高考数学专题复习：双曲线(含解析)

高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。

修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。

2.理解数形结合的思想。

3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。

一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。

点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。

2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。

点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。

双曲线的通径为 $2a$。

3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。

高中数学高考总复习双曲线习题及详解（教师）一、选择题1．(文)(2010·山东潍坊)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是()A.17B.15C.174 D.154[答案] C[解析]设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1，则由题意得，ab＝4，∴a2c2－a2＝16，∴e＝174.(理)(2010·河北唐山)过双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为()A．2 B. 5C. 2D. 3[答案] C[解析]如图，FM⊥l，垂足为M，∵M在OF的中垂线上，∴△OFM为等腰直角三角形，∴∠MOF＝45°，即ba＝1，∴e＝ 2.2．(2010·全国Ⅰ文)已知F1、F2为双曲线C x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8[答案] B[解析]在△F1PF2中，由余弦定理cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 22|PF 1||PF 2|＋1＝－2b 2|PF 1|·|PF 2|＋1， ∵b ＝1，∴|PF 1|·|PF 2|＝4.3．(文)(2010·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.233或2B ．2或 3 C.3或62D.233或62[答案] A[解析] 焦点在x 轴上时，由条件知b a ＝13，∴c 2－a 2a 2＝13，∴e ＝c a ＝233，同理，焦点在y 轴上时，ba＝3，此时e ＝2.(理)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋1[答案] D[解析] 设线段MF 1的中点为P ，由已知△F 1PF 2为有一锐角为60°的直角三角形， ∴|PF 1|、|PF 2|的长度分别为c 和3c . 由双曲线的定义知：(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝23－1＝3＋1. 4．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x[答案] D[解析] 由题意c 2＝3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2， ∴m 2＝8n 2，∴双曲线渐近线的斜率k ＝±3|n |2|m |＝±34.方程为y ＝±34x .5．(文)(2010·湖南师大附中模拟)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20[答案] B[解析] 由已知，|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，又|AB |＝4，则|AF 2|＋|BF 2|＝16.据双曲线定义，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9，故选B.(理)(2010·辽宁锦州)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－m 2，0，C ⎝⎛⎭⎫m2，0(其中m >0，且m 为常数)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为( )A.16y 2m 2－16x 23m2＝1B.x 216－y 2163＝1 C.16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4)D.16x 2m 2－16y 23m2＝1 [答案] C[解析] 依据正弦定理得：|AB |－|AC |＝12|BC |＝m2<|BC |∴点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支，且a ＝m 4，c ＝m 2，∴b 2＝c 2－a 2＝3m 216∴双曲线方程为16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4)6．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点为F 1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分[答案] D[解析] 延长F 1P 交QF 2于R ，则|QF 1|＝|QR |. ∵|QF 2|－|QF 1|＝2a ，∴|QF 2|－|QR |＝2a ＝|RF 2|，又|OP |＝12|RF 2|，∴|OP |＝a .7．(文)(2010·温州市十校)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)[答案] B[解析] 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ，E (a,0)，因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝⎝⎛⎭⎫－c －a ，b 2a ·⎝⎛⎭⎫－c －a ，－b 2a >0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0，∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1，∴e ∈(1,2)，故选B.(理)(2010·浙江杭州质检)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若FM ＝ME ，则该双曲线的离心率为( )A ．3B ．2 C. 3D. 2[答案] D[解析] 由条件知l ：y ＝b a x 是线段FE 的垂直平分线，∴|OE |＝|OF |＝c ，又|FM |＝|bc |a 2＋b 2＝b ，∴在Rt △OEF 中，2c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)， ∵e ＝ca>1，∴e ＝ 2.8．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－1[答案] D[解析] 直线与双曲线右支相切时，k ＝－153，直线y ＝kx ＋2过定点(0,2)，当k ＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y ＝－x ＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153<k <－1. 9．(文)(2010·福建理)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)[答案] B[解析] 由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2 ＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1 ＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点) ∴OP →·FP →≥3＋2 3.故选B.(理)(2010·新课标全国理)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 [答案] B[解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：⎩⎨⎧x 12a 2－y 12b 2＝1x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2，∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，且k AB ＝－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1，故选B. 10．(文)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 的值是( )A.54 B.52 C.32D.54[答案] B[解析] 将x ＝c 代入椭圆方程得，c 2a 2＋y 2b 2＝1，∴y 2＝⎝⎛⎭⎫1－c 2a 2×b 2＝a 2－c 2a 2×b 2＝b 2a 2×b 2，∴y ＝±b 2a. ∴b 2a ＝14a ，∴b 2＝14a 2，e 2＝c 2a 2＝a2＋14a 2a 2＝54， ∴e ＝52，故选B. (理)(2010·福建宁德一中)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 恰好是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B ．1±2C ．1＋ 2D ．无法确定[答案] C[解析] 由题意知p2＝c ，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y 轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是2b 2a ，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p ，∵p ＝2c ，2b 2a＝4c ，∴b 2＝2ac ，∴c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2， ∵e >1，∴e ＝1＋ 2. 二、填空题11．(文)(2010·广东实验中学)已知P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0.设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________.[答案] 5[解析] 由双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0且b ＝3可得：a ＝1，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|－3＝2，∴|PF 1|＝5.(理)(2010·东营质检)已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．[答案] y ＝±23x[解析] 由题意知9＋a ＝13，∴a ＝4，故双曲线的实半轴长为a ′＝3，虚半轴长b ′＝2， 从而渐近线方程为y ＝±23x .12．(2010·惠州市模考)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．[答案] y ＝±33x[解析] y 2＝8x 焦点是(2,0)， ∴双曲线x 2a 2－y 2＝1的半焦距c ＝2，又虚半轴b ＝1，又a >0，∴a ＝22－12＝3， ∴双曲线渐近线的方程是y ＝±33x .13．(2010·北京东城区)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．[答案] 1<e ≤2[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a|PF 1|＝3|PF 2|，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3a |PF 2|＝a ， ∵|PF 1|≥|AF 1|，∴3a ≥a ＋c ， ∴e ＝ca ≤2，∴1<e ≤2.14．下列有四个命题：①若m 是集合{1,2,3,4,5}中任取的一个值，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx －y ＝0，则双曲线的离心率小于4的概率为35.②若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2；③将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象； ④在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22；类比到空间，若三棱锥S －ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S －ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.其中真命题的序号为________．(把你认为是真命题的序号都填上) [答案] ①②④[解析] ①设双曲线方程为m 2x 2－y 2＝1， ∵a 2＝1m 2，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝m 2＋1m2 ∴e ＝ca ＝m 2＋1<4，∴m <15∴m 取值1、2、3故所求概率为35，故①正确．②根据双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，可得ba ＝3，因此离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝a 2＋(3a )2a＝2，②正确；③函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位得y ＝cos2(x －π6)＝cos(2x －π3)＝sin[π2＋(2x －π3)]＝sin(2x ＋π6)的图象，③错误；④将三棱锥S －ABC 补成如图的长方体，可知三棱锥S －ABC 外接球的直径就等于该长方体的体对角线的长，则R ＝a 2＋b 2＋c 22，④正确．三、解答题15．(文)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0) (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程．[解析] (1)由题意可设所求的双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) 则有e ＝ca ＝2，c ＝2，∴a ＝1，则b ＝ 3∴所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)∵直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0) ∴l 的斜率k 一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2) 令x ＝0得M (0,2k )∵|MQ →|＝2|QF →|且M 、Q 、F 共线于l ∴MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF → 当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k∴Q ⎝⎛⎭⎫－43，23k ， ∵Q 在双曲线x 2－y 23＝1上， ∴169－4k 227＝1，∴k ＝±212， 当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得， 16－4k 23＝1，∴k ＝±32 5则所求的直线l 的方程为： y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2) (理)(2010·湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22得，b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中得，(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0， ∴k 2≠13且k 2<1①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2由OA →·OB →>2得，x A x B ＋y A y B >2， x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k 2<3②由①②得13<k 2<1，∴33<k <1或－1<k <－33.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1. 16．(2010·江苏苏州模拟)已知二次曲线C k 的方程：x 29－k ＋y 24－k ＝1.(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线C k 与直线y ＝x ＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；(3)m 、n 为正整数，且m <n ，是否存在两条曲线C m 、C n ，其交点P 与点F 1(－5，0)，F 2(5，0)满足PF 1→·PF 2→＝0？若存在，求m 、n 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧9－k >04－k >0，即k <4时，方程表示椭圆．当且仅当(9－k )(4－k )<0，即4<k <9时，方程表示双曲线． (2)解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 29－k ＋y 24－k ＝1化简得， (13－2k )x 2＋2(9－k )x ＋(9－k )(k －3)＝0 ∵Δ≥0，∴k ≥6或k ≤4(舍)∵双曲线实轴最长，∴k 取最小值6时，9－k 最大即双曲线实轴最长， 此时双曲线方程为x 23－y 22＝1.解法二：若C k 表示双曲线，则k ∈(4,9)，不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 25－a 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 2a 2－y 25－a 2＝1消去y 得， (5－2a 2)x 2－2a 2x －6a 2＋a 4＝0 ∵C k 与直线y ＝x ＋1有公共点， ∴Δ＝4a 4－4(5－2a 2)(a 4－6a 2)≥0， 即a 4－8a 2＋15≥0，∴a 2≤3或a 2≥5(舍)， ∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y 22＝1.解法三：双曲线x 29－k ＋y 24－k ＝1中c 2＝(9－k )＋(k －4)＝5，∴c ＝5，∴F 1(－5，0)，不妨先求得F 1(－5，0)关于直线y ＝x ＋1的对称点F (－1,1－5)，设直线与双曲线左支交点为M ，则 2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝|MF 2|－|MF |≤|FF 2| ＝(－1－5)2＋(1－5)2＝2 3∴a ≤3，∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y 22＝1.(3)由(1)知C 1、C 2、C 3是椭圆，C 5、C 6、C 7、C 8是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，m ∈{1,2,3}，n ∈{5,6,7,8}则根据椭圆、双曲线定义及PF 1→·PF 2→＝0(即PF 1⊥PF 2)，应有⎩⎨⎧d 1＋d 2＝29－m |d 1－d 2|＝29－n d 12＋d 22＝20，所以m ＋n ＝8.所以这样的C m 、C n 存在，且⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝5.17．(文)(2010·全国Ⅱ文)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)．(1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．[解析] (1)由题意知，l 的方程为：y ＝x ＋2， 代入C 的方程并化简得， (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1·x 2＝－4a 2＋a 2b 2b 2－a2①由M (1,3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，故12×4a 2b 2－a 2＝1即b 2＝3a 2② 故c ＝a 2＋b 2＝2a ， ∴C 的离心率e ＝ca＝2.(2)由②知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2，A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a 22<0，故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ，|BF |＝(x 1－2a )2＋y 12＝(x 1－2a )2＋3x 12－3a 2＝a －2x 1， |FD |＝(x 2－2a )2＋y 22＝(x 2－2a )2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，|BF |·|FD |＝(a －2x 1)(2x 2－a )＝－4x 1x 2＋2a (x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8. 又|BF |·|FD |＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17， 解得a ＝1，或a ＝－95.故|BD |＝2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝6 连结MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3， 从而MA ＝MB ＝MD ，∠DAB ＝90°，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切， 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．(理)(2010·广东理)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点．(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；(2)若过点H (0，h )(h >1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2.求h 的值． [分析] (1)由条件写出直线A 1P 与A 2Q 的方程，两式相乘后消去x 1，y 1得交点E 的方程；(2)l 1，l 2与E 只有一个交点，写出l 1与l 2的方程与曲线E 的方程联立，运用Δ＝0求解． [解析] (1)由条件知|x 1|>2，∵A 1、A 2为双曲线的左、右顶点∴，A 1(－2，0)，A 2(2，0)．A 1P y ＝y 1－0x 1＋2(x ＋2)，A 2Q y ＝－y 1－0x 1－2(x －2)，两式相乘得y 2＝－y 12x 12－2(x 2－2)，① 而点P (x 1，y 1)在双曲线上，所以x 122－y 12＝1，即y 12x 12－2＝12，代入①式，整理得， x 22＋y 2＝1. ∵|x 1|>2，∴点A 1(－2，0)，A 2(2，0)均不在轨迹E 上，又双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，故过点(0,1)和A 2(2，0)的直线与双曲线仅有一个交点A 2(2，0)，故点(0,1)不在轨迹E 上，同理点(0，－1)也不在轨迹E 上，∴轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2，且x ≠0)．(2)设l 1y ＝kx ＋h ，则由l 1⊥l 2知，l 2y ＝－1kx ＋h .将l 1y ＝kx ＋h 代入x 22＋y 2＝1得x 22＋(kx ＋h )2＝1，即(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0， 由l 1与E 只有一个交点知，Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0， ∴1＋2k 2＝h 2.同理，由l 2与E 只有一个交点知，1＋2·1k 2＝h 2，消去h 2得1k2＝k 2，即k 2＝1，从而h 2＝1＋2k 2＝3，即h ＝ 3.又分别过A 1、A 2且互相垂直的直线与y 轴正半轴交于点(0，2)，∴h ＝2符合题意，综上知h ＝2或 3.高中数学高考总复习双曲线习题（学生）一、选择题1．(文)(2010·山东潍坊)已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是 ( )A.17B.15C.174D.154(理)(2010·河北唐山)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 5 C. 2D. 32．(2010·全国Ⅰ文)已知F 1、F 2为双曲线C x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．83．(文)(2010·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.233或2B ．2或 3C.3或62D.233或62(理)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋14．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x5．(文)(2010·湖南师大附中模拟)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20(理)(2010·辽宁锦州)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－m 2，0，C ⎝⎛⎭⎫m2，0(其中m >0，且m 为常数)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为( )A.16y 2m 2－16x 23m2＝1B.x 216－y 2163＝1 C.16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4)D.16x 2m 2－16y 23m2＝1 6．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点为F 1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分7．(文)(2010·温州市十校)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)(理)(2010·浙江杭州质检)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若FM ＝ME ，则该双曲线的离心率为( )A ．3B ．2 C. 3D. 28．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 9．(文)(2010·福建理)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)(理)(2010·新课标全国理)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 10．(文)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 的值是( )A.54 B.52 C.32D.54(理)(2010·福建宁德一中)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 恰好是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B ．1±2C ．1＋ 2D ．无法确定二、填空题11．(文)(2010·广东实验中学)已知P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0.设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________.(理)(2010·东营质检)已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．12．(2010·惠州市模考)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．13．(2010·北京东城区)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．14．下列有四个命题：①若m 是集合{1,2,3,4,5}中任取的一个值，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx －y ＝0，则双曲线的离心率小于4的概率为35.②若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2；③将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象； ④在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22；类比到空间，若三棱锥S －ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S －ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.其中真命题的序号为________．(把你认为是真命题的序号都填上) 三、解答题15．(文)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0) (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程．(理)(2010·湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．16．(2010·江苏苏州模拟)已知二次曲线C k 的方程：x 29－k ＋y 24－k ＝1.(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线C k 与直线y ＝x ＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；(3)m 、n 为正整数，且m <n ，是否存在两条曲线C m 、C n ，其交点P 与点F 1(－5，0)，F 2(5，0)满足PF 1→·PF 2→＝0？若存在，求m 、n 的值；若不存在，说明理由．17．(文)(2010·全国Ⅱ文)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)．(1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x轴相切．(理)(2010·广东理)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点．(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；(2)若过点H (0，h )(h >1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2.求h 的值．。

新高考数学复习考点知识讲解与专题训练专题31、 双曲线的方程及几何性质一、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ⎪⎪⎪⎪| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 二 、双曲线的标准方程和几何性质一、常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .题型一、双曲线的方程与渐近线的方程例1、【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a=±，所以b b a-=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．变式、【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±， 不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择C 选项.例2、【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率A．y =B．y =C．2y x =±D．2y x =±【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 变式、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B【解析】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF FO c ==， 故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为y =， 故选B.题型二、双曲线的离心率例3、【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】由题可知2PF b =，2OF c =，PO a ∴=，在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即223c a =，e ∴=C ．变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．53D ．73【答案】C【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()a y x c b=+ ，即0ax by ac -+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ，解得：53e = ，或1e =-（舍）故选：C变式2、【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .【答案】2【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =,因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．变式3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120FB F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，∴21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 题型三、双曲线的综合问题例4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选：B ．变式1、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.【答案】6【解析】2214y x -=1222A A a ∴==，1224B B b ==，12A A ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PFB B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．1、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c =，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 2、【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(0)，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，，(0 D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =， 所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．3、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的，则其渐近线方程为（ ）A ．230x y ±=B ．320x y ±=C ．20x y ±=D ．230x y ±=【答案】C【解析】由题,离心率c e a ===,解得12b a =,因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±=故选：C4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ====,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在by x a=上，则P P b y x a =⋅==1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M ，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ．6、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D ．【答案】D【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为e == 故选：D.7、【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C=.故答案为：()3,08、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.9、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ==，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：3221/ 21。

05 以双曲线为情境的中点弦问题典例分析一、求中点弦所在直线的方程1．已知双曲线222:1(0)y C x b b-=>的离心率为2，过点(3,3)P 的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，且点P 恰好是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y --=B ．290x y +-=C ．360x y --=D ．60x y +-=【答案】C 【解析】【分析】运用点差法即可求解【详解】由已知得21a =，又2c e a ==，222c a b =+，可得23b =.则双曲线C 的方程为2213y x -=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122221,31,3y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减得()2222121203y y x x ---=，即()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=. 又因为点P 恰好是弦AB 的中点，所以126x x +=，126y y +=，所以直线AB 的斜率为()1212121233x x y y x x y y +-==-+，所以直线AB 的方程为33(3)y x -=-，即360x y --=.经检验满足题意2．已知直线:0l x y m -+=与双曲线2212y x -=交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值是________. 【答案】±1【分析】将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得AB 中点M 点坐标，代入圆的方程，即可求得m 的值．【详解】设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，线段AB 的中点0(M x ，0)y ，由22012x y m y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式△0)>，122x x m +=，1202x x x m +∴==，002y x m m =+=，点0(M x ，0)y 在圆225x y +=上，则22(2)5m m +=，故1m =±.3．过点()1,1P 的直线l 与双曲线2212y x -=交于,M N 两点，且点P 恰好是线段MN 的中点，则直线l 的方程为___________.【答案】210x y --=【分析】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，分别代入双曲线方程，两式相减，化简可得：()()()()1212121212x x x x y y y y -+=+-，结合中点坐标公式求得直线MN 的斜率，再利用点斜式即可求直线方程． 【详解】过点(1,1)P 的直线l 与该双曲线交于M ，N 两点，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，∴221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：121212121()()()()2x x x x y y y y -+=+-，因为P 为MN 的中点，122x x ∴+=，122y y +=，12122()x x y y ∴-=-，则12122MNy y x x -==-， 所以直线l 的方程为12(1)y x -=-，即为210x y --=．4．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，经过C 的焦点垂直于x 轴的直线被C 所截得的弦长为12.(1)求C 的方程；(2)设A ，B 是C 上两点，线段AB 的中点为()5,3M ，求直线AB 的方程. 【答案】(1)221412x y -=；(2)522y x =-【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，由此求得C 的方程.（2）结合点差法求得直线AB 的斜率，从而求得直线AB 的方程.【解析】(1)因为C 的离心率为2，所以2212b a+=，可得223b a =.将22x a b =+22221x y a b -=可得2b y a =±，由题设26b a =.解得2a =，212b =，23b =C 的方程为221412x y -=. (2)设()11,A x y ，()22,B x y ，则22111412x y -=，22221412x y -=.因此222212120412x x y y ---=，即()()()()121212120412x x x x y y y y +-+--=.因为线段AB 的中点为()5,3M ，所以1210xx +=，126y y +=，从而12125y y x x -=-，于是直线AB 的方程是522y x =-. 二、求中点弦所在直线的斜率1．直线l 交双曲线 2214x y -=于A 、B 两点，且(4,1)P 为AB 的中点，则l 的斜率为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】【分析】设出点A ，B 的坐标，利用“点差法”求出直线l 的斜率，再验证作答.【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因点A ，B 在双曲线 2214x y -=上，则221114x y -=，222214x y -=，两式相减得：121212121()(0)()()4x x x x y y y y +--+-=，因P 为AB 中点，则128x x +=，122y y +=，于是得2121y y x x --＝1，即直线l 的斜率为1，此时，直线l 的方程为：3y x =-，由22344y x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：2324400x x -+=，2244340960∆=-⨯⨯=>，即直线l 与双曲线 2214x y -=交于两点，所以直线l 的斜率为1. 2．直线l 与双曲线2212x y -=的同一支相交于,A B 两点，线段AB 的中点在直线2y x =上，则直线AB 的斜率为（ ）A ．4B ．2C ．12D ．14【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，设出,A B 两点坐标，使用点差法，带入双曲线方程作差，化简即可完成求解. 【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ，由已知，,A B 两点在双曲线上，所以{x 122−y 12=1x222−y 22=1，两式做差可得01212121201··2AB y y y y y k x x x x x -+==-+，点00(,)M x y 在直线2y x =上，所以002y x =，代入上式可得14AB k =，故直线AB 的斜率为14. 3．已知双曲线2213y x -=，过点()2,1P 作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为________． 【答案】6【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用点差法可求得直线AB 的斜率.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，则12122212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即121242x x y y +=⎧⎨+=⎩，由已知条件可得221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两个等式作差得()2222121203y y x x ---=，即()()()()121212123y y y y x x x x +-+-=，即()()1212243y y x x --=， 所以，直线AB 的斜率为12126AB y y k x x -==-. 4．已知双曲线M 与椭圆22:15x N y +=有相同的焦点，且M 与圆22:1C x y +=相切．(1)求M 的虚轴长．(2)是否存在直线l ，使得l 与M 交于A ，B 两点，且弦AB 的中点为()4,6P ？若存在，求l 的斜率；若不存在，请说明理由.【答案】(1)3(2)存在，2 【分析】（1）根据题意得出双曲线方程后求解；（2）中点弦问题，可用点差法，化简后得到斜率，然后代回检验.【解析】(1)因为椭圆22:15x N y +=的焦点坐标为()2,0±，所以可设M 的方程为()2222104x y a a a -=>-．因为M 与圆22:1C x y +=相切，所以1a =，则2243b a =-=，故M 的虚轴长223b =(2)由（1）知，M 的方程为2213yx -=．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则221122221,31,3y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得()()()()1212121203y y y y x x x x -+-+-=，假设存在直线l 满足题意．则12128,12,x x y y +=⎧⎨+=⎩所以12122AB y y k x x -==-，因此l 的方程为220x y --=，代入M 的方程，整理得2870x x -+=，0∆>，l 与M 相交，故存在直线l 满足题意，且l 的斜率为2． 三、求中点弦的弦长1．已知点A ，B 在双曲线223x y -=上，线段AB 的中点为()1,2M ，则AB =（ ）A ．25B ．45C ．10D ．10【答案】C 【解析】【分析】首先结合已知条件，利用点差法求出直线AB 的斜率，进而得到直线AB 的方程，然后联立双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式求解即可.【详解】不妨设11(,)A x y ，22(,)B x y ，从而22113x y -=，22223x y -=，由两式相减可得，12121212()()(()0)x x x x y y y y -+--+=，又因为线段AB 的中点为()1,2M ，从而122x x +=，124y y +=，故121212y y x x -=-，即直线AB 的斜率为12，直线AB 的方程为：12(1)2y x -=-，即1322y x =+，将1322y x =+代入223x y -=可得，2270x x --=，从而122x x +=，127x x =-，故22121212151()|()41022AB x x x x x x =+-=+-= 2．已知双曲线22:22C x y -=，过点(1,2)P 的直线l 与双曲线C 交于M ､N 两点，若P 为线段MN 的中点，则弦长|MN |等于（ ）A 42B 33C ．3D ．2【答案】D【分析】设直线MN 为2(1)y k x -=-，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k 值，利用弦长公式求解即可.【详解】由题设，直线l 的斜率必存在，设过(1,2)P 的直线MN 为2(1)y k x -=-，联立双曲线：224(2)2(2)(46)0k x k k x k k -+---+=设1122(,),(,)M x y N x y ，则1222(2)22P k k x x x k -+=-=-，所以22(2)22k k k--=-，，则122x x +=，123x x =-.弦长|MN |2212121()4241242k x x x x =++-=+= 3．已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率6e =，且双曲线C 过点()2,1P ． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线:1l y kx =-与双曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为2-，求线段AB 的长． 【答案】(1)2212x y -=；(2)15【分析】（1）设双曲线C ：()222210,0x y a b a b=>>，根据题意可得62cea、222c a b =+、2222211a b -=，解方程组求得,a b 的值即可得双曲线C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与双曲线方程，可求出124x x +=-，再由2120Δ0k ⎧-≠⎨>⎩可得k 的值，由弦长公式即可得线段AB 的长.【解析】(1)设双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，由题意可得：22222226211c e a c a b a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得：222,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2212x y -=.(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22121x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得：()2212440k x kx -+-=，因为l 与C 有两个交点，所以2120-≠k 且()22216161216160k k k ∆=+-=->，解得：21k <且212k ≠， 所以11k -<<且2≠k ①，由根与系数的关系可得：122412k x x k +=--，122412x x k -=- 又因为AB 中点的横坐标为2-， 所以24412kk -=--，即2210k k +-=，解得：1k =-或12k =②，结合①②可知12k =， 此时1:12l y x =-，1224412k x x k +=-=--，1224812x x k =-=--， 所以()22221212121511()44322152AB k x x x x x ⎛⎫=+-++--+ ⎪⎝⎭AB 的长为15四、求双曲线的方程1．已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为()4,7N --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22111113663x y -=D ．22111116336x y -=【答案】C 【解析】【分析】求出直线l 的方程，并设出双曲线E 的方程，再联立并借助中点坐标即可计算作答. 【详解】直线l 的方程为：0(7)(3)3(4)y x --=⋅---，即3y x =-，设双曲线E 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，由222231y x x y a b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理得：222222()6(9)0b a x a x a b -+-+=， ()()()422222222Δ3649490a a a bb a b ba=--+=+->，因弦AB 的中点为()4,7N --，于是得22234a b a-=--，即2247a b =，而229a b +=，解得223663,1111a b ==，满足0∆>，所以双曲线E 的方程为22136631111x y -=，即22111113663x y -=. 2．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 的左支上任意一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，PQ l ⊥，垂足为Q ．当2PF PQ +的最小值为6时，1F Q 的中点在双曲线C 上，则C 的方程为（ ）A ．222x y -= B ．224x y -=C ．22116y x -=D ．22124x y -=【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线定义21||||2PF PF a -=得到21122PF PQ PF PQ a FQ a +=++≥+，再利用焦点到渐近线的距离为b 求得26b a +=，设出渐近线方程求得1F Q 的中点坐标代入双曲线方程联解求得a b 、的解.【详解】212PF PF a -=，211||||22PF PQ PF PQ a FQ a ∴+=++≥+，又()1,0F c =-，2,0F c ，双曲线的渐近线方程为：by x a =±，即0bx ay ±=，∴22bc bc b c a b±==+， 即1FQ 的最小值为b ，即26b a +=，不妨设直线OQ 为：b y x a =，1F Q OQ ⊥，∴点()1,0F c -，2(,)a ab Q c c--，1F Q 的中点为22(,)22a c ab c c +--，将其代入双曲线C 的方程，得：2222222()144a c a a c c +-=，即22222221144a c a a cc ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=， 解得：2c a ，又26b a +=，222+=a b c ，2a b ∴==，故双曲线C 的方程为224x y -=．3．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(3,0)F -的直线与双曲线交,M N 两点，且线段MN 的中点坐标为(3,6)，则双曲线方程是_______________. 【答案】22136x y -= 【分析】设()11,M x y ，()22,N x y ，可得126x x +=，1212y y +=，将,M N 两点坐标代入双曲线方程，两式相减整理可得2121212122MNy y x b k x y x x y a-+-+==⨯，利用已知点的坐标求出直线MN 的斜率，即可得2a 与2b 的关系，结合2229c a b =+=即可得2a 、2b 的值，进而可得双曲线方程.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，两式相减可得：2222121222x x y a b y =--， 所以()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，因为点(3,6)是线段MN 的中点，所以126xx +=，1212y y +=，所以222212122221126122MNy y x b b b k x y y a x x a a -+-+==⨯=⨯=，因为()60133MN k -==--，所以2212b a =，即222b a =， 因为222239c a b a =+==，所以23a =，26b =，所以双曲线方程是22136x y -=， 五、中点弦与双曲线的离心率交汇12的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2C 的离心率为（ ）A 3B ．2C 5D ．3【答案】C【分析】利用点差法，结合直线斜率公式、中点坐标公式、双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得2222121222x x y y a b --=， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+.因为1202x x x +=，1202y y y +=，所以21202120-=⋅-y y b x x x a y .因为12122AB y y k x x -==-0022OPy k x ==22222a ，224b a=，故2215b e a =+ 2．过点(1,1)M 作斜率为12的直线与双曲线2222Γ:1-=x y a b 相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则双曲线Γ的离心率为___________. 6【分析】利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为12，即可求出双曲线Γ的离心率． 【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2211221x y a b -=①，2222221x y a b-=②，M 是线段AB 的中点，∴1212x x +=，1212y y +=，直线AB 的方程是1(1)12y x =-+，12121()2y y x x ∴-=-，过点(1,1)M 作斜率为12的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴①②两式相减可得22221212220x x y y a b ---=，即()()()()22212121222212121212y y y y y y b a x x x x x x -+-===--+，2216c b e a a ∴==+ 3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 为C 上两点，点()2,1M -为弦PQ 的中点，且//PQ BF ，记双曲线的离心率为e ，则2e =______． 21+【分析】解法一，利用点差法，结合1212y y bx x c-=--，以及12124,2x x y y +=-+=，变形得到22a bc =，再转化为关于,a c 的齐次方程，求解2e ；解法二，设直线()12y k x -=+，bk c=-，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，再转化为关于,a c 的齐次方程，求解2e . 【详解】解法一：由题意知(),0F c ，()0,B b ，则PQBF bk k c==-．设()11,P x y ，()22,Q x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，，两式相减，得()()2121221212b x x y y x x a y y +-=-+．因为PQ 的中点为()2,1M -，所以124x x +=-，122y y +=，又1212PQ y y bk x x c -==--，所以2242b b c a --=，整理得22a bc =，所以()42222244a b c c c a ==-，得424410e e --=，得221e +=解法二 ：由题意知(),0F c ，()0,B b ，则BF bk c=-．设直线PQ 的方程为()12y k x -=+，即21y kx k =++，代入双曲线方程，得()()()222222222221210b a k x a k k x a k a b --+-+-=．设()11,P x y ，()22,Q x y ，结合()2,1M -为PQ 的中点，得()2122222214a k k x xb a k ++==--．又BF bk k c ==-，所以222222144b b b a b a c c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-+=-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，整理得22a bc =，所以()42222244a b c c c a ==-，得424410e e --=，得221e +．方法点拨1：对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.2：对于中点弦问题可采用点差法求出直线的斜率，设()11,A x y ，()22,B x y 为弦端点坐标，()00,P x y 为AB 的中点，直线AB 的斜率为k ，若椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，则2020b x k a y =-，若椭圆方程为22221y x a b+=()0a b >>，则2020a x k b y =-，若双曲线方程为22221x y a b-=()0a b >>，则2020b x k a y =，若双曲线方程为22221y x a b-=()0a b >>，则2020a x k b y =. 巩固练习1．已知点A ，B 是双曲线22:123x y C -=上的两点，线段AB 的中点是()3,2M ，则直线AB 的斜率为（ ）A ．23B ．32C ．49D ．94【答案】D 【解析】【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222123123x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121223x x x x y y y y +-+-=，即()()12126423x x y y --=，∴121294AB y y k x x -==-. 2．已知双曲线221164x y -=，以点()5,1P -为中点的弦所在的直线方程为（ ）A ．45210x y +-=B ．54210x y +-=C ．240x y --=D ．240x y +-=【答案】B 【分析】利用点差法可求得弦所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】设弦的两个端点坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，则1212102x x y y +=⎧⎨+=-⎩，则2211222211641164x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得()()()()12121212416y y y y x x x x -+-+=，所以，弦所在直线的斜率()()1212121245164x x y y k x x y y +-===--+， 故所求直线方程为()5514y x =---，即54210x y +-=. 3．已知倾斜角为π4的直线与双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>，相交于A ，B 两点，(1,3)M 是弦AB 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（ ）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】A 【解析】【分析】依据点差法即可求得a b 、的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.【详解】设1122(,)(,)A x y A x y 、，则12121212++y y =1=3,122x x y y x x -=-，，由22112222222211y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得()()()()12121212220y y y y x x x x a b -+-+-=，则22620a b-=，即22=3a b ，则3a b则双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线的斜率为3a b ±=4．已知双曲线2212y x -=，过点()1,1P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，则能使点P 为线段AB 中点的直线l 的条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先假设存在这样的直线l ，分斜率存在和斜率不存在设出直线l 的方程，当斜率k 存在时，与双曲线方程联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则0∆>，32k <，又根据M 是线段AB 的中点，则21A B x x +=，由此求出2k =与32k <矛盾，故不存在这样的直线满足题意；当斜率不存在时，过点M 的直线不满足条件，故符合条件的直线l 不存在. 【详解】设过点(1,1)M 的直线方程为(1)1y k x =-+或1x =，①当斜率存在时有22(1)112y k x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2222(2)(22)230k x k k x k k -+--+-=(*)．当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有：2222(22)4(2)(23)0k k k k k ∆=----+->，即32k <又方程(*)的两个不同的根是两交点A 、B 的横坐标，21222()2k k x x k -∴+=--又(1,1)M 为线段AB 的中点，∴1212x x +=，即222()22k k k --=-，2k ∴=，使22k -≠0但使∆<0，因此当2k =时，方程①无实数解． 故过点(1,1)m 与双曲线交于两点A 、B 且M 为线段AB 中点的直线不存在． ②当1x =时，经过点M 的直线不满足条件. 综上，符合条件的直线l 不存在．5．已知点A ，B 在双曲线224x y -=上，线段AB 的中点()3,1M ，则AB =（ ）A 2B ．2C 5D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先根据中点弦定理求出直线AB 的斜率，然后求出直线AB 的方程，联立后利用弦长公式求解AB 的长.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则可得方程组：2211222244x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得：()()()()12121212x x x x y y y y +-=+-，即121212121y y y y x x x x +-⋅=+-，其中因为AB 的中点为()3,1M ，故121213y y x x +=+，故12123y y x x -=-，即直线AB 的斜率为3，故直线AB 的方程为：()133y x -=-，联立()221334y x x y ⎧-=-⎨-=⎩，解得：2212170x x -+=，由韦达定理得：126x x +=，12172x x =，则()221212145AB k x x x x =++-=6．过点(1,1)A 作直线l 与双曲线2212y x -=交于P ，Q 两点，且使得A 是PQ 的中点，直线l 方程为（ ） A ．210x y --= B ．2x +y -3=0 C ．x =1 D ．不存在【答案】D 【解析】【分析】设出点P ，Q 的坐标，利用“点差法”求出直线l 的斜率并求出其方程，再将直线l 与双曲线方程联立验证即可得解.【详解】设点1122(,),(,)P x y Q x y ，因点(1,1)A 是PQ 的中点，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，从而有221122222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得：121212122()()()()0x x x x y y y y +--+-=，即12122()()0x x y y ---=，于是得直线l 的斜率为12122y y x x --=， 直线l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，由222122y x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：22430x x -+=，此时2(4)42380∆=--⨯⨯=-<，即方程组222122y x x y =-⎧⎨-=⎩无解，所以直线l 不存在. 7．（多选题）过M （1，1）作斜率为2的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于A 、B 两点，若M 是AB的中点，则下列表述正确的是（ ）A ．b <aB ．渐近线方程为y =±2xC ．离心率3eD ．b >a【答案】CD【分析】根据M （1，1）是AB 的中点，且斜率为2，利用点差法求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22221212220x x y y a b ---=，化简得2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+，因为M （1，1）是AB 的中点，所以222b a=，即2b a =所以b a >，渐近线方程为2y x =，离心率为2213c b e a a=+=8．（多选题）已知双曲线C ：()22210y x a a-=>，其上、下焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点．过双曲线上一点()00,M x y 作直线l ，分别与双曲线的渐近线交于P ，Q 两点，且点M 为PQ 中点，则下列说法正确的是（ ）A ．若l y ⊥轴，则2PQ =．B ．若点M 的坐标为()1,2，则直线l 的斜率为14C ．直线PQ 的方程为0021y yx x a-=． D 5，则三角形OPQ 的面积为2． 【答案】ACD【分析】利用双曲线基本性质，点差法及三角形面积的表示，即可得到结果.【详解】若l y ⊥轴，则直线l 过双曲线的顶点，()0,M a ±，双曲线的渐近线方程为y ax =±，易得P ，Q 两点的横坐标为±1 ，∴2PQ =，即A 正确；若点M 的坐标为()1,2，则2a =2220-=y x ，设()()1122,,,P x y Q x y ，利用点差法：2222112220,20y x y x -=-=，两式作差可得，2222121222y y x x -=-，即222212121212121222,2y y x xy y x x x x y y -+-=-=-+∴1212l k =⨯=，即B 错误；若()00,M x y ，利用点差法同样可得220121212120l a x y y x x k a x x y y y -+===-+，∴直线PQ 的方程为()20000a x y y x x y -=- ，即00222200y y y a x x a x -=-，002222200y y a x x y a x a -=-=，∴0021y y x x a -=，故C 正确；5，则双曲线方程为2214y x -=，∴渐近线方程为2y x =±，设()()1122,2,,2P x x Q x x -，∴122112122OPQS x y x y x x =-= ，联立方程00142y yx x y x⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 可得10022x y x =- ，同理可得20022x y x -=+，∴12220000022882222244OPQSx x y x y x y x -==⋅===-+-， 9．（多选题）曲线C ：221ax by +=（0ab ≠）与直线1y x =-交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为k ，以下结论正确的是（ ） A ．若3k =3a b = B ．若3k =3a b =-3C ．若0k >，则C 为椭圆D ．若C 为双曲线，则0k < 【答案】AD【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得ak b=，再依次判断每个选项即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则12121y y x x -=--，线段AB 的中点为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2211222211ax by ax by ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得()()()()121212120a x x x x b y y y y +-++-=，则12121212y y x xa x xb y y -+=-⋅-+，由题意可知121222y y k x x +=+，即1212y y k x x +=+，则有11a b k -=-⋅，即a k b=，对A ，若3k =则3a b =故A 正确；对B ，若3k =则3a b =-故B 错误；对C ，若0k >，则0ak b=>，当1k ≠时，且0,0a b >>时，曲线是椭圆，否则曲线是圆或不存在，故C 错误；对D ，若C 为双曲线，则0ab <，此时0ak b=<，故D 正确. 10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，且C 的焦点到渐近线的距离为1，直线1y k x m =+与C 交于P ，Q 两点，M 为弦PQ 的中点，若(OM O 为坐标原点）的斜率为2k ，1214k k =，则下列结论正确的是____________①4a =； ②C 5； ③若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2；④若12PF F △的面积为2512PF F △为钝角三角形 【答案】②④ 【解析】 【分析】由已知可得2214b a =，可求a ，e ，从而判断①②，求出∴12PF F 的面积可判断③，设0(P x ，0)y ，利用面积求出点P 的坐标，再求边长，求出21cos PF F ∠可判断④．【详解】设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，可得2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，两式相减可得1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，由题意可得12112y y k x x -=-，且1212(,)22x x y y M ++，12212y y k x x +=+，2122b k k a∴=，1214k k =，∴2214b a =，2251b e a ∴=+②正确；C 的焦点到渐近线的距离为1，设()2,0F c 到渐近线0bx ay -=的距离为d ，则221d b a b===+，即1b =，2a ∴=，故①错误，145c ∴+若12PF PF ⊥，不妨设P 在右支上，2212||||20PF PF +=，又12||||4PF PF -=，12||||2PF PF ∴⋅=， 则12PF F △的面积为12121||||12PF F SPF PF =⋅=，故③不正确；设0(P x ，0)y ，12012||252PF F S c y =⨯⨯=0||2y ∴=， 将0||2y =代入双曲线2214x y -=，得2020x =，0||5x =，根据双曲线的对称性，不妨取点P 的坐标为5，2)，221||(255)27PF ∴++，222||(255)23PF =-+，21cos 02325PF F ∠<⨯⨯，21PF F ∴∠为钝角，∴12PF F △为钝角三角形．故④正确．11．已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>相交于B ，D 两点，且BD 的中点为()1,3M ，则C 的离心率是______． 【答案】2 【解析】【分析】设1122(,),(,)B x y D x y ，代入双曲线方程，利用点差法，可求得223b a=，代入离心率公式，即可得答案.【详解】设1122(,),(,)B x y D x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得：2222121222x x y a b y =--，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，因为()1,3M 为BD 中点，所以12122,6x x y y +=+=，又直线BD 斜率为1所以12121y y x x -=-，代入可得，223b a =，所以C 的离心率2212be a+.12．已知双曲线2212y x -=上存在两点,M N 关于直线y x b =-+对称，且MN 的中点在抛物线23y x =上，则实数b 的值为________． 【答案】0或94【解析】【分析】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，MN 的中点为0(E x ，0)y ，由点差法可得0MN y k x ；通过,M N 两点关于直线y x b =-+对称，可得1MN k =，求出E 的坐标，代入抛物线方程求解即可．【详解】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，MN 的中点为0(E x ，0)y ，则221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 由点差法可得212121211()()()()2x x x x y y y y -+=-+，即212121212y y y y x x x x -+⋅=-+①，显然12x x ≠，又因为12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩②，代②入①可得02MN y k x ⋅=；由,M N 两点关于直线y x b =-+对称，可得1MN k =，所以002y x =，又因为00y x b =-+，所以2(,)33b b E ，代入抛物线方程得24393b b=⨯，解得0b =或94b =．13．已知P ，Q 为曲线22:14x C y -=上的两点，线段PQ 的中点为()3,1M ，则直线PQ 的斜率为（ ）A ．–3B ．34-C ．34D ．3【答案】C 【解析】【分析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，代入双曲线方程相减可得直线斜率．【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -+--+=，所以121212122334()4214PQ y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯⨯．此时直线方程为31(3)4y x -=-，3544y x =-，代入双曲线方程有：2235()1444x x --=，整理得241605x x -+=，4116364055∆=-⨯=>，直线与双曲线相交于两点，又12623x x +==⨯，M 是PQ 中点，满足题意．14．已知斜率为1的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2，则双曲线C 的离心率为（ ）A 3B ．2C 5D ．3【答案】A 【解析】【分析】利用点差法可求得22b a 的值，结合221b e a=+C 的离心率的值.【详解】设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得2222121222x x y y a b --=，所以2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+．因为1202x x x +=，1202y y y +=，所以21202120-=⋅-y y b x x x a y ． 因为12121AB y y k x x -==-，002==OP yk x ，所以2212b a =，故222b a =，故222222213c c a b b e a a a a +===+． 15．已知点()13,0F ，)23,0F ，动点M 满足122MF MF -=.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)直线l 与点M 的轨迹交于A ，B 两点，若弦AB 的中点坐标为()2,1，求直线l 的方程. 【答案】(1)2212y x -=；(2)470x y --=【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可；（2）根据点差法求解并检验即可得答案. 【解析】(1)根据双曲线的定义得动点M 的轨迹是以()13,0F -，()23,0F 为焦点，实轴长为2的双曲线，22,3a c ==2221,2a b c a ==-=，所以动点M 的轨迹方程2212y x -=(2) 设()()1122,,,A x y B x y ，则221112-=y x ，222212-=y x ，所以2222121222y y x x -=-，即()()()()121212122y y y y x x x x +-+-=，所以()121212122AB x x y y k x x y y +-==-+， 因为弦AB 的中点坐标为()2,1，所以12124,2x x y y +=+=， 所以()1212121224AB x x y y k x x y y +-===-+所以直线l 的方程为()142y x -=-，即470x y --=. 联立方程2212470y x x y ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得21456510x x -+=，此时256414515630∆=-⨯⨯=⨯>，124x x +=， 满足题意.所以直线l 的方程为470x y --=16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，离心率3e =22(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点()1,1P 能否作直线l ，使直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，且点P 为弦AB 的中点?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2212y x -=；(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据离心率及虚轴长即可求解；（2）运用点差法求解，但是要注意检验. 【解析】(1)3ce a==222b =3c a ∴=，2b =222c a b =+，2232a a ∴=+．21a ∴=． ∴双曲线C 的标准方程为2212y x -=．(2)假设以定点(11)P ，为中点的弦存在， 设以定点(11)P ，为中点的弦的端点坐标为11(,)A x y ，2212(),()B x y x x ≠， 可得122x x +=，122y y +=．由A ，B 在双曲线上，可得：221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减可得以定点(11)P ，为中点的弦所在的直线斜率为：211221122()2y y x x k x x y y -+===-+， 则以定点(11)P ，为中点的弦所在的直线方程为12(1)y x -=-．即为21y x =-， 代入双曲线的方程可得22430x x -+=，由2(4)42380<∆=--⨯⨯=-，所以不存在这样的直线l ． 17．已知抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ，P 为C 上的动点，Q 为P 在动直线y t =（0t <）上的投影.当PQF △为等边三角形时，其面积为43 (1)求C 的方程；(2)设O 为原点，过点P 的直线l 与C 相切，且与椭圆22142x y +=交于A ，B 两点，直线OQ 与AB 交于点M .试问：是否存在t ，使得M 为AB 的中点？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)24x y =；(2)存在，1-，理由见解析. 【分析】（1）根据PQF △的面积可求出等边三角形的边长为4，再由60OFQ PQF ∠=∠=，cos60p OF PQ ==⋅求出p 的值即可得C 的方程；（2）设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()0,Q x t ，可得0OQ t k x =，由导数的几何意义可得012l k x =，设()11,A x y ，()22,B x y ，中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，由点差法可得12l OMk k ⋅=-，01OM k x =-，因此可求出1t =-即可. 【解析】(1)设()00,P x y ，0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，因为PQF △为等边三角形时，其面积为43所以21si πn 4323PQ ⨯=4PQ =，即4PQ PF FQ ===，由抛物线定义可知，y=t 为抛物线的准线，由题意可知60OFQ PQF ∠=∠=，所以12cos60422p OF FQ ==⋅=⨯=，所以C 的方程24x y =； (2)设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则P 在动直线y t =上的投影()0,Q x t ，当00x ≠时，0OQ t k x =，由214y x =可得12y x '=，所以切线l 的斜率为012l k x =， 设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，由22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22221212042x x y y --+=， 所以()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，整理可得：1212121212y y y y x x x x -+⋅=--+，即12l OM k k ⋅=-， 所以01122OM x k ⋅=-，可得01OM k x =-，又因为0OQ OM t k k x ==，所以当1t =-时，01OQ OM k k x ==-，此时,,O M Q 三点共线，满足M 为AB 的中点，综上，存在t ，使得点M 为AB 的中点恒成立，1t =-.18．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>经过点(2,3)，一条渐近线的倾斜角为60︒.(1)求双曲线的标准方程；(2)若斜率为(0)k k ≠的直线l 与双曲线E 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的中垂线与y 轴交于点(0,4)，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2213y x -=；(2)(,2)(3,0)3)(2,)-∞-⋃⋃⋃+∞. 【分析】(1)根据给定条件列出关于a ，b 的方程求解即可作答.(2)设出直线l 的方程，联立直线l 与双曲线E 的方程消去y ，借助韦达定理及判别式列式计算作答. 【解析】(1)依题意，双曲线E 的渐近线方程为by x a =±，因一条渐近线的倾斜角为60︒，即3b a= 由双曲线E 经过点(2,3)，得22231a b -=，解得1a =，3b =E 的方程为2213y x -=. (2)设直线l 的方程为y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由2233y kx mx y =+⎧⎨-=⎩消去y 并整理得222(3)230k x kmx m ----=，230k -≠， 22222(2)4(3)(3)12(3)0km k m m k ∆=+-+=+->，即223m k >-，则12223km x x k +=-，212233m x x k +=-，12122226()2233km my y k x x m k m k k +=++=⋅+=--，于是得线段MN 中点为2(3km k -，23)3m k -，因此，线段MN 的垂直平分线的方程为2231()33m kmy x k k k -=----，而线段MN 的垂直平分线过点(0,4)， 从而有22314()33m km k k k-=----，化简得23m k =-，代入223m k >-得：242963k k k -+>-， 解得2k >或2k <-，或33k <<0k ≠，所以k 的取值范围为(,2)(3,0)3)(2,)-∞-⋃-⋃⋃+∞. 19．中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：①该曲线经过点()2,3A ；②该曲线的渐近线与圆22840x x y -++=相切；③点P 在该双曲线上，1F 、2F 为该双曲线的焦点，当点P 的纵坐标为32时，恰好12PF PF ⊥.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点()1,1Q 能否作直线l ，使l 与此双曲线相交于1Q 、2Q 两点，且Q 是弦12Q Q 的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)条件选择见解析，双曲线E 的标准方程为2213y x -=；(2)不存在，理由见解析【分析】（1）选①：利用双曲线的定义求出2a 的值，结合c 的值可求得b 的值，由此可得出双曲线E 的标准方程； 选②：求出3ba=2c a =，结合已知条件可得出a 、b 的值，由此可得出双曲线E 的标准方程； 选③：利用双曲线的定义和勾股定理可得出2122PF PF b ⋅=，然后利用三角形的面积公式可求得2b 的值，结合c 的值可求得a 的值，由此可得出双曲线E 的标准方程.（2）假设满足条件的直线l 存在，设点()111,Q x y 、()222,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，可得出直线l 的方程，再将直线l 与双曲线E 的方程联立，计算∆，即可得出结论. 【解析】(1)设双曲线E 的标准方程为()222210x y a b a b-=>>.选①：由题意可知，双曲线E 的两个焦点分别为()12,0F -、()22,0F ， 由双曲线的定义可得221224332a AF AF =-+=，则1a =，故223b c a -所以，双曲线E 的标准方程为2213y x -=. 选②：圆22840x x y -++=的标准方程为()22412x y -+=，圆心为()4,0，半径为23双曲线E 的渐近线方程为by x a=±24231b ab a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭3b a =即3b a =，因为2222c a b a +=，则1a =，3b = 因此，双曲线E 的标准方程为2213y x -=.选③：由勾股定理可得2222212121212416242PF PF c PF PF PF PF a PF PF +===-+⋅=+⋅，所以，()2221222PF PF c a b ⋅=-=，则122121134222F PF S PF PF b =⋅==⨯⨯△，则3b =故221a c b =-=， 所以，双曲线E 的标准方程为2213y x -=.(2)假设满足条件的直线l 存在，设点()111,Q x y 、()222,Q x y ，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由题意可得221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得()()()()121212123y y y y x x x x -+-+=， 所以，直线l 的斜率为12123y y k x x -==-，所以，直线l 的方程为()131y x -=-，即32y x =-. 联立223213y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理可得261270x x -+=，2124670∆=-⨯⨯<，因此，直线l 不存在.20．已知0a b >>，如图，曲线Γ由曲线22122:1(0)x y C y a b +=≤和曲线22222:1(0)x y C y a b -=>组成，其中点F 1，F 2为曲线C 1所在圆锥曲线的焦点，点F 3，F 4为曲线C 2所在圆锥曲线的焦点，F 2（2，0），F 4（6，0）.(1)求曲线Γ的方程；(2)如图，作直线l 平行于曲线C 2的渐近线，交曲线C 1于点A ，B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线C 2的另一条渐近线上.【答案】(1)221(0)2016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>；(2)证明见解析【分析】（1）根据题意得到2222364a b a b ⎧+=⎨-=⎩，再解方程组即可.（2）不妨令直线l 平行于渐近线25y =，设25:)l y x m =-，(25)m ≥，联立2225)1,2016y x m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得到2222200x mx m -+-=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，得到02m x =，05y =，0025y x =，即可证明中点M 在另一条渐近线25y =上. 【解析】(1)2(2,0)F ，4(6,0)F ，2222364a b a b ⎧+=∴⎨-=⎩，解得222016a b ⎧=⎨=⎩，则曲线Γ的方程为：221(0)2016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>. (2) 由题意曲线C 2的渐近线为：25y =，不妨令直线l 平行于渐近线25y x =， 设25:)l y x m =-，(5)m ≥，由2225)1,2016y x m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2222200x mx m -+-=， ()2248200m m ∴∆=-->，解得：210210m -<<所以有25210m <设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则12x x m +=，212202m x x -=，02mx ∴=，05y =，0025y ∴=，即中点M 在另一条渐近线25y =上.。

专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的一条渐近线与直线230x y-+=平行，则该双曲线的离心率是（）A B C．2D【答案】D【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为by xa=±，易知by xa=与直线230x y-+=平行，所以=2bea⇒=故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x yCa b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A．2221x y-=B．2213yx-=C．22531x y-=D．22126x y-=【答案】B【分析】分析可得b，再将点代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2cea==，则2c a=，b=，则双曲线的方程为222213x ya a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a=，故b=因此，双曲线的方程为2213yx-=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F是双曲线22221x ya b-=（0a>，0b>）的左焦点，点P在双曲线上，直线1PF与x轴垂直，且1PF a=，那么双曲线的离心率是（）练基础AB C ．2 D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20b y a =，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可. 【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =， 因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =， 所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e = 故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0） 则a =（ ）A B ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =，=，解得12a = ， 故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的C 的焦距等于（ ）．A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A.221412x y -=B.221124x y -=C.2213x y -=D.2213y x -=【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 603c c a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==， 双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>0my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4 【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】0my +=化简得y =，即b a ，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____. 【答案】y =.【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y =x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为( ) A B C ．2D【答案】B 【解析】由题可知22,PF b OF c ==PO a ∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF bF OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==)222224322b c bc a b cc+-∴=⇒=⋅ e ∴=故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心率为（ ）练提升A B ．3CD ．3【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==. 故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BCD 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形， 所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴= 所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=. 故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅=，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可. 【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+，200(2,)F P x =-，又220120403x F P F P x ⋅=-+=，∴0x = 故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,)42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1， 所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d << 即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e << 故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c =（c 上纵坐标不为0的一点，则当M 的纵坐标为时，2MAF 外接圆的面积最小 【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确； 由正弦定理得到2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确． 【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确； 对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,F F F P F P 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ， 当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确； 对于D 中，由正弦定理，可知2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=， 在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=， 又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹是椭圆 B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN 的面积6PMNS =【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项. 【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =， 当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩， 所以132PMN S PM PN ==△，故C 对； 选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩， 所以162PMN S PM MN ==△，故D 对， 故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案. 【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3 【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案. 【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-． 当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯=． 当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=． 故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1 【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案； 【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=1==c e a ．11. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =|OP |=（ ） A B C D【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） ABC ．2 D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，11224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，3c ，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】 如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。

高考数学《双曲线》专题检测试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．过点()1,2P -的直线与双曲线2214x y -=的公共点只有1个，则满足条件的直线有（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条2．双曲线E ：2213y x -=的左，右顶点分别为,A B ，曲线E 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则mn =（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-3．双曲线222:1(0)y C x a a-=>的上焦点2F 到双曲线一条渐近线的距离为2a ，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（）A ．4-B ．4C ．2-D ．24．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，右焦点为F ，点E 的坐标为(,b c a b ，则直线OE （O 为坐标原点）与双曲线的交点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过焦点2F 且垂直于x 轴的弦为AB ，若190AF B ∠= ，则双曲线的离心率为（）A ．522B 1-C 1D ．2226．已知双曲线C ：221169x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且6AB =，则1F AB 的周长为（）A ．20B ．22C ．28D ．367．已知点P 是双曲线2211620x y -=右支上的一点，点A B 、分别是圆22(6)4x y ++=和圆22(6)1x y -+=上的点．则PA PB -的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．98．双曲线2222:1(0,0)y x a b a bΓ-=>>的两焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与其一支交于A ，B两点，点B 在第四象限.以1F 为圆心，Γ的实轴长为半径的圆与线段11,AF BF 分别交于M ，N 两点，且12||3||,AM BN F B F B =⊥，则Γ的渐近线方程是（）A．y =B．y x =C．y x =D．y x=二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）9．已知双曲线C ：()2220mx y m -=>，左右焦点分别为12,F F ，若圆()2248x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C的离心率e =B ．若1PF x ⊥轴，则1PF =C ．若双曲线C 上一点P 满足122PF PF =，则12PF F的周长为4+D ．存在双曲线C 上一点P ，使得点P 到C10．已知双曲线2222 :1(0)x y M a b a b-=>>的焦距为4，两条渐近线的夹角为60︒，则下列说法正确的是（）A ．MB ．M 的标准方程为2212x y -=C ．M的渐近线方程为y =D ．直线20x y +-=经过M 的一个焦点11．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为M ，且12π6MF F =∠，双曲线2C 和椭圆1C 有相同的焦点，且双曲线2C 的离心率为2e ，P 为曲线1C 与2C 的一个公共点．若12π2F PF ∠=，则（）A．21e e =B．12e e =C ．221294e e +=D ．22211e e -=三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F，点)A在双曲线C 上，且满足120AF AF ⋅=，则双曲线C 的标准方程为__________．13．已知双曲线1C ：()22210y x b b-=>与椭圆2C：(2221x y a a +=>有公共的焦点1F ，2F ，且1C 与2C 在第一象限的交点为M ，若12MF F △的面积为1，则a 的值为__________．14．设1F 、2F 为双曲线Γ：()222109x ya a -=>左、右焦点，且Γ，若点M 在Γ的右支上，直线1F M 与Γ的左支相交于点N ，且2MF MN =，则1F N =__________.四、解答题（共5小题，共77分）15．设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>，斜率为1的直线l 与Γ交于,A B 两点，当l 过Γ的右焦点F 时，l 与Γ的一条渐近线交于点(P -．（1）求Γ的方程；（2）若l 过点(1,0)-，求||AB ．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为2（1）求双曲线C 的方程；（2）直线():1,0l y k x k =+>与双曲线C 有唯一的公共点，求k 的值．17．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点()1,0E ，斜率为1的直线交C 于M 、N 两点，且MN 中点()1,3Q ．（1）求双曲线C 的方程；（2）证明：MEN 为直角三角形；（3）若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP PB λ= ，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB V 面积的取值范围．18．某高校的志愿者服务小组受“进博会”上人工智能展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如下图：A 、B 两个信号源相距10米，O 是AB 的中点，过O 点的直线l 与直线AB 的夹角为45︒．机器猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足；接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚08v 秒（注：信号每秒传播0v 米）．在时刻0t 时，测得机器鼠距离O 点为4米．（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻0t 时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？19．已知离心率为72的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B ．（1）求双曲线1C 的方程；（2）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S参考答案15．（1）2214y x -=（2）82316．（1）22124x y -=（2）k =2．17．（1）2213y x -=（2）证明略（3）⎦18．（1）(4,0)（2）没有“被抓”风险19．（1）22143x y -=（2）⎫+∞⎪⎪⎝⎭。

高考数学一轮复习考点知识与题型讲解考点44 双曲线一．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．二.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.三．双曲线的几何性质x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长A 1A 2＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长B 1B 2＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)四．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．考点题型分析考点题型一 双曲线的定义【例1-1】(2022·浙江省德清县第三中学)已知双曲线22:14x G y -=的左､右焦点分别为1F ､2F ，若点P 在G 的右支上，且21PF =，则1PF =( ) A ．3B ．5C ．251D ．251+【答案】B【解析】由题可知：双曲线方程为2214x y -=，所以2a =又212PF PF a -=，所以1245PF PF =+=故选：B【例1-2】．(2022·河北张家口市)已知12(6,0),(6,0)F F -，动点P 满足21|PF PF a -=∣，当a 分别为4和12时，点P 的轨迹分别为( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和一条射线 C ．双曲线的一支和一条射线 D ．双曲线的一支和一条直线【答案】C【解析】由题意，得1212F F =当4a =时，21124PF PF a F F -==<，可知点P 的轨迹为双曲线左支； 当12a =时，211212PF PF a FF -===，可知点P 的轨迹为以1F 为端点的一条射线.故选：C【例1-3】．(2022·全国课时练习)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________. 【答案】4【解析】由双曲线方程知：12||2F F c == 在△PF 1F 2中，由余弦定理知：2222121212121212||||||2||||cos (||||)||||F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，∴21212||||8(||||)PF PF PF PF ⋅=--，而12||||||2PF PF -=， ∴12||||4PF PF ⋅=. 故答案为：4.【举一反三】1．(2022·上海普陀区)设P 是双曲线221169x y -=上的点，若1F ，2F 是双曲线的两个焦点，则12PF PF -=( )A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】C【解析】由双曲线221169x y -=可得4a = 根据双曲线的定义可得：2128PF F a P -== 故选：C2．(2022·上海市)已知两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN -=，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线C ．一条射线D ．双曲线的右支【答案】C【解析】由两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN MN -==， 所以动点P 的轨迹是一条射线.故选：C3．(2022·浙江省宁海中学高三月考)在平面直角坐标系中，()12,0F -，()22,0F ，12PF PF a -=(a ∈R )，若点P 的轨迹为双曲线，则a 的取值范围是( ) A ．()0,4 B ．(]0,4 C ．()4,+∞ D ．()()0,44,+∞【答案】A【解析】12PF PF a -=，由点P 的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则12124PF PF F F <=-，所以04a <<故选: A4．(2022·全国高三专题练习)已知1F 、2F 为双曲线22:13x C y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF F △的面积为____________【解析】双曲线22:13x C y -=，则223,1a b ==，所以2224c a b =+=，利用双曲线定义知，122PF PF a -==两边平方得221212||||122||||PF PF PF PF +=+⋅，且12||24F F c ==，1260F PF ∠=由余弦定理22212212121212||||||122||||161cos 2||||2||||2PF PF FF PF PF F PF PF PF PF PF +-+⋅-∠===⋅⋅， 解得：12||||4PF PF ⋅=，则121211||||sin 604222PF F S PF PF =⋅⋅∠=⨯⨯=考点题型二 双曲线的标准方程【例2-1】(2022·福建龙岩市)“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程22112x y m m +=+-表示双曲线，则(1)(2)0m m +-<，得12m -<<，则11m -<<能推出12m -<<，12m -<<不能推出11m -<<，“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A ．【例2-2】．(2022·全国课时练习)过点(1,1)，且ba=( ) A ．22112x y -=B ．22112y x -=C ．22112y x -= D ．22112x y -=或22112y x -=【答案】D【解析】由ba=222b a =. 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为222212x y a a -=，将点(1,1)代入可得212a =，则双曲线方程为22112x y -=.同理，焦点在y 轴上时，双曲线方程为22112y x -=.故选：D【举一反三】1．(2022·海原县第一中学)根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)焦点在x 轴上，2a =离心率52e =，求双曲线的标准方程； (2)11a c +=，3c a -=，焦点在y 轴上，求双曲线的标准方程．【答案】(1)224121x y -=；(2)2211633y x -=.【解析】(1)由题意可得252a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩，5c ∴=，b =因为双曲线的焦点在x 轴上，因此，双曲线的标准方程为224121x y -=； (2)由已知条件可得113a c c a +=⎧⎨-=⎩，解得74c a =⎧⎨=⎩，b ∴==因为双曲线的焦点在y 轴上，因此，双曲线的标准方程为2211633y x -= 2．(2022·浙江)已知曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，( )A ．若E 表示双曲线，则2m >B ．若12m <<，则E 表示双曲线C ．若E 表示椭圆，则2m >D ．若12m <<且32m ≠，则E 表示椭圆 【答案】D【解析】因为曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，当()()120m m -->解得2m >或1m <时曲线表示双曲线；当102012m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩即12m <<且32m ≠时曲线表示椭圆；故选：D3．(2022·江苏南通市)命题:p “34m <<”是命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”，则()()350m m -->，即()()350m m --<， 解得35m <<由于命题p 能推出命题q ，命题q 不能推出命题p 则命题p 是命题q 的充分不必要条件 故选：C考点题型三 直线与曲线的位置关系【例3】(2022·全国课时练习)若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，求实数k 的取值范围． 【答案】22k -<<【解析】4x 2－y 2＝16渐近线方程为2y x =±，因为直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，所以k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由0∆>可得()241640k ⨯->，解得22k -<<.【举一反三】1．(2022·徐汇区·上海中学)已知直线()1y kx k =+∈R 与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？【答案】k =k =【解析】由22311x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得()223220k x kx ---=，因为直线与双曲线有一个公共点，所以230k -=或()()()2223024320k k k ⎧-≠⎪⎨∆=----=⎪⎩，解得k =k =2．(2022·江苏南通市)直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有( )个 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390kx k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=，对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=.综上所述，k 的取值有4个.故选：D.3．(2022·陕西宝鸡市)如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有( ) A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解． 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D ．考点题型四 弦长【例4】(2022·全国高三专题练习)直线x ＋y ＝1与双曲线4x 2－y 2＝1相交所得弦长为( )A．3B．3CD【答案】B【解析】将直线1x y +＝代入2241x y -＝得23220x x +-=. 设两交点()()1122,,,A x y B x y ，则12122233x x x x +-=-＝，，123AB x ∴=-==.故选:B ． 【举一反三】1．(2022·辽宁朝阳市·高三月考)直线0x y -=与双曲线2222x y -=有两个交点为A ，B ，则AB =( ) A ．2 B ．C ．4D ．【答案】C【解析】由22220x y x y ⎧-=⎨-=⎩，得11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩4AB ==.故选：C ．2．(2022·全国高三专题练习)过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y＝k (x －4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k--＝8，解得k ＝1. 所以x 1x 2＝2232321012k k k -+--＝10. 所以|AB |.故选:D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -=， ① 222212x y -=. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2. 由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝.故选：D考点题型五 离心率与渐近线【例3】(2022·浙江湖州市)双曲线2214y x -=的离心率是_______，渐近线方程是_______．(两条都写出)2y x=±【解析】由题可知1a=，2b=，故c=e==渐近线方程为：by xa=±即2y x=±.2y x=±【举一反三】1．(2022·浙江杭州市·学军中学)双曲线22143x y-=的渐近线方程是___________；离心率为___________.【答案】2y x=±2【解析】由双曲线方程得：2,a b==，则c=因此渐近线方程是2y x=±；离心率为2ca=故答案为：2y x=±；22．(2022·湖北高三一模)已知12,F F分别是双曲线C的左､右焦点，若双曲线C上存在一点M满足1212::12:13:5MF MF F F=，则该双曲线的离心率为___________.【答案】5【解析】设121212,13,5MF k MF k F F k===双曲线的离心率122125521312F Fc kea MF MF k k====--.故答案为：53．(2022·河北张家口市)已知椭圆221259x y+=和双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>有共同焦点12,,F F P是它们的一个交点，且123F PFπ∠=，则双曲线的离心率为_____________.【答案】13【解析】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为a ， 根据椭圆及双曲线的定义：121210,2PF PF PF PF a +=-=， 所以125,5PF a PF a =+=-，12128,3F F F PF π=∠=， 由余弦定理可得，2264(5)(5)2(5)(5)cos 3a a a a π=++--+-，整理得213a =，13c e a ===..。