一、函数的零点 1．函数零点的概念
对于函数()y f x =，我们把使_______的实数x 叫做函数()y f x =的零点．
易错提醒
1．函数的零点是实数，而不是点． 2．并不是所有的函数都有零点．
3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．
2．函数零点与方程根的联系
函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的________．所以方程()0f x =有实数根?函数()y f x =的图象与x 轴有交点?函数()y f x =有零点．
二、函数零点的判断
如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是_______一条曲线，并且有_______，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根． 注意：由零点存在性定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数． 三、二分法的定义
对于在区间[,]a b 上连续不断且______的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
注意：用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点（曲线通过零点时函数值的符号变号）
适用，对函数的不变号零点（曲线通过零点时函数值的符号不变号）不适用． 四、用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下： 1．确定区间[,]a b ，验证_______，给定精确度ε． 2．求区间(,)a b 的中点c ． 3．计算()f c ，
（1）若()0f c =，则c 就是函数的零点；
（2）若()()0f a f c ?<，则令b c =（此时零点0(,)x a c ∈）； （3）若()()0f c f b ?<，则令a c =（此时零点0(,)x c b ∈）．
4．判断是否达到精确度ε：即若________，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复2~4．
名师提醒
1．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使： （1）区间[,]a b 的长度尽量小；
（2）()f a ，()f b 的值比较容易计算，且()()0f a f b ?<．
2．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．
易错辨析
精确度与精确到不是一回事，精确度是近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x 为准确值，x '为x 的一个近似值，若x x ε'-<，则x '是精确度为ε的x 的一个近似值．而按四舍五入的原则得到准确值x 的前几位近似值x '，x '的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．
K 知识参考答案：
一、1．()0f x =
2．横坐标
二、连续不断的 ()()0f a f b ?< 三、()()0f a f b ?< 一分为二
四、1．()()0f a f b ?<
4．a b ε-<
K —重点
1．函数零点的概念，零点的存在性定理；
2．二分法，用二分法求解函数()f x 的零点近似值． K —难点 1．零点的存在性定理；
2．恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
K —易错
1．函数的零点是一个实数，是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标；
2．零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数()y f x =在区间
[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线；二是()()0f a f b ?<；
3．利用二分法求方程近似解时，要随时检验区间[,]a b 的长度与精确度ε的关系，一旦有a b ε-<，应立即停止计算，该区间中的任一值都是方程的近似解．
1．函数零点的求法
求函数的零点一般有两种方法．
（1）代数法：根据零点的定义，解方程()0f x =，它的实数解就是函数()y f x =的零点． （2）几何法：若方程()0f x =无法求解，可以根据函数()y f x =的性质及图象求出零点．
【例1】已知函数221,1
()1log ,1
x x f x x x ?-≤=?+>?，则函数()f x 的零点为________．
【答案】0
【解析】当1x ≤时，由()210x
f x =-=，解得0x =； 当1x >时，由2()1lo
g 0f x x =+=，解得1
2
x =，又因为1x >，所以此时方程无解． 综上，函数()f x 的零点为0．
【名师点睛】求函数的零点就是求使这个函数的函数值为零时的自变量的值，即解相应的方程．若遇到
解高次方程，可用因式分解法．
【例2】若函数()2
f x x ax b =-+的两个零点是2和3，则函数()2
1g x bx ax =--的零点是
A ．1-和16
B ．1和16
- C ．12和13
D ．1
2
-
和3 【答案】B
2．函数零点个数的判断方法
（1）解方程法：令f （x ）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f （a ）·f （b ）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【例3】已知01a <<，则函数log x
a y a x =-的零点的个数为______． 【答案】2
【解析】函数log x
a y a x =-的零点的个数即为方程log x
a a x =的解的个数，也就是函数
()(01)x
f x a a =<<与()lo
g (01)a g x x a =<<的图象的交点的个数．
画出函数图象如图所示，
观察可得函数()(01)x
f x a a =<<与()lo
g (01)a g x x a =<<的图象的交点的个数为2，从而函数
log x
a y a x =-的零点的个数为2．
【技巧点拨】判断函数()()()f x h x g x =-的零点个数问题，可采用数形结合的方法． 3．判断函数零点、方程的根所在的区间
确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与x 轴的交点来确定． 【例4】已知实数,a b 满足23,32a
b
==，则函数()x
f x a x b =+-的零点所在的区间是 A ．(2,1)-- B ．(1,0)- C ．(0,1)
D ．(1,2)
【答案】B
【名师点睛】在判断区间端点对应的函数值的符号时，要注意运用指数函数、对数函数及幂函数的相关知识来解决．
4．求与零点（或方程的根）有关的参数的取值范围 （1）已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围
根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． （2）已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题． 【例5】函数()2
2x f x a x
=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是 A ．()1,3 B ．()1,2 C ．()0,3
D ．()0,2
【答案】C
【例6】已知函数()()2
1
,1
,1
a x x f x x a x ?-+≤?=?->??， 函数()()2g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(2,3]
【解析】由题意函数()()()2[1]y f x g x f x =-=-恰有4个零点，则方程()1f x =有4个解．
作出函数()()2
1,1
,1
a x x f x x a x ?-+≤?=?->??的图象，如图所示，
当1x ≤时，函数()f x 的最大值为a ；
在[1,1]-上，()1f x a x =-+的最小值为(1)2f a =-； 当1a >时，在(1,]a 上，2
(1)(1)f a =-．
要使方程()1f x =有4个解，则()21
2111a a a ?>??
-≤??->??
，解得23a <≤．
故实数a 的取值范围是(2,3]．
5．二次函数的零点与一元二次方程根的分布问题 （1）二次函数2
)( 0y ax bx c a =++>的零点：
0?> 0?= 0?<
二次函数
2)( 0y ax bx c a =++>
的图象
与x 轴的交点 （x 1，0），（x 2，0）
（x 1，0）
无交点 零点个数
2
1
（2）一元二次方程20ax bx c ++=在区间内的根的问题一般转化为相应的二次函数的零点问题，转化时需要从三个方面考虑： ①判别式；
②区间端点函数值的正负； ③对称轴2b
x a
=-
与区间端点的关系． 【例7】若方程()()2
1210x k x k +--+=的一个根在区间()2,3内，则实数k 的取值范围是 A ．()3,4 B ．()2,3 C ．()1,3
D ．()1,2
【答案】D
【解析】设()()()2121f x x k x k =+--+，
对于方程()()21210x k x k +--+=，判别式为()()()2
2
1412130k k k ?=--??-+=+≥????， 当3k =-时，函数()f x 的唯一零点为()22,3x =-?，
故要使方程()()21210x k x k +--+=的一个根在区间()2,3内，只需()()230f f ?<，
即()()441050k k -?-<，解得12k <<，故选D ． 【例8】（1）m 为何值时，2
()234f x x mx m =+++． ①有且仅有一个零点； ②有两个零点且均比1-大．
（2）若函数2()4f x x x a =-+有4个零点，求实数a 的取值范围．
（2）令()0f x =，得240x x a -+=，即24x x a -=-． 令2()4g x x x =-，()h x a =-． 作出(),()g x h x 的图象如图所示：
由图象可知，当04a <-<，即40a -<<时，()g x 与()h x 的图象有4个交点，即()f x 有4个零点，故a 的取值范围为(4,0)-．
【名师点睛】第（1）问利用方程的根与相应函数的零点的联系，把问题转化为含参数的一元二次方程根的分布问题，可根据一元二次方程实数根的分布与二次函数的图象列出等式或不等式组，从而获得参数的值或取值范围． 6．二分法的适用条件
当方程()0f x =同时满足下列三个条件时：
（1）函数()f x 在闭区间[,]a b 上的图象是一条连续曲线； （2）函数()f x 在区间(,)a b 上有唯一的零点； （3）()()0f a f b ?<．
用二分法一定能够求出方程()0f x =的近似解．
【例9】下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是
【答案】C
【名师点睛】若D 选项中的图象在包含零点的一定区间内，函数是连续的，则仍可以使用二分法求零点． 7．二分法的简单应用
二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
【例10】用二分法求函数()f x 的一个正实数零点时，经计算：()()0.640,0.720f f <>，()0.680f <，
()0.740f >，则函数()f x 的一个精确度为0．1的正实数零点的近似值为
A ．0.64
B ．0.8
C ．0.7
D ．0.6
【答案】C
【名师点睛】“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点． 8．用二分法求函数的零点或方程的近似解
（1）用二分法求函数的零点按照二分法求函数零点近似值的步骤求解即可，在求解过程中，我们可以借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小的零点所在的区间，在区间长度小于精确度ε时终止运算． （2）根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程
()0f x =的近似解，即按照用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤求解．
对于求形如()()f x g x =的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如()()()0F x f x g x =-=的方程的近似解，然后按照用二分法求函数()F x 零点近似值的步骤求解．
有些较复杂的探求方程近似解的问题需要大致作出函数图象或列表，以此确定方程近似解所在的区间，即初始区间．
【例11】用二分法求函数2
()5f x x =-的一个正零点（误差不超过0.02）． 【解析】由于(0)50(3)40f f =-<=>，，故可取区间(03)，作为计算的初始区间． 用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值（或近似值）
(03)， 1.5 2.75-
(1.53)， 2.25 0.0625
(1.52.25)，
1.875
1.484-
(1.8752.25)， 2.0625 0.746- (2.06252.25)，
2.15625 0.351- (2.156252.25)，
2.203125
0.146-
由上表计算可知，区间(2.22656252.23828125)，的长度小于0.02，所以此区间的中点2.232421875可作为所求函数的一个正零点的近似值．
【名师点睛】用二分法求函数的零点的近似值，首先要选好初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小；其次要依据给定的精确度及时检验区间长度是否满足精确度，以决定是否继续计算． 【例12】借助计算器或计算机，用二分法求方程lg 210x
x --+=的近似解（精确到0.1）．
【解析】令()lg 2
1x
f x x -=-+，函数()f x 的定义域为(0,)+∞．
因为函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以()f x 至多有一个零点．
又因为(1)0.50f =>，(0.1)0.9330329910f ≈-<，所以方程在(0.1,1)内有唯一一个实数解． 用二分法逐次计算，列表如下：
由于区间(0.493750.521875)，内的所有值，若精确到0.1，都是0.5，所以0.5是方程精确到0.1的近似解．
【名师点睛】本题中利用函数的单调性确定了初始区间，也可以在平面直角坐标系中画出函数
lg 1y x =+与函数1
()2
x y =的图象，根据图象确定初始区间．
9．二分法思想的实际应用
二分法的思想方法除了可以用来处理生活中、数学中的对称问题外，还可以通过其思想方法处理一些现实中的不对称问题，在生活中、数学中也经常见到．要注意二分法的思想方法与实际问题之间的联系及其应用．
【例13】有9个外表看上去一样的小球，其中8个重10克，1个重9克，现有一架天平，问至少称_______次可以确保把轻球挑出来． 【答案】2
10．忽略零点存在性定理成立的条件 【例14】函数1
()f x x x
=+的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
【错解】因为(1)20f -=-<，(1)20f =>，所以函数()f x 有一个零点，故选B ．
【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域．通过作图（图略），可知函数1
()f x x x
=+的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用．
【正解】函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，当0x >时，()0f x >；当0x <时，()0f x <． 所以函数()f x 没有零点，故选A ．
【名师点睛】零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理．
1．函数f（x）=x2–3x–4的零点是
A．（1，–4）B．（4，–1）C．1，–4 D．4，–1 2．函数y=ax–2的零点有
A．0个B．1个
C．2个D．3个3．对于用二分法求函数的零点的说法，下列正确的是A．函数只要有零点，就能用二分法求
B．零点是整数的函数不能用二分法求
C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解
D．以上说法都错误
4．方程
1
x
x
-=的一个实数解的存在区间为
A．（0，1）B．（0.5，1.5）
C．（–2，1）D．（2，3）
5．方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根
A．（–2，–1）B．（0，1）
C．（1，2）D．（–1，0）
6．根据表格中的数据，可以断定函数f（x）=e x–x–2的一个零点所在的区间是
x+2 1 2 3 4 5
x–1 0 1 2 3
e x0.37 1 2.72 7.39 20.09
A．（–1，0）B．（1，2）
C．（0，1）D．（2，3）
7．已知函数f（x）=（1
4
）x–
1
5
x，那么函数f（x）零点所在的区间可以是
A．（–1，0）B．（0，1
5
）
C．（1
5
，
1
4
）D．（
1
4
，1）
8．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值：
x 1 2 3 4 5 6
f（x）12 10 –2 4 –5 –10
函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有__________个．
9．函数f（x）=ax2+2ax+c（a≠0）的一个零点为1，则它的另一个零点是__________．
10．已知函数f（x）在定义域R上的图象如图所示，则函数f（x）在区间R上有__________个零点．
11．若f（x）在区间[a，b]内单调，且f（a）?f（b）<0，则f（x）在区间[a，b]内
A．至多有一个根B．至少有一个根
C．恰好有一个根D．不确定
12．方程x3–x–1=0在[1，2]的一个近似解（精确到0.1）是
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
13．已知函数f（x）=3x+x–5的零点x0∈[a，b]，且b–a=1，a，b∈N*，则a+b=
A．–2 B．1 C．2 D．3
14．已知二次函数f（x）=ax2–（a+2）x+1，若a为整数，且函数f（x）在（–2，–1）上恰有一个零点，则a的值是
A．–1 B．1 C．–2 D．2
15．方程x3+x–1=0的解x∈[n，n+1]（n∈N），则n=__________．
16．方程x5–x–1=0的一个零点存在的区间可能是__________．（端点值为整数）
17．已知函数f（x）对一切实数x都有f（2–x）=f（2+x），若函数f（x）恰有4个零点，则这些零点之间的和为__________．
18．已知函数f（x）=x+2，判断函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）有无零点？并说明理由．
19．利用二分法求方程x 2–2=0的一个正根的近似值（精确到0.1）．
20．（2018?浙江）已知λ∈R ，函数f （x ）=2
443x x x x x λ
λ
-≥?
?
-+
__________．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是__________．
21．（天津）已知函数2(43)3,0
()(01)log (1)1,0
且a x a x a x f x a a x x ?+-+<=>≠?
++≥?在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23
x
f x =-
恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是__________．
1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 D
B
D
B
D
B
C
C
B
D
A
1．【答案】D
【解析】由x2–3x–4=0，可得x=4或–1，∴函数f（x）=x2–3x–4的零点是4，–1．故选D．2．【答案】B
【解析】∵函数y=ax–2，∴a≠0时，函数y=ax–2，单调函数，∴ax–2=0．x=2
a
，故选B．
3．【答案】D
4．【答案】B
【解析】解方程
1
x
x
-=得，x=1或x=–1，故选B．
5．【答案】D
【解析】设函数f（x）=2x+x，其对应的函数值如下表：
x–2 –1 0 1 2
f（x）–7
4–
1
2
1 3 6
由于f（–1）?f（0）<0，所以方程2x+x=0在（–1，0）内有实数根，故选D．
6．【答案】B
【解析】根据表格中的数据，我们可以判断f（–1）<0，f（0）<0，（1）<0，f（2）>0，f（3）>0，根据零点存在定理得：在区间（1，2）上函数存在一个零点，故选B．
7．【答案】C
【解析】计算可得f（–1）=（1
4
）–1–（–1
1
5
)=4+1=5>0，f（0）=（
1
4
）0–
1
5
0=1>0，f（1）=
1
4
–1<0，f
（1
4
）=
1
1
5
4
11
()()
44
-<0，f（
1
5
）=
11
55
11
()()
45
->0，∴f（
1
4
）?f（
1
5
）<0，∴函数f（x）在区间（
1
5
，
1
4
）
有零点，故选C．
8．【答案】3
【解析】由函数的零点判定定理可知，函数的零点在（2，3），（3，4），（4，5）各一个零点，共有3个．故答案为：3．
9．【答案】–3
【解析】由题意可知方程ax2+2ax+c=0的一个根为1，设方程的另一个根为x1，根据根与系数的关系，
则x1+1=–2，∴x1=–3．故答案为：–3．
10．【答案】3
【解析】由函数f（x）在定义域R上的图象可知，在区间R上，图象与x轴有三个交点，∴函数f（x）在区间R上有3个零点．故答案为：3．
11．【答案】C
12．【答案】B
【解析】由已知令f（x）=x3–x–1，所以f（1）=–1，f（2）=4，由二分法知计算f（1.5）=7
8
>0，由二
分法知计算f（1.25）=–0.2969<0．所以方程的根位于区间（1.25，1.5）内．由f（1.375）=0.225>0．所以方程的根位于区间（1.25，1.375）内．故符合要求的选项只有1.3．故选B．
13．【答案】D
【解析】∵函数f（x）=3x+x–5，∴f（1）=31+1–5=–1<0，f（2）=32+2–5=4=6>0，∴f（1）f（2）<0，∴f（x）的零点x0在区间（1，2）内．∴a=1，b=2，∴a+b=3，故选D．
14．【答案】A
【解析】①当a=0时，–2x+1=0，故x=1
2
；②当a<0时，函数f（x）=ax2–（a+2）x+1的零点一正一负，
故f（–2）?f（–1）=（6a+5）（2a+3）<0，故–3
2
5 6 ；③当a>0时，ax2–（a+2）x+1=0的两根为 正值，故函数f（x）=ax2–（a+2）x+1在区间（–2，–1）上没有零点，综上所述，–3 2 5 6 ．∵a为 整数，∴a=–1．故选A． 15．【答案】0 【解析】方程x3+x–1=0的解即函数y=x3+x–1=0的零点，也就是函数y=x3与函数y=1–x交点的横坐标，在同一坐标系中作出函数y=x3与函数y=1–x的图象如下图所示：由图可知函数图象交点的横坐标位于区间[0，1]上，故n=0，故答案为：0． 16．【答案】（1，2） 【解析】令f（x）=x5–x–1，把x=0，1，2，3，4代入，若f（a）?f（b）<0，则零点在（a，b），所以f（1）<0，f（2）>0满足，所以在（1，2），故答案为：（1，2）． 17．【答案】8 18．【答案】函数g（x）无零点，理由详见解析． 【解析】∵f（x）=x+2， ∴函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）=（x+2）2+x2+2=2x2+4x+6=2（x+1）2+4>0， ∴函数g（x）与x轴无交点， 因此函数g（x）无零点． 19．【答案】1.4 【解析】本题即求函数f（x）=x2–2的一个为正数的零点， 因为f（1）=–1<0，f（2）=2>0， 所以方程x2–2=0在区间（1，2）上有实数解． 再根据f（1.5）=0.25，f（1.5）?f（1）<0， 再根据用二分法求方程的近似解的方法和步骤， 所以方程x2–2=0在区间（1，1.5）上有实数解． …， 如此不断进行下去，得到方程x2–2=0的近似解为1.4． 20．【答案】{x|1 函数f （x ）恰有2个零点，则1<λ≤3或λ>4．故答案为：{x |1 33 【解析】由函数()f x 在R 上单调递减得4313 0,01,31234 a a a a -- ≥<<≥?≤≤，又方程|()|23x f x =- 恰有两个不相等的实数解，所以232,3解得a a <<，因此a 的取值范围是12 [,)33 ． 2019-2020学年新人教A版必修一函数与方程教案 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f（x)(x∈D），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f(x）（x∈D）的零点．（2）三个等价关系 方程f(x）＝0有实数根?函数y＝f(x）的图象与x轴有交点?函数y＝f(x）有零点．(3）函数零点的判定（零点存在性定理) 如果函数y＝f（x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a）·f（b)〈0，那么,函数y＝f(x）在区间(a，b）内有零点,即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a〉0)的图象与零点的关系 Δ>0Δ＝0Δ〈0 二次函数y＝ax2＋bx ＋c（a〉0)的图象 与x轴的交点（x1，0),(x2，0）(x1,0）无交点 零点个数210 概念方法微思考 函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f（x)只有一个零点? 提示不能． 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”） （1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（×） （2）函数y＝f（x）在区间（a，b)内有零点(函数图象连续不断），则f（a)·f（b）<0.（×） （3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．（√） （4）f(x）＝x2,g(x）＝2x，h（x)＝log2x，当x∈(4，＋∞）时，恒有h(x)〈f（x) 3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型 如： ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 常针对根号，举例： 令 ，原式转化为： ，再利用配方法。 ⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： )0(>+ =k x k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 人教版数学必修I 测试题（含答案） 一、选择题 １、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B =（ ) A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N （ ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 （ ) A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射,下列叙述正确的是 ( ) ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合Ｂ A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5、在221 ,2,,y y x y x x y x ===+=,幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是 ( ） A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =，则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 ９、若()2log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是 ( ) 高一数学必修一函数与方程知识梳理 函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，以下是函数与方程知识梳理，请大家学习。 1、函数零点的定义 (1)对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy 的零点。 (2)方程0)(xf有实根函数()yfx的图像与x轴有交点函数()yfx 有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是()fx的零点(3)变号零点与不变号零点 ①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()fx的不变号零点。 ③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则 0)()(bfaf是()fx在区间,ab内有零点的充分不必要条件。 2、函数零点的判定 (1)零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0fafb，那么，函数)(xfy在区间,ab 内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0xf，这个0x也就是方程0)(xf的根。(2)函数)(xfy零点个数(或方程0)(xf实数根的个 数)确定方法 ①代数法：函数)(xfy的零点0)(xf的根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。(3)零点个数确定 0)(xfy有2个零点0)(xf有两个不等实根; 0)(xfy有1个零点0)(xf有两个相等实根; 0)(xfy无零点0)(xf无实根;对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定. 3、二分法 (1)二分法的定义:对于在区间[,]ab上连续不断且()()0fafb的函数()yfx,通过不断地把函数()yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; (2)用二分法求方程的近似解的步骤: ①确定区间[,]ab,验证()()0fafb,给定精确度 ②求区间(,)ab的中点c; ③计算()fc; (ⅰ)若()0fc,则c就是函数的零点; (ⅱ) 若()()0fafc,则令bc(此时零点0(,)xac (ⅲ) 若()()0fcfb,则令ac(此时零点0(,)xcb 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的 高中函数大题专练 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。 陕西省高中数学人教新课标A版必修1 第一章集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大 （小）值 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共15题；共30分) 1. （2分） (2019高一上·宁乡期中) 若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则二次函数 的图像只可能是（） A . B . C . D . 2. （2分）已知y=f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，与g（x）图象关于x=1对称，当x∈[2，3]时，g （x）=2a（x﹣2）﹣3（x﹣2）2 ， a为常数，若f（x）的最大值为12，则a=（） A . 3 B . 6 C . 6或 D . 3. （2分） (2019高一上·兰州期中) 已知函数（是常数，且）在区间 上有最大值3，最小值，则的值是（） A . B . C . D . 4. （2分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的是（） A . y=﹣3|x| B . y= C . y=log3x2 D . y=x﹣x2 5. （2分）已知f(x)是定义在上的非负可导函数,且满足.对任意正数a,b,若a C . D . 7. （2分）已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围是（） A . 0＜a≤3 B . a≥2 C . 2≤a≤3 D . 0＜a≤2或a≥3 8. （2分）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，则（） A . B . C . D . 9. （2分） (2016高一上·杭州期中) 下列函数中，值域为（0，+∞）的是（） A . y= B . C . D . y=x2+x+1 10. （2分） (2019高一上·杭州期中) 下列函数中,既是偶函数,又在上单调递增的是（） A . 高一数学必修一公式 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集 合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋, 大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队 员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与 B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子 集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第一章 集合与函数概念 新人教版必修1 1.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义 目标定位 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中 元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用. 自 主 预 习 1.元素与集合的相关概念 . 统称为元素研究对象我们把，元素：一般地(1) . 组成的总体叫做集合一些元素把集合：(2) . 、无序性互异性、确定性集合中元素的三个特性：(3) . 我们称这两个集合是相等的，一样的集合的相等：构成两集合的元素是(4) 2.元素与集合的表示 . 表示集合中的元素…，c ，b ，a 元素的表示：通常用小写拉丁字母(1) . 表示集合…，C ，B ，A 集合的表示：通常用大写拉丁字母(2) 3.元素与集合的关系 .A ∈a 记作，A 属于集合a 就说，的元素A 是集合a ：如果”属于(1)“ . A ?a 记作，A 不属于集合a 就说，的元素A 不是集合a ：如果”不属于(2)“ 4.常用数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N * 或 N ＋ Z Q R 即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.( ) (2)一个集合可以表示成{a ，a ，b ，c ，}.( ) (3)若集合A 是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则－1和0都不是集合A 中的元素.( ) 提示 (1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确. (2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错 误. (3)集合中A 只有元素1，2，3，4，5，6，没有－1和0.正确. 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2.下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点O 距离等于5的点的全体；④全体 著名的数学家.其中能构成集合的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合. 必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P ,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆ 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1） 列举法：{a,b,c ……} 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x 2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ◆ 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集 B A ?? /?/ 高一数学必修1（人教版A）基本知识点回顾 一、集合 1．集合的概念描述：集合的元素具有______性、______性和______性．如果a是集合A的元素，记作________． 2．常用数集的符号：自然数集______；正整数集______；整数集______；有理数集______；实数集______． 3．表示集合有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质．4．集合间的关系：A?B?对任意的x∈A有______，此时我们称A是B的______；如果_______，且_______，则称A是B的真子集，记作______；如果______ ，且______，则称集合A与集合B相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．5．集合的基本运算：集合{ x | x∈A且x∈B }叫做A与B的______ ，记作_______；集合{ x | x∈A或x∈B }叫做A与B的______，记作_______；集合{ x | x?A且x∈U }叫做A 的_____ ，记作____；其中集合U称为_____．6．性质：①A ?A，??A； ②若A ?B，B ?C，则A ?C； ③A∩A＝A∪A＝A； ④ A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； ⑤A∩?＝?；A∪?＝A； ⑥A∩B＝A?A∪B＝B ?A ?B； ⑦A∩C U A＝?；A∪C U A＝U； ⑧C U (C U A)＝A；⑨C U (A∪B)＝C U A∩C U B． 7．集合的图示法：用韦恩图分析集合的关系、运算比较直观，对区间的交并、补、可用于画数轴分析的方法． 8．补充常用结论：①若集合A中有n (n∈N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n（包括A与?）；②对于任意两个有限集合，其并集中的元素个数可用“容斥原理”计算： card(A∪B)＝card A + card B - card(A∩B) 9．易错点提醒：①注意不要用错符号“∈”与“?”；②当A ?B时，不要忘了A ＝?的情况讨论； 二、函数及其表示法 1．函数的定义：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的_________ f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有____________的数f ( x ) 和它对应，则称f为从集合A到集合B的函数，记作_________．函数的三要素是指函数的_____________、_____________和______________． 2．函数的表示法：_____________法、____________法和____________法． 3．解有关函数定义域、值域的问题，关键是把握自变量与函数值之间的对应关系，函数图象是把握这种对应关系的重要工具．当只给出函数的解析式时，我们约定函数的定义域是使函数解析式_____________的全体实数． 4．求函数解析式的常用方法：①待定系数法，②换元法，③赋值法（特殊值法），等（试各举一例）． 5．函数图象的变换：根据函数图象的变换规律，可以由基本初等函数的图象为基础画出更多更复杂的函数图象，以便利用函 高一数学必修一函数必背知识点整理 高一数学必修一函数必背知识点 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+ba>0,a、b属于Q a^a^b=a^aba>0,a、b属于Q ab^a=a^a*b^aa>0,a、b属于Q 指数函数对称规律： 1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称 2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称 3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称 幂函数y=x^aa属于R 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 2、幂函数性质归纳. 1所有的幂函数在0，+∞都有定义并且图象都过点1，1; 2时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; 3时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 1 代数法求方程的实数根; 2 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 二次函数. 1△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 感谢您的阅读，祝您生活愉快。 人教版高中数学必修1 集合与函数概念教学设计 一、教材分析 集合语言是现代数学的基本语言使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些内容本章中只将集合作为一种语言来学习学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象发展运用数学语言进行交流的能力函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变思维从静止走向了运动、从运算转向了关系函数是高中数学的核心内容是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些函数与不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联系用函数的思想去理解这些内容是非常重要的出发点，反过来通过这些内容的学习加深了对函数思想的认识函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终高中数学课程中函数有许多下位知识，如必修1第二章的幂、指、对函数数在必修四将学习三角函数函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。 二、学情分析 1学生的作业与试卷部分缺失导致易错问题分析不全面通过布置易错点分析的任务让学生意识到保留资料的重要性。 2学生学基本功较扎实学习态度较端正有一定的自主学习能力但是没有养成及时复习的习惯有些内容已经淡忘通过自主梳理知识让学生感受复习的必要性培养学生良好的复习习惯. 三、设计思路 本节课新课中渗透的理念是“强调过程教学启发思维调动学生学习数学的积极性”在本节课的学习过程中教师没有把梳理好的知识展示给学生而是让学生自己进行知识的梳理一方让学生体会到知识网络化的必要性另一方面希望学生养成知识梳理的习惯在本节课中不断提出问题采取问题驱动引导学生积极思考让学生全面参与整个教学过程尊重学生的思维方式引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题通过自主分析、交流合作从而进行有机建构解决问题改变学生模仿式的学习方式在教学过程中渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想在教学过程中通过恰当的应用信息技术从而突破难点。 四、教学目标分析 (一)知识与技能 1了解集合的含义与表示理解集合间的基本关系集合的基本运算 A能从集合间的运算分析出集合的基本关系 B对于分类讨论问题能区分取交还是取并。 2理解函数的定义掌握函数的基本性质会运用函数的图象理解和研究函数的性质 A会用定义证明函数的单调性、奇偶性 B会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关系 (二)过程与方法 1通过学生自主知识梳理了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学 高一数学必修一教案（北师大版） 第一章集合 §1集合的含义与表示 学习目标： 1、了解集合的含义，体会元素与集合的关系。能选择恰当的方法表示一些简单的集合。 2、了解集合元素的性质，掌握常用数集及其专用符号。 教学过程： 一、板书课题，揭示目标 师：同学们，今天我们来学习集合的含义与表示。 请看本节的学习目标：（投影） 二、自学指导： 师：同学们，如何完成本节的学习目标呢？主要依靠大家的自学，请认真看自学指导。（投影） 自学指导： 请认真看课本P3-P5的内容，弄清以下几个问题： 1、集合的概念. 2、集合元素的性质. 3、元素与集合的关系. 4、常用数集的专用符号. 5、集合的表示方法. 6、集合的分类. 8分钟后检测，比谁能做对与例题类似的习题。 三、学生自学 教师督促，使每一位学生紧张自学，注意学生看书速度。 四、检测 1、检测题 ○1请举出两个集合的例子 ○2所有的高个子能否表示为集合？ ○3A={2，2，4}表示是否准确？ ○4做练习题P5，1、2、3 2、指名学生板演，其他学生认真做在练习本上。 五、更正讨论 1、更正 请同学们认真看板演的内容，能够发现问题并能更正的同学请举手。（指名更正） 2、讨论 先看第①题，举的例子正确吗？为什么？引导学生总结集合的定义 ②题，回答的正确吗？为什么？引导学生归纳集合的特征：确定性 ③题，回答的正确吗？为什么？引导学生归纳集合的特征：互异性 【集合的元素的基本性质】 （1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合． （2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素． (3) 无序性：集合中的元素没有顺序。 ④题第一题，这道题都是运用了课本中的哪个知识点？引导学生回答：运用的是常用数集的相关知识。 再看第二题，运用的方法恰当、正确吗？为什么？并规范集合的表示。 第三题，结果正确吗？为什么？纠正学生对空集的认识。 3、学生归纳总结，识记概念。 六、当堂训练 师：请同学们运用本节所学内容独立完成作业。 作业：P6 T2、3 §2集合的基本关系 学习目标： 1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2 、掌握并能使用Venn图表达集合关系，加强学生从具体到抽象的思维能力。 教学过程： 一、板书课题，揭示目标 师：同学们，今天我们来学习集合的基本关系。 请看本节的学习目标：（投影） 中江中学校集合与函数测试题 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2． 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A B = （ ） A ．(4,3)- B ．(4,2]- C ．(,2]-∞ D ．(,3)-∞ 3．已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是（ ） A ．x x 62+ B ．782++x x C ．322-+x x D ．1062-+x x 4．下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：22x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5．下列四个函数：①3y x =-；②21 1y x =+；③2210y x x =+-；④(0) 1 (0) x x y x x ?-≤?=?- >??. 其中值域为R 的函数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6． 已知函数212x y x ?+=?-? (0) (0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52 - C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 7．下列函数中，定义域为[0，∞）的函数是 （ ） A ．x y = B ．2 2x y -= C ．13+=x y D ．2 )1(-=x y 8．若R y x ∈,，且)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f （ ） A ． 0)0(=f 且)(x f 为奇函数 B ．0)0(=f 且)(x f 为偶函数 C ．)(x f 为增函数且为奇函数 D ．)(x f 为增函数且为偶函数 人教版数学必修一函数与方程练习题 重点：掌握零点定理的内容及应用 二次函数方程根的分布 学会利用图像进行零点分布的分析 1． 下列函数中，不能用二分法求零点的是（） 2． 如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（） 3． A. B. C. D. 4． 已知函数22)(m mx x x f --=，则)(x f （） A ．有一个零点 B ．有两个零点 C ．有一个或两个零点 D ．无零点 5． 已知函数)(x f 的图象是连续不间断的，有如下的)(,x f x 对应值表 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6． 若方程0=--a x a x 有两个根，则a 的取值范围是（ ） A ．)1(∞+ B ．)1,0( C ．),0(+∞ D ．? 7． 设函数? ??>≤++=,0,3,0,)(2x x c bx x x f 若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则函数x x f y -=)(的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8． 无论m 取哪个实数值，函数)2 3(232--+-=x m x x y 的零点个数都是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定 9． 已知函数).0(42)( 2>++=a ax ax x f 若0,2121=+ 必修1第一章集合与函数概念 知识归纳 一、集合有关概念 1.集合的中元素的三个特性：确定性、元素的互异性、无序性。 2.关于“属于”的概念：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a A 3.集合的表示：用拉丁字母表示集合：集合的表示方法：列举法与描述法。 4.数集：自然数集N ；正整数集N*或 N+；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 5.集合的表示法：（1）列举法：{a ,b,c……}；（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法；（3）语言描述法；（4）Venn 图。 6.集合的分类：有限集（含有有限个元素的集合）、无限集（含有无限个元素的集合）、空集（不含任何元素的集合）。 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集：B A ?有两种可能（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。 2．“相等”关系：“元素相同则两集合相等” 注：① 任何一个集合是它本身的子集（A A ）；②真子集:如果A B,且A B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)； ③如果 A B, B C ,那么 A C ；④ 如果A B 同时 B A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集 三、集合的运算 交集A B （读作‘A 交B’），即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝； 并集A B （读作‘A 并B’），即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})； 全集U 中子集A 的补集记作A C U ，即C U A=},|{A x U x x ?∈且. 二、构成函数的三要素（定义域、对应关系和值域）：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，称这两个函数相等（或为同一函数）；（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合；(6)指数为零底不可以等于零；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 2．值域： 先考虑其定义:(1)观察法 (2)配方法(3)代换法 值域补充:（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域都应先考虑其定义域. （2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，是求解复杂函数值域的基础。 3.函数的解析表达式：（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一 个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太 平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球 队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2） A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的 真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)【新教材】 新人教A版必修一 函数与方程 教案
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