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j
*
)
具有这样的
性质：a i j 是第j*列的最大元素，是第i*行的最小元
* *
素。也就是说，对于纯局势 (
1 j n 1 i m
i
*
,jLeabharlann *) ，有下式成立：
m in a i * j m ax a ij *
定理2：
若 ( , ) 和(
i j
k
, t )
都是矩阵对策G的鞍点，
矩阵对策的数学模型
矩阵对策就是有限两人零和对策。即参加对策的 局中人只有两个，双方的利益是完全对抗的；每个局 中人都有有限个可供选择的策略；且在任一局势（在 对策论中，从每个局中人的策略集中各取一个策略组 成的策略组）中，一个局中人的所得即为另一个局中 人的所失，两个局中人的得失之和总等于零。 对于一个矩阵对策，当其3个基本要素确定后，这 个对策的数学模型也就给定了。如果给定了局中人Ⅰ、 Ⅱ的纯策略集合分别为S1、S2，局中人的支付矩阵为A， 则把这个矩阵对策的数学模型记为 G ={Ⅰ，Ⅱ；S1；S2；A }或G = {S1，S2；A }
n
i 1
（11-6） （11-7）
n
a ij y j V ( i 1, 2 , , m );
y j 0,
j 1
yj 1
j 1
定理4 （基本定理）： 任何一个矩阵对策 G ， 一定存在混合策略解
X
*
Y ， 。
*
矩阵对策的求解
• 图解法
【例11-7】用图解法求解矩阵对策 G ( S 1 , S 2 ; A ) ， 其中
m S 1 ( x1 , x 2 , , x m | x i 1且 x i 0, i 1, 2, , m , i 1 * n S 2 ( y 1 , y 2 , , y n | y j 1且 y j 0, j 1, 2, , n , j 1 *
则 ( , ) 和 (
i t
也都是G的鞍点（称为鞍点的可 交换性），且在鞍点处的值都相等（称为鞍点的 无差别性）。
k
, j)
【例11-6】某单位采购员在秋天时要决定冬季取暖 用煤的采购量。已知在正常气温条件下需要煤15吨， 在较暖和较冷气温条件下分别需要煤10吨和20吨。 假定冬季的煤价随天气寒冷程度而变化，在较暖、 正常、较冷气温条件下，每吨煤的价格分别为500元、 750元和1000元。又设秋季时每吨煤的价格为500元， 在没有关于当年冬季气温情况准确预报的条件下， 秋季时应采购多少吨煤能使总支出最少？
第一节 矩阵对策及其解法
本节的主要内容 • • • • • • 对策现象的三要素及其分类 矩阵对策的数学模型 最优纯策略 混合策略和混合扩充 矩阵对策基本定理 矩阵对策的求解
对策现象的三要素及其分类
对策现象三个基本要素：局中人(players) 、 策略集(strategies)和支付函数（赢得函数） (payoff function)。 对策现象的分类：根据局中人的数量分为 “两人对策”和“多人对策”；根据局中人之间 是否允许合作分为“合作对策”和“非合作对 策” ；根据局中人的策略集中的策略个数可分为 “有限对策”和“无限对策” ；根据局中人的支 付函数的代数和是否为零可分为“零和对策”和 “非零和对策”等。
A
0 1 1
1 0 1
1 1 0
最优纯策略
对策的值——一个矩阵对策G，如果其支付矩阵A 的元素满足：
m a x m in a ij m in m a x a ij
1 i m 1 j n 1 j n 1 i m
则称这个值V为矩阵对策G的值。 矩阵对策G的鞍点——如果纯局势 a G 的值V
2 ．解决方案 Rhenania的营销主管在运筹学建模方面具有很强 的背景。他意识到，邮购公司最大化单个邮购订单 的传统做法实际上是一个次优选择，因为它削弱了 活跃客户（在最近12个月内下过定单的客户）的基 础，从长远来看会减少公司的利润。他说服公司新 任CEO转而采用与传统做法背道而驰的运筹学优化 方法。 他领导的运筹团队开发了一个动态多层建模方法 （DMLM），以此来确定邮寄邮购目录的最佳频 率，根据顾客细分来优化邮购产品组合，并确定客 户何时接到“重新激活包”而不是目录。
的充要条件是：对任意 i S 1 , j S 2 ，有
H ( i , j * ) H ( i * , j * ) H ( i * , j )
(X 定理8：
*
,Y )
*
为对策
G {S1 , S 2 ; H }
的解的充要条件是：
对任意
X X ,Y Y
E E ( X , Y ) | X S1 , Y S 2 ,
* *
称
G { S1 , S 2 ; E }
* * *
为 G 的混合扩充。
矩阵对策基本定理
定理 3 对于给定的矩阵对策 G
*
{ S 1 , S 2 ; A} ， G * { S 1 *, S 2 *; E } 为
i j
* *
( i * , j * )
使
则称 ( , ) 为对策G的鞍点，也称它是对策G在纯 策略中的解，此时 i 与 分别为局中人Ⅰ和局中人 Ⅱ的最优纯策略。
i
*
j
*
*
j
*
【例11-3】对于一个矩阵对策G ={Ⅰ，Ⅱ；S1， S2；A}，其中 S { , , , } , S { , , }
1 A 1 0
G { S 1 , S 2 ; A}
，求对策
1 2 1
第二节
其他类型对策问题
本节的主要内容
• • •
二人无限零和对策 多人非合作对策 合作对策
二人无限零和对策
( 定理7：
i
*
, j* )
为 G { S 1 , S 2 ; H } 在纯策略意义下的解
• 问题 利用你所学的运筹学知识，提出自己的和 理化建议与改进方法，以增加管理效益。
实训设计
• 实训目标 掌握矩阵对策问题模型的建立和线性规划 法解法 • 实训内容与要求 在竞争中根据历史数据和调研获得矩阵对 策问题的支付矩阵。建立相应的矩阵对策 问题的数学模型，并利用线性规划法求解， 给出竞争最优策略和最优值。
3 ．成效评价 在一年之内，Rhenania从原来目录由购方式中转变过来， 其在德国的市场地位由第五提升到了第二。这种方法显然非 常有效，以至于Rhenania兼并了两个竞争者，其中包括世界 级出版巨头Springer Verlag的一个子公司。 Rhenania的CEO Frederick写道：“今天，DMLM已经在 Rhenania得到完全的实施。邮寄的每一个地址都经过这一算 法的选择。自从实行以来，和大多数竞争对手相比，的表现 确实好得多。现在正在获得本行业之外的市场份额。不久以 前还在通过兼并获得市场份额。一模型不但在经济上带来了 如此显著的改进，他还是一个很好的预测工具，能看到未来 12月内活跃客户、销售额和利润的变化情况。”
a
j 1 n ij
y j E ( X ,Y )
* * *
a
i 1
m
ij
xi
*
（11-5）
（3）存在数 V，使得
V E ( X ,Y ) ：
* *
X ,Y
*
*
是下列两组不等式的解，且
m
a
i 1
m
ij
x i V ( j 1, 2, , n ); x i 0,
xi 1
混合策略和混合扩充
•混合策略——对于矩阵对策 G 是 S1上的一个概率分布 ( x i
m i 1
{ S 1 , S 2 ; A}
，X
( x1 , x 2 , , x m )
0, x i 1)
，局中人Ⅰ分别以
概率 x1 , x 2 , , x m 采用策略 1 , 2 , , m ，则称X ( x1 , x 2 , , x m ) 是局中人Ⅰ的一个混合策略。 •混合扩充——给定一个矩阵对策 G { S 1 , S 2 ; A} 。设 S*1是S1上一切混合策略的集合，S*2是S2上一切混合 策略的集合：
2 A 7 3 5 11 2
• 线性方程组法 【例11-9】给定一个矩阵对策G ( S 1 , S 2 , A ) ，求 对策G的值与解。其中
1 A 1 1 1 1 2 1 3 1
• 线性规划法 线性规划法可以求解任一矩阵对策。 【例11-10】给定一个矩阵对策 G的值与解，其中
第三节 对策论在物流企业竞争策略 分析中的应用
• 第三方物流契约的双方之间的博弈 收益矩阵
混合策略解 因此可以得到：M
1
P F P C /2
M
2
F C /2 F PC /2
同理可得： N
1
C /2 F D C /2
N2
F D C F D C /2
解的含义
案例分析
Rhenania：运用动态多层模型优化邮购业务 1．问题描述 Rhenania是德国一家直接邮购公司。1996年， Rhenania的CEO面临着多重挑战：销量持续下滑、市 场份额萎缩和利润下降。尽管Rhenania已按标准的营 销方法来管理客户联系工作。、为每类邮购目录竞选 最佳客户，为每个邮件选择最好的顾客，公司经营情 况还是低迷不振。而且当Rhenania努力增加单个邮购 订单的利润时，其客户基数还出现了萎缩。公司求助 于优化和战略计划方面的运筹学技术，来扩大其客户 基数，增加公司利润。
