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2020版江苏高考数学一轮复习教程：随堂巩固训练33含答案解析

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随堂巩固训练(33)1. 如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在点A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B两点的距离为__502__m.解析：在△ABC 中，因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以B ＝30°.由正弦定理得AC sinB＝AB sin ∠ACB，所以AB ＝AC·sin ∠ACB sinB ＝502(m)．2. 如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A在观察站C 的北偏东40°方向，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°方向，则灯塔A 在灯塔B 的__北偏西10°__方向.解析：由题意可设灯塔A 在灯塔B 北偏西α方向．因为∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，且AC ＝BC ，所以∠CBA ＝50°.又因为∠CBA ＋α＝60°，所以α＝10°，所以灯塔A 在灯塔B 北偏西10°方向．3. 如图，两座相距60m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20m ，50m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 观察建筑物CD 的张角∠CAD ＝__45°__．解析：由图知在Rt △ABD 中，AB ＝20m ，BD ＝60m ，所以AD ＝AB 2＋BD 2＝2010(m)，同理易得AC ＝30 5 m ．在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝22，所以∠CAD ＝45°. 4. 若一人先向东走了xkm ，再转向南偏西60°走了3km ，结果他离出发点的距离恰好是 3 km ，则x ＝__23或__3__．A 出发向东走xkm 到达点B ，再沿南偏西60°方向走了3km 到达点C.在△ABC 中，AB ＝xkm ，BC ＝3 km ，AC ＝3km ，∠ABC ＝30°，由余弦定理得3＝9＋x 2－6x·cos30°，解得x ＝3或x ＝2 3.5. 一艘船沿正北方向航行，观察到正西方向有两个相距10海里的灯塔，恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，观察一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是每小时__10__海里．解析：如图，由题意得∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，所以CD ＝AC ＝10.在直角三角形ABC 中，∠CAB ＝60°，所以AB ＝12AC ＝5，所以这艘船的速度是每小时50.5＝10(海里)． 6. 如图，要测量河对岸A ，B 两点之间的距离，现沿河岸选取相距40m 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC＝30°，则A ，B 两点之间的距离为__206__m.解析：因为∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，所以∠BDC ＝90°.因为∠BCD ＝45°，所以△BCD 是等腰直角三角形，所以BD ＝CD ＝40.在△ACD 中，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝105°，∠ADC ＝30°，所以∠CAD ＝45°.又sin105°＝2＋64，所以由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝AD sin ∠ACD ，即4022 ＝AD 2＋64，所以AD ＝20(3＋1)．在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD·BDcos60°＝2 400，所以AB ＝20 6 m.7. 货轮在海上从点B 以40海里/时的速度沿方位角为140°的方向航行，为了确定船位，在点B 观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后到达点C ，观测灯塔A 的方位角为65°，则货轮到达点C 时与灯塔A 的距离是海里．解析：在△ABC 中，BC ＝40×0.5＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB＝65°＋(180°－140°)＝105°，所以∠BAC ＝45°.由正弦定理得AC ＝BC ×sin ∠ABC sin ∠BAC ＝20×1222＝102，即货轮到达点C 时与灯塔A 的距离是102海里． 8. 某工程中要将一长为100m ，倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长__1002__m.解析：由题意，保持坡高不变，设AC ＝h ，则AD ＝AC sin75°，即100＝4h 6＋2，可得h ＝25(6＋2)，DC ＝ADcos75°＝25(6－2)．将斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，即BC ＝AC tan30°＝3h ＝25(32＋6)，所以坡底需加长BC －CD ＝25(32＋6)－25(6－2)＝1002(m)．9. 直线AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200km ，汽车以80km/h 的速度由点A 向点B行驶，同时摩托车以50km/h 的速度由点B 向点C 行驶，则运动开始__7043__h 后，两车的距离最小． 解析：如图所示，设th 后，汽车由点A 行驶到点D ，摩托车由点B 行驶到点E ，则t ≤2.5，所以AD ＝80t ，BE ＝50t.因为AB ＝200，所以BD ＝200－80t ，由余弦定理得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ×BEcos60°＝(200－80t)2＋2 500t 2－(200－80t)×50t ＝12 900t 2－42 000t ＋40 000.当t ＝7043时，DE 2最小，故运动开始7043h 后两车的距离最小． 10. 如图，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD.已知某人从点O 沿OD 走到点D 用了2min ，从点D 沿DC 走到点C 用了3min.若此人步行的速度为50m/min ，则该扇形的半径为__507__m.解析：设该扇形的半径为rm ，连结OC.由题意得CD ＝150m ，OD ＝100m ，∠CDO ＝60°.在△CDO 中，由余弦定理得OC 2＝CD 2＋OD 2－2CD·ODcos60°，即1502＋1002－2×150×100×12＝r 2，解得r ＝507，即该扇形的半径为507 m.11. 如图，在山脚A 处测得山顶S 的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走100m 到达B 处，又测得山顶S 的仰角为75°，图中的AD ，BC 为水平线．(1) 求山高SD ；(2) 求CD 的值．解析：(1) 在△ABS 中，∠SAB ＝45°－15°＝30°，∠ASB ＝30°，∠ABS＝120°，AB ＝100 m.由正弦定理得SA sin120°＝AB sin30°，所以SA ＝ABsin120°sin30°＝1003(m)， 所以在Rt △SAD 中，SD ＝SAsin45°＝506(m)，故山高SD ＝50 6 m.(2) 在△SAB 中，由(1)知AB ＝SB ＝100m ，在Rt △SBC 中SC ＝SBsin75°＝256＋252(m)， 所以CD ＝SD －SC ＝506－(256＋252)＝256－252(m)．12. 某企业有两个生产车间分别在A 、B 两个位置，A 车间有100名员工，B 车间有400名员工．现要在公路AC 上找一点D ，修一条公路BD ，并在点D 处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐．已知A 、B 、C 中任意两点间的距离均为1km ，设∠BDC ＝α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为s. (1) 写出s 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2) 问食堂D 建在距离A 车间多远时，可使总路程s 最少？解析：(1) 在△BCD 中，因为BD sin π3＝BC sinα＝CD sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α， 所以BD ＝32sinα，CD ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－αsinα，所以AD ＝1－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－αsinα， 所以s ＝400·32sinα＋100[1－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－αsinα]＝50－503·cosα－4sinα，其中π3<α<2π3. (2) s′＝－503·－sinα·sinα－（cosα－4）cosαsin 2α＝503·1－4cosαsin 2α. 令s′＝0，得cosα＝14.记cosα0＝14，α0∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3， 则当cosα>14时，s′<0；当cosα<14时，s′>0， 所以s 在区间⎝⎛⎭⎫π3，α0上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫α0，2π3上单调递增， 所以当α＝α0，即cosα＝14时，s 取得最小值，此时sinα＝154， 所以AD ＝1－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－αsinα＝1－32cosα＋12sinαsinα＝12－32×cosαsinα＝12－32×14154＝12－510. 故当食堂D 建在距离A 车间⎝⎛⎭⎫12－510 km 时，可使总路程s 最少. 13. 如图，P 为某湖中观光岛屿，AB 是沿湖岸南北方向的道路，Q 为停车场，PQ ＝265km ，某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q ，已知游船以13km/h 的速度沿方位角θ的方向行驶，sinθ＝513.游船离开观光岛屿3min 后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车场Q 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖岸南北大道M 处，然后乘出租车到停车场Q 处(设游客甲到达湖岸南北大道后立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租车的速度为66km/h. (1) 设sinα＝45，问当小船的速度为多少时，游客甲才能和游船同时到达点Q? (2) 设小船的速度为10km/h ，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α的余弦值是多少时，游客甲能按计划以最短的时间到达点Q?解析：(1) 如图，过点P 作PN ⊥AB ，N 为垂足．因为sinθ＝513，sinα＝45，所以cosθ＝1213，cosα＝35，tanα＝43. 在Rt △PNQ 中，PN ＝PQsinθ＝265×513＝2(km)， QN ＝PQcosθ＝265×1213＝4.8(km). 在Rt △PNM 中，MN ＝PN tanα＝243＝1.5(km)，PM ＝PN sinα＝245＝2.5(km)， MQ ＝QN －MN ＝3.3(km)．设游船从点P 到点Q 所用的时间为t 1h ，游客甲从点P 经点M 到点Q 所用的时间为t 2h ，小船的速度为v 1km/h ，则t 1＝PQ 13＝26513＝25(h)，t 2＝PM v 1＋MQ 66＝2.5v 1＋3.366＝52v 1＋120(h)．由已知得t 2＋120＝t 1，即52v 1＋120＋120＝25，所以v 1＝253， 所以当小船的速度为253 km/h 时，游客甲才能和游船同时到达点Q. (2) 在Rt △PMN 中，PM ＝PN sinα＝2sinα(km)，MN ＝PN tanα＝2cosαsinα(km)， 所以QM ＝QN －MN ＝4.8－2cosαsinα(km)． 设游客甲所用时间为t ，则t ＝PM 10＋QM 66＝15sinα＋455－cosα33sinα＝1165×33－5cosαsinα＋455， 所以t′＝1165×5sin 2α－（33－5cosα）cosαsin 2α＝5－33cosα165sin 2α. 令t′＝0，得cosα＝533. 当cosα<533时，t′>0; 当cosα>533时，t′<0. 因为y ＝cosα在α∈⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， 所以当方位角α满足cosα＝533时，t 最小，即游客甲能按计划以最短的时间到达点Q.。

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2020版江苏高考数学一轮复习教程：随堂巩固训练5含答案解析

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随堂巩固训练(5)1. 设集合M ＝{x|－2≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，函数f(x)的定义域为M ，值域为N ，则下列图象中可以作为f(x)的图象的序号是__②__．①② ③ ④解析：①定义域为[－2，0]，④值域不是[0，2]，③对一个x 的值有两个y 与之对应，均不符合函数的定义，②满足函数的定义．2. 设集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤4}，有以下四个对应法则：①f ：x →y ＝x 2；②f ：x →y＝3x －2；③f ：x →y ＝－x ＋4；④f ：x →y ＝4－x 2.其中不能构成从A 到B 的函数的是__④__．(填序号)解析：对于函数y ＝4－x 2，集合A 中的2对应数为0，不在集合B 中，故不能构成A 到B 的函数．3. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x>0，2， x ＝0，0， x<0，则f(f(f(－10)))＝__6__．解析：因为－10<0，所以f(－10)＝0，所以f(f(－10))＝f(0)＝2，所以f(f(f(－10)))＝f(2)＝6. 4. 函数f(x)＝2x －1x ＋1的值域为__(－∞，2)∪(2，＋∞)__．解析：f(x)＝2x －1x ＋1＝2（x ＋1）－3x ＋1＝2－3x ＋1.因为3x ＋1≠0，所以f(x)≠2，故值域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．5. 函数f(x)＝x ＋1＋12－|x|的定义域为__[－1，2)∪(2，＋∞)__．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－|x|≠0，解得x ≥－1且x ≠±2，故函数的定义域为[－1，2)∪(2，＋∞)．6. 已知函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫x －12的定义域是__⎣⎡⎦⎤12，32__． 解析：因为函数f(x)的定义域是[0，2]，所以⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得12≤x ≤32.故函数g(x)的定义为⎣⎡⎦⎤12，32. 7. 给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f(x)＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x(x ∈N )的图象是一条直线；④f(x)＝x 2x与g(x)＝x 是同一函数．其中正确命题的序号有__①②__．解析：由定义知①正确；要使f(x)有意义，则x －2≥0且2－x ≥0，所以x ＝2，故f(x)是定义域为{2}的函数，②正确；函数y ＝2x(x ∈N )的图象是一条直线上的一些孤立的上点，③错误；④中两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，④错误．8. 函数f(x)＝log 2(3x ＋1)的值域为__(0，＋∞)__．解析：因为3x >0，所以3x ＋1>1，所以函数f(x)＝log 2(3x ＋1)的值域为(0，＋∞)．9. 若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a>0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则a ＝__2__． 解析：f(x)＝log a (x ＋1)的定义域是[0，1]，所以0≤x ≤1，则1≤x ＋1≤2.当a>1时，0＝log a 1≤log a (x ＋1)≤log a 2＝1，所以a ＝2；当0<a<1时，log a 2≤log a (x ＋1)≤log a 1＝0，与值域为[0，1]矛盾．综上，a 的值为2.10. 已知函数f(x)＝2x ＋1，x ∈[1，2]，则f(2x －3)＝__4x －5，x ∈⎣⎡⎦⎤2，52__． 解析：因为f(x)＝2x ＋1，x ∈[1，2]，所以f(2x －3)＝2(2x －3)＋1＝4x －5，且2x －3∈[1，2]，即x ∈⎣⎡⎦⎤2，52，所以f(2x －3)＝4x －5，x ∈⎣⎡⎦⎤2，52. 11. 已知函数f(x)＝x 2－2x －8的定义域是集合A ，函数g(x)＝3－2x1－（x －a ）2的定义域是集合B ，且A ∩B ＝，求实数a 的取值范围．解析：要使函数f(x)有意义，则x 2－2x －8≥0，解得x ≤－2或x ≥4，即A ＝(－∞，－2]∪[4，＋∞)．要使函数g(x)有意义，则1－(x －a)2>0，解得a －1<x<a ＋1，即B ＝(a －1，a ＋1)． 由A ∩B ＝，得(a －1，a ＋－2，4)， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－2，a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3， 故实数a 的取值范围是[－1，3]．12. 若函数f(x)＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b](b>1)，求a ，b 的值．解析：因为f(x)＝12(x －1)2＋a －12，所以函数图象的对称轴为直线x ＝1，即函数f(x)在区间[1，b]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝a －12＝1， ①f(x)max ＝f(b)＝12b 2－b ＋a ＝b. ②联立①②得⎩⎨⎧a －12＝1，12b 2－b ＋a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝1(舍去)．所以a ，b 的值分别为32，3.13. 已知函数f(x)＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )． (1) 若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若对任意x ∈R ，函数f(x)的值均为非负数，求函数g(a)＝2－a|a ＋3|的值域． 解析：(1) 因为函数f(x)的值域为[0，＋∞)， 所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，即2a 2－a －3＝0，解得a ＝－1或a ＝32，故a 的值为－1或32.(2) 因为对任意x ∈R ，函数f(x)的值均为非负数， 所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝8(2a 2－a －3)≤0，所以－1≤a ≤32，所以a ＋3>0，所以g(a)＝2－a|a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. 因为二次函数g(a)在区间⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减， 所以g ⎝⎛⎭⎫32≤g(a)≤g(－1)，即－194≤g(a)≤4，所以函数g(a)的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4.。

2020版江苏高考数学一轮复习教程：随堂巩固训练30含答案解析

2020版江苏高考数学一轮复习教程：随堂巩固训练30含答案解析

随堂巩固训练(30)1. 在△ABC 中，若A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝__π4__．解析：根据正弦定理得BC sinA ＝AB sinC ，则sinC ＝AB·sinA BC ＝6×323＝22.又C 为三角形的内角，且AB<BC ，所以0<C<π3，则C ＝π4.2. 在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sinA ＝13，则a ＝__523__．解析：根据正弦定理得a sinA ＝b sinB ，则a ＝bsinAsinB ＝5×1322＝523.3. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC ＋ccosB ＝asinA ，则△ABC 的形状为__直角三角形__．解析：由正弦定理得sinBcosC ＋sinCcosB ＝sin 2A ，即sin(B ＋C)＝sin 2A.因为sin(B ＋C)＝sinA ，所以sin 2A ＝sinA ，解得sinA ＝1或sinA ＝0(舍)，所以A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的度数成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则BC 边上的中线AD ＝__3__．解析：ABC 的三个内角A ，B ，C 的度数成等差数列，所以A ＋C ＝2B.因为A ＋B ＋C＝π，所以B ＝π3.在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝12BC ＝2，B ＝π3，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2×AB ×BD ×cos B ＝12＋22－2×1×2×12＝3，所以AD ＝ 3.5. 在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝__42__．解析：在△ABC 中，因为cos C 2＝55，所以cosC ＝2cos 2C 2－1＝－35.因为BC ＝1，AC ＝5，所以由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BCcosC ＝32，所以AB ＝4 2.6. 在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC ＝__3__．解析：由题意得S △ABC ＝12AB·ACsin π3＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×ACcos π3＝3，所以BC ＝ 3.7. 在不等边三角形ABC(三边均不相等)中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有cosA cosB ＝b a ，则角C 的大小为__π2__． 解析：依题意得acosA ＝bcosB ，由正弦定理得sinAcosA ＝sinBcosB ，即sin2A ＝sin2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.又△ABC 是不等边三角形，所以A ＋B ＝π2，所以C＝π2. 8. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bcosC ＋ccosB ＝2b ，则ab＝__2__．解析：利用正弦定理，由bcos C ＋ccos B ＝2b 得sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C)＝2sin B ．因为sin(B ＋C)＝sin A ，所以sin A ＝2sin B ，所以由正弦定理得a b ＝sin Asin B＝2.9. 在△ABC 中，若sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，则角A 的取值范围是__⎝⎛⎦⎤0，π3__． 解析：由正弦定理及条件得a 2≤b 2＋c 2－bc ，所以bc ≤b 2＋c 2－a 2，所以cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，所以A ≤π3.因为A>0，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π3. 10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c.已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA)，则A ＝__π4__．解析：因为b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA)，所以由余弦定理得b 2＋b 2－2b 2cosA ＝2b 2(1－sinA)，所以cosA ＝sinA ，即tanA ＝1.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4.11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinB ＋bcosA ＝0. (1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝2，b ＝1，求△ABC 的面积．解析：(1) 由asinB ＋bcosA ＝0及正弦定理得sinAsinB ＋sinBcosA ＝0， 所以sinB(sinA ＋cosA)＝0.因为sinB ≠0，所以sinA ＋cosA ＝0，因为A ∈(0，π)，所以tanA ＝－1，所以A ＝3π4.(2) 因为a ＝2， b ＝1, A ＝3π4，所以由余弦定理得c 2＋2c －1＝0，解得c ＝6－22(负值舍去)，所以S △ABC ＝12bcsinA ＝3－14.12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315且b －c ＝2，cosA ＝－14.(1) 求a 的值；(2) 求sin(A ＋B)的值．解析：(1) 因为在△ABC 中，cosA ＝－14，所以sinA ＝154.因为S △ABC ＝12bcsinA ＝315，所以bc ＝24.因为b －c ＝2，所以b ＝6，c ＝4.因为a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，所以a ＝8.(2) 因为在△ABC 中，所以sin(A ＋B)＝sinC.由正弦定理得a sinA ＝c sinC ，解得sinC ＝158，所以sin(A ＋B)＝158.13. 如图，△ABC 是等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且BC ＝2CD ，AD ＝7.(1) 求sin ∠CAD sinD的值；(2) 求CD 的长．解析：(1) 因为△ABC 是等边三角形，所以AC ＝BC.因为BC ＝2CD ，所以AC ＝2CD.在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ACsinD，所以sin ∠CAD sinD ＝CD AC ＝12.(2) 设CD ＝x ，则BC ＝2x ，BD ＝3x.因为△ABD 中， AD ＝7，AB ＝2x ，B ＝π3，由余弦定理可得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ×BD ×cosB ， 即7＝4x 2＋9x 2－2x ×3x ，解得x ＝1，即CD ＝1.。

【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练50含解析

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随堂巩固训练(50)1. 抛物线y ＝12x 2的焦点坐标为 ⎝⎛⎭⎫0，12 . 解析：将抛物线y ＝12x 2化为x 2＝2y ，所以p ＝1，p 2＝12，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12. 2. 在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为2. 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则有2b 2a ＝2且a 2c －c ＝1，解得e ＝22.3. 两条对称轴与坐标轴重合，离心率e ＝0.8，焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的方程是 x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 .解析：因为e ＝0.8，所以c a ＝45.又焦点到相应准线的距离为a 2c －c ＝94，所以⎝⎛⎭⎫54c 2c －c ＝94，解得c ＝4，则a ＝54c ＝5，b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，所以所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.4. 已知双曲线C ：x 216－y 2b 2＝1(b>0)的渐近线方程为3x±4y ＝0，则双曲线C 的准线方程为 x ＝±165.解析：由题意可知b 4＝34，解得b ＝3，则c 2＝a 2＋b 2＝25，c ＝5，故双曲线C 的准线方程为x ＝±165.5. 已知椭圆x 25＋y 24＝1的中心为A ，右准线为l ，则以A 为顶点，l 为准线的抛物线方程为 y 2＝－20x .解析：椭圆的中心为原点，右准线方程为x ＝5，从而p2＝5，p ＝10.由题意可知，抛物线开口向左，故抛物线的标准方程为y 2＝－20x.6. 已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为43. 解析：设点A(x A ，y A )，由题意得x A ＋p2＝5，所以x A ＝4，所以y A ＝4，即点A(4，4)，所以直线AF 的斜率为4－04－1＝43.7. 若双曲线x 2m －y 2＝1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13，则m ＝ 18.解析：由题意可得e ＝m ＋1m ，由双曲线的第二定义知，e ＝m ＋1m ＝3，解得m ＝18. 8. 若双曲线mx 2－2my 2＝4的一条准线是y ＝1，则实数m ＝ －23.解析：由题意得双曲线的实轴在y 轴上，则m<0，所以－2m－6m ＝1，解得m ＝－23.9. 平面内有一长度为4的线段AB ，动点P 满足PA ＋PB ＝6，则PA 的取值范围是 [1，5] .解析：由题意得，动点P 在以A ，B 为焦点，长轴长为6的椭圆上，所以a ＝3，c ＝2，所以PA 的最小值为a －c ＝1，最大值为a ＋c ＝5，所以PA 的取值范围是[1，5].10. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，右准线为l ，点A 在直线l 上，线段AF 与椭圆C 交于点B.若|FA →|＝3|FB →|，求|AF →|的值.解析：由题设知F(1，0)，直线l 的方程为x ＝2，离心率e ＝22. 设点B 到直线l 的距离为d ，则FB ＝22d ，所以AF ＝322d. 由三角形相似得d 1＝23，即d ＝23，所以|AF →|＝ 2.11. 已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上的点，点P 与两焦点F 1，F 2的连线互相垂直，且点P 到两准线的距离分别为d 1＝6，d 2＝12，求椭圆的方程.解析：由圆锥曲线的定义知PF 1＝ed 1，PF 2＝ed 2.因为PF 21＋PF 22＝F 1F 22，所以e 2d 21＋e 2d 22＝(2c)2，所以c 2a2(62＋122)＝4c 2，即a 2＝45.又PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4a 2， 即4c 2＋2e 2d 1d 2＝4a 2，即4c 2＋144c 2a2＝4a 2＝4×45，解得c 2＝45281＝25，b 2＝a 2－c 2＝20，所以椭圆方程为x 245＋y 220＝1.12. 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心离为12，右焦点为F ，且椭圆E 上的点到点F距离的最小值为2.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点A 的直线l 与直线x ＝8交于点N ，当过A ，F ，N 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程.解析：(1) 由题意知c a ＝12，a －c ＝2，所以a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12，所以椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2) 设点N(8，t)，圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为圆过点A(－4，0)，F(2，0)，N(8，t)，所以联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧（－4）2－4D ＋F ＝0，22＋2D ＋F ＝0，82＋t 2＋8D ＋tE ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－72＋t 2t，F ＝－8，所以圆的方程为x 2＋y 2＋2x －(t ＋72t )y －8＝0，即(x ＋1)2＋[y －12(t ＋72t )]2＝9＋14⎝⎛⎭⎫t ＋72t 2.因为⎝⎛⎭⎫t ＋72t 2≥(272)2，当且仅当t ＝72t ，即t ＝±62时取等号，圆的半径最小， 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x±122y －8＝0.。

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随堂巩固训练(50)1. 抛物线y ＝12x 2的焦点坐标为 ⎝⎛⎭⎫0，12 . 解析：将抛物线y ＝12x 2化为x 2＝2y ，所以p ＝1，p 2＝12，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12. 2. 在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为2. 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则有2b 2a ＝2且a 2c －c ＝1，解得e ＝22.3. 两条对称轴与坐标轴重合，离心率e ＝0.8，焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的方程是 x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 .解析：因为e ＝0.8，所以c a ＝45.又焦点到相应准线的距离为a 2c －c ＝94，所以⎝⎛⎭⎫54c 2c －c ＝94，解得c ＝4，则a ＝54c ＝5，b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，所以所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.4. 已知双曲线C ：x 216－y 2b 2＝1(b>0)的渐近线方程为3x±4y ＝0，则双曲线C 的准线方程为 x ＝±165.解析：由题意可知b 4＝34，解得b ＝3，则c 2＝a 2＋b 2＝25，c ＝5，故双曲线C 的准线方程为x ＝±165.5. 已知椭圆x 25＋y 24＝1的中心为A ，右准线为l ，则以A 为顶点，l 为准线的抛物线方程为 y 2＝－20x .解析：椭圆的中心为原点，右准线方程为x ＝5，从而p2＝5，p ＝10.由题意可知，抛物线开口向左，故抛物线的标准方程为y 2＝－20x.6. 已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为43. 解析：设点A(x A ，y A )，由题意得x A ＋p2＝5，所以x A ＝4，所以y A ＝4，即点A(4，4)，所以直线AF 的斜率为4－04－1＝43.7. 若双曲线x 2m －y 2＝1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13，则m ＝ 18.解析：由题意可得e ＝m ＋1m ，由双曲线的第二定义知，e ＝m ＋1m ＝3，解得m ＝18. 8. 若双曲线mx 2－2my 2＝4的一条准线是y ＝1，则实数m ＝ －23.解析：由题意得双曲线的实轴在y 轴上，则m<0，所以－2m－6m ＝1，解得m ＝－23.9. 平面内有一长度为4的线段AB ，动点P 满足PA ＋PB ＝6，则PA 的取值范围是 [1，5] .解析：由题意得，动点P 在以A ，B 为焦点，长轴长为6的椭圆上，所以a ＝3，c ＝2，所以PA 的最小值为a －c ＝1，最大值为a ＋c ＝5，所以PA 的取值范围是[1，5].10. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，右准线为l ，点A 在直线l 上，线段AF 与椭圆C 交于点B.若|FA →|＝3|FB →|，求|AF →|的值.解析：由题设知F(1，0)，直线l 的方程为x ＝2，离心率e ＝22. 设点B 到直线l 的距离为d ，则FB ＝22d ，所以AF ＝322d. 由三角形相似得d 1＝23，即d ＝23，所以|AF →|＝ 2.11. 已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上的点，点P 与两焦点F 1，F 2的连线互相垂直，且点P 到两准线的距离分别为d 1＝6，d 2＝12，求椭圆的方程.解析：由圆锥曲线的定义知PF 1＝ed 1，PF 2＝ed 2.因为PF 21＋PF 22＝F 1F 22，所以e 2d 21＋e 2d 22＝(2c)2，所以c 2a2(62＋122)＝4c 2，即a 2＝45.又PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4a 2， 即4c 2＋2e 2d 1d 2＝4a 2，即4c 2＋144c 2a2＝4a 2＝4×45，解得c 2＝45281＝25，b 2＝a 2－c 2＝20，所以椭圆方程为x 245＋y 220＝1.12. 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心离为12，右焦点为F ，且椭圆E 上的点到点F距离的最小值为2.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点A 的直线l 与直线x ＝8交于点N ，当过A ，F ，N 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程.解析：(1) 由题意知c a ＝12，a －c ＝2，所以a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12，所以椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2) 设点N(8，t)，圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为圆过点A(－4，0)，F(2，0)，N(8，t)，所以联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧（－4）2－4D ＋F ＝0，22＋2D ＋F ＝0，82＋t 2＋8D ＋tE ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－72＋t 2t，F ＝－8，所以圆的方程为x 2＋y 2＋2x －(t ＋72t )y －8＝0，即(x ＋1)2＋[y －12(t ＋72t )]2＝9＋14⎝⎛⎭⎫t ＋72t 2.因为⎝⎛⎭⎫t ＋72t 2≥(272)2，当且仅当t ＝72t ，即t ＝±62时取等号，圆的半径最小， 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x±122y －8＝0.。