含30度角的直角三角形

第08讲含30度直角三角形与斜边上的中线重难点：含30度角的直角三角形的性质定理和直角三角形斜边上中线的发现与证明一．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．二．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．一．含30度角的直角三角形（共13小题）1．（2022秋•如皋市校级期末）如图，小明沿倾斜角∠ABC＝30°的山坡从山脚B点步行到山顶A，共走了500m，则山的高度AC是．2．（2022秋•泰州月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．1.8B．2.2C．3.5D．3.83．（2022秋•兴化市月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（）A．4B．6C．8D．104．（2022秋•无锡期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，CD是AB边上的高．若AB＝10，则CD ＝．5．（2022秋•溧水区期末）证明：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，．求证：．证明：．6．（2022秋•锡山区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm7．（2022秋•江都区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为．8．（2022秋•东台市期中）如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D是BC上一点，BD＝3，DE⊥BC交AB于点E，则线段AE＝．9．（2022秋•南通期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，点P从点B开始以1cm/s 的速度向点C移动，当△ABP为直角三角形时，则运动的时间为（）A．3s B．3s或4s C．1s或4s D．2s或3s10．（2022秋•崇川区校级月考）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设P A＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x11．（2022秋•兴化市校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝16，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝4，则OM＝．12．（2022秋•江宁区校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB 上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝．13．（2022秋•涟水县期中）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝12cm，点EF在边OB上，且PE＝PF，若EF＝2cm，则OE＝cm．二．直角三角形斜边上的中线（共10小题）14．（2022秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中点，则∠BCD ＝°．15．（2022秋•鼓楼区校级期末）若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是．16．（2022秋•海陵区校级期末）直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的中线长是．17．（2022秋•兴化市校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．18．（2022秋•兴化市期末）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E 是CF的中点．（1）求证：DE⊥CF；（2）求证：∠B＝2∠BCF．19．（2022秋•镇江期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠BED的度数为（）A．118°B．108°C．120°D．116°20．（2022秋•江都区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，若CD＝2cm，则AB＝cm．21．（2022秋•徐州期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，连接BE、BD、DE．（1）求证：△BED是等腰三角形；（2）当∠BAD＝°时，△BED是等边三角形．22．（2022秋•南京期末）如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点．（1）求证：DE＝CE；（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．23．（2022秋•常州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点连接DF、EF．（1）求证：DF＝EF；（2）连接DE，若AC＝2，ED＝1．①判断△DEF的形状，并说明理由；②＝．一．选择题（共7小题）1．（2022春•清江浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD 的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°2．（2021秋•惠山区校级月考）如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE ＝6，则△ABC的面积是（）A．24B．25C．30D．363．（2022秋•玄武区校级月考）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（）A．2B．3C．3.5D．44．（2022秋•宿城区期中）如图所示，公路AC、BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为6km，则M、C两点间的距离为（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km5．（2022秋•工业园区校级期中）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（）A．12B．30C．27D．326．（2022秋•淮安区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若CD＝2.5，AB的长为（）A．2.5B．4C．5D．67．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，木杆AB斜靠在墙壁上，P是AB的中点，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动，则下滑过程中OP的长度变化情况是（）A．逐渐变大B．不断变小C．不变D．先变大再变小二．填空题（共7小题）8．（2022秋•通州区校级月考）如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝．9．（2022秋•大丰区期中）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4cm．以点A 为圆心、AB长为半径画弧，交BC边的延长线于点D，则AD长为cm．10．（2022秋•兴化市月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，则AB＝．11．（2020秋•盐都区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，若AB＝10，则CD＝．12．（2021秋•沭阳县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB 于点E，交BC于点D，CD＝1，则BC的长为．13．（2022秋•玄武区校级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C 从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是秒时，△ABC是直角三角形．14．（2022秋•海安市期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD＝．三．解答题（共7小题）15．（2022秋•扬州期中）如图，在等边△ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝3，求CD的长．16．（2022秋•泗阳县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE．（1）求证：CD＝AE；（2）若∠B＝50°，求∠BCE的度数．17．（2022秋•淮阴区期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于E，D为垂足，连接BE．（1）若∠ABC＝75°，求∠AED的度数；（2）若AB＝6cm，△BCE的周长是11cm，求BC的长度．18．（2022秋•秦淮区校级月考）证明：直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半．19．（2022秋•江都区校级月考）如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，连结DM、ME，求∠DME的度数；（3）猜想∠DME与∠A之间的关系，并证明你的猜想．20．（2022秋•建邺区校级期中）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：BC＝AB．21．（2022秋•鼓楼区期中）证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明．已知：；求证：；证明过程：．一．选择题1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°．首先以顶点B 为圆心、适当长为半径作弧，在边BC 、BA 上截取BE 、BD ；然后分别以点D 、E 为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠CBA 内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ．若BG ＝1，P 为边AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）A ．无法确定B ．12C ．1D ．22．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，点D 在边BC 上，且AD ＝AC ，若AB ＝6，CD ＝4，则BD 的长为（ ）A ．3B ．2.5C ．2D ．13．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BD 平分∠ABC 交边AC 于点D ，E 为BD 的中点，若BC ＝2√3，则CE 的长为（ ）A ．√3B ．2C ．52D ．34．如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝10，点M 、N 在边OB 上，PM ＝PN ，若MN ＝2，则OM ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，已知∠ACB ＝60°，PC ＝12，点M ，N 在边CB 上，PM ＝PN ．若MN ＝3，则CM 的长为（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.56．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 是AC 边上的动点（点E 与点C 、A 不重合），设点M 为线段BE 的中点，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，连接MC 、MF ．若∠CBA ＝50°，则在点E 运动过程中∠CMF 的大小为（ ）A．80°B．100°C．130°D．发生变化，无法确定7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（）A．12 B．9 C．6 D．38．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.6km，则M、C 两点间的距离为（）A．1.8km B．3.6km C．3km D．2km二．填空题9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BE＝4，则AC＝．10．一副三角板按如图所示的位置摆放，△BDE的直角边BD恰好经过Rt△ABC斜边AC的中点M，BE交AC于点F，则∠BFM＝°．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝6，则AB＝．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN＝．13．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延长AB到点D，使BD＝BC，连接CD，若AC＝2，则CD的长为．三．解答题14．在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论．15．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．16．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC ＝12．（1）求证：BD⊥BC．（2）求DB的长．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，且CD是AB边的中线，CE是BD边的中线，当DE＝2时，求AC的长．18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点．（1）∠OAC和∠OCA相等吗？请说明理由；（2）若P为AC中点，试判断OP与AC的关系．19．已知在△ABC中，∠B＝60°，AD＝14，CD＝12，S△ADC＝30√3，求BD的长．。

三十度角的直角三角形三边关系三十度角的直角三角形是一种特殊的直角三角形，其中一个角度为30度，另外一个为90度，而最后一个角度则为60度。

在这种三角形中，我们可以根据已知的角度和边长之间的关系来求解其他未知的边长。

令直角三角形的三边分别记为a、b、c，则根据三角形的性质，我们可以得到以下三个关系式：1.正弦定理（Sine Rule）正弦定理是一个角度与边长之间的关系，其公式可以表示为：sin A / a = sin B / b = sin C / c其中，A、B、C分别代表三个角度的度数，a、b、c则对应三个边长的长度。

在三十度角的直角三角形中，我们可以根据已知的角度和边长之间的关系来求解其他未知的边长。

例如，已知角A为30度，边a为1，我们可以利用正弦定理来求解其他两个边长b和c的关系。

我们知道sin 30度等于1/2，代入公式中，我们得到：1/2 / 1 = sin B / b = sin 90 / c解方程得到：b = 2c = 2√3因此，在这种特殊情况下，边长b的长度为2，边长c的长度为2√3。

2.三角函数关系在三角形中，我们还可以利用三角函数的关系来求解直角三角形的边长和角度。

在三十度角的直角三角形中，我们可以利用正弦、余弦和正切的关系来求解边长和角度。

-正弦函数（sin）在三角形中，对于一个角A，其正弦函数可以表示为sin A =对边/斜边，在直角三角形中，对边正好对应直角边，斜边对应斜边。

例如，已知三十度角的直角三角形中的直角边边长为1，我们可以利用正弦函数来求解斜边的长度。

我们知道sin 30度等于1/2，代入公式中，我们得到：sin 30度= 1 / c解方程得到：c = 2因此，在这种特殊情况下，斜边的长度为2。

-余弦函数（cos）在三角形中，对于一个角A，其余弦函数可以表示为cos A =邻边/斜边，在直角三角形中，邻边即为直角边，斜边为斜边。

例如，已知三十度角的直角三角形中的直角边边长为1，我们可以利用余弦函数来求解斜边的长度。

《含30度角的直角三角形性质》说课稿《含30度角的直角三角形性质》说课稿一、教材：1、教学内容：八年级第十三章第三节”等边三角形”第二课时“含30度角的直角三角形的性质”。

2、教材分析：本节内容是在学生学习了等边三角形的性质，由实验几何转向论证几何的基础上，学习含30度角的直角三角形的性质定理。

特别是定理证明的添设辅助线的方法相当重要，且难度较太。

3、学习目标：4、重点：含30度角的直角三角形性质定理的应用。

5、难点：含30度的直角三角形性质定理的证明思想方法。

二、教法与学法：为了达到教学目标，取得较好的教学效果，这节课的.教学采取了情景创设、提出问题、学生活动（观察、实验），教师启发点拨，师生归纳概括和学生掌握的再活动、再应用。

最大限度调动学生的积极性。

通过定理的证明，激发学生的求知欲，同时通过图形的变换，抓住关键，突出重点。

在课堂教学中充分发挥以教师为主导，以学生为主体，以训练为主线的“三主”作用。

通过学生自己动手帮助学生理解定理，便于记忆。

让学生通过教师的启发、分析、提问进行观察、对比、归纳、概括，达到共同参与的目的。

课堂形式活泼轻松，易于发挥。

通过图形的变换，培养学生的抽象能力和创新精神。

这样举一反三，易于迁移，引导学生发现并提出新问题，努力摆脱思维定势的影响，进行类比联想，促使学生的思维向多层次、多方位发散。

课堂设计从学生的生理、心理特点和思维特征出发，使课堂四十分钟充分发挥其效益。

三、教学步骤：1、引出定理，加以巩固。

由前面学过的三角形的内角和定理引出今天学习直角三角形的一些性质。

提出问题“直角三角形除了具备三角形的性质以外，还具备什么性质？”通过学生共同参与推出定理，并进行练习。

本教案把练习第一题作了适当的变动，目的是巩固定理，并为以后学习相似三角形打下基础。

2、启发诱导，证明定理。

针对新教材的要求和特点，通过学生动手操作得出直角三角形斜边上的中线等于它的一半这个命题，借助投影给学生一个旋转的直观认识，并加以论证。

角度30度的直角三角形公式直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。

而角度30度的直角三角形是直角三角形中的一种特殊情况。

在这篇文章中，我们将探讨角度30度的直角三角形的特点以及相关的公式。

角度30度的直角三角形具有以下特点：1. 三角形中的两个边长之间存在特殊的关系：长边的长度是短边的2倍。

这意味着，如果我们知道短边的长度，就可以轻松计算出长边的长度。

2. 三角形中的两个角度之和为90度。

由于一个角度已知为30度，另一个角度即为60度。

那么，如何计算角度30度的直角三角形中的边长呢？我们可以使用勾股定理和三角函数来求解。

我们可以利用勾股定理来计算三角形中的边长。

勾股定理表达式为：c² = a² + b²，其中c为斜边的长度，a和b分别为两个直角边的长度。

在角度30度的直角三角形中，我们可以将短边的长度记为a，长边的长度记为2a。

根据勾股定理，我们可以得到：(2a)² = a² + b²。

将上述表达式进行化简，我们可以得到：4a² = a² + b²。

进一步化简，得到：3a² = b²。

接下来，我们可以利用三角函数来计算角度30度的直角三角形中的边长。

在直角三角形中，三角函数的定义如下：- 正弦函数（sin）：sinθ = 对边/斜边- 余弦函数（cos）：cosθ = 邻边/斜边- 正切函数（tan）：tanθ = 对边/邻边在角度30度的直角三角形中，可以利用正弦函数和余弦函数来求解边长。

由于三角形中已知一个角度为30度，我们可以利用sin30°和cos30°的值来计算边长比例。

sin30° = 对边/斜边 = 1/2cos30° = 邻边/斜边= √3/2根据上述比例，我们可以得到：短边/斜边 = 1/2，即斜边 = 2 * 短边长边/斜边= √3/2，即长边= 2 * √3 * 短边我们得出了角度30度的直角三角形的相关公式：短边 = a长边= 2 * √3 * a斜边 = 2 * a这些公式可以用来计算角度30度的直角三角形中的边长。

含30度角的直角三角形三边关系比例一、直角三角形的性质直角三角形是指其中有一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，三条边之间有着特定的关系比例，其中包括含30度角的直角三角形。

下面我们将重点讨论含30度角的直角三角形中三边的关系比例。

二、含30度角的直角三角形的特点1. 角度关系含30度角的直角三角形中，另外一个角度是60度，而最后一个角度即为90度。

2. 边长关系设直角三角形的三条边分别为a、b、c，其中a为斜边，b、c为两个直角边。

根据三角函数中正弦、余弦和正切的定义，我们可以得出以下关系：sin30°=b/c，即b=1/2c；cos30°=a/c，即a=√3/2c；tan30°=b/a，即b=a/√3=√3/3。

三、含30度角的直角三角形的应用含30度角的直角三角形在实际生活中有着广泛的应用，在工程学、建筑学等领域都有着重要的地位。

下面我们就会列举一些含30度角的直角三角形的应用例子。

1. 光学仪器在光学仪器中，含30度角的直角三角形被广泛用于折射、反射等光学现象的研究中。

比如反射三棱镜中的反射角度就是30度，而折射角度也与此有关。

2. 地形测量在地形测量中，含30度角的直角三角形经常用于测量斜坡的倾角、高度差等地形信息，为地理学家、土木工程师等提供重要的数据支持。

3. 建筑设计在建筑设计中，含30度角的直角三角形被用于设计坡顶、楼梯的护栏、天窗等部分，为建筑师提供了良好的设计基础。

四、结语含30度角的直角三角形是一种重要的几何图形，其三边关系比例对于许多实际问题的解决具有重要意义。

通过深入了解和研究含30度角的直角三角形，我们可以更好地应用数学知识于实际生活中，为人类社会的发展和进步做出贡献。

希望本文能够给读者带来有益的启发，激发大家对数学的兴趣。

五、含30度角的直角三角形的计算在含30度角的直角三角形中，我们可以利用三角函数来计算三边的关系比例。

如果已知斜边或直角边的长度，我们可以通过代入三角函数公式来计算其他边的长度。