导数的几何意义导学案

导数的几何意义导学案在几何意义上，导数可以用来计算曲线上任意一点的切线的斜率。

在坐标平面上，我们可以通过求导来得到曲线在给定点的导数，然后通过这个导数来计算切线的斜率。

一条曲线的切线斜率可以告诉我们曲线在这一点的变化情况，即曲线在这一点附近的趋势。

为了更好地理解导数的几何意义，我们可以通过一个具体的例子来说明。

考虑一个函数f(x)=x^2，我们想要计算这个函数在x=2处的导数，即f'(2)。

首先，我们可以通过求导得到f'(x)=2x，然后将x代入2，得到f'(2)=4在几何上，我们可以通过上述计算得到的导数值4来描述曲线在x=2处的切线的斜率。

这意味着在点(2,4)附近的曲线上的任意一点的切线的斜率都是4、这个数值告诉我们曲线在这一点附近上升得非常陡峭，函数值的增加速度很快。

除了计算切线的斜率，导数还可以用来判断曲线的凹凸性和方向。

根据导数的正负性，我们可以判断曲线在其中一点的凹凸性。

如果导数为正，曲线向上凸起；如果导数为负，曲线向下凹陷；如果导数为零，曲线具有拐点。

通过这种方式，导数可以告诉我们曲线在其中一点的弯曲情况。

此外，导数的值还可以告诉我们曲线的方向。

如果导数为正，曲线向右上方倾斜；如果导数为负，曲线向左上方倾斜；如果导数为零，则曲线是水平的。

通过这个几何意义，我们可以判断曲线的走向和倾斜程度。

总结起来，导数的几何意义可以用来描述曲线在其中一点的切线斜率，同时还可以用来判断曲线的凹凸性和方向。

导数的几何意义在求解实际问题时非常重要，它可以帮助我们理解和分析曲线的特性，从而更好地理解和使用导数概念。

§1.1.3 导数的几何意义学习目标 1.了解平均变化率与割线之间，瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图像理解导数的几何意义； 2了解导函数的概念，会求导函数；3根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．学习过程一、课前准备复习1：曲线上向上11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆的连线称为曲线的割线，斜率y k x∆==∆复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆= ，如果当x ∆ 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率.记作：当x ∆ 时， →l二、新课导学学习探究探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆ 新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆三、典型例题例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点A (1,3)处的导数.并求曲线在点A 处的切线方程。

例2 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.例3 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)四．课堂练习1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；2．求曲线y=在点(4,2)处的切线．五．回顾总结1.导数的几何意义：2.求曲线上某点处切线方程的步骤：课后作业1．已知曲线y＝12x2－2上一点P⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P的切线的倾斜角为()．A．30°B．45°C．135°D．165°2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()．A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．63．设y＝f(x)存在导函数，且满足limΔx→0f(1)－f(1－2Δx)2Δx＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率()．A．2 B．－1 C．1 D．－24．曲线y＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为________．5．设y＝f(x)为可导函数，且满足条件limx→0f(1)－f(1－x)2x＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是________．6．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．7．设函数f(x)在x＝x0处的导数不存在，则曲线y＝f(x)()．A．在点(x0，f(x0))处的切线不存在B．在点(x0，f(x0))处的切线可能存在C．在点x0处不连续D．在x＝x0处极限不存在8．函数y＝－1x在⎪⎭⎫⎝⎛-2,21处的切线方程是()．A．y＝4x B．y＝4x－4C．y＝4x＋4 D．y＝2x－49．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p的值为________．10．已知曲线y＝1x－1上两点⎪⎭⎫⎝⎛-21,2A，B(2＋Δx，－12＋Δy)，当Δx＝1时割线AB的斜率为________．11．曲线y＝x2－3x上的点P处的切线平行于x轴，求点P的坐标．。

河宣“4至探为，舍H孕与"焉微谣堂高二数学文科选修1-1导学案（15）新知：当割线P4无限地趋近于某一极限位置PT .我们就把极限位置上的直线PT,叫 做曲线C在点P 处的切线.割线的斜率是：k n = _______________________当点4无限趋近于点P 时，4无限趋近于切线PT 的斜率.因此，函数/'⑴在x = 处的导数就是切线PT 的斜率k,即S lim/&+&）-./'曳）=广（） Ak 项 ④Ax 新知：函数y = /（x ）在X o 处的导数的几何意义是曲线），=/（X ）在P （X° J （五））处切线的斜率.即 S.e°）=lim 仆 + *）一«）Ar 淤典型例题例1如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数仰）=-4.9尸+6.5/ + 10的图象.根 据图象，请描述、比较曲线所。

在附近的变化情况.小结:例2如图,它表示人体血管中药物浓度c = f（t）（单位:mg /mL）随时间t（单位:min）变化的函数图象.根据图象，估计/ =0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到淤动手试试练1.求双曲线y =-在点（上,2）处的切线的斜率，并写出切线方程.人2练2.求y = x2在点工=1处的导数.【展示点评】------ 我自信具体要求：①、看规范（书写、格式）②、看对错。

找出关键词，补充、完善。

③、点评内容，讲方法规律。

④、面带微笑，全面展示自我。

三、总结提升淤学习小结函数y = /（x）在也）处的导数的几何意义是曲线y = f（尤）在P（x（）J（五））处切线的斜率.即 S 广（0=lim /a + *）— e。

）其切线方程为_____________________________________淤知识拓展导数的物理意义：如果把函数），=/（X）看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量尤表示时间），那么导数广3。

教学目标：1理解导数的几何意义掌握，掌握点、导数、原函数三者的联系2 体会从图形角度探究导数的意义教学重点：导数的几何意义及其应用难点：导数几何意义的理解预备知识：(1) 函数f(x)从x1到x2的平均变化率=表示点A（x1，y1）与B（x2，y2）连线的(2) f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作（3）基本初等函数的导数公式(c)’= (x a)’= (e x )’ = (lnx)’=(4) 求导运算法则：(u+v)’= (u*v)’= (u/v)’=（5）已知直线过点（x0，y0），斜率为k，则直线方程为课前训练：求函数f(x)=x3在x=2的导数问：这个导数值对函数f(x)的意义是若已知导数值为12能否求出x0=例题：已知曲线y＝1/3x3+4/3(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；归纳：求曲线在在某点切线方程的步骤：问：若切点未知又怎么处理？变式1已知曲线y＝1/3x3+4/3的切线方程为3x-3y+2=0,且切点在第一象限，求切点坐标2求满足斜率为1的曲线的切线方程.问：若曲线方程未知又如何求解？变3已知曲线y＝ax3+4/3在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程4已知曲线y＝1/3x3+b在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程5已知曲线y＝ax3+b在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程小结：曲线、切线、切点三者有何联系？作业1已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P 的坐标为.2设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝3在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.思考题已知a为实数，函数f(x)=(x2+1)(x+a),若f(x)的图像上有与x轴平行的切线，求（1）a的取值范围（2）若a=-1，切线是否存在，说明理由（3）若a=2，求切线方程执教人：wyang 执教班级：高二（8）班执教时间：2011年4月19日教学目标：1理解导数的几何意义掌握，掌握点、导数、原函数三者的联系2 体会从图形角度探究导数的意义教学重点：导数的几何意义及其应用难点：导数几何意义的理解教学流程：预备知识：(1) 函数f(x)从x1到x2的平均变化率=表示点A（x1，y1）与B（x2，y2）连线的(2) f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作（3）基本初等函数的导数公式(c)’= (x a)’= (e x )’ = (lnx)’=(4) 求导运算法则：(u+v)’= (u*v)’= (u/v)’=（5）已知直线过点（x0，y0），斜率为k，则直线方程为课前训练：求函数f(x)=x3在x=2的导数问：这个导数值对函数f(x)的意义是若已知导数值为12能否求出x0=例题：已知曲线y＝1/3x3+4/3(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；[注]求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.归纳：求曲线在在某点切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f’(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).问：若切点未知又怎么处理？变式1已知曲线y＝1/3x3+4/3的切线方程为3x-3y+2=0,且切点在第一象限，求切点坐标2求满足斜率为1的曲线的切线方程.问：若曲线方程未知又如何求解？变3已知曲线y＝ax3+4/3在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程4已知曲线y＝1/3x3+b在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程5已知曲线y＝ax3+b在x=-1处的切线方程为x-y+2=0,求曲线方程小结：曲线、切线、切点三者有何联系？导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为y－y0＝f′(x0) (x－x0).切点是切线与曲线的唯一公共点，两层含义：1切点在切线上，点的坐标满足切线方程2切点在曲线上，点的坐标也满足曲线方程。

导数的几何意义与计算一．课前复习1、函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-='∆. 2.导函数由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时, ()f x '便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数.注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.二、导数的计算：1、基本初等函数的导数公式：（1）f(x)=C ，则f ’(x)=_______ （2）f(x)=x ，则f ’(x)=_______ （3）f(x)=2x ，则f ’(x)=_______（4）f(x)=x1，则f’(x)=______ （5）f(x)=x ，则f ’(x)=____ （2）f(x)=)(Q a x a ∈则f ’(x)=_______ （6）f(x)=x e ，则f ’(x)=_______ （8）f(x)=x ln ，则f ’(x)=_______2、导数的运算法则：已知)(),(x g x f 的导数存在，则：（1）_______________])()([='±x g x f（2）__________________])()([='⋅x g x f（3）='])()([x g x f ____________________三、 典型例题：（一）利用求导公式和运算法则求导数1、345x y -=2、x e y x ln =3、1ln +=x x y 4、)3)(2)(1(+++=x x x y（二）切线的斜率及方程1、求曲线3=(x)=+2-1y f x x 在点(1,2)p 处的切线方程2、曲线21x y x =-在点(1,1)处的切线方程为____________________． 3、抛物线2=y x 在点p 处的切线与直线4-+2=0x y 平行，求p 点的坐标及切线方程4、曲线3y x =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形面积为__________．巩固练习1. 满足f (x )＝f ′(x )的函数是（ ） A ．f (x )＝1－xB ．f (x )＝xC ．f (x )＝0D ．f (x )＝1 2．曲线y ＝x 3－3x ＋1在点（1，－1）处的切线方程为 （ ） A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5 3．抛物线y = x 2上点M(12，14)的切线倾斜角是 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4、曲线24x y =在点(2,1)P 处的切线斜率k =_________ ___；5、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =________________；6、设曲线2ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ____________；7、已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为_____________； 8、曲线3x y =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 ；9.已知二次函数f (x )满足：①在x =1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x +y =0平行． ⑴求f (x )的解析式；⑵求函数g (x )=f (x )的单调递增区间.10．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-，请解答（1）求)(x f y =的解析式； （2）求)(x f y =的单调递增区间。

3.1.3 导数的几何意义学校：陵水中学学科：数学编写人：李顺美审稿人：赵李三学习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像宜观地理解导数的儿何意义，并能运用导数的儿何意义解决相关问题学习重难点1.发现和理解导数的几何意义2.应用导数几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题学习过程(%1)、复习引入1.平均变化率、割线的斜率2.导数的概念、求导数的步骤提出问题我们知道，导数表示函数y = /(x)在尤=工。

处的瞬时变化率，反映了函数y = f(x)在X = X。

附近的变化情况，导数广(气)的几何意义是什么呢？(%1)、自学探究如图3. 1-2,观察当4(气，/'(%))(〃 = 1,2,3,4)沿着曲线/(%)趋近于点P(A O,/(X O))时,割线Pg,的变化趋势是什么？图3.1-2（1）如何定义曲线在点F处的切线?（2 ）割线「4的斜率如与切线P7的斜率人有什么关系?（3）切线PT的斜率&为多少?说明：当Ax T 0时,割线PQ的斜率，称为曲线在点户处的切线的斜率. 这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的木质一函数在x = x0处的导数.（三）、小组交流导数的几何意义（1）函数），二/（%）在工=A处的导数的几何意义是什么？o（2）将上述意义用数学式表达出来。

（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程?(%1)、展示成果例1如图3. 1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数/?(x) = -4.9x2+6.5x4-10 ,根据图像,请描述、比较曲线/?(《)在"、匕、匕附近的变化情况.解：我们用曲线在上、4、&处的切线，刻画曲线/?(/)在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当r = r时，曲线/，。

)在"处的切线"的斜率，所以，在/ = 4附近曲线比较平坦，几乎没有升降.⑵当，=〈时，曲线的)在匕处的切线，的斜率, 所以，在，=匕附近曲线下降，即函数/?(x) = -4.9x2 + 6.5工+10在/ =匕附近单调递减.⑶当，=上时，曲线/?(/)在&处的切线匕的一斜率___________________________________ 所以，在/=&附近曲线下降, 即函数/?(、)= -4.9x2 + 6.5x +10在t=t,附近单调递减.从图3. 1-3可以看出，直线4的倾斜程度小于直线么的倾斜程度, 这说明1111线在乌附近比在附近下降的缓慢.变式根据图3. 1-3,请描述、比较曲线龙。

第一章 导数及其应用 1.3导数的几何意义一、【学习目标】1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；并会用导数的几何意义解题；【重点、难点】教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．二、学习过程【情景创设】我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？【导入新课】（1）曲线的切线及切线的斜率：当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.（2）导数的几何意义：(1)切线的概念:对于割线PPn,当点Pn 趋近于点P 时,割线PPn 趋近于确定的位置,这个确定位置的_______称为点P 处的切线.(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x 0处的导数就是切线PT 的斜率k,即k= =f ′(x 0).说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.【典例分析】例1.求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：例2.求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解：例3．求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.解：【变式拓展】1.若曲线f(x)=x 2的一条切线l 与直线x+4y-8=0垂直,求切线l 的方程解:2.求抛物线y=f(x)=2x 2-x 在(1,1)点处的切线斜率.解:三、学习总结1．曲线的切线及切线的斜率；2．导数的几何意义四、随堂检测1.已知抛物线y=f(x)=x 2+3与直线y=2x+2相交,求它们交点处的切线方程.解:2.设P 为曲线C:y=x 2+2x+3上的点,且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]2,4[ππ,求点P 横坐标的取值范围。

高中数学 1.1.3 导数的几何意义导学案 新人教A 版选修22 学习目标：1、了解导数的概念；理解导数的几何意义；2、会求导函数；3、根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程。

一、主要知识：1、导数的几何意义：（1）导数()0f x '表示了函数()f x 在0x x =处的 ，反映了函数()f x 在0x x =附近的变化情况。

（2）函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的 ，相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是 。

2、导函数从求()f x 在0x x =处的导数的过程中可看到，当0x x =时，()0f x '是一个 。

当x 变化时，()f x '便是x 的一个 ，称它为()f x 的导函数（简称导数），()y f x =的导函数有时也记作 ，即()f x y ''== 。

二、典例分析：〖例1〗：求曲线21y x =+在点()1,2P 处的切线的斜率k 。

〖变式训练1〗：曲线3123y x =-在点71,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭处的的切线的倾斜角为 。

〖例2〗：在曲线2y x =上求点P ，使过点P 的切线：（1）垂直于直线2650x y -+=；（2）倾斜角为135。

〖变式训练2〗：若曲线21y x =-的一条切线平行于直线43y x =-，求这条切线的方程。

〖例3〗：若抛物线24y x =上的点P 到直线45y x =-的距离最短，求点P 的坐标。

〖变式训练3〗：设函数()()32910f x x ax x a =+--<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线1260x y +-=平行，求a 的值。

三、课后作业：1、已知曲线22y x =上一点()1,2A ，则点A 处的切线的斜率等于（ ）A 、2B 、4C 、()2662x x +∆+∆D 、6 2、曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（ ） A 、6π B 、4π C 、54π D 、4π- 3、设曲线22y x x =+-在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为（ ）A 、()0,2-B 、()1,0C 、()0,0D 、()1,14、设()f x 为可导函数且满足()()0112lim1x f f x x →-+=，则过曲线()y f x =上点()()1,1f 处的切线斜率为（ ） A 、1B 、1-C 、12D 、12-5、已知直线1y kx =+与曲线32y x x =+-相切于点()1,3，则b 的值为（ ）A 、3B 、3-C 、5D 、5-6、曲线1y x=在点()1,1P 处的切线方程是 。

1．1.3导数的几何意义1．割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝□01f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的□02切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝□03limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的□04斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是□05 f′(x0)．相应地，切线方程为□06y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．3．函数的导数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的□07导函数(简称□08导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝□09lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系(1)函数在某一点处的导数：就是在该点处的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量．(2)导函数：如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.(3)导函数也简称导数．(4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()(2)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)函数f(x)＝0没有导函数．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．(2)若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．(3)函数f(x)＝x2＋1的导数f′(x)＝________.答案(1)45°(2)x＋y－3＝0(3)2x探究1求切线方程例1求曲线y＝f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．[解]易证得点P(1,2)在曲线上，由y＝x3＋2x－1得Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3.ΔyΔx＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2.当Δx无限趋近于0时，3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2无限趋近于3x2＋2，即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5.故点P处的切线斜率为k＝5.所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.[条件探究]将本例中的在点P(1,2)改为过点Q(0,1)，结果会怎样？[解]∵点Q不在曲线上，∴设切点坐标为(x0，y0)．由本例知k＝f′(x0)＝3x20＋2，切线方程为y－y0＝(3x20＋2)(x－x0)．又∵切线过点Q(0,1)，∴1－y0＝(3x20＋2)(0－x0)．又∵y0＝x30＋2x0－1得x30＝－1，即x0＝－1，∴切线方程为5x－y＋1＝0.拓展提升利用导数的几何意义求切线方程的分类(1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程．(2)当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程．【跟踪训练1】已知曲线C：f(x)＝x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)求过点(1,1)与f(x)＝x3相切的直线．解(1)∵f′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝limΔx→0(Δx)3＋3x2·Δx＋3x·(Δx)2Δx＝limΔx→0[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx]＝3x2，∴f′(1)＝3×12＝3，又f(1)＝13＝1，∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)设切点为P(x0，x30)，由(1)知切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20， 故切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1－x 30＝3x 20(1－x 0)，即2x 30－3x 20＋1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.∴k ＝3或k ＝34. 故所求的切线方程为y －1＝3(x －1)或y －1＝34(x －1)， 即3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0. 探究2 利用导数求切点坐标例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2上哪一点的切线． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0. [解] 因为f (x )＝x 2，所以f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， 所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．[结论探究] 在本例中，过曲线上哪一点的切线倾斜角为135°. [解] 由例题解析过程知f ′(x )＝2x ， 因为倾斜角为135°，所以其斜率为－1. 即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．拓展提升利用导数求切点坐标的解题步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0；(5)由于点(x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，将x 0代入求y 0得切点坐标．【跟踪训练2】 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求： (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°； (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0； (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. 解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1， 即f ′(x 0)＝4x 0＝1得x 0＝14，该点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)． 探究3 导数几何意义的综合应用例3 设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．[解] 因为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，所以Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 所以f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝3x 20＋2ax 0－9，所以f ′(x 0)＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23.因为斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行， 所以该切线斜率为－12.所以－9－a 23＝－12， 解得a ＝±3，又a <0，所以a ＝－3. 拓展提升(1)导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，利用题目所给的斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等已知条件求解题目．此处常与函数、不等式等知识点结合．(2)本题需要根据已知条件求出原函数在x 0处的导数f ′(x 0)并求出其最小值，建立等量关系求出a 的值，再根据a <0这一条件对结果进行取舍．【跟踪训练3】 已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线C 的方程． 解 (1)因为y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝13(x ＋Δx )3－4(x ＋Δx )＋4－13x 3＋4x －4Δx ＝x 2－4，所以y ′|x ＝2＝0，所以直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)因为抛物线以点F (0,1)为焦点，以直线y ＝－1为准线，所以设抛物线方程为x 2＝2py ，则p2＝1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： 第一步：求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)；第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 注意：若在点(x 0，f (x 0))处切线l 的倾斜角为π2，此时切线平行于y 轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x ＝x 0.2.函数的导数，是对某一区间内任意一点x 而言的，就是函数f (x )的导数f ′(x )．函数y ＝f (x )在x 0处的导数，就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值.1．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)>0 D ．f ′(x 0)不确定答案 C解析 因为曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x －y ＋1＝0的斜率为2，所以f ′(x 0)>0.2．某堆雪在融化过程中，其体积V (单位：m 3)与融化时间t (单位：h)近似满足函数关系：V (t )＝H ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－110t 3(H 为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v －(m 3/h)，观察图象可知瞬时融化速度等于v －(m 3/h)的时刻是图中的( )A ．t 1B ．t 2C ．t 3D ．t 4 答案 C解析 如图所示，平均融化速度实际上是点A 与点B 连线的斜率k ； 瞬时融化速度的几何意义就是曲线V (t )在某时刻的切线斜率，通过对比，t 3时刻曲线的切线斜率与k 相等，故瞬时融化速度等于v －(m 3/h)的时刻是t 3.3．曲线y ＝x 2在x ＝0处的切线方程为________． 答案 y ＝0解析 f ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋Δx 2Δx＝2x ，所以f ′(0)＝0，故切线方程为y ＝0.4．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于________． 答案 3解析 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ＝3.5．已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程． 解 y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →02(x ＋Δx )2－7－(2x 2－7)Δx＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x .因为2×32－7＝11≠9，所以点P (3,9)不在曲线上． 设所求切线的切点为A (x 0,2x 20－7)，则切线的斜率k＝4x0.又因为点P(3,9)，A(x0,2x20－7)都是切线上的点，所以k＝2x20－7－9x0－3＝4x0，解得x0＝2或x0＝4.当x0＝2时，k＝8，切点为(2,1)，切线方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0；当x0＝4时，k＝16，切点为(4,25)，切线方程为y－25＝16(x－4)，即16x－y－39＝0.故所求的切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.A级：基础巩固练一、选择题1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则()A．f′(x0)>0 B．f′(x0)＝0C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在答案 C解析根据导数的几何意义f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点x0处切线的斜率，由于切线斜率k＝－2<0，所以f′(x0)<0.2．已知曲线y＝12x2－2上一点P⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°答案 B解析因为y＝12x2－2，所以y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫x＋12Δx＝x，所以过点P的切线的斜率为1，所以过点P的切线的倾斜角为45°.3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是() A．(1,1) B．(－1,1)C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)或(－2，－8)答案 C解析因为y＝x3，所以y′＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝limΔx→0[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)．4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0答案 D解析由导数定义可得y′＝2x.∵抛物线y＝x2的切线与直线2x－y＋4＝0平行，∴y′＝2x＝2，∴x＝1，即切点为(1,1)，∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.5．函数f(x)的图象如图所示，下列排序正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f′(4)B．0<f′(3)<f′(4)<f′(2)C．0<f′(4)<f′(3)<f′(2)D．0<f′(2)<f′(4)<f′(3)答案 C解析由导数的几何意义可知，函数f(x)在点x0处的导数即为曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，又由图象可知曲线f(x)在x＝2,3,4处的切线的斜率逐渐减小，所以f′(2)>f′(3)>f′(4)，故选C．6．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则b的值为() A．3 B．－3 C．5 D．－5答案 A解析注意点(1,3)既在直线上，又在曲线上．由于y′＝limΔx→0 (x＋Δx)3＋a(x＋Δx)＋b－(x3＋ax＋b)Δx＝3x2＋a，所以y′|x＝1＝3＋a＝k，将(1,3)代入y＝kx＋1，得k＝2，所以a＝－1，又点(1,3)在曲线y＝x3＋ax＋b上，故1＋a ＋b＝3，又由a＝－1，可得b＝3，故选A．二、填空题7．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝________.答案－1解析由题意，f′(4)＝－2，f(4)＝－2×4＋9＝1，因此，f(4)＋f′(4)＝－2＋1＝－1.8．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.答案 2解析limΔx→0a(1＋Δx)2－aΔx＝limΔx→0(a·Δx＋2a)＝2a＝2，∴a＝1.又3＝a×12＋b，∴b＝2，即ba＝2.9．y＝f(x)，y＝g(x)，y＝α(x)的图象如图所示：而如图是其对应导数的图象：则y＝f(x)对应________；y＝g(x)对应________；y＝α(x)对应________．答案B C A解析由导数的几何意义，y＝f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y＝f(x)对应B．y＝g(x)上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分斜率值趋近负无限，故y＝g(x)对应C．y＝α(x)图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y＝α(x)对应A．三、解答题10．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．解设曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)处的斜率为k，则k＝y′|x＝1＝limΔx→03(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2Δx＝limΔx→0(3Δx＋2)＝2.设过点P(－1,2)且斜率为2的直线为l，则由点斜式得l的方程为y－2＝2(x＋1)，化为一般式为2x－y＋4＝0，所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.B级：能力提升练11．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋1ax＋b(a>0)．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．解因为ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝a(1＋Δx)＋1a(1＋Δx)＋b－⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a＋bΔx＝a2(1＋Δx)－1 a(1＋Δx)，所以limΔx→0a2(1＋Δx)－1a(1＋Δx)＝a2－1a＝32，解得a＝2或a＝－12(不符合题意，舍去)．将a＝2代入f(1)＝a＋1a ＋b＝32，解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.12．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形面积．解(1)y′|x＝1＝limΔx→0(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－2－(12＋1－2)Δx＝3，所以l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，y′|x＝b＝limΔx→0(b＋Δx)2＋(b＋Δx)－2－(b2＋b－2)Δx＝2b＋1，所以l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－23，所以l2的方程为y＝－13x－229.(2)由⎩⎨⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52，即l 1与l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，所以所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512.。

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导数的概念及其几何意义(4) 导学案
三大段一中心五环节高效课堂—导学案制作人：张平安修改人：审核人：班级：姓名：组名：课题第七课时导数的几何意义习题课学习目标会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方
程
学习重点曲线上一点处的切线斜率的求法学习
难点理解导数的几何意义
学法指导探析归纳，讲练结合学习过程一自主学习复习：导数的几何意义：函数在x0 处的导数就是曲线在点( x0，)处的切线的斜率。

二师生互动
例1 、在曲线上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足列条件：
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（1）平行于直线y＝x＋1；
（2）垂直于直线2x－16y＋1＝0；
（3）倾斜角为135°。

例2、求曲线过（1，1）点的切线的斜率。

例3 、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，
根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．
三、自我检测
练习册：7、8．
四、课堂反思
1 、这节课我们学到哪些知识？学到什么新的方法？
2 、你觉得哪些知识，哪些知识还需要课后继续加深理解？
五、拓展提高
习题2-2A： 3.4.5B。