高等电磁场作业
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10-1 试利用等效原理，计算如图10-7所示的通向接地导电平面的矩形波导开口端的辐射场（假定开口端的x E 为TE 10波的电场）。
解：根据等效原理，求导体平面右半空间的辐射场时，可以用导体将波导开口封闭，再加上面磁流来等效，再应用镜像法，使之等效为无限大自由空间的辐射问题，等效的面磁流为原来的两倍，因为开口端的x E 为TE 10波的电场，则有：
等效的面磁流为： 0022cos 2cos x s s M y E y xE z E z b b ππ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
在(),0,s s x z 处的小磁流在点(),,r θϕ产生的辐射场为（设R 为小磁流到P 点的距离）
0sin sin cos 2jkR jkR s s s s s jE j e e dH Mdx dz z dx dz R R b θθθπηληλ--⎛⎫
== ⎪⎝⎭
设r 为原点到P 的距离，则有：
R =
在球坐标系中，sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r θϕθϕθ=== 所以：
R =
考虑到,s s x y r ，利用二项式定理展开并只保留前两项，得：
sin cos cos s s R r x z θϕθ=--
又因为在远区场R r ≈，所以在P 点的辐射场为：
y
0sin cos cos 0sin cos cos 0222
2
sin cos sin cos sin cos s s s s jkR s s s s
jkr
jx z s s s s
a
b jkr
jkx jkz a b s s s
jE e H z dx dz R b jE e e z dx dz r b jE e e
dx
z e dz r
b θθϕθθϕ
θθ
πηλ
θπηλθπηλ--+---⎛⎫
=
⎪⎝⎭⎛⎫=
⎪⎝⎭⎛⎫
=
⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
因为：
cos cos 222
2
cos 22
cos 2
2
cos sin 2sin cos sin 2
2cos cos cos sin 22cos cos 2s s s s b b
jkz jkz b b s s s b
jkz b s s b
jkz b s s
b
z e dz e d z b b b
b b e z jk z b b b b b b k jk z e dz b b
b k θθθθπ
ππππθπππθθππθπ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛= ⎝⎰⎰⎰⎰ cos 2
2
cos cos cos s b
jkz b s s
b b jk jk z e dz b θπθθππ-⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎭⎝⎭⎰
所以：
sin cos sin cos 2
sin cos 2sin cos sin cos 22sin cos 222sin sin cos 2sin cos s s a jkx jkx a s jk a a
jk jk jk a
e e
dx a
a k e e k θϕ
θϕθϕθϕθϕθϕ
θϕθϕ
--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-⎛⎫ ⎪-⎝⎭==⎰()
cos 2
222
22cos cos 2cos 1cos 2cos cos 2cos s b jkz b s s b
b k z e dz b b k b b k bk θθππθππθπθ-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪⎝⎭⎛⎫
- ⎪⎝⎭
⎛⎫
⎪
⎝⎭=-⎰
又因为：2k
π
λ=
所以：矩形波导开口端的辐射场为：
()()022
02
22sin sin cos 2cos cos sin 222sin cos cos cos cos 22sin sin cos 2cos cos jkr jkr a b k b k jkE e H r k bk b k j bE e a k r bk θθϕπθθπηθϕπθθθϕηϕπθ--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫
⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪⎡⎤
⎝⎭-⎣⎦。
