湖南省怀化市2019-2020学年高三上学期期末数学(理)试题(解析版)
- 格式：docx
- 大小：990.66 KB
- 文档页数：23
怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2019年下期期末考试高三理科数学注意事项:1.答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目.2.考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本议题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.4.本试题卷共4页，如缺页，考生须声明，否则后果自负.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分.时量:120分钟.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}120|A x x x =+-≥，{}|13B x x =<<，则A B =（ ）A. ()1,3-B. ()2,3C. ()1,2D. [)2,3【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A ，由交集定义即可求解.【详解】()(){}120|A x x x =+-≥1{|x x =≤-或2}x ≥，A B =[)2,3.故选:D【点睛】本题考查交集运算，属于基础题.2.复数z 满足(1)i z i -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. 12-B.12C. 12i -D.12i【答案】B 【解析】分析：由已知等式变形得1=-iz i，再利用复数的四则运算法则求出z 的代数形式，再写出虚部． 详解：由(1)i z i -=有(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+，则z 的虚部为12，故选B. 点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题．若复数(,)z a bi a b R =+∈，则复数的虚部为b ．3.将()3nx +的展开式按照x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是90，则n 的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B 【解析】 分析】根据二项式展开式的通项公式列式解得即可． 【详解】依题意：22390n n C -⋅=，得到210n n C -=解得5n =. 故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2199OB a OA a OC =+，且、、AB C 三点共线(该直线不过原点O )，则200S =（ ）A. 100B. 101C. 200D. 201【答案】A 【解析】 【分析】 根据三点共线的充要条件得出21991a a +=，运用等差数列的前n 项和公式，以及等差数列序号和相等性质，即可求解.【【详解】2199OB a OA a OC =+，且、、A B C 三点共线(该直线不过原点O )，21991a a ∴+=，12002002199200()100()1002a a S a a +==⨯+=.故选:A【点睛】本题以三点共线为背景，考查数列的前n 项和以及等差数列的性质，属于基础题.5.我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题:“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡x 只，兔y 只，则输出,x y 的分别是（ ）A. 12,23B. 23,12C. 13,22D. 22,13【答案】B 【解析】 【分析】由1,34x y ==开始验证S ，直到满足94S =，退出循环体，输出,x y . 【详解】1,34x y ==,138S =；2,33x y ==,136S =；；23,12x y ==,94S =.退出循环，输出23,12x y ==.故选:B【点睛】本题考查循环结构运行结果，属于基础题. 6.函数()2cos xf x x π=的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域、奇偶性和函数值的变化趋势进行判断，可得函数图象的大体形状． 【详解】由题意得函数()f x 的解析式为()(),00,-∞⋃+∞， ∵()()2cos xf x f x xπ-==， ∴函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称， ∴可排除C,D ．又当x →0时，cos(πx )→1，2x →0， ∴f (x )→+∞，所以可排除B ． 故选A ． 【点睛】根据函数解析式判断函数图象的大体形状时，一般采用排除法进行求解，解题时可根据函数的定义域、单调性、奇偶性、特殊值或函数值的变化趋势等进行排除，逐步可得结果． 7.如图是2018年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是A. 2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省B. 与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP 总量实现了增长C. 2017年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元D. 2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个 【答案】D 【解析】 分析】解决本题需要从统计图获取信息，由此关键是明确图表中数据的来源以及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息．【详解】对于A ，从折线统计图可得，2018年第一季度GDP 增速由高到低排位依次为江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故浙江省排在第五， 对于B ，从折线统计图可得，与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP 总量实现了增长率都为正值，所以与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP 总量实现了增长， 对于C ，根据统计图可计算2017年同期河南省的GDP 总量为4067.43815.640001.066≈<，所以2017年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元， 对于D, 2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有两个，江苏、河南，综述只有D 选项不正确，【【点睛】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()231f x log x =-+，则()2019f -=（ ）A. 4B. 2C. 2-D. 25log【答案】C 【解析】 【分析】()()2f x f x +=-得出函数的周期为4，以及()f x 是定义在R 上的奇函数，将自变量-2019可转化为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可求解. 【详解】()()42(())()f x f x f x f x +=-+=--=，()f x ∴周期为4，且()f x 在R 上的奇函数， ()22019(1)(1)log 42f f f -==--=-=-.故选:C【点睛】本题考查函数的性质在函数求值中的应用，属于基础题.9.已知命题:p x R ∃∈，使sin x =；命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论： ①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题 ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③C. ②④D. ③④【答案】B 【解析】先判断命题p ，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【详解】解：∵|sin x |≤1，∴：∃x ∈R ，使sinx 2=错误，即命题p 是假命题， ∵判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴∀x ∈R ，都有x 2+x +1＞0恒成立，即命题q 真命题，则①命题“p ∧q ”是假命题；故①错误， ②命题“p ∧（￢q ）”是假命题；故②正确， ③命题“（￢p ）∨q ”是真命题；故③正确， ④命题“（￢p ）∨（￢q ）”是真命题．故④错误， 故选B ．【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件先判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键．10.若向量sin 2x m ⎛= ⎝，2cos ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()f x m n =⋅，则()f x 的图象的一条对称轴方程是（ ） A. 3x π=B. 6x π=C. 3x π=-D. 2x π=【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数列积公式，求出()f x ，运用三角恒等变换公式，化简()f x ，结合正弦函数的对称轴即特征可求解.【详解】()2sincos 222x x xf x m n =⋅=+1sin sin()23x x x π=++=++()f x ∴一条对称轴为6x π=.是故选:B【点睛】本题考查三角恒等变换，涉及到二倍角公式、降幂公式，考查三角函数的对称性，属于基础题.11.对于函数()22()0f x ax bx cx d a =+++≠，定义:设()f x '是()f x 的导数， ()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()f x ''有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心.设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122019202020202020g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020【答案】C 【解析】 【分析】根据拐点的定义，求出()g x 对称中心，然后运用倒序相加法求值. 【详解】()23g x x x '=-+，()21g x x ''=-，令()0g x ''=，得12x =，且112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()y g x ∴=关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，()()12g x g x ∴+-=，122019202020202020S g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭201920181202020202020S g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭120192201820191222019202020202020202020202020S g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++⋅⋅⋅++=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2019S ∴=故选:C【点睛】本题考查对新定义的理解，仔细审题是解题的关键，考查倒序法求和，属于中档题.12.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）A. ⎦B. 1,t ⎤⎦C. ⎣⎦D. ⎛ ⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为F '，连接AF '，BF '．则四边形AFBF '为矩形．因此2AB FF c '==，而2AF BF a +=，2AF csin α=，2BF ccos α=，可得114e sin cos πααα⎛⎫ ⎪⎝=++⎭=，求出即可．【详解】如图所示：设椭圆的左焦点为F '，连接AF '，BF ' 则四边形AFBF '为矩形， 因此2AB FF c '==，2AF BF a +=，2AF csin α=，2BF ccos α=，∴222csin ccos a αα+=，∴114e sin cos πααα⎛⎫ ⎪⎝=++⎭=， ,126ππα⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦， 5,4312πππα∴+⎛⎫⎡⎤ ⎪∈⎢⎥⎝⎭⎣⎦，,424sin πα∴+∈⎛⎫⎪⎝⎭⎣⎦，4πα⎛⎫⎪∈⎝⎭⎣⎦+,1,3e ∴∈⎦.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的简单性质]的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量,x y 满足约束条件220240,10x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =+的最大值为__________．【答案】8 【解析】 【分析】作出可行域，即可求出目标函数的最大值. 【详解】作出可行域，如下图所示： 当目标函数32z x y =+过5(1,)2A 时， z 取最大值为8.故答案为:8【点睛】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题. 14.函数log (3)1(1,0)a y x a a =+-≠>的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0,0m n >>,则12m n+的最小值为____________________. 【答案】8. 【解析】 【分析】根据对数函数的性质先求出A 的坐标，代入直线方程可得,m n 的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可． 【详解】解：2x =-时，log 111a y =-=-，∴函数log (3)1(1,0)a y x a a =+-≠>的图象恒过定点(2,1)A --， ∵点A 在直线10mx ny ++=上，210m n ∴--+=，即21m n +=，0,0m n >>，12124(2)22428n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当11,42m n ==时取等号． 故答案为：8【点睛】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．15.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且1AB BD CD ===，则此鳖儒的外接球的表面积为__________．【答案】3π 【解析】 【分析】利用四个面都是直角三角形，AB ⊥平面BCD ，且1AB BD CD ===，将三棱锥补成以,,AB BD CD 为棱的正方体，则此鳖儒的外接球即为边长为1的正方体的外接球，即可求解. 【详解】根据题意，将鳖儒ABCD 补成以,,AB BD CD 为棱的正方体，边长为1的正方体的外接球半径为2，其表面积为3π. 故答案为:3π【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，运用割补法转化为特殊图形的外接球的表面积，属于基础题. 16.已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为______． 【答案】4 【解析】试题分析：由()ln f x x x x =+，则()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，即ln 2x x xk x +<-对任意的2x >恒成立，令()ln 2x x xg x x +=-，则()22l n 4(2)x x g x x -'-=-，令()2l n 4(2)h x x x x =-->，则()221x h x x x'-=-=，所以函数()h x 在(2,)+∞单调递增，因为()842ln80,(9)62ln90h h =-=-，所以方程()0h x =在(2,)+∞上存在唯一实根0x ，且满足0(8,9)x ∈，当02x x <<时，()0h x <，即()0g x '<，当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>，所以函数()ln 2x x xg x x +=-在()02,x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，又002ln 40x x --=，所以，故0011ln 12x x +=-，所以()0000000min001(1)ln 192()(4,)2222x x x x x g x g x x x x -+====∈--，所以实数k 的最大值为4． 考点：导数在函数中的应用；函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、最值、函数的恒成立问题的求解等知识的综合应用，其中把函数()f x ，对于()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，转化为ln 2x x x k x +<-对任意的2x >恒成立，设成新函数()ln 2x x x g x x +=-，利用函数()g x 的最值求解是解答的关键，着重考查了转化与化归思想和推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列{}n a 是递减数列，14132a a =，2338a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若()22n n b n log a =-+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）12n na =；（2）13112124n n ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭+. 【解析】 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据14132a a =和2338a a +=列出方程组，解出1a 和 q 的值即可；（2）由（1）知，12n na =，即()()()221 2222n n n b n log a n log n n =-+=-+=+， 可得()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，用裂项相消法求和即可. 【详解】()1设等比数列{}n a 的公比为q ，则14232313238a a a a a a ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2318,14a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2314,18a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2q =或12，即11162a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或11212a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又为数列{}n a 是递减数列，所以112a =，12q = 故数列{}n a 的通项公式为12n n a =. (2)()()()2212222n n n b n log a n log n n =-+=-+=+， 可得()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭即有前n 项和1111123111111224n n n n n T ⎛⎫=-+-+--++-+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭11113111122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.18.已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=. (1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的取值范围. 【答案】（1）3B π=；（2）(]2,4.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简()20a c cosB bcosC --=得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，再由正弦两角和差公式和化为：()2sinAcosB sinBcosC cosBsinC sin B C =+=+，再由()sin B C sinA +=得出cos B 的值即可； （2）由sin b B =得出a A，c C =，得到a c A C +=+，进而得到sin 6a c A π+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据角的范围得到sin 6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭+的范围即可.【详解】(1)由()20a c cosB bcosC --=，可得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，2sinAcosB sinBcosC cosBsinC ∴=+，可得：()2sinAcosB sin B C sinA =+=，(0,)A π∈，0sinA >，∴可得12cosB =， 又由(0,)B π∈得：3B π=，(2)sin b B =a A ，c C =， 23A C π+=，]sin sin sin()333a c A C A A B ∴+=+=++1sin sin()sin sin 32A A A A A π⎤⎤=+++⎥⎥⎣⎦⎣⎦14cos 4sin()226A A A π⎤=+=+⎥⎣⎦，203A π<<，5666A πππ<+<， 可得：1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， ∴a c +的取值范围(]2,4.【点睛】本题主要考查解三角形，侧重考查正弦定理的应用，考查辅助角公式的运用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.19.如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，E 为PD 中点，(1)求证：PB 平面EAC ； (2)求二面角 A BE C --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 分析】（1）证明出OE PB 即可得出PB 平面EAC ；（2）以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BE-C 的正弦值．【详解】(1)连接BD 交AC 于O ， 底面ABCD 为正方形，O ∴是BD 的中点，E 为PD 中点，OE PB ，又EO ⊂面EAC ，PB ⊄面EAC ，∴PB EAC 平面；(2)底面ABCD 为正方形，BC AB ∴⊥，又,BC PB AB PB B ⊥⋂=，BC ∴⊥平面PAB ，BC PA ∴⊥， 同理CD PD ⊥，BC CD C ⋂=，PA ∴⊥平面ABCD ， 建立如图的空间直角坐标系A xyz -，不妨设正方形的边长为2，【则()()()()0,0,0,2,2,0,0,1,1,2,0,0A C E B ，设(),,m x y z =为平面ABE 的一个法向量，又()0,1,1AE =，()2,0,0AB =，20n AE y z n AB x ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1y =-，1z =，得()0,1,1m =-， 同理()1,0,2n =是平面BCE 的一个法向量，则,2m n cos m n m n⋅===⨯，∴二面角A BE C --. 【点睛】本题考查直线与平面平行，考查二面角的平面角及求法，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.20.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出300条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的22⨯列联表如下:(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系?(2)为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张的面额为0元，1元，2元的三种骑行券，用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一-次获得1元券，获得2元券的概率分别是12 ,25，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附:下边的临界值表仅供参考:(参考公式:()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++)【答案】（1）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）有22⨯列联表的数据求出2507.14310.828 7K≈<=，从而在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系；（2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为110，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，分别能求出X的分布列和数学期望.【详解】（1）由22⨯列联表的数据，有()()()()()()2 22 30060003000 20010021090Kn ad bca b c d a c b d--==++++⨯⨯⨯507.14310.8287=≈< 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系； （2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为110， X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，()2110()10100P X ===，()12111121010P X C ==⨯=，()2122113325102100P X C ⎛⎫==⨯+=⎪⎝⎭ ()()212122243,4255525P X C P X ⎛⎫==⨯====⎪⎝⎭ X ∴的分布列为:X 的数学期望为()133241234 2.610100525E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验的应用，侧重考查离散型随机变量的期望与方差，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为M ，直线FM 的斜率为1-，且原点到直线FM 的距离为3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若不经过点F 的直线():0,0l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于,A B 两点，且与圆221x y +=相切.试探究ABF 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) 2213x y += (2) ABF的周长为定值【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合222a b c =+，即可求出标准方程；（2）直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，得出,k m 关系，直线与椭圆联立，求出相交弦AB 长，再用两点间距离公式，求出,AF BF 长，求出 ABF 的周长，即可判定结论.【详解】解: (1)由题可知()(),0,0,F c M b，则b c -=① 直线FM 的方程为1x y a b +=即0bx xy bc +-==②联立①②，解得1,b c ==2223a b c =+=，所以椭圆C 的标准方程式为2213x y +=.(2)因为直线():0,0l y kx m k m =+<>与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+设()1122(),,,A x y B x y ，联立2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()()222316310k x kmx m +++-=，所以()()()222222236123111231240k m k m k m k =-+-=-+=>，则由根与系数的关系可得()2121222316,3131m km x x x x k k --+==++所以12AB x =-==又221m k =+所以AB =，因为13AF x ===同理2BF x =，所以)12AF BF x x +=+=所以ABF 的周长为定值【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查相交弦长以及焦点到椭圆上的点距离，考查计算能力，属于较难题.22.设函数()()ln xe f x a x x x=--（a 为常数）. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x =是()f x 在()0,1内的极大值点还是极小值点.【答案】(1) (1)y e =- (2) (),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点.【解析】【分析】 （1）先求出函数的导函数()()()21110x e x f x x x x⋅-'=-+>，再求出切线的斜率(1)f '，再由直线的点斜式方程求解即可；（2）函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点等价于方程0x e ax -=在()0,1内存在唯一解，再构造函数()(),0,1xe g x x x=∈，求其值域，则可得a 的范围，再利用导数确定0x x =是极大值点或者极小值点. 【详解】（1）当1a =时，()ln x e f x x x x=-+，()()()21110x e x f x x x x ⋅-'=-+>， 所求切线的斜率()01f '=，又(1)1f e =-.所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：(1)y e =-. （2）()()()()221111x x x e ax e x f x a x x x --⋅-⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭，又()0,1x ∈，则要使得()f x 在()0,1内存在唯一极值点，则()()()210x x e ax f x x --'==在()0,1存在唯一变号零点，即方程0xe ax -=在()0,1内存在唯一解，即e xy x =与y a =在()0,1范围内有唯一交点， 设函数()(),0,1x e g x x x =∈，则()()210x x e g x x-'=<，()g x ∴在()0,1单调递减，又()()1g x g e >=；当0x →时，()g x →+∞(),a e ∴∈+∞时，e x y x=与y a =在()0,1范围内有唯一交点，不妨设交点横坐标为0x ， 当()00,x x ∈时，()x e g x a x => ，0x e ax ->，则()()()210x x e a x f x x--'=<，()f x 在()00,x 为减函数；当()0,1x x ∈时，0x e ax -<，则()()()210x x e a x f x x --'=>，()f x 在()0,1x 为增函数，即0x x =为函数()f x 的极小值点，综上所述：(),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点.【点睛】本题考查了利用导数求曲线在某点处的切线方程，主要考查了利用导数求函数的单调区间及极值，重点考查了导数的应用，属中档题.。
