第二章3基与维数

线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是由一组元素构成的集合，这些元素之间满足线性运算的性质。

在线性空间中，基与维数是两个重要的概念。

一、线性空间的基线性空间的基是指线性空间中的一组线性无关的元素，通过这组元素可以表示整个线性空间中的任意元素。

换言之，线性空间中的每个元素都可以唯一地由基中的元素线性组合而成。

线性空间的基具有以下特性：1. 基中的元素线性无关，即任意一个基中的元素不能被其他基中的元素线性表示。

2. 基中的元素张成整个线性空间，即线性空间中的任意元素都可以由基中的元素线性组合而成。

3. 基中的元素个数是唯一的，即同一个线性空间中的不同基所包含的元素个数是相同的，这个个数称为线性空间的维数。

二、线性空间的维数线性空间的维数是指线性空间中的基所包含的元素的个数，用整数表示。

维数是衡量线性空间大小的一个重要指标。

线性空间的维数具有以下性质：1. 对于一个线性空间，如果存在一个有限的基，则该线性空间的维数是有限的。

2. 对于一个线性空间，如果不存在有限的基，则该线性空间的维数是无限的。

维数是线性空间一个重要的性质，它决定了线性空间的很多性质。

在线性代数中，我们可以通过求解线性方程组的秩来确定线性空间的维数。

三、基与维数的应用基与维数在线性代数的各个分支中有广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景：1. 线性变换的表示：线性变换可以由一个矩阵表示，基的选择与线性变换的矩阵表示密切相关。

2. 向量空间的表示：向量空间中的向量可以由线性组合表示，基的选择可以简化向量空间中向量的表示和计算。

3. 子空间的判断：基与维数可以用来判断一个子集是否构成了线性空间的子空间。

4. 线性方程组的解空间：线性方程组的解空间可以由基与维数表示。

总结：线性空间的基与维数是线性代数中的重要概念。

基是线性空间中一组线性无关的元素，可以表示线性空间中的任意元素；维数是基所包含的元素的个数，它决定了线性空间的很多性质。

线性空间基和维数的求法 （邓云斯、李秀珍、高华艳）方法一(定义法):根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足:(1)n ααα,2,1 线性无关；(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示. 那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基.如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就成为无限维的. 例1 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基. 解 易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2. 方法二(维数确定基法):在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基.例2 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----构成[]n R x 的基.证明 ()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=由1n x-的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -=依此类推便有110n n k k k -====，故()()11,1,,1n x x ---线性无关又[]nR x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---为[]nR x 的基.方法三(利用同构求维数法):数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 例3 设0110A -⎛⎫=⎪⎝⎭，证明：由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组成的空间()0110V f A A ⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间{}',V a bi a b R =+∈｜同构，并求它们的维数.证明 V 中任一多项式可记为()()=,,f A aE bA a b R +∈，建立'V 到V 的如下映射()()11111111:,a bi f A a E b A a b R σα=+→=+∈易证σ是'V 到V 上既是单射又是满射即一一映射. 再设222,a b i α=+ 22,,a b R K R ∈∈，则有()()()()()()()121212121212a a b b i a a E b b A σαασσασα+=+++=+++=+⎡⎤⎣⎦()()()111111k ka kbi ka E ka A k x σασσ=+=+=故σ是'V 到V 的同构映射，所以V 到'V 同构 另外，易证'V 的一个基为1，i ，故'dim 2V ='VVdim 2V ∴=方法四(求可逆矩阵确定基法)：设12,,,n ααα与12,,,n βββ是n 维线性空间V 中两组向量，已知12,,,n βββ可由12,,,n ααα线性表出：11112121n n a a a βααα=+++ 21212222n n a a a βααα=+++ 1122n n n nn n a a a βααα=+++令111212122212n n n n nn a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭如果12,,,n ααα为V 的一组基，那么当且仅当A 可逆时，12,,,n βββ也是V 的一组基.例4 已知231,,,x x x 是[]4p x 的一组基，证明()()231,1,1,1x x x +++也是[]4p x 的一组基.证明 因为23111000x x x =⋅+⋅+⋅+⋅23111100x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅()223111210x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅ ()323111331x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅且11110123000120001A =≠ 所以()()231,1,1,1x x x +++也为[]4p x 的一组基.方法五(向量等价求基法):如果空间V 中一向量组与V 中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基.例5 设[]2R x 表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明22,,1x x x x x +-+为这空间的一组基.证明 ()()()2212310k x x k x x k x ++-++=则121233000k k k k k k +=⎧⎪-+=⎨⎪= ⎩解得3210k k k ===于是22,,1x x x x x +-+线性无关，它们皆可由2,,1x x 线性表示，因此22,,1x x x x x +-+与2,,1x x 等价，从而[]2R x 中任意多项式皆可由22,,1x x x x x +-+线性表示，故22,,1x x x x x +-+为[]2R x 的基.方法六（求两个子空间交集的基确定维数法）：对以一组向量1212,,,ααββ为列向量做成的矩阵施行行初等变换和列初等变换，不改变矩阵1212,,,ααββ间的线性关系.任何一个m n ⨯矩阵A ，总可以通过行初等变换和列变换化为标准阶梯型矩阵：00rI B ⎛⎫⎪⎝⎭，其中r I 表示r 阶单位矩阵.依据这两个定理，我们可以很方便地求出12V V 的一个基，从而确定了维数.例 6 设()()112212,,,V L V L ααββ==是数域F 上四维线性空间的子空间，且()()()()12121,2,1,0,1,1,1,1;2,1,0,1,1,1,3,7.ααββ==-=-=-求12V V 的一个基与维数. 解 若12r V V ∈，则存在1212,,,x x y y F --∈，使11221122r x x y y ααββ=+=-- (1)即有112211220x x y y ααββ+++= (2)若1212,,,ααββ线性无关，（2）仅当2120x x y y ====时成立 那么12V V 是零子空间，因而没有基，此时维数为0，12V V +是直和若存在不全为零的数1212,,,x x y y 使（2）成立，则12V V 有可能是非零子空间若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r .以1212,,,ααββ为列向量作矩阵A ，经行初等变换将A 化为标准阶梯形矩阵A .112110121110104110300130117000A A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−−−→= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行初等变换212143βααβ=-++()1212435,2,3,4r ααββ∴=-+=-+=-是12V V 的一个基 ()12dim 1V V =同时知，12,αα是1V 的一个基，1dim 2V =12,ββ是2V 的一个基，2dim 2V =1212,,,ααββ是12V V +的一个基，()()12dim =3V V A +=秩方法七(极大无关组确定基法):线性空间V 中任意一个向量α，都可以表示成V 中的一组线性无关向量组的线性组合，则这一组线性无关向量组就是V 的基. 例7 求112()V L αα=，与212()V L ββ=，的交的基和维数. 设12(1,2,1,0)(11,1,1)αα=⎧⎨=-⎩，，12(21,0,1)(11,3,7)ββ=-⎧⎨=-⎩，，解 任取12V V α∈，则11122V x x αααα∈=+，，且21122V y y ααββ∈=+，，1122112x x y y αααββ=+=+（注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在1V 、2V 中的表示，并非本题所求，即要在空间21V V 中将α线性表出）11221120x x y y ααββ∴+--=，求1212,,,x x y y121212121222122020300x x y y x x y y x x y x y y ---=⎧⎪+-+=⎪⎨+-=⎪⎪--=⎩ ７ 解得1212(,,,)(,4,3,)x x y y k k k k =--1212(4)(3)(5,2,3,4)k k k αααββ∴=-=-+=-故12V V 是一维的，基是(5,2,3,4)-易知(5,2,3,4)-是非零向量，是线性无关的.方法八（利用维数公式求子空间的基和维数法）：按维数公式求子空间的交与和的维数和基 维数公式：如果1,2V V 是有限维线性空间V 的两个子空间，那么()()()()121212d i m d i m d i m d i m V V V V V V +=++例8 已知()()123,1,2,1,0,1,0,2αα=-=()()121,0,1,3,2,3,1,6ββ==--求由向量12,αα生成的4p 的子空间()112,V L αα=与向量1,2ββ生成的子空间()212,V L ββ=的交与和空间的维数的一组基.解 因为()121212,,,V V L ααββ+=，对以1212,,,ααββ为列的矩阵施行行初等变换：30120000110311032011001112360003A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭秩A =秩3B =，所以12V V +的维数是3且1212,,,ααββ为极大线性无关组，故它们是12V V +的一组基.又由12,αα线性无关知1V 的维数为2，同理2V 的维数也为2，由维数公式知12V V 的维数为()2231+-=.从矩阵B 易知12122ββαα+=-,故()123,3,2,3ββ+=--是12,V V 公有的非零向量，所以它是交空间12V V 的一组基.方法九(替换定理法):由替换定理确定交空间的维数. 替换定理：设向量组12,,,r ααα线性无关，并且12,,,r ααα可由向量组12,,,s βββ线性表出，那么()1r s ≤()2必要时可适当对12,,,s βββ中的向量重新编号，使得用12,,,r ααα替换12,,,r βββ后所得到的向量组121,,,,,,r r s αααββ+与向量组12,,,s βββ等价.特别，当r s =时，向量组12,,,s ααα与向量组12,,,s βββ等价.例9 已知向量组()()()()12342,0,1,3,0,3,1,0,1,2,0,2,2,6,3,3,αααα====设它们是向量组1,23,βββ的线性组合，又设向量组12,,,m r r r 与向量组123,,βββ等价，试求12,,,m r r r 生成的空间的交空间的基和维数.解 2013041107010*********10120212021202263306200000----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然1234,,,αααα线性相关，123,,ααα线性无关 由替换定理知123,,ααα与123,,βββ等价，进而知12,,,m r r r 与123,,ααα等价于是()12,,,m L r r r 维数为3，基为()123124,,;,,L αααααα维数为2，基为12,,αα因此，()()12412,,,,,m L L r r r ααα⊂故()124,,L ααα与()12,,,m L r r r 的交空间的基为12,,αα维数为2。

求基与维数的流程
在数学，特别是线性代数中，“基”与“维数”的概念通常关联于向量空间：
1. 基（Basis）：在向量空间V中，一组线性无关的向量集合，且能通过线性组合生成整个向量空间，这样的集合称为V的一个基。

例如，在三维空间中，三个正交单位向量构成一个基。

2. 维数（Dimension）：向量空间的维数定义为构成该空间的一组基中所含向量的数量。

也就是说，如果一个基含有n个线性无关的向量，则相应向量空间的维数就是n。

流程概括：
- 确定向量空间V。

- 寻找一组线性无关的向量集合。

- 如果这组向量能够张成整个向量空间，那么它们就是一个基。

- 计算基中向量的数量，这个数量即为向量空间的维数。