >0;且渐近线方程为y =±x ;则双曲线的焦点 A .在x 轴上B .在y 轴上C .在x 轴或y 轴上D .无法判断是否在坐标轴上解析:选A ∵m >n >0;∴点m ;n 在第一象限且在直线y =x 的下方;故焦点在x 轴上.3.2012·华南师大附中模拟已知m 是两个正数2;8的等比中项;则圆锥曲线x 2+错误!=1的离心率为A.错误!或 错误!B.错误!C.错误!D.错误!或 错误!解析:选D ∵m 2=16;∴m =±4;故该曲线为椭圆或双曲线.当m =4时;e =错误!=错误!=错误!.当m =-4时;e =错误!=错误!=错误!.4.2012·浙江高考如图;中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点;M ;N 是双曲线的两顶点.若M ;O ;N 将椭圆长轴四等分;则双曲线与椭圆的离心率的比值是A .3B .2 C.错误!D.错误!解析:选B 设焦点为F ±c;0;双曲线的实半轴长为a ;则双曲线的离心率e 1=错误!;椭圆的离心率e 2=错误!;所以错误!=2.5.2013·哈尔滨模拟已知P 是双曲线错误!-错误!=1a >0;b >0上的点;F 1;F 2是其焦点;双曲线的离心率是错误!;且1PF ;·2PF ;=0;若△PF 1F 2的面积为9;则a +b 的值为A .5B .6C .7D .8解析:选C 由1PF ;·2PF ;=0得1PF ;⊥2PF ;;设|1PF ;|=m ;|2PF ;|=n ;不妨设m >n ;则m 2+n 2=4c 2;m -n =2a ;错误!mn =9;错误!=错误!;解得错误!∴b =3;∴a +b =7.6.2012·浙江模拟平面内有一固定线段AB ;|AB |=4;动点P 满足|PA |-|PB |=3;O 为AB 中点;则|OP |的最小值为A .3B .2 C.错误!D .1解析:选C 依题意得;动点P 位于以点A ;B 为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上;结合图形可知;该曲线上与点O 距离最近的点是该双曲线的一个顶点;因此|OP |的最小值等于错误!.7.2012·西城模拟若双曲线x 2-ky 2=1的一个焦点是3;0;则实数k =________.解析:∵双曲线x 2-ky 2=1的一个焦点是3;0; ∴1+错误!=32=9;可得k =错误!. 答案:错误!8.2012·天津高考已知双曲线C 1:错误!-错误!=1a >0;b >0与双曲线C 2:错误!-错误!=1有相同的渐近线;且C 1的右焦点为F 错误!;0;则a =________;b =________.解析:双曲线错误!-错误!=1的渐近线为y =±2x ;则错误!=2;即b =2a ;又因为c =错误!;a 2+b 2=c 2;所以a =1;b =2.答案:1 29.2012·济南模拟过双曲线错误!-错误!=1a >0;b >0的左焦点F 作圆x 2+y 2=错误!的切线;切点为E ;延长FE 交双曲线右支于点P ;若E 为PF 的中点;则双曲线的离心率为________.解析:设双曲线的右焦点为F ′.由于E 为PF 的中点;坐标原点O 为FF ′的中点;所以EO ∥PF ′;又EO ⊥PF ;所以PF ′⊥PF ;且|PF ′|=2×错误!=a ;故|PF |=3a ;根据勾股定理得|FF ′|=错误!a .所以双曲线的离心率为错误!=错误!.答案:错误!10.2012·宿州模拟已知双曲线的中心在原点;焦点F 1;F 2在坐标轴上;离心率为错误!;且过点4;-错误!.点M 3;m 在双曲线上.1求双曲线方程; 2求证:1MF ·2MF =0.解:1∵e =错误!;∴可设双曲线方程为x 2-y 2=λλ≠0. ∵过点4;-错误!;∴16-10=λ;即λ=6.∴双曲线方程为错误!-错误!=1.2证明:由1可知;双曲线中a =b =错误!;∴c =2错误!; ∴F 1-2错误!;0;F 22错误!;0; ∴kMF 1=错误!;kMF 2=错误!;kMF 1·kMF 2=错误!=-错误!.∵点3;m 在双曲线上;∴9-m 2=6;m 2=3; 故kMF 1·kMF 2=-1;∴MF 1⊥MF 2. ∴1MF ·2MF =0.11.2012·广东名校质检已知双曲线的方程是16x 2-9y 2=144. 1求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;2设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点;点P 在双曲线上;且|PF 1|·|PF 2|=32;求∠F 1PF 2的大小.解:1由16x 2-9y 2=144得错误!-错误!=1; 所以a =3;b =4;c =5;所以焦点坐标F 1-5;0;F 25;0;离心率e =错误!;渐近线方程为y =±错误!x . 2由双曲线的定义可知||PF 1|-|PF 2||=6; cos ∠F 1PF 2=错误! =错误! =错误!=0; 则∠F 1PF 2=90°.12.如图;P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线C :错误!-错误!=1上的一点;已知PF 1·PF 2=0;且|PF 1|=2|PF 2|.1求双曲线的离心率e ;2过点P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P 1;P 2两点;若OP 1·OP 2=-错误!;2PP 1+PP 2=0.求双曲线C 的方程.解:1由PF 1·PF 2=0;得PF 1⊥PF 2;即△F 1PF 2为直角三角形.设|PF 2|=r ;|PF 1|=2r ;所以2r 2+r 2=4c 2;2r -r =2a ;即5×2a 2=4c 2.所以e =错误!.2错误!=错误!=2;可设P 1x 1;2x 1;P 2x 2;-2x 2;Px ;y ; 则OP 1·OP 2=x 1x 2-4x 1x 2=-错误!; 所以x 1x 2=错误!.① 由2PP 1+PP 2=0;得错误!即x =错误!;y =错误!.又因为点P 在双曲线错误!-错误!=1上; 所以错误!-错误!=1.又b 2=4a 2;代入上式整理得x 1x 2=错误!a 2.② 由①②得a 2=2;b 2=8.故所求双曲线方程为错误!-错误!=1.1.2012·长春模拟设e 1、e 2分别为具有公共焦点F 1、F 2的椭圆和双曲线的离心率;P 是两曲线的一个公共点;且满足|1PF ;+2PF ;|=|12F F ;|;则错误!的值为A.错误! B .2 C.错误!D .1解析:选 A 依题意;设|PF 1|=m ;|PF 2|=n ;|F 1F 2|=2c ;不妨设m >n .则由|1PF ;+2PF ;|=|12F F ;|得|1PF ;+2PF ;|=|2PF ;-1PF ;|=|1PF ;-2PF ;|;即|1PF ;+2PF ;|2=|1PF ;-2PF ;|2;所以1PF ;·2PF ;=0;所以m 2+n 2=4c 2.又e 1=错误!;e 2=错误!;所以错误!+错误!=错误!=2;所以错误!=错误!=错误!.2.已知双曲线错误!-错误!=1a >1;b >0的焦距为2c ;直线l 过点a;0和0;b ;点1;0到直线l 的距离与点-1;0到直线l 的距离之和s ≥错误!c ;则双曲线的离心率e 的取值范围为________.解析:由题意知直线l 的方程为错误!+错误!=1;即bx +ay -ab =0.由点到直线的距离公式得;点1;0到直线l 的距离d 1=错误!;同理得;点-1;0到直线l 的距离d 2=错误!;s =d 1+d 2=错误!=错误!.由s ≥错误!c ;得错误!≥错误!c ;即5a 错误!≥2c 2.所以5错误!≥2e 2;即4e 4-25e 2+25≤0;解得错误!≤e 2≤5.由于e >1;所以e 的取值范围为错误!. 答案:错误!3.设A ;B 分别为双曲线错误!-错误!=1a >0;b >0的左;右顶点;双曲线的实轴长为4错误!;焦点到渐近线的距离为 错误!.1求双曲线的方程;2已知直线y =错误!x -2与双曲线的右支交于M 、N 两点;且在双曲线的右支上存在点D ;使OM ;+ON ;=t OD ;;求t 的值及点D 的坐标.解:1由题意知a =2错误!;故一条渐近线为y =错误!x ; 即bx -2错误!y =0;则错误!=错误!; 得b 2=3;故双曲线的方程为错误!-错误!=1. 2设Mx 1;y 1;Nx 2;y 2;Dx 0;y 0; 则x 1+x 2=tx 0;y 1+y 2=ty 0;将直线方程代入双曲线方程得x 2-16错误!x +84=0; 则x 1+x 2=16错误!;y 1+y 2=12; 则错误!得错误!故t =4;点D 的坐标为4错误!;3.1.2012·岳阳模拟直线x =2与双曲线C :错误!-y 2=1的渐近线交于E 1;E 2两点;记1OE ;=e 1;2OE ;=e 2;任取双曲线C 上的点P ;若OP ;=a e 1+b e 2;则实数a 和b 满足的一个等式是________.解析:可求出e 1=2;1;e 2=2;-1;设Px 0;y 0;则错误!则a +b 2-a -b 2=1;得ab =错误!.答案:ab =错误!2.已知双曲线错误!-错误!=1的左;右焦点分别为F 1、F 2;过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ;且∠PF 1F 2=错误!;则双曲线的渐近线方程为________________.解析:根据已知得点P 的坐标为错误!;则|PF 2|=错误!;又∠PF 1F 2=错误!;则|PF 1|=错误!;故错误!-错误!=2a ;所以错误!=2;错误!=错误!;所以该双曲线的渐近线方程为y=±错误!x.答案:y=±错误!x3.2012·大同模拟已知中心在原点的双曲线C的右焦点为2;0;右顶点为错误!;0.1求双曲线C的方程;2若直线l:y=kx+错误!与双曲线C恒有两个不同的交点A和B;且OA―→;·OB―→;>2其中O为原点;求k的取值范围.解:1设双曲线C的方程为错误!-错误!=1a>0;b>0;由已知得a=错误!;c=2;再由c2=a2+b2得b2=1;所以双曲线C的方程为错误!-y2=1.2将y=kx+错误!代入错误!-y2=1;整理得1-3k2x2-6错误!kx-9=0;由题意得错误!故k2≠错误!且k2<1;①设Ax A;y A;Bx B;y B;则x A+x B=错误!;x A·x B=错误!;由OA;·OB;>2得x A x B+y A y B>2;又x A x B+y A y B=x A x B+kx A+错误!kx B+错误!=k2+1x A x B+错误!kx A+x B+2=k2+1·错误!+错误!k·错误!+2=错误!;于是错误!>2;即错误!>0;解不等式得错误!<k2<3;②由①②得错误!<k2<1;所以k的取值范围为错误!∪错误!.。
第六节直接证明和间接证明[知识能否忆起]一、直接证明反证法:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫反证法.[小题能否全取]1.(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设( )A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°解析:选B 假设为“三个内角都大于60°”.2.设a=lg 2+lg 5,b=e x(x<0),则a与b大小关系为( )A.a>b B.a<bC.a=b D.a≤b解析:选A a=lg 2+lg 5=lg 10=1,b=e x<1,则a>b.3.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”过程应用了( ) A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法解析:选B 因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论.4.用反证法证明命题“如果a>b,那么3a>3b”时,假设的内容是________.解析:“如果a>b,那么3a>3b”若用反证法证明,其假设为3a≤3b.答案:3a≤3b5.如果a a+b b>a b+b a,则a、b应满足的条件是________.解析:∵a a+b b>a b+b a⇔(a-b)2(a+b)>0⇔a≥0,b≥0且a≠b. 答案:a≥0,b≥0且a≠b1.证明方法的合理选择(1)当题目条件较多,且都很明确时,由因导果较容易,一般用综合法.(2)当题目条件较少,可逆向思考时,执果索因,使用分析法解决.但在证明过程中,注意文字语言的准确表述.2.使用反证法的注意点(1)用反证法证明问题的第一步是“反设”,这一步一定要准确,否则后面的部分毫无意义;(2)应用反证法证明问题时必须导出矛盾.典题导入[例1] (2011·大纲全国卷)设数列{a n }满足a 1=0且11-a n +1-11-a n=1.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1-a n +1n,记S n =∑k =1nb k ,证明:S n <1.[自主解答] (1)由题设11-a n +1-11-a n=1,得⎩⎨⎧⎭⎬⎫11-a n 是公差为1的等差数列. 又11-a 1=1,故11-a n =n .所以a n =1-1n. (2)证明:由(1)得b n =1-a n +1n=n +1-n n +1·n =1n -1n +1,S n =∑k =1nb k =∑k =1n⎝⎛⎭⎪⎫1k -1k +1=1-1n +1<1.由题悟法综合法是一种由因导果的证明方法,即由已知条件出发,推导出所要证明的等式或不等式成立.因此,综合法又叫做顺推证法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,这就要保证前提正确,推理合乎规律,才能保证结论的正确性.以题试法1.(理)(2012·东北三校模拟)已知函数f (x )=ln(1+x ),g (x )=a +bx -12x 2+13x 3,函数y =f (x )与函数y =g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线.(1)求a ,b ;(2)证明:f (x )≤g (x ). 解:(1)f ′(x )=11+x,g ′(x )=b -x +x 2,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g 0=f 0,f ′0=g ′0,解得a =0,b =1.(2)证明:令h (x )=f (x )-g (x ) =ln(x +1)-13x 3+12x 2-x (x >-1).h ′(x )=1x +1-x 2+x -1=-x 3x +1.h (x )在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数. h (x )max =h (0)=0,h (x )≤h (0)=0,即f (x )≤g (x ).(文)设f (x )=e x-1,当x >-1时,证明: f (x )>2x 2+x -1x +1.证明:当x >-1时,要使f (x )>2x 2+x -1x +1,即e x-1>2x 2+x -1x +1=2x -1,当且仅当e x>2x ,即e x-2x >0,令g (x )=e x-2x ,则g ′(x )=e x-2, 令g ′(x )=0,得x =ln 2.当x ∈(-1,ln 2)时,g ′(x )=e x-2<0,故函数g (x )在(-1,ln 2)上单调递减;当x ∈(ln 2,+∞)时,g ′(x )=e x -2>0,故函数g (x )在(ln 2,+∞)上单调递增.所以g (x )在(-1,+∞)上的最小值为g (ln 2)=eln 2-2ln 2=2(1-ln 2)>0.所以在(-1,+∞)上有g (x )≥g (ln 2)>0.即e x>2x . 故当x ∈(-1,+∞)时,有f (x )>2x 2+x -1x +1.分 析 法典题导入[例2] △ABC 的三个内角A ,B ,C 成等差数列,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . 求证:1a +b +1b +c =3a +b +c. [自主解答] 要证1a +b +1b +c =3a +b +c, 即证a +b +c a +b +a +b +c b +c =3也就是c a +b +ab +c=1, 只需证c (b +c )+a (a +b )=(a +b )(b +c ), 需证c 2+a 2=ac +b 2,又△ABC 三内角A ,B ,C 成等差数列,故B =60°, 由余弦定理,得b 2=c 2+a 2-2ac cos 60°,即b 2=c 2+a 2-ac ,故c 2+a 2=ac +b 2成立. 于是原等式成立.由题悟法分析法的特点与思路分析法的特点是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”(或定理、性质或已经证明成立的结论等).通常采用“欲证——只需证——已知”的格式,在表达中要注意叙述形式的规范.以题试法2.已知m >0,a ,b ∈R ,求证:⎝ ⎛⎭⎪⎫a +mb 1+m 2≤a 2+mb 21+m . 证明:∵m >0,∴1+m >0. 所以要证原不等式成立,只需证明(a +mb )2≤(1+m )(a 2+mb 2), 即证m (a 2-2ab +b 2)≥0, 即证(a -b )2≥0,而(a-b)2≥0显然成立,故原不等式得证.典题导入[例3] 设{a n}是公比为q的等比数列,S n是它的前n项和.(1)求证:数列{S n}不是等比数列;(2)数列{S n}是等差数列吗?为什么?[自主解答] (1)证明:若{S n}是等比数列,则S22=S1·S3,即a21(1+q)2=a1·a1(1+q +q2),∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,解得q=0,这与q≠0相矛盾,故数列{S n}不是等比数列.(2)当q=1时,{S n}是等差数列.当q≠1时,{S n}不是等差数列.假设q≠1时,S1,S2,S3成等差数列,即2S2=S1+S3,2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2).由于a1≠0,∴2(1+q)=2+q+q2,即q=q2,∵q≠1,∴q=0,这与q≠0相矛盾.综上可知,当q=1时,{S n}是等差数列;当q≠1时,{S n}不是等差数列.由题悟法反证法证明问题的一般步骤(1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否定结论)(2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾)(3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)以题试法3.实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个为负数.证明:假设a,b,c,d都是非负数,则由a+b=c+d=1,得1=(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd,即ac+bd≤1,这与ac+bd>1矛盾,故假设不成立.即a,b,c,d中至少有一个为负数.1.(2012·平顶山模拟)命题“如果数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n ,那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A .不成立B .成立C .不能断定D .能断定解析:选B ∵S n =2n 2-3n ,∴S n -1=2(n -1)2-3(n -1)(n ≥2),∴a n =S n -S n -1=4n -5(当n =1时,a 1=S 1=-1符合上式).∴a n +1-a n =4(n ≥1),∴{a n }是等差数列. 2.要证:a 2+b 2-1-a 2b 2≤0,只要证明( ) A .2ab -1-a 2b 2≤0 B .a 2+b 2-1-a 4+b 42≤0C.a+b22-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥0解析:选D 因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0.3.(2012·山师大附中模拟)用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设为( )A.a,b,c中至少有两个偶数B.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C.a,b,c都是奇数D.a,b,c都是偶数解析:选B “恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”.4.(2013·银川模拟)设a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b,a<b及a=b中至少有一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立,其中正确判断的个数为( )A.0 B.1C.2 D.3解析:选C ①②正确;③中,a≠b,b≠c,a≠c可以同时成立,如a=1,b=2,c=3,故正确的判断有2个.5.(2012·张家口模拟)分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a +b+c=0,求证b2-ac<3a”索的因应是( )A.a-b>0 B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0解析:选C b2-ac<3a⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a2<0⇔-2a2+ac+c2<0⇔2a2-ac-c2>0⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.6.不相等的三个正数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2三数( )A.成等比数列而非等差数列B.成等差数列而非等比数列C .既成等差数列又成等比数列D .既非等差数列又非等比数列解析:选B 由已知条件,可得⎩⎪⎨⎪⎧a +c =2b , ①x 2=ab , ②y 2=bc . ③由②③得⎩⎪⎨⎪⎧a =x 2b,c =y2b .代入①,得x 2b +y 2b=2b ,即x 2+y 2=2b 2.故x 2,b 2,y 2成等差数列.7.设a =3+22,b =2+7,则a ,b 的大小关系为________.解析:a =3+22,b =2+7两式的两边分别平方,可得a 2=11+46,b 2=11+47,显然,6<7.∴a <b .答案:a <b8.(2012·黄冈质检)在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论,则三边a ,b ,c 应满足________.解析:由余弦定理cos A =b 2+c 2-a 22bc<0,所以b 2+c 2-a 2<0,即a 2>b 2+c 2. 答案:a 2>b 2+c 29.(2012·肇庆模拟)已知点A n (n ,a n )为函数y =x 2+1图象上的点,B n (n ,b n )为函数y =x 图象上的点,其中n ∈N *,设c n =a n -b n ,则c n 与c n +1的大小关系为________.解析:由条件得c n =a n -b n =n 2+1-n =1n 2+1+n,∴c n 随n 的增大而减小. ∴c n +1<c n . 答案:c n +1<c n10.若a >b >c >d >0且a +d =b +c , 求证:d +a <b +c .证明:要证d +a <b +c ,只需证(d +a )2<(b +c )2, 即a +d +2ad <b +c +2bc , 因a +d =b +c ,只需证ad <bc , 即ad <bc ,设a +d =b +c =t ,则ad-bc=(t-d)d-(t-c)c=(c-d)(c+d-t)<0,故ad<bc成立,从而d+a<b+c成立.11.求证:a,b,c为正实数的充要条件是a+b+c>0,且ab+bc+ca>0和abc>0.证明:必要性(直接证法):∵a,b,c为正实数,∴a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,因此必要性成立.充分性(反证法):假设a,b,c是不全为正的实数,由于abc>0,则它们只能是两负一正,不妨设a<0,b<0,c>0.又∵ab+bc+ca>0,∴a(b+c)+bc>0,且bc<0,∴a(b+c)>0.①又∵a<0,∴b+c<0.∴a+b+c<0这与a+b+c>0相矛盾.故假设不成立,原结论成立,即a,b,c均为正实数.12.设f(x)=e x-1.当a>ln 2-1且x>0时,证明:f(x)>x2-2ax.证明:欲证f(x) >x2-2ax,即e x-1 >x2-2ax,也就是e x-x2+2ax-1>0.可令u(x)=e x-x2+2ax-1,则u′(x)=e x-2x+2a.令h(x)=e x-2x+2a,则h′(x)=e x-2.当x∈(-∞,ln 2)时,h′(x)<0,函数h(x)在(-∞,ln 2]上单调递减,当x∈(ln 2,+∞)时,h′(x)>0,函数h(x)在[ln 2,+∞)上单调递增.所以h(x)的最小值为h(ln 2)=e ln 2-2ln 2+2a=2-2ln 2+2a.因为a>ln 2-1,所以h(ln 2) >2-2ln 2+2(ln 2-1)=0,即h(ln 2)>0.所以u′(x)=h(x)>0,即u(x)在R上为增函数.故u(x)在(0,+∞)上为增函数.所以u(x)>u(0).而u(0)=0,所以u(x)=e x-x2+2ax-1>0.即当a>ln 2-1且x>0时,f(x)>x2-2ax.1.已知函数y =f (x )的定义域为D ,若对于任意的x 1,x 2∈D (x 1≠x 2),都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22<f x 1+f x 22,则称y =f (x )为D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为( )A .y =log 2xB .y =xC .y =x 2D .y =x 3解析:选C 可以根据图象直观观察;对于C 证明如下: 欲证f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 22<f x 1+f x 22,即证⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 222<x 21+x 222.即证(x 1+x 2)2<2x 21+2x 22.即证(x 1-x 2)2>0.显然成立.故原不等式得证.2.(2012·邯郸模拟)设a ,b 是两个实数,给出下列条件: ①a +b >1;②a +b =2;③a +b >2;④a 2+b 2>2;⑤ab >1.其中能推出:“a ,b 中至少有一个大于1”的条件是______.(填序号) 解析:若a =12,b =23,则a +b >1,但a <1,b <1,故①推不出;若a =b =1,则a +b =2,故②推不出; 若a =-2,b =-3,则a 2+b 2>2,故④推不出; 若a =-2,b =-3,则ab >1,故⑤推不出; 对于③,即a +b >2,则a ,b 中至少有一个大于1, 反证法:假设a ≤1且b ≤1, 则a +b ≤2与a +b >2矛盾,因此假设不成立,故a ,b 中至少有一个大于1. 答案:③3.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点.若f (c )=0,且0<x <c 时,f (x )>0.(1)证明:1a 是函数f (x )的一个零点;(2)试比较1a与c 的大小.解:(1)证明:∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点, ∴f (x )=0有两个不等实根x 1,x 2. ∵f (c )=0,∴x 1=c 是f (x )=0的根. 又x 1x 2=c a, ∴x 2=1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ,∴1a 是f (x )=0的一个根.即1a是函数f (x )的一个零点. (2)假设1a <c ,∵1a>0,∴由0<x <c 时,f (x )>0,知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0,这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a=0矛盾,∴1a≥c .又∵1a ≠c ,∴1a>c .1.已知非零向量a ,b 且a ⊥b ,求证:|a |+|b ||a +b |≤ 2.证明:a ⊥b ⇔a ·b =0, 要证|a |+|b ||a +b |≤2,只需证|a |+|b |≤2|a +b |,只需证|a |2+2|a ||b |+|b |2≤2(a 2+2a ·b +b 2), 只需证|a |2+2|a ||b |+|b |2≤2a 2+2b 2,只需证|a |2+|b |2-2|a ||b |≥0,即(|a |-|b |)2≥0, 上式显然成立,故原不等式得证.2.已知{a n }是正数组成的数列,a 1=1,且点(a n ,a n +1)(n ∈N *)在函数y =x 2+1的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b 1=1,b n +1=b n +2a n , 求证:b n ·b n +2<b 2n +1.解:(1)由已知得a n +1=a n +1,则a n +1-a n =1,又a 1=1, 所以数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列. 故a n =1+(n -1)×1=n .(2)证明:由(1)知,a n =n ,从而b n +1-b n =2n.b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+…+(b 2-b 1)+b 1=2n -1+2n -2+…+2+1=1-2n1-2=2n-1.因为b n ·b n +2-b 2n +1=(2n -1)(2n +2-1)-(2n +1-1)2=(22n +2-2n +2-2n +1)-(22n +2-2×2n +1+1)=-2n<0,所以b n·b n+2<b2n+1.。
第6课时 双曲线1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质. 2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想.『梳理自测』一、双曲线的概念(教材改编)已知点F 1(-4,0)和F 2(4,0),一曲线上的动点P 到F 1,F 2距离之差为6,该曲线方程是________.『答案』x 29-y 27=1(x≥3)◆此题主要考查了以下内容:平面内与两个定点F 1,F 2(|F 1F 2|=2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.集合P ={M||MF 1|-|MF 2||=2a},|F 1F 2|=2c ,其中a 、c 为常数且a >0,c >0; (1)当2a <2c 时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当2a =2c 时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当2a >2c 时,P 点不存在. 二、双曲线标准方程及性质1.(教材改编)双曲线x 210-y 22=1的焦距为( )A .32B .42C .3 3D .432.双曲线y 2-x 2=2的渐近线方程是( )A .y =±xB .y =±2xC .y =±3xD .y =±2x3.已知双曲线x 2a 2-y 25=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )A .31414B .324 C .32 D .434.双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m =________. 『答案』1.D 2.A 3.C 4.-14◆此题主要考查了以下内容: 标准方程x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0) y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0) 图形性质范围 x≥a 或x≤-a ,y ∈Rx ∈R ,y ≤-a 或y ≥a对称性 对称轴;坐标轴对称中心:原点顶点A 1(-a ,0),A 2(a ,0)A 1(0,-a ),A 2(0,a )渐近线 y =±b axy =±a bx离心率e =ca,e ∈(1,+∞) 其中c =a 2+b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴,它的长|A 1A 2|=2a ;线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴,它的长|B 1B 2|=2b ;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系 c 2=a 2+b 2(c >a >0,c >b >0) 『指点迷津』1.一条规律根据方程中x 2与y 2的系数的正负来确定实轴与虚轴的位置,即焦点在实轴上. 2.两种方法(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a 、2b 或2c ,从而求出a 2、b 2,写出双曲线方程.(2)待定系数法:先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上,设出标准方程,再由条件确定a 2、b 2的值,即“先定型,再定量”;如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为x 2m 2-y 2n2=λ(λ≠0),再根据条件求λ的值.3.三个关注点——双曲线几何性质的关注点 双曲线的几何性质从以下三点关注: (1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点; (2)“四线”:两对称轴(实、虚轴),两渐近线;(3)“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形,双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形.考向一 双曲线的定义及标准方程(1)(2014·陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2-y 2=9左焦点F 1的直线交双曲线的左支于点P ,Q ,F 2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△F 2PQ 的周长为( )A .19B .26C .43D .50(2)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)和椭圆x 216+y 29=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________.『审题视点』 (1)利用双曲线定义|PF 2|-|QF 2|=2a 及三角形周长的计算求解. (2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程. 『典例精讲』 (1)如图,由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|-|PF 1|=2a ,|QF 2|-|QF 1|=2a ,将两式相加得|PF 2|+|QF 2|-|PQ|=4a , ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|+|QF 2|+|PQ| =4a +|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26.(2)椭圆x 216+y 29=1的焦点坐标为F 1(-7,0),F 2(7,0),离心率为e =74.由于双曲线x 2a 2-y 2b 2=1与椭圆x 216+y 29=1有相同的焦点,因此a 2+b 2=7. 又双曲线的离心率e =a 2+b 2a =7a ,所以7a =274,所以a =2,b 2=c 2-a 2=3,故双曲线的方程为x 24-y 23=1. 『答案』 (1)B (2)x 24-y 23=1『类题通法』 (1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时,经常考虑双曲线的定义. (2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时,其标准方程可设为x 2m -y 2n =1(mn >0),这样可避免讨论和复杂的计算;也可设为Ax 2+By 2=1(AB <0),这种形式在解题时更简便;(3)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay =0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为b 2x 2-a 2y 2=λ(λ≠0),据其他条件确定λ的值;(4)与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2-y 2b 2=λ(λ≠0),据其他条件确定λ的值.1.根据下列条件,求双曲线方程:(1)与双曲线x 29-y 216=1有共同的渐近线,且过点(-3,23);(2)与双曲线x 216-y 24=1有公共焦点,且过点(32,2).『解析』(1)设所求双曲线方程为x 29-y 216=λ(λ≠0),将点(-3,23)代入得λ=14,∴所求双曲线方程为x 29-y 216=14,即x 294-y 24=1. (2)设双曲线方程为x 216-k -y 24+k =1,将点(32,2)代入得k =4(k =-14舍去). ∴所求双曲线方程为x 212-y 28=1.考向二 双曲线的性质及应用(1)(2014·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上的点,F 1,F 2是其焦点,双曲线的离心率是54,且PF 1→·PF 2→=0,若△PF 1F 2的面积为9,则a +b 的值为( )A .5B .6C .7D .8(2)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点.若△ABF 2是等边三角形,则该双曲线的离心率为( )A .2B .7C .13D .15『审题视点』 (1)利用PF 1→ ·PF 2→=0及e =54转化为a ,b 的方程组.(2)利用双曲线定义及余弦定理求a 与c 的关系. 『典例精讲』 (1)由PF 1→·PF 2→=0,得PF 1→⊥PF 2→,设|PF 1→|=m ,|PF 2→|=n ,不妨设m >n ,则m 2+n 2=4c 2,m -n =2a ,12mn =9,c a =54,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =4,c =5, ∴b =3,∴a +b =7,故选C . (2)如图,由双曲线定义得,|BF 1|-|BF 2|=|AF 2|-|AF 1|=2a ,因为△ABF 2是正三角形,所以|BF 2|=|AF 2|=|AB|,因此|AF 1|=2a ,|AF 2|=4a ,且∠F 1AF 2=120°,在△F 1AF 2中,4c 2=4a 2+16a 2+2×2a×4a×12=28a 2,所以e =7,故选B .『答案』 (1)C (2)B『类题通法』 (1)求双曲线的离心率,就是求c 与a 的比值,一般不需要具体求出a ,c 的值,只需列出关于a ,b ,c 的方程或不等式解决即可.(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,二者之间可以互求.2.(2014·济南模拟)过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为________.『解析』如图所示,不妨设F 为右焦点,过F 作FP 垂直于一条渐近线,垂足为P ,过P 作PM ⊥OF 于M.由已知得M 为OF 的中点,由射影定理知|PF|2=|FM||FO|,又F(c ,0),渐近线方程为bx -ay =0,∴|PF|=bcb 2+a 2=b ,∴b 2=c 2·c ,即2b 2=c 2=a 2+b 2,∴a 2=b 2,∴e =c a=1+b 2a2= 2.『答案』2考向三 直线与双曲线的综合应用已知双曲线C :x 2a2-y 2=1(a >0)与l :x +y =1相交于两个不同的点A 、B ,l与y 轴交于点P ,若PA →=512PB →,则a =________.『审题视点』 联立方程组,利用P 、A 、B 坐标之间的关系,建立a 的方程. 『典例精讲』 因为双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点,故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2-y 2=1,x +y =1有两组不同的实数解,消去y 并整理,得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0,实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0,1-a 2≠0,4a 4+8a 2(1-a 2)>0, 解得0<a <2且a≠1. 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2), 由一元二次方程根与系数的关系, 得x 1+x 2=2a 2a 2-1,①x 1x 2=2a 2a 2-1,②又P(0,1),由PA →=512PB →,得(x 1,y 1-1)=512(x 2,y 2-1),从而x 1=512x 2,③由①③,解得⎩⎨⎧x 1=517·2a 2a 2-1,x 2=1217·2a 2a 2-1代入②,得517×1217×⎝⎛⎭⎫2a 2a 2-12=2a 2a 2-1, 即2a 2a 2-1=28960,解得a =1713,⎝⎛⎭⎫a =-1713舍去. 『答案』1713『类题通法』 (1)判断直线l 与双曲线E 的位置关系时,通常将直线l 的方程Ax +By +C =0(A 、B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F(x ,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程.即⎩⎪⎨⎪⎧Ax +By +C =0F (x ,y )=0,消去y 后得ax 2+bx +c =0.由此转化为两点坐标的关系.(2)特殊情况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系,数形结合求解.3.已知点A(-2,0),点B(2,0),且动点P 满足|PA|-|PB|=2,则动点P 的轨迹与直线y =k(x -2)有两个交点的充要条件为k ∈________.『解析』由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a =2,c =2,则b =c 2-a 2=1,∴P 点的轨迹方程为x 2-y 2=1(x >0),其一条渐近线方程为y =x.若P 点的轨迹与直线y =k(x -2)有两个交点,则需k ∈(-∞,-1)∪(1,+∞).『答案』(-∞,-1)∪(1,+∞)双曲线与渐近线的关系不清致误(2014·浙江温州适应性测试)已知F 1,F 2为双曲线Ax 2-By 2=1的焦点,其顶点是线段F 1F 2的三等分点,则其渐近线的方程为( )A .y =±22xB .y =±24x C .y =±x D .y =±22x 或y =±24x 『正解』 依题意c =3a ,∴c 2=9a 2.又c 2=a 2+b 2, ∴b 2a 2=8,b a =22,a b =24.故选D . 『答案』 D『易错点』 (1)默认为双曲线焦点在x 轴其渐近线为y =±ba x ,而错选为A .(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C .(3)把a ,b ,c 的关系与椭圆c 2=a 2-b 2混淆致错.『警示』 (1)对于方程x 2a 2-y 2b 2=1来说,求渐近线方程就相当于求ba的值,但要分焦点的位置是在x 轴还是在y 轴上,此题没有给出焦点的位置,其渐近线斜率有四种情况.(2)渐近线为y =±b a x 所对应的双曲线为x 2a 2-y 2b 2=λ(λ≠0).当λ>0时,表示焦点在x 轴上,当λ<0时,焦点在y 轴上.1.(2013·高考福建卷)双曲线x 24-y 2=1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25B .45C .255D .455『解析』选C .求出双曲线的顶点和渐近线,再利用距离公式求解.双曲线的渐近线为直线y =±12x ,即x±2y =0,顶点为(±2,0),∴所求距离为d =|±2±0|5=255.2.(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3,0),离心率等于32,则C 的方程是( )A .x 24-y 25=1B .x 24-y 25=1 C .x 22-y 25=1 D .x 22-y 25=1 『解析』选B .求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数a ,b 的值.右焦点为F(3,0)说明两层含义:双曲线的焦点在x 轴上;c =3.又离心率为c a =32,故a=2,b 2=c 2-a 2=32-22=5,故C 的方程为x 24-y 25=1,选B .3.(2013·高考北京卷)双曲线x 2-y 2m=1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A .m >12 B .m≥1C .m >1D .m >2『解析』选C .用m 表示出双曲线的离心率,并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解.∵双曲线x 2-y 2m=1的离心率e =1+m , 又∵e >2,∴1+m >2,∴m >1.4.(2013·高考湖北卷)已知0<θ<π4,则双曲线C 1:x 2cos 2θ-y 2sin 2θ=1与C 2:y 2sin 2θ-x 2sin 2θtan 2θ=1的( )A .实轴长相等B .虚轴长相等C .焦距相等D .离心率相等『解析』选D .先根据θ的范围,确定双曲线方程的类型,判断焦点所在的坐标轴,然后分析双曲线C 1和C 2的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等.双曲线C 1的焦点在x 轴上,a =cos θ,b =sin θ,c =1,因此离心率e 1=1cos θ;双曲线C 2的焦点在y 轴上,由于0<θ<π4,所以a =sin θ,b =sin θtan θ,c =sin 2θ+sin 2θtan 2θ,因此离心率e 2=sin 2θ+sin 2θtan 2θsin θ=sin θ1+tan 2θsin θ=1cos θ .故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等,离心率相等。
(1)已知双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的一条渐近线
平行于直线l :y =2x +10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ) A.x 25-y 2
20=1 B.x 220-y 2
5=1 C.3x 225-3y 2
100=1
D.3x 2100-3y 2
25=1
(2)设椭圆C 1的离心率为5
13,焦点在x 轴上且长轴长为26,若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为( ) A.x 242-y 2
32=1 B.x 2132-y 2
52=1 C.x 232-y 2
42=1
D.x 2132-y 2
122=1
题型二 双曲线的几何性质
例2 (1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1:x 24+y 2
=1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.32 D.6
2
(2)若实数k 满足0<k <9,则曲线x 225-y 29-k =1与曲线x 225-k -y 2
9=1的( )
A .焦距相等
B .实半轴长相等
C .虚半轴长相等
D .离心率相等 思维升华 (1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法:一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围;另一种是建立a ,b ,c 的齐次关系式,将b 用a ,e 表示,令两边同除以a 或。
高中数学双曲线优质教案
年级:高中
课题:双曲线
教学目标:
1. 掌握双曲线的定义和性质;
2. 熟练掌握双曲线的标准方程和重要公式;
3. 能够运用双曲线的性质解决实际问题。
教学重点与难点:
重点:双曲线的定义和性质、标准方程、焦点、渐近线等重点知识点。
难点:双曲线的焦点和渐近线的理解与应用。
教学准备:
1. 教材《高中数学》;
2. 教学课件;
3. 黑板和彩色粉笔;
4. 相关练习题。
教学过程:
一、导入(5分钟)
通过展示双曲线的图像或相关现实生活中的例子引入双曲线的概念,并引出双曲线的定义和性质。
二、讲解(15分钟)
1. 讲解双曲线的定义、标准方程和性质;
2. 讲解双曲线的焦点、渐近线等重要知识点。
三、练习(20分钟)
根据教学内容设计一些练习题,让学生在课堂上进行练习,巩固所学知识,同时引导学生掌握解题方法。
四、拓展(10分钟)
引导学生从现实生活中找出双曲线的应用场景,让学生探讨双曲线在现实中的应用,并引导学生深入了解双曲线的更多性质。
五、作业布置(5分钟)
布置相关作业,让学生进行巩固练习。
教学反思:
通过该课,学生应该掌握双曲线的基本概念、性质和计算方法,能够应用所学知识解决相关问题。
同时,老师应该关注学生对双曲线性质的理解深度和应用能力,及时进行个别辅导和指导。
学案52 双曲线导学目标: 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简洁几何性质.2.理解数形结合的思想.自主梳理1.双曲线的概念平面内动点P 与两个定点F 1、F 2(|F 1F 2|=2c >0)的距离之差的确定值为常数2a (2a <2c ),则点P 的轨迹叫________.这两个定点叫双曲线的________,两焦点间的距离叫________.集合P ={M |||MF 1|-|MF 2||=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a 、c 为常数且a >0,c >0; (1)当________时,P 点的轨迹是________; (2)当________时,P 点的轨迹是________; (3)当________时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程 x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0) y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)图形性质 范围 x ≥a 或x ≤-a ,y ∈R x ∈R ,y ≤-a 或y ≥a对称性对称轴:坐标轴 对称中心:原点 对称轴:坐标轴对称中心:原点 顶点顶点坐标: A 1(-a,0),A 2(a,0) 顶点坐标:A 1(0,-a ),A 2(0,a )渐近线 y =±b a x y =±ab x离心率 e =ca,e ∈(1,+∞),其中c =a 2+b 2实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴,它的长|A 1A 2|=2a ;线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴,它的长|B 1B 2|=2b ;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系 c 2=a 2+b 2 (c >a >0,c >b >0)3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________,其渐近线方程为________,离心率为________. 自我检测 1.(2011·安徽)双曲线2x 2-y 2=8的实轴长是( ) A .2 B .2 2 C .4 D .4 22.已知双曲线x 22-y2b 2=1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,其中一条渐近线方程为y =x ,点P (3,y 0)在该双曲线上,则PF 1→·PF 2→等于( )A .-12B .-2C .0D .4 3.(2011·课标全国)设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( )A. 2B. 3C .2D .34.(2011·武汉调研)已知点(m ,n )在双曲线8x 2-3y 2=24上,则2m +4的范围是__________________.5.已知A (1,4),F 是双曲线x 24-y 212=1的左焦点,P 是双曲线右支上的动点,求|PF |+|P A |的最小值.探究点一 双曲线的定义及应用例1 已知定点A (0,7),B (0,-7),C (12,2),以C 为一个焦点作过A ,B 的椭圆,求另一焦点F 的轨迹方程.变式迁移1 已知动圆M 与圆C 1:(x +4)2+y 2=2外切,与圆C 2:(x -4)2+y 2=2内切,求动圆圆心M 的轨迹方程.探究点二 求双曲线的标准方程例2 已知双曲线的一条渐近线方程是x -2y =0,且过点P (4,3),求双曲线的标准方程.变式迁移2 (2011·安庆模拟)已知双曲线与椭圆x 29+y 225=1的焦点相同,且它们的离心率之和等于145,则双曲线的方程为____________.探究点三 双曲线几何性质的应用例3 已知双曲线的方程是16x 2-9y 2=144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点,点P 在双曲线上,且|PF 1|·|PF 2|=32,求∠F 1PF 2的大小.变式迁移3 已知双曲线C :x 22-y 2=1.(1)求双曲线C 的渐近线方程;(2)已知M 点坐标为(0,1),设P 是双曲线C 上的点,Q 是点P 关于原点的对称点.记λ=MP →·MQ →,求λ的取值范围.方程思想的应用例 (12分)过双曲线x 23-y 26=1的右焦点F 2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点,O 为坐标原点,F 1为左焦点.(1)求|AB |;(2)求△AOB 的面积;(3)求证:|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|BF 1|.多角度审题 (1)要求弦长|AB |需要A 、B 两点坐标或设而不求利用弦长公式,这就需要先求直线AB ;(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离;(3)要充分联想到A 、B 两点在双曲线上这个条件.【答题模板】(1)解 由双曲线的方程得a =3,b =6, ∴c =a 2+b 2=3,F 1(-3,0),F 2(3,0).直线AB 的方程为y =33(x -3).设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎨⎧y =33(x -3)x 23-y 26=1,得5x 2+6x -27=0.[2分]∴x 1+x 2=-65,x 1x 2=-275,∴|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+⎝⎛⎭⎫332·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=43·3625+1085=1635.[4分] (2)解 直线AB 的方程变形为3x -3y -33=0. ∴原点O 到直线AB 的距离为d =|-33|(3)2+(-3)2=32.[6分] ∴S △AOB =12|AB |·d =12×1635×32=1235.[8分](3)证明如图,由双曲线的定义得 |AF 2|-|AF 1|=23, |BF 1|-|BF 2|=23,[10分] ∴|AF 2|-|AF 1|=|BF 1|-|BF 2|, 即|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|BF 1|.[12分] 【突破思维障碍】写出直线方程,联立直线方程、双曲线方程,消元得关于x 的一元二次方程,利用弦长公式求|AB |,再求点O 到直线AB 的距离从而求面积,最终利用双曲线的定义求证等式成立.【易错点剖析】在直线和双曲线相交的状况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ>0,而导致错解.1.区分双曲线中的a ,b ,c 大小关系与椭圆中a ,b ,c 的大小关系,在椭圆中a 2=b 2+c 2,而在双曲线中c 2=a 2+b 2;双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e ∈(0,1).2.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的渐近线方程是y =±b a x ,y 2a 2-x 2b 2=1 (a >0,b >0)的渐近线方程是y =±ab x .3.双曲线标准方程的求法:(1)定义法,依据题目的条件,推断是否满足双曲线的定义,若满足,求出相应的a 、b 、c ,即可求得方程.(2)待定系数法,其步骤是:①定位:确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上;②设方程:依据焦点的位置设出相应的双曲线方程;③定值:依据题目条件确定相关的系数.。
华侨城中学2011年高考数学总复习教学案复习内容:双曲线【知识与方法】 1、下列曲线中离心率为62的是( )A.x 22-y 24=1 B.x 24-y 22=1 C.x 24-y 26=1 D.x 24-y210=1 2、中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为2,则双曲线方程为( )A .x 2-y 2=1B .x 2-y 2=2C .x 2-y 2= 2D .x 2-y 2=123、双曲线x 24-y 212=1的焦点到渐近线的距离为( )A .2 3B .2 C. 3 D .1 4、已知离心率为e 的曲线x 2a 2-y 27=1,其右焦点与抛物线y 2=16x 的焦点重合,则e 的值为( )A.34B.42323C.43D.2345、设F 1和F 2为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点,若F 1,F 2,P (0,2b )是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )A.32 B .2 C.52 D .3 6、过点P (4,4)且与双曲线x 216-y 29=1只有一个交点的直线有 (条)7、已知双曲线的右焦点为(5,0),一条渐近线方程为2x -y =0,则双曲线的标准方程为 8、P 为双曲线x 2-y 215=1右支上一点,M 、N 分别是圆(x +4)2+y 2=4和(x -4)2+y 2=1上的点,则|PM |-|PN |的最大值为9、已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率的取值范围是e ∈[233,2],则两渐近线夹角的取值范围是 【理解与应用】10、(1)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x 2+y 2=10相交于点P (3,-1),若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程;(2)已知双曲线的离心率e =52,且与椭圆x 213+y23=1有共同的焦点,求该双曲线的方程.11、已知双曲线C :x 24-y 2=1,P 是C 上的任意点.(1)求证:点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (2)设点A 的坐标为(3,0),求|PA |的最小值.12、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为(3,0). (1)求双曲线C 的方程;(2)若直线:y =kx +m (k ≠0,m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ,且线段MN 的垂直平分线过点A (0,-1),求实数m 的取值范围.华侨城中学2011年高考数学总复习教学案(教师版)复习内容:双曲线【知识与方法】 1.下列曲线中离心率为62的是( )A.x 22-y 24=1B.x 24-y 22=1C.x 24-y 26=1D.x 24-y210=1 解析:双曲线离心率e =c a =a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=62,知b 2a 2=12,只有B 选项符合,故选B . 2、中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为2,则双曲线方程为( )A .x 2-y 2=1B .x 2-y 2=2C .x 2-y 2= 2D .x 2-y 2=12解析:由题意,设双曲线方程为x 2a 2-y 2a 2=1(a >0),则c =2a ,渐近线y =x ,∴|2a |2=2,∴a 2=2.∴双曲线方程为x 2-y 2=2.答案:B 3、双曲线x 24-y 212=1的焦点到渐近线的距离为( )A .2 3B .2 C. 3 D .1解析:双曲线x 24-y 212=1的焦点为(4,0)或(-4,0).渐近线方程为y =3x 或y =-3x .由双曲线的对称性可知,任一焦点到任一渐近线的距离相等,d =|43+0|3+1=2 3.答案:A4、已知离心率为e 的曲线x 2a 2-y 27=1,其右焦点与抛物线y 2=16x 的焦点重合,则e 的值为( )A.34B.42323C.43D.234解析:抛物线焦点坐标为(4,0),则a 2+7=16,∴a 2=9,∴e =c a =43.答案:C5、设F 1和F 2为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点,若F 1,F 2,P (0,2b )是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )A.32 B .2 C.52D .3 解析:|PO ||F 1O |=tan60°,2b c =3⇒4b 2=3c 2⇒4(c 2-a 2)=3c 2⇒c 2=4a 2⇒c 2a 2=4⇒e =2.答案:B6、过点P (4,4)且与双曲线x 216-y 29=1只有一个交点的直线有( )A .1条B .2条C .3条D .4条 解析:如图所示,满足条件的直线共有3条.答案:C7、已知双曲线的右焦点为(5,0),一条渐近线方程为2x -y =0,则双曲线的标准方程为__________.解析:据题意由c =5,b a =2,a 2+b 2=c 2⇒a 2=5,b 2=20,故双曲线方程为x 25-y 220=1.答案:x 25-y220=1 8、P 为双曲线x 2-y 215=1右支上一点,M 、N 分别是圆(x +4)2+y 2=4和(x -4)2+y 2=1上的点,则|PM |-|PN |的最大值为________.解析:双曲线两个焦点为F 1(-4,0)、F 2(4,0),为两个圆圆心,半径分别为r 1=2,r 2=1,|PM |max =|PF 1|+2,|PN |min =|PF 2|-1,故|PM |-|PN |的最大值为(|PF 1|+2)-(|PF 2|-1)=|PF 1|-|PF 2|+3=5.9、已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率的取值范围是e ∈[233,2],则两渐近线夹角的取值范围是__________.解析:e 2∈[43,4],∴43≤c 2a 2≤4,∴33≤b a ≤3,设夹角为α,可得π6≤α2≤π3,∵α≤π2,∴π3≤α≤π2. 10、(1)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x 2+y 2=10相交于点P (3,-1),若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程;(2)已知双曲线的离心率e =52,且与椭圆x 213+y23=1有共同的焦点,求该双曲线的方程.解:(1)切点为P (3,-1)的圆x 2+y 2=10的切线方程是3x -y =10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称,∴两渐近线方程为3x ±y =0.设所求双曲线方程为9x 2-y 2=λ(λ≠0).∵点P (3,-1)在双曲线上,代入上式可得λ=80,∴所求的双曲线方程为x 2809-y 280=1.(2)在椭圆中,焦点坐标为(±10,0),∴c =10,又e =c a=10a=52,∴a 2=8,b 2=2.∴双曲线方程为x 28-y 22=1.11、已知双曲线C :x 24-y 2=1,P 是C 上的任意点.(1)求证:点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (2)设点A 的坐标为(3,0),求|PA |的最小值.解:(1)证明:设P (x 1,y 1)是双曲线上任意一点,该双曲线的两条渐近线方程分别是x -2y =0和x +2y =0,点P (x 1,y 1)到两条渐近线的距离分别是|x 1-2y 1|5和|x 1+2y 1|5.它们的乘积是|x 1-2y 1|5·|x 1+2y 1|5=221145x y -=45.∴点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.(2)设P 的坐标为(x ,y ),则|PA |2=(x -3)2+y 2=(x -3)2+x 24-1=54(x -125)2+45.∵|x |≥2,∴当x =125时,|PA |2的最小值为45,即|PA |的最小值为255.12、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为(3,0). (1)求双曲线C 的方程;(2)若直线:y =kx +m (k ≠0,m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ,且线段MN 的垂直平分线过点A (0,-1),求实数m 的取值范围.解:(1)设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0).由已知得a =3,c =2.又a 2+b 2=c 2,得b 2=1.故双曲线C 的方程为x 23-y 2=1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m x 23-y 2=1整理得(1-3k 2)x 2-6kmx -3m 2-3=0.∵直线与双曲线有两个不同的交点,∴⎩⎪⎨⎪⎧1-3k 2≠0Δ=12(m 2+1-3k 2)>0,可得m 2>3k 2-1且k 2≠13.①设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),MN 的中点为B (x 0,y 0).则x 1+x 2=6km 1-3k 2,x 0=x 1+x 22=3km1-3k2,y 0=kx 0+m =m1-3k 2.由题意,AB ⊥MN ,∵k AB =m1-3k 2+13km 1-3k2=-1k(k ≠0,m ≠0). 整理得3k 2=4m +1. ②将②代入①,得m 2-4m >0,∴m <0或m >4.又3k 2=4m +1>0(k ≠0),即m >-14.∴m 的取值范围是(-14,0)∪(4,+∞).《双曲线》基础训练1、设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2,焦距为32,则双曲线的渐近线方程为( )A x y 2±=B x y 2±=C x y 22±= D x y 21±=2、如果双曲线x 213-y 212=1上一点P 到右焦点的距离等于13,那么点P 到右准线的距离是( ) A.135B .13C .5D.5133、设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ) A.45 B. 5 C. 25 D.5 4.椭圆x 2m +y 2n =1(m >n >0)与双曲线x 2a -y 2b=1(a >0,b >0)有相同的焦点F 1、F 2,P 是两曲线的一个交点,则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A .m -a B.12(m -a ) C .m 2-a 2D.m -a5.已知双曲线的两个焦点为F 1(-10,0)、F 2(10,0),M 是此双曲线上的一点,且满足1MF ·2MF =0,|1MF |·|2MF |=2,则该双曲线的方程是( )A.x 29-y 2=1 B .x 2-y 29=1 C.x 23-y 27=1 D.x 27-y 23=16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上,则双曲线的方程为7.已知F 为双曲线x 24-y 212=1的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支点上的动点,则|PF |+|PA |的最小值为________.8、设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为9.双曲线方程为2221x y -=,则它的右焦点坐标为10、已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点,且212PF F F =,则12PF F ∆的面积等于11、已知双曲线的方程是16x 2-9y 2=144.(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点,点P 在双曲线上,且|PF 1|·|PF 2|=32,求∠F 1PF 2的大小.12、已知M (-2,0),N (2,0)两点,动点P 在y 轴上的射影为H ,且使PH →·PH →与PM →·PN →分别是公比为2的等比数列的第三、四项. (1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)已知过点N 的直线l 交曲线C 于x 轴下方...两个不同的点A 、B ,设R 为AB 的中点,若过点R 与定点Q (0,-2)的直线交x 轴于点D (x 0,0),求x 0的取值范围.《双曲线》基础训练答案1、设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2,焦距为32,则双曲线的渐近线方程为( )A x y 2±=B x y 2±=C x y 22±= D x y 21±=【解析】选C.由已知得到2,3,122=-===b c a c b ,因为双曲线的焦点在x 轴上,故渐近线方程为x x a b y 22±=±=. 2、如果双曲线x 213-y 212=1上一点P 到右焦点的距离等于13,那么点P 到右准线的距离是( )A.135B .13C .5D.513解析:由x 213-y 212=1得a =13,b =23,c =5,e =513.设P 到右准线的距离为d ,根据双曲线的定义|PF 2|d =e ,即d =|PF 2|e =135.答案:A3、设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ) A.45 B. 5 C. 25 D.5 【解析】选D.双曲线12222=-by a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21by x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩, 消去y,得210bx x a-+=有唯一解,所以△=2()40ba-=,所以2b a =±,2c e a ====.椭圆x 2m +y 2n =1(m >n >0)与双曲线x 2a -y 2b =1(a >0,b >0)有相同的焦点F 1、F 2,P 是两曲线的一个交点,则|PF 1|·|PF 2|的值为 ( )A .m -a B.12(m -a ) C .m 2-a 2D.m -a解析:根据已知条件:|PF 1|+|PF 2|=2m ①||PF 1|-|PF 2||=2a ② ①2-②2得4|PF 1||PF 2|=4m -4a ,即|PF 1||PF 2|=m -a .答案:A5.已知双曲线的两个焦点为F 1(-10,0)、F 2(10,0),M 是此双曲线上的一点,且满足1MF ·2MF =0,|1MF |·|2MF |=2,则该双曲线的方程是( )A.x 29-y 2=1 B .x 2-y 29=1 C.x 23-y 27=1 D.x 27-y 23=1 解析:∵1MF ·2MF =0,∴1MF ⊥2MF ,∴MF 1⊥MF 2,∴|MF 1|2+|MF 2|2=40,∴(|MF 1|-|MF 2|)2=|MF 1|2-2|MF 1|·|MF 2|+|MF 2|2=40-2×2=36,∴||MF 1|-|MF 2||=6=2a ,a =3,又c =10,∴b 2=c 2-a 2=1,∴双曲线方程为x 29-y 2=1.答案:A6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上,则双曲线的方程为【解析】依题意知2222269,27ba c abc a b +⎧=⎪⎪=⇒==⎨⎪=⎪⎩,所以双曲线的方程为221927x y -= 7.已知F 为双曲线x 24-y 212=1的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支点上的动点,则|PF |+|PA |的最小值为________.解析:如图,设F ′为双曲线的右焦点,F ′(4,0),则|PF |=|PF ′|+4, 当P 点在直线AF ′上时,|PF |+|PA |=|PF ′|+|PA |+4≥|AF ′|+4=9. 答案:98、设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为解析:选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上,设其方程为:22221(0,0)x y a b a b-=>>,则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为:b a ,直线FB 的斜率为:b c -,()1b ba c ∴⋅-=-,2b ac ∴=,220c a ac --=,解得c e a ==9.双曲线方程为2221x y -=,则它的右焦点坐标为【解析】双曲线的2211,2a b ==,232c =,c =⎫⎪⎪⎝⎭. 10、已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点,且212PF F F =,则12PF F ∆的面积等于【解析】∵双曲线22:1916x y C -=中3,4,5a b c === ∴()()125,0,5,0F F -∵212PF F F = ∴12261016PF a PF =+=+=作1PF 边上的高2AF ,则18AF = ∴26AF ==∴12PF F ∆的面积为12111664822PF PF ⋅=⨯⨯= 11、已知双曲线的方程是16x 2-9y 2=144.(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点,点P 在双曲线上,且|PF 1|·|PF 2|=32,求∠F 1PF 2的大小.解:(1)由16x 2-9y 2=144得x 29-y 216=1,∴a =3,b =4,c =5.焦点坐标F 1(-5,0),F 2(5,0),离心率e =53,渐近线方程为y =±43x.(2)||PF 1|-|PF 2||=6,cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1||PF 2|-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=36+64-10064=0.∴∠F 1PF 2=90°.12、已知M (-2,0),N (2,0)两点,动点P 在y 轴上的射影为H ,且使PH →·PH →与PM →·PN →分别是公比为2的等比数列的第三、四项.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)已知过点N 的直线l 交曲线C 于x 轴下方...两个不同的点A 、B ,设R 为AB 的中点,若过点R 与定点Q (0,-2)的直线交x 轴于点D (x 0,0),求x 0的取值范围.解:(1)M (-2,0),N (2,0),设动点P 的坐标为(x ,y ),所以H (0,y ),所以PH →=(-x,0),PM→=(-2-x ,-y ),PN →=(2-x ,y ),PH →·PH →=x 2,PM →·PN →=-(4-x )2+y 2由条件得y 2-x 2=4,又因为是等比,所以x 2≠0,所求动点的轨迹方程y 2-x 2=4(x ≠0).(2)设直线l 的方程为y =k (x -2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -2),y 2-x 2=4,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1k 2y 2-4k y -8=0.∴y 1+y 2=4k k 2-1,y 1·y 2=-8k 2k 2-1.∴⎩⎪⎨⎪⎧4kk 2-1<0,-8k 2k 2-1>0,解得:22<k <1,R ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2k 2-1,2k k 2-1,k RQ =k 2+k -1k 2.直线RQ 的方程为y +2=k 2+k -1k 2x ,∴x 0=2k 2k 2+k -1=2-⎝ ⎛⎭⎪⎫1k -122+54,∴2<x 0<2+2 2.。
两直线的位置关系[知识能否忆起]一、两条直线的位置关系 斜截式 一般式方 程 y =k 1x +b 1 y =k 2x +b 2 A 1x +B 1y +C 1=0(A 21+B 21≠0) A 2x +B 2y +C 2=0(A 22+B 22≠0)相 交 k 1≠k 2 A 1B 2-A 2B 1≠0⎝⎛⎭⎫当A 2B 2≠0时,记为A 1A 2≠B 1B 2垂 直k 1=-1k 2或k 1k 2=-1A 1A 2+B 1B 2=0⎝⎛⎭⎫当B 1B 2≠0时,记为A 1B 1·A 2B 2=-1平 行k 1=k 2 且b 1≠b 2{ A 1B 2-A 2B 1=0,B 2C 1-B 1C 2≠0或{ A 1B 2-A 2B 1=0,A 1C 2-A 2C 1≠0⎝⎛⎭⎫当A 2B 2C 2≠0时,记为A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2 重 合 k 1=k 2 且b 1=b 2A 1=λA 2,B 1=λB 2,C 1=λC 2(λ≠0)⎝⎛⎭⎫当A 2B 2C 2≠0时,记为A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2二、两条直线的交点设两条直线的方程是l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,两条直线的交点坐标就是方程组{ A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解,若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;反之,亦成立.三、几种距离 1.两点间的距离平面上的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)间的距离公式:d (A ,B )=|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.2.点到直线的距离点P (x 1,y 1)到直线l :Ax +By +C =0的距离d =|Ax 1+By 1+C |A 2+B 2.3.两条平行线间的距离两条平行线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离d =|C 1-C 2|A 2+B 2.(4)[小题能否全取]1.(教材习题改编)已知l 1的倾斜角为45°,l 2经过点P (-2,-1),Q (3,m ).若l 1⊥l 2,则实数m 为( )A .6 B .-6 C .5D .-5解析:选B 由已知得k 1=1,k 2=m +15.暑期报名海外游学的人数增长达到∵l 1⊥l 2,∴k 1k 2=-1, ∴1×m +15=-1,即m =-6.2.(教材习题改编)点(0,-1)到直线x +2y =3的距离为( )A.55B.5教案目的是用更严格的监管、更严厉的处罚、更严肃的问责化学教案切实保障“舌尖上的安全C .5D.15解析:选B d =|0+2×(-1)-3|5= 5.3.点(a ,b )关于直线x +y +1=0的对称点是( ) A .(-a -1,-b -1)B .(-b -1,-a -1)C .(-a ,-b )D .(-b ,-a )解析:选B 设对称点为(x ′,y ′),则⎩⎨⎧y ′-b x ′-a×(-1)=-1,x ′+a 2+y ′+b2+1=0,解得x ′=-b -1,y ′=-a -1.4.l 1:x -y =0与l 2:2x -3y +1=0的交点在直线mx +3y +5=0上,则m 的值为( )A .3B .5C .-5D .-8解析:选D 由{x -y =0,2x -3y +1=0,得l 1与l 2的交点坐标为(1,1).所以m+3+5=0,m=-8.5.与直线4x+3y-5=0平行,并且到它的距离等于3的直线方程是______________________.|m+5|,得m=10或-20.解析:设所求直线方程为4x+3y+m=0,由3=42+32答案:4x+3y+10=0或4x+3y-20=01.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在,两条直线都有斜率时,可根据斜率的关系作出判断,无斜率时,要单独考虑.2.在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时,直线方程必须先化为Ax +By+C=0的形式,否则会出错.两直线的平行与垂直典题导入[例1](2012·浙江高考)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x +(a+1)y+4=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[自主解答]由a=1,可得l1∥l2;反之,由l1∥l2,可得a=1或a=-2.[答案] A在本例中若l1⊥l2,试求a.解:∵l1⊥l2,∴a×1+2×(a+1)=0,∴a=-23.由题悟法1.充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2,l 1∥l 2⇔k 1=k 2,l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.2.(1)若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,则直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2=-1.(2)设l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0.则l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.以题试法1.(2012·大同模拟)设a ,b ,c 分别是△ABC 中角A ,B ,C 所对的边,则直线x sin A +ay +c =0与bx -y sin B +sin C =0的位置关系是( )A .平行 B .重合C .垂直D .相交但不垂直解析:选C 由已知得a ≠0,sin B ≠0,所以两直线的斜率分别为k 1=-sin A a ,k 2=bsin B ,由正弦定理得k 1·k 2=-sin A a ·bsin B=-1,所以两条直线垂直.两直线的交点与距离问题典题导入[例2] (2012·浙江高考)定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线C 1:y =x 2+a 到直线l :y =x 的距离等于曲线C 2:x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x 的距离,则实数a =________.[自主解答] 因曲线C 2:x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x 的距离为0-(-4)2-2=22-2=2,所以曲线C 1与直线l 不能相交,故x 2+a >x ,即x 2+a -x >0.设C 1:y =x 2+a上一点为(x 0,y 0),则点(x 0,y 0)到直线l 的距离d =|x 0-y 0|2=-x 0+x 20+a2=⎝⎛⎭⎫x 0-122+a -142≥4a -142=2,所以a =94.”化学教案结合全文化学教案概述作者这样认为的依据试卷试题[答案] 94由题悟法1.点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求.注意直线方程为一般式.2.点到与坐标轴垂直的直线的距离,可用距离公式求解.也可用如下方法去求解:(1)点P (x 0,y 0)到与y 轴垂直的直线y =a 的距离d =|y 0-a |.(2)点P (x 0,y 0)到与x 轴垂直的直线x =b 的距离d =|x 0-b |.以题试法2.(2012·通化模拟)若两平行直线3x -2y -1=0,6x +ay +c =0之间的距离为21313,则c的值是________.解析:由题意得63=a -2≠c-1,得a =-4,c ≠-2,则6x +ay +c =0可化为3x -2y +c2=0,则⎪⎪⎪⎪c 2+113=21313,解得c =2或-6.答案:2或-6对 称 问 题典题导入[例3] (2012·成都模拟)在直角坐标系中,A (4,0),B (0,4),从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后,再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( )A .210 B .6C .3 3D .25②________试卷试题它们使用着同样的文字化学教案③__________________化学[自主解答] 如图,设点P 关于直线AB ,y 轴的对称点分别为D ,C ,易求得D (4,2),C (-2,0),由对称性知,D ,M ,N ,C 共线,则△PMN 的周长=|PM |+|MN |+|PN |=|DM |+|MN |+|NC |=|CD |=40=210即为光线所经过的路程.[答案] A由题悟法对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1)中心对称①点P (x ,y )关于O (a ,b )的对称点P ′(x ′,y ′)满足{ x ′=2a -x ,y ′=2b -y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称①点A (a ,b )关于直线Ax +By +C =0(B ≠0)的对称点A ′(m ,n ),则有⎩⎨⎧n -b m -a ×⎝⎛⎭⎫-A B =-1,A ·a +m 2+B ·b +n 2+C =0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.以题试法3.(2012·南京调研)与直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线方程为( )A .3x +4y +5=0 B .3x +4y -5=0 C .-3x +4y -5=0 D .-3x +4y +5=0解析:选A 与直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线方程是3x -4(-y )+5=0,即3x +4y +5=0.1.(2012·海淀区期末)已知直线l 1:k 1x +y +1=0与直线l 2:k 2x +y -1=0,那么“k 1=k 2”是“l 1∥l 2”的( )A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C 由k 1=k 2,1≠-1,得l 1∥l 2;由l 1∥l 2知k 1×1-k 2×1=0,所以k 1=k 2.故“k 1=k 2”是“l 1∥l 2”的充要条件.2.当0<k <12时,直线l 1:kx -y =k -1与直线l 2:ky -x =2k 的交点在( )A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:选B 解方程组{ kx -y =k -1,ky -x =2k ,得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k -1,2k -1k -1,因为0<k <12,所以k k -1<0,2k -1k -1>0,故交点在第二象限.3.(2012·长沙检测)已知直线l 1的方程为3x +4y -7=0,直线l 2的方程为6x +8y +1=0,则直线l 1与l 2的距离为( )A.85B.32(C .4D .8解析:选B ∵直线l 1的方程为3x +4y -7=0,直线l 2的方程为6x +8y +1=0,即为3x +4y +12=0,∴直线l 1与直线l 2的距离为⎪⎪⎪⎪12+732+42=32.4.若直线l 1:y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2恒过定点( )A .(0,4) B .(0,2) C .(-2,4)D .(4,-2)解析:选B 由于直线l 1:y =k (x -4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).又由于直线l 1:y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称,故直线l 2恒过定点(0,2).5.已知直线l 1:y =2x +3,若直线l 2与l 1关于直线x +y =0对称,又直线l 3⊥l 2,则l 3的斜率为( )A .-2 B .-12C.12D .2解析:选A 依题意得,直线l 2的方程是-x =2(-y )+3,即y =12x +32,其斜率是12,由l 3⊥l 2,得l 3的斜率等于-2.6.(2012·岳阳模拟)直线l 经过两直线7x +5y -24=0和x -y =0的交点,且过点(5,1).则l 的方程是( )A .3x +y +4=0 B .3x -y +4=0 C .x +3y -8=0D .x -3y -4=0解析:选C 设l 的方程为7x +5y -24+λ(x -y )=0,即(7+λ)x +(5-λ)y -24=0,则(7+λ)×5+5-λ-24=0.解得λ=-4.l 的方程为x +3y -8=0.7.(2012·郑州模拟)若直线l 1:ax +2y =0和直线l 2:2x +(a +1)y +1=0垂直,则实数a 的值为________.解析:由2a +2(a +1)=0得a =-12.答案:-128.已知平面上三条直线x +2y -1=0,x +1=0,x +ky =0,如果这三条直线将平面划分为六部分,则实数k 的所有取值为________.解析:若三条直线有两条平行,另外一条与这两条直线相交,则符合要求,此时k =0或2;若三条直线交于一点,也符合要求,此时k =1,故实数k 的所有取值为0,1,2.答案:0,1,29.(2013·临沂模拟)已知点P (4,a )到直线4x -3y -1=0的距离不大于3,则a 的取值范围是________.解析:由题意得,点到直线的距离为|4×4-3×a -1|5=|15-3a |5.又|15-3a |5≤3,即|15-3a |≤15,解得,0≤a ≤10,所以a ∈[0,10].答案:[0,10]10.(2013·舟山模拟)已知1a +1b =1(a >0,b >0),求点(0,b )到直线x -2y -a =0的距离的最小值.解:点(0,b )到直线x -2y -a =0的距离为d =a +2b 5=15(a +2b )⎝⎛⎭⎫1a +1b =15⎝⎛⎭⎫3+2b a +a b ≥15(3+22)=35+2105,当且仅当a 2=2b 2,a +b =ab ,即a =1+2,b =2+22时取等号.所以点(0,b )到直线x -2y -a =0的距离的最小值为35+2105.11.(2012·荆州二检)过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1:4x +3y +1=0与l 2:4x +3y +6=0截得的线段长|AB |=2,求直线l 的方程.解:设直线l 的方程为y -2=k (x -1),由{y =kx +2-k ,4x +3y +1=0,解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k -73k +4,-5k +83k +4;由{y =kx +2-k ,4x +3y +6=0,解得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k -123k +4,8-10k 3k +4.∵|AB |=2, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53k +42+⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 3k +42=2,整理,得7k 2-48k -7=0, 解得k 1=7或k 2=-17.因此,所求直线l 的方程为x +7y -15=0或7x -y -5=0.12.已知直线l :3x -y +3=0,求: (1)点P (4,5)关于l 的对称点;(2)直线x -y -2=0关于直线l 对称的直线方程.解:设P (x ,y )关于直线l :3x -y +3=0的对称点为P ′(x ′,y ′).∵k PP ′·k l =-1,即y ′-yx ′-x ×3=-1.①又PP ′的中点在直线3x -y +3=0上,∴3×x ′+x 2-y ′+y 2+3=0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′=-4x +3y -95, ③ y ′=3x +4y +35. ④ (1)把x =4,y =5代入③④得x ′=-2,y ′=7, ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(-2,7).(2)用③④分别代换x -y -2=0中的x ,y ,得关于l 的对称直线方程为-4x +3y -95-3x +4y +35-2=0,化简得7x +y +22=0.1.点P 到点A (1,0)和直线x =-1的距离相等,且点P 到直线y =x 的距离为22,这样的点P 的个数是( )A .1 B .2 C .3D .4解析:选C ∵点P 到点A 和定直线距离相等, ∴P 点轨迹为抛物线,方程为y 2=4x . 设P (t 2,2t ),则22=|t 2-2t |2,解得t 1=1,t 2=1+2,t 3=1-2,故P 点有三个.2.(2012·福建模拟)若点(m ,n )在直线4x +3y -10=0上,则m 2+n 2的最小值是( )A .2B .2 2C .4D .2 3解析:选C 设原点到点(m ,n )的距离为d ,所以d 2=m 2+n 2,又因为(m ,n )在直线4x +3y -10=0上,所以原点到直线4x +3y -10=0的距离为d 的最小值,此时d =|-10|42+32=2,所以m 2+n 2的最小值为4.3.在直线l :3x -y -1=0上求一点P ,使得P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大.解:如图所示,设点B 关于l 的对称点为B ′,连接AB ′并延长交l 于P ,此时的P 满足|P A |-|PB |的值最大.设B ′的坐标为(a ,b ),则k BB ′·k l =-1,即3·b -4a =-1. 则a +3b -12=0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2,b +42,且在直线l 上,则3×a 2-b +42-1=0,即3a -b -6=0.②解①②,得a =3,b =3,即B ′(3,3).于是AB ′的方程为y -13-1=x -43-4,即2x +y -9=0.解{ 3x -y -1=0,2x +y -9=0,得{ x =2,y =5,即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5).1.点(1,cos θ)(其中0≤θ≤π)到直线x sin θ+y cos θ-1=0的距离是14,那么θ等于( )A.5π6B.π6或5π6mLC.π6D.π6或7π6图①可判断可逆反应“A2(g)+3B2(g)2AB3(g)”的解析:选B 由已知得|sin θ+cos 2θ-1|sin 2θ+cos 2θ=14,即|sin θ-sin 2θ|=14, ∴4sin 2θ-4sin θ-1=0或4sin 2θ-4sin θ+1=0,∴sin θ=1±22或sin θ=12.∵0≤θ≤π,∴0≤sin θ≤1,∴sin θ=12,即θ=π6或5π6.2.已知直线l :x -y -1=0,l 1:2x -y -2=0.若直线l 2与l 1关于l 对称,则l 2的方程是( )A .x -2y +1=0B .x -2y -1=0C .x +y -1=0D .x +2y -1=0解析:选B l 1与l 2关于l 对称,则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上,故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上.又易知(0,-2)为l 1上一点,设其关于l 的对称点(x ,y ),则⎩⎨⎧ x +02-y -22-1=0,y +2x ×1=-1,得{ x =-1,y =-1.即(1,0),(-1,-1)为l 2上两点,可得l 2方程为x -2y -1=0.3.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入,遇直线l :3x -2y +7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.解:法一:由{ x -2y +5=0,3x -2y +7=0,得{ x =-1,y =2.即反射点M 的坐标为(-1,2).又取直线x -2y +5=0上一点P (-5,0),设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0,y 0),由PP ′⊥l 可知,k PP ′=-23=y 0x 0+5.充其量只算得小河沟罢了试卷试题然而毕竟有水化学教案便是理直气壮的河了试卷试题有水化而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0-52,y 02,Q 点在l 上,即3·x 0-52-2·y 02+7=0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0+5=-23,32(x 0-5)-y 0+7=0.得⎩⎨⎧ x 0=-1713,y 0=-3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x -2y +33=0.法二:设直线x -2y +5=0上任意一点P (x 0,y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ),则y 0-y x 0-x =-23,又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +x 02,y +y 02在l 上,即3×x +x 02-2×y +y 02+7=0,由⎩⎨⎧ y 0-y x 0-x =-23,3×x +x 02-(y +y 0)+7=0.可得P 点的坐标为x 0=-5x +12y -4213,y 0=12x +5y +2813,代入方程x -2y +5=0中,化简得29x -2y +33=0, 故所求反射光线所在的直线方程为29x -2y +33=0.。
高中数学双曲线的教案
教学目标:学生能够理解双曲线的定义、性质和方程,掌握双曲线的图像和基本变换规律。
教学重点:双曲线的定义、性质和方程。
教学难点:双曲线的基本变换规律和图像的绘制。
教学准备:教材、教具、黑板、彩色粉笔、实例习题。
教学过程:
第一步:导入
1. 导入双曲线的概念,引导学生思考什么是双曲线。
2. 引出本节课的主要内容和目标。
第二步:概念讲解
1. 讲解双曲线的定义和性质。
2. 介绍双曲线的标准方程及其特征。
第三步:例题讲解
1. 通过例题引导学生理解双曲线的方程和图像。
2. 讲解双曲线的标准方程与图像之间的关系。
第四步:练习训练
1. 放置几道练习题,让学生巩固理论知识。
2. 指导学生独立解题,然后进行讲评。
第五步:拓展延伸
1. 提供一些拓展题目,让学生进一步探索双曲线的特性。
2. 引导学生探讨双曲线在实际生活中的应用。
第六步:课堂总结
1. 总结本节课的内容和重点。
2. 提醒学生复习和练习重点知识。
教学反馈:布置相关练习题,鼓励学生在课后进行复习和巩固。
教学辅导:提供学生在学习过程中遇到的问题进行辅导和帮助。
教学延伸:引导学生通过互联网等多种途径学习双曲线的相关知识,拓展课外学习。
教学评价:在课堂结束时对学生学习情况进行评价,评估学生对双曲线知识的掌握情况。
以上就是本次双曲线教学内容,希望学生们能够在学习过程中认真思考,积极提问,希望大家能够充实自己的数学知识,提高自己的数学能力。
高考数学一轮复习(基础知识+高频考点+解题训练)双曲线教学案[知识能否忆起]1.双曲线的定义平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤-a y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线y=±bax y=±abx离心率e=ca,e∈(1,+∞),其中c=a2+b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径,其长为2b2aa、b、c的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)[小题能否全取]1.(教材习题改编)若双曲线方程为x2-2y2=1,则它的左焦点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-52,0C.⎝⎛⎭⎪⎫-62,0D.()-3,0 解析:选C ∵双曲线方程可化为x 2-y 212=1,∴a 2=1,b 2=12.∴c 2=a 2+b 2=32,c =62.∴左焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-62,0. 2.(教材习题改编)若双曲线x 2a2-y 2=1的一个焦点为(2,0),则它的离心率为( )A.255B.32 C.233D .2 解析:选C 依题意得a 2+1=4,a 2=3, 故e =2a2=23=233. 3.设F 1,F 2是双曲线x 2-y 224=1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且3|PF 1|=4|PF 2|,则△PF 1F 2的面积等于( )A .42B .8 3C .24D .48解析:选C 由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|=4|PF 2|可知,|PF 1|-|PF 2|=2,解得|PF 1|=8,|PF 2|=6.又|F 1F 2|=2c =10,所以△PF 1F 2为直角三角形,所以△PF 1F 2的面积S =12×6×8=24.4.双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为________________.解析:由题意知a 2+1a =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2=2,解得a =33,故该双曲线的渐近线方程是3x ±y =0,即y =±3x .答案:y =±3x5.已知F 1(0,-5),F 2(0,5),一曲线上任意一点M 满足|MF 1|-|MF 2|=8,若该曲线的一条渐近线的斜率为k ,该曲线的离心率为e ,则|k |·e =________.解析:根据双曲线的定义可知,该曲线为焦点在y 轴上的双曲线的上支,∵c =5,a =4,∴b =3,e =c a =54,|k |=43.∴|k |·e =43×54=53.答案:531.区分双曲线与椭圆中a 、b 、c 的关系,在椭圆中a 2=b 2+c 2,而在双曲线中c 2=a 2+b 2.双曲线的离心率e >1;椭圆的离心率e ∈(0,1).2.渐近线与离心率:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的斜率为ba =b 2a 2= c 2-a 2a2=e 2-1.可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.[注意] 当a >b >0时,双曲线的离心率满足1<e <2; 当a =b >0时,e =2(亦称为等轴双曲线); 当b >a >0时,e > 2.3.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.双曲线的定义及标准方程典题导入[例1] (1)(2012·湖南高考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的焦距为10,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为( )A.x 220-y 25=1B.x 25-y 220=1 C.x 280-y 220=1 D.x 220-y 280=1 (2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x 2-y 2=1,点F 1,F 2为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若PF 1⊥PF 2,则|PF 1|+|PF 2|的值为________.[自主解答] (1)∵x 2a 2-y 2b2=1的焦距为10,∴c =5=a 2+b 2.①又双曲线渐近线方程为y =±b ax ,且P (2,1)在渐近线上,∴2ba=1,即a =2b .②由①②解得a =25,b = 5.(2)不妨设点P 在双曲线的右支上,因为PF 1⊥PF 2, 所以(22)2=|PF 1|2+|PF 2|2,又因为|PF 1|-|PF 2|=2,所以(|PF 1|-|PF 2|)2=4,可得2|PF 1|·|PF 2|=4, 则(|PF 1|+|PF 2|)2=|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|·|PF 2|=12,所以|PF 1|+|PF 2|=2 3. [答案] (1)A (2)2 3由题悟法1.应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.2.双曲线方程的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上,设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(mn <0).(2)与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2-y 2b2=λ(λ≠0).(3)若已知渐近线方程为mx +ny =0,则双曲线方程可设为m 2x 2-n 2y 2=λ(λ≠0).以题试法1.(2012·大连模拟)设P 是双曲线x 216-y 220=1上一点,F 1,F 2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF 1|=9,则|PF 2|=( )A .1B .17C .1或17D .以上答案均不对解析:选B 由双曲线定义||PF 1|-|PF 2||=8,又∵|PF 1|=9,∴|PF 2|=1或17,但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c -a =6-4=2>1,∴|PF 2|=17.双曲线的几何性质典题导入[例2] (2012·浙江高考)如图,F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a ,b >0)的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是( )A.233 B.62C. 2D. 3[自主解答] 设双曲线的焦点坐标为F 1(-c,0),F 2(c,0). ∵B (0,b ),∴F 1B 所在的直线为-x c +yb=1.① 双曲线渐近线为y =±b ax ,由⎩⎪⎨⎪⎧ y =b ax ,-x c +yb =1,得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac c -a ,bc c -a . 由⎩⎪⎨⎪⎧y =-b a x ,-x c +yb =1,得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-ac a +c ,bc a +c ,∴PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2cc 2-a 2,bc 2c 2-a 2.由a 2+b 2=c 2得,PQ 的中点坐标可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c b 2,c 2b . 直线F 1B 的斜率为k =bc,∴PQ 的垂直平分线为y -c 2b =-c b ⎝⎛⎭⎪⎫x -a 2c b 2.令y =0,得x =a 2cb 2+c ,∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c b 2+c ,0,∴|F 2M |=a 2c b 2. 由|MF 2|=|F 1F 2|得a 2cb 2=a 2c c 2-a 2=2c , 即3a 2=2c 2,∴e 2=32,∴e =62.[答案] B若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x 轴的夹角为α,且π4<α<π3”,求双曲线的离心率的取值范围.解:根据题意知1<ba<3, 即1<e 2-1< 3.所以2<e <2. 即离心率的取值范围为( 2,2).由题悟法1.已知渐近线方程y =mx ,求离心率时,若焦点位置不确定时,m =b a (m >0)或m =a b,故离心率有两种可能.2.解决与双曲线几何性质相关的问题时,要注意数形结合思想的应用.以题试法2.(1)(2012·福建高考)已知双曲线x 2a 2-y 25=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )A.31414 B.324C.32D.43解析:选C 由题意知c =3,故a 2+5=9,解得a =2,故该双曲线的离心率e =c a =32.(2)(2012·大同模拟)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)与抛物线y 2=8x 有一个公共的焦点F ,且两曲线的一个交点为P ,若|PF |=5,则双曲线的渐近线方程为( )A .y =±33x B .y =±3x C .y =±2x D .y =±22x 解析:选B 设点P (m ,n ),依题意得,点F (2,0),由点P 在抛物线y 2=8x 上,且|PF |=5得⎩⎪⎨⎪⎧m +2=5,n 2=8m ,由此解得m =3,n 2=24.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=4,9a 2-24b2=1,由此解得a 2=1,b2=3,该双曲线的渐近线方程为y =±bax =±3x .直线与双曲线的位置关系典题导入[例3] (2012·南昌模拟)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(b >a >0),O 为坐标原点,离心率e =2,点M (5,3)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)若直线l 与双曲线交于P ,Q 两点,且OP ·OQ =0.求1|OP |2+1|OQ |2的值.[自主解答] (1)∵e =2,∴c =2a ,b 2=c 2-a 2=3a 2,双曲线方程为x 2a 2-y 23a2=1,即3x 2-y 2=3a 2.∵点M (5,3)在双曲线上,∴15-3=3a 2.∴a 2=4. ∴所求双曲线的方程为x 24-y 212=1.(2)设直线OP 的方程为y =kx (k ≠0),联立x 24-y 212=1,得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=123-k2,y 2=12k 23-k 2,∴|OP |2=x 2+y 2=12k 2+13-k2. 则OQ 的方程为y =-1kx ,同理有|OQ |2=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1k 23-1k2=12k 2+13k 2-1, ∴1|OP |2+1|OQ |2=3-k 2+3k 2-112k 2+1=2+2k 212k 2+1=16.。