导数的几何意义导学案.doc

导数的几何意义导学案在几何意义上，导数可以用来计算曲线上任意一点的切线的斜率。

在坐标平面上，我们可以通过求导来得到曲线在给定点的导数，然后通过这个导数来计算切线的斜率。

一条曲线的切线斜率可以告诉我们曲线在这一点的变化情况，即曲线在这一点附近的趋势。

为了更好地理解导数的几何意义，我们可以通过一个具体的例子来说明。

考虑一个函数f(x)=x^2，我们想要计算这个函数在x=2处的导数，即f'(2)。

首先，我们可以通过求导得到f'(x)=2x，然后将x代入2，得到f'(2)=4在几何上，我们可以通过上述计算得到的导数值4来描述曲线在x=2处的切线的斜率。

这意味着在点(2,4)附近的曲线上的任意一点的切线的斜率都是4、这个数值告诉我们曲线在这一点附近上升得非常陡峭，函数值的增加速度很快。

除了计算切线的斜率，导数还可以用来判断曲线的凹凸性和方向。

根据导数的正负性，我们可以判断曲线在其中一点的凹凸性。

如果导数为正，曲线向上凸起；如果导数为负，曲线向下凹陷；如果导数为零，曲线具有拐点。

通过这种方式，导数可以告诉我们曲线在其中一点的弯曲情况。

此外，导数的值还可以告诉我们曲线的方向。

如果导数为正，曲线向右上方倾斜；如果导数为负，曲线向左上方倾斜；如果导数为零，则曲线是水平的。

通过这个几何意义，我们可以判断曲线的走向和倾斜程度。

总结起来，导数的几何意义可以用来描述曲线在其中一点的切线斜率，同时还可以用来判断曲线的凹凸性和方向。

导数的几何意义在求解实际问题时非常重要，它可以帮助我们理解和分析曲线的特性，从而更好地理解和使用导数概念。

0 导数的几何意义预习目标：导数的几何意义是什么？（预习教材 P 78~ P 80，找出疑惑之处） 课前预习学案复习 1：曲线上向上 P (x , y ), P (x + ∆x , y + ∆y ) 的连线称为曲线的割线，斜率 k =∆y =1 1 1 1 1 ∆x复习 2：设函数 y = f (x ) 在 x 0 附近有定义当自变量在 x = x 0 附近改变 ∆x 时，函数值也相应地改变 ∆y = ，如果当 ∆x 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数 f (x ) 在点 x 0 的瞬时变化率.记作：当 ∆x 时， → l上 课 学 案学习目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数. 学习重难点： 导数的几何意义学习过程：学习探究探究任务：导数的几何意义问题 1：当点 P n (x n , f (x n ))(n = 1, 2, 3, 4) ，沿着曲线 f (x ) 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时， 割线的变化趋是什么？新知：当割线 P P n 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT ，叫做曲线 C 在点 P 处的切线割线的斜率是： k n =当点 P n 无限趋近于点P 时， k n 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数 f (x ) 在 x = x 0 处的导数就是切线PT 的斜率k ， 即 k = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = f '(x )新知： ∆x →0 ∆x 0 函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率.即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )0 典型例题∆x →0 ∆x 例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h (t ) = -4.9t 2 + 6.5t + 10 的图象.根据图象,请描述、比较曲 线 h (t ) 在t 0 , t 1 , t 2 附近的变化情况.例 2 如图,它表示人体血管中药物浓度c = f (t ) (单位: mg / mL )随时间t (单位: m i n )变化的函数图象.根据图象, 估计t =0.2,0.4,0.6,0.8 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0.1)( , 2) 0有效训练 练 1. 求双曲线 y = 1 在点 1 处的切线的斜率,并写出切线方程. x 2练 2. 求 y = x 2 在点 x = 1 处的导数.反思总结函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率. 即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )0 ∆x →0 ∆x 其切线方程为当堂检测 1. 已知曲线 y = 2x 2 上一点,则点 A (2,8) 处的切线斜率为（） A . 4 B . 16 C . 8 D . 22. 曲线 y = 2x 2 + 1 在点 P (-1, 3) 处的切线方程为（） A ． y = -4x - 1 C ． y = 4x - 1 B ． y = -4x - 7D ． y = 4x + 73. f (x ) 在 x = x 可导，则lim f (x 0 + h ) - f (x 0 ) （ ）0 h →0 hA ．与 x 0 、 h 都有关B ．仅与 x 0 有关而与 h 无关C ．仅与 h 有关而与 x 0 无关D ．与 x 0 、 h 都无关4. 若函数 f (x ) 在 x 0 处的导数存在，则它所对应的曲线在点(x 0 , f (x 0 )) 的切线方程为5. 已知函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处的导数为 11，则lim ∆x →0 f (x 0 - ∆x ) - f (x 0 ) = ∆x课后练习与提高1. 如图,试描述函数 f (x ) 在 x = -5, -4, -2, 0,1 附近的变化情况.2. 已知函数 f (x ) 的图象,试画出其导函数 f '(x ) 图象的大致形状.学校： 一中 学科：数学 编写人：由召栋 审稿人：张林3.教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义教学过程：情景导入：如图,曲线 C 是函数 y =f (x )的图象,P ( x 0,y 0)是曲线 C 上的任意一点,Q (x 0+Δx ,y 0+Δy )为 P 邻近一点,P Q 为 C 的割线,P M //x 轴,Q M //y 轴,β为 P Q 的倾斜角.0 则 : MP x , M Q y , y tan . x ∆y 请问： 是割线P Q 的什么? ∆x展示目标：见学案检查预习：见学案合作探究：探究任务：导数的几何意义 问题 1：当点 P n (x n , f (x n ))(n = 1, 2, 3, 4) ，沿着曲线 f (x ) 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线的变化趋是什么？ 新知：当割线 P P n 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT ，叫做曲线 C 在点 P 处的切线割线的斜率是： k n =当点 P n 无限趋近于点P 时， k n 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数 f (x ) 在 x = x 0 处的导数就是切线PT 的斜率k ， 即 k = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = f '(x )新知： ∆x →0 ∆x 0 函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率.即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )0 精讲精练：∆x →0 ∆x 例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h (t ) = -4.9t 2 + 6.5t + 10 的图象.根据图象,请描述、比较曲( , 2) 0线 h (t ) 在t 0 , t 1 , t 2 附近的变化情况.解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当 t = t 0 时, 曲线 h (t ) 在 t 0 处的切线 l 0 平行于 x 轴.故在 t = t 0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.(2)当 t = t 1 时, 曲线 h (t ) 在 t 1 处的切线 l 1 的斜率 h ’(t 1) <0 .故在 t = t 1 附近曲线下降,即函数 h (t )在 t = t 1 附近单调递减. (3)当 t = t 2 时, 曲线 h (t ) 在 t 2 处的切线 l 2 的斜率 h ’(t 2) <0 .故在 t = t 2附近曲线下降,即函数 h (t ) 在 t = t 2 附近也单调递减. 从图可以看出，直线 l 1 的倾斜程度小于直线 l 2 的倾斜程度，这说明 h (t ) 曲线在 l 1 附近比在 l 2 附近下降得缓慢。

1.1.3导数的几何意义学案课前案一． 学习目标：理解导数的几何意义，求曲线的切线的方法二．【使用说明及学法指导】1.先精读一遍教材，用红色笔进行勾画，再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答提出的问题；2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范，A 层完成所有题目，对于选做部分BC 层可以不做；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑； 三．自学指导：自己学习教材，思考并完成下列题目： 1、 已知)(x f y =图像上两点00(,(),A x f x00(,())B x x f x x +∆+∆,过A B 、两点割线的斜率是 ，即曲线割线的斜率就是 . 2、直线与圆相切当且仅当直线与圆有 个公共点.思考： （1）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线吗？ （2）曲线的切线与曲线只有一个交点吗？3、曲线()y f x =在点00(,()x f x 处的导数'0()f x 的几何意义为 .【预习自测】1、函数y=-2x 2+1在点（0，1）的切线的斜率为 （ ）A ．-4B ．0C ．4D ．不存在 2、曲线y=2212-x 在点（1，-23）处切线的倾斜角为（ ）A ．1B ．4πC ．45πD ．－4π【我的疑惑】课中案一.【教学重点与难点】： 重点：如何利用导数求曲线的切线 难点：理解导数的几何意义 二．合作、探究、展示例1曲线的方程为21y x =+，那么求此曲线在点P (1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程.例2 求抛物线2y x =过点5(,6)2的切线方程.学案装订线三.课堂检测1、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A .1B ．2C ．3D ．42、若函数()x f 的导数()x f '=3-x ,则此函数图象在点(4 ,()4f )处的切线的倾斜角为 （ ）A2π B 0 C 3π D 4π 3、过抛物线y=251x 在（2，54）的切线的斜率为 .【课堂小结】1.知识方面2.数学思想方法课后案1、若曲线y=2x 2+1在M 点的切线斜率为0，则点M 的坐标为 .2、求抛物线y=x 2,在哪一点的切线平行于45y x =+.3、y=x 3在点（0，0）处的切线方程是 。

题目：§1.1.3导数的几何意义清远市第二中学 林哲星【学习目标】1.理解导数的几何意义2.掌握过某点的切线方程的步骤3.通过导数的几何意义了解导数与函数的关系【重点、难点】重点:导数的几何意义，导数的实际应用，“以直代曲”数学思想方法. 难点:1、发现和理解导数的几何意义；2、运用导数的几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题。

关键：由割线AB 趋向切线动态变化效果，由割线“逼近”成切线的理解．【使用说明、学法指导】1.先通读教材勾画出本节内容的基本知识，再完成教材助读设置的问题，依据发现的问题，然后再读教材或查阅资料，解决问题。

2.独立完成，限时15分钟。

导数的几何意义【课前预习案】一、复习回顾：求函数()y f x =在0x 处的导数的三步骤:①求自变量的增量=y ②求平均变化率y x = ③取极限，得导数0()=f x '0lim x y x →= 二、自学提纲1.切线的概念：课本7P 图1.1-2中,当n P 趋近于点P 时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT 称为______________________2.导数的几何意义：（1）函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的_______________，即__________________（2）以直代曲是指__________________________3. 导函数的概念：当x 变化时, 便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数（简称导数）.()y f x =的导函数有时也记作y ',即()=f x ' = .4. 求曲线上某点处切线方程的三个步骤：（1）求斜率→求出曲线在点00(,)x y 处切线的斜率0()k f x '=（2）写方程→用点斜式00()y y k x x -=-（3）变形式→将点斜式方程变为一般式方程.（切点在切线上，又在曲线上）导数的几何意义【课堂探究案】题型一：求导函数1、已知函数2()1f x x =- ，求()f x '及(1)f '-题型二：求曲线的切线方程1.求曲线在某点处的切线方程例1：求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.归纳总结求曲线的切线的步骤：1.______________________________________;2._______________________________________.【当堂训练】1、求函数23x y =在点(1,3)处的导数.2、求曲线2()33y f x x x ==-+在点(1,1)P 处的切线方程.题型三：导数的几何意义的应用例3：如图，它表示人体血管中药物浓度c=f(t)(t 的单位：min ，c 的单位：mg/ml)随时间t 变化的函数图象。

§1.1.3 导数的几何意义学习目标 1.了解平均变化率与割线之间，瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图像理解导数的几何意义； 2了解导函数的概念，会求导函数；3根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．学习过程一、课前准备复习1：曲线上向上11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆的连线称为曲线的割线，斜率y k x∆==∆复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆= ，如果当x ∆ 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率.记作：当x ∆ 时， →l二、新课导学学习探究探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆ 新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆三、典型例题例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点A (1,3)处的导数.并求曲线在点A 处的切线方程。

例2 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.例3 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)四．课堂练习1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；2．求曲线y=在点(4,2)处的切线．五．回顾总结1.导数的几何意义：2.求曲线上某点处切线方程的步骤：课后作业1．已知曲线y＝12x2－2上一点P⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P的切线的倾斜角为()．A．30°B．45°C．135°D．165°2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()．A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．63．设y＝f(x)存在导函数，且满足limΔx→0f(1)－f(1－2Δx)2Δx＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率()．A．2 B．－1 C．1 D．－24．曲线y＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为________．5．设y＝f(x)为可导函数，且满足条件limx→0f(1)－f(1－x)2x＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是________．6．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．7．设函数f(x)在x＝x0处的导数不存在，则曲线y＝f(x)()．A．在点(x0，f(x0))处的切线不存在B．在点(x0，f(x0))处的切线可能存在C．在点x0处不连续D．在x＝x0处极限不存在8．函数y＝－1x在⎪⎭⎫⎝⎛-2,21处的切线方程是()．A．y＝4x B．y＝4x－4C．y＝4x＋4 D．y＝2x－49．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p的值为________．10．已知曲线y＝1x－1上两点⎪⎭⎫⎝⎛-21,2A，B(2＋Δx，－12＋Δy)，当Δx＝1时割线AB的斜率为________．11．曲线y＝x2－3x上的点P处的切线平行于x轴，求点P的坐标．。

导数的儿何意义【教学目标】1、掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；2、会求“过点A的曲线的切线方程”和“在点A处的切线方程”；3、先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力。

【教学重点】“过点*的曲线的切线方程”和“在点A处的切线方程”；【教学难点】导数的几何意义【教学方法】引导学生自主学习法教学过程：【知识回顾】函数y=f(x)在x。

处的导数的几何意义，就是；也就是说，曲线y=f (x)在点p (x°, f (x0 ))处的切线的斜率是；相应地，切线方程为【基础练习】1.曲线y =./在点(2,4)处的切线斜率为.41 o 42.过抛物线j = -x2上点A (2,-)的切线的斜率为.453.过点P (1, 1 )作曲线j = 的切线，则此切线的斜率等于•4或04.过点P ( 0 , - 2 )作曲线y= x3的切线，则此切线的斜率等于•【典型例题】例1.己知抛物线y = ax~^bx+c通过点（1, 1）,且在（2, -1）处的切线的斜率为1,求a、b、c的值a = 3,b = 一1 l,c = 9例2.己知函数（1）求这个函数在点A = e处的切线的方程；（2）过原点作曲线 > =『的切线，求切线的方程.【反馈练习】2 11.函数y=ax +1的图象与直线尸*相切，则a= _______________ —42.若曲线y = /的一条切线/与直线x + 4y-8 = 0垂直，则/的方程为4x - y -3 = 03.过点（一1, 0）作抛物线y = r+x +1的切线，则其中一条切线为x - j +1 = 04.（江苏卷8）直线y = -x + b是曲线y = lnx（x>0）的一条切线，则实数b= .In2—1.【小结】1、函数y=f (x)在点x°处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (x, f))处的切(x()))处的切线的斜率＜=也就是说，曲线y=f (x)在点p (x(), f (x()线的斜率是f'(x°)。

河宣“4至探为，舍H孕与"焉微谣堂高二数学文科选修1-1导学案（15）新知：当割线P4无限地趋近于某一极限位置PT .我们就把极限位置上的直线PT,叫 做曲线C在点P 处的切线.割线的斜率是：k n = _______________________当点4无限趋近于点P 时，4无限趋近于切线PT 的斜率.因此，函数/'⑴在x = 处的导数就是切线PT 的斜率k,即S lim/&+&）-./'曳）=广（） Ak 项 ④Ax 新知：函数y = /（x ）在X o 处的导数的几何意义是曲线），=/（X ）在P （X° J （五））处切线的斜率.即 S.e°）=lim 仆 + *）一«）Ar 淤典型例题例1如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数仰）=-4.9尸+6.5/ + 10的图象.根 据图象，请描述、比较曲线所。

在附近的变化情况.小结:例2如图,它表示人体血管中药物浓度c = f（t）（单位:mg /mL）随时间t（单位:min）变化的函数图象.根据图象，估计/ =0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到淤动手试试练1.求双曲线y =-在点（上,2）处的切线的斜率，并写出切线方程.人2练2.求y = x2在点工=1处的导数.【展示点评】------ 我自信具体要求：①、看规范（书写、格式）②、看对错。

找出关键词，补充、完善。

③、点评内容，讲方法规律。

④、面带微笑，全面展示自我。

三、总结提升淤学习小结函数y = /（x）在也）处的导数的几何意义是曲线y = f（尤）在P（x（）J（五））处切线的斜率.即 S 广（0=lim /a + *）— e。

）其切线方程为_____________________________________淤知识拓展导数的物理意义：如果把函数），=/（X）看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量尤表示时间），那么导数广3。

教学目标：1理解导数的几何意义掌握，掌握点、导数、原函数三者的联系2 体会从图形角度探究导数的意义教学重点：导数的几何意义及其应用难点：导数几何意义的理解预备知识：(1) 函数f(x)从x1到x2的平均变化率=表示点A（x1，y1）与B（x2，y2）连线的(2) f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作（3）基本初等函数的导数公式(c)’= (x a)’= (e x )’ = (lnx)’=(4) 求导运算法则：(u+v)’= (u*v)’= (u/v)’=（5）已知直线过点（x0，y0），斜率为k，则直线方程为课前训练：求函数f(x)=x3在x=2的导数问：这个导数值对函数f(x)的意义是若已知导数值为12能否求出x0=例题：已知曲线y＝1/3x3+4/3(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；归纳：求曲线在在某点切线方程的步骤：问：若切点未知又怎么处理？变式1已知曲线y＝1/3x3+4/3的切线方程为3x-3y+2=0,且切点在第一象限，求切点坐标2求满足斜率为1的曲线的切线方程.问：若曲线方程未知又如何求解？变3已知曲线y＝ax3+4/3在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程4已知曲线y＝1/3x3+b在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程5已知曲线y＝ax3+b在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程小结：曲线、切线、切点三者有何联系？作业1已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P 的坐标为.2设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝3在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.思考题已知a为实数，函数f(x)=(x2+1)(x+a),若f(x)的图像上有与x轴平行的切线，求（1）a的取值范围（2）若a=-1，切线是否存在，说明理由（3）若a=2，求切线方程执教人：wyang 执教班级：高二（8）班执教时间：2011年4月19日教学目标：1理解导数的几何意义掌握，掌握点、导数、原函数三者的联系2 体会从图形角度探究导数的意义教学重点：导数的几何意义及其应用难点：导数几何意义的理解教学流程：预备知识：(1) 函数f(x)从x1到x2的平均变化率=表示点A（x1，y1）与B（x2，y2）连线的(2) f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作（3）基本初等函数的导数公式(c)’= (x a)’= (e x )’ = (lnx)’=(4) 求导运算法则：(u+v)’= (u*v)’= (u/v)’=（5）已知直线过点（x0，y0），斜率为k，则直线方程为课前训练：求函数f(x)=x3在x=2的导数问：这个导数值对函数f(x)的意义是若已知导数值为12能否求出x0=例题：已知曲线y＝1/3x3+4/3(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；[注]求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.归纳：求曲线在在某点切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f’(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).问：若切点未知又怎么处理？变式1已知曲线y＝1/3x3+4/3的切线方程为3x-3y+2=0,且切点在第一象限，求切点坐标2求满足斜率为1的曲线的切线方程.问：若曲线方程未知又如何求解？变3已知曲线y＝ax3+4/3在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程4已知曲线y＝1/3x3+b在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程5已知曲线y＝ax3+b在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程小结：曲线、切线、切点三者有何联系？导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为y－y0＝f′(x0) (x－x0).切点是切线与曲线的唯一公共点，两层含义：1切点在切线上，点的坐标满足切线方程2切点在曲线上，点的坐标也满足曲线方程。

编号37 编制人：汪永进 审核人： 雷友会 审批人 班级 姓名 学号泸州外国语学校 ◆高2010级数学科导学案◆§3.1.3 导数的几何意义通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用7679 探究任务：导数的几何意义问题：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋势是什么？新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二、合作学习例1 求2y x =在点1x =处的导数.例2.求双曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率,并写出切线方程.三、总结提升※ 学习小结1.函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆其切线方程为2. 导函数的概念：※ 知识拓展：导数的物理意义：如果把函数()y f x =看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量x 表示时间），那么导数0()f x '表示运动物体在时刻o x 的速度，，即在o x 的瞬时速度.即000()lim x t yv f x x∆→∆'==∆而运动物体的速度()v t 对时间t 的导数，即0()lim t vvt t∆→∆'=∆称为物体运动时的瞬时加速度.※ 当堂检测1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ）A. 4B. 16C. 8D. 2 2. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+3. ()f x 在0x x =可导，则000()()lim h f x h f x h→+-（ ）A ．与0x 、h 都有关B ．仅与0x 有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与0x 无关D ．与0x 、h 都无关4. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为5. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则000()()limx f x x f x∆→-∆-=（79—80）习题3.1 3；5.。

导数的几何意义教案【教学目标】知识与技能目标：（1）使学生掌握函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的切线的斜率。

（数形结合），即：＝切线的斜率(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

【教学手段】采用计算机（Flash,Powerpoint），实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。

【教学重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。

难点：发现、理解及应用导数的几何意义【教学过程】（一）作业点评，承上启下：问题：在高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在时的瞬时速度，并解释此时的运动状态；在时呢？教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释，时运动员的运动状态。

（说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接过渡）（二）课题引入，类比探讨：由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数的本质。

●问（一）：导数的本质是什么？写出它的表达式。

学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出：导数的本质是函数在处的瞬时变化率，即：（说明：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）●问（二）：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。

要研究“形”，自然要结合“数”：即：导数的代数表达式，并回忆求导数的步骤。

●问（三）求导数的步骤有哪几步?教师引导学生回答：第一步：求平均变化率；第二步：当趋近于0时，平均变化率无限趋近于的常数就是。

（回归本质，数形结合）教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分两个步骤：●问（四）：第一步：平均变化率的几何意义是什么？请在函数图像中画出来；学生动手活动：见“学生动手实践”。

导数的几何意义与计算一．课前复习1、函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-='∆. 2.导函数由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时, ()f x '便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数.注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.二、导数的计算：1、基本初等函数的导数公式：（1）f(x)=C ，则f ’(x)=_______ （2）f(x)=x ，则f ’(x)=_______ （3）f(x)=2x ，则f ’(x)=_______（4）f(x)=x1，则f’(x)=______ （5）f(x)=x ，则f ’(x)=____ （2）f(x)=)(Q a x a ∈则f ’(x)=_______ （6）f(x)=x e ，则f ’(x)=_______ （8）f(x)=x ln ，则f ’(x)=_______2、导数的运算法则：已知)(),(x g x f 的导数存在，则：（1）_______________])()([='±x g x f（2）__________________])()([='⋅x g x f（3）='])()([x g x f ____________________三、 典型例题：（一）利用求导公式和运算法则求导数1、345x y -=2、x e y x ln =3、1ln +=x x y 4、)3)(2)(1(+++=x x x y（二）切线的斜率及方程1、求曲线3=(x)=+2-1y f x x 在点(1,2)p 处的切线方程2、曲线21x y x =-在点(1,1)处的切线方程为____________________． 3、抛物线2=y x 在点p 处的切线与直线4-+2=0x y 平行，求p 点的坐标及切线方程4、曲线3y x =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形面积为__________．巩固练习1. 满足f (x )＝f ′(x )的函数是（ ） A ．f (x )＝1－xB ．f (x )＝xC ．f (x )＝0D ．f (x )＝1 2．曲线y ＝x 3－3x ＋1在点（1，－1）处的切线方程为 （ ） A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5 3．抛物线y = x 2上点M(12，14)的切线倾斜角是 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4、曲线24x y =在点(2,1)P 处的切线斜率k =_________ ___；5、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =________________；6、设曲线2ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ____________；7、已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为_____________； 8、曲线3x y =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 ；9.已知二次函数f (x )满足：①在x =1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x +y =0平行． ⑴求f (x )的解析式；⑵求函数g (x )=f (x )的单调递增区间.10．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-，请解答（1）求)(x f y =的解析式； （2）求)(x f y =的单调递增区间。

1．1.3导数的几何意义1．割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝□01f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的□02切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝□03limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的□04斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是□05 f′(x0)．相应地，切线方程为□06y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．3．函数的导数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的□07导函数(简称□08导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝□09lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系(1)函数在某一点处的导数：就是在该点处的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量．(2)导函数：如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.(3)导函数也简称导数．(4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()(2)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)函数f(x)＝0没有导函数．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．(2)若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．(3)函数f(x)＝x2＋1的导数f′(x)＝________.答案(1)45°(2)x＋y－3＝0(3)2x探究1求切线方程例1求曲线y＝f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．[解]易证得点P(1,2)在曲线上，由y＝x3＋2x－1得Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3.ΔyΔx＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2.当Δx无限趋近于0时，3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2无限趋近于3x2＋2，即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5.故点P处的切线斜率为k＝5.所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.[条件探究]将本例中的在点P(1,2)改为过点Q(0,1)，结果会怎样？[解]∵点Q不在曲线上，∴设切点坐标为(x0，y0)．由本例知k＝f′(x0)＝3x20＋2，切线方程为y－y0＝(3x20＋2)(x－x0)．又∵切线过点Q(0,1)，∴1－y0＝(3x20＋2)(0－x0)．又∵y0＝x30＋2x0－1得x30＝－1，即x0＝－1，∴切线方程为5x－y＋1＝0.拓展提升利用导数的几何意义求切线方程的分类(1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程．(2)当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程．【跟踪训练1】已知曲线C：f(x)＝x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)求过点(1,1)与f(x)＝x3相切的直线．解(1)∵f′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝limΔx→0(Δx)3＋3x2·Δx＋3x·(Δx)2Δx＝limΔx→0[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx]＝3x2，∴f′(1)＝3×12＝3，又f(1)＝13＝1，∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)设切点为P(x0，x30)，由(1)知切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20， 故切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1－x 30＝3x 20(1－x 0)，即2x 30－3x 20＋1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.∴k ＝3或k ＝34. 故所求的切线方程为y －1＝3(x －1)或y －1＝34(x －1)， 即3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0. 探究2 利用导数求切点坐标例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2上哪一点的切线． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0. [解] 因为f (x )＝x 2，所以f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， 所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．[结论探究] 在本例中，过曲线上哪一点的切线倾斜角为135°. [解] 由例题解析过程知f ′(x )＝2x ， 因为倾斜角为135°，所以其斜率为－1. 即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．拓展提升利用导数求切点坐标的解题步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0；(5)由于点(x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，将x 0代入求y 0得切点坐标．【跟踪训练2】 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求： (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°； (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0； (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. 解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1， 即f ′(x 0)＝4x 0＝1得x 0＝14，该点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)． 探究3 导数几何意义的综合应用例3 设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．[解] 因为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，所以Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 所以f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝3x 20＋2ax 0－9，所以f ′(x 0)＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23.因为斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行， 所以该切线斜率为－12.所以－9－a 23＝－12， 解得a ＝±3，又a <0，所以a ＝－3. 拓展提升(1)导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，利用题目所给的斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等已知条件求解题目．此处常与函数、不等式等知识点结合．(2)本题需要根据已知条件求出原函数在x 0处的导数f ′(x 0)并求出其最小值，建立等量关系求出a 的值，再根据a <0这一条件对结果进行取舍．【跟踪训练3】 已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线C 的方程． 解 (1)因为y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝13(x ＋Δx )3－4(x ＋Δx )＋4－13x 3＋4x －4Δx ＝x 2－4，所以y ′|x ＝2＝0，所以直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)因为抛物线以点F (0,1)为焦点，以直线y ＝－1为准线，所以设抛物线方程为x 2＝2py ，则p2＝1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： 第一步：求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)；第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 注意：若在点(x 0，f (x 0))处切线l 的倾斜角为π2，此时切线平行于y 轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x ＝x 0.2.函数的导数，是对某一区间内任意一点x 而言的，就是函数f (x )的导数f ′(x )．函数y ＝f (x )在x 0处的导数，就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值.1．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)>0 D ．f ′(x 0)不确定答案 C解析 因为曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x －y ＋1＝0的斜率为2，所以f ′(x 0)>0.2．某堆雪在融化过程中，其体积V (单位：m 3)与融化时间t (单位：h)近似满足函数关系：V (t )＝H ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－110t 3(H 为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v －(m 3/h)，观察图象可知瞬时融化速度等于v －(m 3/h)的时刻是图中的( )A ．t 1B ．t 2C ．t 3D ．t 4 答案 C解析 如图所示，平均融化速度实际上是点A 与点B 连线的斜率k ； 瞬时融化速度的几何意义就是曲线V (t )在某时刻的切线斜率，通过对比，t 3时刻曲线的切线斜率与k 相等，故瞬时融化速度等于v －(m 3/h)的时刻是t 3.3．曲线y ＝x 2在x ＝0处的切线方程为________． 答案 y ＝0解析 f ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋Δx 2Δx＝2x ，所以f ′(0)＝0，故切线方程为y ＝0.4．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于________． 答案 3解析 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ＝3.5．已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程． 解 y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →02(x ＋Δx )2－7－(2x 2－7)Δx＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x .因为2×32－7＝11≠9，所以点P (3,9)不在曲线上． 设所求切线的切点为A (x 0,2x 20－7)，则切线的斜率k＝4x0.又因为点P(3,9)，A(x0,2x20－7)都是切线上的点，所以k＝2x20－7－9x0－3＝4x0，解得x0＝2或x0＝4.当x0＝2时，k＝8，切点为(2,1)，切线方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0；当x0＝4时，k＝16，切点为(4,25)，切线方程为y－25＝16(x－4)，即16x－y－39＝0.故所求的切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.A级：基础巩固练一、选择题1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则()A．f′(x0)>0 B．f′(x0)＝0C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在答案 C解析根据导数的几何意义f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点x0处切线的斜率，由于切线斜率k＝－2<0，所以f′(x0)<0.2．已知曲线y＝12x2－2上一点P⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°答案 B解析因为y＝12x2－2，所以y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫x＋12Δx＝x，所以过点P的切线的斜率为1，所以过点P的切线的倾斜角为45°.3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是() A．(1,1) B．(－1,1)C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)或(－2，－8)答案 C解析因为y＝x3，所以y′＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝limΔx→0[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)．4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0答案 D解析由导数定义可得y′＝2x.∵抛物线y＝x2的切线与直线2x－y＋4＝0平行，∴y′＝2x＝2，∴x＝1，即切点为(1,1)，∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.5．函数f(x)的图象如图所示，下列排序正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f′(4)B．0<f′(3)<f′(4)<f′(2)C．0<f′(4)<f′(3)<f′(2)D．0<f′(2)<f′(4)<f′(3)答案 C解析由导数的几何意义可知，函数f(x)在点x0处的导数即为曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，又由图象可知曲线f(x)在x＝2,3,4处的切线的斜率逐渐减小，所以f′(2)>f′(3)>f′(4)，故选C．6．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则b的值为() A．3 B．－3 C．5 D．－5答案 A解析注意点(1,3)既在直线上，又在曲线上．由于y′＝limΔx→0 (x＋Δx)3＋a(x＋Δx)＋b－(x3＋ax＋b)Δx＝3x2＋a，所以y′|x＝1＝3＋a＝k，将(1,3)代入y＝kx＋1，得k＝2，所以a＝－1，又点(1,3)在曲线y＝x3＋ax＋b上，故1＋a ＋b＝3，又由a＝－1，可得b＝3，故选A．二、填空题7．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝________.答案－1解析由题意，f′(4)＝－2，f(4)＝－2×4＋9＝1，因此，f(4)＋f′(4)＝－2＋1＝－1.8．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.答案 2解析limΔx→0a(1＋Δx)2－aΔx＝limΔx→0(a·Δx＋2a)＝2a＝2，∴a＝1.又3＝a×12＋b，∴b＝2，即ba＝2.9．y＝f(x)，y＝g(x)，y＝α(x)的图象如图所示：而如图是其对应导数的图象：则y＝f(x)对应________；y＝g(x)对应________；y＝α(x)对应________．答案B C A解析由导数的几何意义，y＝f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y＝f(x)对应B．y＝g(x)上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分斜率值趋近负无限，故y＝g(x)对应C．y＝α(x)图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y＝α(x)对应A．三、解答题10．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．解设曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)处的斜率为k，则k＝y′|x＝1＝limΔx→03(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2Δx＝limΔx→0(3Δx＋2)＝2.设过点P(－1,2)且斜率为2的直线为l，则由点斜式得l的方程为y－2＝2(x＋1)，化为一般式为2x－y＋4＝0，所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.B级：能力提升练11．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋1ax＋b(a>0)．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．解因为ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝a(1＋Δx)＋1a(1＋Δx)＋b－⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a＋bΔx＝a2(1＋Δx)－1 a(1＋Δx)，所以limΔx→0a2(1＋Δx)－1a(1＋Δx)＝a2－1a＝32，解得a＝2或a＝－12(不符合题意，舍去)．将a＝2代入f(1)＝a＋1a ＋b＝32，解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.12．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形面积．解(1)y′|x＝1＝limΔx→0(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－2－(12＋1－2)Δx＝3，所以l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，y′|x＝b＝limΔx→0(b＋Δx)2＋(b＋Δx)－2－(b2＋b－2)Δx＝2b＋1，所以l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－23，所以l2的方程为y＝－13x－229.(2)由⎩⎨⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52，即l 1与l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，所以所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512.。

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导数的概念及其几何意义(4) 导学案
三大段一中心五环节高效课堂—导学案制作人：张平安修改人：审核人：班级：姓名：组名：课题第七课时导数的几何意义习题课学习目标会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方
程
学习重点曲线上一点处的切线斜率的求法学习
难点理解导数的几何意义
学法指导探析归纳，讲练结合学习过程一自主学习复习：导数的几何意义：函数在x0 处的导数就是曲线在点( x0，)处的切线的斜率。

二师生互动
例1 、在曲线上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足列条件：
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（1）平行于直线y＝x＋1；
（2）垂直于直线2x－16y＋1＝0；
（3）倾斜角为135°。

例2、求曲线过（1，1）点的切线的斜率。

例3 、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，
根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．
三、自我检测
练习册：7、8．
四、课堂反思
1 、这节课我们学到哪些知识？学到什么新的方法？
2 、你觉得哪些知识，哪些知识还需要课后继续加深理解？
五、拓展提高
习题2-2A： 3.4.5B。

授课教师主备人 备 课 组长 备课时间 年 月 日授课时间 年 月 日年级（科目）课 题 1.1.2导数的几何意义【学习目标】：理解导数的几何意义，会求曲线的切线的斜率和方程,会求切点坐标；【学习重点难点】：重点：导数的几何意义及曲线的切线方程． 难点：求曲线在某点处的切线方程． 【知识链接】：1.直线的斜率：已知直线上两点),(11y x A ，),(22y x B ,过A,B 两点直线的斜率是_________.2.过点),(00y x P 斜率为k 的直线方程为____________________________.3.公式=)(0'x f ______________________________【学习过程】:一、【自主预习】：预习课本96-P ，完成下列题目1.函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0/x f 的几何意义是___________________，相应地，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程为____________.2.如果把)(x f y =看作是物体的运动方程，那么，导数)(0/x f 表示_________________________，这就是导数的物理意义；3. 从求函数)(x f 在0x x =处导数的过程可以看到，当0x x =时)(0/x f 是一个的______数.这样，当x 变化时，)(/x f 便是x 的一个函数，我们称它为的)(x f 导函数（简称为________）. )(x f y =的导数有时也记作______，即='=y x f )(/_______________________；4.当()00'>x f 时，曲线在0x x =处切线的斜率0__k ，倾斜角为____角； 当()00'<x f 时，曲线在0x x =处切线的斜率0__k ，倾斜角为____角； 二、【典例展示】：例1.斜率与倾斜角与切线方程：求曲线122+=x y 在8-=x 处切线的斜率，倾斜角和切线方程；例2.求直线方程：求过点)2,1(-P 且与曲线2432+-=x x y 在点)1,1(M 处的切线平行的直线方程；小结：求)(x f 在0x x =处切线方程的步骤：______________________________________________； 三、【小试身手】：1.函数2)1(+=x y 导数等于 （ ） A.12+x B.4 C.x ∆2 D.22+x 2．曲线2212-=x y 在点⎪⎭⎫⎝⎛-23,1处切线的倾斜角为 ( ) A ．43πB.4π C.3π D ．6π3．设)(x f 为可导函数，且满足12)21()1(lim-=--→xx f f x ，则在曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线斜率为 ( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－24.曲线24x x y -=在点)5,1(--处的切线方程为 （ ） A.47+=x y B. 27+=x y C.4-=x y D.16+=x y 四、【合作探究】：探究1：利用导数的定义求函数的导数例3.(1)求函数x x y -=3的导数，并求)2('f ，)1('-f （2）求函数xy 3=的导数，并求)4('f小结：求函数)(x f y =的导数)('x f y =步骤：1.__________________________2.________________________3.___________________.探究2：求切点坐标：例4：已知抛物线122+=x y 的切线分别满足下列条件，请求出满足各条件的切点坐标.（1）切线的倾斜角为045； （2）平行于直线024=--y x ； （3）垂直于直线038=-+y x【练一练】：5．曲线3x y =在点P 处切线斜率为3，则P 点坐标为 （ ）A.)8,2(--B.)1-1-()1,1(，或C. )8,2(D.)81,21(--探究3：求切线方程：例5：已知曲线34313+=x y ；（1）求曲线在点)4,2(P 处的切线方程；（2）求曲线过点)4,2(P 的切线方程；（3）求斜率为1的曲线的切线方程.【练一练】：已知曲线2x y =，求曲线过点)5,3(P 的切线方程；【达标训练】：1．曲线2)(3-+=x x x f 在P 点处的切线平行于直线14-=x y ，则P 点的坐标为 ( ) A ．(1,0)或(－1，－4) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(1,4)2.在曲线2x y =求一点，使该点到直线32-=x y 的距离最小，则这件的坐标是 （ ） A.)1,1( B. )1,1(- C. )4,2( D. )0,0(3.已知函数 )(),(x g y x f y ==的导函数的图象如下图，那么)(),(x g y x f y ==的图象可能是)(x f y =A B C D 4.(1)求曲线12)(3++=x x x f 在点(1,4)处的切线方程____________． (2)求过点(2,0)且与曲线xy 1=相切的直线方程____________ 5.曲线2313+-=x y 在点(1,37)处切线的倾斜角为__________6.已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点)0,1(处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且1l ⊥2l ，(1)求直线2l 的方程；(2)求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积．7.已知曲线12-=x y 在点0x x=处的切线与曲线31x y -=在点0x x =处的切线互相平行，求0x 的值0x y x o 0x )(),(''x g y x f y == x o 0x )(),(x g y x f y == xo 0x )(x g y = x o )(),(x g y x f y ==)(x g y =x o 0x )(x f y =。

导数的几何意义导学案【学习要求】1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2．会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．【学法指导】前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲.【知识要点】1．导数的几何意义（1）割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx )) 的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝__________________. 当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋向于在点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ ＝___________________.（2）导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________．2．函数的导数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，)(x f '是x 的一个函数，称)(x f '是f (x )的导函数(简称导数)．)(x f '也记作y ′，即)(x f '＝y ′＝_______________【问题探究】探究点一 导数的几何意义问题1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？问题2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2附近的变化情况．跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h (t )在t 3和t 4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．（2）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()探究点二求切线的方程问题1怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？问题2曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？例2已知曲线y＝x2，求：（1）曲线在点P(1,1)处的切线方程；（2）曲线过点P(3,5)的切线方程．跟踪训练2已知曲线y＝2x2－7，求：（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? （2）曲线过点P(3,9)的切线方程．【当堂检测】1．已知曲线f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A．4 B．16 C．8 D．22．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－13．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______【课堂小结】1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.【拓展提高】1．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=2．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为。

导数的几何意义的教案1.1.3导数的几何意义教学目标:1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直.观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；4.体会化曲为直的极限思想。

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：%1.创设情景(%1)平均变化率、割线的斜率(%1)瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=xO处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=xO 附近的变化情况，导数f (xO)的几何意义是什么呢？%1.新课讲授(一)曲线的切线及切线的斜率：如图3. 1-2,当P)(n 1,2, 3, 4)n(xn,f(xn)曲线f(x) 趋近于点P(xO, f(xO))时，割线PPn的变化趋势是什么？沿着我们发现，当点Pn沿着曲线无限接近点P即△ x-0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.k问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率有什么关系？⑵切线PT的斜率k为多少？f (xn) f (xO),当点Pn沿着曲线无限接近点Pxn xOf (xO x) f (xO) f (xO)时，kn无限趋近于切线PT的斜率k,即k lim x 0 x容易知道，割线PPn的斜率是kn说明：(1)设切线的倾斜角为a,那么当△x-O时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一•种方法；②切线斜率的本质一函数在x xO处的导数.(2)曲线在某点处的切线：1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线,旦切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.(二)导数的几何意义:函数y=f(x)在x=xO处的导数等于在该点(xO, f(xO))处的切线的斜率，即f (xO) 1 im x Of (xO x) f (xO) k x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：%1求出P点的坐标；%1求出函数在点xO处的变化率f (xO) lim在点(xO, f (xO))的切线的斜率；%1利用点斜式求切线方程.%1.典例分析题型一：导数的几何意义的概念例1.下列说法正确的是(C )A.若f (xO)不存在，则曲线y f(x)在点(xO,.f(xO))处就没有切线；x Of (xO x) f (xO) k ,得到曲线xB.若曲线y f(x)在点(xO,. f (xO))有切线, 则f (xO)必存在；C.若f (x)不存在，则曲线y f(x)在点(x,. f (x))处的切线斜率不000存在。

1．1.3导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．知识点一导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．思考1割线PP n的斜率k n是多少？答案割线PP n的斜率k n＝f(x n)－f(x0) x n－x0.思考2当点P n无限趋近于点P时，割线PP n的斜率k n与切线PT的斜率k有什么关系？答案k n无限趋近于切线PT的斜率k.梳理(1)切线的定义：设PP n是曲线y＝f(x)的割线，当P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P处的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．知识点二导函数对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数), 即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.特别提醒区别联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值，是数值在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f ′(x )f ′(x )是f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数类型一 求切线方程命题角度1 曲线在某点处的切线方程例1 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程．解 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)． y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx ＝lim Δx →0[4＋2Δx ＋13(Δx )2]＝4， ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为 y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 答案 －3 解析 ∵y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx ＝lim Δx →0 (4＋Δx )＝4， ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3. ∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 命题角度2 曲线过某点的切线方程例2 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)， 则切线的斜率为k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx ＝2x 0＋1.又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为 y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0. 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))． (2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练2 求函数y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋x 的图象上过原点的切线方程．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋x 0，∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )－(x 30－3x 20＋x 0) ＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2－6x 0Δx ＋(Δx )3－3(Δx )2＋Δx ，∴Δy Δx ＝3x 20＋3x 0Δx －6x 0＋1＋(Δx )2－3Δx ， ∴f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx＝3x 20－6x 0＋1. ∴切线方程为y －(x 30－3x 20＋x 0)＝(3x 20－6x 0＋1)·(x －x 0)． ∵切线过原点，∴x 30－3x 20＋x 0＝3x 30－6x 20＋x 0，即2x 30－3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝32， 故所求切线方程为x －y ＝0或5x ＋4y ＝0. 类型二 求切点坐标例3 已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，求x 0的值．解 对于曲线y ＝x 2－1， k 1＝lim Δx →0ΔyΔx＝2x 0. 对于曲线y ＝1－x 3， k 2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 1－(x 0＋Δx )3－(1－x 30)Δx ＝－3x 20. 由题意得2x 0＝－3x 20， 解得x 0＝0或－23.引申探究1．若本例3条件中的“平行”改为“垂直”，求x 0的值． 解 ∵k 1＝2x 0，k 2＝3x 20.根据曲线y ＝x 2－1与y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，知2x 0·(－3x 20)＝－1，解得x 0＝3366. 2．若本例3条件不变，试求出两条平行的切线方程． 解 由例3知x 0＝0或－23.当x 0＝0时，两平行切线方程为y ＝－1或y ＝1.当x 0＝－23时，曲线y ＝x 2－1的切线方程为12x ＋9y ＋13＝0.曲线y ＝1－x 3的切线方程为36x ＋27y －11＝0.∴所求两平行切线方程为y ＝－1与y ＝1或12x ＋9y ＋13＝0与36x ＋27y －11＝0. 反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x 0，y 0)． (2)求导函数f ′(x )． (3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0.(5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0，得切点坐标．跟踪训练3 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点坐标为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，∴a ＝12127.当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)．类型三 导数几何意义的应用例4 (1)已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)(2)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为________．答案 (1)k 1>k 3>k 2 (2)⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫23π，π 解析 (1)由导数的几何意义，可得k 1>k 2. ∵k 3＝f (2)－f (1)2－1表示割线AB 的斜率，∴k 1>k 3>k 2. (2)设P (x 0，y 0)．∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )＋23－x 3＋3x －23Δx ＝3x 2－3，∴切线的斜率k ＝3x 20－3， ∴tan α＝3x 20－3≥－3， ∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫23π，π. 反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题时常与函数、方程、不等式等知识相结合．跟踪训练4 (1)若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )(2)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．答案(1)A(2)－7解析(1)依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．(2)设点P(x0，2x20＋a)．由导数的几何意义可得f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→02(x0＋Δx)2＋a－(2x20＋a)Δx＝4x0＝8.∴x0＝2，∴P(2,8＋a)．将x＝2，y＝8＋a，代入8x－y－15＝0，得a＝－7.1．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则() A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1答案 A解析由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→0(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－bΔx＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.2.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定答案 B解析由导数的几何意义，f′(x A)，f′(x B)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(x A)<f′(x B)．3.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于()A．－4 B．3C．－2 D．1答案 D解析由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于(4,0)，与y轴交于(0,4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴代入可得f(2)＋f′(2)＝1，故选D.4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．答案(3,30)解析设点P(x0,2x20＋4x0)．则f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→02(Δx)2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．5．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a ，C ＝f ′(a ＋1)，则由导数的几何意义和斜率公式可得A ，B ，C 的大小关系是________． 答案 A >B >C解析 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))， 则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a ，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率，C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以A >B >C .1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．课时作业一、选择题1．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)＝0 C ．f ′(x 0)<0 D ．f ′(x 0)不存在答案 C解析 由导数的几何意义，可得f ′(x 0)＝－2<0.2．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为( )A ．1B.π4C.54π D ．－π4答案 B解析 ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 12(1＋Δx )2－2－(12－2)Δx ＝lim Δx →0 (1＋12Δx )＝1，∴倾斜角为π4. 3．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点P 处的切线平行于直线y ＝9x －1，则切线方程为( ) A ．y ＝9x B ．y ＝9x －26C ．y ＝9x ＋26D ．y ＝9x ＋6或y ＝9x －26答案 D解析 设P (x 0，x 30－3x 20＋1)，k ＝y ′|0x x =＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )2＋1－(x 30－3x 20＋1)Δx＝3x 20－6x 0＝9，即x 20－2x 0－3＝0，解得x 0＝－1或3. ∴点P 的坐标为(－1，－3)或(3,1)．∴切线方程为y ＋3＝9(x ＋1)或y －1＝9(x －3)， 即y ＝9x ＋6或y ＝9x －26.4．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )答案 B解析 由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时，f ′(x )>0，当x ＝0时，f ′(x )＝0，当x >0时，f ′(x )<0，故选B.5．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－x )2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2答案 D解析 ∵lim x →0 12·f (1)－f (1－x )x ＝12lim x →0 f (1)－f (1－x )x ＝12f ′(1)＝－1， ∴f ′(1)＝－2.由导数的几何意义，知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－2.6．设P 为曲线C ：y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[π4，π2]，则点P 的横坐标的取值范围为( ) A ．(－∞，12] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[－12，＋∞) 答案 D解析 设点P 的横坐标为x 0，则点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为tan α＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋2. ∵α∈[π4，π2]，∴tan α∈[1，＋∞)， ∴2x 0＋2≥1，即x 0≥－12. ∴x 0的取值范围为[－12，＋∞)． 二、填空题7．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a＝________. 答案 2解析 由题意知a ＋b ＝3，又y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2＋b －(a ＋b )Δx＝2a ＝2，∴a ＝1，b ＝2，故b a＝2. 8．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋1在点M 处的瞬时变化率为－4，则点M 的坐标为________． 答案 (－1,3)解析 设点M (x 0，y 0)，f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝4x 0＝－4， ∴x 0＝－1，则y 0＝3，∴M (－1,3)．9．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析 由在M 点处的切线方程是y ＝12x ＋2， 得f (1)＝12×1＋2＝52， f ′(1)＝lim Δx →0 12(1＋Δx )＋2－12－2Δx＝lim Δx →0 12Δx Δx ＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 10．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．答案 4解析 设在P 点处切线的斜率为k ，则k ＝y ′|x ＝－2＝lim Δx →0 (－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －(6＋c )Δx＝－5， ∴切线方程为y ＝－5x .∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10，将P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4.三、解答题11．若曲线y ＝f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，求a 的值． 解 ∵f ′(a )＝lim Δx →0 (a ＋Δx )3－a 3Δx＝3a 2， ∴曲线在(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，切线与x 轴的交点为(23a,0)． ∴三角形的面积为12|a －23a |·|a 3|＝16，得a ＝±1.12．已知抛物线y ＝f (x )＝2x 2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；(2)切线平行于直线4x －y －2＝0；(3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴y ′|0x x =＝lim Δx →0 Δy Δx＝4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，解得x 0＝14， ∴切点坐标为(14，98)． (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，解得x 0＝1，∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴k ·(－18)＝－1，即k ＝8， ∴f ′(x 0)＝4x 0＝8，解得x 0＝2，∴切点坐标为(2,9)．13．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解 ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0[3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2] ＝3x 20＋2ax 0－9，即f ′(x )＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23， 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取到最小值，为－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12，解得a ＝±3， 又a <0，∴a ＝－3.四、探究与拓展14.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________；lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝______.(用数字作答) 答案 2 －2解析 ∵f (0)＝4，∴f (f (0))＝f (4)＝2，f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝0－42－0＝－2. 15．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．解 (1)∵y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－(x 2＋x －2)Δx＝2x ＋1，∴y ′|x ＝1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3. 设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)， 则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，解得x 0＝－23. ∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)， ∴所求三角形的面积为S ＝12×|－52|×(1＋223)＝12512.。