小升初数学培优讲义全46讲—第24讲 牛吃草问题

小升初数学牛吃草问题
1．牧场上长满了牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧草可供18头牛吃30天，或者可供24头牛吃20天，有若干头牛在牧场上方牧，6天后，卖了4头牛，余下的牛再吃两天将牧草全部吃完，那么牧场上原来共有多少头牛在吃草？
【分析】根据“这片牧草可供18头牛吃30天，或者可供24头牛吃20天”条件求出：草的生长量和牧场的原有草量；再把有“卖牛”看作是“没卖牛”条件，这样就变为“原有牛都吃了8天”，只是原有牛都吃了8天草的总草量比有卖牛的情况多出了4头牛2天吃的量，确定了这些原有牛吃的草总量，进而就能求出这些牛的头数了．
【解答】解：草的生长量是（18×30﹣24×20）÷（30﹣20）＝60÷10＝6（份）
牧场原有草的总量是18×30﹣6×30＝360（份）
这些若干牛都吃了8天的草总量是360+6×（6+2）+4×2＝416（份）
416÷（6+2）＝52（头）
答：牧场上原来共有52头牛在吃草．
【点评】学会改动一下条件，靠到“牛吃草问题公式”上来，就可解决这类问题了．
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学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。

可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。

可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

学科培优数学“牛吃草问题”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位牛吃草问题的概念:英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。

书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”，也就是我们今天要学的牛吃草问题。

牛吃草问题实际上是在教我们一种分析题的思想，这种题的类型和解题思想是小升初的考试热点知识梳理“牛顿问题”是这样的：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。

如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。

”分析本题就给了牛的头数，和吃草的时间。

设想如果题目给我们操场原有的草量和草的生长速度那么题目就变得简单多了，所以需要我们通过设每头牛每天的吃草速度为“1”来求这两个量。

解决牛吃草问题常用到四个基本公式：(1)草的生长速度＝(对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数－吃的较少天数)(2)原有草量＝(牛头数－草的生长速度)×吃的天数(3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)(4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度【授课批注】关于牛吃草这样的题有很多的变例，像抽水问题，超市开口人等待问题，扶梯行走，行程中的追及问题等等，所以不提倡大家生搬这个公来做题，要理解解题的思路和解题的目的，用画图或列表法来解题。

才能做到举一反三。

本讲主要解决纯牛吃草问题，关于牛吃草变型题我们留下以后解决。

小升初数学牛吃草问题
1．有一片草地，32头牛可以吃12天，或24头牛吃18天，问16头牛可以吃几天？
【分析】设每头牛每天吃草1份，根据“32头牛可以吃12天，或24头牛吃18天．”可以求出草每天生长的份数：（24×18﹣32×12）÷（18﹣12）＝8（份）；再根据“24头牛吃18天，”可以求出草地原有的草的份数：（24﹣8）×18＝288（份）；由于草每天生长8份，可供16头牛中的8头吃，剩下的8头吃草地原有的288份，可吃288÷8＝36（天）；
问题得解．
【解答】解：设每头牛每天吃草1份，则草每天生长：
（24×18﹣32×12）÷（18﹣12）
＝（432﹣384）÷6
＝48÷6
＝8（份）；
原有的草量：（24﹣8）×18＝288（份）；
16头牛吃：288÷（16﹣8）
＝288÷8
＝36（天）；
答：16头牛可以吃36天．
【点评】此题属于典型的牛吃草的最基本类型的题目，只要设出每头牛每天吃“1”份草，求出牧场每天的长草量和牧场原有的草量，问题即可解决．
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六年级下小升初典型奥数之牛吃草问题在六年级下册的小升初奥数学习中，“牛吃草”问题可是一个常常让同学们感到困惑，但又十分有趣和富有挑战性的经典题型。

那到底什么是“牛吃草”问题呢？咱们一起来瞧瞧。

“牛吃草”问题，简单来说，就是一群牛在一片草地上吃草，草在不断生长，牛吃草的速度和草生长的速度都已知或者需要我们通过条件去求解，然后让我们算出这片草地能够供这些牛吃多少天，或者在规定时间内有多少头牛能把草吃完。

比如说，有这样一道题：一片草地，每天都匀速长出青草。

如果 27 头牛 6 天可以把草吃完，或者 23 头牛 9 天可以把草吃完。

那么，假设要 12 天吃完这片草地上的草，需要多少头牛？要解决这类问题，咱们得先搞清楚几个关键的量。

首先是原有的草量，也就是在牛还没开始吃之前草地上本来就有的草的数量；然后是草每天的生长量，这是因为草不是一成不变的，它每天都在生长；还有就是牛每天的吃草量。

那怎么算出这些量呢？咱们可以通过设未知数来解决。

假设每头牛每天的吃草量为 1 份。

27 头牛 6 天的吃草量就是 27×6 ＝ 162 份，23 头牛 9 天的吃草量就是 23×9 ＝ 207 份。

为什么这两个吃草量不一样呢？这是因为草多生长了 9 6 ＝ 3 天。

所以这 3 天草生长的总量就是 207 162 ＝ 45 份，那么草每天的生长量就是 45÷3 ＝ 15 份。

既然知道了草每天生长 15 份，那么原有的草量就可以算出来啦。

27 头牛 6 天一共吃了 162 份草，在这 6 天里，草一共生长了 15×6 ＝90 份，所以原有的草量就是 162 90 ＝ 72 份。

现在咱们来算如果要 12 天吃完这片草地上的草，需要多少头牛。

12 天里草一共生长了 15×12 ＝ 180 份，原有的草量是 72 份，那么 12 天里一共要吃的草量就是 72 ＋ 180 ＝ 252 份。

第24讲牛吃草问题考点解读1、考察范围：图示、图表或类推法解决问题。

2、考察重点：主要考察学生的分析能力。

在变量中抓住两个不变量。

3、命题趋势：牛吃草问题难度比较大，历年考试出现的不是很多，但是对于训练数学思维能力有重要的作用。

知识梳理一、“牛吃草问题”涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。

难点在于随时间的增长，草也在按均匀的速度增长，所以，草的总量不固定。

二、解“牛吃草问题”的主要依据：①草每天的生长量不变；②每头牛每天的吃草量不变；③草的总量＝草场原有的草量＋新生长出的草量。

（草场原有草量是一个固定值）④新生的草量＝草每天的生长量×天数三、同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：①设定1头牛1天的吃草量为“1”；②草的生长速度＝（对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数）÷（较多天数－较少天数）；③原来的草量＝对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；④吃的天数＝原来的草量÷（牛的头数－草的生长速度）；⑤牛的头数＝原来的草量÷吃的天数＋草的生长速度。

“牛吃草问题”有很多的变型，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草问题”的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。

典例剖析【例1】一片草地以均匀的速度增长，10头牛可以吃40天，15头牛可以吃20天，那么25头牛可以吃多少天？【变式练习】1、一片草地以均匀的速度增长，27头牛可以吃6周，23头牛可以吃9周，那么21头牛可以吃多少周？2、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等候检票的的队伍消失，同时开4个检票口需要30分钟，同时开5个检票口需要20分钟。

如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？【例2】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10人淘水，3消失淘完；如果5人淘水，8小时淘完。

小升初数学牛吃草问题
1．两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走．在20秒钟里，男孩可走27级台阶，女孩可走24级台阶，男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共有多少级台阶？
【分析】我们可把“孩子看作是“牛”，台阶看作是草”，这样根据“牛吃草的公式”，可先求“草增长的速度即自动扶梯的运行速度为0.9级/秒”；之后可同样依据“牛吃草公式”
求得“原有的草量”即扶梯的台阶级数为54级．
【解答】解：2分钟＝120秒，3分钟＝180秒
24÷20×180﹣27÷20×120＝54（级）
54÷（180﹣120）＝0.9（级/秒）
（24÷20﹣0.9）×180＝54（级）
答：该扶梯共有54级台阶．
【点评】解答此题的关键是要明确题目中的什么相当于“牛”，什么相当于“草”，之后灵活运用好“牛吃草问题”的公式，即可轻松解答．
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小升初数学专题四牛吃草问题英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。

这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？解题关键：牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。

解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；4、最后求出可吃天数想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。

把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。

求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。

解：新长出的草供几头牛吃1天：（10×22-16×1O）÷(22-1O）=（220-160）÷12=60÷12=5（头）这片草供25头牛吃的天数：（10-5）×22÷（25-5）=5×22÷20=5.5（天）答：供25头牛可以吃5.5天。

----------------------------------------------------------------“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。

如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。

这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。

例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。

小升初数学里的牛吃草问题大家好！今天我们来聊一个大家都很熟悉的“小升初数学题目”——牛吃草的问题。

你可能会问了，这不就是一头牛在草地上吃草，结果给我们出一道题嘛。

对，没错！不过别看这题目简单，里面的学问可大了！你想，假如你是牛，草是你的食物，这道题就能给你带来点脑洞大开的乐趣。

让我们带着轻松的心情一探究竟。

牛吃草的题目，一般来说，都是在考你对时间、人数、单位等基本数学概念的理解。

有的题目是“一头牛吃掉多少草”，有的题目是“几头牛在多少时间内吃完这些草”，看似简单，做起来却常常让人头大。

要是咱们不把这些条件搞清楚，最后的结果就会像牛吃草一样，乱七八糟的！说白了，牛吃草的问题其实就是在测试你对数学比例的理解。

你看，这些问题的基础其实就是“时间”与“草量”的关系。

想象一下，假设你是这块草地上的一头牛，草地上一开始的草很多，甚至比你还多。

你一口口地吃，草是越来越少，但总有一刻草地上的草会被吃完。

所以，题目里的条件就开始变得有意思了。

比如，题目问：“两头牛吃草，3天能吃完10平方米的草，那一头牛吃多少天能吃完同样的草？”哎呀，这可就不好办了。

别急，咱们先看清楚题目。

牛吃草的速度不变，两头牛吃草的速度就变成了两倍。

如果是两头牛，3天能吃完10平方米的草，那一头牛就得6天吃完。

所以啊，这道题的关键就在于找出每个小小的变化背后的规律。

这时候，很多同学可能就会想，哎呀，这不就直接用乘法和除法算了吗？没错！但我们得注意，不是每个问题都能这么简单。

有些题目一开始看起来像是小菜一碟，结果考出来让人抓耳挠腮。

这时候，我们的目标就是找出问题背后的数学逻辑，而不是盯着草的数量一头扎进去。

记住，牛吃草这个题目，实际上考的就是你的比例关系和逆向思维的能力。

说到底，牛吃草的问题和咱们平时生活中的一些情境挺像的。

就像你跟朋友一起分一个大西瓜，大家一起吃肯定比一个人吃得快。

一个人吃完西瓜可能要两小时，两个人吃可能一个小时就能吃完。

所以，牛吃草问题的答案，就是在用数学的眼光来看看，几头牛一共能在多短的时间内吃完草。

牛吃草问题【小升初前沿】牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。

“一堆草可供10 头牛吃 3 天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3X10弋=5 （天）。

如果把“一堆草” 换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。

因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。

这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。

解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。

牧场上原有的草是不变的，新长出来的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。

正确计算草地上原有的草及每天长出的新草，问题就容易解决了。

【考点攻略】生长模型：（1）设定一头牛一天吃草量为“ 1”（2）草的生长速度=（对应的牛头数＞吃的较多天数-对应的牛头数X吃的较少的天数）十（吃的较多的天数-吃的较少的天数）（3）原有草量=牛头数X吃的天数-草的生长速度X吃的天数求：（4）吃的天数=原有草量十（牛头数-草的生长速度）或（5）牛头数=原有草量却吃的天数+草的生长速度。

枯萎模型：（1）设定一头牛一天吃草量为“ 1”（2）草的生长速度=（对应的牛头数X乞的较少天数-对应的牛头数X吃的较多的天数）十（吃的较多的天数-吃的较少的天数）（3）原有草量=牛头数X吃的天数+草的生长速度X吃的天数求：（4）吃的天数=原有草量十（牛头数+草的生长速度）或（5）牛头数=原有草量却吃的天数-草的生长速度。

牢记两类模型，理解模型的计算方法和原理，并且能够正确的分析题目，理解题目，就可以轻而易举的解决“牛吃草问题”。

【真题试炼】【例1】一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27 头牛吃 6 周或者23 头牛吃9 周。

那么这片草地可供21 头牛吃几周？【练1】牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供10 头牛吃20天，或者可供15 头牛吃10 天。

问可供25 头牛吃几天？【练2】一片草地，每天都匀速长出青草。

如果可供24 头牛吃 6 天，20 头牛吃10 天吃完。