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数理统计课后习题答案答案(汪荣鑫版本)

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数理统计(汪荣鑫版)习题答案详细版

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所以
X1 + X 2 + X3 N (0,1)
3
X1
+
X2 3
+
X3
2
χ 2 (1)
同理
X4
+
X5 3
+
X
6
2
χ 2 (1)
由于 χ2 分布的可加性，故
D X1 + X2 + X3 =1 3
1Y 3
=
X1
+
X2 3
+
X3
2
+
X4
+
X5 3
+
X6
2
可知
C=1
3
16. 解：（1）因为 ( ) Xi N 0,σ 2
题的结果可知
x = 2000 + y = 2240.444
sx2
=
s
2 y
= 197032.247
5. 解：变换
yi = 100( xi − 80)
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
xi 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02
y
∫ FY4
( y) =
P {Y4
≤
y} =
P σY42
≤
y σ2
=
σ2 0
fχ2(1) ( x)dx
fχ2
(y) =
F' Y4
(y) =
y fχ2 (1) σ 2
数理统计答案(汪荣鑫)(2)

数理统计答案(汪荣鑫)(2)

n
i
xi
)
1 n
i
Exi
1 n
n
1
1
1
Dx D( n
i
xi ) n2
i
Dxi n2
i
Dx n
13.设X1,X2,…,Xn是区间（-1，1）上均匀分 布的母体的一个子样，试求子样平均数的
均值和方差。
解：x U (1,1), Ex 11 0, Dx 22 1
2
12 3
1
1
Ex E( n
解：作变换
yi
xi
100, a
100,
y
1 n
i
yi
10 5
0
x a y 100
sx2
sy2
1 n
i
yi 2
2
y
1 5
[(8)2
(6)2
32
52
62]
0
34
12.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体 的一个子样，是子样平均数，试求EX 和DX。
解：
x
p(), E x E(1
2
0 )为(2.125 0.0041)
n
（2）若 未知
构造函数 T x t(n 1)
S* / n
给定置信概率90%，查得t0.05(15) 1.7531，有
p( T t (n 1)) 1
2
∴母体平均数 的置信概率为90%的置信
区间为(x t0.05 (15)
s* )
n
，即（2.125±0.0075）
a
cyi
xi (a cyi ),nx na cny,x a c y
i
i
而sx2
数理统计课后习题答案答案(汪荣鑫版本)

数理统计课后习题答案答案(汪荣鑫版本)

L

i 1
n

k
( k 1) !
xi
k 1
e
xi
(
1 ( k 1) !
)
n
nk
( xi )
i 1
n
k 1

xi
i
e
ln L n ln ( k 1) ! n k ln ln ( x i )
i 1
n
k 1


i
xi
d ln L d
1 i n
12设母体X服从正态分布 N ( ,1), ( X 1 , X 2 ) 是 从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三 个估计量 2 1 （1）＾ X 1 X 2 1
2 （2）＾
3 1
（3）＾ 3
4 1
X1
3 3
都是 的无偏估计，并求出每个估计量的 方差。问哪一个方差最小？ 2 1 2 1 2 1 解：＾ E ( x x ) E x E x E
2 2
X
2

U
2
2
/n
,由 F 分 布 定 义 X
2
F (1, n )
Page 6
8设母体 X N (40, 5 ) ,从中抽取容量n的样本
2
求（1）n=36时， (3 8 P 解： x N ( 4 0, 5 )
2
x 4 3)
64
P 3 8 x 4 3 P{
i i i i
D x D(
1
n
i
xi )
1 n
2
Dx
i
i

1 n
(完整版)汪荣鑫版数理统计习题答案chapitre1

(完整版)汪荣鑫版数理统计习题答案chapitre1

n i 1n i 1n i 1第一章1•在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为 （单位：斤） ，求子样平均数和子样方差。

解： -1 nX x i 100n i 121 n2 —2SX i x 34n i 12•从母体中抽取容量为 60的子样，它的频数分布求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。

s .18.67 4.322 2 2x a cy,s x c s y 。

解：由变换y inX ii 1X i a 即X icy i ,nxa cy ina cnycnai 1X a cy由2 1n _21 n2c 2 n_ 2 2 2而s xX i Xa cy i a cy yi y C解:—1l* .Xmi i X4n i 1 2 1* 2 — 2sm i x i x 18.67ni 192, 94, 103, 105， 1063•子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值 X i ,X 2, ,X n 的平均数为为x 。

作变换 y占一a ，得到y i , y 2,c,y n ，它的平均数为— 2y 和方差为S y X 和方差。

试证：ni 110得到它的子样的下列观测数据 （单位：磅/英寸2）： 1815, 2020, 2310后利用第3题中的公式获得X 和s 2的数值。

i*m i y i4.对某种混凝土的抗压强度进行研究，1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909,采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。

先作变换 y iX i2000，再计算y 与s ：，然解：作变换yX i2000，a 2000Y i2164 240.442240.444 2S X2Sy1 nn 2 — y iyi 12197032.2475.在冰的溶解热研究中， 测量从0.72 r 的冰变成 0c 的水所需热量，取作试验得到热量数据如下 :79.98， 80.04, 80.02,80.04,80.03,80.03, 80.04,79.97， 80.05， 80.03， 80.02, 80.00,80.02试用变换y i 100X i 80 简化计算法计算子样平均数和子样方差。

数理统计(汪荣鑫)答案第三章

数理统计(汪荣鑫)答案第三章


2
∴接受 H0 。 4.某电器零件的平均电阻一直保持在 2.64Ω 。 改变加工工艺后， 测得 100 个零件的 平均电阻为 2.62Ω， 电阻标准差 (s) 为 0.06Ω ， 问新工艺对此零件的电阻有无显著影响
（α = 0.01 ）？ 解： n = 100 ， x = 2.62 ， s = 0.06 ①建立原假设 H0 ： µ = 2.64Ω
= Φ(0.575)
= 0.719
3.某批矿砂的 5 个样品中的镍含量经测定为
x(%) 3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24
数理统计(汪荣鑫)Chapitre 3
设测定值服从正态分布。问在α = 0.01 下能否接受假设：这批矿砂的（平均）镍含量为 3.25。 解：设 x ~ N (µ,σ 2 ) ，σ 2 未知，计算得 x = 3.252 ， s* = 0.013
问此段时间内该机工作是否正常（α = 5% ）？假定金属棒长度服从正态分布。
解： n = 15 ， x = 10.48 ， s* = 0.2366
①建立原假设 H0 ： µ = 10,5
②在 H 0 成立前提下，构造统计量 T
=
x − µ0 s* / n
~ t(n −1)
{ } ③给定α = 0.05 ，查得 tα (14) = 2.1448 ，使 p T > tα (n −1) = α
=
x − µ0 σn
~
N (0,1)
③给定显著水平α = 0.05 ，有 µα = 1.96 ，使
2
{ } P µ ≥ µα
=
α
即
⎧ P⎨
x
−
µ0
⎫ ≥ 1.96⎬ = 0.05
数理统计课后题答案完整版(汪荣鑫)

数理统计课后题答案完整版(汪荣鑫)

第一章3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11nii x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立因为 ()2211nxi i s x xn ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c y n c y y n====+--=-=-∑∑∑又因为 ()2211n y i i s y yn ==-∑所以 222xys c s = 成立 6. 解：变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=- 2710yx=+= ()2211lyi i i s m y yn ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s == 7解： 6266707478*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()22*11li i i s m x xn ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，，，，，0，0，，，，，，()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--==== 9解：121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n i ji j x xn n x x n x n x n n n n n s x n sx n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n s n n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n s n n n n +-++++-=+++-+=+++12. 解：()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni ii i n E X E x Ex n n n n DX Dx Dxn nn nλλλλ============∑∑∑∑13.解：(),ix U a b 2i a b Ex += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中 ()1,1i x U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni ii i E X E x Ex n n DX Dx Dxn nn==========∑∑∑∑14.解：因为()2,iX N μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以 ()0,1i X N μσ- 1,2,,in =⋅⋅⋅由2χ分布定义可知()222111nni ii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-=⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布 所以 ()2Yn χ15. 解：因为()0,1iX N1,2,,i n =⋅⋅⋅()1230,3X X X N ++0=1=所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性，故()222123Y χ=+可知 13C=16. 解：（1）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Yy F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x dx σχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200n yn nY y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2） 因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311n i Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩（4）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211y Y Y Yy F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰故()242000y Y y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解：因为 ()Xt n存在相互独立的U ，V()0,1UN ()2Vn χ使X = ()221Uχ则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解：因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑所以()1nniX Yt m ==（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n mn mi ii n i n X m X n Y F n m X n X mσσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算()20.010.019090χ=查表得 0.01 2.33U =代入上式计算可得()20.01909031.26121.26χ=+=20.解：因为()2Xn χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P ≤=≤22lim t n P dt -→∞-∞≤==Φ 故 {}PX c ≤≈Φ第 二 章 1. 0,0()0,0()()1()111x x x x xe xf x x E x f x xdx xe dxxe e d x e xλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有 1x λ∧=2.()111121).()(1)(1)1111k k x x E x k p p p k p ppp ∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p ＝X所以有1p X ∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)ni x i i nX nni L P P p p p -=-=∑=-=-∏1ln ()ln ()ln(1)ni i L P n p X n p ==+--∑1ln 1()01ni i d L n X n dp p p ==--=-∑解之得11nii np X X∧===∑３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以()2122!2!!()12ni i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=⎪⎨⎪=⎩∑222（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，1S =n a+b2（）a 4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0nni i i nii ini i L x x i nL n x d L nx d θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为：11()1ni i X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。

数理统计王荣鑫答案

数理统计王荣鑫答案

数理统计习题答案第一 章1.解： ()()()()()()()12252112222219294103105106100511100519210094100103100105100106100534n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=∑∑∑2. 解：子样平均数 *11li i i X m x n ==∑()118340610262604=⨯+⨯+⨯+⨯=子样方差 ()22*11li i i S m x x n ==-∑()()()()222218144034106422646018.67⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎣⎦=子样标准差 4.32S == 3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11ni i x x n ==∑()1111ni i ni i a c y n n a c y n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1ni i ca y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立()2211nxi i s x x n ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c yn c y y n====+--=-=-∑∑∑因为 ()2211nyi i s y yn ==-∑ 所以222x y s c s = 成立()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====4. 解：变换 2000i i y x =-11n i i y y n ==∑()61303103042420909185203109240.444=--++++-++= ()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()()()()222222222161240.444303240.4441030240.4449424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247=--+--+-+⎡⎣-+-+-+⎤--+-+-⎦=利用3题的结果可知2220002240.444197032.247x y x y s s =+===5. 解：变换 ()10080i i y x =-13111113n i i i i y y y n ====∑∑[]12424334353202132.00=-++++++-+++++=()2211nyi i s y y n ==-∑()()()()()()22222212 2.0032 2.005 2.0034 2.001333 2.003 2.005.3077=--+⨯-+-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+--⎦=利用3题的结果可知2248080.021005.30771010000yx yx s s -=+===⨯6. 解：变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=-2710yx =+=26.85 ()2211lyi ii s m y y n ==-∑()()()()222212351.5391.54121.5341.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s ==162 *11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()22*11li i i s m x x n ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦= 8解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====9解： 121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+ ()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n iji j x xn n x xn x n x n n n n n s x n s x n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n sn n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n s n n n n +-++++-=+++-+=+++解：()200.1460.3670.75790.9910110x x F x x x x ⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩158 162 166 170 174 178 18212. 解：()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni i i i n E X E x Ex n n n n DX Dx Dx n n n nλλλλ============∑∑∑∑13.解：(),ix U a b 2i a bEx += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中 ()1,1ix U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni i i i E X E x Ex n n DX Dx Dx n n n==========∑∑∑∑14.解：因为 ()2,iX N μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以()0,1i X N μσ- 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 由2χ分布定义可知 ()222111nni ii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Yn χ15. 解：因为 ()0,1i X N 1,2,,i n =⋅⋅⋅ ()1230,3X X X N ++0=1= 所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性，故()222123Y χ=+可知 13C =16. 解：（1）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Yy F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x d xσχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200n y n n Y y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2） 因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故 ()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311ni Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故 ()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩（4）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211yY Y Y y F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 故 ()242000y Y y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解：因为 ()X t n存在相互独立的U ，V()0,1UN ()2Vn χ使X =()221U χ则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解：因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫⎪⎝⎭∑所以()1nniX Y t m ==（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n m n mi ii n i n X m X n Y F n m X n X m σσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算()20.010.019090χ= 查表得 0.012.33U =代入上式计算可得 ()20.01909031.26121.26χ=+= 20.解：因为 ()2X n χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P≤=≤22lim tnP dt-→∞-∞≤==Φ故{}P X c≤≈Φ第二章1.00,0()0,0()()1()111xxx xxe xf xxE x f x xdx xe dxxe e d xexλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有1xλ∧=2.()111121).()(1)(1)1111k kx xE x k p p p k pppp∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p＝X所以有1pX∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)nix i in X nniL P P p p p-=-=∑=-=-∏1ln()ln()ln(1)niiL P n p X n p==+--∑３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以()2122!2!!()12n i i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=-⎪⎨⎪=+⎩∑222（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，1S =n a+b 2（）a 4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为：111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0n ni i i nii inii L x x i nL n x d L nxd θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为：11()1nii X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。

数理统计习题答案汪鑫荣版

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数理统计习题答案第一章1.解： ()()()()()()()12252112222219294103105106100511100519210094100103100105100106100534n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=∑∑∑2. 解：子样平均数 *11li i i X m x n ==∑()118340610262604=⨯+⨯+⨯+⨯=子样方差 ()22*11l i i i S m x x n ==-∑()()()()222218144034106422646018.67⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎣⎦=子样标准差 2 4.32S S == 3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11ni i x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a cy==+=+∑ 所以 x a cy =+ 成立()2211nxi i s x x n ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c yn c y y n====+--=-=-∑∑∑因为 ()2211nyi i s y yn ==-∑ 所以222x ys c s = 成立 ()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====4. 解：变换 2000i i y x =-i1 2 3 4 5 6 7 8 9 i x 1939 1697 3030 2424 2020 2909 1815 2020 2310 i y-61-303103042420909-1852031011n i i y y n ==∑()161303103042420909185203109240.444=--++++-++=()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()()()()222222222161240.444303240.4441030240.4449424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247=--+--+-+⎡⎣-+-+-+⎤--+-+-⎦=利用3题的结果可知2220002240.444197032.247xyx y s s =+===5. 解：变换 ()10080i i y x =-i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 i x 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02 i y-2424334-3532213111113n i i i i y y y n ====∑∑ []12424334353202132.00=-++++++-+++++=()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()22222212 2.0032 2.005 2.0034 2.001333 2.003 2.005.3077=--+⨯-+-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+--⎦=利用3题的结果可知2248080.021005.30771010000yx yx s s -=+===⨯ 6. 解：变换()1027i i y x =-*i x23.5 26.1 28.2 30.4 i y -35 -9 12 34 i m234111li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=-2710yx =+=26.85 ()2211lyi i i s m y y n ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s ==7解：身高 154158 158162 162166 166170 170174 174178 178182 组中值 156 160 164 168 172 176180学生数101426281282*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()22*11l i i i s m x x n ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====9解： 121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n xn n +=+()12221121n n i i s x x n n +==-+∑10.某射手进行20次独立、重复的射手，击中靶子的环数如下表所示：环数 10 9 8 7 6 5 4 频数23942试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形。

数理统计答案(汪荣鑫)

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∑ Dx = n
i
λ
4.设X1,X2,…,Xn是区间（-1，1）上均匀分 是区间（ ， ） 4.设 布的母体的一个子样， 布的母体的一个子样，试求子样平均数的 均值和方差。 均值和方差。 −1 + 1 22 1 解： U (−1,1), Ex = x = 0, Dx = =
2 12 3
1 1 xi ) = ∑ Exi = Ex = 0 ∑ n i n i 1 1 1 Dx = D( ∑ xi ) = ⋅ Dx = n i n 3n E x = E(
(2)极大似然估计 极大似然估计
L = ∏ (1 − p )
i =1
n
xi −1
⋅ p = (1 − p )
∑ xi − n
i
⋅p
n
ln L = (∑ xi − n) ⋅ ln(1 − p ) + n ln p
i
d ln L i = dp 1− p
n − ∑ xi
n 1 + = 0,＾= p p x
求（1）n=36时， (38 ≤ x ≤ 43) P 解：Q x N (40, 5 )
2
64
∴ P 38 ≤ x ≤ 43 = P{
{
}
38 − 40 x − 40 43 − 40 ≤ ≤ } 5/6 5/6 5/ 6
= P{−2.4 ≤ U ≤ 3.6} = Φ (3.6) − Φ ( −2.4) = Φ (2.4) = 0.9918
i =1 i
n
d ln L nk k ＾ k = − ∑ xi = 0,∴＾ = 或β = β dβ β x x i
β
7.设母体X具有均匀分布密度 f ( x) = β , 0 ≤ x ≤ β , 从中抽得容量为6的子样数值 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差 的最大似然估计量的值. 解: X U (0, β ) ，β 的最大似然估计 ＾ = max x = 2.2 β i ＾ β ＾ β µ = EX = ,∴ µ = = 1.1
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i 1 i 1
2
e
(
i
ln L n ln 2 n ln
d ln L n i 2 0 d
x
i
2
) e
i
x

i
＾ 1 x 得 n
i
i
Page 14

E xi E X



x f ( x)dx
x



1 1 x e dx 2 x e dx 2 2 0
yi xi a c
i
i
x (a cy ), nx na cn y, x a c y
i i i i
1 1 c2 而sx 2 ( xi x)2 (a cyi a c y ) 2 ( yi y ) 2 c 2 s y 2 n i n i n i
13.设母体X具有在区间[a,b]上的均匀分布, 其分布密度为 f(x)=
1 ,a x b ba 0, 其他
其中a,b是未知参数,试用矩法求a与b的估计 量. ab 1 2 , DX (b a ) 解: X U [a, b], EX
2 12
S 2 分别估计EX和DX 用 X 和ab 得 X 2 ＾ X 3S a (b a) 2 ＾ X 3S b S2
都是 的无偏估计，并求出每个估计量的 方差。问哪一个方差最小？ 解：＾ E ( 2 x1 1 x2 ) 2 Ex1 1 Ex2 2 1 E 1 ＾ 同理： 2和＾都是 的无偏估计。 3
Page 19
3
3
3
3
3
3
3 5 1 1 ＾ 2 1 5 ＾ 1 ＾ 1 D1 ( )2 ( )2 , D2 ( )2 ( )2 , D3 ( )2 ( )2 3 3 9 4 4 8 2 2 2
1 i n
12设母体X服从正态分布 N ( ,1), ( X 1 , X 2 ) 是 从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三 个估计量 2 1 （1）＾ X1 X 2 1
3 3 1 3 2 （2）＾ X 1 X 2 4 4 1 1 （3）＾ X 1 X 2 3 2 2
2 2 1 2 3 4 5 6
Z12 2 N (0,1), 1 (1) 3 3 Z 2 X 4 X 5 X 6亦服从N(0,3)且与Z1相互独立 Z1
Z2 Z22 N (0,1), 2 (1) 3 3
2 2
且与 相互独立。由 分布可加性，
Z12 Z 2 2 1 2 1 1 2 2 ( Z1 Z 2 ) Y (2), c 3 3 3 3 3 Page 5
n i 1
似然函数
L f ( xi ) e ( xi )
为了使L达到最大， x n 0，尽可能小， i i 尽可能大，而＾
xi , min xi x(1)
Page 18
d ln L ln L ( xi n ), 0无解 d i
L
i 1 n
k
(k 1)!
xi k 1e xi
n xi 1 ( ) n nk ( xi ) k 1 e i (k 1)! i 1
ln L n ln(k 1)! nk ln ln( xi ) k 1 xi
i 1 i
X N (40,52 ),从中抽取容量n的样本 8设母体
求（1）n=36时， (38 x 43) P 解： x N (40, 5 )
2
64
38 40 x 40 43 40 P 38 x 43 P{ } 5/ 6 5/ 6 5/ 6


P{2.4 U 3.6} (3.6) (2.4) (2.4) 0.9918
X t (n) ，求证 X 2 F (1, n) 7.已知
证明：令 X
2 2

U
/n
2
t (n), 其中U N (0,1)
2 2 2
(n), 且U 与 独立,U 亦与 独立
U2 X 2 2 ,由F 分布定义 X 2 F (1, n) /n
Page 6

0, x 0
e x , x 0
0, x 0
（
x
0
1
）
Ex

xf ( x)dx xe
0
Page 8
dx

x
用样本 x 估计Ex，则有 x
1

＾ 1 ,
12.设母体X具有几何分布,它的分布列为 P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,… 先用矩法求p的估计量,再求p的最大似然估 计. 解 :( 1)矩法估计

x
1 1 E E ( xi ) E xi n i n i
＾ 是 的无偏估计.
Page 15
6.设母体X具有分布密度
k
f(x)=
(k 1)! 0, 其他
x k 1e x , x 0
其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大 似然估计量. 解:似然函数
EX k (1 p)
k 1
x 1 x 1 1 (( (1 x) ) ' [ ]' ( )' 2 ) 1 (1 x) x x i
i
1 ＾ p x
k 1
1 1 p p [(1 p) ]' p 2 p p k
k
Page 9
2 1 1 2 2 sx s y yi y [(8) 2 (6) 2 3 2 5 2 6 ] 0 34 n i 5 2 2
Page 2
3.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体 的一个子样，是子样平均数，试求E X 和DX 。 x p( ), E x E ( 1 x ) 1 Ex 1 n i n i n n i i 解：
＾ 方差最小为有效 3
n i 1
＾ 对形如 xi xi , 且 xi 1时, E ,以 x 为最有效
i
Dx

2
n
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13.设X1,X2,…,Xn是具有泊松分布 P( ) 母体 的一个子样。试验证：子样方差 S *2 是 的无偏估计；并且对任一值 [0,1], X (1 )S *2 也是 的无偏估计，此处 X 为子样的平均 数 解： P( ), EX , DX , E X , ES *2 X
1 1 Dx D( xi ) 2 n i n 1 Dxi n2 i
Dx n
i

4.设X1,X2,…,Xn是区间（-1，1）上均匀分 布的母体的一个子样，试求子样平均数的 均值和方差。 1 1 22 1 解： U (1,1), Ex x 0, Dx
ln L n ln ( 1) ln xi
i
i 1 i 1
0, 其他 n
( 0 )
n
d ln L n ＾ n ln xi 0, d i ln xi
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i
2矩法估计

EX

x f ( x)dx x x
(2)极大似然估计
L (1 p)
i 1
n
xi 1
p (1 p)
ห้องสมุดไป่ตู้ xi n
i
pn
ln L ( xi n) ln(1 p) n ln p
i
d ln L i dp 1 p
n xi
n 1 0,＾ p p x
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12
14.设母体X的分布密度为 f(x)=
x ,0 x 1
0, 其他
1
其中
0
(1) 求 的最大似然估计量; (2)用矩法求 的估计量. x 1 , 0 x 1 解:
x f ( x)
1最大似然估计L xi 1 n xi 1
16.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体 中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。 又设 Y ( X X X ) ( X X X ) 。试决定常数C,使 2 得随机变量CY服从 分布。 解： X N (0,1), Z1 X1 X 2 X 3 N (0, 3),
1
2
DX
2

2
2
12
＾2 1 ＾2 0.4033 ,
12
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8.设母体X的分布密度为 f(x)=
e
( x )
,x
0, x 0 e ( x ) , x 0, x 0
n i 1
试求 解：
的最大似然估计。
X f ( x)
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12. 在五块条件基本相同的田地上种植某种 农作物，亩产量分别为92，94，103，105， 106（单位：斤），求子样平均数和子样方 差。 解：作变换
1 1 yi xi 100, a 100, y yi 0 0 n i 5 x a y 100
0
1
1
dx
1
用 X 估计EX
X 1 X
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1 e 5.设母体X的密度为 f ( x) 2

x

, x
试求 的最大似然估计;并问所得估计量是 否的无偏估计. x x n 解： n 1 1 n