七年级数学上册51相交线511对顶角课时提升作业(含解析)(新版)华东师大版.doc

第五章相交线与平行线5.1。

1对顶角一．选择题(共8小题)1下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．2．如图，直线a，b相交于点O,若∠1等于50°，则∠2等于（）A．50°B．40°C．140°D．130°3．如图,直线AB、CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（）A．38°B．104°C．142°D．144°4．如图,已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠BOD=70°，则∠COE的度数是（）A．45°B．70°C．55°D．110°5．在一个平面上任意画3条直线，最多可以把平面分成的部分是（）A．4个B．6个C．7个D．8个6．下列说法正确的个数是（）①连接两点的线中以线段最短；②两条直线相交，有且只有一个交点；③若两条直线有两个公共点,则这两条直线重合；④若AB+BC=AC,则A、B、C三点共线．A． 1 B． 2 C． 3 D．47．下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（）A．B． C． D ．8．如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）A．∠2和∠3B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠1和∠2二．填空题(共6小题）9．如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC=40°，则∠DOE=_________ 度．10．如图，直线AB与直线CD相交于点0，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB,∠BOD=45°，则∠COE的度数为_________ 度．11．如图,直线AB、CD相交于点O，若∠COE=80°,OA平分∠COE，则∠COB=_________ ．12．三条直线两两相交,则交点有_________ 个．13．观察下列图形，并阅读，图形下面的相关字．两条直线相交最多有1个交点三条直线相交最多有3个交点四条直线相交最多有6个交点则n条直线最多有_________ 个交点．14．用剪刀剪东西时，剪刀张开的角度如图所示，若∠1=25°，则∠2=_________ 度．三．解答题（共8小题）15．如图，直线AB、CD、EF相交于O点,已知∠AOE=20°，∠DOB=52°，OG平分∠COF．求∠EOG的度数．16．如图，已知：直线AB与CD相交于点O,∠1=50度．求：∠2和∠3的度数．17．如图，直线AB、CD相交于点O,OA平分∠COE，∠COE:∠EOD=4：5，求∠BOC的度数．18．如图所示，直线AB、CD交于点O，∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE,∠AOC=30°,试求∠EOF 的度数．19．如图，直线AB、CD相交于点O，∠1=35°，∠2=75°，求∠EOB的度数．20．如图,直线AB，CD相交于点O，OC是∠AOE的平分线,∠BOD与∠COE相等吗？为什么？21．如图所示，直线AB，CD交点于O，OE平分∠BOD，且∠3：∠2=8：1，求∠AOC的度数．22．观察下列图形，阅读下面的相关文字并回答以下问题：两条直线相交三条直线相交四条直线相交只有一个交点最多的3个交点最多有6个交;猜想：①5条直线相交最多有几个交点？②6条直线相交最多有几个交点?③n条直线相交最多有n个交点?第五章相交线与平行线5.1.1对顶角参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（)A．B．C．D．考点：对顶角、邻补角．分析：根据对顶角的特征:有公共顶点，且两边互为反向延长线，对各选项分析判断后利用排除法求解．解答: 解：A．∠1、∠2没有公共顶点，不是对顶角,故本选项错误；B．∠1、∠2两边不互为反向延长线,不是对顶角，故本选项错误；C．∠1、∠2有公共顶点，两边互为反向延长线，是对顶角，故本选项正确；D．∠1、∠2两边不互为反向延长线，不是对顶角,故本选项错误;故选:C．点评：本题主要考查了对顶角的定义,熟记对顶角的图形特征是解题的关键,是基础题，比较简单．2．如图，直线a,b相交于点O，若∠1等于50°，则∠2等于（）A．50°B．40°C．140°D．130°考点：对顶角、邻补角．分析: 根据对顶角相等即可求解．解答：解:∵∠2与∠1是对顶角，∴∠2=∠1=50°．故选：A．点评：本题考查了对顶角的识别与对顶角的性质，牢固掌握对顶角相等的性质是解题的关键．3．如图，直线AB、CD交于点O,射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于( ）A．38°B．104°C．142°D．144°考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．专题：常规题型．分析: 根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．解答：解：∵∠BOD=76°,∴∠AOC=∠BOD=76°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=×76°=38°，∴∠BOM=180°﹣∠AOM=180°﹣38°=142°．故选:C．点评：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．4．如图，已知直线AB、CD相交于点O,OE平分∠COB，若∠BOD=70°，则∠COE的度数是（）A．45°B．70°C．55°D．110°考点: 对顶角、邻补角;角平分线的定义．分析: 根据邻补角的性质可得∠COB=110°，再根据角平分线的性质课可得∠COE=∠COB,进而得到答案．解答：解：∵∠BOD=70°，∴∠COB=110°，∵O E平分∠COB，∴∠COE=∠COB=55°，故选：C．点评：此题主要考查了对顶角，邻补角，关键是掌握邻补角互补．5．在一个平面上任意画3条直线,最多可以把平面分成的部分是（)A．4个B．6个C．7个D．8个考点: 相交线．分析：把平面分成的部分最多时，三条直线两两相交，且交点各不相同．解答：解:如图所示，任意三条直线最多把平面分成7个，故选C．点评: 按照条件，真正解决本题的关键是作图．6．下列说法正确的个数是（)①连接两点的线中以线段最短；②两条直线相交，有且只有一个交点；③若两条直线有两个公共点，则这两条直线重合；④若AB+BC=AC，则A、B、C三点共线．A． 1 B． 2 C． 3 D．4考点：相交线；线段的性质：两点之间线段最短；两点间的距离．专题：推理填空题．分析：①根据线段的基本性质解答；②、③由直线的定义解答；④根据两点间的距离解答．解答：解：①线段的基本性质是：所有连接两点的线中，线段最短．故本选项正确;②任意两个点可以通过一条直线连接，所以，两条直线相交，有且只有一个交点，故本选项正确；③任意两个点可以通过一条直线连接,若两条直线有两个公共点，则这两条直线重合；故本选项正确；④根据两点间的距离知，故本选项正确;综上所述，以上说法正确的是①②③④共4个．故选D．点评：此题考查了相交线、线段的性质及两点间的距离．相关链接：直线：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹，向两个方向无限延伸．公理：两点确定一条直线．线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点．线段有如下性质：两点之间线段最短．两点间的距离:连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离．射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸．7．下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（）A．B．C．D．考点: 对顶角、邻补角；平行线的性质；三角形的外角性质．分析：根据对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，可判断；解答：解：A、∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2=180°；故本选项错误;B、∠1、∠2是对顶角,根据其定义；故本选项正确；C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等;故本选项错误；D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．故选B．点评：本题考查了对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，本题考查的知识点较多,熟记其定义，是解答的基础．8．如图,在所标识的角中，互为对顶角的两个角是( )A．∠2和∠3B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠1和∠2考点: 对顶角、邻补角．分析: 两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．解答：解：根据同位角、同旁内角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠2和∠3是对顶角，正确；B、∠1和∠3是同旁内角，错误；C、∠1和∠4是同位角，错误；D、∠1和∠2的邻补角是内错角，错误．故选A．点评：解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．二．填空题（共6小题）9．如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC=40°，则∠DOE=20°度．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析：由∠AOC=40°，根据对顶角相等求出∠DOB=40°，再根据角平分线定义求出∠DOE即可．解答：解：∵∠AOC=40°，∴∠DOB=∠AOC=40°，∵OE平分∠DOB,∴∠DOE=∠BOD=20°，故答案为：20°．点评：本题考查了对顶角的性质角、角平分线定义的应用，关键是求出∠BOD的度数．10．如图，直线AB与直线CD相交于点0，E是∠AOD内一点,已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数为135°度．考点：对顶角、邻补角；垂线．分析：根据题意可得出∠AOC=∠BOD是对顶角，再由垂直即可得出答案．解答：解:∵∠BOD=45°,∴∠AOC=∠BOD=45°(对顶角相等），∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°,∴∠COE=∠COA+∠AOE=45°+90°=135°，故答案为135°．点评：本题考查了对顶角、邻补角以及垂线的性质，是基础知识要熟练掌握．11．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠COE=80°，OA平分∠COE，则∠COB=140°．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析：首先根据角平分线性质可得∠AOC=∠EOC，再根据∠COE=80°算出∠AOC=40°，再利用邻补角的性质可得答案．解答: 解:∵OA平分∠COE，∴∠AOC=∠EOC，∵∠COE=80°，∴∠AOC=40°，∴∠COB=180°﹣40°=140°，故答案为：140°．点评：此题主要考查了角平分线的性质，以及邻补角性质，关键是掌握邻补角互补．12．三条直线两两相交，则交点有1或3 个．考点：相交线．分析: 三条直线两两相交有两种情况，即三条直线不过同一个交点时有三个交点；三条直线过同一个交点时有一个交点．解答：解：如图所示：故三条直线两两相交,则交点有1或3个．故答案为:1或3．点评：本题考查的是三条直线两两相交的情况，解答此类题目的关键是画出图形,找出可能出现的情况再进行解答．13．观察下列图形，并阅读，图形下面的相关字．两条直线相交最多有1个交点三条直线相交最多有3个交点四条直线相交最多有6个交点则n条直线最多有个交点．考点：相交线．专题：规律型．分析：根据已知得出两条直线相交，最多有个交点，三条直线两条直线相交,最多有个交点，四条直线相交，最多有个交点，5条直线相交，最多有个交点，推出n条直线相交,最多的交点个数是．解答：解：∵两条直线相交，最多有1个交点，即1=，三条直线两条直线相交，最多有3个交点，即3=四条直线相交，最多有6个交点，即6=5条直线相交，最多有10个交点,即5=，∴n条直线相交,最多的交点个数是，故答案为:．点评: 本题考查了线段,相交线等知识点，解此题的关键是根据已知得出规律，题目比较典型，但是有一定的难度．14．用剪刀剪东西时,剪刀张开的角度如图所示，若∠1=25°，则∠2=25 度．考点：对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：首先判断所求角与∠1的关系，然后利用对顶角的性质求解．解答：解：∵∠1与∠2是对顶角，∴∠2=∠1=25°．故答案为:25．点评：本题主要考查对顶角的性质，熟练掌握对顶角的性质是解答本题的关键．对顶角的性质：对顶角相等．三．解答题（共8小题）15．如图,直线AB、CD、EF相交于O点,已知∠AOE=20°,∠DOB=52°，OG平分∠COF．求∠EOG的度数．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析: 根据对顶角相等得出∠BOF=∠AOE=20°，即可得出∠DOF，根据平角等于180°，可得出∠COF，再根据OG平分∠COF，即可得出∠COG，从而得出∠EOG的度数．解答：解:∵直线AB、CD、EF相交于O点，∴∠BOF=∠AOE,∠BOD=∠AOC，∵∠AOE=20°,∠DOB=52°∴∠BOF=20°，∠AOC=52°，∴∠COF=180°﹣52°﹣20°=108°，∵OG平分∠COF，∴∠GOF=∠COG=54°，∴∠EOG=∠AOE+∠AOC+∠COG=20°+52°+54°=126°．点评: 本题考查了对顶角、邻补角的定义，以及角平分线的性质,是基础题比较简单．16．如图，已知：直线AB与CD相交于点O,∠1=50度．求：∠2和∠3的度数．考点：对顶角、邻补角．分析：由图示可得∠1与∠3是邻补角，∠1与∠2是对顶角，根据它们的关系就可以分别求出∠2和∠3．解答：解：如图，∵∠1与∠3是邻补角，∴∠3=180°﹣∠1=130°,又∵∠1与∠2是对顶角，∴∠2=∠1=50°．点评：此题主要考查了相交线所形成的邻补角、对顶角的定义及性质，需熟练掌握．17．如图,直线AB、CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE：∠EOD=4：5，求∠BOC的度数．考点：对顶角、邻补角．分析：根据邻补角的定义，∠COE：∠EOD可得∠COE，根据角平分线的性质,可得∠AOC，再根据补角的定义,可得答案．解答：解：由∠COE:∠EOD=4:5，得∠EOD=．∠COE与∠EOD互补，得∠COE+∠EOD=180°,即∠COE+∠COE=180°．解得∠COE=80°．由OA平分∠COE，得∠AOC=∠COE=×80°=40°．由∠BOC与∠AO C互补,得∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣40°=140°．点评：本题考查了对顶角、邻补角，利用了邻补角互补，角平分线的性质．18．如图所示，直线AB、CD交于点O，∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE，∠AOC=30°，试求∠EOF的度数．考点：对顶角、邻补角．分析: 根据对顶角相等，可得∠BOD，根据等式的性质,可得∠DOE，根据角的和差，可得∠AOE，根据角平分线的性质，可得答案．解答: 解：由对顶角相等得∠BOD=∠AOC=30°．∴∠DOE=∠BOD=30°．由角的和差，得∠AOE=∠C0D﹣∠AOC﹣∠DOE=180°﹣30°﹣30°=120°．由OF平分∠AOE,得∠EOF=∠AOE=×120°=60°．点评：本题考查了对顶角、邻补角,利用了对顶角相等，角的和差，角平分线的性质．19．如图，直线AB、CD相交于点O，∠1=35°，∠2=75°，求∠EOB的度数．考点：对顶角、邻补角．分析：根据对顶角的性质,可得∠BOD的度数,再根据角的和差，可得答案．解答：解：由对顶角相等,得∠BOD=∠1=35°．由角的和差，得∠EOB=∠2+∠BOD=35°+75°=110°．点评：本题考查了对顶角、邻补角，利用了对顶角的性质，角的和差．20．如图，直线AB，CD相交于点O，OC是∠AOE的平分线，∠BOD与∠COE相等吗?为什么？考点：对顶角、邻补角;角平分线的定义．分析: 根据角平分线的性质可得∠AOC=∠COE，再根据对顶角相等可得∠AOC=∠BOD,利用等量代换可得∠COE=∠BOD．解答：解:相等，理由：∵OC是∠AOE的平分线，∴∠AOC=∠COE,∵∠AOC=∠BOD,∴∠COE=∠BO D．点评：此题主要考查了角平分线的性质,以及对顶角的性质，关键是掌握对顶角相等．21．如图所示,直线AB，CD交点于O，OE平分∠BOD，且∠3：∠2=8:1，求∠AOC的度数．考点：对顶角、邻补角;角平分线的定义．分析：根据角平分线的性质，可得∠BOD=∠1=∠2，根据补角的性质,可得∠BOD的度数，根据对顶角相等，可得答案．解答: 解：由OE平分∠BOD,得∠BOD=2∠1．由∠3:∠2=8：1，得∠3：∠BOD=8：2．∠3=4∠BOD．由补角的性质，得∠3+∠BOD=180°．∠BOD=45°，由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=45°．点评：本题考查了对顶角、邻补角，利用了角平分线的定义,补角的性质，对顶角的性质．22．观察下列图形，阅读下面的相关文字并回答以下问题：两条直线相交三条直线相交四条直线相交只有一个交点最多的3个交点最多有6个交；猜想：①5条直线相交最多有几个交点？②6条直线相交最多有几个交点？③n条直线相交最多有n个交点?考点：相交线．专题：规律型．分析：先观察图形，找出交点的个数与直线的条数之间的关系，然后进行计算即可．解答：解：①5条直线相交最多有=10个交点；②6条直线相交最多有=15个交点；③n条直线相交最多有个交点．点评：此题考查了相交线，关键是观察图形,找出规律，用到的知识点是同一平面内内n条直线相交最多有个交点．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

华师大新版七年级上学期《5.1.1 对顶角》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．已知∠DOE=2∠AOC，求证：OE⊥CD．2．直线AB、CD相交于点O，OE、OF是两条射线．（1）如图1，若∠EOF=90°，且OD平分∠AOE，∠BOF=60°，求∠AOD的度数；（2）如图2，若OE平分∠BOD，∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（3）如图3，若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x，求∠AOC的度数．（用含x的式子表示）3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE是一条射线，∠1：∠3=2：7，∠2=70°．（1）求∠1的度数；（2）试说明OE平分∠COB．4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，∠DOF=90°．（1）求∠DOE的度数；（2）求∠EOF的度数．5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD（1）若∠AOC=60°，求∠BOE的度数；（2）若OF平分∠AOD，试说明OE⊥OF．6．如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．试说明射线ON平分∠BOC．7．如图，AB、CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON是直角，∠AOC=50°．（1）求∠AON的度数；（2）求∠DON的邻补角的度数．8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM=90°，∠DON=90°（1）若∠COM=∠AOC，求∠AOD的度数；（2）若∠COM=∠BOC，求∠BOD．9．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE．（1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由；（2）若∠AOC：∠AOD=1：5，求∠EOF的度数．10．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE=90°，FO平分∠BOD，∠BOC：∠AOC=1：3．（1）求∠DOE、∠COF的度数．（2）若射线OF、OE同时绕O点分别以2°/s、4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线OE、OF的夹角为90°时，两射线同时停止旋转．设旋转时间为t，试求t值．11．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=70°，∠COF=90°，求：（1）∠BOD的度数；（2）写出图中互余的角；（3）∠EOF的度数．12．如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC=28°，求∠AOE 的度数．13．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC=50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°，∠DEO=30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE=．（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=∠AOE时，求∠BOD 的度数．（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．14．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM=90°，∠DON=90°．（1）若∠COM=∠AOC，求∠AOD的度数；（2）若∠COM=∠BOC，求∠AOC和∠MOD．15．如图：已知直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数．16．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD=75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=∠EOC（1）求∠AOE的度数；（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；②若∠AOF=120°时，直接写出α的度数．17．如图，直线AB与CD相交于点O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．（1）写出∠DOE的补角；（2）若∠BOE=62°，求∠AOD和∠EOF的度数．（3）射线OD与OF之间的夹角是多少？18．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE=60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．19．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOD，∠COE=20°，求∠BOD与∠DOF的度数．20．如图，直线AB、CD相交于O，∠BOC=70°，OE是∠BOC的角平分线，OF 是OE的反向延长线．（1）求∠1，∠2，∠3的度数；（2）判断OF是否平分∠AOD，并说明理由．21．如图，已知直线AB和CD相交于点O，在∠COB的内部作射线OE．（1）若∠AOC=36°，∠COE=90°，求∠BOE的度数；（2）若∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，求∠AOE的度数．22．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含a的代数式表示）23．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．（1）直接写出图中∠AOC的对顶角：，∠EOB的邻补角：（2）若∠AOC=70°且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．24．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①用含x的代数式表示∠EOF；②求∠AOC的度数．25．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC；OE平分∠BOC．（1）图中∠BOD的邻补角为；∠AOE的邻补角为．（2）如果∠COD=25°，那么∠COE=；如果∠COD=60°，那么∠COE=；（3）试猜想∠COD与∠COE具有怎样的数量关系，并说明理由．26．如图，直线AB、CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，∠EOF=90°，∠AOD=70°．（1）求∠BOE的度数；（2）OF是∠AOC的平分线吗？为什么？27．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．28．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为；（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．29．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）画射线OF⊥OE，求∠DOF的度数．30．如图，已知直线a，b被直线c所截，且∠2+∠4=170°，则∠1+∠3=170°，说明理由．31．如图，直线AB、EF交于点O，∠DOB=90°，∠COE=90°（1）如果∠COD=∠EOD﹣40°，求∠BOE的度数；（2）如果5∠FOD=4∠BOF，求∠COA的度数．32．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE=∠COF=90°．（1）∠DOE的余角是（填写所有符合要求的角）．（2）若∠DOE=70°，求∠BOF的度数．（3）若∠DOE=∠BOD，求∠EOC的度数．33．如图，直线AB、CD、EF相交于一点O，∠AOD=3∠AOF，∠AOC=120°，求∠BOE的度数．34．如图，直线AB，CD相交于点D，射线OE，OF，OG分别平分∠AOC，∠AOD 和∠BOD．（1）∠AOE：∠AOF=2：3，求∠BOD的度数；（2）判断OF与OG的位置关系，并说明理由．35．如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠BOM是直角．（1）若∠1=∠2，则∠2的余角有．（2）若∠1=∠BOC，求∠AOD的度数．36．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF 平分∠AOE，∠COF=34°，求∠EOF、∠AOE、∠BOD的度数．37．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，∠DOF=90°．（1）写出图中任意一对互余的角；（2）求∠EOF的度数．38．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC的度数为x，∠BOE=90°，OF平分∠AOD．（1）当x=19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数．（2）当x=60°，射线OE、OF分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF重合时至少需要多少时间？（3）当x=60°，射线OE以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s 的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动．射线OE在转动一周的过程中当∠EOF=90°时，求射线OE转动的时间．39．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．（1）图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的补角为；（2）若∠AOC=75°，且∠BOE：∠EOD=1：4，求∠AOE的度数．40．如图，直线AB与CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF⊥OD．（1）直接写出图中和∠DOE互补的角；（2）∠AOF与∠EOF相等吗？说明理由；（3）若∠BOE=60°，求∠AOD和∠EOF的度数．41．如图，已知直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF的度数．42．已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE 与射线AF交于点G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=；（2）若∠GOA=∠BOA，∠GAD=∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=；（3）将（2）中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=α”，其它条件不变，求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=α（30°＜α＜90°），求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）43．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，且∠1：∠2=1：4，求∠AOC和∠AOF的度数．44．平面内有不重合的4条直线，请指出这4条直线交点个数的所有情况，并画出相应的草图．45．如图，直线AB，CD相交于点O，∠DOE：∠BOE=3：1，OF平分∠AOD，（1）∠AOC=∠AOF﹣30°，求∠EOF；（2）射线OM平分∠AOF，求∠MOE的度数．46．如图，AB，CD，EF交于点O，∠1=20°，∠2=60°，求∠BOC的度数．47．如图，直线AB、CD、EF相交于点O．（1）写出∠BOE的对顶角和邻补角．（2）若∠AOC：∠AOE=2：1，∠EOD=90°，则∠BOC为多少度？48．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．49．如图，直线AB和CD交于点O，∠COE=90°，OD平分∠BOF，∠BOE=50°．（1）求∠AOC的度数；（2）求∠EOF的度数．50．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．华师大新版七年级上学期《5.1.1 对顶角》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．已知∠DOE=2∠AOC，求证：OE⊥CD．【分析】根据题意可得∠DOE=∠EOC，再根据∠DOE+∠EOC=180°可得∠DOE的度数，进而可得OE⊥CD．【解答】证明：∵∠DOE=2∠AOC，OA平分∠EOC，∴∠DOE=∠EOC，又∠DOE+∠EOC=180°，∴∠DOE=∠EOC=90°，∴OE⊥CD（垂直的定义）．【点评】此题主要考查了角平分线定义，以及对顶角和邻补角的性质，关键是掌握对顶角相等，邻补角互补．2．直线AB、CD相交于点O，OE、OF是两条射线．（1）如图1，若∠EOF=90°，且OD平分∠AOE，∠BOF=60°，求∠AOD的度数；（2）如图2，若OE平分∠BOD，∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（3）如图3，若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x，求∠AOC的度数．（用含x的式子表示）【分析】（1）先求得∠BOE、∠AOE，再根据角平分线的定义可得∠AOD的度数；（2）先根据对顶角相等得∠BOD=68°，再由角平分线定义和余角定义可得结论；（3）先表示∠BOE、∠COF，根据平角的定义计算可得结论．【解答】解：（1）∵∠EOF=90°，∠BOF=60°，∴∠BOE=90°﹣60°=30°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∴∠AOE=180°﹣30°=150°；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵OD平分∠AOE，∴∠AOD=∠AOE==75°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）∵∠AOC=68°，∴∠BOD=∠AOC=68°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵OE平分∠BOD，∴∠DOE==×68°=34°，∵∠DOF=90°，∴∠EOF=90°﹣34°=56°；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（3）∵设∠AOE=x，∴∠BOE=180°﹣x，∴∠EOF=15°+180°﹣x=195°﹣x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∵OF平分∠COE，∴∠COF=∠EOF=195°﹣x，∴∠AOC=180°﹣（195°﹣x）﹣15°=x﹣30°．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE是一条射线，∠1：∠3=2：7，∠2=70°．（1）求∠1的度数；（2）试说明OE平分∠COB．【分析】（1）直接利用已知结合∠1+∠3=180°，进而得出答案；（2）利用已知得出∠COE的度数，进而得出答案．【解答】解：（1）∵∠1：∠3=2：7，又∵∠1+∠3=180°，∴∠1=180°×=40°；（2）∵∠1+∠COE+∠2=180°，∴∠COE=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣40°﹣70°=70°，又∵∠2=70°，∴∠2=∠COE，∴OE平分∠COB．【点评】此题主要考查了邻补角以及角平分线的定义，正确得出∠COE的度数是解题关键．4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，∠DOF=90°．（1）求∠DOE的度数；（2）求∠EOF的度数．【分析】（1）由对顶角相等知∠BOD=∠AOC=72°，再根据OE平分∠BOD可得∠BOE=∠DOE=∠BOD=36°；（2）由∠EOF=∠DOF﹣∠DOE求解可得．【解答】解：（1）∵∠AOC=72°，∴∠BOD=∠AOC=72°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=∠BOD=36°；（2）∵∠DOF=90°，∠DOE=36°，∴∠EOF=∠DOF﹣∠DOE=54°．【点评】本题考查了邻补角定义、对顶角相等的性质以及角平分线定义；熟练掌握各个角之间的数量关系是解决问题的关键．5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD（1）若∠AOC=60°，求∠BOE的度数；（2）若OF平分∠AOD，试说明OE⊥OF．【分析】（1）依据对顶角相等，以及角平分线的定义，即可得到∠BOE的度数；（2）依据角平分线的定义，即可得到∠EOF=90°，即可得到OE⊥OF．【解答】解：（1）∵直线AB、CD相交于点O，∴∠BOD=∠AOC=60°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠BOD=30°；（2）∵OF平分∠AOD，∴∠DOF=∠AOD，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOD，∴∠EOF=∠DOF+∠DOE=（∠AOD+∠BOD）=×180°=90°．∴OE⊥OF．【点评】本题主要考查了对顶角以及角平分线，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．6．如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．试说明射线ON平分∠BOC．【分析】根据垂直定义得出∠NOM=90°，求出∠COM+∠CON=90°，∠AOM+∠BON=90°，根据角平分线定义得出∠AOM=∠COM，即可得出∠CON=∠BON，根据角平分线定义得出即可．【解答】解：∵ON⊥OM，∴∠NOM=90°，∴∠COM+∠CON=90°，∠AOM+∠BON=180°﹣90°=90°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠COM，∴∠CON=∠BON，即射线ON平分∠BOC．【点评】本题考查了角平分线定义和对顶角、邻补角等知识点，能够求出∠COM+∠CON=90°、∠AOM+∠BON=90°、∠AOM=∠COM是解此题的关键．7．如图，AB、CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON是直角，∠AOC=50°．（1）求∠AON的度数；（2）求∠DON的邻补角的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠MOB的度数，根据邻补角的性质计算即可．（2）根据题意得到：∠CON为∠DON的邻补角．【解答】解：（1）∵OM平分∠BOD，∠BOD=∠AOC=50°，∴∠BOM=∠DOM=25°，又由∠MON=90°，∴∠AON=180°﹣（∠MON+∠BOM）=180°﹣（90°+25°）=65°；（2）∵∠AON=65°，∠AOC=50°，∴∠CON=∠AON+∠AOC=115°，即∠DON的邻补角的度数为115°．【点评】本题考查的是邻补角的概念以及角平分线的定义，掌握邻补角的性质是邻补角互补是解题的关键．8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM=90°，∠DON=90°（1）若∠COM=∠AOC，求∠AOD的度数；（2）若∠COM=∠BOC，求∠BOD．【分析】（1）利用邻补角的定义结合已知角度得出答案；（2）利用∠COM=∠BOC，得出∩AOC的度数即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠COM=∠AOC，∴∠AOC=∠AOM，∵∠BOM=90°，∴∠AOM=90°，∴∠AOC=45°，∴∠AOD=180°﹣45°=135°；（2）设∠COM=x°，则∠BOC=4x°，∴∠BOM=3x°，∵∠BOM=90°，∴3x=90，即x=30，∴∠AOC=60°，∴∠BOD=60°．【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确得出各角之间关系是解题关键．9．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE．（1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由；（2）若∠AOC：∠AOD=1：5，求∠EOF的度数．【分析】（1）直接利用角平分线的定义以及结合邻补角的定义得出答案；（2）结合已知得出∠AOC的度数，再利用角平分线的定义得出答案．【解答】解：（1）OF与OD的位置关系：互相垂直，理由：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠FOE，∵∠DOE=∠BOD，∴∠AOF+∠BOD=∠FOE+∠DOE=×180°=90°，∴OF与OD的位置关系：互相垂直；（2）∵∠AOC：∠AOD=1：5，∴∠AOC=×180°=30°，∴∠BOD=∠EOD=30°，∴∠AOE=120°，∴∠EOF=∠AOE=60°．【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确得出各角之间关系是解题关键．10．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE=90°，FO平分∠BOD，∠BOC：∠AOC=1：3．（1）求∠DOE、∠COF的度数．（2）若射线OF、OE同时绕O点分别以2°/s、4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线OE、OF的夹角为90°时，两射线同时停止旋转．设旋转时间为t，试求t值．【分析】（1）根据平角的定义和已知条件可求∠BOC的度数，根据对顶角相等可求∠AOD的度数，根据角的和差关系可求∠DOE的度数，根据平角的定义和角平分线的定义可求∠DOF的度数，再根据平角的定义求得∠COF的度数．（2）先求出∠EOF的度数，再根据射线OE、OF的夹角为90°，列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵∠BOC：∠AOC=1：3，∴∠BOC=180°×=45°，∴∠AOD=45°，∵∠BOE=90°，∴∠AOE=90°，∴∠DOE=45°+90°=135°，∠BOD=180°﹣45°=135°，∵FO平分∠BOD，∴∠DOF=∠BOF=67.5°，∴∠COF=180°﹣67.5°=112.5°．（2）∠EOF=90°+67.5°=157.5°，依题意有4t﹣2t=157.5﹣90，解得t=33.75．故t值为33.75．【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及垂线定义和邻补角的定义，正确表示出∠AOD的度数是解题关键．11．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=70°，∠COF=90°，求：（1）∠BOD的度数；（2）写出图中互余的角；（3）∠EOF的度数．【分析】（1）根据对顶角的定义解答；（2）根据余角定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角可得答案；（3）首先计算出∠BOE的度数，再计算出∠BOF的度数，再求和即可．【解答】解：（1）∵∠AOC=70°∴∠BOD=∠AOC=70°；（2）∠AOC和∠BOF，∠BOD和∠BOF，∠EOF和∠EOD，∠BOE和∠EOF；（3）因为OE平分∠BOD，∠BOD=70°所以∠BOE=35°，因为∠COF=90°，且A、O、B三点在一条直线AB上，所以∠BOF=180°﹣70°﹣90°=20°，所以∠EOF=∠BOF=55°．【点评】此题主要考查了角的计算，以及余角，关键是掌握余角定义，理清图形中角的关系．12．如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC=28°，求∠AOE 的度数．【分析】直接利用平角的定义结合角平分线的定义分析得出答案．【解答】解：∵∠AOC+∠AOD=180°，∠AOC=28°，∴∠AOD=152°．∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠AOD=76°．【点评】此题主要考查了平角的定义以及角平分线的定义，正确把握相关定义是解题关键．13．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC=50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°，∠DEO=30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE=40°．（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=∠AOE时，求∠BOD 的度数．（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．【分析】（1）代入∠BOE=∠COE+∠COB求出即可；（2）求出∠AOE=∠COE，根据∠DOE=90°求出∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，推出∠COD=∠DOB，即可得出答案；（3）根据平角等于180°求出即可；（4）分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了1320°；依此列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，又∵∠BOC=50°，∴∠COE=40°；（2）∵OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOE=∠COA，∵∠EOD=90°，∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，∴∠COD=∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD=x°，则∠AOE=4x°，∵∠DOE=90°，∠BOC=50°，∴5x=40，∴x=8，即∠COD=8°∴∠BOD=58°．（4）如图，分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，5t=140，t=28；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了1320°，5t=320，t=64．所以当t=28秒或64秒时，OE与直线OC重合．综上所述，t的值为28或64．故答案为：40°．【点评】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．14．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM=90°，∠DON=90°．（1）若∠COM=∠AOC，求∠AOD的度数；（2）若∠COM=∠BOC，求∠AOC和∠MOD．【分析】（1）根据∠COM=∠AOC可得∠AOC=∠AOM，再求出∠AOM的度数，然后可得答案；（2）设∠COM=x°，则∠BOC=4x°，进而可得∠BOM=3x°，从而可得3x=90，然后可得x的值，进而可得∠AOC和∠MOD的度数．【解答】解：（1）∵∠COM=∠AOC，∴∠AOC=∠AOM，∵∠BOM=90°，∴∠AOM=90°，∴∠AOC=45°，∴∠AOD=180°﹣45°=135°；（2）设∠COM=x°，则∠BOC=4x°，∴∠BOM=3x°，∵∠BOM=90°，∴3x=90，即x=30，∴∠AOC=60°，∠MOD=90°+60°=150°．【点评】此题主要考查了邻补角，关键是掌握邻补角互补．掌握方程思想的应用．15．如图：已知直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数．【分析】（1）根据∠BOE=180°﹣∠AOC﹣∠COE直接解答即可；（2）根据平角的定义可求∠BOD，根据对顶角的定义可求∠AOC，根据角的和差关系可求∠AOE的度数．【解答】解：（1）∠BOE=180°﹣∠AOC﹣∠COE=180°﹣36°﹣90°=54°；（2）∵∠BOD：∠BOC=1：5，∠BOD+∠BOC=180°，∴∠BOD=30°，∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=30°，∴∠AOE=∠COE+∠AOC=90°+30°=120°．【点评】此题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，对顶角相等是解答本题的关键．16．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD=75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=∠EOC（1）求∠AOE的度数；（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；②若∠AOF=120°时，直接写出α的度数．【分析】（1）根据对顶角相等求出∠AOC的度数，设∠AOE=2x，根据题意列出方程，解方程即可；（2）①根据角平分线的定义求出∠BOF的度数即可得结论；②分两种情况：当OF在∠BOC的内部时，如图2，根据α=∠EOF=∠AOF﹣∠AOE可得结论；当OF在∠BOD的内部时，如图3，根据周角与∠AOF和∠AOE的差可得结论．【解答】解：（1）∵∠AOE=∠EOC，即∠AOE：∠EOC=2：3．∴设∠AOE=2x，则∠EOC=3x，∴∠AOC=5x，∵∠AOC=∠BOD=75°，∴5x=75°，解得：x=15°，则2x=30°，∴∠AOE=30°；（2）①∵∠AOE=30°，∴∠BOE=180°﹣∠AOE=150°，∵OF平分∠BOE，∴∠BOF=75°，∵∠BOD=75°，∴∠DOF=75°+75°=150°；②分两种情况：当OF在∠BOC的内部时，如图2，∵∠AOF=120°，∠AOE=30°，∴α=∠EOF=120°﹣30°=90°，当OF在∠BOD的内部时，如图3，∴α=360°﹣∠AOF﹣∠AOE=360°﹣120°﹣30°=210°，综上所述，α的度数为90°或210°．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键，并注意分类讨论的思想．17．如图，直线AB与CD相交于点O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．（1）写出∠DOE的补角；（2）若∠BOE=62°，求∠AOD和∠EOF的度数．（3）射线OD与OF之间的夹角是多少？【分析】（1）根据互补的定义确定∠DOE的补角；（2）先根据角平分线的定义得出∠BOD的度数，再由邻补角定义可得∠AOD=180°﹣∠BOD；先根据邻补角定义可得∠AOE=180°﹣∠BOE，再由角平分线的定义得出∠EOF的度数；（3）运用平角的定义和角平分线的定义，证明∠DOF是90°，得直线OD、OF 的位置关系．【解答】解：（1）∠DOE的补角为∠COE，∠AOD，∠BOC；（2）因为OD是∠BOE的平分线，∠BOD=∠BOE=31°，所以∠AOD=180°﹣∠BOD=149°，因为∠AOE=180°﹣∠BOE=118°、OF是∠AOE的平分线，所以∠EOF=∠AOE=59°，即∠AOD=149°，∠EOF=59°；（3）因为OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，所以∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠BOE+∠EOA=（∠BOE+∠EOA）=×180°=90°．【点评】本题考查了角平分线、补角、垂线的定义以及角的计算，属于基础题型，比较简单．18．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE=60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．【分析】（1）依据∠COE=60°，OA平分∠COE，可得∠AOC=30°，再根据∠AOB=90°，即可得到∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°；（2）①分两种情况进行讨论：当OE平分∠AOB时，∠AOE=45°；当OF平分∠AOB时，AOF=45°；分别依据角的和差关系进行计算即可得到t的值；②分两种情况进行讨论：当OE平分∠BOD时，∠BOE=∠BOD；当OF平分∠BOD时，∠DOF=∠BOD；分别依据角的和差关系进行计算即可得出t的值．【解答】解：（1）∵∠COE=60°，OA平分∠COE，∴∠AOC=30°，又∵∠AOB=90°，∴∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°；（2）①分两种情况：当OE平分∠AOB时，∠AOE=45°，即9t+30°﹣3t=45°，解得t=2.5；当OF平分∠AOB时，AOF=45°，即9t﹣150°﹣3t=45°，解得t=32.5；综上所述，当t=2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；②t的值为12s或36s．分两种情况：当OE平分∠BOD时，∠BOE=∠BOD，即9t﹣60°﹣3t=（60°﹣3t），解得t=12；当OF平分∠BOD时，∠DOF=∠BOD，即3t﹣（9t﹣240°）=（3t﹣60°），解得t=36；综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．【点评】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．19．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOD，∠COE=20°，求∠BOD与∠DOF的度数．【分析】根据角的和差定义，平角的定义，角平分线的定义即可解决问题．【解答】解：∵∠COE=20°，∠BOE=90°，∴∠BOD=180°﹣20°﹣90°=70°，∴∠AOD═180°﹣70°=110°，∵OF平分∠AOD，∴∠DOF=∠AOD=55°．∴∠BOD=70°，∠DOF=55°【点评】本题考查角平分线的定义、角的和差定义、平角的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图，直线AB、CD相交于O，∠BOC=70°，OE是∠BOC的角平分线，OF 是OE的反向延长线．（1）求∠1，∠2，∠3的度数；（2）判断OF是否平分∠AOD，并说明理由．【分析】（1）根据邻补角的定义，即可求得∠2的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得∠3的度数；（2）根据OF分∠AOD的两部分角的度数即可说明．【解答】解：（1）∵∠BOC+∠2=180°，∠BOC=70°，∴∠2=180°﹣70°=110°；∵OE是∠BOC的角平分线，∴∠1=35°．∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠3=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣35°﹣110°=35°．（2）∵∠2+∠3+∠AOF=180°，∴∠AOF=180°﹣∠2﹣∠3=180°﹣110°﹣35°=35°．∴∠AOF=∠3=35°，∴OF平分∠AOD．【点评】此题综合考查了角平分线的定义、平角的定义和对顶角相等的性质．21．如图，已知直线AB和CD相交于点O，在∠COB的内部作射线OE．（1）若∠AOC=36°，∠COE=90°，求∠BOE的度数；（2）若∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，求∠AOE的度数．【分析】（1）根据邻补角求出∠BOC，再代入∠BOE=∠BOC﹣∠COE求出即可；（2）根据邻补角互补和已知求出∠COE、∠EOB、∠BOD的度数，再代入∠AOE=180°﹣∠EOB求出即可．【解答】解：（1）∵∠AOC=36°，∠COE=90°，∴∠BOE=180°﹣∠COE﹣∠BOD=54°；（2）∵∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，∴设∠COE=4α，∠EOB=3α，∠BOD=2α∵∠COE+∠EOB+∠BOD=180°，∴4α+3α+2α=180°∴α=20°∴∠COE=4α=80°，∠EOB=3α=60°，∠BOD=2α=40°，∴∠AOE=180°﹣∠EOB=180°﹣60°=120°．【点评】本题考查了对顶角和邻补角，能熟练地运用对顶角相等和邻补角互补进行计算是解此题的关键．22．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含a的代数式表示）【分析】（1）根据对顶角相等求得∠BOD的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠EOD的度数，则∠COE即可求得，再根据角平分线的定义求得∠EOF，最后根据∠BOF=∠EOF﹣∠BOE求解．（2）利用角平分线定义得出∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，进而表示出各角求出答案．（3）设∠BOE=x，则∠DOE=x，则∠COA=2x，∠BOF=90°﹣x，根据|∠AOC﹣∠BOF|=α°，得到方程|2x﹣（90°﹣x）|=α°，解方程即可求解．【解答】解：（1）∵∠BOD=∠AOC=76°，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOD=×76°=38°．∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣38°=142°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=∠COE=×142°=71°，∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°﹣38°=33°．（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，∴设∠BOE=x，则∠DOE=x，故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，解得：x=36°，故∠AOC=72°．（3）设∠BOE=x，则∠DOE=x，则∠COA=2x，∠BOF=90°﹣x，∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°，∴|2x﹣（90°﹣x）|=α°，解得：x=（）°+α°或x=（）°﹣α°，当x=（）°+α°时，∠AOC=2x=（）°+α°，∠BOF=90°﹣x=（）°﹣α°；当x=（）°﹣α°时，∠AOC=2x=（）°﹣α°，∠BOF=90°﹣x=（）°+α°．【点评】本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键．23．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．（1）直接写出图中∠AOC的对顶角：∠BOD，∠EOB的邻补角：∠AOE （2）若∠AOC=70°且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE 的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．【解答】解：（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠EOB的邻补角是∠AOE，故答案为：∠BOD，∠AOE；（2）∵∠AOC=70°，∴∠BOD=∠AOC=70°，∵∠BOE：∠EOD=2：3，∴∠BOE=×70°=28°，∴∠AOE=180°﹣28°=152°．∴∠AOE的度数为152°．【点评】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解是解答此题的关键．24．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①用含x的代数式表示∠EOF；②求∠AOC的度数．【分析】（1）由对顶角的性质可知∠BOD=70°，从而可求得∠FOB=20°，由角平分线的定义可知∠BOE=∠BOD，最后根据∠EOF=∠BOE+∠FOB求解即可；（2）①先证明∠AOE=∠COE=x，然后由角平分线的定义可知∠FOE=；②∠BOE=∠FOE﹣∠FOB可知∠BOE=x﹣15°，最后根据∠BOE+∠AOE=180°列出方程可求得x的值，从而可求得∠AOC的度数．【解答】解：（1）由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，∵∠FOB=∠DOF﹣∠BOD，∴∠FOB=90°﹣70°=20°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠BOD=×70°=35°，∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°；（2）①∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=∠AOE=x，∵OF平分∠COE，∴∠FOE=x；②∵∠BOE=∠FOE﹣∠FOB，∴∠BOE=x﹣15°，∵∠BOE+∠AOE=180°，∴x﹣15°+x=180°，解得：x=130°，∴∠AOC=2∠BOE=2×（180°﹣130°）=100°．【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力．25．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC；OE平分∠BOC．（1）图中∠BOD的邻补角为∠AOD；∠AOE的邻补角为∠BOE．（2）如果∠COD=25°，那么∠COE=65°；如果∠COD=60°，那么∠COE=30°；（3）试猜想∠COD与∠COE具有怎样的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据互为补角的和等于180°找出即可；（2）先根据角平分线求出∠DOE的度数，再根已知条件解答；（3）根据角平分线求出∠DOE=∠AOB即得结论．【解答】解：（1）答案为：∠AOD；∠BOE；（2）∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠EOD=∠AOB=90°，当∠COD=25°时，COE=65°，当∠COD=60°时，COE=30°，故答案为：65°；30°；（3）∠COD+∠COE=90°．理由如下：因为OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．所以∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC．所以∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC==∠AOB=×180°=90°．【点评】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．26．如图，直线AB、CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，∠EOF=90°，∠AOD=70°．（1）求∠BOE的度数；（2）OF是∠AOC的平分线吗？为什么？【分析】（1）根据角平分线的性质解答；（2）根据邻补角的性质、角平分线的定义解答．【解答】解：（1）∠COB=∠AOD=70°，∵OE是∠COB的平分线，∴∠BOE=∠COB=35°；（2）OF是∠AOC的平分线，理由：∵∠EOF=90°，∠COE=35°，∴∠COF=90°﹣35°=55°，∠AOF=180°﹣90°﹣35°=55°，∴∠COF=∠AOF，即OF是∠AOC的平分线．【点评】本题考查的是角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质，掌握对顶角相等、垂直的定义是解题的关键．27．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．【分析】（1）根据对顶角相等和角平分线的定义计算即可；（2）设∠AOC=x，根据对顶角相等和角平分线的定义用x表示出∠BOE和∠EOF，根据题意列方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵直线AB、CD相交于点O，∴∠BOD=∠AOC=68°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOD=34°，∴∠EOF=∠DOF﹣∠DOE=56°；（2）设∠AOC=x，则∠BOD=x，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=x，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=（180°﹣x），由题意得，（180°﹣x）﹣x=30°，解得，x=80°，∴∠AOC=80°．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质，掌握对顶角相等、邻补角之和为180°以及角平分线的定义是解题的关键．28．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．【分析】（1）利用对顶角、邻补角的定义直接回答即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE 的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．【解答】解：（1）∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；（2）∵∠DOB=∠AOC=70°，∠DOB=∠BOE+∠EOD及∠BOE：∠EOD=2：3，∴得，∴，∴∠BOE=28°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=152°．【点评】本题主要考查了对顶角，邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解．29．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）画射线OF⊥OE，求∠DOF的度数．【分析】（1）根据对顶角相等可得∠BOD=∠AOC，然后根据比例求解即可；（2）先求出∠DOE，再分OF在∠AOD的内部时，∠DOF=∠EOF﹣∠DOE，OF在∠BOC的内部时，∠DOF=∠DOE+∠EOF进行计算即可得解．【解答】解：（1）∵∠AOC=75°，∴∠BOD=∠AOC=75°，∵∠BOE：∠EOD=2：3，∴∠BOE=75°×=30°；（2）∠DOE=∠BOD﹣∠BOE=75°﹣30°=45°，∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°，OF在∠AOD的内部时，∠DOF=∠EOF﹣∠DOE，=90°﹣45°，=45°，OF在∠BOC的内部时，∠DOF=∠DOE+∠EOF，=90°+45°，=135°，综上所述∠DOF=45°或135°．【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角的计算，熟记概念并准确识图是解题的关键．30．如图，已知直线a，b被直线c所截，且∠2+∠4=170°，则∠1+∠3=170°，说明理由．【分析】根据对顶角的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，等量代换即可证明．【解答】证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠4=170°，∴∠1+∠3=170°．【点评】本题考查的是对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．31．如图，直线AB、EF交于点O，∠DOB=90°，∠COE=90°（1）如果∠COD=∠EOD﹣40°，求∠BOE的度数；（2）如果5∠FOD=4∠BOF，求∠COA的度数．。

5.1 1. 对顶角一、选择题1．学习了对顶角后，教师画了如图K－46－1所示的四个图形，那么∠1和∠2是对顶角的图形有( )图K－46－1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图K－46－2，直线AB与CD相交于点O，EO⊥AB，则∠1与∠2()图K－46－2A．是对顶角 B．相等C．互余 D．互补3．如图K－46－3，直线AB，CD相交于点O，且∠AOD＋∠BOC＝236°，则∠AOC的度数为( )图K－46－3A．62° B．72° C．124° D．144°4．如图K－46－4，直线AB和CD相交于点O，射线OM平分∠AOC.若∠AOM＝38°，则∠BOD等于( )图K－46－4A．38° B．52° C．76° D．142°5．如图K－46－5，三条直线l1，l2，l3相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3等于( )图K－46－5A．90° B．120° C．180° D．360°二、填空题6．如图K－46－6，直线AB和CD相交于点O，则∠3的对顶角是________，∠2的邻补角是________．若∠2＝120°，则∠1＝________°，∠4＝________°.图K－46－67．如图K－46－7，点B，O，D在同一条直线上，若OA的方向是北偏东70°，则OD的方向是________．图K－46－78．如图K－46－8，直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，垂足为O.若∠AOC＝65°，则∠DOE的度数是________．图K－46－89．如图K－46－9，直线AB，CD相交于点O，∠COF＝90°，OF平分∠AOE.若∠BOD＝25°，则∠EOF的度数为________．图K－46－9三、解答题10．下列两个图形中各有几对对顶角？请分别写出来.图K－46－1011．如图K－46－11，直线AB，CD相交于点O，∠DOB∶∠BOC＝2∶1，求∠AOC的度数．图K－46－1112．如图K－46－12所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠AOD∶∠DOE ＝4∶1，求∠AOF的度数．图K－46－1213．如图K－46－13所示是小兵自制的对顶角“小仪器”示意图．(1)将三角尺ABC的AC边延长且使AC固定；(2)将另一三角尺CDE的直角顶点与前一个三角尺的直角顶点重合；(3)延长DC，∠PCD与∠ACF就是一对对顶角．已知∠1＝30°，则∠ACF的度数是多少？图K－46－1314．如图K－46－14，直线AE，DB相交于点O，OC为∠AOB的平分线，∠BOC＝28.36°.(1)作OC的反向延长线OF；(2)求∠FOE，∠AOD的度数．图K－46－1415．如图K－46－15，直线AB，CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠BOD＝26°，求∠AOE 和∠COE的度数．图K－46－151．A 2.C3．A 4．C 5 C6．∠1 ∠1，∠3 60 120 7．南偏东40°8．25° 9．65°10．解：图①有4对对顶角，它们分别是∠AOC 与∠BOD，∠BOC 与∠AOD，∠OME 与∠DMF，∠CMF 与∠DME.图②有6对对顶角，它们分别是∠AOC 与∠BOD，∠BOC 与∠AOD，∠OME 与∠DMF，∠CMF 与∠DME，∠ANE 与∠FNB，∠ANF 与∠BNE.11．解：因为∠DOC＝180°，∠DOB ∶∠BOC ＝2∶1，所以∠DOB＝21＋2×180°＝120°.因为直线AB ，CD 相交于点O ， 所以∠AOC＝∠DOB＝120°. 12．解：设∠BOE＝α，∵OE 平分∠BOD，∴∠DOE ＝∠BOE＝α. ∵∠AOD ∶∠DOE ＝4∶1，∴∠AOD ＝4α. 而∠AOD＋∠DOE＋∠BOE＝180°， ∴4α＋α＋α＝180°，∴α＝30°， ∴∠AOD ＝4α＝120°， ∴∠BOC ＝∠AOD＝120°. ∵OF 平分∠BOC， ∴∠COF ＝12∠BOC＝60°.又∵∠AOC＝∠BOD＝2α＝60°， ∴∠AOF ＝∠AOC＋∠COF＝120°.13．解：因为∠PCD＋∠1＝90°，所以∠PCD＝90°－∠1＝90°－30°＝60°.又因为∠PCD＝∠ACF，所以∠ACF＝60°.14．解：(1)如图，射线OF 为OC 的反向延长线．(2)因为射线OF 为OC 的反向延长线，直线AE ，DB 相交于点O ，所以∠FOE＝∠AOC. 因为OC 是∠AOB 的平分线， 所以∠AOC＝∠BOC＝28.36°，所以∠FOE＝28.36°，∠AOD ＝180°－∠AOB＝180°－2∠BOC＝180°－56.72°＝123.28°. 15．∵∠AOC＝∠BOD，而∠BOD＝26°，∴∠AOC ＝26°，则∠AOD＝180°－26°＝154°. 又∵OE 是∠AOD 的平分线，∴∠AOE ＝∠DOE＝12∠AOD＝12×154°＝77°，则∠COE＝∠AOC＋∠AOE＝26°＋77°＝103°.。

第5章相交线与平行线单元大概念素养目标51相交线基础过关全练知识点1对顶角及其性质1.【教材变式·P162T1】(2022海南儋州鑫源中学期末)下列选项中,∠1和∠2是对顶角的是()2.(2022河南南阳九中开学测试)如图,已知直线AB,CD,EF相交于点O,∠1=95°,∠2=53°,则∠BOE的度数为()A.28°B.32°C.42°D.52°3.【新考法】(2023河南南阳宛城期末)为了测量古塔的外墙底角∠AOB的度数,王明设计了如下方案:作AO、BO的延长线OD、OC,量出∠COD的度数,就得到了∠AOB的度数,王明这样做的依据是.4.如图所示的是明明自制的对顶角“小仪器”示意图.(1)将直角三角尺ABC的AC边延长且使AC固定;(2)将另一直角三角尺CDE的直角顶点与三角尺ABC的直角顶点重合;(3)延长DC,则∠PCD与∠ACF就是一对对顶角,已知∠1=30°,则∠ACF的度数是多少?知识点2垂线5.(2022甘肃天水麦积期末)如图,点C到直线AB的距离是()A.线段CA的长B.线段CB的长C.线段AD的长D.线段CD的长6.【跨学科·体育】(2023吉林长春第二实验中学期末)如图所示的是某同学在体育课上跳远后留下的脚印,线段AB的长即为他的跳远距离,能正确解释这一现象的数学知识是()A.两点之间,线段最短B.两点确定一条直线C.垂线段最短D.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直7.(2023河北张家口万全期末)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为点O,∠BOD=50°,则∠COE=()A.30°B.50°C.120°D.140°8.(2023吉林长春第二实验中学期末)如图,点O在直线AB上,OC⊥OD,若∠AOC=120°38',则∠BOD的大小为.9.【数形结合思想】(2023吉林长春绿园期末)如图,已知直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD.(1)若∠AOC=34°,求∠BOE的度数;(2)若∠BOD∶∠BOC=1∶4,直接写出∠AOE= °.知识点3同位角、内错角和同旁内角10.(2022河北唐山一模)如图,与∠α互为内错角的是()A.∠1B.∠2C.∠3D.∠411.(2022广西贺州中考)如图,直线a,b被直线c所截,下列各组角是同位角的是()A.∠1与∠2B.∠1与∠3C.∠2与∠3D.∠3与∠412.(2022吉林长春期末)如图,下列结论中错误的是()A.∠1与∠2是同旁内角B.∠1与∠6是内错角C.∠2与∠5是内错角D.∠3与∠5是同位角13.(2023吉林长春八十七中期末)如图,直线a、b被直线c所截,则∠1与是内错角.14.【新独家原创】如图所示.(1)∠A和∠5可以看成是直线、被直线所截得的角;(2)∠4和∠5可以看成是直线、被直线所截得的角;(3)∠2和∠3可以看成是直线、被直线所截得的角;(4)∠1和∠3可以看成是直线、被直线所截得的角.15.【教材变式·P168T2】分别指出图①②中的同位角、内错角、同旁内角.能力提升全练16.(2022青海中考,6,★☆☆)数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形,如图所示(两大拇指代表被截直线,食指代表截线).从左至右依次表示()A.同旁内角、同位角、内错角B.同位角、内错角、对顶角C.对顶角、同位角、同旁内角D.同位角、内错角、同旁内角17.(2022江苏苏州中考,5,★☆☆)如图,直线AB与CD相交于点O,∠AOC=75°,∠1=25°,则∠2的度数是()A.25°B.30°C.40°D.50°18.【易错题】(2023河南洛阳伊川期末,9,★☆☆)如图,点P是直线a外的一点,点A、B、C在直线a上,且PB⊥a,垂足是B,PA⊥PC,则下列语句不正确的是()A.线段PB的长是点P到直线a的距离B.PA、PB、PC三条线段中,PB最短C.线段AC的长是点A到直线PC的距离D.线段PC的长是点C到直线PA的距离19.(2022吉林长春绿园期末,8,★☆☆)如图,直线AB,CD相交于点O,∠2-∠1=15°,∠3=130°,则∠2的度数是()A.37.5°B.75°C.50°D.65°20.(2023吉林省第二实验学校期末,13,★★☆)如图,直线AB、EF相交于点D,∠ADC=90°.若∠ADE与∠ADC的度数之比为1∶3,则∠CDF的度数是.21.(2023吉林长春八十七中期末,21,★★☆)如图,直线AB、CD相交于点O,OM⊥AB.(1)若∠1=∠2,证明:ON⊥CD;(2)若∠1=1∠BOC,求∠BOD的度数.4素养探究全练22.【规律探究题】【推理能力】(2021黑龙江大庆中考)如图,3条直线两两相交最多有3个交点,4条直线两两相交最多有6个交点,按照这样的规律,则20条直线两两相交最多有个交点.23.【规律探究题】【推理能力】观察,在如图所示的各图中找对顶角(不含平角):(1)如图a,图中共有对对顶角;(2)如图b,图中共有对对顶角;(3)如图c,图中共有对对顶角;(4)研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n条直线相交于一点,则可形成对对顶角;(5)若有2 000条直线相交于一点,则可形成多少对对顶角?答案全解全析基础过关全练1.C 根据对顶角的定义知只有C选项符合,故选C.2.B∵∠1+∠COE+∠BOE=180°,∠COE=∠2=53°,∴∠BOE=180°-95°-53°=32°,故选B.3.答案对顶角相等解析本题以测量古塔的外墙底角为背景,考查对顶角的性质.作AO、BO的延长线OD、OC,量出∠COD的度数,就得到了∠AOB的度数,王明这样做的依据是对顶角相等.故答案为对顶角相等.4.解析由题意可知∠PCD=90°-∠1,所以∠PCD=90°-30°=60°,因为∠ACF=∠PCD,所以∠ACF=60°.5.D 因为CD⊥AB,所以点C到直线AB的距离是线段CD的长.故选D.6.C 解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”,故选C.7.D ∵∠BOD=50°,∴∠AOC=50°,∵EO⊥AB,∴∠COE=90°+50°=140°.故选D.8.答案30°38'解析∵∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC=120°38',∴∠BOC=180°-120°38'=59°22',又∵OC⊥OD,∴∠COD=90°,∴∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-59°22'=30°38'.故答案为30°38'.9.解析(1)∵EO⊥CD,∴∠EOC=90°,∵∠AOC=34°,∴∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=56°.(2)126.提示:∵∠BOD∶∠BOC=1∶4,∠BOD+∠BOC=180°,∴∠BOD=180°×1=36°,∴∠AOC=∠1+4BOD=36°,∵∠COE=90°,∴∠AOE=∠AOC+∠COE=126°.10.A 与∠α互为内错角的是∠1,故选A.11.B A.∠1和∠2是对顶角,故A错误;B.∠1和∠3是同位角,故B正确;C.∠2和∠3是内错角,故C错误;D.∠3和∠4是邻补角,故D错误.故选B.12.C A.∠1与∠2是同旁内角,正确,不合题意;B.∠1与∠6是内错角,正确,不合题意;C.∠2与∠5不是内错角,故错误,符合题意;D.∠3与∠5是同位角,正确,不合题意.故选C.13.答案∠5解析直线a、b被直线c所截,∠1与∠5是内错角.故答案为∠5.14.答案(1)EF;AB;AC;同位(2)AC;CD;EF;同旁内(3)EF;AB;CD;内错(4)EF;AB;CD;同旁内15.解析题图①中的同位角有∠1与∠5,∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与∠8;内错角有∠3与∠6,∠4与∠5;同旁内角有∠3与∠5,∠4与∠6.题图②中的同位角有∠1与∠3,∠2与∠4;没有内错角;同旁内角有∠3与∠2.能力提升全练16.D 根据同位角、内错角、同旁内角的概念,可知从左至右依次是同位角、内错角、同旁内角.故选D.17.D∵∠AOC=75°,∴∠BOD=75°.∵∠1=25°,∠1+∠2=∠BOD,∴∠2=∠BOD-∠1=75°-25°=50°.故选D.18.C 本题易因对点到直线的距离的理解不正确而出错.A.根据点到直线的距离的定义知此选项正确,不符合题意;B.根据垂线段最短可知此选项正确,不符合题意;C.线段AP的长是点A到直线PC的距离,故此选项错误,符合题意;D.根据点到直线的距离的定义知此选项正确,不符合题意.故选C.19.D因为∠3=130°,所以∠1=180°-130°=50°,因为∠2-∠1=15°,所以∠2=∠1+15°=50°+15°=65°,故选D.20.答案120°解析∵∠ADC=90°,∠ADE与∠ADC的度数之比为1∶3,∴∠ADE=90°÷3=30°,∵直线AB、EF相交于点D,∴∠BDF=∠ADE=30°,∵∠BDC=180°-∠ADC=90°,∴∠CDF=∠BDC+∠BDF=90°+30°=120°.故答案为120°.21.解析(1)证明:∵OM⊥AB,∴∠AOM=90°,∴∠1+∠AOC=90°,∵∠1=∠2,∴∠2+∠AOC=90°,即∠CON=90°,∴ON⊥CD.(2)∵OM⊥AB,∴∠BOM=90°,∠BOC,∵∠1=14∴∠BOM=3∠1,∴∠1=30°,∴∠BOD=90°-30°=60°.素养探究全练22.答案190解析2条直线相交有1个交点,3条直线两两相交最多有1+2=3个交点,4条直线两两相交最多有1+2+3=6个交点,……,n条直线两两相交最多有n(n−1)个交点,所以20条2=190个交点.故答案为190.直线两两相交最多有20×19223.解析(1)2.(2)6.(3)12.(4)n(n-1).(5)2 000×(2 000-1)=3 998 000,所以若有2 000条直线相交于一点,则可形成3 998 000对对顶角.。

对顶角(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.如图所示,直线AB,CD相交于O,所形成的∠1,∠2,∠3,∠4中,下列四种分类不同于其他三个的是( )A.∠1和∠2B.∠2和∠3C.∠3和∠4D.∠2和∠42.如图已知∠1+∠3=180°,则图中和∠1互补的角有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图所示,直线AB与CD相交于O点,∠1=∠2.若∠AOE=140°,则∠AOC的度数为( )A.40°B.60°C.80°D.100°二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图,当剪子口∠AOB增大15°时,∠COD增大________度,其根据是______________.5.如图,直线AB,CD,EF相交于同一点O,且∠BOC=∠AOC,∠DOF=∠AOD,那么∠FOC=______度.6.如图所示,已知直线AB,CD相交于点O,∠1∶∠2=2∶3,∠AOC=50°,则∠2的度数是________.三、解答题(共26分)7.(8分)如图,有两堵墙,要测量地面上所形成的∠AOB的度数,但人又不能进入围墙,只能站在墙外.如何运用本章知识进行测量?8.(8分)如图所示,直线AB,CD相交于点O,作∠DOE=∠BOD,OF平分∠AOE,若∠AOC=28°,求∠EOF的度数.【拓展延伸】9.(10分)观察下列图形,寻找对顶角(不含平角):(1)两条直线相交(如图(1)),图中共有______对对顶角.(2)三条直线相交于一点(如图(2)),图中共有________对对顶角.(3)四条直线相交于一点(如图(3)),图中共有________对对顶角.(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n条直线相交于一点,则可构成________对对顶角.(5)若有2014条直线相交于一点,则可构成________对对顶角.答案解析1.【解析】选D.选项A,B,C中的两个角都是相邻且互补关系;选项D中的两角是对顶角.2.【解析】选D.根据相加等于180°的两角称作互为补角,即两角互补.可知∠1的补角有它的两个邻补角∠5和∠7;另外∠1+∠3=180°,根据对顶角相等可知,∠3=∠4,所以∠1+∠4=180°,即∠3和∠4也都是∠1的补角,所以和∠1互补的角有4个.3.【解析】选C.因为∠AOE+∠2=180°,∠AOE=140°,所以∠2=180°-∠AOE =180°-140°=40°.因为∠1=∠2,所以∠BOD=2∠2=80°.又因为∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD=80°.【归纳整合】对顶角的三个用途(1)利用对顶角的定义来辨析:识别两个角是否为对顶角,一要看这两个角是否由两条直线相交得到的,二要看这两个角是不是有公共顶点而没有公共边.只有同时满足这两个条件时,才能断定这两个角是对顶角.(2)利用对顶角的性质来计算:两条直线交于一点,一定会出现对顶角、平角与互补的角,解题中要充分利用它们的性质,搭起已知角与未知角之间的桥梁.(3)利用对顶角的性质来说理:今后经常利用对顶角的性质、角平分线的性质及互余、互补的性质等进行说理.4.【解析】因为∠AOB与∠COD是对顶角,∠AOB与∠COD始终相等,所以∠AOB变化,∠COD也发生同样变化.故当剪子口∠AOB增大15°时,∠COD也增大15°答案：15 对顶角相等5.【解析】因为∠BOC+∠AOC=180°,∠BOC=∠AOC,所以∠AOC+∠AOC=180°,所以∠AOC=108°,所以∠BOC=72°,所以∠AOD =∠BOC =72°,所以∠DOF=∠AOD=24°,所以∠FOC=180°-∠DOF=156°.答案：1566.【解析】因为∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠BOD=∠AOC=50°.又∠1∶∠2=2∶3,设∠1=2x,∠2=3x,则2x+3x=50°,所以x=10°.故∠2=3x=30°.答案：30°7.【解析】如图,延长AO与BO得到∠AOB的对顶角∠COD,测出∠COD的度数,由∠AOB=∠COD,即得∠AOB 的度数.8.【解析】因为∠BOD=∠DOE,所以∠DOE=∠BOE,同理∠EOF=∠AOE,所以∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠BOE+∠AOE=(∠BOE+∠AOE)=×180°=90°.又∠BOD和∠AOC是对顶角,所以∠BOD=∠AOC=28°,所以∠EOF=90°-28°=62°.9.【解析】图(1)中有两条直线,共有2对对顶角,而2=2×1;图(2)中有三条直线,共有6对对顶角,而6=3×2;图(3)中有四条直线,共有12对对顶角,而12=4×3;……当有n条直线相交于一点时,共有n(n-1)对对顶角;若有2014条直线相交于一点,则可构成2014×2013=4054182对对顶角.答案：(1)2 (2)6 (3)12 (4)n(n-1)(5)4054182。

5.1.3同位角、内错角、同旁内角一、选择题(每小题4分,共12分)1.如图,与∠1是同位角的是( )A.∠2B.∠3C.∠4D.∠5【解析】选C.因为∠1与∠2是同旁内角,所以选项A不符合题意;因为∠1与∠3是内错角,所以选项B不符合题意;因为∠1与∠4是同位角,所以选项C符合题意;因为∠1与∠5无特殊位置关系,也不是同位角,所以选项D不符合题意.2.如图,两只手的食指和拇指在同一个平面内,它们构成的一对角可看成是( )A.同位角B.内错角C.对顶角D.同旁内角【解析】选B.角在被截线的内部,又在截线的两侧,符合内错角的定义.【变式训练】如图,若直线MN与△ABC的边AB,AC分别交于点E,F,则图中的内错角有( )A.2对B.4对C.6对D.8对【解析】选C.根据内错角定义,先找出两直线被第三条直线所截:MN,BC被AB所截得的∠MEB与∠ABC;被AC所截得的∠NFC与∠C;AC,MN被AB所截得的∠A与∠AEM;MN,AB被AC所截得∠A与∠AFN;AB,AC被MN所截得∠AEF与∠CFE,∠AFE与∠BEF.因此图中的内错角有6对.3.如图所示,下列说法,正确的有( )①∠1与∠2是同旁内角;②∠1与∠ACE是内错角;③∠B与∠4是同位角;④∠1与∠3是内错角.A.①③④B.③④C.①②④D.①②③④【解析】选D.①∠1与∠2是同旁内角,说法正确;②∠1与∠ACE是内错角,说法正确;③∠B与∠4是同位角,说法正确;④∠1与∠3是内错角,说法正确.【知识归纳】同位角、内错角、同旁内角的特征(1)共同点:具有同位角、内错角、同旁内角的关系的一对角必有两边在同一直线上,此直线即为截线,而另外不在同一直线上的两边,它们所在的直线即为被截直线.(2)不同点:同位角的边构成“F”形,内错角的边构成“Z”形,同旁内角的边构成“U”形.二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图, 是∠1和∠6的同位角, 是∠1和∠6的内错角, 是∠6的同旁内角.【解析】∠3是∠1和∠6的同位角;∠5是∠1和∠6的内错角;∠4是∠6的同旁内角.答案:∠3 ∠5 ∠45.如图,三角形ABC中共有对同旁内角,四边形ABCD中共有对同旁内角,五边形ABCDE中共有对同旁内角.【解析】在三角形ABC中,∠A与∠B,∠B与∠C,∠C与∠A均为同旁内角,故共有3对.同理四边形ABCD,五边形ABCDE中共有4对和5对同旁内角.答案:3 4 56.图中标有角号的角共有对同位角, 对内错角, 对同旁内角.【解题指南】【解析】由图知,共有2对同位角:分别是∠7和∠1,∠5和∠6;4对内错角:分别是∠1和∠4,∠2和∠5,∠6和∠1,∠5和∠7;4对同旁内角:分别是∠1和∠5,∠3和∠4,∠3和∠2,∠4和∠2.答案:2 4 4三、解答题(共26分)7.(8分)如图所示,直线a,b被直线c所截,∠1=40°,∠2=105°,求∠1的同位角、∠4的内错角、∠3的同旁内角的度数.【解题指南】本题涉及的两个关键:1.找出相应的角:根据三类角的特征,准确地找出同位角、内错角、同旁内角.2.计算:利用对顶角相等,邻补角互补进行角度计算.【解析】∠1的同位角为∠4,而∠4+∠2=180°,因此∠4=180°-∠2=180°-105°=75°;∠4的内错角与∠1的对顶角是同一个角,根据对顶角相等,∠4的内错角等于∠1=40°;∠3的同旁内角为∠4,因此∠3的同旁内角是75°.8.(8分)如图,直线a,b被直线c所截,已知∠1=∠5,那么∠3与∠7的关系如何?请说明理由.【解析】∠3=∠7.因为∠1=∠3,∠5=∠7(对顶角相等),又因为∠1=∠5(已知),所以∠3=∠7(等量代换).【互动探究】这8个角之间有怎样的关系?为什么?【解析】由上题知,∠1=∠3=∠5=∠7,因为∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,∠5+∠6=180°,∠7+∠8=180°,所以∠2=∠4=∠6=∠8,故两个角要么相等,要么互补.【知识归纳】“三线八角”中角的关系1.一般图形中,各对同位角、内错角、同旁内角只有位置关系,不存在数量关系.2.在三线八角没有公共顶点的同位角、内错角、同旁内角中,当有一对角相等或互补时,其他各对角也相等或互补.【培优训练】9.(10分)如图,在平面中画一条直线,使得与∠A成同旁内角的角有3个,你能画出一条直线,使得与∠A成同旁内角的角最多吗?最多有几个?【解析】如图(1),与∠A成同旁内角的角都有3个.如图(2),与∠A成同旁内角的角最多,最多有4个.。

华师大新版七年级上学期《5.1.1 对顶角》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．已知∠DOE=2∠AOC，求证：OE⊥CD．2．直线AB、CD相交于点O，OE、OF是两条射线．（1）如图1，若∠EOF=90°，且OD平分∠AOE，∠BOF=60°，求∠AOD的度数；（2）如图2，若OE平分∠BOD，∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（3）如图3，若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x，求∠AOC的度数．（用含x的式子表示）3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE是一条射线，∠1：∠3=2：7，∠2=70°．（1）求∠1的度数；（2）试说明OE平分∠COB．4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，∠DOF=90°．（1）求∠DOE的度数；（2）求∠EOF的度数．5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD（1）若∠AOC=60°，求∠BOE的度数；（2）若OF平分∠AOD，试说明OE⊥OF．6．如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．试说明射线ON平分∠BOC．7．如图，AB、CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON是直角，∠AOC=50°．（1）求∠AON的度数；（2）求∠DON的邻补角的度数．8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM=90°，∠DON=90°（1）若∠COM=∠AOC，求∠AOD的度数；（2）若∠COM=∠BOC，求∠BOD．9．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE．（1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由；（2）若∠AOC：∠AOD=1：5，求∠EOF的度数．10．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE=90°，FO平分∠BOD，∠BOC：∠AOC=1：3．（1）求∠DOE、∠COF的度数．（2）若射线OF、OE同时绕O点分别以2°/s、4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线OE、OF的夹角为90°时，两射线同时停止旋转．设旋转时间为t，试求t值．11．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=70°，∠COF=90°，求：（1）∠BOD的度数；（2）写出图中互余的角；（3）∠EOF的度数．12．如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC=28°，求∠AOE 的度数．13．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC=50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°，∠DEO=30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE=．（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=∠AOE时，求∠BOD 的度数．（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．14．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM=90°，∠DON=90°．（1）若∠COM=∠AOC，求∠AOD的度数；（2）若∠COM=∠BOC，求∠AOC和∠MOD．15．如图：已知直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数．16．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD=75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=∠EOC（1）求∠AOE的度数；（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；②若∠AOF=120°时，直接写出α的度数．17．如图，直线AB与CD相交于点O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．（1）写出∠DOE的补角；（2）若∠BOE=62°，求∠AOD和∠EOF的度数．（3）射线OD与OF之间的夹角是多少？18．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE=60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．19．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOD，∠COE=20°，求∠BOD与∠DOF的度数．20．如图，直线AB、CD相交于O，∠BOC=70°，OE是∠BOC的角平分线，OF 是OE的反向延长线．（1）求∠1，∠2，∠3的度数；（2）判断OF是否平分∠AOD，并说明理由．21．如图，已知直线AB和CD相交于点O，在∠COB的内部作射线OE．（1）若∠AOC=36°，∠COE=90°，求∠BOE的度数；（2）若∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，求∠AOE的度数．22．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含a的代数式表示）23．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．（1）直接写出图中∠AOC的对顶角：，∠EOB的邻补角：（2）若∠AOC=70°且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．24．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①用含x的代数式表示∠EOF；②求∠AOC的度数．25．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC；OE平分∠BOC．（1）图中∠BOD的邻补角为；∠AOE的邻补角为．（2）如果∠COD=25°，那么∠COE=；如果∠COD=60°，那么∠COE=；（3）试猜想∠COD与∠COE具有怎样的数量关系，并说明理由．26．如图，直线AB、CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，∠EOF=90°，∠AOD=70°．（1）求∠BOE的度数；（2）OF是∠AOC的平分线吗？为什么？27．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．28．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为；（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．29．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）画射线OF⊥OE，求∠DOF的度数．30．如图，已知直线a，b被直线c所截，且∠2+∠4=170°，则∠1+∠3=170°，说明理由．31．如图，直线AB、EF交于点O，∠DOB=90°，∠COE=90°（1）如果∠COD=∠EOD﹣40°，求∠BOE的度数；（2）如果5∠FOD=4∠BOF，求∠COA的度数．32．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE=∠COF=90°．（1）∠DOE的余角是（填写所有符合要求的角）．（2）若∠DOE=70°，求∠BOF的度数．（3）若∠DOE=∠BOD，求∠EOC的度数．33．如图，直线AB、CD、EF相交于一点O，∠AOD=3∠AOF，∠AOC=120°，求∠BOE的度数．34．如图，直线AB，CD相交于点D，射线OE，OF，OG分别平分∠AOC，∠AOD 和∠BOD．（1）∠AOE：∠AOF=2：3，求∠BOD的度数；（2）判断OF与OG的位置关系，并说明理由．35．如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠BOM是直角．（1）若∠1=∠2，则∠2的余角有．（2）若∠1=∠BOC，求∠AOD的度数．36．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF 平分∠AOE，∠COF=34°，求∠EOF、∠AOE、∠BOD的度数．37．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，∠DOF=90°．（1）写出图中任意一对互余的角；（2）求∠EOF的度数．38．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC的度数为x，∠BOE=90°，OF平分∠AOD．（1）当x=19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数．（2）当x=60°，射线OE、OF分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF重合时至少需要多少时间？（3）当x=60°，射线OE以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s 的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动．射线OE在转动一周的过程中当∠EOF=90°时，求射线OE转动的时间．39．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．（1）图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的补角为；（2）若∠AOC=75°，且∠BOE：∠EOD=1：4，求∠AOE的度数．40．如图，直线AB与CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF⊥OD．（1）直接写出图中和∠DOE互补的角；（2）∠AOF与∠EOF相等吗？说明理由；（3）若∠BOE=60°，求∠AOD和∠EOF的度数．41．如图，已知直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF的度数．42．已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE 与射线AF交于点G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=；（2）若∠GOA=∠BOA，∠GAD=∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=；（3）将（2）中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=α”，其它条件不变，求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=α（30°＜α＜90°），求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）43．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，且∠1：∠2=1：4，求∠AOC和∠AOF的度数．44．平面内有不重合的4条直线，请指出这4条直线交点个数的所有情况，并画出相应的草图．45．如图，直线AB，CD相交于点O，∠DOE：∠BOE=3：1，OF平分∠AOD，（1）∠AOC=∠AOF﹣30°，求∠EOF；（2）射线OM平分∠AOF，求∠MOE的度数．46．如图，AB，CD，EF交于点O，∠1=20°，∠2=60°，求∠BOC的度数．47．如图，直线AB、CD、EF相交于点O．（1）写出∠BOE的对顶角和邻补角．（2）若∠AOC：∠AOE=2：1，∠EOD=90°，则∠BOC为多少度？48．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．49．如图，直线AB和CD交于点O，∠COE=90°，OD平分∠BOF，∠BOE=50°．（1）求∠AOC的度数；（2）求∠EOF的度数．50．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．华师大新版七年级上学期《5.1.1 对顶角》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．已知∠DOE=2∠AOC，求证：OE⊥CD．【分析】根据题意可得∠DOE=∠EOC，再根据∠DOE+∠EOC=180°可得∠DOE的度数，进而可得OE⊥CD．【解答】证明：∵∠DOE=2∠AOC，OA平分∠EOC，∴∠DOE=∠EOC，又∠DOE+∠EOC=180°，∴∠DOE=∠EOC=90°，∴OE⊥CD（垂直的定义）．【点评】此题主要考查了角平分线定义，以及对顶角和邻补角的性质，关键是掌握对顶角相等，邻补角互补．2．直线AB、CD相交于点O，OE、OF是两条射线．（1）如图1，若∠EOF=90°，且OD平分∠AOE，∠BOF=60°，求∠AOD的度数；（2）如图2，若OE平分∠BOD，∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（3）如图3，若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x，求∠AOC的度数．（用含x的式子表示）【分析】（1）先求得∠BOE、∠AOE，再根据角平分线的定义可得∠AOD的度数；（2）先根据对顶角相等得∠BOD=68°，再由角平分线定义和余角定义可得结论；（3）先表示∠BOE、∠COF，根据平角的定义计算可得结论．【解答】解：（1）∵∠EOF=90°，∠BOF=60°，∴∠BOE=90°﹣60°=30°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∴∠AOE=180°﹣30°=150°；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵OD平分∠AOE，∴∠AOD=∠AOE==75°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）∵∠AOC=68°，∴∠BOD=∠AOC=68°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵OE平分∠BOD，∴∠DOE==×68°=34°，∵∠DOF=90°，∴∠EOF=90°﹣34°=56°；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（3）∵设∠AOE=x，∴∠BOE=180°﹣x，∴∠EOF=15°+180°﹣x=195°﹣x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∵OF平分∠COE，∴∠COF=∠EOF=195°﹣x，∴∠AOC=180°﹣（195°﹣x）﹣15°=x﹣30°．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE是一条射线，∠1：∠3=2：7，∠2=70°．（1）求∠1的度数；（2）试说明OE平分∠COB．【分析】（1）直接利用已知结合∠1+∠3=180°，进而得出答案；（2）利用已知得出∠COE的度数，进而得出答案．【解答】解：（1）∵∠1：∠3=2：7，又∵∠1+∠3=180°，∴∠1=180°×=40°；（2）∵∠1+∠COE+∠2=180°，∴∠COE=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣40°﹣70°=70°，又∵∠2=70°，∴∠2=∠COE，∴OE平分∠COB．【点评】此题主要考查了邻补角以及角平分线的定义，正确得出∠COE的度数是解题关键．4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，∠DOF=90°．（1）求∠DOE的度数；（2）求∠EOF的度数．【分析】（1）由对顶角相等知∠BOD=∠AOC=72°，再根据OE平分∠BOD可得∠BOE=∠DOE=∠BOD=36°；（2）由∠EOF=∠DOF﹣∠DOE求解可得．【解答】解：（1）∵∠AOC=72°，∴∠BOD=∠AOC=72°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=∠BOD=36°；（2）∵∠DOF=90°，∠DOE=36°，∴∠EOF=∠DOF﹣∠DOE=54°．【点评】本题考查了邻补角定义、对顶角相等的性质以及角平分线定义；熟练掌握各个角之间的数量关系是解决问题的关键．5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD（1）若∠AOC=60°，求∠BOE的度数；（2）若OF平分∠AOD，试说明OE⊥OF．【分析】（1）依据对顶角相等，以及角平分线的定义，即可得到∠BOE的度数；（2）依据角平分线的定义，即可得到∠EOF=90°，即可得到OE⊥OF．【解答】解：（1）∵直线AB、CD相交于点O，∴∠BOD=∠AOC=60°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠BOD=30°；（2）∵OF平分∠AOD，∴∠DOF=∠AOD，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOD，∴∠EOF=∠DOF+∠DOE=（∠AOD+∠BOD）=×180°=90°．∴OE⊥OF．【点评】本题主要考查了对顶角以及角平分线，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．6．如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．试说明射线ON平分∠BOC．【分析】根据垂直定义得出∠NOM=90°，求出∠COM+∠CON=90°，∠AOM+∠BON=90°，根据角平分线定义得出∠AOM=∠COM，即可得出∠CON=∠BON，根据角平分线定义得出即可．【解答】解：∵ON⊥OM，∴∠NOM=90°，∴∠COM+∠CON=90°，∠AOM+∠BON=180°﹣90°=90°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠COM，∴∠CON=∠BON，即射线ON平分∠BOC．【点评】本题考查了角平分线定义和对顶角、邻补角等知识点，能够求出∠COM+∠CON=90°、∠AOM+∠BON=90°、∠AOM=∠COM是解此题的关键．7．如图，AB、CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON是直角，∠AOC=50°．（1）求∠AON的度数；（2）求∠DON的邻补角的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠MOB的度数，根据邻补角的性质计算即可．（2）根据题意得到：∠CON为∠DON的邻补角．【解答】解：（1）∵OM平分∠BOD，∠BOD=∠AOC=50°，∴∠BOM=∠DOM=25°，又由∠MON=90°，∴∠AON=180°﹣（∠MON+∠BOM）=180°﹣（90°+25°）=65°；（2）∵∠AON=65°，∠AOC=50°，∴∠CON=∠AON+∠AOC=115°，即∠DON的邻补角的度数为115°．【点评】本题考查的是邻补角的概念以及角平分线的定义，掌握邻补角的性质是邻补角互补是解题的关键．8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM=90°，∠DON=90°（1）若∠COM=∠AOC，求∠AOD的度数；（2）若∠COM=∠BOC，求∠BOD．【分析】（1）利用邻补角的定义结合已知角度得出答案；（2）利用∠COM=∠BOC，得出∩AOC的度数即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠COM=∠AOC，∴∠AOC=∠AOM，∵∠BOM=90°，∴∠AOM=90°，∴∠AOC=45°，∴∠AOD=180°﹣45°=135°；（2）设∠COM=x°，则∠BOC=4x°，∴∠BOM=3x°，∵∠BOM=90°，∴3x=90，即x=30，∴∠AOC=60°，∴∠BOD=60°．【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确得出各角之间关系是解题关键．9．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE．（1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由；（2）若∠AOC：∠AOD=1：5，求∠EOF的度数．【分析】（1）直接利用角平分线的定义以及结合邻补角的定义得出答案；（2）结合已知得出∠AOC的度数，再利用角平分线的定义得出答案．【解答】解：（1）OF与OD的位置关系：互相垂直，理由：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠FOE，∵∠DOE=∠BOD，∴∠AOF+∠BOD=∠FOE+∠DOE=×180°=90°，∴OF与OD的位置关系：互相垂直；（2）∵∠AOC：∠AOD=1：5，∴∠AOC=×180°=30°，∴∠BOD=∠EOD=30°，∴∠AOE=120°，∴∠EOF=∠AOE=60°．【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确得出各角之间关系是解题关键．10．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE=90°，FO平分∠BOD，∠BOC：∠AOC=1：3．（1）求∠DOE、∠COF的度数．（2）若射线OF、OE同时绕O点分别以2°/s、4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线OE、OF的夹角为90°时，两射线同时停止旋转．设旋转时间为t，试求t值．【分析】（1）根据平角的定义和已知条件可求∠BOC的度数，根据对顶角相等可求∠AOD的度数，根据角的和差关系可求∠DOE的度数，根据平角的定义和角平分线的定义可求∠DOF的度数，再根据平角的定义求得∠COF的度数．（2）先求出∠EOF的度数，再根据射线OE、OF的夹角为90°，列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵∠BOC：∠AOC=1：3，∴∠BOC=180°×=45°，∴∠AOD=45°，∵∠BOE=90°，∴∠AOE=90°，∴∠DOE=45°+90°=135°，∠BOD=180°﹣45°=135°，∵FO平分∠BOD，∴∠DOF=∠BOF=67.5°，∴∠COF=180°﹣67.5°=112.5°．（2）∠EOF=90°+67.5°=157.5°，依题意有4t﹣2t=157.5﹣90，解得t=33.75．故t值为33.75．【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及垂线定义和邻补角的定义，正确表示出∠AOD的度数是解题关键．11．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=70°，∠COF=90°，求：（1）∠BOD的度数；（2）写出图中互余的角；（3）∠EOF的度数．【分析】（1）根据对顶角的定义解答；（2）根据余角定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角可得答案；（3）首先计算出∠BOE的度数，再计算出∠BOF的度数，再求和即可．【解答】解：（1）∵∠AOC=70°∴∠BOD=∠AOC=70°；（2）∠AOC和∠BOF，∠BOD和∠BOF，∠EOF和∠EOD，∠BOE和∠EOF；（3）因为OE平分∠BOD，∠BOD=70°所以∠BOE=35°，因为∠COF=90°，且A、O、B三点在一条直线AB上，所以∠BOF=180°﹣70°﹣90°=20°，所以∠EOF=∠BOF=55°．【点评】此题主要考查了角的计算，以及余角，关键是掌握余角定义，理清图形中角的关系．12．如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC=28°，求∠AOE 的度数．【分析】直接利用平角的定义结合角平分线的定义分析得出答案．【解答】解：∵∠AOC+∠AOD=180°，∠AOC=28°，∴∠AOD=152°．∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠AOD=76°．【点评】此题主要考查了平角的定义以及角平分线的定义，正确把握相关定义是解题关键．13．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC=50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°，∠DEO=30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE=40°．（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=∠AOE时，求∠BOD 的度数．（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．【分析】（1）代入∠BOE=∠COE+∠COB求出即可；（2）求出∠AOE=∠COE，根据∠DOE=90°求出∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，推出∠COD=∠DOB，即可得出答案；（3）根据平角等于180°求出即可；（4）分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了1320°；依此列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，又∵∠BOC=50°，∴∠COE=40°；（2）∵OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOE=∠COA，∵∠EOD=90°，∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，∴∠COD=∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD=x°，则∠AOE=4x°，∵∠DOE=90°，∠BOC=50°，∴5x=40，∴x=8，即∠COD=8°∴∠BOD=58°．（4）如图，分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，5t=140，t=28；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了1320°，5t=320，t=64．所以当t=28秒或64秒时，OE与直线OC重合．综上所述，t的值为28或64．故答案为：40°．【点评】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．14．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM=90°，∠DON=90°．（1）若∠COM=∠AOC，求∠AOD的度数；（2）若∠COM=∠BOC，求∠AOC和∠MOD．【分析】（1）根据∠COM=∠AOC可得∠AOC=∠AOM，再求出∠AOM的度数，然后可得答案；（2）设∠COM=x°，则∠BOC=4x°，进而可得∠BOM=3x°，从而可得3x=90，然后可得x的值，进而可得∠AOC和∠MOD的度数．【解答】解：（1）∵∠COM=∠AOC，∴∠AOC=∠AOM，∵∠BOM=90°，∴∠AOM=90°，∴∠AOC=45°，∴∠AOD=180°﹣45°=135°；（2）设∠COM=x°，则∠BOC=4x°，∴∠BOM=3x°，∵∠BOM=90°，∴3x=90，即x=30，∴∠AOC=60°，∠MOD=90°+60°=150°．【点评】此题主要考查了邻补角，关键是掌握邻补角互补．掌握方程思想的应用．15．如图：已知直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数．【分析】（1）根据∠BOE=180°﹣∠AOC﹣∠COE直接解答即可；（2）根据平角的定义可求∠BOD，根据对顶角的定义可求∠AOC，根据角的和差关系可求∠AOE的度数．【解答】解：（1）∠BOE=180°﹣∠AOC﹣∠COE=180°﹣36°﹣90°=54°；（2）∵∠BOD：∠BOC=1：5，∠BOD+∠BOC=180°，∴∠BOD=30°，∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=30°，∴∠AOE=∠COE+∠AOC=90°+30°=120°．【点评】此题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，对顶角相等是解答本题的关键．16．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD=75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=∠EOC（1）求∠AOE的度数；（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；②若∠AOF=120°时，直接写出α的度数．【分析】（1）根据对顶角相等求出∠AOC的度数，设∠AOE=2x，根据题意列出方程，解方程即可；（2）①根据角平分线的定义求出∠BOF的度数即可得结论；②分两种情况：当OF在∠BOC的内部时，如图2，根据α=∠EOF=∠AOF﹣∠AOE可得结论；当OF在∠BOD的内部时，如图3，根据周角与∠AOF和∠AOE的差可得结论．【解答】解：（1）∵∠AOE=∠EOC，即∠AOE：∠EOC=2：3．∴设∠AOE=2x，则∠EOC=3x，∴∠AOC=5x，∵∠AOC=∠BOD=75°，∴5x=75°，解得：x=15°，则2x=30°，∴∠AOE=30°；（2）①∵∠AOE=30°，∴∠BOE=180°﹣∠AOE=150°，∵OF平分∠BOE，∴∠BOF=75°，∵∠BOD=75°，∴∠DOF=75°+75°=150°；②分两种情况：当OF在∠BOC的内部时，如图2，∵∠AOF=120°，∠AOE=30°，∴α=∠EOF=120°﹣30°=90°，当OF在∠BOD的内部时，如图3，∴α=360°﹣∠AOF﹣∠AOE=360°﹣120°﹣30°=210°，综上所述，α的度数为90°或210°．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键，并注意分类讨论的思想．17．如图，直线AB与CD相交于点O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．（1）写出∠DOE的补角；（2）若∠BOE=62°，求∠AOD和∠EOF的度数．（3）射线OD与OF之间的夹角是多少？【分析】（1）根据互补的定义确定∠DOE的补角；（2）先根据角平分线的定义得出∠BOD的度数，再由邻补角定义可得∠AOD=180°﹣∠BOD；先根据邻补角定义可得∠AOE=180°﹣∠BOE，再由角平分线的定义得出∠EOF的度数；（3）运用平角的定义和角平分线的定义，证明∠DOF是90°，得直线OD、OF 的位置关系．【解答】解：（1）∠DOE的补角为∠COE，∠AOD，∠BOC；（2）因为OD是∠BOE的平分线，∠BOD=∠BOE=31°，所以∠AOD=180°﹣∠BOD=149°，因为∠AOE=180°﹣∠BOE=118°、OF是∠AOE的平分线，所以∠EOF=∠AOE=59°，即∠AOD=149°，∠EOF=59°；（3）因为OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，所以∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠BOE+∠EOA=（∠BOE+∠EOA）=×180°=90°．【点评】本题考查了角平分线、补角、垂线的定义以及角的计算，属于基础题型，比较简单．18．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE=60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．【分析】（1）依据∠COE=60°，OA平分∠COE，可得∠AOC=30°，再根据∠AOB=90°，即可得到∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°；（2）①分两种情况进行讨论：当OE平分∠AOB时，∠AOE=45°；当OF平分∠AOB时，AOF=45°；分别依据角的和差关系进行计算即可得到t的值；②分两种情况进行讨论：当OE平分∠BOD时，∠BOE=∠BOD；当OF平分∠BOD时，∠DOF=∠BOD；分别依据角的和差关系进行计算即可得出t的值．【解答】解：（1）∵∠COE=60°，OA平分∠COE，∴∠AOC=30°，又∵∠AOB=90°，∴∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°；（2）①分两种情况：当OE平分∠AOB时，∠AOE=45°，即9t+30°﹣3t=45°，解得t=2.5；当OF平分∠AOB时，AOF=45°，即9t﹣150°﹣3t=45°，解得t=32.5；综上所述，当t=2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；②t的值为12s或36s．分两种情况：当OE平分∠BOD时，∠BOE=∠BOD，即9t﹣60°﹣3t=（60°﹣3t），解得t=12；当OF平分∠BOD时，∠DOF=∠BOD，即3t﹣（9t﹣240°）=（3t﹣60°），解得t=36；综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．【点评】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．19．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOD，∠COE=20°，求∠BOD与∠DOF的度数．【分析】根据角的和差定义，平角的定义，角平分线的定义即可解决问题．【解答】解：∵∠COE=20°，∠BOE=90°，∴∠BOD=180°﹣20°﹣90°=70°，∴∠AOD═180°﹣70°=110°，∵OF平分∠AOD，∴∠DOF=∠AOD=55°．∴∠BOD=70°，∠DOF=55°【点评】本题考查角平分线的定义、角的和差定义、平角的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图，直线AB、CD相交于O，∠BOC=70°，OE是∠BOC的角平分线，OF 是OE的反向延长线．（1）求∠1，∠2，∠3的度数；（2）判断OF是否平分∠AOD，并说明理由．【分析】（1）根据邻补角的定义，即可求得∠2的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得∠3的度数；（2）根据OF分∠AOD的两部分角的度数即可说明．【解答】解：（1）∵∠BOC+∠2=180°，∠BOC=70°，∴∠2=180°﹣70°=110°；∵OE是∠BOC的角平分线，∴∠1=35°．∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠3=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣35°﹣110°=35°．（2）∵∠2+∠3+∠AOF=180°，∴∠AOF=180°﹣∠2﹣∠3=180°﹣110°﹣35°=35°．∴∠AOF=∠3=35°，∴OF平分∠AOD．【点评】此题综合考查了角平分线的定义、平角的定义和对顶角相等的性质．21．如图，已知直线AB和CD相交于点O，在∠COB的内部作射线OE．（1）若∠AOC=36°，∠COE=90°，求∠BOE的度数；（2）若∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，求∠AOE的度数．【分析】（1）根据邻补角求出∠BOC，再代入∠BOE=∠BOC﹣∠COE求出即可；（2）根据邻补角互补和已知求出∠COE、∠EOB、∠BOD的度数，再代入∠AOE=180°﹣∠EOB求出即可．【解答】解：（1）∵∠AOC=36°，∠COE=90°，∴∠BOE=180°﹣∠COE﹣∠BOD=54°；（2）∵∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，∴设∠COE=4α，∠EOB=3α，∠BOD=2α∵∠COE+∠EOB+∠BOD=180°，∴4α+3α+2α=180°∴α=20°∴∠COE=4α=80°，∠EOB=3α=60°，∠BOD=2α=40°，∴∠AOE=180°﹣∠EOB=180°﹣60°=120°．【点评】本题考查了对顶角和邻补角，能熟练地运用对顶角相等和邻补角互补进行计算是解此题的关键．22．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含a的代数式表示）【分析】（1）根据对顶角相等求得∠BOD的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠EOD的度数，则∠COE即可求得，再根据角平分线的定义求得∠EOF，最后根据∠BOF=∠EOF﹣∠BOE求解．（2）利用角平分线定义得出∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，进而表示出各角求出答案．（3）设∠BOE=x，则∠DOE=x，则∠COA=2x，∠BOF=90°﹣x，根据|∠AOC﹣∠BOF|=α°，得到方程|2x﹣（90°﹣x）|=α°，解方程即可求解．【解答】解：（1）∵∠BOD=∠AOC=76°，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOD=×76°=38°．∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣38°=142°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=∠COE=×142°=71°，∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°﹣38°=33°．（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，∴设∠BOE=x，则∠DOE=x，故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，解得：x=36°，故∠AOC=72°．（3）设∠BOE=x，则∠DOE=x，则∠COA=2x，∠BOF=90°﹣x，∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°，∴|2x﹣（90°﹣x）|=α°，解得：x=（）°+α°或x=（）°﹣α°，当x=（）°+α°时，∠AOC=2x=（）°+α°，∠BOF=90°﹣x=（）°﹣α°；当x=（）°﹣α°时，∠AOC=2x=（）°﹣α°，∠BOF=90°﹣x=（）°+α°．【点评】本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键．23．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．（1）直接写出图中∠AOC的对顶角：∠BOD，∠EOB的邻补角：∠AOE （2）若∠AOC=70°且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE 的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．【解答】解：（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠EOB的邻补角是∠AOE，故答案为：∠BOD，∠AOE；（2）∵∠AOC=70°，∴∠BOD=∠AOC=70°，∵∠BOE：∠EOD=2：3，∴∠BOE=×70°=28°，∴∠AOE=180°﹣28°=152°．∴∠AOE的度数为152°．【点评】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解是解答此题的关键．24．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①用含x的代数式表示∠EOF；②求∠AOC的度数．【分析】（1）由对顶角的性质可知∠BOD=70°，从而可求得∠FOB=20°，由角平分线的定义可知∠BOE=∠BOD，最后根据∠EOF=∠BOE+∠FOB求解即可；（2）①先证明∠AOE=∠COE=x，然后由角平分线的定义可知∠FOE=；②∠BOE=∠FOE﹣∠FOB可知∠BOE=x﹣15°，最后根据∠BOE+∠AOE=180°列出方程可求得x的值，从而可求得∠AOC的度数．【解答】解：（1）由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，∵∠FOB=∠DOF﹣∠BOD，∴∠FOB=90°﹣70°=20°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠BOD=×70°=35°，∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°；（2）①∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=∠AOE=x，∵OF平分∠COE，∴∠FOE=x；②∵∠BOE=∠FOE﹣∠FOB，∴∠BOE=x﹣15°，∵∠BOE+∠AOE=180°，∴x﹣15°+x=180°，解得：x=130°，∴∠AOC=2∠BOE=2×（180°﹣130°）=100°．【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力．25．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC；OE平分∠BOC．（1）图中∠BOD的邻补角为∠AOD；∠AOE的邻补角为∠BOE．（2）如果∠COD=25°，那么∠COE=65°；如果∠COD=60°，那么∠COE=30°；（3）试猜想∠COD与∠COE具有怎样的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据互为补角的和等于180°找出即可；（2）先根据角平分线求出∠DOE的度数，再根已知条件解答；（3）根据角平分线求出∠DOE=∠AOB即得结论．【解答】解：（1）答案为：∠AOD；∠BOE；（2）∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠EOD=∠AOB=90°，当∠COD=25°时，COE=65°，当∠COD=60°时，COE=30°，故答案为：65°；30°；（3）∠COD+∠COE=90°．理由如下：因为OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．所以∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC．所以∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC==∠AOB=×180°=90°．【点评】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．26．如图，直线AB、CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，∠EOF=90°，∠AOD=70°．（1）求∠BOE的度数；（2）OF是∠AOC的平分线吗？为什么？【分析】（1）根据角平分线的性质解答；（2）根据邻补角的性质、角平分线的定义解答．【解答】解：（1）∠COB=∠AOD=70°，∵OE是∠COB的平分线，∴∠BOE=∠COB=35°；（2）OF是∠AOC的平分线，理由：∵∠EOF=90°，∠COE=35°，∴∠COF=90°﹣35°=55°，∠AOF=180°﹣90°﹣35°=55°，∴∠COF=∠AOF，即OF是∠AOC的平分线．【点评】本题考查的是角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质，掌握对顶角相等、垂直的定义是解题的关键．27．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．【分析】（1）根据对顶角相等和角平分线的定义计算即可；（2）设∠AOC=x，根据对顶角相等和角平分线的定义用x表示出∠BOE和∠EOF，根据题意列方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵直线AB、CD相交于点O，∴∠BOD=∠AOC=68°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOD=34°，∴∠EOF=∠DOF﹣∠DOE=56°；（2）设∠AOC=x，则∠BOD=x，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=x，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=（180°﹣x），由题意得，（180°﹣x）﹣x=30°，解得，x=80°，∴∠AOC=80°．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质，掌握对顶角相等、邻补角之和为180°以及角平分线的定义是解题的关键．28．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．【分析】（1）利用对顶角、邻补角的定义直接回答即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE 的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．【解答】解：（1）∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；（2）∵∠DOB=∠AOC=70°，∠DOB=∠BOE+∠EOD及∠BOE：∠EOD=2：3，∴得，∴，∴∠BOE=28°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=152°．【点评】本题主要考查了对顶角，邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解．29．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）画射线OF⊥OE，求∠DOF的度数．【分析】（1）根据对顶角相等可得∠BOD=∠AOC，然后根据比例求解即可；（2）先求出∠DOE，再分OF在∠AOD的内部时，∠DOF=∠EOF﹣∠DOE，OF在∠BOC的内部时，∠DOF=∠DOE+∠EOF进行计算即可得解．【解答】解：（1）∵∠AOC=75°，∴∠BOD=∠AOC=75°，∵∠BOE：∠EOD=2：3，∴∠BOE=75°×=30°；（2）∠DOE=∠BOD﹣∠BOE=75°﹣30°=45°，∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°，OF在∠AOD的内部时，∠DOF=∠EOF﹣∠DOE，=90°﹣45°，=45°，OF在∠BOC的内部时，∠DOF=∠DOE+∠EOF，=90°+45°，=135°，综上所述∠DOF=45°或135°．【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角的计算，熟记概念并准确识图是解题的关键．30．如图，已知直线a，b被直线c所截，且∠2+∠4=170°，则∠1+∠3=170°，说明理由．【分析】根据对顶角的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，等量代换即可证明．【解答】证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠4=170°，∴∠1+∠3=170°．【点评】本题考查的是对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．31．如图，直线AB、EF交于点O，∠DOB=90°，∠COE=90°（1）如果∠COD=∠EOD﹣40°，求∠BOE的度数；（2）如果5∠FOD=4∠BOF，求∠COA的度数．。

2019-2020年七年级数学上册5.1相交线5.1.1对顶角跟踪训练含解析新版华东师大版一．选择题（共8小题）1下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．2．如图，直线a，b相交于点O，若∠1等于50°，则∠2等于（）A．50°B．40°C．140°D．130°3．如图，直线AB、CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（）A．38°B．104°C．142°D．144°4．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠BOD=70°，则∠COE的度数是（）A．45°B．70°C．55°D．110°5．在一个平面上任意画3条直线，最多可以把平面分成的部分是（）A．4个B．6个C．7个D．8个6．下列说法正确的个数是（）①连接两点的线中以线段最短；②两条直线相交，有且只有一个交点；③若两条直线有两个公共点，则这两条直线重合；④若AB+BC=AC，则A、B、C三点共线．A． 1 B．2C．3D．47．下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（）A．B． C． D ．8．如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）A．∠2和∠3B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠1和∠2二．填空题（共6小题）9．如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC=40°，则∠DOE=_________ 度．10．如图，直线AB与直线CD相交于点0，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数为_________ 度．11．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠COE=80°，OA平分∠COE，则∠COB=_________ ．12．三条直线两两相交，则交点有_________ 个．13．观察下列图形，并阅读，图形下面的相关字．两条直线相交最多有1个交点三条直线相交最多有3个交点四条直线相交最多有6个交点则n条直线最多有_________ 个交点．14．用剪刀剪东西时，剪刀张开的角度如图所示，若∠1=25°，则∠2=_________ 度．三．解答题（共8小题）15．如图，直线AB、CD、EF相交于O点，已知∠AOE=20°，∠DOB=52°，OG平分∠COF．求∠EOG的度数．16．如图，已知：直线AB与CD相交于点O，∠1=50度．求：∠2和∠3的度数．17．如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE：∠EOD=4：5，求∠BOC的度数．18．如图所示，直线AB、CD交于点O，∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE，∠AOC=30°，试求∠EOF的度数．19．如图，直线AB、CD相交于点O，∠1=35°，∠2=75°，求∠EOB的度数．20．如图，直线AB，CD相交于点O，OC是∠AOE的平分线，∠BOD与∠COE相等吗？为什么？21．如图所示，直线AB，CD交点于O，OE平分∠BOD，且∠3：∠2=8：1，求∠AOC的度数．22．观察下列图形，阅读下面的相关文字并回答以下问题：两条直线相交三条直线相交四条直线相交只有一个交点最多的3个交点最多有6个交；猜想：①5条直线相交最多有几个交点？②6条直线相交最多有几个交点？③n条直线相交最多有n个交点？第五章相交线与平行线5.1.1对顶角参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．考点：对顶角、邻补角．分析：根据对顶角的特征：有公共顶点，且两边互为反向延长线，对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A．∠1、∠2没有公共顶点，不是对顶角，故本选项错误；B．∠1、∠2两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项错误；C．∠1、∠2有公共顶点，两边互为反向延长线，是对顶角，故本选项正确；D．∠1、∠2两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项错误；故选：C．点评：本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形特征是解题的关键，是基础题，比较简单．2．如图，直线a，b相交于点O，若∠1等于50°，则∠2等于（）A．50°B．40°C．140°D．130°考点：对顶角、邻补角．分析：根据对顶角相等即可求解．解答：解：∵∠2与∠1是对顶角，∴∠2=∠1=50°．故选：A．点评：本题考查了对顶角的识别与对顶角的性质，牢固掌握对顶角相等的性质是解题的关键．3．如图，直线AB、CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（）A．38°B．104°C．142°D．144°考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．专题：常规题型．分析：根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．解答：解：∵∠BOD=76°，∴∠AOC=∠BOD=76°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=×76°=38°，∴∠BOM=180°﹣∠AOM=180°﹣38°=142°．故选：C．点评：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．4．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠BOD=70°，则∠COE的度数是（）A．45°B．70°C．55°D．110°考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析：根据邻补角的性质可得∠COB=110°，再根据角平分线的性质课可得∠COE=∠COB，进而得到答案．解答：解：∵∠BOD=70°，∴∠COB=110°，∵OE平分∠COB，∴∠COE=∠COB=55°，故选：C．点评：此题主要考查了对顶角，邻补角，关键是掌握邻补角互补．5．在一个平面上任意画3条直线，最多可以把平面分成的部分是（）A．4个B．6个C．7个D．8个考点：相交线．分析：把平面分成的部分最多时，三条直线两两相交，且交点各不相同．解答：解：如图所示，任意三条直线最多把平面分成7个，故选C．点评：按照条件，真正解决本题的关键是作图．6．下列说法正确的个数是（）①连接两点的线中以线段最短；②两条直线相交，有且只有一个交点；③若两条直线有两个公共点，则这两条直线重合；④若AB+BC=AC，则A、B、C三点共线．A． 1 B．2C．3D．4考点：相交线；线段的性质：两点之间线段最短；两点间的距离．专题：推理填空题．分析：①根据线段的基本性质解答；②、③由直线的定义解答；④根据两点间的距离解答．解答：解：①线段的基本性质是：所有连接两点的线中，线段最短．故本选项正确；②任意两个点可以通过一条直线连接，所以，两条直线相交，有且只有一个交点，故本选项正确；③任意两个点可以通过一条直线连接，若两条直线有两个公共点，则这两条直线重合；故本选项正确；④根据两点间的距离知，故本选项正确；综上所述，以上说法正确的是①②③④共4个．故选D．点评：此题考查了相交线、线段的性质及两点间的距离．相关链接：直线：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹，向两个方向无限延伸．公理：两点确定一条直线．线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．线段有如下性质：两点之间线段最短．两点间的距离：连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离．射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸．7．下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（）A．B．C．D．考点：对顶角、邻补角；平行线的性质；三角形的外角性质．分析：根据对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，可判断；解答：解：A、∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2=180°；故本选项错误；B、∠1、∠2是对顶角，根据其定义；故本选项正确；C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．故选B．点评：本题考查了对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，本题考查的知识点较多，熟记其定义，是解答的基础．8．如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）A．∠2和∠3B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠1和∠2考点：对顶角、邻补角．分析：两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．解答：解：根据同位角、同旁内角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠2和∠3是对顶角，正确；B、∠1和∠3是同旁内角，错误；C、∠1和∠4是同位角，错误；D、∠1和∠2的邻补角是内错角，错误．故选A．点评：解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．二．填空题（共6小题）9．如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC=40°，则∠DOE=20°度．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析：由∠AOC=40°，根据对顶角相等求出∠DOB=40°，再根据角平分线定义求出∠DOE即可．解答：解：∵∠AOC=40°，∴∠DOB=∠AOC=40°，∵OE平分∠DOB，∴∠DOE=∠BOD=20°，故答案为：20°．点评：本题考查了对顶角的性质角、角平分线定义的应用，关键是求出∠BOD的度数．10．如图，直线AB与直线CD相交于点0，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数为135°度．考点：对顶角、邻补角；垂线．分析：根据题意可得出∠AOC=∠BOD是对顶角，再由垂直即可得出答案．解答：解：∵∠BOD=45°，∴∠AOC=∠BOD=45°（对顶角相等），∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠COE=∠COA+∠AOE=45°+90°=135°，故答案为135°．点评：本题考查了对顶角、邻补角以及垂线的性质，是基础知识要熟练掌握．11．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠COE=80°，OA平分∠COE，则∠COB=140°．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析：首先根据角平分线性质可得∠AOC=∠EOC，再根据∠COE=80°算出∠AOC=40°，再利用邻补角的性质可得答案．解答：解：∵OA平分∠COE，∴∠AOC=∠EOC，∵∠COE=80°，∴∠AOC=40°，∴∠COB=180°﹣40°=140°，故答案为：140°．点评：此题主要考查了角平分线的性质，以及邻补角性质，关键是掌握邻补角互补．12．三条直线两两相交，则交点有1或3 个．考点：相交线．分析：三条直线两两相交有两种情况，即三条直线不过同一个交点时有三个交点；三条直线过同一个交点时有一个交点．解答：解：如图所示：故三条直线两两相交，则交点有1或3个．故答案为：1或3．点评：本题考查的是三条直线两两相交的情况，解答此类题目的关键是画出图形，找出可能出现的情况再进行解答．13．观察下列图形，并阅读，图形下面的相关字．两条直线相交最多有1个交点三条直线相交最多有3个交点四条直线相交最多有6个交点则n条直线最多有个交点．考点：相交线．专题：规律型．分析：根据已知得出两条直线相交，最多有个交点，三条直线两条直线相交，最多有个交点，四条直线相交，最多有个交点，5条直线相交，最多有个交点，推出n条直线相交，最多的交点个数是．解答：解：∵两条直线相交，最多有1个交点，即1=，三条直线两条直线相交，最多有3个交点，即3=四条直线相交，最多有6个交点，即6=5条直线相交，最多有10个交点，即5=，∴n条直线相交，最多的交点个数是，故答案为：．点评：本题考查了线段，相交线等知识点，解此题的关键是根据已知得出规律，题目比较典型，但是有一定的难度．14．用剪刀剪东西时，剪刀张开的角度如图所示，若∠1=25°，则∠2=25 度．考点：对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：首先判断所求角与∠1的关系，然后利用对顶角的性质求解．解答：解：∵∠1与∠2是对顶角，∴∠2=∠1=25°．故答案为：25．点评：本题主要考查对顶角的性质，熟练掌握对顶角的性质是解答本题的关键．对顶角的性质：对顶角相等．三．解答题（共8小题）15．如图，直线AB、CD、EF相交于O点，已知∠AOE=20°，∠DOB=52°，OG平分∠COF．求∠EOG的度数．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析：根据对顶角相等得出∠BOF=∠AOE=20°，即可得出∠DOF，根据平角等于180°，可得出∠COF，再根据OG平分∠COF，即可得出∠COG，从而得出∠EOG的度数．解答：解：∵直线AB、CD、EF相交于O点，∴∠BOF=∠AOE，∠BOD=∠AOC，∵∠AOE=20°，∠DOB=52°∴∠BOF=20°，∠AOC=52°，∴∠COF=180°﹣52°﹣20°=108°，∵OG平分∠COF，∴∠GOF=∠COG=54°，∴∠EOG=∠AOE+∠AOC+∠COG=20°+52°+54°=126°．点评：本题考查了对顶角、邻补角的定义，以及角平分线的性质，是基础题比较简单．16．如图，已知：直线AB与CD相交于点O，∠1=50度．求：∠2和∠3的度数．考点：对顶角、邻补角．分析：由图示可得∠1与∠3是邻补角，∠1与∠2是对顶角，根据它们的关系就可以分别求出∠2和∠3．解答：解：如图，∵∠1与∠3是邻补角，∴∠3=180°﹣∠1=130°，又∵∠1与∠2是对顶角，∴∠2=∠1=50°．点评：此题主要考查了相交线所形成的邻补角、对顶角的定义及性质，需熟练掌握．17．如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠CO E，∠COE：∠EOD=4：5，求∠BOC的度数．考点：对顶角、邻补角．分析：根据邻补角的定义，∠COE：∠EOD可得∠COE，根据角平分线的性质，可得∠AOC，再根据补角的定义，可得答案．解答：解：由∠COE：∠EOD=4：5，得∠EOD=．∠COE与∠EOD互补，得∠COE+∠EOD=180°，即∠COE+∠COE=180°．解得∠COE=80°．由OA平分∠COE，得∠AOC=∠COE=×80°=40°．由∠BOC与∠AOC互补，得∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣40°=140°．点评：本题考查了对顶角、邻补角，利用了邻补角互补，角平分线的性质．18．如图所示，直线AB、CD交于点O，∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE，∠AOC=30°，试求∠EOF的度数．考点：对顶角、邻补角．分析：根据对顶角相等，可得∠BOD，根据等式的性质，可得∠DOE，根据角的和差，可得∠AOE，根据角平分线的性质，可得答案．解答：解：由对顶角相等得∠BOD=∠AOC=30°．∴∠DOE=∠BOD=30°．由角的和差，得∠AOE=∠C0D﹣∠AOC﹣∠DOE=180°﹣30°﹣30°=120°．由OF平分∠AOE，得∠EOF=∠AOE=×120°=60°．点评：本题考查了对顶角、邻补角，利用了对顶角相等，角的和差，角平分线的性质．19．如图，直线AB、CD相交于点O，∠1=35°，∠2=75°，求∠EOB的度数．考点：对顶角、邻补角．分析：根据对顶角的性质，可得∠BOD的度数，再根据角的和差，可得答案．解答：解：由对顶角相等，得∠BOD=∠1=35°．由角的和差，得∠EOB=∠2+∠BOD=35°+75°=110°．点评：本题考查了对顶角、邻补角，利用了对顶角的性质，角的和差．20．如图，直线AB，CD相交于点O，OC是∠AOE的平分线，∠BOD与∠COE相等吗？为什么？考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析：根据角平分线的性质可得∠AOC=∠COE，再根据对顶角相等可得∠AOC=∠BOD，利用等量代换可得∠COE=∠BOD．解答：解：相等，理由：∵OC是∠AOE的平分线，∴∠AOC=∠COE，∵∠AOC=∠BOD，∴∠COE=∠BOD．点评：此题主要考查了角平分线的性质，以及对顶角的性质，关键是掌握对顶角相等．21．如图所示，直线AB，CD交点于O，OE平分∠BOD，且∠3：∠2=8：1，求∠AOC的度数．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析：根据角平分线的性质，可得∠BOD=∠1=∠2，根据补角的性质，可得∠BOD的度数，根据对顶角相等，可得答案．解答：解：由OE平分∠BOD，得∠BOD=2∠1．由∠3：∠2=8：1，得∠3：∠BOD=8：2．∠3=4∠BOD．由补角的性质，得∠3+∠BOD=180°．∠BOD=45°，由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=45°．点评：本题考查了对顶角、邻补角，利用了角平分线的定义，补角的性质，对顶角的性质．22．观察下列图形，阅读下面的相关文字并回答以下问题：两条直线相交三条直线相交四条直线相交只有一个交点最多的3个交点最多有6个交；猜想：①5条直线相交最多有几个交点？②6条直线相交最多有几个交点？③n条直线相交最多有n个交点？考点：相交线．专题：规律型．分析：先观察图形，找出交点的个数与直线的条数之间的关系，然后进行计算即可．解答：解：①5条直线相交最多有=10个交点；②6条直线相交最多有=15个交点；③n条直线相交最多有个交点．点评：此题考查了相交线，关键是观察图形，找出规律，用到的知识点是同一平面内内n条直线相交最多有个交点．。

第5章相交线与平行线5.1 相交线1．两直线相交，那么以下结论成立的是( )A.所构成的四个角中，有一个角是直角2．[2021·迁安市一模]如图，直线AB与CD相交于点O，假设∠1＋∠2＝80°，那么∠3等于( )A.100°B.120°C.140°D.160°第2题图3．如图，是用对顶角的量角器测量圆锥形零件的锥角的示意图，那么此零件的锥角等于_______．第3题图4．[2021春·建昌县期末]如图，直线AB、CD相交于点O，O E是∠A O D的平分线，∠C O B ＝140°，那么∠B O E＝________．第4题图5．如图，直线CD、EF相交于点O，那么∠1＋∠2＋∠3的度数是_______．第5题图6．[2021春·岳池县期末]如图，两条直线相交成四个角，∠2＝3∠1，那么∠4＝________度．第6题图7．[2021春·天山区校级期中]如图，直线AB、CD，EF相交于点O，那么∠A O D的对顶角是________，∠A O C的相邻的补角是________；假设∠A O C＝50°，那么∠B O D＝________，∠C O B＝________．第7题图8．如图，AB与CD相交于点O，O B平分∠D O E.假设∠D O E＝60°，那么∠A O C的度数是多少？10．如图，三条直线AB、CD、EF相交于同一点O，假设∠A O E＝∠A O C，∠C O F＝60°，求∠B O D的度数．11．如图，直线AB与CD相交于点O，O E是∠B O D的平分线，∠E O F＝90°.假设∠B O D ＝58°，求∠C O F的度数．12．如图，直线AB、CD交于点O，且∠B O C＝80°，O E平分∠B O C，O F为射线O E的反向延长线．(1)求∠2和∠3的度数；(2)O F平分∠A O D吗？为什么？13. [2021春·港南区期末]如图，直线EF、CD相交于点O，∠A O B＝90°，且O C平分∠A O F.(1)假设∠A O E＝40°，求∠B O D的度数；(2)假设∠A O E＝α，求∠B O D的度数(用含α的代数式表示)．参考答案1. C2. C3. 30°4. 110°5. 180°6. 1357. ∠B O C ∠A O D 、∠B O C 50° 130° 8. 解：因为O B 平分∠D O E ，所以∠B O E ＝∠B OD. 又因为∠D O E ＝60°， 所以∠B O D ＝12∠D O E ＝30°.又因为∠B O D 和∠A O C 是对顶角， 所以∠A O C ＝∠B O D ＝30°. 9. 解：∵O E ⊥CD 于点O ，∠1＝50°，∴∠A O D ＝90°－∠1＝40°. ∵∠B O C 与∠A O D 是对顶角， ∴∠B O C ＝∠A O D ＝40°. ∵O D 平分∠A O F ， ∴∠D O F ＝∠A O D ＝40°，∴∠B O F ＝180°－∠B O C －∠D O F ＝180°－40°－40°＝100°. 10. 解：因为∠C O F ＝60°，所以∠C O E ＝180°－∠C O F ＝120°.又因为∠A O E ＝∠A O C ，所以∠A O C ＝12∠C O E ＝60°，所以∠B O D ＝∠A O C ＝60°.11. 解：因为O E 是∠B O D 的平分线，∠B O D ＝58°，所以∠D O E ＝12∠B O D ＝12×58°＝29°.因为∠E O F ＝90°，所以∠D O F ＝∠E O F －∠D O E ＝90°－29°＝61°，所以∠C O F ＝180°－∠D O F ＝180°－61°＝119°. 12. 解：(1)因为∠B O C ＋∠2＝180°，∠B O C ＝80°，所以∠2＝180°－80°＝100°. 因为O E 是∠B O C 的平分线， 所以∠C O E ＝40°.因为∠3与∠C O E 是对顶角， 所以∠3＝∠C O E ＝40°. (2)O F 平分∠A OD.理由： 因为∠A O F 与∠1是对顶角， 所以∠A O F ＝∠1＝40°， 所以∠A O F ＝∠3， 所以O F 平分∠A OD.13. 解：(1)∵∠A O E ＋∠A O F ＝180°(互为补角)，∠A O E ＝40°，∴∠A O F ＝140°.又∵O C 平分∠A O F ， ∴∠F O C ＝12∠A O F ＝70°，∴∠E O D ＝∠F O C ＝70°(对顶角相等)． 而∠B O E ＝∠A O B －∠A O E ＝50°， ∴∠B O D ＝∠E O D －∠B O E ＝20°.(2)∵∠A O E ＋∠A O F ＝180°(互为补角)，∠A O E ＝α，∴∠A O F ＝180°－α. 又∵O C 平分∠A O F ，∴∠F O C ＝12∠A O F ＝90°－12α，∴∠E O D ＝∠F O C ＝90°－12α(对顶角相等)，而∠B O E ＝∠A O B －∠A O E ＝90°－α， ∴∠B O D ＝∠E O D －∠B O E ＝12α.。