平行四边形和梯形的高

平行四边形和梯形一、平行四边形平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特征。

在数学和几何学中，学习平行四边形的性质和应用是非常重要的。

1. 定义和特征平行四边形是一个四边形，其中相对的两边是平行的，并且相对的两条边相等。

平行四边形的定义可以表述如下：•两对相对边平行：即AB || CD，AB || CD，且AB ≠ CD。

•两对相对边相等：即AB = CD，AD = BC。

2. 性质和公式平行四边形具有以下性质和公式：•相对角相等：平行四边形的相对角相等，即∠A = ∠C，∠B =∠D。

•对角线分割成等长的线段：平行四边形的对角线交于O点，且AO = OC，BO = OD。

•对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即AO = OC = BO = OD。

•面积公式：平行四边形的面积可表示为S = 底边长 × 高，其中高指的是从底边到对顶边的垂直距离。

3. 应用平行四边形的性质和特征在实际生活中有许多应用。

以下是其中几个常见的应用场景：•建筑设计：平行四边形的结构稳定性使其在建筑设计中被广泛应用，例如桥梁、楼房等。

•工程测量：在工程测量中，平行四边形的性质可以用于测量地面的倾斜度以及其他距离和角度的测量。

•图像处理：在图像处理中，平行四边形的性质可以用于图像的纠偏、校正和变形处理。

二、梯形梯形是一种特殊的四边形，具有一些与平行四边形相似的性质。

了解梯形的定义和特征对于数学和几何学的学习是很重要的。

1. 定义和特征梯形是一个四边形，其中有两条平行边，称为底边和顶边，其他两条非平行边称为腰边。

梯形的定义可以表述如下：•有两条平行边：即AB || CD，且AB ≠ CD。

•有两条非平行边：即AD ≠ BC。

2. 性质和公式梯形具有以下性质和公式：•相邻角补角为180°：梯形的相邻内角的补角之和为180°，即∠A + ∠B = 180°，∠C + ∠D = 180°。

四年级梯形和平行四边形的相关题目一、填空题。

1. 平行四边形有（）条高，梯形有（）条高。

- 解析：平行四边形边上任意一点到对边的距离就是平行四边形的高，这样的点有无数个，所以平行四边形有无数条高；梯形的上底和下底是平行的，从上底任意一点向下底作垂线就是梯形的高，这样的点也有无数个，所以梯形有无数条高。

答案：无数；无数。

2. 一个梯形的上底是4厘米，下底是6厘米，高是5厘米。

如果将上底延长（）厘米，那么梯形就变成了平行四边形。

- 解析：梯形变成平行四边形的条件是上底和下底相等。

下底是6厘米，上底是4厘米，所以需要延长6 - 4 = 2厘米。

答案：2。

3. 平行四边形的内角和是（）度，梯形的内角和是（）度。

- 解析：因为四边形的内角和都是360度，平行四边形和梯形都是四边形，所以它们的内角和都是360度。

答案：360；360。

4. 一个平行四边形的底是8分米，高是6分米，它的面积是（）平方分米。

- 解析：平行四边形的面积=底×高，即8×6 = 48平方分米。

答案：48。

5. 一个梯形的面积是45平方厘米，上底是5厘米，高是6厘米，下底是（）厘米。

- 解析：根据梯形的面积公式S=(a + b)h÷2（其中S是面积，a是上底，b是下底，h是高），可得45=(5 + b)×6÷2，先计算(5 + b)×6÷2=3(5 + b)，则3(5 + b)=45，5 +b = 15，b = 10厘米。

答案：10。

二、判断题。

6. 有一组对边平行的四边形是梯形。

（）- 解析：梯形是只有一组对边平行的四边形，如果有一组对边平行，另一组对边也可能平行（那就是平行四边形了），所以这句话错误。

答案：×。

7. 平行四边形的对边相等，对角也相等。

（）- 解析：这是平行四边形的基本性质，平行四边形的对边平行且相等，对角相等，所以这句话正确。

答案：√。

8. 两个完全相同的梯形一定可以拼成一个平行四边形。

学霸笔记—北师大版2021-2022学年北师大版数学五年级上册同步重难点讲练第四单元多边形的面积4.2 认识底和高教目标1.通过动手活动，找到高这条特殊线段，体验高的基本特征；2.能判断、画出、测量三角形、平行四边形、梯形的高；3.根据图形的高和底的数据画符合条件的图形。

教学重难点教学重点：判断、画出、测量三角形、平行四边形、梯形的高教学难点：画高【重点剖析】认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。

从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。

三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。

从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是梯形的高，这条对边就是梯形的底。

高和底的关系是对应的。

用三角板画出平行四边形的高的方法：把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合，让三角板的另一条直角边过对边的某一点。

从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从点到垂足）就是平行四边形一条边上的高。

注意：从一条边上的任意一点可以向它的对边画高，也可以从另一条边上的任意一点向它的对边画高。

用三角板画出三角形的高的方法：把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点，另一条直角边与这个顶点的对边重合。

从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从顶点到垂足）就是三角形形一条边上的高。

用三角板画梯形的高的方法：用同样的方法，画出梯形两条平行线之间的垂直线段，就是梯形的高。

【典例分析1】（2020五上·潍城期末）下面说法正确的是（）。

A. 两个面积相等的三角形一定可以拼成一个平行四边形B. 直角三角形只有一条高C. 等底等高的三角形面积一定相等D. 能拼成平行四边形的两个梯形一定完全相等【答案】 C【完整解答】解：选项A，两个完全一样的三角形一定可以拼成一个平行四边形，即错误；选项B，直角三角形有3条高（两条直角边可以作高、还有斜边上的高），即错误；选项C，等底等高的三角形面积一定相等，即正确；选项D，能拼成平行四边形的两个梯形不一定完全一样，如下图：故答案为：C。

第2课时认识底和高【教学内容】认识底和高（认识平行四边形、三角形、梯形的底和高）课本第51~52页内容。

【教学目标】知识与能力：通过找限高找到梯形的高，认识并能借助三角板画出平行四边形、三角形与梯形的高。

过程与方法：通过动手操作、动眼观察、动脑思考等数学活动，培养学生主动探索新知的意识。

情感、态度与价值观：培养学生的动手操作能力和语言表达能力。

【教学重点】认识平行四边形、三角形与梯形的底和对应的高。

【教学难点】画出平行四边形、三角形与梯形的底和对应的高。

【教具准备】三角尺、梯形、平行四边形、三角形图形。

一、预学交流1、过直线外一点做已知直线的垂线。

a• b •2、识别三种基本的几何图形。

（师出示图形）3、引出课题出示主题图并提问：同学们见过这样的标志图吗？限高4.5米是什么意思？谁来说说？a、生交流。

b、师小结：你们真是善于观察思考的孩子呀！限高的作用除了提示、警示交通安全之外，还起到了保护立交桥、桥洞免受损害。

那么，今天我们就来学习平面图形的底和高。

板书课题：《认识底和高》【设计意图】复习铺垫从学生的生活经验出发，调动学生的积极性，引导学生善于观察、善于发现。

二、导学达标1、梯形的底和高（1）认识梯形的高师：你们能从这幅图中找出我们认识的图形吗？生：梯形。

师：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，平行的两边叫做梯形的底边，长的一条底边叫下底，短的一条底边叫上底。

有同学刚才提出了梯形的高，谁来给大家指指？（可以同桌相互交流）生：上台指高并说说。

师：分析得很好，我相信大家已经听懂了你的意思，梯形两条平行线之间的垂直线段叫做梯形的高。

【设计意图】通过观察，直觉感知梯形的高。

（2）画梯形的高①师示范画梯形的高。

②生观察并总结画法。

把三角板的直角边和梯形的一条边对齐，从顶点向底引出的与底垂直的线段就是它的高，用虚线表示，垂足所在的边叫做底。

③师小结画法：重叠、平移、画线、标记、④练习：请在你们画好的梯形中画高。

梯形有无数条高,并且每条高的长度都相等
梯形有无数条相等的高。

换句话说，梯形的高只有一种，但是有无数条。

平行四边形以不同的那组对边为底，就可以作出不同长度的高。

换句话说，平行四边形有两种高(特殊平行四边形，如菱形、正方形时，这两种高相等，其余不相等),但仍有无数条。

三角形有三种高(等腰或等底时，两条或三条高相等)，也只有三条高。

三角形的高是由一个顶点向对边作垂线,因为三角形只有三个顶点，所以只有三条高。

梯形和平行四边形不一样，他们都是由一条边向对边作垂线，因为每条边上都有无数个点,所以可以作的高也就有无数条。

四年级数学上册《平行四边形和梯形》知识点总结【定义】平行四边形：两组对边互相平行的四边形，它的对边平行且相等，对角相等。

从一个顶点向对边可以作两种不同的高。

底和高一定要对齐、一个平行四边形有无数条高。

梯形：只有一组对边平行的四边形。

平行的一组对边较短的叫做梯形的上底，较长的叫做梯形的下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，两条平行线之间的距离叫做梯形的高。

等腰梯形是两条腰相等的梯形，它的两个底角相等，是轴对称图形，有一条对称轴。

直角梯形有且只有两个直角。

【性质】平行四边形：①平行四边形的对边平行且相等②平行四边形的对角相等，两邻角互补。

③平行四边形的两条对角线互相平分④平行四边形是空间图形梯形：①等腰梯形的两条腰相等②等腰梯形在同一底上的两个底角相等③等腰梯形的两条对角线相等④等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线⑤梯形的中位线等于上下底和的二分之一⑥直角梯形有两个角是直角⑦对角线互相垂直的梯形面积可用两条对角线积的一半计算。

【判断】平行四边形：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形②对角线互相平分的四边形是平行四边形③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④两组对角分别相等的四边形是平行四边形⑤两组对边分别平行的四边形是平行四边形梯形：①一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形②两腰相等的梯形是等腰梯形③同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形④有一个内角是直角的梯形是直角梯形⑤对角线相等的梯形是等腰梯形.⑥梯形的中位线等于上底加下底和的一半，且平行于上底和下底。

【平行四边形和梯形各部分名称及高的画法】①为平行四边形和梯形各条边命名平行四边形的底和高：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。

②梯形中互相平行的一组对边，较短的边叫做梯形的上底，较长的边叫做梯形的下底，不平行的那组对边，分别叫做梯形的腰。

③等腰梯形：两腰相等的梯形。

梯形、平行四边形和三角形的高的画法
问题导入你能画出下面图形中给定底边上的高吗？试一试，画一画。

（教材51页例题）
方法讲解
1．梯形高的画法
把三角尺的一条直角边与梯形的一条底边重合，另一条直角边与另一条底边相交于一点，从这一点向对应底边（或底边延长线）作垂线，这点到对应底边（或底边延长线）的垂直线段就是梯形的高，如下图所示：
2．平行四边形高的画法
把三角尺的一条直角边与平行四边形的一条底边重合，另一条直角边与平行四边形这条底边所对的边相交于一点，从这一点向底边（或底边延长线）作垂线，这点到底边（或底边沿长线）的垂直线段就是平行四边形的高，如下图所示：
3．三角形高的画法
(1)把三角尺的一条直角边与一条底边重合，沿着这个底边平移三角尺，使另一条直角
边通过底边所对的顶点。

(2)从顶点向底边画一条垂线，顶点到底边（或底边延长线）的垂直线段就是三角形底
边上的高。

如果是直角三角形，两条直角边就分别是三角形的底和高；如果是钝角三角形，画从两个锐角顶点所引的高时，可将底边延长（延长部分用虚线），再画高，如下图所示：
归纳总结
1．梯形的高的画法：从梯形的上底（或下底）任意找一点，向下底（或上底）画垂线，两底之间的垂直线段就是梯形的高。

2．平行四边形的高的画法：以任意一边为底，从对边的一点向底边画垂线，两底之间的垂直线段就是平行四边形的高。

3．三角形的高的画法：可以选三角形任意一边为底，从底边所对的顶点作底边的垂线，顶点和底边之间的垂直线段就是三角形的高。

平行四边和梯形的公式摘要：一、平行四边形的公式1.面积公式2.周长公式3.对角线公式二、梯形的公式1.面积公式2.周长公式3.对角线公式三、实例与应用1.如何计算平行四边形面积？2.如何计算梯形面积？3.如何利用公式解决实际问题？正文：平行四边形和梯形是几何学中常见的图形，它们在日常生活和工程设计中有着广泛的应用。

本文将介绍平行四边形和梯形的公式，以及如何利用这些公式解决实际问题。

一、平行四边形的公式1.面积公式：平行四边形的面积等于底边长度乘以高，即S = a * h。

其中，a表示底边长度，h表示高。

2.周长公式：平行四边形的周长等于两倍的底边长度加上两倍的高，即C = 2a + 2h。

其中，a表示底边长度，h表示高。

3.对角线公式：平行四边形的对角线长度可以用以下公式计算：对于直角平行四边形，对角线长度d1 = √(a^2 + b^2)，其中a和b 分别为平行四边形的两条相邻边长。

对于非直角平行四边形，对角线长度d1 = √(a^2 + b^2 +2ab*cosθ)，其中a和b分别为平行四边形的两条相邻边长，θ为对角线与底边的夹角。

二、梯形的公式1.面积公式：梯形的面积等于上底加下底再乘以高的一半，即S = (a + b) * h / 2。

其中，a和b分别为梯形的上底和下底，h为梯形的高。

2.周长公式：梯形的周长等于上底、下底和两腰长度之和，即C = a + b + c + d。

其中，a和b分别为梯形的上底和下底，c和d分别为梯形的两腰长度。

3.对角线公式：梯形的对角线长度可以用以下公式计算：对于直角梯形，对角线长度d1 = √(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)，其中a、b、c和d分别为梯形的边长。

对于非直角梯形，对角线长度d1 = √(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab*cosθ + 2ac*cosβ + 2bc*cosγ)，其中a、b、c分别为梯形的边长，θ、β、γ分别为对角线与腰的夹角。