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人教A版数学必修五《等比数列的前n项和》教案

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数列的前n 项和一、创设问题情景1.已知递增的等比数列{}n a 满足28432=++a a a ,且23+a 是42,a a 的等差中项. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若12log +=n n a b ,n S 是数列{}n b 的前n 项和,求使424n S n >+成立的n 的最小值. 解:（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ,依题意有423)2(2a a a +=+, (1)又28432=++a a a ,将(1)代入得83=a .所以2042=+a a .于是有⎩⎨⎧==+,8,2021311q a q a q a 解得⎩⎨⎧==,2,21q a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.21,321q a 又{}n a 是递增的,故2,21==q a . 所以n n a 2=.(Ⅱ)12log 12+==+n b n n ,232nn S n +=. 故由题意可得234242n nn +>+,解得12>n 或7n <-.又*∈N n , 所以满足条件的n 的最小值为13.二、学生探究自学（一）前n 项和公式S n 的定义：S n =a 1+a 2+…a n 。

（二）数列求和的方法（共8种）1.公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的 数列；4）常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21n k k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)nk k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++。

2.分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。

3.倒序相加法：如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的。

4.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

如：1）11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭和⎧⎫（其中{}n a 等差）可裂项为：111111()n n n n a a d a a ++=-⋅；21d=。

（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消 求和） 常见裂项公式：（1）111(1)1n n nn ++=-；（2）1111()()n n k k nn k++=-；（3）1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]n n n n n n n -++++=-；（4）11(1)!!(1)!n n n n ++=-（5）常见放缩公式：212=<=.三、引导学生探究题型1 公式法例1 数列{b n }的通项公式为b n =3n －1. （1）求数列{b n }的前n 项和S n 的公式；（2）设P n =b 1+b 4+b 7+…+b 3n －2，Q n =b 10+b 12+b 14+…+b 2n+8，其中n=1，2，…，试比较P n 与Q n 的大小，并证明你的结论. 解:（1）S n =2)(1n b b n +=23n 2+21n. （2）b 1，b 4，b 7，…，b 3n －2组成以3d 为公差的等差数列， 所以P n =nb 1+2)1(-n n ·3d=29n 2－25n ；b 10，b 12，b 14，…，b 2n+8组成以2d 为公差的等差数列，b 10=29，所以Q n =nb 10+2)1(-n n ·2d=3n 2+26n. P n －Q n =（29n 2－25n ）－（3n 2+26n ）=23n （n －19）.所以，对于正整数n ，当n ≥20时，P n ＞Q n ；当n=19时，P n =Q n ；当n ≤18时，P n ＜Q n .变式训练1 等比数列{}n a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－p ，则2232221na a a a ++++ ＝________. 解：1）当n=1时，p -2a 1=；2）当2n ≥时，1-n 1-n n 1-n n n 2p)-(2-p)-(2S -S a ===。

因为数列{}n a 为等比数列，所以1p 12p -2a 1-11=⇒=== 从而等比数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列。

故等比数列{}2n a 为首项为1，公比为4q 2=的等比数列。

1)-(4314-1)4-1(1nn 2232221==++++na a a a小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列 的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。

5）等比数列的性质：若数列{}n a 为等比数列， 则数列{}2n a 及⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1也为等比数列，首项分别为21a 、1a 1，公比分别为2q 、q 1。

题型2 分组求和法例2 在数列{}n a 中，已知a 1=2，a n+1=4a n －3n ＋1，n ∈*N . （1）设n a b n n -=，求数列{}n b 的通项公式; （2）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，求S n 。

解：（1）n n n n n b n a n n a n a b 4)(4)1(134)1(11=-=+-+-=+-=++且1111=-=a b{}n b ∴为以1为首项，以4为公比的等比数列 1114--==∴n n n q b b（2）n n n a b n n -=+=+142)1(314++-=∴n n S n n变式训练2 数列{}n a 中，11a =，且点1(, )n n a a +()n *∈N 在函数()2f x x =+的图象上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列}{n a 中，依次抽取第3，4，6，…，122n -+，…项，组成新数列{}n b ，试求数列{}n b 的通项n b 及前n 项和n S .解：（Ⅰ）∵点1(, )n n a a +在函数()2f x x =+的图象上，∴12n n a a +=+。

∴12n n a a +-=，即数列}{n a 是以11a =为首项，2为公差的等差数列，∴1(1)221n a n n =+-⨯=-。

（Ⅱ）依题意知：11222(22)123n n n n b a --+==+-=+∴12n n S b b b =+++=11(23)23nniii i n ==+=+∑∑=1122323212n n n n ++-+=+--. 小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。

题型3 裂项相消法例3 (武汉市2008届高三调研测试文科)设数列{}n a 的前n 项和)N (n 1,-1)4n (2n (-1)S 2nn *∈++=。

（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)记(1)nn nb a -=，求数列{}n b 前n 项和n T解：（1）数列{}n a 的前n 项之和1-1)4n (2n (-1)S 2n n ++= 在n=1时，111(1)(241)18a s ==-++-=- 在2n ≥时，1n n n a s s -=-212(1)(241)(1)[2(1)4(1)1]n n n n n n -=-++---+-+ (1)4(1)n n n =-⋅+而n=1时，18a =-满足(1)4(1)n n a n n =-+ 故所求数列{}n a 通项(1)4(1)n n a n n =-+（2）∵(1)1111()4(1)41n n n b a n n n n -===-++因此数列{}n b 的前n 项和1)4(n n)1n 1-(141T n +=+=当堂检测已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，141n n S a +=+，设12n n n b a a +=-．（Ⅰ）证明数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）数列{}n c 满足21log 3n n c b =+*()n ∈N ，求1223341n n n T c c c c c c c c +=++++。

证明：（Ⅰ）由于141n n S a +=+， ① 当2n ≥时，141n n S a -=+． ②① -②得 1144n n n a a a +-=-． 所以 1122(2)n n n n a a a a +--=-． 又12n n n b a a +=-， 所以12n n b b -=．因为11a =，且12141a a a +=+，所以21314a a =+=．所以12122b a a =-=．故数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列． 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2n n b =，则211log 33n n c b n ==++（n ∈*N ）． 1223341n n n T c c c c c c c c +=++++1111455667(3)(4)n n =++++⨯⨯⨯++1144n =-+4(4)n n =+． 小结与拓展：裂项相消法是把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

它适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

如：1）11nn a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭和⎧⎫（其中{}n a 等差）可裂项为：111111()n n n n aa d a a ++=-⋅；21d =。

（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）。

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高中数学人教A版必修5第二章2.5等比数列的前n项和教案

高中数学人教A版必修5第二章2.5等比数列的前n项和教案

等比数列的前n项和一、教学目标1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。

3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。

二、教学重点与难点重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

三、教学设想本节课采用问题导学式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。

让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探四、教学过程（一）创设问题情景课前给出复习：等比数列的定义及性质课首给出引例：某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖房,可砖厂厂长很风趣,提出了这样一个条件:在一个月（30天）内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,为了还本付息,建筑队第一天要向厂方返还1块砖,第二天返还2块砖,第三天返还4块砖,即每天返还的砖数是前一天的2倍,请问,假如你是建筑队队长,你会接受这个条件吗？请在座的同学思考讨论一下,建筑队长能否向砖厂借砖?[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！]（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

学生直觉认为队长可以向砖厂借砖，教师引导学生自主探求，得出：队长30天借到的砖：465230)301(3021'30=⨯+=+++= S （万） 队长需要还的砖：=++++=292302221 S ?[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ？的问题让学生探究，292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到302923022222++++= S ②若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：1073741823123030=-=S (分) ≈1073(万) ＞ 465（万）答案:穷人不能向富人借钱（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。

人教A版高中数学必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和教案

人教A版高中数学必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和教案

2.5.1 等比数列的前n项和一、教学内容分析1.教材的地位和作用《等比数列的前n项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章《数列》第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体2．教学的重点等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用．二、学情分析1.学情分析知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1其是在后面使用的过程中容易出错．任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够较好的理解教材上的内容，能较好地在教师的引导下独立、合作地解决一些问题．2.教学难点基于上述分析，确定本节课教学难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．三、教学目标的确定课程标准要求“了解几何概型的意义”“注重概念的生成过程”“数学思想和方法蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中”，结合本课教材的特点、学生的认知水平，我从三个方面确定教学目标：①知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．②过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．③情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.四、教法和学法课程标准明确指出“要注重提高学生的数学思维能力”，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。

高中数学人教A版必修5教案-2.5_等比数列的前n项和_教学设计_教案_1

高中数学人教A版必修5教案-2.5_等比数列的前n项和_教学设计_教案_1

教学准备
1. 教学目标
熟练应用等差与等比数列的综合问题2. 教学重点/难点
熟练应用等差与等比数列的综合问题
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
解;
借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。

（经过原点）
练习：已知等差数列{an}中，，问S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大。

例 2 已知{an}是等比数列，a1 =2，a3 =18；{bn}是等差数列，b1 =2，b1+ b2+ b3+ b4= a1+ a2+ a3>20.
(1) 求数列{bn}的通项公式；
(2) 求数列{bn}的前n项和Sn的公式；
(3) 设Pn= b1+ b4+ b7+…+ b3n-2，Qn= b10+ b12+ b14+…+ b2n+8，其中
n=1，2，…，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论。

详见优化设计P44典例剖析例1，解答过程略。

b5=0。

（1）求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an；
（3）试比较an与Sn的大小。

详见优化设计P44典例剖析例3，解答过程略。

三、小结
解答数列综合题，要重视审题，精心联想，沟通联系，解答数列应用性问题，关键是如何将它转化为数学问题。

四、作业
优化设计。

高中数学《等比数列的前n项和》教案6新人教A版必修5

高中数学《等比数列的前n项和》教案6新人教A版必修5

高中数学《等比数列的前n项和》教案6新人教A版必修5第一篇：高中数学《等比数列的前n项和》教案6 新人教A版必修5 《等比数列的前n项和》教案获嘉县第一中学肖玉等比数列的前n项和教学目的：1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题教学重点：等比数列的前n项和公式推导教学难点：灵活应用公式解决有关问题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：本节是对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法教学过程：一、复习引入：首先回忆一下前两节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：2.等比数列的通项公式: an=q（q≠0）an-1an=a1⋅qn-1(a1⋅q≠0)，an=am⋅qn-m(a1⋅q≠0)3．｛an｝成等比数列⇔an+1=q（n∈N+,q≠0）an “an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：G为a与b的等比中项.即G=±6．性质：若m+n=p+q，am⋅an=ap⋅aq7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法8．等比数列的增减性：当q>1, a1>0或01, a1<0,或00时, {an}是递减数列;当q=1时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是摆动数列;二、讲授新课一:求和公式: G.P{an}的首项为a1,公比为q,前n项和Sn.则Sn=a1+a2+又an=a1qn-1+anab（a,b同号）.∴Sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-1(1)在(1)式的两边同时乘以q得: qSn=a1q+a1q2++a1qn-1+a1qn(2) 将上面两式相减,即(1)-(2)得:(1-q)Sn=a1-a1qn接下来对q进行分类讨论(1)当q=1时,Sn=a1+a1++a1=na1(2)当q≠1时,S1(1-qn)a1-anqn=a1-q=1-q ⎧na1∴S=⎪q=1n⎨⎪a1(1-qn)q⎩1-q≠1 另外：当q≠1时，Sa1-a1qnn=1-q =a11-q-a11-q⋅qn=A+Aqn 其中A=a11-q三、例题讲解: 例1:求等比数列1,1,1248, 的前8项和.解:由题知:a111=2,q=21⎛1 S2 ⎝1-⎫28⎪⎭12558==1-11-256=2562例2:已知等比数列{an}中, Sn=2⋅3n+a，求首项解: Sn是等比数列得前n项和.∴a=-2 ∴Sn=2⋅3n-2∴a1=S1=2⋅3-2=4例3:求和:2+23+25++22n+3a1。