人教新课标版数学高二-2-2导学案 导数的几何意义

《导数的几何意义》优质教案《导数的几何意义》教案教学核心素养1:数学抽象2:直观想象教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．教学方法：讨论法教学工具：多媒体教学课时：1课时教学过程：创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？⑵此处的切线与以前所学的切线有何不同？容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆ 说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:图3.1-2①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程.典例分析例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况．（1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．（4）学生练习总结t 3 ,t 4 处的切线斜率。

2.2 导数的几何意义课时目标 1.理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率是过A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．2．函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处__________，反映了导数的几何意义．一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于( )A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有( )A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是( )A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么( )A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图像如图所示，下列数值的排序正确的是( )A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)二、填空题7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是______________．9．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．11．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x ＋y＝6平行，求a的值．能力提升12．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．13．在曲线E：y＝x2上求出满足下列条件的点P的坐标．(1)在点P处与曲线E相切且平行于直线y＝4x－5；(2)在点P处与曲线E相切且与x轴成135°的倾斜角．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝li mΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0) (x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案知识梳理1．斜率 2.切线的斜率作业设计1．D [∵y＝2x3，∴y ′＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 2x ＋Δx 3－2x3Δx＝li m Δx →0 2Δx 3＋6x Δx 2＋6x 2ΔxΔx＝li m Δx →0[2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2]＝6x 2. ∴y ′＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.]2．C [由题意知切线过(2,3)，(－1,2)，所以k ＝f ′(2)＝2－3－1－2＝－1－3＝13>0.]3．C [f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．] 4．B [2x ＋y ＋1＝0，得y ＝－2x －1， 由导数的几何意义知，h ′(a )＝－2<0.]5．B [曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，切线与x 轴平行或重合．] 6．B [根据导数的几何意义，在x ∈[2,3]时， 曲线上x ＝2处切线斜率最大， k ＝f 3－f 23－2＝f (3)－f (2)>f ′(3)．]7．－1解析 由偶函数的图像和性质可知应为－1. 8．2x －y ＋4＝0解析 由题意知，Δy ＝3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，∴y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝2. ∴所求直线的斜率k ＝2.则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0. 9．2解析 ∵点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3， 又∵f ′(5)＝k ＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.10．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20.因y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x . ∴k ＝y ′＝2x 0.因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20， ∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3.当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6. ∴所求直线的斜率为－2或6.11．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.12．解 f ′(x )＝li m Δx →0a x ＋Δx2＋b x ＋Δx －7－ax 2－bx ＋7Δx＝li m Δx →0(a ·Δx ＋2ax ＋b )＝2ax ＋b . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12.13．解 f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x ， 设P (x 0，y 0)为所求的点，(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与x 轴成135°的倾斜角， 所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，即y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

高二数学《导数的几何意义》学案教学目标知识与技能目标：本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次：通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。

从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。

依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数导数的几何意义教案在导数的几何意义教案处的导数导数的几何意义教案的几何意义，使学生认识到导数导数的几何意义教案就是函数导数的几何意义教案的图象在导数的几何意义教案处的切线的斜率。

即：导数的几何意义教案＝曲线在导数的几何意义教案处切线的斜率k在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。

在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法目标：学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。

学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。

结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知。

情感、态度、价值观：通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。

在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。

教学重点与难点重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合、以直代曲的思想方法。

1.1.3 导数的几何意义1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义． 2．会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．导数的几何意义(1)切线：如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．显然割线PP n 的斜率是k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率．(2)几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的____，也就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝____＝______，相应地，切线方程为______________．如图，函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率的几何意义是割线PQ 的斜率，当点Q 沿曲线y ＝f (x )趋近于点P 时(即Δx 趋近于0)，割线PQ 绕点P 转动，它的最终位置为曲线在点P 处的切线位置——直线PT .即f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.因此，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.【做一做1－1】 设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交 【做一做1－2】 如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在 2．导函数从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程可以看到，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个____的数．这样，当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称____)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝____.过曲线y ＝f (x )上的某一点作曲线的切线有且只有一条吗？ 【做一做2－1】 函数在某一点的导数是( ) A ．在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比 B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率【做一做2－2】 设f (x )在定义域内的每一点处都存在导数，且满足lim Δx →0f (1)－f (1－Δx )Δx ＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为__________．答案：1．(2)斜率 0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δxf ′(x 0) y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)【做一做1－1】 B 由导数的几何意义知，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，故选B.【做一做1－2】 B 根据导数的几何意义，f (x )在x 0处的导数就是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率，故f ′(x 0)＝－12＜0，故选B.2．确定 导数 0lim x ∆→f (x ＋Δx )－f (x )Δx思考讨论提示：不一定．可能不存在，如y ＝|x |，在点(0,0)处无切线；也可能有多条，如图所示的曲线中，过点A 可作两条切线．【做一做2－1】 C 根据函数在一点处的导数的定义，可知选C. 【做一做2－2】 －1 由题意得lim x ∆→f [1＋(－Δx )]－f (1)－Δx＝f ′(1)＝－1，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝－1.1．如何利用导数的几何意义求过某点的切线方程？剖析：(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：①求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)；②根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．注意：若在点(x 0，f (x 0))处切线的倾斜角为π2，此时切线平行于y 轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得出切线方程为x ＝x 0.(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．注意：若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)不存在，就是切线与y 轴平行或是y 轴；若f ′(x 0)＞0，切线与x 轴正方向夹角是锐角；若f ′(x 0)＜0，则切线与x 轴正方向夹角为钝角；f ′(x 0)＝0，切线与x 轴平行或是x 轴．2．“用割线的极限位置来定义切线”和“与曲线只有一个公共点的直线是切线”的区别是什么？剖析：在初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点，圆是一种特殊的曲线，如果将圆的切线推广为一般曲线的切线：直线和曲线有唯一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．观察图中的曲线C ，直线l 1虽然与曲线C 有唯一的公共点M ，但我们不能说直线l 1与曲线C 相切；而直线l 2尽管与曲线C 有不止一个公共点，我们还是说直线l 2是曲线C 在点N 处的切线．因此，对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义．一般地，过曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)作曲线的割线PQ ，当点Q 沿着曲线无限趋近于点P 时，若割线PQ 趋近于某一确定的位置，则称这一确定位置的直线为曲线y ＝f (x )在点P 处的切线．在这里，要注意曲线y ＝f (x )在点P 处的切线：①与点P 的位置有关．②要依据割线PQ 是否存在极限位置来判定与求解．若有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；若极限不存在，则在此点处无切线．3．如何区分f ′(x 0)与f ′(x )?剖析：对于一个确定的函数y ＝f (x )＝x 2，同学们可以求出y ＝f (x )在x ＝0，x ＝1，x ＝3，x ＝4处的导数即f ′(0)，f ′(1)，f ′(3)，f ′(4)．如：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )2－x 20＝(Δx )2＋2x 0·Δx ，Δy Δx ＝(Δx )2＋2Δx ·x 0Δx＝Δx ＋2x 0，∴f ′(0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(Δx ＋2×0)＝0. 同理可证：f ′(1)＝2，f ′(3)＝6，f ′(4)＝8，f ′(x 0)＝2x 0.我们会发现对于一个确定的自变量值x 0，f ′(x 0)也是确定的值，f ′(x 0)＝2x 0.因此，我们可以得到对于函数y ＝f (x )，当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，称f ′(x )为f (x )的导函数(简称导数)，有时也记为y ′.需注意f ′(x 0)与f ′(x )意义不同，f ′(x )为f (x )的导函数，而f ′(x 0)为f (x )在x ＝x 处的导函数值．题型一求曲线的切线方程【例题1】已知曲线C：y＝13x3＋43.(1)求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？分析：解答第(1)小题，可先求出切点坐标及斜率，然后利用直线方程的点斜式求切线方程；解答第(2)小题，可把(1) 中求得的直线方程与已知的曲线方程组成方程组，求方程组的解．反思：(1)解决这类题，先求出函数y＝f(x)在x0处的导数即曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程．(2)导数的几何意义中所说的点应在曲线上，否则函数在该点处的导数不是斜率．题型二求切点坐标【例题2】已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1，求：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?分析：设点的坐标→求出在该点处的导数→利用条件建立方程→求出点的坐标反思：解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．具体的解题步骤为：①先设切点坐标(x0，y0)；②求导函数f′(x)；③求切线的斜率f′(x0)；④由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；⑤点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．题型三导数几何意义的综合应用【例题3】设曲线f(x)＝x2＋1和g(x)＝x3＋x在其交点处两切线的夹角为θ，求cos θ.分析：本题考查了导数几何意义的综合应用，解决本题的关键是求出两切线的方向向量，要求cos θ的值，必须先求出两曲线的交点，再利用导数分别求出在交点处两曲线切线的斜率，通过向量的数量积可求得cos θ.反思：导数的几何意义的综合应用，主要是根据函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即曲线在该点处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程，再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围、直线的方向向量等关系求解相关问题．题型四易错辨析【例题4】求过曲线y＝f(x)＝x3上的点(1,1)的切线方程．错解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，∴Δy＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋3. ∴lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0[(Δx )2＋3Δx ＋3]＝3， 即f ′(1)＝3.所以所求切线的方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. 错因分析：求切线方程时，一定要注意是求过某一点的切线方程还是求在某点处的切线方程．前者可能会有多个结果，而后者通常只有一个结果．例如，如图所示的图象，l 1，l 2，l 3都是过点P 的切线，其中l 3是在点P 处的切线．过曲线上一点的切线和在某一点处的切线是两个不同的概念．反思：(1)求某点处的切线，该点就是切点，因此可直接求出该点处导数的值(切线斜率)，写出切线方程．(2)求过某点的切线，要注意该点不一定是切点．因此，在解题时先设出切点，再求出该点处的导数值(切线斜率)，根据切点与斜率写出切线方程，最后再将该点坐标代入．在解题过程中不必考虑该点是否为切点．答案：【例题1】 解：(1)将x ＝2代入曲线C 的方程，得y ＝4，∴切点的坐标为(2,4)．∴y ′|x ＝2＝0lim x ∆→ΔyΔx＝0lim x ∆→ 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝0lim x ∆→ ⎣⎡⎦⎤4＋2·Δx ＋13(Δx )2＝4. ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线C 在点(2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4，y ＝13x 3＋43，得(x －2)(x 2＋2x －8)＝0， 解得x 1＝2，x 2＝－4. 从而求得公共点为 (2,4)或 (－4，－20)．即切线与曲线C 的公共点除了切点外， 还有另外的公共点．【例题2】 解：设所求点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2. ∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1， 即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14.∴该点的坐标为⎝⎛⎭⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴切线的斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1.∴该点的坐标为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴切线的斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2. ∴该点的坐标为(2,9)．【例题3】 解：由f (x )＝g (x )，得x 3－x 2＋x －1＝0， 即(x －1)(x 2＋1)＝0，∴x ＝1.∴交点为(1,2)． ∵f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0(1＋Δx )2＋1－(12＋1)Δx＝2，∴曲线f (x )在交点处的切线l 1的方程为 y －2＝2(x －1)，即y ＝2x . 又∵g ′(1)＝lim Δx →g (1＋Δx )－g (1)Δx＝lim Δx →0 (1＋Δx )3＋(1＋Δx )－(13＋1)Δx ＝4，∴曲线g (x )在交点处的切线l 2的方程为y －2＝4(x －1)，即y ＝4x －2.取切线l 1的方向向量为a ＝(1,2)，切线l 2的方向向量为b ＝(1,4)，则cos θ＝a·b|a||b|＝95×17＝98585.【例题4】 正解：设切线与曲线的切点为(x 0，x 30)．则Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝(Δx )3＋3(Δx )2·x 0＋3Δx ·x 20Δx＝(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20.∴0lim x ∆→Δy Δx＝3x 20，即f ′(x 0)＝3x 20. 故切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．而该切线经过点(1,1)，所以1－x 30＝3x 20(1－x 0)，解得x 0＝1或x 0＝－12.所以切线方程为y －1＝3(x －1)或y ＋18＝34⎝⎛⎭⎫x ＋12. 即3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0.1已知曲线y ＝2122x -上一点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点P 处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．165°2曲线y ＝f (x )＝x 2在点P 处的切线斜率为k ，当k ＝2时，点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1) C ．(1,1)D ．11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭3若曲线y ＝f (x )＝2x 2－4x ＋p 与直线y ＝1相切，则p ＝__________. 4求曲线y ＝f (x )＝x 2在x ＝1处的切线方程． 5求证：函数y ＝f (x )＝1x x+图象上的各点处切线的斜率小于1.答案：1．B ∵y ＝2122x -， ∴y ′＝22011()2222limx x x x x∆→⎛⎫+∆--- ⎪⎝⎭∆＝201()2lim x x x xx∆→∆+⋅∆∆ ＝01lim 2x x x x ∆→⎛⎫+∆= ⎪⎝⎭. ∴y ′|x ＝1＝1. ∴点31 2P ⎛⎫⎪⎝⎭,-处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.故选B. 2．C 设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则k ＝f ′(x 0)＝000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆＝220000()lim lim x x x x x x∆→∆→+∆-=∆(Δx ＋2·x 0)＝2x 0，即2x 0＝2.∴x 0＝1，此时y 0＝x 02＝12＝1，∴点P 的坐标为(1,1)．故选C.3．3 设切点为(x 0,1)，∵f ′(x 0)＝4x 0－4，由题意，知4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点为(1,1)． ∴1＝2－4＋p .∴p ＝3.4．分析：先求曲线y ＝f (x )＝x 2在x ＝1处的导数，即切线的斜率，再求切线方程． 解：由y ＝x 2，得Δy ＝(x ＋Δx )2－x 2＝2x ·Δx ＋Δx 2，则yx∆∆＝2x ＋Δx . 当Δx 无限趋近于零时，yx∆∆无限趋近于2x ， 即f ′(x )＝2x ，所以f ′(1)＝2×1＝2.所以曲线y ＝f (x )＝x 2在x ＝1处切线的斜率为2. 又x ＝1时，y ＝x 2＝1，所以切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.5．分析：即证明在函数的定义域内，恒有y ′＜1. 证明：∵y ′＝0()()limx f x x f x x∆→+∆-∆＝011lim x x x x x x x x∆→⎛⎫⎛⎫+∆+-+ ⎪ ⎪+∆⎝⎭⎝⎭∆＝1－21x ＜1， ∴y ＝f (x )＝x ＋1x图象上的各点处切线的斜率小于1.。

§1.1.3 导数的几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过两数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题。

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程设计（一入情景引入，激发兴趣。

【教师引入】我们知道，导数表示幣数在尸乩处的瞬时变化率，反映了函数y=fU在尸心附近的变化情况，导数/'（忑）的儿何意义是什么呢？（二）、探究新知，揭示概念1曲线的切线及切线的斜率：如图1.1-2,当人（£,/（£））5 = 1,2,3,4）沿着曲线/（兀）趋近于点卩（兀0，/（心））时，割线户冋的变化趋势是什么？图1.1-2我们发现，当点人沿着曲线无限接近点P即A L O时,割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线P代的斜率心与切线刃的斜率R有什么关系？⑵切线的斜率P为多少？容易知道，割线户巳的斜率是他=/心一心），当点巴沿着曲线无限接近点P吋，心无限趋近于切£一兀0线〃的斜率即k = lim / % +心）_ /缶）=fg&TO Ax说明：（1）设切线的倾斜角为5那么当A x-0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的本质一函数在% = x0处的导数.（2）曲线在某点处的切线：1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置來判断与求解.如有极限,则在此点有切线，且切线是唯-的；如不存在，则在此点处无切线;3）曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.（三）、分析归纳，抽象概括2导数的几何意义：函数尸fd）在尸‘°处的导数等于在该点（x0,/（x0））处的切线的斜率，即厂（和=向丿3+山）一/心以° z 心说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：①求出”点的坐标；②求出函数在点兀0处的变化率畑）=lim』（兀+心）二/血=k ,得到曲线在点（兀0，广（兀0））的切心T°Ar线的斜率；③利用点斜式求切线方稈.3导函数：由函数在尸必处求导数的过程可以看到，当时，广（无）是一个确定的数，那么，当/变化时，便是/的一个函数，我们叫它为fd）的导函数•记作：广（兀）或）即：门兀）*=向・心+心）7⑴ 心TO A r注：在不致发生混淆吋，导函数也简称导数.函数/（劝在点兀0处的导数广（兀0）、导函数f\x）＞导数之间的区别与联系。

1.1.3导数的几何意义学习目标 1.理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．思考1割线PP n的斜率k n是多少？思考2当点P n无限趋近于点P时，割线PP n与在点P处的切线PT有什么关系？思考3当P n无限趋近于点P时，k n与切线PT的斜率k有什么关系？梳理 (1)曲线的切线设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线．由此割线的斜率是ΔyΔx ＝________________，可知曲线割线的斜率就是函数的____________．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．(2)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义①几何意义：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率等于________； ②曲线在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率为 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； ③相应的切线方程为________________．类型一 求切线方程命题角度1 曲线在某点处的切线方程例1 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例2 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))． (2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，由x 0，y 0，及k, 从而写出切线方程． 跟踪训练2 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．类型二 求切点坐标例3 已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，求x 0的值． 引申探究1．若本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x 0的值．2．若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程．反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)．(2)求导函数f′(x)．(3)求切线的斜率f′(x0)．(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．跟踪训练3已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．类型三导数几何意义的应用例4已知函数f(x)在区间上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)反思与感悟导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．跟踪训练4若函数y＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y＝f(x)在区间上的图象可能是()1．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－12.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定3．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于()A．－4 B．3C．－2 D．14．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________．5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点思考1 割线PP n 的斜率k n ＝Δy n Δx n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0. 思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 趋近于在点P 处的切线PT . 思考3 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k .梳理 (1)f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 平均变化率 (2)①f ′(x 0) ③y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)题型探究例1 解 将x ＝2代入曲线C 的方程， 得y ＝4，∴切点坐标为P (2,4)． 又y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx ＝lim Δx →0＝4， ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. 跟踪训练1 －3 解析 ∵y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx ＝lim Δx →0 (4＋Δx )＝4， ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3. ∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例2 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20Δx ＝lim Δx →0(12x 0＋14Δx )＝12x 0， ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1， 即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0，即所求的切线方程为14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0. 跟踪训练2 解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)， 则切线的斜率为k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝2x 0＋1. 又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过点(－1,0)的切线方程为y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过点(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0. 例3 解 对于曲线y ＝x 2－1， k 1＝y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0ΔyΔx＝2x 0. 对于曲线y ＝1－x 3， k 2＝y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 1－(x 0＋Δx )3－(1－x 30)Δx ＝－3x 20. 由题意得2x 0＝－3x 20， 解得x 0＝0或x 0＝－23.引申探究1．解 ∵k 1＝0|x x y ='＝2x 0，k 2＝0|x x y ='＝－3x 20.又曲线y ＝x 2－1与y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴2x 0·(－3x 20)＝－1，解得x 0＝3366. 2．解 由例3知x 0＝0或－23.当x 0＝0时，两条平行的切线方程为y ＝－1或y ＝1. 当x 0＝－23时，曲线y ＝x 2－1的切线方程为12x ＋9y ＋13＝0.曲线y ＝1－x 3的切线方程为36x ＋27y －11＝0.∴所求两条平行的切线方程为y ＝－1与y ＝1或12x ＋9y ＋13＝0与36x ＋27y －11＝0. 跟踪训练3 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)．∵f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x .由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点坐标为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，∴a ＝12127.当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)．例4 k 1>k 3>k 2 跟踪训练4 A 当堂训练 1．A 2.B 3.D 4．(3,30)5．解 ∵抛物线过点P ，∴a ＋b ＋c ＝1，①又y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 a (x ＋Δx )2＋b (x ＋Δx )＋c －(ax 2＋bx ＋c )Δx ＝2ax ＋b ，∴y ′|x ＝2＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1.② 又抛物线过点Q ，∴4a ＋2b ＋c ＝－1，③ 由①②③解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.。

2.2.2 导数的几何意义 教学设计一、学习目标1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；2、理解曲线在一点的切线的概念；3、会求简单函数在某点处的切线方程。

二、教学重点 了解导数的几何意义教学难点：求简单函数在某点出的切线方程三、教学方法 探析归纳，讲练结合 四、教学过程 复 习 回 顾1.平均变化率.],[)()()(0)(00000的平均变化率在为函数称时，比值当及其附近有定义，在点已知函数x x x x f xx f x x f x y x x x x f y ∆+∆-∆+=∆∆≠∆== 2.瞬时变化率.)()()(0x 000的瞬时变化率在点则这个常数称为函数常数，时，平均变化率当x x f xx f x x f →∆-∆+→∆ 3.导数的定义xx f x x f x f y x f x x x f x x x x ∆-∆+='''=→∆=)()((lim )(|)()(00000000，故或记作处的导数在为的瞬时变化率，就定义函数在4.点斜式直线方程：y-y0=k(x-x0)曲线的切线y=f(x)y0=f(x0)， y1=f(x1)当自变量从x0变化到x1时，相应的函数值从f(x0)变化到f(x1)自变量的增量△x= x1- x0函数值的增量△y= f(x1)- f(x0)Q(x0+ △x,y0+ △y)△y=f(x0+ △x)-f(x0)曲线在某一点处的切线的定义设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点(x0,y0)及邻近一点(x0+△x,y0+△y) 过P,Q两点作割线当点Q沿着曲线无限接近于点P即△x→0时, 如果割线PQ有一个极限位置PT, 那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。

曲线在某一点处的切线的斜率公式设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α tanβ=x y ∆∆xx f x x f ∆-∆+=)()(00当△x→0时，割线PQ 的斜率的极限，就是曲线在点P 处的切线的斜率，即 tan α=x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(0000lim lim切线斜率求曲线L ：y=f(x)在点M(x0,y0)处切线的斜率。

第一章 1.1 第3课时一、选择题1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交B由导数的几何意义知，f (x )在(x 0，f (x 0))处切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝0. ∴切线与x 轴平行或重合．2．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在此点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14，116 D ．⎝⎛⎭⎫12，14Df ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝lim Δx →0 2x 0·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0. ∵切线倾斜角为π4.∴函数在切点x 0处的导数值为1. 令2x 0＝1，x 0＝12，∴y ＝14.3．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( ) A ．－4 B ．0 C ．4 D ．不存在 By ′|x ＝0＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(－2Δx )＝0.故选B. 4．已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)及f ′(5)分别为( ) A ．3,3 B ．3，－1 C ．－1,3 D ．－1，－1B当x ＝5时，y ＝－5＋8＝3，∴f (5)＝3， 又∵f ′(5)＝k ＝－1，故选B.5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在B切线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，即f ′(x 0)＝－12＜0.故选B.6．函数f (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是( ) A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2) B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2) D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) Bf ′(2)、f ′(3)是x 分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，∴f (3)－f (2)是x 为2和3时对应两点连线的斜率，故选B.7．曲线y ＝x 2在点P (1,1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝2x ＋1 D ．y ＝－2xB∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ＋Δx ，∴lim Δx →0ΔyΔx＝2x ，∴y ′|x ＝1＝2， ∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.8．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12C ．－12D ．－1A∵y ′|x ＝1＝lim Δx →1 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 2a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1. 二、填空题9．自由落体运动方程是s (t )＝12gt 2，物体在t ＝2这一时刻的速度是____________．2gΔs Δt ＝12g (t ＋Δt )2－12gt 2Δt ＝12g ·Δt ＋gt . lim Δt →0＝Δs Δt ＝lim Δt →0 ⎝⎛⎭⎫12g Δt ＋gt ＝gt . ∴ 当t ＝2时，速度为2g .10．已知曲线y ＝13x 3＋43，则过点P (2,4)的切线方程是________．y －4x ＋4＝0∵y ′＝x 2，点P (2,4)在曲线上， ∴过点P (2,4)的切线的斜率为4.∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即y －4x ＋4＝0.11．抛物线y ＝x 2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －5，则点P 的坐标为________． (2,4)lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ， 令2x ＝4，∴x ＝2，即在点(2,4)处的切线平行于直线y ＝4x －5. 三、解答题12．求曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线的方程．由于点(－2，－1)恰好在曲线f (x )＝2x 上，所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f (x )＝2x在点(－2，－1)处的导数．而f ′(－2)＝lim Δx →0f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝lim Δx →0 2－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为 y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.一、选择题1．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点的切线方程是( ) A ．y ＝－4x －1 B ．y ＝4x －1 C ．y ＝4x ＋8 D ．y ＝4x 或y ＝4x －4B由3＝2a (a )2＋1得a ＝1或a ＝－1(舍)．又y ′|x ＝1＝4，所以切线方程为y －3＝4(x －1)，即y ＝4x －1.故选B. 2．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．3 B ．－3 C ．9 D ．15 Cy ′＝lim Δx →0 [(x ＋Δx )3＋11]－(x 3＋11)Δx ＝lim Δx →0 3x 2·Δx ＋3x ·Δx 2＋Δx 3Δx ＝lim Δx →0(3x 2＋3x ·Δx ＋Δx 2)＝3x 2. ∴曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线的斜率k ＝3，切线方程为y －12＝3(x －1)，即y ＝3x ＋9.令x ＝0，得y ＝9，故选C.3．曲线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B ．14C.12 D ．1 By ′＝lim Δx →0 [a (x ＋Δx )2＋1]－ax 2－1Δx ＝lim Δx →0 2ax ·Δx ＋a Δx 2Δx＝lim Δx →0 (2ax ＋a Δx )＝2ax设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，∴x 0＝12a .∵切点在直线y ＝x 上，∴y 0＝12a代入y ＝ax 2＋1得12a ＝14a ＋1∴a ＝14.故选B.4．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标是( ) A ．(1,0)B ．(－1，－4)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(0,1)或(4,1)C设P 0(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1.因此P 0(1,0)或(－1，－4)．故选C. 二、填空题5．曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________． ⎝⎛⎭⎫32，－94 ∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－3(x ＋Δx )－x 2＋3x Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx ＋3)＝2x －3， 令y ′＝0，得x ＝32，代入曲线方程y ＝x 2－3x 得y ＝－94.6．曲线f (x )＝x 3在点A 处的切线的斜率为3，则该曲线在点A 处的切线方程为____________．3x －y －2＝0或3x －y ＋2＝0 设点A (x 0，x 30)，则k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx＝lim Δx →0(3x 20＋3x 0·Δx ＋Δx 2)＝3x 20＝3. ∴x 0＝±1.∴切点的坐标为(1,1)或(－1，－1)，∴所求的切线方程为y －1＝3(x －1)或y ＋1＝3(x ＋1)，即3x －y －2＝0或3x －y ＋2＝0.7．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．2x －y ＋4＝0∵y ′＝lim Δx →0 3(x ＋Δx )2－4(x ＋Δx )＋2－3x 2＋4x －2Δx ＝lim Δx →0(6x ＋3Δx －4)＝6x －4， ∴y ′|x ＝1＝2.所求直线的斜率为2，所以所求直线的方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.三、解答题8．已知函数f (x )＝x 的图象上一点A (4，f (4))，O 为坐标原点，点B 为曲线段OA 上一动点，求△OAB 的面积的最大值．由f (x )＝x ，得f (4)＝2，∴A (4,2)， ∴直线OA 的斜率为12.如图，将直线OA 平移至直线l ，使得直线l 与f (x )＝x 的图象相切于点B ，此时△OAB 的面积有最大值．设B (x 0，y 0)，则直线l 的斜率f ′(x 0)＝12，又f ′(x 0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx －x 0Δx＝lim Δx →0Δx(x 0＋Δx ＋x 0)·Δx＝12x 0， ∴12x 0＝12，解得x 0＝1，而y 0＝x 0＝1，即B (1,1)． 点B 到直线OA ：y ＝12x 的距离d ＝|1－2×1|5＝55，|OA|＝42＋22＝25，∴△OAB的面积的最大值为12|OA|·d＝12×25×55＝1.9．已知曲线y＝x2－1与y＝x3＋1在x0点的切线互相垂直，求x0的值．函数y＝x2－1在x0处的导数为：y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)2－1－x20＋1Δx＝limΔx→02x0·Δx＋(Δx)2Δx＝2x0.函数y＝x3＋1在x0处的导数为：y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)3＋1－x30－1Δx＝limΔx→0(Δx)3＋3x0·(Δx)2＋3x20·ΔxΔx＝3x20，∵两曲线在x0处的切线互相垂直，显然两切线的斜率都存在，∴2x0·3x20＝－1，解得x0＝－136.。