小升初数学培优讲义全46讲—第40讲 容斥原理

XX小升初奥数知识点：容斥原理、余数问题小升初奥数知识点：容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

例一次期末考试，某班有1人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?分析依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。

答案+12-4=23试一试电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。

两个频道都没看过的有多少人?00-=1小升初奥数知识点讲解：余数问题一、同余的定义：①若两个整数a、b除以的余数相同，则称a、b对于模同余。

②已知三个整数a、b、，如果|a-b，就称a、b对于模同余，记作a≡b，读作a同余于b模。

二、同余的性质：①自身性：a≡a；②对称性：若a≡b，则b≡a；③传递性：若a≡b，b≡，则a≡；④和差性：若a≡b，≡d，则a+≡b+d，a-≡b-d；⑤相乘性：若a≡b，≡d，则a×≡b×d；⑥乘方性：若a≡b，则an≡bn；⑦同倍性:若a≡b，整数，则a×≡b×；三、关于乘方的预备知识：①若A=a×b，则A=a×b=（a）b②若B=+d则B=+d=×d四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数，n表示的各个数位上数字的和，则≡n或（d3）；②一个自然数，X表示的各个奇数位上数字的和，表示的各个偶数数位上数字的和，则≡-X或≡11-（X-）；五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1。

学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。

可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。

可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。

这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。

这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。

1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念2.利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。

一. 容斥原理的概念定义在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

我们用|A|表示有限集A 的元素个数。

求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。

图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。

用法：包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）二.竞赛考点1.容斥原理的基本概念2.与数论相结合的综合型题目例题精讲【试题来源】【题目】在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。

容斥原理【知识点归纳】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B（其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．容斥原理2：三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C1．三年级共有80名同学参加书法兴趣小组和美术兴趣小组，其中参加书法组的有52人，参加美术组的有48人．那么，既参加书法组又参加美术组的有多少人？2．我们班参入调查了饭后吃水果情况：30人喜欢吃苹果，27人喜欢吃梨，10人两种都喜欢，问我们班有多少人？3．同学们收集图片．张明、李红、蔡正明、王丹、熊威、高伟、梅芳7个人收集了名山图片，吴凤、李红、王丹、戴月红、高伟这5人收集了河流图片，吴心怡、张冬、李可这3人收集了奥运图片．（1）收集名山图片和奥运图片的共有多少人？（2）收集名山图片和河流图片的共有多少人？4．在校运动会上，共有30人参加跳远和跳高。

参加跳远的有18人，参加跳高的有22人，既参加跳远又参加跳高的有多少人？5．三（1）班有48人，其中订《少年报》的有32人，订《数学报》的有38人，有25人两份报都订。

目录第01讲简便计算（一） (01)第02讲简便计算（二） (09)第03讲简便计算（三） (17)第04讲定义新运算 (25)第05讲数的整除 (31)第06讲比较数的大小 (38)第07讲数论专题（一） (44)第08讲数论专题（二） (49)第09讲分数应用题（一） (59)第10讲分数应用题（二） (65)第11讲比的应用（一） (71)第12讲比的应用（二） (78)第1讲 简便计算（一）1、考察范围：运算法则、定律、性质和公式。

2、考察重点：四则混合运算、交换律、结合律、分配律。

3、命题趋势：根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。

1、基本公式.乘法交换律：a b b a ⨯=⨯ 加法交换律：a b b a +=+乘法结合律：)(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯ 加法结合律：)(c b a c b a ++=++ 乘法分配律：c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)( 2、去括号法则：括号前面是加号时，去掉括号，括号内的符号不变：c b a c b a ++=++)( 括号前面是减号时，去掉括号，括号内的符号改变：c b a c b a --=+-)( 括号前面是乘号时，去掉括号，括号内的符号不变：c b a c b a ÷⨯=÷⨯)( 括号前面是除号时，去掉括号，括号内的符号改变：c b a c b a ÷÷=⨯÷)(【例1】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-⎪⎭⎫ ⎝⎛÷+-⨯⨯09.05321323.11857.66.35333.431【变式练习】 1、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯81584.0916.1527考点解读知识梳理典例剖析2、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯+÷15.03.031125.63115.3【例2】 475759759975999759999⨯++++【变式练习】 1、659999965999965999659965965+++++2、2008200620001998199719961995++++++【例3】 31151157÷【变式练习】 1、2019201812020÷2、655161544151433141⨯+⨯+⨯【例4】2021202020202020÷【变式练习】 1、2013201220122012÷【例5】⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++201812017120161201912018120171201611201912018120171201612018120171201611【变式练习】 1、⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++91715131111917151311111917151319171513112、⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++5141312151413111514131514131211【例6】100910102019201810102019+⨯⨯+【变式练习】 1、202020182019120202019⨯+-⨯2、143138058419921991584204--⨯⨯+A 、温故知新1、()[]25.036.263.12.0242.3825.016.35÷--⨯÷+⨯2、⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷20725.22034431187125 3、544156766171833185⨯+⨯+⨯4、()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⨯÷+837356999111 5、439999439994399439+++课后精练6、2005200420042004200620032003÷+ 7、⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++51413121141315141312114131 8、⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++514131216151413121161514131215141312119、201720152016120172016⨯+-⨯B 、拓展提升1、（长郡系）4141312111++++2、（附中系）()()564561126129187125.025.05.0125.025.05.0⨯-+⨯⨯⨯⨯÷++3、（附中系）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+7115113118116114112114、（雅礼系）433141544151655161766171877181⨯+⨯+⨯+⨯+⨯第2讲 简便计算（二）1、考察范围：分数乘、除法计算法则。

容斥原理例题在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理。

为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。

在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑。

如：A=｛五（1）班全体同学｝。

我们称一些事物的全体为一个集合。

A=｛五（1）班全体同学｝就是一个集合。

例1. B=｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体的有无限多个元素的集合。

例2. C=｛在1，2，3，…，100 中能被3 整除的数｝=｛3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。

例3. 通常集合用大写的英文字母A、B、C、…表示。

构成这个集合的事物称为这个集合的元素。

如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A 的一个元素。

又如在例1 中任何一个自然数都是集合B 的元素。

像集合B 这种含有无限多个元素的集合称为无限集。

像集合C 这样含有有限多个元素的集合称为有限集。

有限集合所含元素的个数常用符合︱A︱、︱B︱、︱C︱、…表示。

例4. 记号A∪B 表示所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，就是下边示意图中两个圆所覆盖的部分。

集合A∪B 叫做集合A与的并集。

“∪”读作“并”，“A∪B”读例5. 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝。

元素2，4 在集合A、B 中都有，在并集中只写一个。

记号A∩B 表示所有既属于集合A 也属于集合B 中的元素的全体。

就是上面图中阴影部分所表示的集合。

即是由集合A、B 的公共元素所组成的集合。

它称为集合A、B 的交集。

符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A 交B”。

如例3 中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。

例6. 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝，A=｛属于集合，但不属于集合A 的全体元素｝=｛1，9｝。

我们称属于集合I 但不属于集合A 的元素的集合为集合A 在集合I 中的补集（或余集），如下图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I），常记作A。

【小学四年级奥数讲义】容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。

Nab NbNa二、精讲精练：例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

练习一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。

那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。

两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。

两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。

容斥原理容斥原理教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算•求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AUB A B AI B（其中符号“ U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理•图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AI B，即阴影面积•图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AI B，即阴影面积.包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A B的并集AUB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合 A B的元素个数，然后加起来，即先求 A B（意思是把 A B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C AI B（意思是“排除” 了重复计算的元素个数）•、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A 类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A 类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数•用符号表示为：AU BU C A B C AI B BI C AI C AI BI C •图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数.总 --------------------------1.先包含：ABC重叠部分AI B、BI C、C I A重叠了2次，多加了 1 次.再排除:在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.例题精讲模块一、两量重叠问题【例1】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加.这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？（2级）【巩固】芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？（2级）【巩固】四（二）班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人.【巩固】⑴问语文数学都写完的有多少人？【巩固】⑵只写完语文作业的有多少人？（2级）【例2】某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了•这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？（2级）【巩固】四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了•一班有多少人两项比赛都没有参加？（2级）【巩固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人•这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？（2级）【例3】某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？（4级）【例4】对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人.两项都会的有10人，两项都不会的有9人.这个班一共有多少人？（4级）【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？（4级）【例5】在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？（4级）【例6】甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃.那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？（4级）【例7】育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？（4级）【例8】47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人.问：两门都在95分以上的有多少人？（4级）【巩固】（第二届小学迎春杯数学竞赛）有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语•问既懂英语又懂俄语的有多少人？（4级）【例9】一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了•已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42 人•这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？（4级）【巩固】四年级科技活动组共有63人•在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人•每个同学都至少完成了一项活动•问：同时完成这两项活动的同学有多少人？（4级）【巩固】科技活动小组有55人.在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人•每个同学都至少完成了一项制作•问两项制作都完成的同学有多少人？（4级）【例10】一次数学测验，甲答错题目总数的1，乙答错3道题，两人都答错的4题目是题目总数的1•求甲、乙都答对的题目数.（6级）【例11】小赵、小钱、小孙、小李、小周、小吴、小郑、小王，这8名同学站成一排•其中小孙和小周不能相邻，小钱和小吴也不能相邻，小李必须在小郑和小王之间（可相邻也可不相邻）•则不同的排列方法共有_______ 中•（6级）模块二、三量重叠问题【例12】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人•其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人•而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？（6级）【巩固】某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好•问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？（6级）【例13】四年级一班有46名学生参加3项课外活动•其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3. 5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人•求参加文艺小组的人数.（6级）【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项•其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4 人.求这个班的学生人数.（6级）【解析】光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？（6级）【例14】新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出•如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有•（6级）【巩固】五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数•（6级）【巩固】六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项•其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人•问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？（6级）【例15】在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕.2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕•问：⑴ 三种都带了的有几人？⑵ 只带了一种的有几个？（8级）【巩固】盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1 人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要•（8级）【例16】全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰, 这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀•若全班有6个人数学不及格，那么，【例17】⑴ 数学成绩优秀的有几个学生？【例18】⑵ 有几个人既会游泳，又会滑冰？（8级）【巩固】五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人.那么，参加B组的有________ . （8级）【例19】五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个.其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？（8级）【例20】在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子•如果参与采摘水果的总人数是100，你能回答下列问题吗？【例21】①有_____ 人摘了山莓；【例22】② 有____ 人同时摘了三种水果；【例23】③有_____ 人只摘了山莓；【例24】④ 有____ 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；【例25】⑤有_____ 人只摘了草莓•（6级）【例26】某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛?8级）模块三、图形中的重叠问题【例27】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条•已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？（2级）【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条•已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？（2级）【例28】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状•把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？（2级）图3【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面 积•（ 2级）【巩固】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长 4厘米的正方形，求这个组合图形 的面积.（2级）【例29】三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米.三个纸片盖住桌面的总面积是100厘 米.问：图中阴影部分面积之和是多少？ （ 4级）【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30,甲与乙、乙与丙、甲与 丙重合部分的面积分别为6, 8, 5,而3个圆覆盖的总面积为73•求阴影部分的面12积•（4级）【例30】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米•阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？（6级）【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38 .若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3 .求A与C公共部分的面积是多少？（6级）。

[第48讲]容斥原理容斥原理是组合数学中的一个重要思想和方法，广泛应用于概率、数论、代数等领域。

它的提出可以追溯到17世纪法国数学家皮埃尔·韦尔马（Pierre de Fermat）和格雷戈里·笛卡尔（René Descartes）的时代。

容斥原理主要用于解决包含多个集合的问题。

具体而言，假设有n个集合A1,A2,…,An，我们希望求出这些集合的并集的元素个数。

这个问题可以通过容斥原理来解决。

首先，我们可以定义一个指示函数χ，它的定义如下：χ(Ai)=1，如果元素x属于集合Ai；χ(Ai)=0，如果元素x不属于集合Ai。

然后，我们可以利用这个指示函数来表示并集的元素个数：A1∪A2∪…∪An，=Σχ(Ai)。

根据容斥原理，我们可以得到如下的计数公式：A1∪A2∪…∪An，=Σχ(Ai)=∑（-1）^k+1*Σ1≤j₁<j₂<…<jₖ≤nχ(Aj₁∩Aj₂∩…∩Ajₖ)。

这个公式的具体含义是：首先，我们将所有集合Ai的指示函数相加。

然后，对于所有k个集合的交集，我们分别计算它们的指示函数，并根据交集的个数来调整正负号。

最后，将所有这些结果相加，就可以得到并集的元素个数。

容斥原理的一个重要应用是求解包含多个限制条件的问题。

考虑一个问题，有n个物品，每个物品分别满足条件Ci。

我们希望求解满足所有条件的物品个数。

假设集合Ai表示满足条件Ci的物品集合，那么根据容斥原理，我们可以得到如下的计数公式：A₁∩A₂∩…∩An，=Σ(-1)^(k+1)*Σ₁≤j₁<j₂<…<jₖ≤n，Aj₁∩Aj₂∩…∩Ajₖ。

这个公式的具体含义是：首先，我们将所有满足条件Ci的物品集合的交集个数相加。

然后，对于所有k个集合的交集，我们分别计算它们的个数，并根据交集的个数来调整正负号。

最后，将所有这些结果相加，就可以得到满足所有条件的物品个数。

容斥原理在解决概率问题时也非常有用。

容斥原理【知识点讲解】1、原理容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

2、解释由图可以直接看出各部分之间的关系由Venn图可知：（A∪B=A+B-A∩B)由Venn图可知：（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）3、应用两类如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

三类如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

4、解题导语使用容斥原理一般用于集合相关问题中，但是此类思想在数学学习中仍有巨大作用。

例如在计数原理中使用间接法等等。

因此学习此类问题对数学能力的提升是有很大帮助的，它可以帮助你换一个角度看数学题，从而找到更简单的办法。

【例题详析】例1、（2020宁夏）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（）A ．80B ．70C ．60D ．50【参考答案】B【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有90-60=30位，因为阅读过《红楼梦》的学生共有80位，所以只阅读过《红楼梦》的学生共有80-60=20位，所以只阅读过《西游记》的学生共有30-20=10位，故阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70位，【方法解析】由两类的容斥原理得：总人数=阅读过《西游记》+阅读过《红楼梦》-阅读过《红楼梦》和《西游记》的，由此得阅读过《西游记》的学生人数=90+60-80=70（位）例2：某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有（）名．A ．62B ．56C ．46D ．42【参考答案】C【详解】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A ，B ，依题意，集合A ，B ，A B 中元素个数分别为：()60,()82,()96n A n B n A B ==⋃=，则()()()()60829646n A B n A n B n A B ⋂=+-⋃=+-=，所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有46名.例3．某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（）A ．120B ．144C ．177D ．192【参考答案】A 【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,,A B C 表示，则()63,()89,()47,()24card A card B card C card A B C ===⋂⋂=不妨设总人数为n ，韦恩图中三块区域的人数分别为,,x y z即()24,()24,()24card A B x card A C y card B C z ⋂=+⋂=+⋂=+46x y z ++=，由容斥原理：15()()()()()()()n card A card B card C card A B card A C card B C card A B C -=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂638947(24)(24)(24)24x y z =++-+-+-++解得：120n =【跟踪训练】一、单选题1．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（）A ．27B ．23C ．15D ．72．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（）．A．25种B．27种C．29种D．31种3．为了丰富同学们的课外生活，某班58名同学在选课外兴趣小组时，选择篮球小组的有28人，选择乒乓球小组的有36人，既没有选择篮球小组又没有选择乒乓球小组的有12人，那么选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为（）A．8B．10C．18D．204．某班有50名同学，有20名同学既不选修足球课程也不选修篮球课程，有18名同学选修了足球课程，28名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有（）名A．10B．12C．14D．165．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生3000人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了500名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（）人A．240B．180C．120D．606．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：等级优秀合格合计项目除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A．5B．10C．15D．207．高考“33 ”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.48．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.89．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为45％，电视机拥有率为55％，洗衣机拥有率为65％，拥有上述三种电器的任意两种的占35％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的农户所占比例是（）A．20％B．10％C．15％D．12％10．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5二、填空题11．学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．12．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为__________．13．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.14．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．15．某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人.设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为x，则x的最小值是_________.16．网络流行词“新四大发明’’是指移动支付､高铁､网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100名学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90名，使用过移动支付的学生共有80名，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60名，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为___________. 17．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________. 18．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则只喜欢其中一项运动的人数为________19．某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人___________.20．某班进行集体活动，为活跃气氛，班主任要求班上60名同学从唱歌、跳舞、讲故事三个节目中至少选择一个节目、至多选两个节目为大家表演，已知报名参加唱歌、跳舞、讲故事的人数分别为40，20,30，同时参加唱歌和讲故事的有15人，同时参加唱歌和跳舞的有10人，则同时只参加跳舞和讲故事的人数为__________．21．对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生有________人. 22．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________【参考答案】1．B【详解】设高三（1）班有50名学生组成的集合为U ,参加田赛项目的学生组成的集合为A ，参加径赛项目的学生组成的集合为B由题意集合A 有15个元素，B 有20个元素，A B 中有8个元素所以A B 有15+20827-=个元素.所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为5027=23-故选：B2．C【详解】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有19316-=（种)；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是1416129+-=（种)；分别用集合A 、B 、C 表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，如图所示．故选：C ．3．B【详解】设既选择篮球小组又选择乒乓球小组的有x 人，则选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的有()28x -人，选择乒乓球小组但没有选择篮球小组的有()36x -人.由题意可得()()12283658x x x +-+-+=，解得18x =，所以选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为2810x -=.【详解】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有x 名，由容斥原理得20182850x ++-=，解得16x =.故选：D.5．B【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为x ，由题意可得()102040x -+=，解的30x =，因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为303000180500⨯=.6．C【详解】用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示植树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则U A ð表示除草合格的学生，则U B ð表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=．故选：C ．【详解】选择物理的学生人数为40301020-+=，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为200.2100=．故选：B8．C【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选C.9．A【详解】解：设农户总共为100家，则有55家农户有电视机，45家农户有电冰箱，65家农户有洗衣机，有25家农户同时拥有这三种电器，另外75家只有其中两种或一种或没有电器．设只有电冰箱和电视机的农户有a 家，只有电冰箱和洗衣机的农户有b 家，只有洗衣机和电视机的农户有c 家，只有电视机、电冰箱、洗衣机的分别有d 、e 、f 家，没有任何电器的农户有x 家．那么对于拥有电冰箱的农户可得出：2545a b e +++=①那么对于拥有电视机的农户可得出：2555a c d +++=②那么对于拥有洗衣机的农户可得出：2565b c f +++=③把上面三个式子相加可得：()290a b c d e f +++++=④对于拥有上述三种电器的任意两种的占35%，得到：35a b c ++=⑤把⑤代入④可得到20d e f ++=⑥因为农户共有100家，所以25100a b c d e f x +++++++=，把⑤和⑥代入上式得到20x =，即一种电器也没有的农户所占比例为20%，10．C【详解】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A ，B ，C ，集合A ，B ，C 中元素个数分别为n A ．，n B ．，n C ．，则n A ．14=，n B ．10=，n C ．8=，()20n A B C ⋃⋃=，因为()n A B C n ⋃⋃=A ．n +B ．n +C ．()()()()n A B n A C n B C n A B C -⋂-⋂-⋂+⋂⋂，且()()n A B n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n A C n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n B C n A B C ⋂⋂⋂ ，所以1410820()3()n A B C n A B C ++-+⋂⋂⋂⋂ ，即1410820()62n A B C ++-⋂⋂= ．故选：C ．11．52【详解】解：设参加羽毛球赛为集合A ，参加乒乓球赛为集合B ，依题意可得如下韦恩图：所以该班一共有1762952++=人；故答案为：5212．23【详解】由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的同学共有781227++=人，综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为502723-=人.13．12【详解】设会骑车的人组合的集合为A ，会驾车的人组成的集合为B ，既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合C ,易知A B C = ，记card()A 表示集合A 中的元素个数，则有()()()()68625773card A B card A card B card A B =+-=+-= ，所以既不会骑车也不会驾车的人为857312-=.故答案为：1214．20【详解】设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为x ，以集合U 表示该班集体，集合A 表示参加数学竞赛的学生组成的集合，集合B 表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示：由题意可得()()322856545x x x x -++-+=-=，解得20x =.故答案为：20.15．7【详解】设既不喜欢打羽毛球，又不喜欢打篮球的学生的人数为y ，则352048x y +-+=，即7x y -=，因为0y，所以7x .因为20x ，所以720x .故答案为：7.16．710##0.7【详解】根据题意，将使用过移动支付､共享单车的人数用如图所示的韦恩图表示，所以该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为6010710010+=.故答案为：710.17．5【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A ，B 、C ，同时参加数学和化学小组的人数为x ，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为0，如图所示：由图可知：20654939x x x -+++++-=，解得5x =，所以同时参加数学和化学小组有5人.故答案为：5.18．28【详解】6 人这两项运动都不喜欢，∴喜欢一项或两项运动的人数为40634-=人；∴喜欢两项运动的人数为：2416346+-=人，∴喜欢篮球的人数为24618-=人；喜欢乒乓球的人数为16610-=人；∴只喜欢其中一项运动的人数为181028+=人.故答案为：28.19．5【详解】以集合A 、B 、C 表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：设同时参加这三个兴趣小组的同学有x 人，由图可得()()()209111555245x x x x x +-+-+-+=-=，解得5x =.故答案为：5.20．5【详解】参加唱歌、跳舞、讲故事的人分别用集合,,A B C 表示，作出Venn 图，如图，图中字母表示相应区域人数，则0n =，又40a b m ++=，20b c d ++=，30d e m ++=，15m =，10b =，60a b c d e m +++++=，则()()()a b m b c d d e m b m ++++++++--2a b c d e m =+++++，∴4020301510605d =++---=，∴同时只参加跳舞和讲故事的人数为5人．故答案为：5．21．18【详解】赞成A 的人数为340245⨯=，赞成B 的人数为24327+=，设对A 、B 都赞成的学生有x ，则112724403x x x x ++-++-=，解得18x =.故答案为：18.22．3【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)，因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)，因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)，-=所以没有观看任何一支短视频的人数为50473。

容斥原理一、知识结构图容斥原理二、方法讲解1、容斥原理Ⅰ：两量重叠问题A 类与B 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数用符号可表示成：A ∪B=A+B-A ∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。

）则称这一公式为包含于排除原理，简称容斥原理。

图示如下：A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A ∩B ，即阴影面积。

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求A+B （意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A ∩B （意思是“排除”了重复计算的元素个数）。

2、容斥原理Ⅱ：三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数+C 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数—既是B 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数。

用符号表示为：A ∪B ∪C=A+B+C-A ∩B-B ∩C-A ∩C+A ∩B ∩C 图示如下：3、解答有关包含排除问题的一般方法在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考。

三、例题精讲例题1、把面积35cm ²和面积27cm ²的大小两个圆平放在桌面上，有一部分重叠，重叠部分面积为8cm ²，求被盖住桌面的面积？ 答案：面积为35+27-8=54cm 2练习1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组的有 29 人，有12 人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 答案：参加的人有：28+29-12=45人例2、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，那么有多少人两个小组都不参加？ 答案：参加兴趣小组：15+18-10=23（人） 都不参加：40-23=17（人）40 航模 数学1810 15练习2、四(二)班有 48 名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有 30 人，写完数学作业的有 20 人，语文数学都没写完的有 6 人． ⑴ 问语文数学都写完的有多少人？ ⑵ 只写完语文作业的有多少人？ 答案：（1）至少完成一科作业：48-6=42人 两科都写完：30+20-42=8人 （2）只写完语文：30-8=22人∩CC ∩1． 先包含——A +B +C重叠部分A ∩B 、B ∩C 、C ∩A 重叠了2次，多加了1次. 2． 再排除——A +B +C -A ∩B -B ∩C -A ∩C 重叠部分A ∩B ∩C 重叠了3次，但是在进行A +B +C -A ∩B -B ∩C -A ∩C 计算时都被减掉了.C B A 例3、在 1—100 的全部自然数中，不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少个？ 答案：3的倍数：100÷3=33个···1 5的倍数：100÷5=20个既是3又是5的倍数：100÷15=6个···10 所以3或5的倍数：33+20-6=47个既不是3也不是5的倍数：100-47=53个练习3、50 名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按 1，2，3，...，49，50 依次报数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名? 答案：4的倍数：50÷4=12人...2 6的倍数：50÷6=8人 (2)既是4又是6的倍数：50÷12=4人···2 所以4或6的倍数：12+8-4=16人既不是4也不是6的倍数：50-16=34人最后向前的同学包含：既不是4和6的倍数和同时是4和6的倍数 共有：4+34=38人例4、在桌面上放置着三个两两重叠的近圆形纸片（如图，三个纸片等大），它们的面积都是100 cm ²，并知A 、B 两圆重叠的面积是20 cm ²，A 、C 两圆重叠的面积为45 cm ²，B 、C 两圆重叠的面积为31 cm ²,三个圆共同重叠的面积为15 cm ²，求盖住桌子的总面积。

几何容斥原理总结容斥原理：包含两种类型，第二种类型包含一种新题型（我把它看成第三类）。

第一种类型：是两项比赛的。

参加总人数=参加A比赛的人数+参加B比赛的人数-两项比赛都参加的人数全班总人数=参加总人数+什么都不参加的人数两项比赛都参加的人数=参加A比赛的人数+参加B比赛的人数-参加总人数两项比赛都参加的人数=参加A比赛的人数+参加B比赛的人数-（全班总人数-什么也不参加的人数）所以上面两种比赛的题型，需要看清楚，到底是全班所有人都参加了，还是有一部分人什么都不参加的。

简而言之：全班总人数=参加人数+不参加人数参加人数=A+B-同时A、B同时A、B=A+B-参加人数或者A+B-（全班总人数-不参加人数）第二种类型：参加三项比赛的。

全班总人数=参加人数+不参加人数参加人数=全班总人数-不参加人数参加人数=A+B+C-同时A、B-同时A、C-同时B、C+同时A、B、C第三种类型：如果题目当中出现了“只参加某某比赛”出现了“只”这个字眼。

那么都是需要通过画出图来标上字母，再把题目的条件翻译成含有字母的方程，然后再通过扩倍，加减等方式算出题目的字母，进而求出答案。

我一般说成：1、把文字翻译成方程、2、解方程。

补充拓展关于方程中字母个数与方程个数的关系1、当字母个数≤方程个数，那么这个方程可以直接解出来；2、当字母个数＞方程个数，那么这个方程只能通过讨论，得出解，而且必须结合实际的条件，比如说是整数啊，什么范围啊。

上面的第三类，出现了字眼“只”的，一般都是翻译成7个方程，刚好有7个字母，所以是可以解出来的。

7个字母：只参加A的，只参加B的，只参加C的，只参加AB的，只参加AC的，只参加BC的，只参加ABC的，一共是7个不同部分。

当然如果出现了，什么都不参加的人，那么就是8个字母，当然也可以对应列出8个方程，所以还是可以直接求解的。

目录第37讲逻辑问题 (01)第38讲抽屉原理 (09)第39讲加法、乘法原理 (16)第40讲容斥原理 (23)第41讲长方体与正方体 (31)第42讲圆柱与圆锥 (39)第43讲燕尾模型与等积变换 (47)第44讲鸟头模型 (55)第45讲蝴蝶模型与相似模型 (61)第46讲不规则图形的面积 (70)第37讲逻辑问题考点解读1、考察范围：通过用直接、图解、列表等方法进行合情推理作出正确判断。

2、考察重点：以一些相互关联的条件出发，通过一系列推理方法来获取结论。

3、命题趋势：一些以日常问题相关的需要推理的问题。

知识梳理解题方法①假设法：通过已知条件无法判断时，可以假设其中的一个的条件来进行推理。

②列表法：通过列表把已知里面的关系表示出来，会更加明了。

③直接法：当已知条件不是很复杂时，可以通过直接推理得出结论。

④图示法：将题目中的相关条件用图示的方法表达出来，有时会起到不错的效果。

典例剖析【例1】A、B、C 、D、E五位小朋友之间进行象棋比赛，每两个人都要比赛一场，到现在为止，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场，那么E赛了几场？【变式练习】1、A、B、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛，当比赛进行到某一天时，A、B、C、D、E五支球队分别比赛了5、4、3、2、1场，由此可知恰好比赛了3场的是哪一支球队？【例2】甲、乙、丙、丁分别获得“攀登杯”比赛的前四名，已知甲不是第一名，乙是第一或第三名，丙是第二或第三名，丁不是第二或第四名，那么谁是第一名？【变式练习】1、甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说：“我最高”，乙说“我不是最矮的”。

丙说：“我没有甲高，但还是有人比我矮”，丁说：“我最矮”。

实际测量后发现他们四人中只有一个人说错了，那么身高排名第三的是谁？2、一次游泳比赛，由甲、乙、丙、丁四个人参加决赛，赛前他们各说了一句话。

甲：我第一，乙第二；乙：我第一，甲第四；丙：我第一，乙第四；丁：我第四，丙第一。

小升初数学高频考点——计数专题（二）容斥原理一、高频类型：1、文氏图基本概念；2、两个对象的容斥原理；3、三个对象的容斥原理★高频考题例一：（文氏图基本概念）（1）在文氏图中，左边的圆表示喜欢喝可乐的人，右边的圆表示喜欢喝雪碧的人，那么图中①②③④部分分别代表什么？（2）在下面的文氏图中，上面的圆表示参加数学竞赛的人，左下角的圆表示参加英语竞赛的人，右下角的圆表示参加科技竞赛的人，那么图中①②③④⑤⑥⑦ 分别表示什么？例二：（两个对象的容斥原理：N总=NA+NB-NAB或N总=NA+NB-NAB+N无）（1）夏令营举办开营宴会，共 40 名学生参加．每名学生都有喝饮料，其中 28 人喝可乐，20 人喝橙汁，那么有多少人既喝可乐又喝橙汁？（2）某次共有 23 人参加期末考试，成绩公布后，每个人都有科目得满分．已知数学得满分的有 12 人，数学及语文均得满分的有 5 人．那么语文成绩得满分的有多少人？（3）某公司除 6 人没有参加业余培训学习外，其余的员工都参加了学习。

参加计算机学习的有 27 人，参加外语学习的有 32 人，两种科目都参加的有 11 人，该公司共有多少人？（4）在 1——200 中，是 3 的倍数或 5 的倍数的数字，一共有多少个？例三：（三个对象的容斥原理）N总=NA+NB+NC-NAB-NAC-NBC+NABC或N总=NA+NB+NC-NAB-NAC-NBC+NABC+N无（1）六年级组织竞赛。

有 40 人参加数学竞赛，30 人参加英语竞赛，20 人参加语文竞赛．15 人同时参加数学和英语两科，10 人同时参加英语和语文，5 人同时参加数学和语文，三科都参加的有 1 人，那么六年一班共有多少人参加竞赛？（2）有若干学生参加滑雪、游泳和滑冰比赛．其中 23 人参加滑雪比赛，25 人参加游泳比赛，27 人参加滑冰比赛，至少参加两项比赛的共 25 人，三项都参加的有 5 人，那么五年级三班共多少人？（3）某校 200 名学生在一次语、数、外三科竞赛中，参加语文竞赛的有 78 人，参加数学竞赛的有 98 人，参加外语竞赛的有 82 人，既参加语文又参加数学竞赛的有 28 人，既参加数学又参加外语竞赛的有 26 人，既参加语文又参加外语竞赛的有 18 人，有 2 人这三项竞赛都不参加。

竞赛讲座(容斥原理)一、 知识要点1、容斥原理在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。

它的基本形式是： 记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A 个，属于集合B 的东西有B 个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个，则有：B A =A +B -B A容斥原理可以用一个直观的图形来解释。

如图，左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ， 由图可知：B A =A +B -B A容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。

二、 例题精讲例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。

解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2⨯1，2⨯2，…，2⨯100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3⨯1，3⨯2，…，3⨯66，共66个；在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6⨯1，6⨯2，…，6⨯33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为： 200-100-66+33=67(个)例2 求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S 。

解：1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=50501到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：2⨯1+2⨯2+…+2⨯50=2⨯(1+2+3+…+50)= 2⨯1275=25501到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：3⨯1+3⨯2+…+3⨯33=3⨯(1+2+3+…+33)= 3⨯561=16831到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：6⨯1+6⨯2+…+6⨯16=6⨯(1+2+3+…+16)= 6⨯136=816.所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S=5050-2550-1683+816=1633.例3求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。

第40讲容斥原理考点解读1、考察范围：AB、ABC类型。

2、考察重点：求三者公共区域数，总数。

3、命题趋势：一般出现在填空题后面几道，大题选考。

知识梳理容斥问题：有重复包含关系的问题。

容斥原理是奥数的四大原理之一，是考生们绕不过去的知识点。

容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

容斥原理听上去很高深的一个“玩意”，其实通俗点理解就是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了，那么就把重复部分减去，如果少加了，那么就把那部分补上。

1、两种量的容斥原理问题如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

即A∪B = A+B - A∩B2、三种量的容斥原理问题如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C典例剖析【例1】在1-30的自然数中，是2的倍数或者3的倍数的数共有多少个？【变式练习】1、在1-200的自然数中能被3或5整除的数有多少个？【例2】三年级同学有56人参加科技和美术两个课外兴趣小组。

其中参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有多少人？【变式练习】1、某区100个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有75人，既懂英语又懂俄语的有20人，那么懂俄语的教师有多少人？2、一个班有36个学生，在一次测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，那么两题都不对的有多少人？【例3】有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘米作一个记号，每4厘米也做一个记号，然后将有记号的地方剪断，问：绳子被剪成多少段？【变式练习】1、有一根120厘米长的绳子，从一端开始，每5厘米作一个记号，每6厘米也做一个记号，然后将有记号的地方剪断，问：绳子被剪成多少段？2、在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。

专题四十：容斥原理（一）【例1】五（1）班学生参加跳绳和踢毽子比赛，每人至少参加一项比赛，报名结果；参加跳绳比赛的有24人，参加踢毽子比赛的有20人，两项都参加的有4人，五（1）班有多少人？分析与解答：A表示跳绳比赛的人数，B表示参加踢毽子比赛的人数，A B表示两项都参加的人数从图中看出，A B被计算了两次，因此24＋20－4＝40（人）是全班人数。

容斥原理：当两个集合A、B合并在一起，形成一个新的集合C，集合C的元素的个数等于A、B两个集合的元素个数的和减去A、B两个集合的公共元素的个数：C＝A＋B－A B。

【例2】五（1）班有40人参加跳绳和踢毽子比赛，每人至少参加一项比赛，其中参加跳绳比赛的有24人，参加踢毽子比赛的有20人，两项都参加的有多少人？分析与解答：根据容斥原理C A＋B－A B可知，A B＝A＋B－C。

24＋20－40＝4（人）答：两项都参加的有4人。

【例3】有48个同学至少参加游泳和跑步中的一项比赛，分项计算：参加游泳比赛的有32人，参加跑步比赛的有28人，两项都参加有几人？只参加游泳有几人？只参加跑步有几人？分析与解答：根据容斥原理C＝A＋B－A B可求出两项都参加的人数。

再把参加游泳的人数减去两项都参加的人数可求出只参加游泳的人数，同理可求出只参加跑步的人数。

两项都参加的：32＋28－48＝12（人）只参加游泳的：32－12＝20（人）只参加跑步的：28－12＝16（人）答：两项都参加的有12人，只参加游泳的有20人，只参加跑步的有16人。

【例4】在87人中，会下中国象棋的有68人，会下国际象棋的有50人，两种象棋都不会下的有10人，那么两种棋都会下的有多少人？分析与解答：从87人中减去10人，可先求得会下象棋的人数，再根据容斥原理C＝A＋B－A B推得A B＝A＋A－C就可求得两种象棋都会下的人数。

87－10＝77（人）68＋50－77＝41（人）答：两种棋都会下的有41人。

小升初数学培优专题讲义全46讲小升初数学培优专题讲义全46讲尊敬的家长们，各位同学：大家好！为了帮助孩子们顺利完成小升初的数学学习，我们特别策划了一系列的数学培优专题讲义，共计46讲。

本讲义旨在通过系统性的讲解和练习，提升孩子们的数学思维能力和解题能力，为即将到来的小升初考试做好充分的准备。

一、数与计算1、整数、小数和分数的概念及相互转化2、四则运算的规则和方法3、数的估算和精确计算4、百分数、比例和利率的概念及计算方法二、空间与图形1、平面图形的基本特征和周长、面积的计算2、立体图形的基本特征和体积、表面积的计算3、图形的平移、旋转和对称的概念及作图方法4、观察物体、几何图形的位置和方向三、统计与概率1、统计图表（柱状图、折线图、饼状图等）的读图和制图2、数据分析和处理的方法3、事件发生的可能性和概率的计算4、抽样调查和普查的方法及应用四、应用题1、年、月、日等时间应用题2、速度、路程、时间等行程应用题3、数量关系应用题（如价格、浓度、年龄等）4、综合应用题（如几何、代数、统计等）五、思维拓展1、逻辑推理问题2、数字规律问题3、最优化问题4、一题多解问题六、实践与创新1、数学在实际生活中的应用2、数学问题的多元解决方法3、数学游戏和数学建模的体验与实践4、创新思维和问题解决能力的培养七、考试攻略1、小升初数学考试的内容和形式分析2、答题技巧和策略的讲解与演练3、真题解析和模拟测试的训练4、考试心态和应对方法的指导希望通过这一系列的数学培优专题讲义，孩子们可以全面提升自己的数学素养，为即将到来的小升初考试做好充分的准备。

同时，我们也希望家长们能够给予孩子们足够的支持和鼓励，共同陪伴孩子们度过这段关键的成长阶段。

最后，感谢各位家长和同学们的参与和支持。

我们相信，在大家的共同努力下，孩子们一定能够在小升初的数学考试中取得优异的成绩，迈向更加美好的未来！祝愿大家取得好成绩！。

小升初数学容斥原理的学习活到老，学到老，学习才能使人进步，本文推荐的是小升初数学容斥原理的学习在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

例一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?分析依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。

答案15+12-4=23试一试“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。

“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。

“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。

“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。

“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。

慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。

只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。

今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。

电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。

两个频道都没看过的有多少人?与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。